Tài liệu Toán cao cấp giải tính bài 2

Toaùn cao caáp : 13 Giaûi tích CHÖÔNG I SOÁ THÖÏC I. Moät thieáu soùt cuûa ℚ Meänh ñeà: phöông trình: x 2 = 2 khoâng coù nghieäm trong ℚ . Chứng minh: Giaû söû phöông trình: x 2 = 2 coù nghieäm trong ℚ laø x0 ⇒ x0 = m m vôùi m , n ∈ ℤ , n ≠ 0 vaø laø phaân soá toái giaûn n n ( m , n nguyeân toá cuøng nhau). m Khi ñoù   n 2 =2 ⇒ m2 = 2 ⇒ m2 = 2n 2 (1) n2 ⇒ m2 laø soá chaün ⇒ m laø soá chaün (vì neáu m laø soá leû thì m2 laø soá leû) ⇒ m = 2k ( k ∈ ℤ ) (2) (1) & (2) ⇒ ( 2k ) = 2n 2 ⇒ 2k 2 = n 2 ⇒ n 2 laø soá chaün 2 ⇒ n laø soá chaün ⇒ n = 2h ( h ∈ ℤ ) ⇒ ⇒ m 2k k = = n 2h h m laø phaân soá khoâng toái giaûn ⇒ maâu thuaãn vôùi giaû thieát . n Do ñoù phöông trình x 2 = 2 khoâng coù nghieäm trong ℚ . II. Tieân ñề Zorn: 1. Khaùi nieäm: Taát caû caùc soá höõu tyû vaø voâ tyû goïi chung laø soá thöïc. Taäp hôïp caùc soá thöïc kyù hieäu laøø ℝ . Treân ℝ coù caùc tính chaát veà pheùp coäng, nhaân vaø baát ñaúng thöùc nhö ñaõ bieát. 2. Ñònh nghóa: Cho A ⊂ ℝ vaø A ≠ ∅ . Ta noùi Toaùn cao caáp : Giaûi tích 14 i) A ø bò chaän treân neáu ∃ k ∈ ℝ sao cho: x ≤ k ,∀ x ∈ A . ii) A bò chaän döôùi neáu ∃ k ∈ ℝ sao cho x ≥ k , ∀ x ∈ A . 3. Tính chất ñược sắp hoàn chỉnh: Moïi taäp con cuûa ℝ khaùc ∅ bò chaän treân ñeàu toàn taïi chaän treân nhoû nhaát. Nhaän xeùt: Neáu A coù chaän treân nhoû nhaát thì chaän treân nhoû nhaát laø duy nhaát, kyù hieäu laø sup A . Chöùng minh: Giaû söû A coù 2 chaän treân nhoû nhaát laø k1 vaø k2 ta coù: k1 ≤ k2 (vì k1 laø chaän treân nhoû nhaát) k2 ≤ k1 (vì k2 laø chaän treân nhoû nhaát) ⇒ k1 = k2 . • M laø chaän treân nhoû nhaát cuûa A neáu vôùi moïi T laø chaän treân cuûa A thì M ≤ T . • m laø chaän döôùi lôùn nhaát cuûa A neáu ta coù m ≥ t , ∀t laø chaän döôùi cuûa A. • Cho A ⊂ ℝ vaø A ≠ ¯. Neáu A bò chaän treân thì A coù voâ soá chaän treân. Neáu A bò chaän döôùi thì A coù voâ soá chaän döôùi. 