Toaùn cao caáp :
13
Giaûi tích
CHÖÔNG I SOÁ THÖÏC
I. Moät thieáu soùt cuûa ℚ
Meänh ñeà: phöông trình: x 2 = 2 khoâng coù nghieäm trong ℚ .
Chứng minh: Giaû söû phöông trình: x 2 = 2 coù nghieäm trong ℚ
laø x0 ⇒ x0 =
m
m
vôùi m , n ∈ ℤ , n ≠ 0 vaø
laø phaân soá toái giaûn
n
n
( m , n nguyeân toá cuøng nhau).
m
Khi ñoù
n
2
=2 ⇒
m2
= 2 ⇒ m2 = 2n 2 (1)
n2
⇒ m2 laø soá chaün ⇒ m laø soá chaün
(vì neáu m laø soá leû thì m2 laø soá leû)
⇒ m = 2k ( k ∈ ℤ ) (2)
(1) & (2) ⇒ ( 2k ) = 2n 2 ⇒ 2k 2 = n 2 ⇒ n 2 laø soá chaün
2
⇒ n laø soá chaün ⇒ n = 2h ( h ∈ ℤ ) ⇒
⇒
m
2k
k
=
=
n
2h
h
m
laø phaân soá khoâng toái giaûn ⇒ maâu thuaãn vôùi giaû thieát .
n
Do ñoù phöông trình x 2 = 2 khoâng coù nghieäm trong ℚ .
II. Tieân ñề Zorn:
1. Khaùi nieäm: Taát caû caùc soá höõu tyû vaø voâ tyû goïi chung laø soá
thöïc.
Taäp hôïp caùc soá thöïc kyù hieäu laøø ℝ . Treân ℝ coù caùc tính chaát veà
pheùp coäng, nhaân vaø baát ñaúng thöùc nhö ñaõ bieát.
2. Ñònh nghóa: Cho A ⊂ ℝ vaø A ≠ ∅ . Ta noùi
Toaùn cao caáp :
Giaûi tích
14
i) A ø bò chaän treân neáu ∃ k ∈ ℝ sao cho: x ≤ k ,∀ x ∈ A .
ii) A bò chaän döôùi neáu ∃ k ∈ ℝ sao cho x ≥ k , ∀ x ∈ A .
3. Tính chất ñược sắp hoàn chỉnh: Moïi taäp con cuûa ℝ khaùc ∅
bò chaän treân ñeàu toàn taïi chaän treân nhoû nhaát.
Nhaän xeùt: Neáu A coù chaän treân nhoû nhaát thì chaän treân nhoû nhaát
laø duy nhaát, kyù hieäu laø sup A .
Chöùng minh: Giaû söû A coù 2 chaän treân nhoû nhaát laø k1 vaø k2 ta
coù:
k1 ≤ k2 (vì k1 laø chaän treân nhoû nhaát)
k2 ≤ k1 (vì k2 laø chaän treân nhoû nhaát) ⇒ k1 = k2 .
• M laø chaän treân nhoû nhaát cuûa A neáu vôùi moïi T laø chaän treân
cuûa A thì M ≤ T .
• m laø chaän döôùi lôùn nhaát cuûa A neáu ta coù m ≥ t , ∀t laø chaän
döôùi cuûa A.
• Cho A ⊂ ℝ vaø A ≠ ¯. Neáu A bò chaän treân thì A coù voâ soá
chaän treân. Neáu A bò chaän döôùi thì A coù voâ soá chaän döôùi.
3. Heâ quaû: Cho A ⊂ ℝ vaø A ≠ ∅. Neáu A bò chaän döôùi thì A
coù chaän döôùi lôùn nhaát, kyù hieäu laø inf A .
Chöùng minh: Ñaët B = {− x x ∈ A} . Vì A bò chaän döôùi neân toàn taïi
m ∈ ℝ sao cho: m ≤ x , ∀x ∈ A ⇒ − x ≤ − m , ∀ − x ∈ B ⇒ B bò
chaën treân, do tính chất ñược sắp hoàn chỉnh ta coù sup B toàn taïi.
Ta coù ∀x ∈ A , − x ≤ sup B ⇒ − sup B ≤ x ⇒ − sup B laø moät
chaän döôùi cuûa A.
