Tài liệu Tính tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình navier-stokes

  • Số trang: 40 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 35 |
  • Lượt tải: 0
nhattuvisu

Đã đăng 27125 tài liệu

Mô tả:

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ------------------- NGÔ VĂN GIANG TÍNH TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 Thái Nguyên, năm 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Möc löc Möc löc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Mët sè kþ hi»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Mð ¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 1.1 1.2 1.3 7 Khæng gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 ¤o h m y¸u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Khæng gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Khæng gian H −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.4 Khæng gian phö thuëc thíi gian . . . . . . . . . . 9 Mët sè b§t ¯ng thùc cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 B§t ¯ng thùc Cauchy vîi  . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 B§t ¯ng thùc Holder . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.3 B§t ¯ng thùc nëi suy èi vîi chu©n Lp . . . . . . 12 1.2.4 B§t ¯ng thùc Gronwall . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.5 B§t ¯ng thùc Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . 12 Ph÷ìng tr¼nh Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1 ành ngh¾a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2 T½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.4 1.5 To¡n tû Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1 ành ngh¾a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2 T½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 B§t ¯ng thùc cho sè h¤ng phi tuy¸n . . . . . . . . . . . 16 2 Nghi»m y¸u cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes 2.1 2.2 Mët sè b§t ¯ng thùc ÷îc l÷ñng nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Sü tçn t¤i nghi»m y¸u cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes 26 3 Nghi»m m¤nh cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes 3.1 3.2 19 29 Sü tçn t¤i nghi»m m¤nh cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes 29 3.1.1 Trong tr÷íng hñp 2 chi·u . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.2 Trong tr÷íng hñp 3 chi·u . . . . . . . . . . . . . 33 Sü duy nh§t cõa nghi»m m¤nh cõa h» ph÷ìng tr¼nh NavierStokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2.1 Sü duy nh§t nghi»m trong tr÷íng hñp 2 chi·u . . 35 3.2.2 Sü duy nh§t nghi»m trong tr÷íng hñp 3 chi·u . . 