3. Heâ quaû: Cho A ⊂ ℝ vaø A ≠ ∅. Neáu A bò chaän döôùi thì A coù chaän döôùi lôùn nhaát, kyù hieäu laø inf A . Chöùng minh: Ñaët B = {− x x ∈ A} . Vì A bò chaän döôùi neân toàn taïi m ∈ ℝ sao cho: m ≤ x , ∀x ∈ A ⇒ − x ≤ − m , ∀ − x ∈ B ⇒ B bò chaën treân, do tính chất ñược sắp hoàn chỉnh ta coù sup B toàn taïi. Ta coù ∀x ∈ A , − x ≤ sup B ⇒ − sup B ≤ x ⇒ − sup B laø moät chaän döôùi cuûa A. Toaùn cao caáp : 15 Giaûi tích Ta seõ chöùng minh − sup B laø moät chaän döôùi lôùn nhaát cuûa A. Thaät vaäy, ∀t laø chaän döôùi cuûa A thì t ≤ x , ∀x ∈ A ⇒ − x ≤ −t , ∀ − x ∈ B ⇒ −t laø moät chaän treân cuûa B ⇒ sup B ≤ −t ⇒ t ≤ − sup B ⇒ inf A = − sup B . Ví duï: Vôùi A = {−7, 5, −2,1} thì sup A = 5 ; inf A = −7 . A = {−2,18} sup A = 18 ; inf A = −2 A = [ −7;12] sup A = 12 ; inf A = −7 A = ( −5, 2 ) sup A = 12 ; inf A = −5 • Nhaän xeùt: - sup A coù theå thuoäc A hoaëc khoâng thuoäc A . Neáu sup A ∈ A ta coù sup A = max A . - inf A coù theå thuoäc A hoaëc khoâng thuoäc A . Neáu inf A ∈ A ta coù inf A = min A . 5/ Meänh ñeà (ñaëc tröng cuûa sup) Cho A ⊂ ℝ , A ≠ ∅ . Khi ñoù: (i ) M laø moät chaän treân cuûa A M = sup A ⇔  (ii) ∀ ε > 0, ∃ x 0 ∈ A: M-ε < x 0 ≤ M Chöùng minh: ( ⇒ ) Giaû söû M = sup A , khi ñoù (i) laø hieån nhieân. ∀ ε > 0 ⇒ M – ε < M ⇒ M – ε khoâng laø chaän treân cuûa A . ⇒ meänh ñeà (∀ x ∈ A ; x ≤ M − ε ) laø sai . ⇒ ∃ x0 ∈ A : M − ε < x0 ≤ M ⇒ (ii) thoûa. Toaùn cao caáp : 16 Giaûi tích (⇐ ) Giaû söû M thoûa i) vaø ii) ⇒ M laø chaën treân. Giaû söû M khoâng laø chaën treân nhoû nhaát cuûa A . Ta coù: sup A < M ⇒ sup A − M < 0 . Coi ε = M − sup A > 0 . Töø ii) ⇒ ∃ x0 ∈ A : M − ( M − sup A) < x0 ≤ sup A (vôùi ε = M − sup A ) ⇒ sup A < sup A : voâ lyù. Vaäy M phaûi laø chaën treân nhoû nhaát cuûa A . III. Vaøi öùng duïng cuûa tính chất ñược sắp hoàn chỉnh: 1. Meänh ñeà: (Tính chaát Archimeøde) ∀a, b ∈ ℝ vaø a > 0 luoân luoân toàn taïi n ∈ ℕ ñeå cho n.a > b . Chöùng minh: Giaû söû khoâng toàn taïi n ∈ ℕ ñeå cho n.a > b ⇒ n.a ≤ b ∀ n ∈ ℕ . Ñaët A = {n.a n ∈ ℕ} , ta coù A ≠ ∅ vì A chöùa phaàn töû a = 1.a . Vì na ∈ A vaø na ≤ b neân A bò chaën treân bôûi b ⇒ sup A toàn taïi. Theo ñaëc tröng cuûa sup, vôùi ε = a > 0 0 thì ∃x0 ∈ A : sup A − a < x0 . Vì x0 ∈ A neân ∃n0 ∈ ℕ : x0 = n0 a . Do ñoù sup A − a < n0 a ⇒ sup A < n0 a + a = (n0 + 1)a ∈ A (vì n0 + 1∈ ℕ ) ⇒ voâ lyù. 2. Heä quaû: ∀ε > 0 , ε ∈ ℝ , ∃n ∈ ℕ* sao cho 1 <ε . n Chöùng minh: AÙp duïng tính chaát Archimeøde vôùi a = ε vaø b = 1 ta coù nε > 1 Toaùn cao caáp : ⇒ 17 Giaûi tích 1 <ε . n 3. Meänh ñeà: Xen keõ 2 soá thöïc khaùc nhau baát kyø coù ít nhaát moät soá höûu tyû. Noùi caùch khaùc: ∀a, b ∈ ℝ vaø a < b ⇒ ∃α ∈ ℚ : a < α < b . Töông töï, xen keõ hai soá thöïc baát kyø coù ít nhaát moät soá voâ tæ . 