Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông
www.MATHVN.com
Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
TÓM TẮT CÔNG THỨC TOÁN CẤP 3
http://toilaquantri.blogspot.com | BLOG kiến thức
cho mọi người
A. ĐẠI SỐ.
1. Tam thức bậc hai.
b
Giả sử f (x ) ax 2 bx c a 0; , ; ; S
a
a 0
f (x ) 0 x
0
x1 x 2
0
x x af ( ) 0
1
2
a 0
f (x ) 0 x
0
af ( ) 0
x1 x 2
af ( ) 0
là nghiệm của f (x ) f ( ) 0
af ( ) 0
x1 x 2
af ( ) 0
x1 x 2 af ( ) 0
af ( ) 0
x1 x 2
af ( ) 0
0
x1 x 2 af ( ) 0
S
0
2
x1 x 2
x x f ( ).f ( ) 0
1
2
0
af ( ) 0
x1 x 2 af ( ) 0
S
0
2
S
0
2
0
x1 x 2 af ( ) 0
S
0
2
2. Bất đẳng thức Cô si:
Với hai số a 0, b 0 thì
a b
ab . Dấu '' '' xảy ra a b
2
Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung
DeThiThuDaiHoc.com
1
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông
www.MATHVN.com
Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
3. Phương trình – bất phương trình chứa trị tuyệt đối
A B A B
A B A2 B 2
B 0
A B
2
A B
A B B A B
A B
A B
A B
4. Phương trình – bất phương trình chứa căn
A 0 B 0
A B
A B
A 0
A B B 0
A B 2
B 0
A B
2
A B
A 0
A B
A B
B 0
B 0
A B
2
A 0
A B
B. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC THƯỜNG .
1. Định lý hàm số Cosin:
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
b 2 a 2 c 2 2ac cos B
c 2 a 2 b 2 2ab cosC
2. Định lý hàm số Sin:
a
b
c
2R
sin A sin B sinC
Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung
DeThiThuDaiHoc.com
2
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông
www.MATHVN.com
Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
3. Công thức tính diện tích tam giac:
1
1
1
S aha bhb chc
2
2
2
S
1
1
1
S ab sinC ac sin B bc sin A
2
2
2
abc
4R
S p p a p b p c
S p.r
C. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ .
I.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Để giải một hệ phương trình đại số ta thường dùng phương pháp cộng hay phương pháp thế. Bên cạnh đó
ta còn có một số loại hệ phương trình đặc biệt.
II. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT.
1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
a1x b1y c1
(*)
Dạng:
a 2x b2y c 2
Cách giải: Công thức Crammer
a1 b1
c1 b1
a1 c1
Đặt D
; Dx
; Dy
a 2 b2
c 2 b2
a 2 c2
Dx
x D
- Nếu D 0 : hệ (*) có nghiệm duy nhất
y Dy
D
(*)
vô
nghiệm.
- Nếu D 0 và Dx 0 hay Dy 0 : hệ
- Nếu D Dx Dy 0 : hệ (*) có hai trường hợp xảy ra: hoặc vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.
2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI MỘT.
f (x , y ) 0
Dạng:
(*) trong đó khi hoán vị vai trò của x và y cho nhau, từng phương trình của
g
(
x
,
y
)
0
hệ không thay đổi.
Cách giải:
Đặt S x y ; P xy
Giải tìm S, P. Suy ra x, y là nghiệm của phương trình X 2 SX P 0
Điều kiện để phương trình trên có nghiệm là S 2 4P 0
Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung
DeThiThuDaiHoc.com
3
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông
www.MATHVN.com
Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI HAI.
(1)
f (x , y ) 0
Dạng:
(*) trong đó khi hoán vị vai trò của x và y cho nhau,thì phương
f
(
y
,
x
)
0
(2)
trình (1) trở thành phương trình (2) và ngược lại.
Cách giải: Có 2 cách
f (x , y ) f (y , x ) 0
Cách 1:
f (y , x ) 0
f (x , y ) f (y , x ) 0
Cách 2:
f (x , y ) f (y , x ) 0
4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP .
Dạng: Hệ phương trình đẳng cấp là hệ phương trình mà cấp của tất cả đơn thức trong hệ đều
bằng nhau.