36 K¸t luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 T i li»u tham kh£o 40 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mët sè kþ hi»u • R = (−∞; +∞) : tªp c¡c sè thüc. • R+ = [0; +∞) : tªp c¡c sè thüc khæng ¥m. • Rn : khæng gian vectì tuy¸n t½nh thüc n chi·u vîi kþ hi»u t½ch væ h÷îng l  < ., . > v  chu©n vectì l  || . || . • C([a; b], Rn ) : tªp t§t c£ c¡c h m li¶n töc tr¶n [a; b] v  nhªn gi¡ trà tr¶n Rn . • C(U ) = {u : U → R | u li¶n töc}. • C(Ū ) = {u ∈ C(U ) | u li¶n töc ·u}. • C k (U ) = {u : U → R | u l  li¶n töc kh£ vi k l¦n}. • C k (Ū ) = {u ∈ C k (U ) | Dα u l  li¶n töc ·u vîi måi |α| ≤ k }. Do â: n¸u u ∈ C k (Ū ) th¼ Dα u th¡c triºn li¶n töc tîi Ū vîi måi a ch¿ sè α, |α| ≤ k . • L2 ([a, b], Rm ): tªp c¡c h m kh£ t½ch bªc hai tr¶n [a, b] v  l§y gi¡ trà trong Rm . k ∞ • C ∞ (U ) = {u : U → R | u kh£ vi væ h¤n} = ∩∞ k=0 C (U ), C (Ū ) = k ∩∞ k=0 C (Ū ). • Cc (U ), Cck (U ), ...,, kþ hi»u c¡c h m trong C(U ), C k (U ), ..., vîi gi¡ comp­c. • Lp (U ) = {u : U → R | u l  o ÷ñc Lebesgue, kukLp (U ) < ∞}. 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Trong â kukLp (U ) Z 1 = ( |u|p dx) p U (1 ≤ p < ∞). • L∞ (U ) = {u : U → R | u l  o ÷ñc lebesgue, kuk < ∞}. Trong â kukLp (U ) = ess sup |u|. U • Lploc (U ) = {u : U → R | u ∈ Lp (V ), vîi måi V ⊂⊂ U }. • H k (U ), Wpk (k = 1, 2, 3...) kþ hi»u c¡c khæng gian Sobolev. 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mð ¦u H» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes l¦n ¦u ti¶n ÷ñc nghi¶n cùu v o n«m 1822, cho ¸n nay ¢ câ r§t nhi·u cæng tr¼nh nghi¶n cùu vi¸t v· ph÷ìng tr¼nh n y tuy nhi¶n nhúng hiºu bi¸t cõa ta v· ph÷ìng tr¼nh n y cán qu¡ khi¶m tèn. Muèn hiºu ÷ñc hi»n t÷ñng sâng dªp sau uæi con t u ch¤y tr¶n m°t n÷îc hay hi»n t÷ñng hén lo¤n cõa khæng kh½ sau uæi m¡y bay khi bay tr¶n b¦u tríi...chóng ta ·u ph£i t¼m c¡ch gi£i h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes. Do nhu c¦u cõa Khoa håc v  Cæng ngh» m  vi»c nghi¶n cùu h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes c ng trð n¶n thíi sü v  c§p thi¸t. H» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes mæ t£ sü chuyºn ëng cõa ch§t läng trong Rn (n = 2 ho°c n = 3). Ta gi£ thi¸t r¬ng ch§t läng khæng n²n ÷ñc l§p ¦y Rn . Ta i t¼m mët h m vectì vªn tèc u(x, t) = (ui (x, t)), i = 1, 2, ..., n v  h m ¡p su§t p(x, t), x¡c ành t¤i và tr½ x ∈ Rn v  thíi gian t > 0, thäa m¢n h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes nh÷ sau: n ∂ui X ∂ui ∂p + uj = ν4ui − + fi (x, t) ∂t ∂x ∂x j i j=1 (x ∈ Rn , t > 0, i = 1, 2, ..., n), u = (u1 , u2 , ..., un ), n X ∂ui = 0 (x ∈ R, t > 0). div u = ∂x i i=1 Vîi i·u ki»n ban ¦u u(x, 0) = uo (x). 