Toaùn cao caáp :
15
Giaûi tích
Ta seõ chöùng minh − sup B laø moät chaän döôùi lôùn nhaát cuûa A.
Thaät vaäy, ∀t laø chaän döôùi cuûa A thì t ≤ x , ∀x ∈ A
⇒ − x ≤ −t , ∀ − x ∈ B
⇒ −t laø moät chaän treân cuûa B ⇒ sup B ≤ −t ⇒ t ≤ − sup B
⇒ inf A = − sup B .
Ví duï: Vôùi A = {−7, 5, −2,1} thì sup A = 5 ; inf A = −7 .
A = {−2,18}
sup A = 18 ; inf A = −2
A = [ −7;12]
sup A = 12 ; inf A = −7
A = ( −5, 2 )
sup A = 12 ; inf A = −5
• Nhaän xeùt:
- sup A coù theå thuoäc A hoaëc khoâng thuoäc A . Neáu sup A ∈ A ta
coù sup A = max A .
- inf A coù theå thuoäc A hoaëc khoâng thuoäc A . Neáu inf A ∈ A ta
coù inf A = min A .
5/ Meänh ñeà (ñaëc tröng cuûa sup)
Cho A ⊂ ℝ , A ≠ ∅ . Khi ñoù:
(i ) M laø moät chaän treân cuûa A
M = sup A ⇔
(ii) ∀ ε > 0, ∃ x 0 ∈ A: M-ε < x 0 ≤ M
Chöùng minh: ( ⇒ ) Giaû söû M = sup A , khi ñoù (i) laø hieån nhieân.
∀ ε > 0 ⇒ M – ε < M ⇒ M – ε khoâng laø chaän treân cuûa A .
⇒ meänh ñeà (∀ x ∈ A ; x ≤ M − ε ) laø sai .
⇒ ∃ x0 ∈ A : M − ε < x0 ≤ M
⇒ (ii) thoûa.
Toaùn cao caáp :
16
Giaûi tích
(⇐ ) Giaû söû M thoûa i) vaø ii) ⇒ M laø chaën treân. Giaû söû M
khoâng laø chaën treân nhoû nhaát cuûa A . Ta coù: sup A < M
⇒ sup A − M < 0 .
Coi ε = M − sup A > 0 .
Töø ii) ⇒ ∃ x0 ∈ A : M − ( M − sup A) < x0 ≤ sup A
(vôùi ε = M − sup A )
⇒ sup A < sup A : voâ lyù.
Vaäy M phaûi laø chaën treân nhoû nhaát cuûa A .
III. Vaøi öùng duïng cuûa tính chất ñược sắp hoàn chỉnh:
1. Meänh ñeà: (Tính chaát Archimeøde)
∀a, b ∈ ℝ vaø a > 0 luoân luoân toàn taïi n ∈ ℕ ñeå cho n.a > b .
Chöùng minh:
Giaû söû khoâng toàn taïi n ∈ ℕ ñeå cho n.a > b ⇒ n.a ≤ b ∀ n ∈ ℕ .
Ñaët A = {n.a n ∈ ℕ} , ta coù A ≠ ∅ vì A chöùa phaàn töû a = 1.a .
Vì na ∈ A vaø na ≤ b neân A bò chaën treân bôûi b ⇒ sup A toàn
taïi. Theo ñaëc tröng cuûa sup, vôùi ε = a > 0 0 thì
∃x0 ∈ A : sup A − a < x0 .
Vì x0 ∈ A neân ∃n0 ∈ ℕ : x0 = n0 a .
Do ñoù sup A − a < n0 a ⇒ sup A < n0 a + a = (n0 + 1)a ∈ A
(vì n0 + 1∈ ℕ ) ⇒ voâ lyù.
2. Heä quaû:
∀ε > 0 , ε ∈ ℝ , ∃n ∈ ℕ* sao cho
1
<ε .
n
Chöùng minh:
AÙp duïng tính chaát Archimeøde vôùi a = ε vaø b = 1 ta coù nε > 1
Toaùn cao caáp :
⇒
17
Giaûi tích
1
<ε .
n
3. Meänh ñeà: Xen keõ 2 soá thöïc khaùc nhau baát kyø coù ít nhaát moät soá
höûu tyû. Noùi caùch khaùc:
∀a, b ∈ ℝ vaø a < b ⇒ ∃α ∈ ℚ : a < α < b .
