Tài liệu Toán bồi dưỡng học sinh lớp 5 các bài toán về chu vi diện tích các hình

Toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5 Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CHU VI VÀ DIỆN TÍCH HÌNH VUÔNG, HÌNH THOI, HÌNH CHỮ NHẬT, HÌNH BÌNH HÀNH I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Chu vi: - Chu vi hình vuông (hình thoi) : P = a x 4 (a là cạnh hình vuông, hình thoi) a=P:4 - Chu vi hình chữ nhật (hình bình hành) : P = (a + b) x 2 (a là chiều dài (cạnh dài), b là a = P: 2 - b b=P:2-a chiều rộng (cạnh ngắn) 2. Diện tích: - Diện tích hình vuông: S = a x a (a là cạnh hình vuông). Muốn tìm cạnh HV khi biết diện tích ta dùng phương pháp thử chọn. - Diện tích hình thoi: S = m x n : 2 (m và n là độ dài 2 đường chéo) m=Sx2:n n=Sx2:m - Diện tích hình chữ nhật: S = a x b (a là chiều dài, b là chiều rộng) a=S:b b=S:a - Diện tích hình bình hành: S = a x h (a là cạnh đáy, h là chiều cao) a=S:h h=S:a II. BÀI TẬP THỰC HÀNH Bài 1: An đi chung quanh một khu vườn hình vuông mất 15 phút, mỗi phút đi được 56 m. Tính diện tích khu vườn đó. (Bài 2 trang 66. Rèn luyện và nâng cao kĩ năng giải toán cho HS TH. Tập 4) Giải Chu vi khu vườn hình vuông đó là: 56 x 15 = 840 (m) Cạnh của khu đất đó là: 840 : 4 = 210 (m) Diện tích khu đất đó là: 210 x 210 = 44100 (m2) Đáp số: 44100 (m2) Bài 2. Tính chu vi và diện tích một hình vuông, biết rằng nếu thêm vào một cạnh của hình vuông 5cm và bớt ở cạnh kề với nó 5 cm thì hình vuông trở thành hình chữ nhật có chiều dài gấp 2 lần chiều rộng. (Bài 6 trang 66. RL&NCKN giải toán cho HS Tiểu học. Tập 4) Giải Nguyễn Thị Thu Hương 7 Tiểu học Nghĩa Dân Toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5 5cm Ta có sơ đồ: Cạnh hình vuông: 5cm Cạnh hình vuông: Nhìn vào sơ đồ ta thấy: Nếu thêm vào cạnh này 5 cm và bớt ở cạnh kề với nó đi 5 m thì cạnh đã thêm vào hơn cạnh đã bớt đi là: 5 + 5 = 10(cm) Vậy cạnh hình vuông ban đầu là: 10 : (2 – 1) + 5 = 15 (cm) Chu vi hình vuông là: 15 x 4 = 60 (cm) Diện tích hình vuông là : 15 x 15 = 225 (cm2) Đáp số: 60 cm ; 225 cm2 Bài 3 . Một cái ao hình vuông. Nay người ta mở rộng cái ao về 4 phía, mỗi phía thêm 4m. Vì vậy diện tích cái ao tăng thêm 192m2. Hỏi lúc đầu diện tích ao là bao nhiêu? Bài 8. Trang 81. 10 CĐ bồi dưỡng HSG toán 4+5- tập 2. Giải 1 2 3 Cách 1 : Ta chia diện tích tăng thêm thành 4 hình vuông (1,3,5,7) và 4 hình chữ nhật (2,4,6,8) (như hình vẽ) Diện tích 1 hình vuông là : 4 x 4 = 16 (m2) 2 Diện tích 4 hình vuông là : 16 x 4 = 64 (m ) 4 8 7 6 5 Diện tích một hình chữ nhật là : (192 – 64) : 4 = 32 (m2) Cạnh của cái ao là : 32: 4 = 8 (m) Diện tích cái ao là: 8 x 8 = 64 (cm2) Đáp số: 64 cm2 1 Cách 2: Ta chia diện tích tăng thêm thành 4 hình chữ nhật Diện tích 1 hình chữ nhật là: 192 : 4 = 48 (m2) 4 2 Cạnh ao là: 48 : 4 – 4 = 8 (m) 3 Diện tích cái ao là: 8 x 8 = 64 (cm2) Đáp số: 64 cm2 Cách 3: Giả sử ta mở rộng cái ao về 2 phía, mỗi phía thêm 4 x 2 = 8 (m) (như hình vẽ) 1 Ta chia diện tích tăng thêm thành 3 hình : 1 hình vuông và 2 hình chữ nhật. 3 2 Diện tích hình vuông (2) là: 8 x 8 = 64 (m2) Diện tích 1 hình chữ nhật là: (192 – 64) : 2 = 64 (m2) Nguyễn Thị Thu Hương 8 Tiểu học Nghĩa Dân Toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5 Cạnh của cái ao là: 64 : 8 = 8 (m) Diện tích cái ao là: 8 x 8 = 64 (cm2) Đáp số: 64 cm2 Bài 4. Tính diện tích hình thoi MBND. Biết: ABCD là hình vuông A và hai đường chéo của hình vuông AC = DB = 20dm. B M O M là điểm giữa của AO và N là điểm giữa OC. N (Bài 31 trang 69. RL&NCKN giải toán cho HS Tiểu học. Tập 4) D C Giải: Ta có: hai đường chéo hình vuông bằng nhau và cắt nhau tại điểm giữa của mỗi đường. Do đó: MA = MO = ON = NC = 20 : 4 = 5 (dm) Vậy hình thoi MBND có độ dài đường chéo MN là: 5 x 2 = 10 (dm) Đường chéo BD = 20 (dm) Diện tích hình thoi MBND là: 20 x 10 : 2 = 100 (dm2) Đáp số: 100 dm2 Bài 5. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 480m, chiều dài hơn chiều rộng 22m. Ở chính giữa khu vườn có một cái ao hình vuông có chu vi 100m. Tính diện tích còn lại của khu vườn. (Bài 10 trang 88. RL&NCKN giải toán cho HS Tiểu học. Tập 4) Giải: Nửa chu vi khu vườn là: 480 : 2 = 240 (m) Chiều dài khu vườn là: (240 + 22): 2 = 131 (m) Chiều rộng khu vườn là : 131 – 22 = 109 (m) Diện tích khu vườn là : 109 x 131 = 14279 (m2) Cạnh cái ao hình vuông là : 100 : 4 = 25 (m) Diện tích cái ao là : 25 x 25 = 625 (m2) Diện tích đất còn lại là: 14279 – 625 = 13654 (m2) Đáp số: 13654 (m2) III. BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1. Người ta mở rộng mảnh vườn hình vuông về bên phải thêm 5m nữa để được mảnh vườn hình chữ nhật nên diện tích tăng thêm 35m2. Tính diện tích mảnh vườn hình vuông ban đầu khi chưa mở rộng. Giải Nguyễn Thị Thu Hương 9 Tiểu học Nghĩa Dân Toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5 Cạnh mảnh đất hình vuông ban đầu là: 35 : 5 = 7 (m) Diện tích mảnh đất hình vuông ban đầu là: 7 x 7 = 49 (m2) Đáp số : 49 m2 Bài 2: Một hình chữ nhật có chu vi là 96cm. Nếu tăng chiều rộng thêm 7 cm và bớt chiều dài đi 7cm thì được một hình vuông. Tính diện tích hình chữ nhật đó. Giải Cách 1: Nửa chu vi hình chữ nhật đó là: 96 : 2 = 48 (cm) Khi thêm vào chiều rộng 7cm và bớt chiều dài đi 7cm thì nửa chu vi không đổi. Vậy chu vi hình chữ nhật bằng chu vi hình vuông và bằng 96cm. Vậy cạnh hình vuông là: 96 : 4 = 24 (cm) Chiều dài hình chữ nhật là: 24 + 7 = 31 (cm) Chiều rộng hình chữ nhật là: 24 – 7 = 17 (cm) Diện tích hình chữ nhật là: 17 x 31 = 527 (m2) Đáp số: 527m2 Cách 2: Bốn cạnh hình vuông bằng nhau. Vì vậy chiều dài hơn chiều rộng là: 7 + 7 = 14 (cm) Nửa chu vi hình chữ nhật là: 96 : 2 = 48 (cm) Chiều rộng hình chữ nhật là: (18 – 14) : 2 = 17 (cm) Chiều dài hình chữ nhật là: 17 + 14 = 31 (m) Diện tích hình chữ nhật là: 17 x 31 = 527 (m2) Đáp số: 527m2 Bài 3. Một hình vuông có diện tích 25 cm2. Tính chu vi hình vuông đó. (Bài 4 trang 66. RL&NCKN giải toán cho HS Tiểu học. Tập 4) Giải: Vì diện tích hình vuông bằng số đo 1 cạnh nhân với chính nó. Mà 5 x 5 = 25. Vậy canh hình vuông đó là 5 cm. Chu vi hình vuông đó là: 5 x 4 = 20 (cm) Đáp số: 20 cm Bài 4. Để lát một căn phòng người ta dùng 500 viên gạch hình vuông có chu vi là 80cm. Tính diện tích của nền phòng bằng mét vuông. (Bài 5 trang 66. RL&NCKN giải toán cho HS Tiểu học. Tập 4) Giải: Cạnh của viên gạch hình vuông là: 80 : 4 = 20 (cm) Nguyễn Thị Thu Hương 10 Tiểu học Nghĩa Dân Toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5 Diện tích 1 viên gạch hình vuông là: 20 x 20 = 400 (cm2) Diện tích căn phòng là: 400 x 500 = 200 000 (cm2) 200 000 (cm2) = 20 (m2) Đáp số: 20 (m2) Bài 5. Hai hình vuông có số đo cạnh gấp nhau 3 lần. Hỏi : a) Chu vi của chúng gấp nhau bao nhiêu lần? b) Diện tích của chúng gấp nhau bao nhiêu lần? (Bài 8 trang 66. RL&NCKN giải toán cho HS Tiểu học. Tập 4) Giải: Gọi cạnh hình vuông thứ nhất là a, cạnh hình vuông thứ hai là a x 3 a) Chu vi hình vuông thứ nhất là : a x 4 Chu vi hình vuông thứ hai là: (a x 3) x 4 = (a x 4) x 3 Vậy nếu số đo cạnh của 2 hình vuông gấp nhau 3 lần thì chu vi của chúng gấp nhau 3 lần. b) Diện tích hình vuông thứ nhất là : a x a Diện tích hình vuông thứ hai là : (a x 3) x (a x 3) = a x a x 3 x 3 = a x a x 9. Vậy nếu số đo cạnh của 2 hình vuông gấp nhau 3 lần thì diện tích của chúng gấp nhau 9 lần. Bài 6.Trên một thửa đất hình vuông, người ta đào một cái ao cũng hình vuông. Chu vi mảnh đất hơn chu vi cái ao là 160m. Diện tích đất còn lại là 2800m2. Tính diện tích ao. (Bài 12 trang 66. RL&NCKN giải toán cho HS Tiểu học. Tập 4) Giải: Cạnh mảnh đất hơn cạnh cái ao là: 160 : 4 = 40 (m) Giải sử ta dời cái ao vào một góc vườn (như hình vẽ) Ta chia phần đất còn lại thành 3 hình : ao 3 1 2 S2 = 40 x 40 = 1600 (m2) S1 = S3 = (2800 – 1600) : 2 = 600 (m2) Cạnh ao là: 600 : 40 = 15 (m) Diện tích ao là: 15 x 15 = 225 (m2) Đáp số: 225 (m2) Bài 7 : Người ta ngăn thửa đất hình chữ nhật thành 2 mảnh, một mảnh hình vuông, một mảnh hình chữ nhật. Biết chu vi ban đầu hơn chu vi mảnh đất hình vuông là 28 m. Diện tích của thửa đất ban đầu hơn diện tích hình vuông là 224 m2. Tính diện tích thửa đất ban đầu. Nguyễn Thị Thu Hương 11 Tiểu học Nghĩa Dân Toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5 Giải : Ta có hình vẽ bên (thửa đất hình chữ nhật ABCD được chia thành 2 mảnh: hình vuông AMND và hình chữ nhật MBCN). Nửa chu vi hình ABCD hơn nửa chu vi hình AMND là : 28 : 2 = 14 (m). Vậy MB là 14 m Chiều rộng BC của hình ABCD là : 224 : 14 = 16 (m) Chiều dài AB của hình ABCD là : 16 + 14 = 30 (m) Diện tích thửa đất hình chữ nhật ban đầu là : 30 x 16 = 480 (m2). Đáp số: 480 (m2). Bài 6 : Một mảnh đất hình chữ nhật được chia thành 4 hình chữ nhật nhỏ hơn có diện tích được ghi như hình vẽ. O Bạn có biết diện tích hình chữ nhật còn lại có diện tích là bao nhiêu hay không ? Giải: Hai hình chữ nhật AMOP và MBQO có chiều rộng bằng nhau và có diện tích hình MBQO gấp 3 lần diện tích hình AMOP (24 : 8 = 3 (lần)), do đó chiều dài hình chữ nhật MBQO gấp 3 lần chiều dài hình chữ nhật AMOP (OQ = PO x 3). (1) Hai hình chữ nhật POND và OQCN có chiều rộng bằng nhau và có chiều dài hình OQCN gấp 3 lần chiều dài hình POND (1). Do đó diện tích hình OQCN gấp 3 lần diện tích hình POND. Vậy diện tích hình chữ nhật OQCD là : 16 x 3 = 48 (cm2). Đáp số: 48 (cm2). Nguyễn Thị Thu Hương 12 Tiểu học Nghĩa Dân Toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5 HÌNH TAM GIÁC, HÌNH THANG, HÌNH TRÒN I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Hình tam giác: - Hình tam giác có 3 cạnh, 3 đỉnh. Đỉnh là điểm 2 cạnh tiếp giáp nhau. Cả 3 cạnh đều có thể lấy làm đáy. - Chiều cao của hình tam giác là đoạn thẳng hạ từ đỉnh xuống đắy và vuông góc với đắy. Như vậy mỗi tam giác có 3 chiều cao. - Chu vi tam giác: a + b + c (a, b, c là 3 cạnh của tam giác) - Diện tích tam giác: S = a x h : 2 ( a là cạnh đáy, h là chiều cao tương ứng) Từ công thức tính diện tích ta suy ra : h=Sx2:a a=Sx2:h *Lưu ý: - Hai tam giác có diện tích bằng nhau khi chúng có đáy bằng nhau (hoặc đáy chung), chiều cao bằng nhau (hoặc chung chiều cao). - Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì chiều cao của 2 tam giác ứng với 2 cạnh đáy bằng nhau đó cũng bằng nhau. 2. Hình thang: - Một tứ giác có hai cạnh (đáy lớn, đáy bé) song song với nhau gọi là hình thang. (Hình vuông, hình chữ nhật cũng coi là hình thang đặc biệt) - Đoạn thẳng giữa hai đáy của hình thang và vuông góc với hai đáy là đường cao của hình thang. Mọi chiều cao của hình thang đều bằng nhau. + Các loại hình thang - Hình thang vuông có một cạnh bên vuông góc với hai đáy của hình thang. Hình thang vuông có hai góc vuông. - Hình thang cân có 2 cạnh bên bằng nhau. - Các hình thang