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ð ¥y, h m vectì uo (x) l  h m kh£ vi væ h¤n vîi div uo = 0, fi (x, t) l  nhúng h m ¢ bi¸t biºu thà c¡c lüc t¡c ëng b¶n ngo i, ν l  mët h» sè d÷ìng. Luªn v«n gçm ph¦n mð ¦u, ba ch÷ìng v  t i li»u tham kh£o. Cö thº l  Ch÷ìng 1: Mët sè ki¸n thùc chu©n bà. Ch÷ìng 2: Nghi»m y¸u cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes. Ch÷ìng 3: Nghi»m m¤nh cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-stokes. Cuèi còng, tæi xin b y tä sü k½nh trång v  láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi th¦y gi¡o PGS. TSKH Nguy¹n Minh Tr½, ng÷íi ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n, t¤o måi i·u ki»n gióp ï tæi ho n th nh luªn v«n n y. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban chõ nhi»m Khoa Sau ¤i håc, Ban chõ nhi»m Khoa To¡n  Tr÷íng H S÷ ph¤m  H Th¡i Nguy¶n còng c¡c th¦y gi¡o, cæ gi¡o ¢ tham gia gi£ng d¤y kho¡ håc, xin ch¥n th nh c£m ìn gia ¼nh, b¤n b±, çng nghi»p v  c¡c b¤n còng lîp cao håc To¡n K17 ¢ luæn quan t¥m, ëng vi¶n v  gióp ï tæi trong suèt thíi gian håc tªp v  l m luªn v«n. 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà Trong ch÷ìng n y tr¼nh b y sì bë v· khæng gian Sobolev, mët sè b§t ¯ng thùc cì b£n, ph÷ìng tr¼nh Stokes, to¡n tû Stokes v  mët sè b§t ¯ng thùc v· sè h¤ng phi tuy¸n. 1.1 Khæng gian Sobolev Trong ph¦n n y tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ li¶n quan ¸n khæng gian Sobolev, ph¦n chùng minh chi ti¸t câ thº xem trong [5]. 1.1.1 ¤o h m y¸u ành ngh¾a 1.1.1. Gi£ sû u, v ∈ L1loc(U ) v  α l  mët a ch¿ sè. Ta nâi r¬ng v l  ¤o h m y¸u c§p α cõa u n¸u Z Z α |α| uD φdx = (−1) vφdx U U óng vîi måi h m thû φ ∈ Cc∞ (U ). K½ hi»u Dα u = v. Bê · 1.1.2. (T½nh duy nh§t cõa ¤o h m y¸u). Mët ¤o h m y¸u c§p α cõa u n¸u tçn t¤i th¼ ÷ñc x¡c ành mët c¡ch duy nh§t (sai kh¡c tr¶n 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tªp câ ë o khæng). 1.1.2 Khæng gian Sobolev ành ngh¾a 1.1.3. Cè ành 1 ≤ p ≤ ∞ v  cho k l  sè nguy¶n khæng ¥m. Khæng gian Sobolev Wpk l  tªp t§t c£ c¡c h m kh£ têng àa ph÷ìng u : U → R sao cho vîi méi a ch¿ sè α, |α| ≤ k , ¤o h m y¸u Dα u tçn t¤i v  thuëc Lp (U ). Chó þ 1.1.4. N¸u p = 2 ta câ H k (U ) = W2k (U ) (k = 1, 2, ...) l  khæng gian Hilbert. Chó þ r¬ng H 0 (U ) = L2 (U ). ành ngh¾a 1.1.5. N¸u u ∈ Wpk (U ), ta ành ngh¾a chu©n cõa nâ l  kukWpk := ( XZ |α|≤k |Dα u|p dx)1/p (1 ≤ p < ∞) U v  kukWpk := X ess sup |Dα u| (p = ∞). |α|≤k U ành ngh¾a 1.1.6. Bao âng cõa Cc∞(U ) trong H k (U ) ÷ñc k½ hi»u l  H0k (U ). Nh÷ vªy, ta coi H0k (U ) nh÷ l  tªp c¡c h m u ∈ H k (U ) sao cho Dα u = 0 tr¶n ∂U vîi måi |α| ≤ k − 1. Chóng ta kþ hi»u |u| = kukL2 (Ω) . Chu©n Dirichlet k∇ukL2 (Ω) Z X n =( |Di u|2 dx)1/2 Ω i=1 s³ ÷ñc kþ hi»u l  kuk. 