4. Meänh ñeà: Phöông trình x 2 = 2 coù nghieäm trong ℝ . Chöùng minh: Ñaët A = {t ∈ [1; 2] / t 2 ≤ 2} . Vì 1 ∈ A neân A ≠ ∅ , hôn nöõa A bò chaën treân bôûi 2 ⇒ supA toàn taïi vaø 1 ≤ supA ≤ 2. Ta seõ chöùng minh raèng supA laø nghieäm cuûa phöông trình x2 = 2 nghóa laø caàn kieåm tra (supA)2 = 2 . Ta chöùng minh phaûn chöùng: i) Giaû söû (supA)2 < 2. Xeùt 0 < ε < 1 , ta coù (supA+ε)2 = (supA)2 + 2.ε.supA +ε2 ≤ (supA)2 + 4.ε +ε2 ≤ (supA)2 + 5.ε . Ñeå (supA)2 + 5.ε = 2 ta choïn ε = Do ñoù vôùi ε = 2 − (sup A)2 5 ( 0 < ε < 1). 2 − (sup A)2 > 0 ta coù (supA + ε )2 ≤ 2 5 ⇒ supA + ε ∈ A (Vôùi 0 ≤ t2 ≤ 2 ⇒ t ∈ A) maø supA + ε > supA: voâ lyù. ii) Giaû söû (supA)2 > 2. Xeùt ε > 0, ta coù (supA - ε)2 = (supA)2 - 2.ε supA + ε2 > (supA)2 - 2.ε supA ≥ (supA)2 - 4.ε. (sup A)2 − 2 Ñeå (supA) - 4.ε = 2 ta choïn ε = > 0. 4 2 Toaùn cao caáp : 18 Giaûi tích Khi ñoù vôùi ε = (sup A)2 − 2 > 0 ta coù (supA - ε)2 > 2. 4 Vaäy supA –ε laø moät chaën treân cuûa A ⇒ supA ≤ supA –ε ⇒ supA +ε ≤ supA (voâ lyù). Keát luaän (supA)2 = 2. IV. Giaù trò tuyeät ñoái . Nhò thöùc Newton : 1) Ñònh nghóa : Trò tuyeät ñoái cuûa moät soá thöïc a laø a neáu a ≥ 0 | a | = -a neáu a<0 2) Tính chaát : i) x ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ii) x + y ≤ x + y ; daáu “=” xaûy ra ⇔ x.y ≥ 0 iii) x − y ≤ x − y ; x − y ≤ x + y iv) xy = x y ; x x = y y 3) Nhò thöùc Newton : ( a + b) n n n n! n! n a n−k bk ; ( a − b ) = ∑ a n − k (−1) k .b k k = 0 k !( n − k )! k = 0 k !( n − k )! =∑ n.(n − 1).(n − 2)...2.1 neáu n ≥ 1 Qui öôùc : n! =  1 neáu n = 0  Ta kyù hieäu Cnk = n! k !(n − k )! an-bn =(a - b)(an-1 + an-2b + an-3b2 + …. + abn-2 + bn-1) an+bn =(a + b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - …. + (-1)n-2abn-2 + (-1)n-1bn-1) vôùi n leû Toaùn cao caáp : Giaûi tích 19 Ghi chuù: Khoaûng hôû (môû) taâm a baùn kính ε > 0 laø ( a-ε , a+ε ) coøn goïi laø laân caän taâm a baùn kính ε. Toaùn cao caáp : 20 Giaûi tích CHÖÔNG II DAÕY SOÁ THÖÏC Khaùi nieäm: AÙnh xaï: I. f :ℕ → ℝ n ֏ un = f ( n ) ñöôïc goïi laø moät daõy soá thöïc. Kyù hieäu: u1, u2 ,..., un ,... hay {un , n ∈ ℕ} hay {un } . n: ñöôïc goïi laø chæ soá; un ñöôïc goïi laø soá haïng toång quaùt cuûa daõy. Ví duï: • Cho daõy 1, 2, 3, 4, ..., n, …. Ta coù soá haïng toång quaùt cuûa daõy laø: • un = n. Cho daõy {un} coù soá haïng toång quaùt un = phaàn töû cuûa daõy laø II. 1 1 1 , , ,... 5 7 9 • Cho daõy {un} vôùi u1 = a > 0 vaø un = • Cho u1 = 2 vaø un = u1 = 2; u2 = 1 . Caùc 2n + 3 a + un −1 3un −1 + 5 , caùc soá haïng cuûa daõy laø: un −1 11 43 ; u3 = , ... 2 11 Söï hoäi tuï cuûa daõy soá: 1. Ñònh nghóa: Daõy {un} goïi laø hoäi tuï neáu toàn taïi soá a∈ ℝ thoûa: “∀ε > 0 cho tröôùc, luoân toàn taïi soá nguyeân döông N(ε) sao cho n > N(ε) ⇒ |un - a| < ε”. Khi ñoù ta noùi {un} hoäi tuï veà a vaø kyùù hieäu: un → a hay lim un = a . n →∞ Toaùn cao caáp : 21 Giaûi tích Nhaän xeùt : i) Vieát N(ε) nghóa laø N(ε) phuï thuoäc vaøo ε, N(ε) coù theå khoâng laø soá nguyeân cuõng ñöôïc. ii) |un - a| < ε ⇔ -ε < un - a < ε ⇔ a - ε < un < a + ε. iii) un → 0 ⇔ |un| → 0. iv) Ta coøn coù theå noùi {un} hoäi tuï veà a neáu vôùi moïi khoaûng môû V taâm a ta ñeàu coù N0 sao cho un ∈ V, ∀n > N0. (nghóa laø: ∀ε, luoân toàn taïi soá N0 sao cho un ∈ (a - ε, a + ε), ∀n > N0) Ví duï: Chöùng minh daõy { 1 } hoäi tuï veà 0. n ∀ε > 0, ta caàn chöùng minh toàn taïi N0 sao cho: 1 −0 n < ε, vôùi moïi n > N0 . Vôùi ε > 0, theo tính chaát Archimeøde thì ∃ N0: Vaäy vôùi n > N0 ta coù 1 <ε n Do ñoù ∀ε > 0, ∃ N0: n > N0 ⇒ Ví duï: khi n > 1 −0 n <ε⇒ Chöùng minh raèng {un} vôùi un = Ta coù: un − 7 ε 1 <ε. N0 1 →0 n 2n − 1 2 hoäi tuï veà 3n + 2 3 2 2n − 1 2 6 n − 3 − 6 n − 4 7 7 = − = = < <ε 3 3n + 2 3 3(3n + 2) 3(3n + 2) n = N0 Toaùn cao caáp : Vaäy ∀ε > 0, ∃ N0 = ⇒ un − 22 Giaûi tích 7 , sao cho vôùi moïi n > N0 ε 2 2 7 < <ε ⇒ un→ 3 3 n 2. Ñònh lyù: Giôùi haïn cuûa moät daõy hoäi tuï laø duy nhaát. Giaû söû {un} hoäi tuï veà 2 giôùi haïn laø a1 vaø a2 vôùi a1 < a2 ( lim un = a1, lim un = a2 ) n →+∞ Coi ε = n →+∞ a2 − a1 > 0. 