Töông töï, xen keõ hai soá thöïc baát kyø coù ít nhaát moät soá voâ tæ .
4. Meänh ñeà: Phöông trình x 2 = 2 coù nghieäm trong ℝ .
Chöùng minh: Ñaët A = {t ∈ [1; 2] / t 2 ≤ 2} . Vì 1 ∈ A neân A ≠ ∅ ,
hôn nöõa A bò chaën treân bôûi 2 ⇒ supA toàn taïi vaø 1 ≤ supA ≤ 2.
Ta seõ chöùng minh raèng supA laø nghieäm cuûa phöông trình x2 = 2
nghóa laø caàn kieåm tra (supA)2 = 2 . Ta chöùng minh phaûn chöùng:
i)
Giaû söû (supA)2 < 2. Xeùt 0 < ε < 1 , ta coù
(supA+ε)2 = (supA)2 + 2.ε.supA +ε2 ≤ (supA)2 + 4.ε +ε2
≤ (supA)2 + 5.ε .
Ñeå (supA)2 + 5.ε = 2 ta choïn ε =
Do ñoù vôùi ε =
2 − (sup A)2
5
( 0 < ε < 1).
2 − (sup A)2
> 0 ta coù (supA + ε )2 ≤ 2
5
⇒ supA + ε ∈ A (Vôùi 0 ≤ t2 ≤ 2 ⇒ t ∈ A) maø supA + ε > supA:
voâ lyù.
ii) Giaû söû (supA)2 > 2. Xeùt ε > 0, ta coù
(supA - ε)2 = (supA)2 - 2.ε supA + ε2 > (supA)2 - 2.ε supA
≥ (supA)2 - 4.ε.
(sup A)2 − 2
Ñeå (supA) - 4.ε = 2 ta choïn ε =
> 0.
4
2
Toaùn cao caáp :
18
Giaûi tích
Khi ñoù vôùi ε =
(sup A)2 − 2
> 0 ta coù (supA - ε)2 > 2.
4
Vaäy supA –ε laø moät chaën treân cuûa A
⇒ supA ≤ supA –ε ⇒ supA +ε ≤ supA (voâ lyù).
Keát luaän (supA)2 = 2.
IV. Giaù trò tuyeät ñoái . Nhò thöùc Newton :
1) Ñònh nghóa : Trò tuyeät ñoái cuûa moät soá thöïc a laø
a neáu a ≥ 0
| a | =
-a neáu a<0
2) Tính chaát : i) x ≥ 0, ∀x ∈ ℝ
ii) x + y ≤ x + y ; daáu “=” xaûy ra ⇔ x.y ≥ 0
iii) x − y ≤ x − y ; x − y ≤ x + y
iv) xy = x y ;
x
x
=
y
y
3) Nhò thöùc Newton :
( a + b)
n
n
n
n!
n!
n
a n−k bk ; ( a − b ) = ∑
a n − k (−1) k .b k
k = 0 k !( n − k )!
k = 0 k !( n − k )!
=∑
n.(n − 1).(n − 2)...2.1 neáu n ≥ 1
Qui öôùc : n! =
1
neáu n = 0
Ta kyù hieäu Cnk =
n!
k !(n − k )!
an-bn =(a - b)(an-1 + an-2b + an-3b2 + …. + abn-2 + bn-1)
an+bn =(a + b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - …. + (-1)n-2abn-2 + (-1)n-1bn-1)
vôùi n leû
Toaùn cao caáp :
Giaûi tích
19
Ghi chuù: Khoaûng hôû (môû) taâm a baùn kính ε > 0 laø ( a-ε , a+ε )
coøn goïi laø laân caän taâm a baùn kính ε.
Toaùn cao caáp :
20
Giaûi tích
CHÖÔNG II DAÕY SOÁ THÖÏC
Khaùi nieäm: AÙnh xaï:
I.
f :ℕ → ℝ
n ֏ un = f ( n )
ñöôïc goïi laø moät daõy soá thöïc.
Kyù hieäu: u1, u2 ,..., un ,... hay {un , n ∈ ℕ} hay {un } .
n: ñöôïc goïi laø chæ soá; un ñöôïc goïi laø soá haïng toång quaùt cuûa daõy.