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.3 Khæng gian H −1 ành ngh¾a 1.1.7. Khæng gian èi ng¨u cõa H01(U ) ÷ñc k½ hi»u l  H −1 (U ), tùc l  f ∈ H −1 (U ) n¸u f l  mët phi¸m h m tuy¸n t½nh bà ch°n tr¶n H01 (U ). ành ngh¾a 1.1.8. N¸u f ∈ H −1(U ) th¼ kf kH −1 (U ) = sup{< f, u > |u ∈ H01 (U ), kukH01 (U ) ≤ 1}. Ta vi¸t <, > º k½ hi»u gi¡ trà cõa f ∈ H −1 (U ) tr¶n u ∈ H01 (U ). ành lþ 1.1.9. (C§u tróc cõa H −1) (i) Gi£ thi¸t f ∈ H −1 (U ). Khi â tçn t¤i c¡c h m f 0 , f 1 , ..., f n trong L2 (U ) sao cho Z < f, v >= 0 f v+ U n X f i vxi dx (v ∈ H01 (U )). i=1 (ii) Hìn núa, kf kH −1 (U ) Z X n = inf{( |f i |2 dx)1/2 | f U i=0 thäa m¢n (i) vîi f 0 , ..., f n ∈ L2 (U )}. 1.1.4 Khæng gian phö thuëc thíi gian ành ngh¾a 1.1.10. Khæng gian Lp (0, T ; X) gçm t§t c£ c¡c h m o ÷ñc u : [0, T ] → X vîi Z T kukLp (0,T ;X) := ( ku(t)kp dt)1/p < ∞ 0 9 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn vîi 1 ≤ p < ∞, v  kukL∞ (0,T ;X) := ess sup ku(t)k < ∞. 0≤t≤T ành ngh¾a 1.1.11. Khæng gian Lp (0, T ; Lq ) gçm t§t c£ c¡c h m o ÷ñc u : [0, T ] → Lq vîi Z T Z T Z p 1/p kukLp (0,T ;Lq ) := ( ku(t, x)k dt) = ( ( |u(t, x)|q dx)p/q dt)1/p < ∞ 0 0 Ω vîi 1 ≤ p < ∞, v  kukL∞ (0,T ;Lq ) := ess sup ku(t)kLq (Ω) < ∞. 0≤t≤T ành ngh¾a 1.1.12. Khæng gian C([0, T ]; X) gçm t§t c£ c¡c h m li¶n töc u : [0, T ] → X vîi kukC([0,T ];X) := max ku(t)k < ∞. 0≤t≤T ành lþ 1.1.13. Cho u ∈ Wp1(0, T ; X) vîi 1 ≤ p ≤ ∞. Khi â u ∈ C([0, T ]; X) Z t u(t) = u(s) + u0 (τ )dτ s vîi méi 0 ≤ s ≤ t ≤ T . Hìn núa, max ku(t)k ≤ CkukWp1 (0,T ;X) , 0≤t≤T h¬ng sè C ch¿ phö thuëc v o T. 10 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ành lþ 1.1.14. Gi£ sû u ∈ L2(0, T ; H01(U )), vîi u0 ∈ L2(0, T ; H −1(U )). (i) Khi â u ∈ C([0, T ]; L2 (U )). (ii) nh x¤ t 7→ ku(t)k2L2 (U ) l  li¶n töc tuy»t èi, vîi d ku(t)k2L2 (U ) = 2 < u0 (t), u(t) > 0 ≤ t ≤ T h.k.n. dt (iii) Hìn núa, max ku(t)kL2 (U ) ≤ C(kukL2 (0,T ;H01 (U )) + ku0 kL2 (0,T ;H −1 (U )) ), 0≤t≤T h¬ng sè C ch¿ phö thuëc v o T. ành lþ 1.1.15. Gi£ thi¸t U l  mð, bà ch°n, ∂U trìn. Cho n l  sè nguy¶n khæng ¥m. Gi£ sû u ∈ L2 (0, T ; H m+2 (U )), u0 ∈ L2 (0, T ; H m (U )). (i) Khi â u ∈ C([0, T ]; H m+1 (U )). (ii) Hìn núa, max ku(t)kH m+1 (U ) ≤ C(kukL2 (0,T ;H m+2 (U )) + ku0 kL2 (0,T ;H m (U )) ), 0≤t≤T h¬ng sè C ch¿ phö thuëc v o T, U v  m. 1.2 Mët sè b§t ¯ng thùc cì b£n 1.2.1 B§t ¯ng thùc Cauchy vîi  b2 ab ≤ a + 4 2 (a, b > 0,  > 0). 