không có điều đặc biệt trên gọi là hình thang thường - Diện tích hình thang: S = (a + b) x h : 2 (a là đáy lớn, b là đáy nhỏ, h là chiều cao cùng đơn vị đo) Từ đó suy ra: h = S x 2 : (a + b) a+b=Sx2:h 3. Hình tròn: Nguyễn Thị Thu Hương 13 Tiểu học Nghĩa Dân Toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5 - Chu vi hình tròn: C = d x 3,14 hoặc C = r x 2 x 3,14 ( d là đường kính, r là bán kính hình tròn) - Diện tích hình tròn: S = r x r x 3,14 - Hai hình tròn có bán kính (hoặc đường kính) gấp nhau bao nhiêu lần thì chu vi của chúng cũng gấp nhau bao nhiêu lần. - Hai hình tròn có tỉ số chu vi là k thì tỉ số bán kính (hoặc đường kính) bằng k thì tỉ số diện tích của chúng là k x k II. BÀI TẬP THỰC HÀNH Bài 1 : Cho tam giác ABC có diện tích là 150 cm 2. Nếu kéo dài đáy BC (về phía B) 5 cm thì diện tích sẽ tăng thêm 37,5 cm2 . Tính đáy BC của tam giác. Giải : Cách 1 : Từ A kẻ đường cao AH của ∆ ABC thì AH cũng là đường cao của ∆ ABD A Đường cao AH là : 37,5 x 2 : 5 = 15 (cm) Đáy BC là : 150 x 2 : 15 = 20 (cm) Đáp số 20 cm. Cách 2 : Từ A hạ đường cao AH vuông góc với BC Đường cao AH là đường cao chung của hai tam C H B5cm D giác ABC và ABD . Mà : Tỉ số 2 diện tích tam giác là : S ∆ ABC 150 = =4 S ∆ ABD 37,5 Hai tam giác có tỉ số diện tích là 4 mà chúng có chung đường cao,nên tỉ số 2 đáy cũng là 4. Vậy đáy BC là : 5 x 4 = 20 (cm) Đáp số 20 cm. Bài 2 : Cho tam giác ABC vuông ở A có cạnh AB dài 24 cm, cạnh AC dài 32 cm. Điểm M nằm trên cạnh AC. Từ M kẻ đường song song với cạnh AB cắt BC tại N. Đoạn MN dài 16 cm. Tính đoạn MA. Giải : Nối AN. Ta có tam giác NCA có NM là đường cao vì MN // AB nên MN cũng B CA Diện tích tam giác NCA là: 32 x 16 : 2 = 256 (cm2) K Diện tích tam giác ABC là : 24 x 32 : 2 = 348 (cm2) Diện tích tam giác NAB là: 384 – 256 = 128 (cm2) Chiều cao NK hạ từ N xuống AB là : 128 x 2 : 24 = 10 Nguyễn Thị Thu Hương 14 A N M 2 (cm) 3 Tiểu học Nghĩa Dân C Toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5 Vì MN // AB nên tứ giác MNBA là hình thang vuông. Do vậy MA cũng bằng 10 Đáp số 10 2 cm 3 2 cm 3 Bài 3: Cho hình thang ABCD có diện tích là 30 m2. Kéo dài AB một đoạn BE bằng AB, kéo dài BC một đoạn CG bằng BC, kéo dài CD một đoạn DH bằng CD và kéo dài AD một đoạn AK bằng AD (như hình vẽ). Tính diện tích tứ giác EGHK. Ví dụ 4 trang 70. 10 CĐBDHSG 4,5. Tập 2 Giải Nối G với D, D với B. Ta có: + SDBC = SDCG ( có đáy BC = CG và chung chiều cao hạ từ D xuống BG) + SGDC = SGDH ( có đáy HD = DC và chung chiều cao hạ từ G xuống HC) Vậy SGHC = 2 x SDBC - Nối B với K. Ta có: + SBKA = SBAD ( có đáy AK = AD và chung chiều cao hạ từ B xuống KD) + SKAB = SKBE ( có đáy AB = BE và chung chiều cao hạ từ K xuống AE) Vậy SKAE = 2 x SABD Mà : SABD + SDBC = SABCD = 30 cm2 K E B Suy ra : SKAE + SGHC = 2 x SABD + 2 x SDBC = 2 x SABCD A 30 x 2 = 60 (cm2) C Lập luận tương tự ta có: D G 2 SHKD +SEBG = 2 x SABCD = 2 x 30 = 60 (m ) Vậy diện tích tứ giác KEGH là : H 60 + 60 + 30 = 150 (m2) Đáp số : 150 (m2) Bài 4 :Cho hình thang ABCD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I. Tìm các cặp tam A giác có diện tích bằng nhau. Giải: Ta có 3 cặp tam giác có diện tích bằng nhau là: B I D C + SADB = SACB (vì cùng chung đáy AB và chiều cao hạ từ đỉnh C xuống AB bằng chiều cao hạ từ đỉnh D xuống AB) + SDAC = SDBC (vì cùng chung đáy DC và chiều cao hạ từ đỉnh A xuống DC bằng chiều cao hạ từ đỉnh B xuống DC) Nguyễn Thị Thu Hương 15 Tiểu học Nghĩa Dân Toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5 + SAID = SIBC (Vì SDAC = SDBC , mà DAC và DBC co phần chung là S IDC, do đó hai phần còn lại là AID và BIC bằng nhau) Bài 5 : Tìm diện tích hình vuông ABCD biết diện tích hình tròn là 50,24 cm2. Giải: Gọi r là bán kính của hình tròn Diện tích của hình tròn là : r x r x 3,14 = 50,24 cm2. A B Suy ra: r x r = 50,24 : 3,14 = 16 (cm) Mà ta thấy 4 x 4 = 16. Vậy r = 4 cm Đường chéo BD = AC là : 4 x 2 = 8 (cm) D C Mà hình vuông cũng là hình thoi đặc biệt (có 4 góc vuông). Vậy diện tích hình vuông là : 8 x 8 : 2 = 32(cm2) Đáp số : 32 cm2 Bài 6. Tính tổng diện tích hai hình trăng khuyết (phần tô màu) ở hình bên. Biết cạnh AC dài 3cm, cạnh AB dài 4cm và cạnh BC dài 5cm. Tam giác ABC có góc A là góc vuông. Phân tích : Tổng diện tích hai hình trăng khuyết bằng tổng diện tích tam giác ABC, diện tích hình tròn đường kính AB, 1 diện tích hình tròn đường kính AC trừ đi diện tích 2 1 hình tròn đường kính CB. 2 Giải : Diện tích 1 hình tròn đường kính CB là : 5 x 5 x 3,14 : 4 : 2 = 9,8125 (cm2). 2 Diện tích tam giác ABC là : 3 x 4 : 2 = 6 (cm2). Diện tích 1 hình tròn đường kính AB là : 4 x 4 x 3,14 : 4 : 2 = 6,28 (cm2). 2 Diện tích 1 hình tròn đường kính AC là : 3 x 3 x 3,14 : 4 : 2 = 3,5325 (cm2). 2 Tổng diện tích hai hình trăng khuyết là : (6 + 6,28 + 3,5325) – 9,8125 = 6 (cm2). Bài 7 : Cho hai hình vuông ABCD và MNPQ như trong hình vẽ. Biết BD = 12 cm. Hãy tính diện tích phần gạch chéo. Nguyễn Thị Thu Hương 1 2 16 Tiểu học Nghĩa Dân Toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5 Giải : Diện tích tam giác ABD là :(12 x (12 : 2))/2 = 36 (cm2) Diện tích hình vuông ABCD là : 36 x 2 = 72 (cm2) Diện tích hình vuông AEOK là : 72 : 4 = 18 (cm2) Do đó : OE x OK = 18 (cm2) Hay r x r = 18 (cm2) Diện tích hình tròn tâm O là : 18 x 3,14 = 56,92 (cm2) Diện tích tam giác MON = r x r : 2 = 18 : 2 = 9 (cm2) Diện tích hình vuông MNPQ là : 9 x 4 = 36 (cm2) Vậy diện tích phần gạch chéo là : 56,52 - 36 = 20,52 (cm2) BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1. Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy điểm D sao cho DB = DC. Hãy so sánh diện tích của các cặp hình tam giác sau : a) ABD và ADC. B) ABD và ABC Bài 15 trang 116. RL&NCKN giải toán cho HS Tiểu học. Tập 4 A Giải: SCAD = SDAB (vì có đáy CD = DB và chung chiều cao hạ từA xuống CB) SABC = 2 x SABD (Vì có đáy CB = 2 x DB và chung chiều cao B C hạ từ đỉnh A xuống đáy CB) D Bài 2 : Tam giác ABC có diện tích là 90 cm 2, D là điểm chính giữa AB. Trên AC lấy điểm E sao cho AE gấp đôi EC. Tính diện tích AED. Giải : A 1 + Nối DC ta có: SCAD = SCAB = 90 : 2 = 45 cm2) 2 D E (vì cùng chiều cao hạ từ C xuống AB và đáy AB = 2 x DA 2 45x 2 + Nối ED, ta có: SDAE = 3 SADC = = 30 (cm2) 3 (Vì cùng chiều cao hạ từ D xuống AC và đáy AE = C 2 AC) 3 Đáp số SAED = 30 cm2 Nguyễn Thị Thu Hương 17 Tiểu học Nghĩa Dân B Toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5 Bài 3 : Cho tam giác ABC, có BC = 60 cm, đường cao AH = 30 cm. Trên AB lấy điểm E và D sao cho AE = ED = DB. Trên AC lấy điểm G và K sao cho AG = GK = KC. Tính diện tích hình DEGK? A Giải : Ta có : SABC = 60 x 30 : 2 = 900 (cm2) G Nối CD ta có : + SCDA = 2 SBAC 900 : 3 x 2 = 600 (cm2) 3 E K (Vì cùng chiều cao hạ từ C xuống AB và D B C 2 3 đáy DA = AB) Nối GD ta có : SAGD = SGDK = SKDC = 1 3 SADC = 600 : 3 = 200 (cm2) (vì cùng chiều cao hạ từ D xuống AH. Đáy GA = GK = KC) Ta lại có: SAGE = SEGD = 1 2 SAGD = 200: 2 = 100(cm2) SDEGK = SEGD + SGDK = 200 + 100 = 300 (cm2) Đáp số: 300 (cm2) Bài 4 : Cho tam giác MNP, F là điểm chính giữa cạnh NP. E là điểm chính giữa cạnh MN. Hai đoạn MF và PE cắt nhau tại I. Hãy tính diện tích tam giác IMN? Biết SMNP = 180 cm2 . Giải : Nối NI, ta có : 1. - SPME = SPNE (Vì có cùng chiều cao hạ từ P xuống MN, đáy EM = EN) - SIME = SINE (vì có cùng chiều cao hạ từ I xuống MN, đáy EM = EN) - Do đó SIMP = SINP (Hiệu hai diện tích bằng nhau) 2. SMNE = SPMF (Vì có cùng chiều cao hạ từ M xuống NP, đáy FN = FP ) mà SINF = SIFP (vì có cùng chiều cao hạ từ I xuống NP, đáy FN = FP) Do đó SIMN = SIMP (Giải thích như trên). Kết hợp (1) và (2) ta có : SIMP = SINP = SIMN = SABC : 3 = Nguyễn Thị Thu Hương 1 SABC = 180 : 3 = 60 (cm2) 3 18 Tiểu học Nghĩa Dân Toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5 Bài 5 : Cho tam giác ABC, trên AB lấy điểm D, E sao cho AD = DE = EB. Trên AC lấy điểm H, K sao cho AH = HK = KC. Trên BC lấy điểm M, N sao cho BM = MN = NC. Tính diện tích DEMNKH? Biết diện tích tam giác ABC là 270 cm2. Giải + SABC – (S1 + S2 + S3) = SDEMNKH - Nối B với K, ta tính được : SCKB = 1 1 SCAB (Vì cùng chiều cao hạ từ B xuống AC, 3 3 1 đáy CK = AC). 3 Hay S3 = 2 1 SABC . 9 + Tương tự ta tính : S1 = S2 = S3 = 1 SABC 9 và bằng 270 : 9 = 30 (cm2) + Từ đó ta tính được : SDEMNKH = 180 (cm2) Đáp số 180 cm2 Bài 6 : Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB là 27 cm, đáy lớn CD là 48 cm. Nếu kéo dài đáy nhỏ thêm 5 cm thì diện tích của hình tăng 40 cm2. Tính diện tích hình thang đã cho. Giải : cách1 ∆ CBE có : Đáy BE = 5 cm, chiều cao là chiều cao của hình thang ABCD . Vậy chiều cao của hình thang ABCD là : 40 x 2 : 5 = 16 (cm) Diện tích hình thang ABCD là : (27 + 48) x 16 : 2 = 600 (cm2) Cách 2 : Tổng hai đáy hình thang gấp đáy BE là : (27 + 48) : 5 = 15 (lần) Hai hình (thang và tam giác) có chiều cao chung mà diện tích hình thang gấp 15 lần diện tích ∆ BCE Vậy : Diện tích tam giác BCE là : 40 x 15 = 600 (cm2) Bài 7 : Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD là 20 cm, đáy nhỏ AB là 15 cm. M là một điểm trên AB cách B là 5 cm. Nối M với C. Tính diện tích hình thang mới AMCD. Biết diện tích tam giác MBC là 280 cm2. Nguyễn Thị Thu Hương 19 Tiểu học Nghĩa Dân Toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5 Giải : Cách 1: Đáy AM là : 15 – 5 = 10 (cm) Tổng hai đáy AM và CD là : 10 + 20 = 30 (cm) Chiều cao hình thang ABCD là : 280 x 2 : 5 = 112 (cm) Diện tích hình thang AMCD là : 30 x 112 : 2 = 1680 (cm2) Cách 2 Nối A với C Ta có đoạn AM là : 15 – 5 = 10 (cm) Diện tích tam giác ACM gấp 2 lần điện tích tam giác MCB . Diện tích tam giác ACM = 280 x 2 = 560 (cm 2) (vì AM gấp BM hai lần và đường cao hai tam giác bằng nhau) ∆ DAC và ∆ MCB có : DC gấp MB là 20 : 5 = 4 ( lần) Đường cao chung nên diện tích tam giác DAC gấp diện tích tam giác MCB 4 lần. Diện tích tam giác ADC là : 280 x 4 = 1120 (cm2) Vậy diện tích hình thang AMCD là: 1120 + 560 = 1680 (cm2) Bài 8 : Một thửa ruộng hình thang có diện tích là 361,8 m 2. Đáy lớn hơn đáy nhỏ là 13,5 m. Hãy tính độ dài của mỗi đáy, biết rằng nếu tăng đáy lớn thêm 5,6 m thì diện tích thửa ruộng sẽ tăng thêm 3,6 m2. Giải : Chiều cao của hình thang là : 33,6 x 2 : 5,6 = 12 (m) Tổng hai đáy hình thang là : 361,8 x2 : 12 = 60,3 (m) Đáy nhỏ của hình thang là : (60,3 – 13,5) : 2 = 23,4 (m) Đáy lớn của hình thang là : 23,4 + 13,5 = 36,9 (m). Đáp số: 23,4m và 36,9 m Bài 9 : Một hình thang có chiều cao là 10 m, hiệu 2 đáy là 22 m. Kéo dài đáy nhỏ bằng đáy lớn để hình đã cho thành hình chữ nhật có chiều dài bằng đáy lớn, chiều rộng bằng chiều cao hình thang. Diện tích được mở rộng thêm bằng 1/7 diện tích hình thang cũ. Phần mở rộng về phía tay phải có diện tích là 90 m2. Tính đáy