Ví duï:
•
Cho daõy 1, 2, 3, 4, ..., n, …. Ta coù soá haïng toång quaùt cuûa
daõy laø:
•
un = n.
Cho daõy {un} coù soá haïng toång quaùt un =
phaàn töû cuûa daõy laø
II.
1 1 1
, , ,...
5 7 9
•
Cho daõy {un} vôùi u1 = a > 0 vaø un =
•
Cho u1 = 2 vaø un =
u1 = 2; u2 =
1
. Caùc
2n + 3
a + un −1
3un −1 + 5
, caùc soá haïng cuûa daõy laø:
un −1
11
43
; u3 =
, ...
2
11
Söï hoäi tuï cuûa daõy soá:
1. Ñònh nghóa: Daõy {un} goïi laø hoäi tuï neáu toàn taïi soá a∈ ℝ thoûa:
“∀ε > 0 cho tröôùc, luoân toàn taïi soá nguyeân döông N(ε) sao cho
n > N(ε) ⇒ |un - a| < ε”.
Khi ñoù ta noùi {un} hoäi tuï veà a vaø kyùù hieäu: un → a hay lim un = a .
n →∞
Toaùn cao caáp :
21
Giaûi tích
Nhaän xeùt :
i) Vieát N(ε) nghóa laø N(ε) phuï thuoäc vaøo ε, N(ε) coù theå khoâng laø
soá nguyeân cuõng ñöôïc.
ii) |un - a| < ε ⇔ -ε < un - a < ε ⇔ a - ε < un < a + ε.
iii) un → 0 ⇔ |un| → 0.
iv) Ta coøn coù theå noùi {un} hoäi tuï veà a neáu vôùi moïi khoaûng môû V
taâm a ta ñeàu coù N0 sao cho un ∈ V, ∀n > N0.
(nghóa laø: ∀ε, luoân toàn taïi soá N0 sao cho un ∈ (a - ε, a + ε), ∀n > N0)
Ví duï: Chöùng minh daõy {
1
} hoäi tuï veà 0.
n
∀ε > 0, ta caàn chöùng minh toàn taïi N0 sao cho:
1
−0
n
< ε, vôùi moïi n > N0 .
Vôùi ε > 0, theo tính chaát Archimeøde thì ∃ N0:
Vaäy vôùi n > N0 ta coù
1
<ε
n
Do ñoù ∀ε > 0, ∃ N0: n > N0 ⇒
Ví duï:
khi n >
1
−0
n
<ε⇒
Chöùng minh raèng {un} vôùi un =
Ta coù: un −
7
ε
1
<ε.
N0
1
→0
n
2n − 1
2
hoäi tuï veà
3n + 2
3
2
2n − 1 2 6 n − 3 − 6 n − 4
7
7
=
− =
=
< <ε
3 3n + 2 3
3(3n + 2)
3(3n + 2) n
= N0
Toaùn cao caáp :
Vaäy ∀ε > 0, ∃ N0 =
⇒ un −
22
Giaûi tích
7
, sao cho vôùi moïi n > N0
ε
2
2 7
< <ε ⇒ un→
3
3 n
2. Ñònh lyù: Giôùi haïn cuûa moät daõy hoäi tuï laø duy nhaát.
Giaû söû {un} hoäi tuï veà 2 giôùi haïn laø a1 vaø a2 vôùi a1 < a2
( lim un = a1, lim un = a2 )
n →+∞
Coi ε =
n →+∞
a2 − a1
> 0.
2
Vì un hoäi tuï veà a1, neân ∃N1 : vôùi moïi n > N1 thì
|un - a1| <
a2 − a1
=ε
2
⇒ a1 -
a2 − a1
a −a
< un < a1 + 2 1 , ∀n > N1
2
2
⇒ un <
a2 + a1
, ∀n > N1 (1)
2
Maët khaùc, vì un → a2,
neân ∃ N2: vôùi moïi n > N2 thì |un- a2| < ε =
⇒ n > N2: a2 ⇒ n > N2:
a2 − a1
2
a2 − a1
a −a
< un < a 2 + 2 1
2
2
a2 + a1
< un
2
(2)
Do ñoù khi n > max {N1, N2} thì (1) vaø (2) cuøng xaûy ra → voâ lyù.