11 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.2.2 B§t ¯ng thùc Holder Gi£ thi¸t 1 ≤ p, q ≤ ∞, 1 p + 1q = 1. Khi â n¸u u ∈ Lp (U ), v ∈ Lq (U ), ta câ : Z |uv|dx ≤ kukLp (U ) kvkLq (U ) . U 1.2.3 B§t ¯ng thùc nëi suy èi vîi chu©n Lp Gi£ thi¸t 1 ≤ s ≤ r ≤ t ≤ ∞ v  1 r s t = θs + 1−θ t . Gi£ sû u ∈ L (U )∩L (U ). Khi â u ∈ Lr (U ) v  kukLr (U ) ≤ kukθLs (U ) kuk1−θ Lt (U ) . 1.2.4 B§t ¯ng thùc Gronwall Cho η(.) l  mët h m li¶n töc tuy»t èi, khæng ¥m tr¶n [0, T ] v  thäa m¢n h¦u kh­p t b§t ¯ng thùc vi ph¥n η 0 (t) ≤ φ(t)η(t) + ψ(t) trong â φ(t), ψ(t) l  c¡c h m kh£ t½ch, khæng ¥m tr¶n [0, T ]. Khi â Z t Rt φ(s)ds η(t) ≤ e 0 [η(0) + ψ(s)ds] 0 vîi ∀ 0 ≤ t ≤ T. 1.2.5 B§t ¯ng thùc Sobolev Gi£ sû 1 ≤ p < n, 1 p∗ = p1 − n1 . Khi â tçn t¤i h¬ng sè C ch¿ phö thuëc v o p v  n sao cho: kukLp∗ ≤ CkDukLp (Rn ) . 12 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.3 Ph÷ìng tr¼nh Stokes 1.3.1 ành ngh¾a Cho Ω l  tªp mð, bà ch°n trong Rn . Cho f ∈ L2 (Ω)n . Ph÷ìng tr¼nh Stokes cho vector u = (u1 , u2 , ...un ) v  væ h÷îng f l  (ν > 0 l  mët h¬ng sè) −ν∆u + grad p = f div u = 0 u=0 trong Ω. (1.1) (1.2) trong Ω. (1.3) trong ∂Ω. N¸u u, p l  c¡c h m trìn th¼ t½ch ph¥n tøng ph¦n ta ÷ñc ν((u, v)) = (f, v), ∀v ∈ V. (1.4) Trong â ((u, v)) l  t½ch væ h÷îng ((u, v)) = n X Di uDi v. i=1 Chóng ta nâi r¬ng u l  nghi»m y¸u cõa ph÷ìng tr¼nh Stokes (1.1)-(1.3) n¸u u∈V v  ν((u, v)) = (f, v), ∀v ∈ V. 1.3.2 T½nh ch§t Ng÷íi ta ¢ chùng minh ÷ñc c¡c t½nh ch§t sau (xem [1]) cõa ph÷ìng tr¼nh Stokes. ành lþ 1.3.1. Cho Ω l  tªp mð, bà ch°n. Khi â vîi méi f ∈ L2(Ω)n, ν > 0 tçn t¤i duy nh§t nghi»m y¸u cõa ph÷ìng tr¼nh Stokes (1.1)-(1.3). 13 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ành lþ 1.3.2. Cho Ω l  tªp mð, bà ch°n cõa lîp C 2. Khi â vîi méi f ∈ L2 (Ω)n , ν > 0 tçn t¤i duy nh§t nghi»m u ∈ H 2 (Ω) ∩ V, p ∈ H 1 (Ω) cõa ph÷ìng tr¼nh Stokes (1.1)-(1.3). Hìn núa, kukH 2 (Ω) + kpkH 1 (Ω)/R ≤ ckf kL2 (Ω) . 1.4 To¡n tû Stokes Chóng ta kþ hi»u V = {ϕ ∈ (C0∞ (Ω))n | divϕ = 0}. H l  bao âng cõa V trong L2 (Ω)n . V l  bao âng cõa V trong H01 (Ω)n . Ta câ V ⊂ H01 (Ω)n ⊂ L2 (Ω)n → V ⊂ V ⊂ H. 1.4.1 ành ngh¾a Cho Ω l  mët tªp mð, bà ch°n trong R, ∂Ω thuëc lîp C 2 . Cho f ∈ n L2 (Ω)n . Gåi P : L2 (Ω) → H l  ph²p chi¸u Helmoltz-Leray. ành ngh¾a 1.4.1. To¡n tû Stokes ÷ñc ành ngh¾a l  A : D(A) ⊂ H → H, A = −P∆ , D(A) = H 2 (Ω) ∩ V. 1.4.2 T½nh ch§t M»nh · 1.4.2. To¡n tû Stokes l  èi xùng, tùc l  (Au, v) = (u, Av), ∀u, v ∈ D(A). 