Cách giải:
- Xét x 0 , thế vào hệ tìm y.
- Xét x 0 , đặt y tx , thế vào hệ tìm t, sau đó suy ra x và y.
D. LƯỢNG GIÁC.
I.
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC.
1. Các cung liên quan đặc biệt
1.1 Hai cung đối nhau: ( và - )
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot
1.2 Hai cung bù nhau: ( và )
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
)
2
cos sin
2
1.3 Hai cung phụ nhau: ( và
sin cos
2
tan cot
cot tan
2
2
1.4 Hai cung hơn, kém : ( và )
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
1.5 Cung hơn kém :
2
cos x sin x ; sin x cos x ;
2
2
Ghi nhớ: ‘ cos đối; sin bù; phụ chéo; hơn, kém tan, cot ‘.
Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung
DeThiThuDaiHoc.com
4
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông
www.MATHVN.com
Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
2. Các công thức lượng giác cơ bản
sin 2 x cos 2 x 1
1
1 cot 2 x
2
sin x
sin x
tan x
cos x
3. Công thức cộng
1
1 tan 2 x
cos 2 x
tan x .cot x 1
cot x
cos x
sin x
sin(a b ) sin a .cos b cos a .sin b
cos(a b ) cos a .cos b sin a .sin b
tan(a b )
tan a tan b
1 tan a .tan b
4. Công thức nhân
4.1 Công thức nhân đôi
sin 2a 2sin a cos a
cos 2a cos 2 a sin 2 a 2 cos 2 a 1 1 2sin 2 a
2 t ana
1 tan 2 a
4.2 Công thức nhân ba
sin 3a 3sin a 4sin 3 a
t an2a
cos 3a 4 cos3 a 3cos a
t an3a
3 tan a tan 3 a
1 3 tan 2 a
5. Công thức hạ bậc
1 cos 2a
sin 2 a
2
3sin a s in3a
sin 3 a
4
1 cos 2a
2
3cos a cos 3a
cos3 a
4
cos 2 a
6. Công thức biến đổi tổng thành tích
a b
a b
cos a cos b 2 cos
cos
2
2
a b
a b
cos a cos b 2sin
sin
2
2
a b
a b
sin a sin b 2sin
cos
2
2
a b
a b
sin a sin b 2 cos
sin
2
2
Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung
DeThiThuDaiHoc.com
5
www.MATHVN.com
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông
Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
7. Công thức biến đổi tích thành tổng
1
cos a .cos b cos(a b ) cos(a b )
2
1
sin a .sin b cos(a b ) cos(a b )
2
1
sin a .cos b sin(a b ) sin(a b )
2
II.
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Kiến thức cơ bản
u v k 2
sin u sin v
u v k 2
u v k 2
cos u cos v
u v k 2
tan u tan v u v k 2
cot u cot v u v k 2
Trường hợp đặc biệt:
sin u 0 u k
k 2
2
sin u 1 u k 2
2
sin u 1 u
cos u 0 u
k
2
cos u 1 u k 2
cos u 1 u k 2
DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Kiến thức cơ bản
Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:
at 2 bt c 0 (1) trong đó t là một tr ong các hàm số: sinu; cosu; tanu; cotu.
Cách giải: Đặt t = sinu; cosu; tanu; cotu.
Chú ý: sin u ; cos u 1
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN u VÀ COSu
Kiến thức cơ bản
Dạng : a sin u b cos u c
(1) trong ñoù a 2 b 2 0
Điều kiện có nghiệm: a 2 b 2 c 2
Caùch giaûi:
Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung
DeThiThuDaiHoc.com
6
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông
www.MATHVN.com
Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
Chia hai vế của PT cho a 2 b 2 ,
a
b
c
(1)
sin u
cos u
2
2
2
2
2
a b
a b
a b2
sin u .cos cos u .sin sin
sin(u ) sin
DẠNG 4. PHƯƠNG TR ÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI THEO SINU VÀ COSU
Kiến thức cơ bản
Dạng tổng quát:
a sin 2 u b sin u cos u c cos 2 u d (2)
Cách giải:
k có thỏa phương trình (2) không ?
2
B2: Xét cos u 0 . Chia 2 vế phương trình (2) cho cos 2 u . Ta được phương trình mới dạng:
a tan 2 u b tan u c 0 .
