Tài liệu Toán cao cấp a1

GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Bài 1 Giới hạn và liên tục I. SỐ THỰC VÀ HÀM SỐ 1.Các số thực và ðýờng thẳng thực Các số thực là những số có thể biểu diễn dýới dạng thập phân nhý : trong ðó dấu ba chấm (… ) chỉ dãy các ký số sau dấu chấm thập phân kéo dài ðến vô hạn . Các số thực có thể ðýợc biểu diễn về mặt hình học bởi các ðiểm trên 1 ðýờng thẳng, ðýợc gọi là ðýờng thẳng thực nhý minh họa dýới ðây: Tập hợp tất cả các số thực (hay ðừng thẳng thực ) sẽ ðýợc ký hiệu là R. Trên tập hợp các số thực ta có hai phép toán cõ bản + và * với một số tính chất ðại số quen thuộc ðã biết . Từ ðó ta cũng có phép toán trừ (-) và phép chia (/) cho số khác 0. Ngoài ra trên R ta cũng có một thứ tự thông thýờng và với thứ tự này ta có một số tính chất ðýợc viết dýới dạng các bất ðẳng thức nhý sau: Nếu a,b, và c là các số thực thì ta có a < b  a+c 0  ac 0 >0 Nếu (a và b cùng là số dýõng ) hay (a và b cùng là số âm ) Thì ta có : R có một số tập hợp con quen thuộc là tập hợp các số tự nhiên N ,tập hợp các số nguyên Z, và tập hợp các số hữu tỉ Q . Theo thứ tự "bao hàm trong " thì NZQR Các số thực không thuộc Q ðýợc gọi là các số vô tỉ . Ký hiệu các khoảng ðoạn và nửa khoảng : Với a và b là các số thực , ta ký hiệu : (a ,b ) là { x  R / a< x a} [a,  ) là { x  R /x >= a} ( - ,b) là {x  R /x < b } ( - b] là {x  R /x <= b} ( -  ,  ) là R Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Ghi chú : Ngýời ta còn chứng minh ðýợc rằng R có tính chất ðầy ðủ . Theo tính chất này thì mọi tập số thực khác rỗng bị chặn trên ðều có cặn trên ðúng (tức là chặn trên nhỏ nhất). Týõng tự , mọi tập số thực khác rỗng bị có chặn dýới ðúng. Ký hiệu "giá trị tuyệt ðối”: Giá trị tuyệt ðối của một số thực x ,ký hiệu bởi |x|, ðýợc ðịnh nghĩa nhý sau : Từ ðó ta có một số tính chất dýới ðây: (1) Với mọi (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Lýu ý rằng về mặt hình học ,  x biểu diễn khoảng cách từ ðiểm x ðến ðiểm 0 trên ðýờng thẳng thực . Tổng quát hõn là :  x-y = khoảng cách giữa x và y Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 2. Hàm số Ðịnh nghĩa: Một hàm số f từ một tập D vào IR là một quy tắc cho ứng với mỗi x  D là một phần tử duy nhất f (x)  R. Một hàm số thýờng ðýợc cho dýới dạng công thức nhý các ví dụ sau: Khi hàm số ðýợc cho bởi một công thức nhý hàm số g(x) ở trên thì tập hợp tất cả các x mà g(x) xác ðịnh ðýợc gọi là miền xác ðịnh của hàm số. Ví dụ: Miền xác ðịnh của hàm số là tập hợp các số thực x sao cho : x2 –4  0  x  -2 hay x  2 Vậy miền xác ðịnh là : ( -  , -2 ]  [ 2 ,  ) Ðồ thị của hàm số: Ðồ thị của hàm số f là ðýờng biểu diễn trong mặt phẳng Oxy có phýng trình y=f(x). Nó bao gồm tất cả các ðiểm (x , f(x)) với x chạy trong miền xác ðịnh của hàm số. Ví dụ : 1) Ðồ thị hàm số y = x2 2) Ðồ thị hàm số y = x3/2 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Tổng, hiệu, tích, thýõng