Do ñoù giôùi haïn cuûa moät daõy neáu coù thì duy nhaát.
3. Ñònh nghóa : Daõy {un} goïi laø bò chaän neáu ∃ K sao cho
|un| ≤ K, ∀n.
Toaùn cao caáp :
23
Giaûi tích
Ví duï:
•
1
{un} vôùi un = 2 + sin2 n . Ta coù: 2 ≤ un ≤ 3, ∀n ⇒ {un} bò chaän.
•
1 1 1 1
{un} vôùi un = 1− 1− 1− ... 1−
2 3 4 n
Ta coù : 0 ≤ un ≤ 1 ⇒ |un| ≤ 1 ⇒ {un} bò chaän.
Ghi chuù:
i) {un} goïi laø bò chaän treân neáu ∃M : un ≤ M, ∀n.
ii) {un} bò chaän döôùi neáu ∃m : m ≤ un, ∀n.
iii){un} bò chaän ⇔ {un} bò chaän treân vaø bò chaän döôùi.
4. Ñònh lyù :
i) {un} hoäi tuï ⇒ {un} bò chaän.
ii) Giaû söû {un} → a ≠ 0 ⇒ ∃A > 0, ∃ N > 0 sao cho |un| > A, ∀n > N
Chöùng minh:
i) Giaû söû un → a. Khi ñoù vôùi ε = 1, ∃N : n > N ⇒ |un - a| < 1
⇒ |un| = |un - a +a| ≤ |un - a| + |a| < 1 + |a| ∀n > N
(|un| < 1 + |a| ∀n > N)
Choïn K = max { u1 , u2 ,..., u N ,1+ a } ⇒ |un| ≤ K, ∀n ∈ ℕ
Ghi chuù: Ta cuõng coù theå choïn K = |u1|+|u2| +...+|un|+1+|a|
ii) Giaû söû un → a ≠ 0. Ta seõ chöùng minh
∃A > 0 : |un| ≥ A, ∀n ∈ ℕ .
Vôùi ε =
⇒-
a
2
> 0, ∃N : n > N, ta coù: |un - a| <
a
< -|un - a|, ∀n > N
2
a
2
Toaùn cao caáp :
24
Giaûi tích
maø |un| = |un - a + a| ≥ |a| - |un - a| ≥ |a| ⇒ ∃A =
a
2
a
a
=
, ∀n > N
2
2
> 0 : |un| > A, ∀n > N.
5. Meänh ñeà:
Neáu un ≥ 0, ∀n ∈ ℕ vaø lim un = a thì a ≥ 0.
n →∞
Chöùng minh: (baèng phaûn chöùng)
Giaû söû a < 0, coi ε = ⇒un < a -
a
a
, ∃ N 1 : n > N 1 ⇒ | un - a | < 2
2
a a
=
< 0, ∀n > N1
2 2
⇒ maâu thuaãn vôùi giaû thieát un ≥ 0, ∀n.
Ghi chuù:
•
Neáu thay giaû thieát un ≥ 0 ∀n baèng giaû thieát un ≥ 0 ∀n > N thì
ñònh lyù vaãn ñuùng. Noùi chung, neáu boû ñi moät soá höõu haïn caùc soá
haïng cuûa daõy thì söï hoäi tuï cuûa daõy khoâng thay ñoåi.
•
Neáu thay (un ≥ 0, ∀n ∈ ℕ ) baèng (un > 0, ∀n ∈ ℕ ), ta cuõng chæ
suy ra lim un ≥ 0 (khoâng theå boû daáu “=”).