B1: Xét cos u 0 . Kiểm tra u
*Chú ý: Nếu phương trình lượng giác có bậc cùng chẳn hoặc cùng lẻ theo sinu và cosu thì ta
cũng giải bẳng phương pháp trên.
DẠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PHẢN XỨNG
Dạng tổng quát:
a sin u cos u b sin u cos u c 0 (3)
Cách giải:
Đặt t = sin x cos x 2 sin(x ) (*)
4
2
t 1
sin x cos x
.
2
(Điều kiện :
t 2)
Thế vào (3) ta được phương trình bậc hai theo t.
Một số công thức quan trọng
sin u cos u 2 sin u 2 cos u
4
4
sin u cos u 2 sin u 2 cos u
4
4
1 s in2x sin x cos x
Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung
2
DeThiThuDaiHoc.com
7
www.MATHVN.com
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông
Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
E. CÔNG THỨC ĐẠO HÀM .
1. Quy tắc cơ bản.
c ’ 0
u .v
u
v u ' v '
'
u u 'v v 'u
v2
v
'
'
u 'v v 'u
2. Bảng công thức tính đạo hàm.
k .x
'
k .u
k
'
k .u '
n
n 1
(x ) ' n .x
n
n 1
(u ) ' n .u
.(u ) '
1
1
( )' 2
x
x
1
( x )'
2 x
1
(u ) '
( )' 2
u
u
u'
( u )'
2 u
sin x cos x
'
cos x sin x
sin u cos u. u
'
'
cos u sin u. u
'
'
'
(e x ) ' e x
u'
cos 2 u
u'
(cot u ) ' (1 cot 2 u ).u ' 2
sin u
u
u
(e ) ' e .u '
(a x ) ' a x .ln a
1
(ln x ) '
x
1
(loga x ) '
x .ln a
(a u ) ' a u .ln a .u '
u'
(ln u ) '
u
u'
(loga u ) '
u .ln a
(tan x ) ' 1 tan 2 x
1
cos 2 x
(cot x ) ' (1 cot 2 x )
(tan u ) ' (1 tan 2 u ).u '
1
sin 2 x
*Đặc biệt :
a b
c d
ax b
y
y'
cx d
(cx d ) 2
a1 b1
y
x2 2
a1 c1
x
b1 c1
a b
a 2 c2
b2 c 2
a1x 2 b1x c1
y' 2 2
2
2
2
a 2x b2x c 2
(a 2x b2x c 2 )
Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung
DeThiThuDaiHoc.com
8
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông
www.MATHVN.com
Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
F. CÔNG THỨC MŨ – LOGARIT.
1.
CÔNG THỨC MŨ
a a.a
...
a
2.
STT
n
CÔNG THỨC LOGARIT
STT
1
loga 1 0
a 1 a a
2
loga a 1
3.
a 0 1 a 0
3
loga a M M
4.
a n
1
an
4
a loga N N
5.
a n n am
5
loga (N 1.N 2 ) loga N 1 loga N 2
6.
a
6
loga (
7.
a .a a
7
loga N .loga N
8.
am
a m n
n
a
8
loga N 2 2.loga N
(a m )n (a n )m a m .n
9
9.
loga N loga b.logb N
logb N
n thua so
m
m
n
1
m
an
m
n
1
n
am
m n
10.
(a .b )n a n .b n
10
11.
a
an
( )n n
b
b
11
12.
a M N M loga N
12
13
Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung
N1
) loga N 1 loga N 2
N2
loga N
loga b
1
loga b
logb a
1
loga N loga N
log c
log a
a b =c b
DeThiThuDaiHoc.com
9
www.MATHVN.com
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông
Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
G. CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM .
Nguyên hàm của những hàm số thường
gặp
1. dx x C
Nguyên hàm của những hàm số thường
gặp
1
1
1
13. n dx
n 1 c
x
n 1 x
1
14.
dx x c
2 x
1
15. f(ax + b)dx = F(ax + b) + C
a
16.
2. kdx kx C
3. x ndx
4.
x n 1
C n 1
n 1
1
x dx ln x C x 0
1
1
x 2dx x C
1
1
C
6. n dx
x
n 1 x n 1
7. e xdx e x C
ax
C 0 a 1
ln a
9. cos xdx sin x C
8. a xdx
10. sin xdx cos x C
1
dx (1 tan 2 x )dx tan x C
2
cos x
1
12. 2 dx (1 cot 2 x )dx cot x C
sin x
11.
Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung
1 ax b
ax b dx a 1 C 1
1
1
17.
dx ln ax b C x 0
ax b
a
1
18. e ax bdx e ax b C
a
1
19. cos ax b dx sin ax b C
a
1
20. sin ax b dx cos ax b C
a
1
1
dx tan ax b C
21.
2
cos ax b
a
1
1
dx cot ax b C
22. 2
sin ax b
a
5.
DeThiThuDaiHoc.com
1
10
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông
www.MATHVN.com
Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
H. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.
Cho vectơ
u x ; y ; z
và hai điểm A x A ; yA ; zA
; v x '; y '; z '
; B x B ; yB ; z B .
u v x x '; y y '; z z '
2. k .u kx ; ky ; kz
1.
3. Ñieàu kieän baèng nhau cuûa hai vectô:
x x '
u v y y '
z z '
x y z
4. u cuøng phöông v
x' y' z'
5. u cuøng phöông v u , v 0
6. Tích vô hướng của hai vectơ: u .v xx ' yy ' zz '
7. Ñoä daøi cuûa moät vectô :
u x2 y2 z2
8. Vectô taïo bôûi 2 ñieåm A, B:
AB x B x A ; yB yA ; z B zA
9. Ñoä daøi ñoaïn thaúng AB:
2
2
2
AB AB x B x A yB yA z B zA
10. Goùc giöõa hai vectô :
u .v
xx ' yy ' zz '
cos
u .v
x 2 y 2 z 2 . x '2 y '2 z '2
0 180
0
11. Ñieàu kieän vuoâng goùc cuûa hai vactô:
u v u .v 0 xx ' yy ' zz ' 0
xA x B
x
M
2
y
yB
12. M laø trung ñieåm cuûa ñoaïn AB yM A
2
z
zB
A
z M
2
Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung
DeThiThuDaiHoc.com
11
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông
www.MATHVN.com
Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
1
x
(x A x B xC )
G
3
1
13. G laø troïng taâm tam giaùc ABC yG (yA yB yC )
3
1
zG 3 (zA z B zC )
1
xG 4 (x A x B xC x D )
1
14. G laø troïng taâm töù dieän ABCD yG (yA yB yC yD )
4
1
zG 4 (zA z B zC z D )
15. Tích COÙ HÖÔÙNG cuûa hai vectô:
y z z x x y
;
;
u , v
y' z' z' x' x' y'
16. Tính chaát quan troïng :
u , v u vaø u , v v
1
17. Dieän tích tam giaùc ABC : S ABC AB , AC
2
18. Dieän tích hình bình haønh ABCD: Shbh ABCD 2S ABC AB , AC
1
19. Theå tích töù dieän ABCD : VABCD AB , AC .AD
6
3.VABCD
20. Chieàu cao AH cuûa töù dieän ABCD: AH
S BCD
21. Theå tích khoái hoäp ABCD.A’B’C’D’ : V [AB, AD ].AA’
22. Ba ñieåm A,B,C taïo thaønh tam giaùc AB , AC khoâng cuøng phöông
23. Boán ñieåm A,B,C,D không ñoàng phaúng ABCD laø töù dieän AB , AC .AD 0
24. Điều kiện để ABCD là hình bình hành AB DC
Axo Byo Czo D
25. Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán moät maët phaúng: d M , ( )
A2 B 2 C 2
M 0M , a
26. Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán moät ñöôøng thaúng: d (M ,)
a
a , b .MN
27. Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau: d (d , d ')
a , b
n .a
28. Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng: sin
n .a
Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung
DeThiThuDaiHoc.com
12
www.MATHVN.com
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông
Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
I. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG OXY.