2 Vì un hoäi tuï veà a1, neân ∃N1 : vôùi moïi n > N1 thì |un - a1| < a2 − a1 =ε 2 ⇒ a1 - a2 − a1 a −a < un < a1 + 2 1 , ∀n > N1 2 2 ⇒ un < a2 + a1 , ∀n > N1 (1) 2 Maët khaùc, vì un → a2, neân ∃ N2: vôùi moïi n > N2 thì |un- a2| < ε = ⇒ n > N2: a2 ⇒ n > N2: a2 − a1 2 a2 − a1 a −a < un < a 2 + 2 1 2 2 a2 + a1 < un 2 (2) Do ñoù khi n > max {N1, N2} thì (1) vaø (2) cuøng xaûy ra → voâ lyù. Do ñoù giôùi haïn cuûa moät daõy neáu coù thì duy nhaát. 3. Ñònh nghóa : Daõy {un} goïi laø bò chaän neáu ∃ K sao cho |un| ≤ K, ∀n. Toaùn cao caáp : 23 Giaûi tích Ví duï: • 1 {un} vôùi un = 2 + sin2 n . Ta coù: 2 ≤ un ≤ 3, ∀n ⇒ {un} bò chaän. •  1  1  1   1  {un} vôùi un = 1− 1− 1−  ... 1−   2  3  4   n  Ta coù : 0 ≤ un ≤ 1 ⇒ |un| ≤ 1 ⇒ {un} bò chaän. Ghi chuù: i) {un} goïi laø bò chaän treân neáu ∃M : un ≤ M, ∀n. ii) {un} bò chaän döôùi neáu ∃m : m ≤ un, ∀n. iii){un} bò chaän ⇔ {un} bò chaän treân vaø bò chaän döôùi. 4. Ñònh lyù : i) {un} hoäi tuï ⇒ {un} bò chaän. ii) Giaû söû {un} → a ≠ 0 ⇒ ∃A > 0, ∃ N > 0 sao cho |un| > A, ∀n > N Chöùng minh: i) Giaû söû un → a. Khi ñoù vôùi ε = 1, ∃N : n > N ⇒ |un - a| < 1 ⇒ |un| = |un - a +a| ≤ |un - a| + |a| < 1 + |a| ∀n > N (|un| < 1 + |a| ∀n > N) Choïn K = max { u1 , u2 ,..., u N ,1+ a } ⇒ |un| ≤ K, ∀n ∈ ℕ Ghi chuù: Ta cuõng coù theå choïn K = |u1|+|u2| +...+|un|+1+|a| ii) Giaû söû un → a ≠ 0. Ta seõ chöùng minh ∃A > 0 : |un| ≥ A, ∀n ∈ ℕ . Vôùi ε = ⇒- a 2 > 0, ∃N : n > N, ta coù: |un - a| < a < -|un - a|, ∀n > N 2 a 2 Toaùn cao caáp : 24 Giaûi tích maø |un| = |un - a + a| ≥ |a| - |un - a| ≥ |a| ⇒ ∃A = a 2 a a = , ∀n > N 2 2 > 0 : |un| > A, ∀n > N. 5. Meänh ñeà: Neáu un ≥ 0, ∀n ∈ ℕ vaø lim un = a thì a ≥ 0. n →∞ Chöùng minh: (baèng phaûn chöùng) Giaû söû a < 0, coi ε = ⇒un < a - a a , ∃ N 1 : n > N 1 ⇒ | un - a | < 2 2 a a = < 0, ∀n > N1 2 2 ⇒ maâu thuaãn vôùi giaû thieát un ≥ 0, ∀n. Ghi chuù: • Neáu thay giaû thieát un ≥ 0 ∀n baèng giaû thieát un ≥ 0 ∀n > N thì ñònh lyù vaãn ñuùng. Noùi chung, neáu boû ñi moät soá höõu haïn caùc soá haïng cuûa daõy thì söï hoäi tuï cuûa daõy khoâng thay ñoåi. • Neáu thay (un ≥ 0, ∀n ∈ ℕ ) baèng (un > 0, ∀n ∈ ℕ ), ta cuõng chæ suy ra lim un ≥ 0 (khoâng theå boû daáu “=”). n →∞ Ví duï: un = 1 1 > 0, ∀n ∈ ℕ nhöng lim = 0 n →∞ n n 6. Meänh ñeà (caùc pheùp toaùn veà giôùi haïn cuûa daõy): Giaû söû lim un = a vaø lim vn = b .Ta coù : n →+∞ n →+∞ i) lim (un + vn ) = a + b n →+∞ ii) lim un vn = a.b n →+∞ iii) lim n →∞ un a = vn b (neáu b ≠ 0) Toaùn cao caáp : 25 Giaûi tích iv) lim un = a (neáu un ≥ 0, ∀n) n →+∞ Chöùng minh : i) Vôùi ε > 0 cho tröôùc, un → a ⇒ ∃N1 : n > N1 : |un - a| < vn → b ⇒ ∃N2 : n > N2 : |vn - b| < ε 2 ε 2 Choïn N = max {N1, N2} ⇒ n > N : |un + vn - (a + b)| = |un - a + vn - b| ≤ |un - a| + |vn - b| < ε 2 + ε 2 = ε ⇒ (un + vn) → a + b ii) |unvn - ab| = |unvn - avn + avn - ab| = |vn(un - a) + a(vn - b)| ≤ |vn(un - a)| + |a(vn – b)| = |vn| |un - a| + |a| |vn - b| ≤ M |un - a| + |a| |vn - b| (vì vn hoäi tuï neân vn bò chaän bôûi M) ≤ K |un - a| + K |vn - b| (vôùi K = M + |a| hoaëc K = max {M, |a|} ) Do ñoù : ∀ ε > 0, ∃N1 : n > N1 : |un - a| < ∃N2 : n > N2 : |vn - b| < ⇒ n > N = max {N1, N2} : |unvn - ab| < Do ñoù : unvn → ab iii) un 1 = un vn vn ε 2K ε 2K Kε K ε + 2K 2 K =ε Toaùn cao caáp : 26 Giaûi tích Do ñoù : ta chæ caàn chöùng minh neáu vn → b thì Ta coù: 1 1 vn − b − = vn b vn b Theo chöùng minh cuûa meänh ñeà 4 thì |vn| ≥ Do ñoù n > N1 : vn − b vn b ≤ ⇒ n > max {N1, N2} : b , ∀n > N1 2 vn − b 2 = 2 vn − b b b b 2 Vaäy ∀ε > 0, ∃N2 : n > N2 : |vn - b| < ⇒ 1 1 → (b ≠ 0). vn b ε b2 2 1 1 2 ε b2 − < =ε vn b b2 2 1 1 u 1 a → ⇒ n →a = vn b vn b b iv) Vì un ≥ 0, ∀n ⇒ un → a ≥ 0 Ta chöùng minh un − a ≤ un − a ⇔ un − a un − a ≤ un − a ⇔ un − a un − a ≤ un − a un + a Baát ñaúng thöùc treân hieån nhieân ñuùng. Do ñoù: ∀ε > 0, ∃ N : n > N ta coù |un - a| < ε2 ⇒n>N: un − a ≤ un − a < ε ⇒ un → a Toaùn cao caáp : 27 Giaûi tích 7. Meänh ñeà:  lim un = a, lim vn = b n →+∞ n →+∞ thì a ≤ b   un ≤ vn , ∀n ∈ ℕ Neáu Chöùng minh: Theo meänh ñeà 6: ta coù lim (vn − un ) = b – a n →+∞ maø vn - un ≥ 0 ∀n ∈ ℕ . Theo meänh ñeà 5 ta suy ra: b-a≥0⇒b≥a Ghi chuù: + Thay un ≤ vn, ∀n baèng un ≤ vn, ∀n > N thì ñònh lyù vaãn ñuùng. + Neáu vn > un , ∀n ∈ ℕ thì ta cuõng chæ suy ra b ≥ a (khoâng theå boû daáu “=” ) 3n 2 3n 2 > 4n2 + 1 4n2 + 3 Ví duï: 3n 2 3n 2 3 = lim = 2 2 n →+∞ 4 n + 1 n →+∞ 4 n + 3 4 nhöng lim 8. Ñònh lyù (keïp ): Giaû söû un ≤ xn ≤ vn, ∀n ∈ ℕ (* ) vaø lim un = lim vn = a thì {xn} hoäi tuï vaø lim xn = a n →+∞ n →+∞ Chöùng minh: Vôùi moïi ε > 0 cho tröôùc, • un hoäi tuï veà a, ∃N1 : n > N1 ⇒ |un - a| < ε ⇒ a - ε < un < a + ε, n > N1 • vn → a : ∃ N 2 : n > N 2 ⇒ | vn - a | < ε ⇒ a - ε < vn < a + ε Do ñoù vôùi n > max {N1, N2} = N thì : a - ε < un ≤ xn ≤ vn < a + ε ⇒ |xn - a| < ε, ∀n > N ⇒ xn → a Toaùn cao caáp : 28 Giaûi tích Ghi chuù: Giaû söû xn cuõng hoäi tuï, laáy giôùi haïn cuûa (* ) Ta coù: a = lim un ≤ lim xn ≤ lim vn = a ⇒ lim xn = a n →+∞ n →+∞ n →+∞ n →+∞ 1 Ví duï: Tìm lim sin(n !) n →∞ n Vì 0 ≤ 1 1 1 1 ⇒ sin n ! → 0 ⇒ sin n ! → 0 sin n ! ≤ n n n n III. Daõy soá ñôn ñieäu: 1. Ñònh nghóa: i) Daõy {un} goïi laø ñôn ñieäu taêng neáu un ≤ un+1, ∀n ∈ ℕ . Boû daáu “=” ta coù ñònh nghóa moät daõy taêng nghieâm ngaët (nghieâm caùch). ii) Daõy {un} goïi laø ñôn ñieäu giaûm neáu un ≥ un+1, ∀n ∈ ℕ . Boû daáu “=” ta coù ñònh nghóa moät daõy giaûm nghieâm ngaët. iii) Daõy taêng hoaëc giaûm goïi chung laø daõy ñôn ñieäu. 2. Ñònh lyù: i) Daõy taêng vaø bò chaän treân thì hoäi tuï. ii) Daõy giaûm vaø bò chaän döôùi thì hoäi tuï. Chöùng minh: Ñaët A = {un / n ∈ ℕ} ⊂ ℝ . i) {un} bò chaän treân ⇒ A bò chaän treân. Theo tieân ñeà Zorn ta coù sup A toàn taïi, ta seõ chöùng minh {un} → sup A. Vôùi ε > 0 cho tröôùc, theo tính chaát cuûa sup thì ∃ N : sup A - ε < uN ≤ sup A. Vì un taêng neân sup A − ε < uN ≤ un, ∀n > N ⇒ sup A − un < ε, ∀n > N Toaùn cao caáp : 29 Giaûi tích ⇒ un − sup A < ε, ∀n > N (vì un − supA = supA − un = supA − un) ⇒ lim un = supA. n →+∞ ii) Töông töï un giaûm vaø bò chaän döôùi thì hoäi tuï veà infA. 1 1 1 Ví duï 1: {un} vôùi un = (1− )(1− )...(1− ) 2 3 n Chöùng minh: {un} hoäi tuï: un+1 = (1− 1 ) un ≤ un, ∀n ∈ ℕ* n +1 ⇒ {un} giaûm vaø un > 0, ∀n ∈ ℕ* Vaäy un giaûm vaø bò chaän döôùi bôûi 0 neân {un} hoäi tuï. Ví du 2ï: Cho {un}; vôùi un = 1 1 1 + 2 + ... + n 2 2 2 Chöùng minh {un} hoäi tuï vaø tìm giôùi haïn cuûa un. 1 1 (1− n ) 1 2 un = 2 = 1− n 1 2 1− 2 un+1 = un + < 1, ∀ n 1 > un ∀n 2n +1 {un} taêng vaø bò chaën treân bôûi 1 ⇒ {un} hoäi tuï. 1  Ta coù: lim un = lim 1− n  = 1 n →+∞ n →+∞  2  IV. Daõy phaân kyø ra ∞: 1. Ñònh nghóa: Daõy soá khoâng hoäi tuï goïi laø daõy soá phaân kyø. Ví duï: {un} vôùi un = (−1)n laø 1 daõy phaân kyø. 2. Ñònh nghóa: Toaùn cao caáp : 30 Giaûi tích i) Daõy {un} goïi laø phaân kyø ra +∞ neáu tính chaát sau