n →∞
Ví duï: un =
1
1
> 0, ∀n ∈ ℕ nhöng lim = 0
n
→∞
n
n
6. Meänh ñeà (caùc pheùp toaùn veà giôùi haïn cuûa daõy):
Giaû söû lim un = a vaø lim vn = b .Ta coù :
n →+∞
n →+∞
i) lim (un + vn ) = a + b
n →+∞
ii) lim un vn = a.b
n →+∞
iii) lim
n →∞
un a
=
vn b
(neáu b ≠ 0)
Toaùn cao caáp :
25
Giaûi tích
iv) lim un = a (neáu un ≥ 0, ∀n)
n →+∞
Chöùng minh :
i) Vôùi ε > 0 cho tröôùc,
un → a ⇒ ∃N1 : n > N1 : |un - a| <
vn → b ⇒ ∃N2 : n > N2 : |vn - b| <
ε
2
ε
2
Choïn N = max {N1, N2}
⇒ n > N : |un + vn - (a + b)| = |un - a + vn - b|
≤ |un - a| + |vn - b| <
ε
2
+
ε
2
= ε ⇒ (un + vn) → a + b
ii) |unvn - ab| = |unvn - avn + avn - ab| = |vn(un - a) + a(vn - b)|
≤ |vn(un - a)| + |a(vn – b)| = |vn| |un - a| + |a| |vn - b|
≤ M |un - a| + |a| |vn - b|
(vì vn hoäi tuï neân vn bò chaän bôûi M)
≤ K |un - a| + K |vn - b|
(vôùi K = M + |a| hoaëc K = max {M, |a|} )
Do ñoù : ∀ ε > 0,
∃N1 : n > N1 : |un - a| <
∃N2 : n > N2 : |vn - b| <
⇒ n > N = max {N1, N2} : |unvn - ab| <
Do ñoù : unvn → ab
iii)
un
1
= un
vn
vn
ε
2K
ε
2K
Kε K ε
+
2K 2 K
=ε
Toaùn cao caáp :
26
Giaûi tích
Do ñoù : ta chæ caàn chöùng minh neáu vn → b thì
Ta coù:
1 1 vn − b
− =
vn b
vn b
Theo chöùng minh cuûa meänh ñeà 4 thì |vn| ≥
Do ñoù n > N1 :
vn − b
vn b
≤
⇒ n > max {N1, N2} :
b
, ∀n > N1
2
vn − b
2
= 2 vn − b
b
b
b
2
Vaäy ∀ε > 0, ∃N2 : n > N2 : |vn - b| <
⇒
1
1
→ (b ≠ 0).
vn
b
ε b2
2
1 1 2 ε b2
− <
=ε
vn b b2 2
1
1 u
1 a
→ ⇒ n →a =
vn
b
vn
b b
iv) Vì un ≥ 0, ∀n ⇒ un → a ≥ 0
Ta chöùng minh
un − a ≤
un − a
⇔
un − a
un − a ≤ un − a
⇔
un − a
un − a ≤
un − a
un + a
Baát ñaúng thöùc treân hieån nhieân ñuùng.
Do ñoù: ∀ε > 0, ∃ N : n > N ta coù |un - a| < ε2
⇒n>N:
un − a ≤
un − a < ε ⇒
un → a
Toaùn cao caáp :
27
Giaûi tích
7. Meänh ñeà:
lim un = a, lim vn = b
n →+∞
n →+∞
thì a ≤ b
un ≤ vn , ∀n ∈ ℕ
Neáu
Chöùng minh: Theo meänh ñeà 6: ta coù lim (vn − un ) = b – a
n →+∞
maø vn - un ≥ 0 ∀n ∈ ℕ . Theo meänh ñeà 5 ta suy ra:
b-a≥0⇒b≥a
Ghi chuù:
+ Thay un ≤ vn, ∀n baèng un ≤ vn, ∀n > N thì ñònh lyù vaãn ñuùng.
+ Neáu vn > un , ∀n ∈ ℕ thì ta cuõng chæ suy ra b ≥ a (khoâng theå boû
daáu “=” )
3n 2
3n 2
>
4n2 + 1 4n2 + 3
Ví duï:
3n 2
3n 2
3
=
lim
=
2
2
n →+∞ 4 n + 1
n →+∞ 4 n + 3
4
nhöng lim
8. Ñònh lyù (keïp ):
Giaû söû un ≤ xn ≤ vn,
∀n ∈ ℕ (* )
vaø lim un = lim vn = a thì {xn} hoäi tuï vaø lim xn = a
n →+∞
n →+∞
Chöùng minh: Vôùi moïi ε > 0 cho tröôùc,
•
un hoäi tuï veà a, ∃N1 : n > N1 ⇒ |un - a| < ε
⇒ a - ε < un < a + ε, n > N1
•
vn → a : ∃ N 2 : n > N 2 ⇒ | vn - a | < ε
⇒ a - ε < vn < a + ε
Do ñoù vôùi n > max {N1, N2} = N thì : a - ε < un ≤ xn ≤ vn < a + ε
⇒ |xn - a| < ε, ∀n > N ⇒ xn → a
Toaùn cao caáp :
28
Giaûi tích
Ghi chuù:
Giaû söû xn cuõng hoäi tuï, laáy giôùi haïn cuûa (* )
Ta coù: a = lim un ≤ lim xn ≤ lim vn = a ⇒ lim xn = a
n →+∞
n →+∞
n →+∞
n →+∞
1
Ví duï: Tìm lim sin(n !)