Diện tích tam giác trong mặt phẳng Oxy:
1
AB a1 ;a 2 , AC b1 ;b2 S ABC a1b2 a 2b1
2
1. Đường thẳng.
a. Các dạng phương trình đường thẳng:
- Phương trình tổng quát: Ax By Cz 0 A2 B 2 0
( Vec tơ pháp tuyến n A; B , Vec tơ chỉ phương a B; A hay a B; A )
x x 0 a1t
- Phương trình tham số:
t
y y 0 a 2t
( Vec tơ chỉ phương a a1 ;a 2 và đi qua điểm M x 0 , y 0 )
x x 0 y y0
a1
a2
x y
- Phương trình đoạn chắn: 1
a b
( Đi qua hai điểm A a ; 0 , B 0; b )
b. Góc giữa hai đường thẳng.
- Phương trình chính tắc:
Gọi n1 và n 2 là hai VTPT của hai đường thẳng 1 và 2 . Khi đó:
cos(1 , 2 ) cos(n1 , n 2 )
| n1 .n 2 |
| n1 || n 2 |
| a1a 2 b1b2 |
a12 a 22 . b12 b22
c. Khoảng cách từ một điểm M x M ; yM đến một đường thẳng : Ax By C 0 là:
d M ,
Ax M ByM C
A2 B 2
2. Đường tròn.
Các dạng phương trình đường tròn:
- Dạng 1. Phương trình đường tròn (C) có tâm I a ; b và bán kính R là:
C : x a y b
2
2
R2
- Dạng 2. Phương trình dạng: x 2 y 2 2ax 2by c 0 với điều kiện a 2 b 2 c 0 là phương trình
đường tròn (C) có tâm I a ; b và bán kính R a 2 b 2 c .
Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung
DeThiThuDaiHoc.com
13
www.MATHVN.com
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông
Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
3. Elip.
y
B1
A
F
F1
1
A
2
2
x
O
B2
M
x2 y2
- Phương trình chính tắc của Elip (E): 2 2 1
a
b
- Tiêu điểm: F1 c ;0 , F2 c ;0
a b ; c 2 a 2 b 2
- Đỉnh trục lớn : A1 a ;0 , A2 a ;0
- Đỉnh trục bé: B1 0; b , B2 0;b
- Tâm sai: e
c
1
a
a
e
- Điều kiện tiếp xúc của (E) và : Ax By C 0 là: A2a 2 B 2b 2 C 2
4. Hypebol.
- Phương trình đường chuẩn: x
y
b
y=
a
x
B2
F1
F2
A1
O
A2
x
B1
b
y=-
a
x
x2 y2
2 1, c2 a2 b2
2
a b
- Tiêu điểm F1 c ;0 , F2 c ;0
- Phương trình chính tắc:
- Đỉnh trên trục thực A1 a ;0 , A2 a ;0 .