thoûa: “∀A > 0 cho tröôùc, ∃ N : n > N ⇒ un > A”. ii) Daõy {un} goïi laø phaân kyø ra −∞ neáu tính chaát sau thoûa: “∀A > 0 cho tröôùc, ∃ N : n > N ⇒ un <−A”. • Neáu daõy {un} phaân kyø ra +∞, ta vieát lim un = +∞ hay un → +∞ n →∞ • Neáu daõy {un} phaân kyø ra −∞, ta vieát lim un = −∞ n →∞ hay un → − ∞. Nhaän xeùt: Ñònh nghóa treân gioáng ñònh nghóa söï hoäi tuï veà a cuûa daõy, trong ñoù thay ε > 0 baèng A > 0 vaø un−a < ε baèng un >A (hoaëc un < −A). 3. Meänh ñeà: Giaû söû {un} taêng vaø {vn} giaûm thoûa: un ≤ vn , ∀n ∈ ℕ lim(u − v ) = 0(*) thì {un} vaø {vn} hoäi tuï veà cuøng 1 giôùi haïn. n n  n →+∞ Chöùng minh : + Ta coù un ≤ vn ≤ v1, ∀n ⇒ {un} bò chaän treân bôûi v1 (vaø un taêng) ⇒ {un} hoäi tuï veà x1. + vn ≥ un ≥ u1, ∀n ⇒ {vn} giaûm vaø bò chaän döôùi bôûi u1 ⇒ {vn} hoäi tuï veà x2. ⇒ x1 − x2 = lim un − lim vn = lim (un − vn) (* ) = 0 ⇒ x1 = x2 n →∞ n →∞ V. Vaøi daõy soá ñaëc bieät: 1.Meänh ñeà: n→+∞ Toaùn cao caáp : i) 1 = 0 ∀α > 0 nα lim n →+∞ ii) iii) iv) 31 Giaûi tích n lim n →+∞ lim n →+∞ lim n →∞ n ∀a > 0 a =1 n =1 nx =0 , (1+ α ) n ∀α > 0 ,∀x∈ ℝ   nx lim  n →+∞ n = 0 ,∀a > 1 a   v) +∞ neáu a>1 lim a n =  n →+∞ 0 neáu a <1 Chöùng minh: 1 1 1 i) α < ε ⇔ nα > ⇔n> n ε  1 α   ε  1  1 α Do ñoù ∀ ε > 0, ∃ N =   ε  ⇒ n > N. Ta coù ii) * Neáu a = 1, hieån nhieân lim n 1 =1 n a n →∞ * Neáu a > 1 Ñaët xn = n a − 1 > 0 ⇒ xn + 1 = ⇒ a = (1 + xn)n ≥ 1 + nxn ⇒ 0 < x n < Theo ñònh lyù keïp ta coù lim xn= 0 n →∞ ⇒ lim ( n a −1)= 0 ⇒ lim n →∞ * Neáu a < 1 n →∞ n a =1 a-1 n 1 − 0 < ε. nα Toaùn cao caáp : lim n →∞ iii) n n 32 Giaûi tích 1 = lim n →∞ a n 1 = 1 ⇒ lim n →∞ a n a =1 n →1 Ñaët yn = n n − 1 ≥ 0 ⇒ n n = yn + 1 ⇒ n = (1 + yn)n = 1 + nyn+ ⇒ yn2 < 2 ⇒ yn < n −1 ⇒ 0 ≤ yn < iv) lim n →∞ n(n − 1) 2 n(n − 1) 2 yn + ... + ... > yn 2 2 nx =0 (1+ α ) n 2 n −1 2 ⇒ lim yn = 0 n →∞ n −1 ∀α > 0 ∀x > 0, ∃ m ∈ ℕ ∗ : m > x Khi n > 2m, ta coù: (1+α)n = n n! ∑ k !(n − k )! α k > k= 0 = n! αm m !(n − m)! n(n − 1)...(n − m + 1) m n α >  m! 2 m αm m! (*) (ta coù (*) vì n – m > n - n = n (∀n >2m)) 2 2 nx nx 2m.m ! 1 ⇒0< < = . (1 + α ) n nm α m α m nm− x (n > 2m, m – x > 0) . 2m m ! nx nx ⇒ lim = 0 ,∀α > 0, ∀x hay lim n = 0 ,∀a >1 n →+∞ (1+ α ) n n →+∞ a 2. Meänh ñeà: