Mô tả:
HẠNG CỦA MA TRẬN
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
Ts. Lê Xuân Trường
Khoa Toán Thống Kê
HẠNG CỦA MA TRẬN
1 / 10
Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính
Xét hệ phương trình tuyến tính
a11 x1 + a12 x2 + · · ·a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + · · ·a2n xn = b2
............................................
am1 x1 + am2 x2 + · · ·amn xn = bm
(*)
Ta ký hiệu
a11
a21
A=
···
am1
a12
a22
···
am2
· · · a1n
· · · a2n
··· ···
· · · amn
X =
x1
x2
..
.
xn
và B =
b1
b2
..
.
bm
Khi đó hệ phương trình (∗) có thể viết dươi dạng dạng AX = B
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
HẠNG CỦA MA TRẬN
2 / 10
Định lý Kronecker-Capelli
Xét hệ phương trình AX = B. Ký hiệu
A = [A B ]
| {z }
↓
ma trận hệ số mở rộng
Nếu rank (A) 6= rank (A) thì hệ vô nghiệm
Nếu rank (A) = rank (A) = n thì hệ có nghiệm duy nhất
Nếu rank (A) = rank (A) = k < n thì hệ có vô số nghiệm phụ thuộc
n − k tham số
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
HẠNG CỦA MA TRẬN
3 / 10
Phương pháp khử (C. F. Gauss)
Xét hệ phương trình AX = B.
B1 Lập ma trận mở rộng A = [A B ]
B2 Đưa ma trận A về dạng bậc thang dòng
A b. đ. s. c trên dòng [A1 B1 ]
−−−−−−−−−−−−→
Từ đó suy ra rank (A) và rankA. Ngoài ra, ta có
AX = B ⇐⇒ A1 X = B1
B3 Xét các trường hợp sau
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
HẠNG CỦA MA TRẬN
4 / 10
Phương pháp khử (C. F. Gauss)
rank(A) 6= rank(A) =⇒ Hệ pt vô nghiệm
rank(A) = rank(A) = n =⇒ Hệ pt có nghiệm duy nhất
Tìm nghiệm (bằng cách giải hệ tương đương)
α11 x1 +α12 x2 · · · +α1n xn = β 1
α22 x2 + · · · +α2n xn = β 2
A1 X = B1 ⇔
···
···
···
···
··· ···
· · · αnn xn
= βn
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
HẠNG CỦA MA TRẬN
5 / 10
Phương pháp khử (C. F. Gauss)
rank(A) = rank(A) = k < n =⇒ Hệ pt có vô số nghiệm
Tìm nghiệm tổng quát:
α11 x1 + α12 x2 +
α22 x2 +
·
·
·
···
Hệ A1 X = B1 có dạng
· · · + α1k xk +
· · · +α2k xk +
···
···
αkk xk +
· · · + α1n xn = β 1
· · · +α2n xn = β 2
···
···
···
· · · +αkn xn = β k
Chọn n − k ẩn tự do, tính các ẩn còn lại theo các ẩn tự do.
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
HẠNG CỦA MA TRẬN
6 / 10
Phương pháp khử (C. F. Gauss)
Ví dụ: Giải hệ phương trình
x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 1
−x1 + x2 + 3x4 = 2
3x − x3 + x4 = 3
2
x1 + 3x2 + x3 − x4 = 4
Giải
1
−1
0
1
2
1
3
3
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
−1 2
0
3
−1 1
1 −1
1
1 2
2
−→ 0 3
0 3
3
0 1
4
HẠNG CỦA MA TRẬN
−1 2
−1 5
−1 1
2 −3
1
3
3
3
7 / 10
Phương pháp khử (C. F. Gauss)
1
0
−→
0
0
1
2 −1 2
1
0
1 2 −3 3
−→
0
0 −7 10 −6
0 −7 14 −6
0
2 −1 2
1
1 2 −3 3
0 −7 10 −6
0 0
4
0
Vì rank (A) = rank (A) = 4 nên hệ có nghiệm duy nhất.
x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 1
x2 + 2x3 − 3x4 = 3
hpt ⇐⇒
−7x3 + 10x4 = −6
4x4 = 0
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
HẠNG CỦA MA TRẬN
x1
x2
⇐⇒
x3
x4
= − 75
= 97
= 67
=0
8 / 10
Phương pháp khử (C. F. Gauss)
Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình
mx1 + x2 + x3 = 1
x1 + mx2 + x3 = m
x1 + x2 + mx3 = m2
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
HẠNG CỦA MA TRẬN
9 / 10
Qui tắc Cramer
Hệ phương trình AX = B là hệ Cramer nếu A là ma trận vuông khả
nghịch
Mọi hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất
Tìm nghiệm bằng ma trận nghịch đảo
X = A−1 B
Qui tắc Cramer
X = [ x1 x2 · · · xn ] T ,
a11
a21
trong đó Aj =
···
an1
a12
a22
···
an2
· · · b1
· · · b2
··· ···
· · · bn
xj =
det(Aj )
,
det(A)
· · · a1n
· · · a2n
··· ···
· · · ann
(Thay cột thứ j của A bằng cột tự do B ta được Aj )
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
HẠNG CỦA MA TRẬN
10 / 10
- Xem thêm -