- Tâm sai: e
c
a
a
e
- Điều kiện tiếp xúc của (H) và : Ax By C 0 là: A2a 2 B 2b 2 C 2
5. Parabol.
- Phương trình đường chuẩn: x
Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung
DeThiThuDaiHoc.com
14
www.MATHVN.com
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông
Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
y
B2
F2
O
x
- Phương trình chính tắc: y 2 2px
p
-Tiêu điểm F ;0
2
p
2
- Điều kiện tiếp xúc của (P) và : Ax By C 0 là: 2AC B 2 p
- Phương trình đường chuẩn x
Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung
DeThiThuDaiHoc.com
15
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông
www.MATHVN.com
Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
J. HÌNH HOÏC KHOÂNG GIAN.
I . CAÙC HÌNH CÔ BAÛN
1/ Hình choùp
a/ Hình choùp thöôøng:
S
S
A
B
D
A
C
B
Hình choùp tam giaùc S.ABC
(Töù dieän S.ABC)
C
Hình choùp töù giaùc S.ABCD
b/ Hình choùp ñeàu :
* Hình choùp tam giaùc ñeàu (Töù dieän ñeàu)
S
C
A
I
B
*Tính chaát:
-Ñaùy laø tam giaùc ñeàu
-Taát caû caùc caïnh beân baèng nhau
-Taát caû caùc maët beân laø caùc tam giaùc caân baèng nhau
-Chaân ñöôøng cao truøng vôùi taâm maët ñaùy (Taâm ñaùy laø troïng taâm ABC)
-Taát caû caùc goùc taïo bôûi caïnh beân vaø maët ñaùy ñeàu baèng nhau
-Taát caû caùc goùc taïo bôûi caùc maët beân vaø maët ñaùy ñeàu baèng nhau
*Chuù yù:
canh 2 3
4
canh 3
-Ñöôøng cao ñeàu: h
2
-Dieän tích
ñeàu
:
S
* Hình choùp töù giaùc ñeàu
*Tính chaát:
-Ñaùy laø hình vuoâng
-Taát caû caùc caïnh beân baèng nhau
-Taát caû caùc maët beân laø caùc tam giaùc caân baèng nhau
-Chaân ñöôøng cao truøng vôùi taâm maët ñaùy (Taâm ñaùy laø giao ñieåm 2
ñöôøng cheùo)
-Taát caû caùc goùc taïo bôûi caïnh beân vaø maët ñaùy ñeàu baèng nhau
-Taát caû caùc goùc taïo bôûi caùc maët beân vaø maët ñaùy ñeàu baèng nhau
*Chuù yù:
-Dieän tích hình vuoâng : S=Caïnh2
-Ñöôøng cheùo hình vuoâng: = caïnh 2
Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung
DeThiThuDaiHoc.com
16
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông
www.MATHVN.com
Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
2/ Hình laêng truï
Laêng truï thöôøng
Laêng truï ñöùng
Hình laäp phöông
II. CAÙC PHÖÔNG PHAÙP CHÖÙNG MINH
1/ Phöông phaùp chöùng minh ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng
Muoán chöùng minh ñöôøng thaúng d vuoâng goùc vôùi maët phaúng (α), ta laøm nhö sau:
*CAÙCH 1: Chöùng minh ñöôøng thaúng d vuoâng goùc vôùi HAI ñöôøng thaúng caét nhau nằm trong mp(α)
d a
d ( )
d b
a , b ( )
*CAÙCH 2: Söû duïng ñònh lí:’’Neáu hai maët phaúng vuoâng goùc vôùi nhau thì baát kì ñöôøng thaúng naøo naèm trong
maët phaúng naøy vaø vuoâng goùc vôùi giao tuyeán thì cuõn g vuoâng goùc vôùi maët phaúng kia’’
( ) ( )
d ( )
d ( )
c ( ) ( )
d c
*CAÙCH 3: Söû duïng ñònh lí:’’Neáu hai mp phaân bieät cuøng vuoâng goùc vôùi mp thöù 3 thì giao tuyeán cuûa chuùng
cuõng seõ vuoâng goùc vôùi mp ñoù’’.
( ) ( )
c ( )
( ) ( )
c ( ) ( )
2/ Phöông phaùp chöùng minh 2 ñöôøng thaúng vuoâng goùc
Muoán chöùng minh hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc ta chöùng minh ñöôøng thaúng naøy vuoâng goùc vôùi moät
mặt phẳng chöùa ñöôøng thaúng kia.
d ( )
d a
a ( )
Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung
DeThiThuDaiHoc.com
17
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông
www.MATHVN.com
Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
3/ Phöông phaùp chöùng minh 2 maët phaúng vuoâng goùc
Muoán chöùng minh hai mặt phẳng vuoâng goùc ta chöùng minh mặt phẳng naøy chöùa moät ñöôøng thaúng
vuoâng goùc vôùi mặt phẳng kia.
d ( )
( ) ( )
d ( )
III. CAÙC VAÁN ÑEÀ VEÀ GOÙC
1/ Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng
Ñònh nghóa: Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng a, b trong khoâng gian laø goùc giöõa hai ñöôøng thaúng a’, b’ naøo
ñoù cuøng ñi qua moät ñieåm vaø laàn löôït song song vôùi a, b.
a’
a
b
(a
, b ) (a
', b ')
b’
2/ Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng
a) Ñịnh nghĩa: Goùc giöõa ñöôøng thaúng a vaø mặt phẳng ( ) laø goùc giöõa chính ñöôøng thaúng a vaø hình
chieáu cuûa noù leân maët phaúng ( )
b) Phương pháp thực hiện.
*PP: Goïi laø goùc caàn tìm.
-B1: Tìm giao ñieåm O cuûa a vaø ( )
-B2: Tìm ñöôøng vuoâng goùc töø ñöôøng thaúng a xuoáng
maët phaúng ( )
-B3: OH laø hình chieáu cuûa a leân ( )
Vaäy (a
,OH )
3/ Goùc giöõa 2 maët phaúng
a) Ñịnh nghĩa: Goùc giöõa hai maët phaúng laø goùc giöõa hai ñöôøng thaúng laàn löôït vuoâng goùc vôùi GIAO
TUYEÁN cuûa hai maët phaúng ñoù.
b) Phương pháp.
*PP: Goïi laø goùc caàn tìm
-B1: Xaùc ñònh giao tuyeán c cuûa ( ) vaø ( )
-B2: Tìm ñöôøng vuoâng goùc vôùi moät trong hai maët phaúng.
-B3: Töø chaân ñöôøng vuoâng goùc, haï ñt vuoâng goùc vôùi gt c taïi H.
-B4: Chöùng minh ñt haï töø ñænh ñöôøng vuoâng goùc xuoáng H vuoâng goùc
vôùi gt c.
Suy ra goùc .
Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung
DeThiThuDaiHoc.com
18
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông
www.MATHVN.com
Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
IV. CAÙC VAÁN ÑEÀ VEÀ KHOAÛNG CAÙCH
1. Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán moät mp
Qua A
Ñeå xaùc ñònh khoaûng caùch töø ñieåm A ñeán mp ( ) ,ta tìm moät ñt thoûa: a :
( ) taïi H
Khi ñoù : AH laø khoaûng caùch caàn tìm
*Löu yù:
Neáu AB caét ( ) taïi I thì
d ( A, ( )) IA
d ( B, ( )) IB
2. Khoaûng caùch giöõa ñöôøng thaúng vaø mp song song laø khoaûng caùch töø moät ñieåm baát kì treân ñt ñeán
mp
AB ( ) d (AB , ( )) IH , I AB
3. Khoaûng caùch giöõa hai mp song song laø khoaûng caùch töø moät ñieåm baát kì treân mp naøy ñeán mp kia
( ) ( ) d (( ), ( )) d (A, ( )), A ( )
d (B , ( )), B ( )
4. Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau
Nhaéc laïi: Ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa 2 ñt cheùo nhau a, b laø ñt caét a, b vaø ñoàng thôøi vuoâng goùc vôùi
2 ñt ñoù.
*TH1: a, b cheùo nhau vaø a b . Khi ñoù:
PP:
Chöùa b
-B1: Tìm mp ( )
a taïi A
-B2: Töø A keû AB b taïi B
AB laø ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa
a vaø b
Vaäy d (a , b ) AB
Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung
DeThiThuDaiHoc.com
19
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông
www.MATHVN.com
Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
*TH2: a, b cheùo nhau ñoàng thôøi coù mp ( ) chöùa b vaø song song vôùi a
PP:
-B1: Laáy M a ,keû MH ( ) taïi H
-B2: Töø H döïng a ' a , caét b taïi B
-B3: Töø B döïng ñt MH caét a taïi A
AB laø ñoaïn vuoâng goùc chung
Vaäy d (a, b) AB MH d ( M , ( ))
*TH3: Tröôøng hôïp toång quaùt
PP
- Döïng mp ( ) vuoâng goùc vôùi a taïi O. Döïng hình chieáu vuoâng goùc b’ cuûa b treân ( )
- Döïng hình chieáu vuoâng goùc H cuûa O treân b’. Töø H döïng ñt song song vôùi a caét b taïi B
- Töø B döïng ñt song song vôùi OH, caét a taïi A
Ñoaïn AB laø ñoaïn vuoâng goùc chung
d(a,b) = AB = OH
MOÄT SOÁ COÂNG THÖÙC ÑAÙNG NHÔÙ:
Shình vuoâng = caïnh 2
Diện tích hì nh chữ nhật = dài . rộng
Ñöôøng cheùo hình vuoâng = caïnh . 2
Shìnhtroøn= R 2
1
Diện tích tam giác thường = (cạnh đáy.đường cao)
2
Theå tích khoái choùp V =
Diện tích tam giác thường =
goùc vuoâng)
Diện tích tam giác đều =
1
a . b (a, b laø 2 caïnh
2
canh 2 3
4
Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung
1
(Sñaùy cao)
3
Theå tích khoái laêng truï V = Sñaùy cao
4
Theå tích khoái caàu V= R 3
3
DeThiThuDaiHoc.com
20
- Xem thêm -