lớn của hình thang ban đầu. Giải : E Nguyễn Thị Thu Hương 20 A B Tiểu học Nghĩa Dân G Toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5 Đáy BG của ∆ CBG là : 90 x 2 : 10 = 18 (m) 90 cm2 Đáy EA của ∆ DAE là : 22 – 18 = 4 (m) Diện tích phần mở rộng bên trái là : 4 x 10 : 2 = 20 (cm2) 20 + 90 = 110 (m2) Diện tích 2 phần mở rộng là : D C Diện tích hình thang ABCD là : 110 x 7 = 770 (m2) Tổng hai đáy AB và CD là : 770 x 2 : 10 = 154 (m) Đáy CD là : (154 + 22) : 2 = 88 (m) Đáp số : 88 m Bài 10 : Cho hình thang vuông ABCD, có đáy nhỏ AB là 40 m, đáy lớn CD là 60 cm. Lấy E trên AD, G trên BC sao cho EG chia hình thang ABCD làm hai hình thang có đường cao AE là 30 m và ED là 10 m. Tính diện tích hình thangABGE và EGCD. Giải : Nối G với A, G với D Diện tích ABCD là : (40 + 60) x 40 = 2000 (m2) 2 Diện tích ∆ GBA là : (40 x 30) : 2 = 600 (m2) Diện tich ∆ GDC là : 60 x 10 : 2 = 300 (m2) Diện tích ∆ AGD là : 2000 – (600+300) = 1100 (m2) Vậy EG là: 1100 x 2 : 40 = 55 (m ) Diện tích ABGE là : (55 + 40 ) x 30 : 2 = 1425 (m2) Diện tích EGCD là: ( 60 + 55) x 10 : 2 = 575 (m2) Bài 11. Hình vuông ABCD là có chu vi = 20 cm. Tính diện tích phần tô màu. Giải : Dựa vào hình vẽ, ta thấy: AB = 20:4 = 5 (Cm) Diện hỡnh vuụng S1= AB xAB = 5 x 5 = 25 ( Cm2 ) Đường kính hình tròn (d) bằng cạnh của hình vuông: d = AB = 5 (Cm)  r = 2,5 cm  diện tích hình tròn là : Nguyễn Thị Thu Hương 21 Tiểu học Nghĩa Dân Toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5 S 2 = 2,5 x2.5 x 3,14 = 19,62(cm2). Vậy Diện tích phần tô màu là S = S1 - S2 = 25 – 19,62 = 5,38 ( cm2.) Bài 12. ABCD là hình vuông có chu vi là 20 cm (Hình 1b). Từ 4 đỉnh A,B,C,D lấy làm tâm vẽ 4 cung tròn có bán kính r = 1/2 cạnh AB Tính diện tích phần đã tô màu của hình vuông ABCD. Hướng giải Dễ dàng chứng tỏ được rằng diện tích 4 hình quạt trong hình vuông = diện tích 1 hình tròn r = 1/2 AB  diện tích phần đã tô màu của hình 1b = diện tích phần đã tô màu của 1a = 5,38 ( cm2.) Bài 13. Cho ABCD là hình vuông có cạnh là 10cm. Tính diện tích hình “chiếc lá” (phần tô màu) có trong hình vuông. Biết hình “chiếc lá” tạo bởi một phần tư hình tròn tâm A, bán kính AB và một phần tư hình tròn tâm C, bán kính CB. Phân tích : Diện tích hình “chiếc lá” bằng diện tích hình vuông ABCD trừ đi diện tích hình (1) và (2). Giải : Diện tích một phần tư hình tròn tâm C, bán kính CB là : 10 x 10 x 3,14 : 4 = 78,5 (cm2). Diện tích hình (1) là : 10 x 10 – 78,5 = 21,5 (cm2). Tương tự ta tính được diện tích hình (2) là 21,5 (cm2). Diện tích hình “chiếc lá” là : 10 x 10 – (21,5 + 21,5) = 57 (cm2). Nguyễn Thị Thu Hương 22 Tiểu học Nghĩa Dân Toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5 Bài 14. Trong hình bên, hình vuông có cạnh dài 14cm. Trên mỗi cạnh có dựng một nửa hình tròn bán kính 7cm với tâm là trung điểm của cạnh đó. Tìm diện tích miền được tô trên hình đó. (Đề thi Olympic toán Đông Nam Á, năm 2003) Phân tích : Diện tích miền được tô màu bằng diện tích hình vuông trừ đi tổng diện tích các hình (1), (2), (3) và (4). Theo bài toán , ta có : Diện tích hình (1) và (2) là : 14 x 14 – 7 x 7 x 3,14 = 42,14 (cm2). Diện tích hình (3) và (4) là : 14 x 14 – 7 x 7 x 3,14 = 42,14 (cm2). Diện tích miền được tô màu là : 14 x 14 – (42,14 + 42,14) = 111,72 (cm2) ĐS. Bài 15. Tính diện tích phần tô màu ở hình 4 bên. Biết đường chéo AC của hình vuông ABCD là 10cm. Phân tích : Diện tích phần tô màu bằng diện tích hình tròn có bán kính bằng 1/2 đường chéo của hình vuông trừ đi diện tích hình vuông. Giải : Diện tích hình vuông ABCD là :10 x 5 = 50 (cm2). Diện tích hình tròn là : 5 x 5 x 3,14 = 78,5 (cm2). Diện tích phần tô màu là : 78,5 – 50 = 28,5 (cm2). CÁC BÀI TOÁN KHÁC Hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành Bài 1 : Một hình chữ nhật có chu vi là 100cm. Nếu mở rộng chiều dài thêm 5m thì diện 5m tích tăng thêm 100cm2. Tính diện tích hình chữ nhật đó. 100 m2 Nguyễn Thị Thu Hương Bài 1 trang 47. các bài toán HH giải bằng số học ở TH Giải 23 Tiểu học Nghĩa Dân Toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5 Nửa chu vi mảnh đất là : 100 : 2 = 50 (m) Chiều rộng mảnh đất là : 100 : 5 = 20 (m) Chiều dài mảnh đất là : 50 – 20 = 30 (m) Diện tích mảnh đất đó là : 20 x 30 = 600 (m2) Đáp số : 600 m2 Hình tam giác Bài 1 : Một thửa đất hình tam giác có đáy dài 21m. Nếu mở rộng đáy thêm 3m thì diện tích tăng thêm 24m2. Tính diện tích thửa đất đó. Bài 3 trang 47. các bài toán HH giải bằng số học ở TH A Giải Cách 1 : Diện tích tăng thêm là diện tích tam giác ACD Tam giác ABC và ACD có chung chiều cao hạ từ A xuống BC Chiều cao tam giác ABC chính là chiều cao ACD 24m2 B C Vậy : Chiều cao của thửa đất hình tam giác đó là 3m D 24 x 2 : 3 = 16 (m) Diện tích thửa đất hình tam giác đó là : 16 x 21 : 2 = 168 (m2) Đáp số : 168 m2 Cách 2 : Ta thấy phần đất tăng thêm cũng có hình tam giác và có chung chiều cao với thửa đất. Vậy hai hình tam giác có cùng chiều cao thì diện tích tỉ lệ thuận với đáy. Đáy thửa đất s với đáy phần mở rộng thêm gấp số lần là : 21 : 3 = 7 (lần) Diện tích thửa đất là : 24 x 7 = 168 (m2) Đáp số : 168 m2 Bài 2 : Một hình tam giác vuông ABC vuông góc ở A. Cạnh AB là 12cm, cạnh AC là 18cm. M là một điểm trên cạnh AB và cách A là 4cm. Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BBC tại N.Tính đoạn MN. Bài 4 trang 47. các bài toán HH giải bằng số học ở TH 12cm Giải M N A H Vì MN // AC nên MN vuông góc với AB . C Nguyễn Thị Thu Hương 18cm Tứ giác MNCA là hình thang nên NH cũng là 4cm. 24 Tiểu học Nghĩa Dân Toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5 Diện tích tam giác NCA là : 18 x 4 : 2 = 36 (cm2) Diện tích hình tam giác ABC là : 18 x 12 : 2 = 108 (cm2) Diện tích tam giác NAB là : 108 – 36 = 72 (cm2) Đoạn MN dài là : 72 x 2 : 12 = 12 (cm) Đáp số : 12 cm Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông ở B. Cạnh BA dài 24cm, cạnh BC dài 20 cm. M là một điểm trên cạnh AB. Từ M kẻ đường vuông góc với AB cắt AC tại N. Đoạn NM dài 15cm. Tính đoạn MB. Bài 5 trang 47. các bài toán HH giải bằng số học ở TH Giải A Diện tích tam giác ABC là : 24 x 20 : 2 = 240 (cm2) 24cm Diện tích tam giác ABN là : 15 x 24 : 2 = 180 (cm2) M 15cm B N H Diện tích tam giác NBC là : 240 – 180 = 60 (cm2) C 20cm Từ N hạ đường cao NH. Vì NH và AB cùng vuông góc với BC nên NH//AB. NM và BC cùng vuông góc với AB nên MN//BC Suy ra MB = NH. Vậy đoạn MB là : 60 x 2 : 20 = 6 (cm) Đáp số : 6cm Bài 4 : Một thửa ruộng hình thang vuông có tổng hai đáy là 72,5m. Người ta mở rộng thêm đáy nhỏ 7,5m để được hình chữ nhật. Vì vậy diện tích tăng thêm 56,25m 2. Tính diện tích thửa đất hình thang đó. Nguyễn Thị Thu Hương 25 Tiểu học Nghĩa Dân Toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5 Bài 6 trang 47. các bài toán HH giải bằng số học ở TH 7,5m Giải Cách 1 : Chiều cao thửa đất là : 56,25 x 2 : 7,5 = 15 (m) Diện tích thửa đất là : 72,5 x 5 : 2 = 543,75 (m2) Đáp số : 543,75 m2 Cách 2 : Tổng hai đáy gấp đáy mở rộng số lần là : 72,5 145 29   7,5 15 3 (lần) Diện tích thửa đất hình thang là : 56,25 x 29 : 3 = 543,75 (m2) Đáp số : 543,75 m2 Bài 5 : Nguyễn Thị Thu Hương 26 Tiểu học Nghĩa Dân