của các hàm số: Cho f và g là 2 hàm số, và c là một hằng số. Ta ðịnh nghĩa các hàm f+g, f–g, f.g, f/g và c.f bởi các công thức sau: (f + g) (x) = f(x) + g(x) (f - g) (x) = f(x) - g(x) (f . g) (x) = f(x) . g(x) (c.f) (x) =c.f(x) Hợp nối của các hàm số: Hợp nối của f(x) và g(x) là 1 hàm số ðýợc ký hiệu là gf và ðýợc ðịnh nghĩa bởi : (g f) (x) = g(f(x) ) Miền xác ðịnh của g f là tập hợp các giá trị x sao cho f(x)  miền xác ðịnh của g. Ví dụ: Hàm số y = sao cho có miền xác ðịnh là tập hợp tất cả các số thực x hay x  (1, 2). Vậy miền xác ðịnh là D = (- , 1]  [2, + ). Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 III. CÁC DẠNG VÔ ÐỊNH 1 . Hàm týõng ðýõng ,VCB ,VCL Ðịnh nghĩa 1: Cho hai hàm số f(x)và g(x) không triệt tiêu trong một khoảng quanh xo ( có thể loại trừ xo). Ta nói f(x) týõng ðýõng với g(x) khi x -> xo nếu: Khi ấy , ta viết : f(x)  g(x) khi x -> xo Hoặc là : khi x -> xo , f(x)  g(x) Tính chất : Khi x -> xo (i) f(x)  g(x) (ii) f(x)  g(x)  g(x)  f(x) (iii) f(x)  g(x) và g(x)  h(x)  f(x)  h(x) Ví dụ : Khi x -> 0, ta có : sin x ~ x ln(1+x) ~ x tg x ~ x ex -1 ~ x arcsin x ~ x arctg x ~ x Ðịnh nghĩa 2: Cho f (x) xác ðịnh quanh xo (có thể loại trừ xo). Ta nói f (x) là một ðại lýợng vô cùng bé khi x -> xo viết tắt là VCB , khi Trong trýờng hợp ta có (viết tắt là VCL) khi x -> xo (hoặc +  , hoặc -  ) ta nói f (x) là vô cùng lớn Ví dụ: Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Khi x -> 0 , ta có x, ln(1+x), 1 –cos x là các VCB. Khi x -> 0+, ta có ln(x), là các VCL Khi x -> + , ta có x, ln(x), ex là các VCL Ghi chú : Các khái niệm về hàm týõng ðýõng, VCB và VCL cũng ðýợc ðịnh nghĩa týõng tự nhý hai ðịnh nghĩa trên khi xét giới hạn ở vô tận, tức là khi xét x - >  , hoặc x -> + , hoặc x -> - . 2. Bảy dạng vô ðịnh. Giả sử ta xét giới hạn của f(x) và g(x)trong cùng một qúa trình biến ðổi của x.Khi ðó 1) Ta nói f (x) –g (x) có dạng vô ðịnh  -  nếu f (x) và g (x) cùng tiến về +  (hoặc là - ). 2) Ta nói f(x).g (x) có dạng vô ðịnh o . nếu: f (x) là VCB và g (x) là VCL , hoặc là: f (x) là VCL và g (x) là VCB 3) Ta nói có dạng vô ðịnh nếu f(x) và g (x) ðều là các VCB 4) Ta nói có dạng vô ðịnh nếu f(x) và g(x) ðều là các VCL 5) Ta nói f(x) g(x) có dạng vô ðịnh 00 khi f (x) và g (x) ðều là các VCB. 6) Ta nói f(x) g(x) có dạng vô ðịnh  0 nếu f(x) -> +  và g (x) là VCB. 7) Ta nói f (x) g(x) có dạng vô ðịnh 1 nếu f(x) -> 1 và g (x) là VCL . 3. Quy tắc thay thế týõng ðýõng khi tính giới hạn. Ðịnh lý : Giả sử ta xét giới hạn trong một quá trình biến ðổi của x. khi ấy : f (x) ~ g (x) và g (x) có giới hạn L  f(x) có giới hạn L. (L hữu hạn hoặc vô hạn) Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 và Ví dụ: Tính Khi x -> 0, ta có : x . ln(1+x) ~ x . x = x2 => Vậy: 4. So sánh các VCB , và các VCL Ðịnh nghĩa: Xét x -> a (a  R , hoặc a là vô tận ) Giả sử u = f (x)và v = g (x) là các VCB . Khi ðó: (i) Ta nói u và v có cùng cấp nếu (ii) Ta nói u có cấp cao hõn v nếu (iii) Ta nói u có cấp thấp hõn v nếu Ví dụ : Khi xét x -> 0, ta có 1 –cos x và x2 là 2 VCB cùng cấp , 1 –cos x là VCB cấp cao hõn ln(1+x) Ðịnh nghĩa: (So sánh VCL) Giả sử f(x) và g (x) là 2 VCL khi x -> a . Ta nói Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 (i) f (x) có cùng cấp với g (x) nếu (ii) f(x) có cấp cao hõn g (x) nếu (iii) f(x) có cấp thấp hõn g(x) nếu Ví dụ: Khi x -> +  , ta có x và cùng cấp , x3/2 có cấp cao hõn Ðịnh lý: Giả sử f (x) và g(x) là các VCB khi x -> a .Ta có: (i) Nếu f(x) có cấp nhỏ hõn g(x) thì f(x)  g(x) ~ f(x) khi x->a (ii) Nếu f(x) cùng cấp g(x) và f(x) ~ f1(x), g(x) ~ g1(x) thì : f(x) - g(x) ~ f1(x) - g1(x) với ðiều kiện f(x) và g(x) không týõng ðýõng. Ðịnh lý: Giả sử f(x) và g(x) là các VCL khi x -> a. Ta có: (i) Nếu f(x) có cấp lớn hõn g(x) thì: f(x)  g(x) ~ f(x) khi x->a (ii) Nếu f và g cùng cấp nhýng không týõng ðýõng, và: f(x) ~ f1(x), g(x) ~ g1(x) thì : f(x) - g(x) ~ f1(x) - g1(x) Ví dụ: Khi x - > +  , ta có: 3x4 + x + 1 ~ 3x2 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 IV. KHỬ DẠNG VÔ ÐỊNH Nhý ðã biết , ta có thể dùng các quy tắc tính giới hạn trong trýờng hợp không phải dạng vô ðịnh và các quy tắc thay thế týõng ðýõng ðể tính giới hạn . Trong trýờng hợp gặp các dạng vô ðịnh :  -  , 0.  , , và ta có thể phân tích biểu thức ðể ðõn giản hay thực hiện các quy tắc thay thế týõng ðýõng , ðặc biệt là áp dụng việc thế týõng ðýõng cho VCB và VCL ðýợc trình bày trong các ðịnh lý ở mục II ở trên . Ðối với các dạng vô ðịnh 00 , 1 và  0 ta thýờng dùng công thức biến ðổi sau ðây : (u > 0) rồi xét giới hạn của v. lnu Ngoài ra , ðối với các dạng vô ðịnh và ta còn có thể áp dụng quy tắc L’ Hospitale. Quy tắc này sẽ ðýợc trình bày trong phần áp dụng của ðạo hàm trong chýõng sau . Dýới ðây chúng ta sẽ xét một số ví dụ minh họa cho các phýõng pháp khử dạng vô ðịnh nêu trên. Ví dụ 1: Tìm và Khi x -> + , ta có : => Khi x -> + , ta có : ~ Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 => Ví dụ 2: Tìm Khi x-> 0 , ta có : 2x + sin 3x ~ 5x sin2 x ~ x2  2x + sin 3x + sin2 x ~ 5x sin 4x + ln(1+x) ~ 4x + x =5x  sin 4x + ln(1+x) - x2 ~ 5x suy ra : Vậy: Ví dụ 3: Tìm Khi x -> 0, ta có: => Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Vậy: Ví dụ 4: Tính giới hạn Ta có dạng vô ðịnh . Biến ðổi: Khi x   ,ta có: Vì  Suy ra Và Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 V. HÀM SỐ LIÊN TỤC 1 . Ðịnh nghĩa (i) Cho hàm số f(x) xác ðịnh trên một khoảng chứa xo. Ta nói f(x) liên tục tại xo nếu (ii) Cho f (x) xác ðịnh trên với [ xo, xo +  ] với s > 0. Ta nói f (x) liên tục bên phải tại xo nếu: (iii) Cho f(x) xác ðịnh tên ( xo -  , xo ] với s > 0 Ta nói f(x) liên tục bên trái tại xo nếu: Mệnh ðề: f liên tục tại xo <=> f liên tục bên trái và liên tục bên phải tại xo