n →∞ n
Vì 0 ≤
1
1
1
1
⇒ sin n ! → 0 ⇒ sin n ! → 0
sin n ! ≤
n
n
n
n
III. Daõy soá ñôn ñieäu:
1. Ñònh nghóa:
i) Daõy {un} goïi laø ñôn ñieäu taêng neáu un ≤ un+1, ∀n ∈ ℕ .
Boû daáu “=” ta coù ñònh nghóa moät daõy taêng nghieâm ngaët (nghieâm
caùch).
ii) Daõy {un} goïi laø ñôn ñieäu giaûm neáu un ≥ un+1, ∀n ∈ ℕ .
Boû daáu “=” ta coù ñònh nghóa moät daõy giaûm nghieâm ngaët.
iii) Daõy taêng hoaëc giaûm goïi chung laø daõy ñôn ñieäu.
2. Ñònh lyù:
i) Daõy taêng vaø bò chaän treân thì hoäi tuï.
ii) Daõy giaûm vaø bò chaän döôùi thì hoäi tuï.
Chöùng minh:
Ñaët A = {un / n ∈ ℕ} ⊂ ℝ .
i) {un} bò chaän treân ⇒ A bò chaän treân. Theo tieân ñeà Zorn ta coù
sup A toàn taïi, ta seõ chöùng minh {un} → sup A.
Vôùi ε > 0 cho tröôùc, theo tính chaát cuûa sup thì
∃ N : sup A - ε < uN ≤ sup A.
Vì un taêng neân sup A − ε < uN ≤ un, ∀n > N
⇒ sup A − un < ε, ∀n > N
Toaùn cao caáp :
29
Giaûi tích
⇒ un − sup A < ε, ∀n > N
(vì un − supA = supA − un = supA − un)
⇒ lim un = supA.
n →+∞
ii) Töông töï un giaûm vaø bò chaän döôùi thì hoäi tuï veà infA.
1
1
1
Ví duï 1: {un} vôùi un = (1− )(1− )...(1− )
2
3
n
Chöùng minh: {un} hoäi tuï: un+1 = (1−
1
) un ≤ un, ∀n ∈ ℕ*
n +1
⇒ {un} giaûm vaø un > 0, ∀n ∈ ℕ*
Vaäy un giaûm vaø bò chaän döôùi bôûi 0 neân {un} hoäi tuï.
Ví du 2ï: Cho {un}; vôùi un =
1 1
1
+ 2 + ... + n
2 2
2
Chöùng minh {un} hoäi tuï vaø tìm giôùi haïn cuûa un.
1
1
(1− n )
1
2
un = 2
= 1− n
1
2
1−
2
un+1 = un +
< 1, ∀ n
1
> un ∀n
2n +1
{un} taêng vaø bò chaën treân bôûi 1 ⇒ {un} hoäi tuï.
1
Ta coù: lim un = lim 1− n = 1
n
→+∞
n →+∞
2
IV.
Daõy phaân kyø ra ∞:
1. Ñònh nghóa: Daõy soá khoâng hoäi tuï goïi laø daõy soá phaân kyø.
Ví duï: {un} vôùi un = (−1)n laø 1 daõy phaân kyø.
2. Ñònh nghóa:
Toaùn cao caáp :
30
Giaûi tích
i) Daõy {un} goïi laø phaân kyø ra +∞ neáu tính chaát sau thoûa: “∀A > 0
cho tröôùc, ∃ N : n > N ⇒ un > A”.
ii) Daõy {un} goïi laø phaân kyø ra −∞ neáu tính chaát sau thoûa: “∀A > 0
cho tröôùc, ∃ N : n > N ⇒ un <−A”.