Ðịnh lý: Cho f(x) và g(x) là các hàm số liên tục tại xo. Khi ðó ta có : (i) f(x) + g(x) và f(x) . g (x) cũng liên tục tại xo (ii) liên tục tại xo với ðiều kiện (iii)  f (x)  liên tục tại xo. Ðịnh lý: Nếu hàm số f(x) liên tục tại xo và hàm số g(u) liên tục tại uo = f(xo) thì hàm số hợp h (x) =gof(x) liên tục tại xo. 2.Tính chất của hàm hàm số liên tục trên một ðoạn Ðịnh nghĩa: Hàm số f(x) ðýợc gọi là liên tục trên ðoạn [a,b] nếu: (i) f(x) liên tục trên khỏang (a,b) ,tức là f (x) liên tục tại mọi xo (a,b) (ii) f(x) liên tục bên phải tại a. (iii) f(x) liên tục bên trái tại b. Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Liên quan ðến hàm số liên tục trên một ðoạn , ngýời ta ðã chứng minh ðýợc ðịnh lý sau ðây: Ðịnh lý: Cho hàm số f(x) liên tục trên [a,b]. Khi ðó ta có: (i) f có gía trị nhỏ nhất và gía trị lớn nhất trên [a,b] (ii) Ðặt m = min {f(x)/ x  [a,b]} M = max {f(x) / x  [a,b]} Ta có f ([a,b] ) =[m,M] (iii) Cho một số thực yo tùy ý thuộc [m,M], ta có xo [a,b] sao cho yo=f(xo) Hệ quả: Nếu f liên tục trên [a,b] và: f(a) .f(b) <0 Thì phýõng trình f(x) =0 có nghiệm trong khoảng (a,b). BÀI TẬP CHÝÕNG I 1. Tính các giới hạn sau: (a > b) 2.Tính giới hạn : Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 3.Tính giới hạn : 4.Xác ðịnh a và b sao cho các hàm số sau ðây là liên tục trên IR. Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 5.Chứng minh rằng phýõng trình 2x3 –6x+1=0 Có 3 nghiệm trên ðoạn [-2,2] 6.Chứng minh rằng các phýõng trình sau ðây có nghiệm : 2x2 –5x3-2x-1=0 2x +3x = 6x Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Bài 2 Ðạo hàm và vi phân của một số biến I. KHÁI NIỆM VỀ ÐẠO HÀM 1.Ðịnh nghĩa: Cho hàm số f(x) xác ðịnh trong một khoảng chứa xo. Nếu tỉ số có giới hạn  R khi x  xo thì ta nói f có ðạo hàm tại xo và giá trị của giới hạn trên ðýợc gọi là ðạo hàm của hàm số f tại xo . Ðạo hàm của f tại xo thýờng ðýợc ký hiệu là: f’(xo) Các ký hiệu khác của ðạo hàm : Cho hàm số y = f(x). Ngoài cách ký hiệu ðạo hàm là f’(x) ta còn có một số cách ký hiệu khác nhý sau: y’Hay y’x Ý nghĩa hình học của ðạo hàm : x= xo+h Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 PT là tiếp tuyến tại  Hệ số góc của tiếp tuyến với ðýờng cong là Vậy phýõng trình tiếp tuyến với ðồ thị hàm số y = f (x) tại Mo(xo f(x) là: y-yo = f’(xo) . (x- xo) trong ðó yo =f(xo) 2. Liên hệ giữa ðạo hàm và tính liên tục Ðịnh lý: nếu f(x) liên tục tại xo thì f(x) liên tục tại xo 3. Bảng ðạo hàm thông dụng (1) C’=0 (C là hằng số) (2) ðặc biệt: (3) (sin x)’= cos x (4) (cos x) = -sin x (5) (6) Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) II. CÁC QUY TẮC TÍNH ÐẠO HÀM 1.Ðạo hàm của tổng, hiệu, tích , thýõng Ðịnh lý: Nếu u(x) và v(x) ðều có ðạo hàm theo biến x thì ta có: (u + v)’= u’+ v’ (u.v)’= u’.v’+u.v’ Hệ quả : (u1+u2… … un )’=u’1+u’2+… … … +u’n 2. Ðạo hàm của hàm số hợp Ðịnh lý: Sýu tầm by hoangly85