•
Neáu daõy {un} phaân kyø ra +∞, ta vieát
lim un = +∞ hay un → +∞
n →∞
•
Neáu daõy {un} phaân kyø ra −∞, ta vieát lim un = −∞
n →∞
hay un → − ∞.
Nhaän xeùt: Ñònh nghóa treân gioáng ñònh nghóa söï hoäi tuï veà a cuûa daõy,
trong ñoù thay ε > 0 baèng A > 0 vaø un−a < ε baèng un >A
(hoaëc un < −A).
3. Meänh ñeà:
Giaû söû {un} taêng vaø {vn} giaûm thoûa:
un ≤ vn , ∀n ∈ ℕ
lim(u − v ) = 0(*) thì {un} vaø {vn} hoäi tuï veà cuøng 1 giôùi haïn.
n
n
n →+∞
Chöùng minh :
+ Ta coù un ≤ vn ≤ v1, ∀n
⇒ {un} bò chaän treân bôûi v1 (vaø un taêng)
⇒ {un} hoäi tuï veà x1.
+ vn ≥ un ≥ u1, ∀n
⇒ {vn} giaûm vaø bò chaän döôùi bôûi u1
⇒ {vn} hoäi tuï veà x2.
⇒ x1 − x2 = lim un − lim vn = lim (un − vn) (* ) = 0 ⇒ x1 = x2
n →∞
n →∞
V. Vaøi daõy soá ñaëc bieät:
1.Meänh ñeà:
n→+∞
Toaùn cao caáp :
i)
1
= 0 ∀α > 0
nα
lim
n →+∞
ii)
iii)
iv)
31
Giaûi tích
n
lim
n →+∞
lim
n →+∞
lim
n →∞
n
∀a > 0
a =1
n =1
nx
=0 ,
(1+ α ) n
∀α > 0 ,∀x∈ ℝ
nx
lim
n →+∞ n = 0 ,∀a > 1
a
v)
+∞ neáu a>1
lim a n =
n →+∞
0 neáu a <1
Chöùng minh:
1
1
1
i) α < ε ⇔ nα >
⇔n>
n
ε
1 α
ε
1
1 α
Do ñoù ∀ ε > 0, ∃ N =
ε
⇒ n > N. Ta coù
ii) * Neáu a = 1, hieån nhieân lim
n
1 =1
n
a
n →∞
* Neáu a > 1
Ñaët xn = n a − 1 > 0 ⇒ xn + 1 =
⇒ a = (1 + xn)n ≥ 1 + nxn ⇒ 0 < x n <
Theo ñònh lyù keïp ta coù lim xn= 0
n →∞
⇒ lim ( n a −1)= 0 ⇒ lim
n →∞
* Neáu a < 1
n →∞
n
a =1
a-1
n
1
− 0 < ε.
nα
Toaùn cao caáp :
lim
n →∞
iii)
n
n
32
Giaûi tích
1
= lim
n →∞
a
n
1
= 1 ⇒ lim
n →∞
a
n
a =1
n →1
Ñaët yn = n n − 1 ≥ 0 ⇒
n
n = yn + 1
⇒ n = (1 + yn)n = 1 + nyn+
⇒ yn2 <
2
⇒ yn <
n −1
⇒ 0 ≤ yn <
iv) lim
n →∞
n(n − 1) 2
n(n − 1) 2
yn + ... + ... >
yn
2
2
nx
=0
(1+ α ) n
2
n −1
2
⇒ lim yn = 0
n →∞
n −1
∀α > 0
∀x > 0, ∃ m ∈ ℕ ∗ : m > x
Khi n > 2m, ta coù:
(1+α)n =
n
n!
∑ k !(n − k )! α
k
>
k= 0
=
n!
αm
m !(n − m)!
n(n − 1)...(n − m + 1) m
n
α >
m!
2
m
αm
m!
(*)
(ta coù (*) vì n – m > n - n = n (∀n >2m))
2
2
nx
nx
2m.m ! 1
⇒0<
<
=
.
(1 + α ) n
nm α m
α m nm− x
(n > 2m, m – x > 0)
.
2m m !
nx
nx
⇒ lim
= 0 ,∀α > 0, ∀x hay lim n = 0 ,∀a >1
n →+∞ (1+ α ) n
n →+∞ a
2. Meänh ñeà:
- Xem thêm -