14 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chùng minh. Tr÷îc h¸t gi£ sû u, v ∈ (C0∞ (Ω))n v  div u = div v = 0. Th¼ tø P u = u, P v = v n¶n (Au, v) = (u, Av) v  ta câ Z Z ∂ui ∂vi − (∆ui )vi dx = dx. Ω Ω ∂xj ∂xj B¥y gií, n¸u u, v ∈ D(A), tòy þ, chóng ta câ thº x§p x¿ chóng trong H 1 (Ω)n bði mët h m trong V . N¸u u ∈ D(A) v  v ∈ V th¼ hiºn nhi¶n Z Z ∂ui ∂vi dx − (∆ui )vi dx = ∂x ∂x j j Ω Ω óng. °c bi»t, (Au, v) = ((u, v)), ∀u, v ∈ D(A). Tø ((u, v)) l  èi xùng n¶n m»nh · ÷ñc chùng minh. Chóng ta chó þ r¬ng (Au, v) = ((u, v)) óng vîi u ∈ D(A), v ∈ V. ành lþ 1.4.3. To¡n tû Stokes l  tü li¶n hñp. ành lþ 1.4.4. Nghàch £o cõa to¡n tû Stokes, A−1, l  to¡n tû compact trong H. Chùng minh. Cho f ∈ H, A−1 f = u trong â u l  nghi»m duy nh§t thuëc H 2 (Ω) ∩ V = D(A) cõa ph÷ìng tr¼nh Stokes (xem [1]). Ta ¢ bi¸t A−1 : H → V l  bà ch°n. Ta câ K = A−1 l  ìn ¡nh, copact v  tü li¶n hñp v¼ < A−1 f, g >=< A−1 f, AA−1 g >=< AA−1 f, A−1 g >=< f, A−1 g > . Do â tçn t¤i mët d¢y c¡c sè d÷ìng µj > 0, µj+1 ≤ µj v  mët cì sð trüc giao cõa H l  (wj ) thäa m¢n Kwj = µj wj . °t λj = µ−1 j ta câ Awj = λj wj (1.5) 15 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 0 < λ1 ≤ ... ≤ λj ≤ λj+1 ≤ ... (1.6) lim λj = ∞ (1.7) j→∞ (wj )j=1,2,... l  mët cð sð trüc giao cõa H. M»nh · 1.4.5. N¸u Ω l  bà ch°n thuëc lîp C l+2 , l ≥ 0 th¼ wj ∈ n H l+2 (Ω) . ành ngh¾a 1.4.6. Cho α > 0 l  mët sè thüc. Chóng ta ành ngh¾a to¡n tû Aα bði α A (u) = ∞ X λαj uj wj , u= j=1 α D(A ) = {u ∈ H | u = ∞ X uj wj , u ∈ D(Aα ). j=1 ∞ X uj wj , j=1 ∞ X 2 λ2α j |uj | < ∞, uj ∈ R}. j=1 1.5 B§t ¯ng thùc cho sè h¤ng phi tuy¸n Chóng ta ành ngh¾a sè h¤ng phi tuy¸n Z Z ∂vi wj dx = b(u, v, w) = < u · ∇v, w > dx uj ∂x j Ω Ω (1.8) trong â Ω l  tªp bà ch°n, cõa lîp C l vîi l õ lîn, u, v, w ∈ C ∞ (Ω̄)n . M»nh · 1.5.1. Cho Ω ⊂ Rn l  tªp mð, bà ch°n v  thuëc lîp C l. Cho s1 , s2 , s3 l  c¡c sè thüc, 0 ≤ s1 ≤ l, 0 ≤ s2 ≤ l − 1, 0 ≤ s3 ≤ l. Gi£ sû r¬ng s1 + s2 + s3 ≥ n 2 v  (s1 , s2 , s3 ) 6= (0, 0, n2 ), (0, n2 , 0), ( n2 , 0, 0) th¼ tçn t¤i mët h¬ng sè ëc lªp vîi s1 , s2 , s3 , Ω sao cho |b(u, v, w)| ≤ c|Ω| s1 +s2 +s3 − 21 n 1+[s ]−s1 k u k[s1 ],Ω1 s −[s ] 1+[s ]−s3 2 × k v k[s22 ]+2,Ω k w k[s3 ],Ω3 s −[s ] 1+[s ]−s 1 2 2 k u k[s11 ]+1,Ω k v k[s2 ]+1,Ω × s −[s ] 3 k w k[s33 ]+1,Ω . (1.9) 16 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn vîi måi u, v, w ∈ C ∞ (Ω̄)n . Chó þ 1.5.2. ×îc l÷ñng (1.9) câ thº suy ra |b(u, v, w)| ≤ c|Ω| s1 +s2 +s3 − 12 n k u ks1 ,Ω k v ks2 +1,Ω k u ks3 ,Ω . Chó þ 1.5.3. Trong tr÷íng hñp (s1 , s2 , s3 ) l  mët trong c¡c vectì (0, 0, n2 ), (0, n2 , 0), ( n2 , 0, 0) t÷ìng ùng vîi mët ¡nh gi¡ cõa d¤ng L∞ . Khi â ta câ c¡c ¡nh gi¡ sau: t 1−t |b(u, v, w)| ≤ ckukL∞ kvk1,Ω kwk0,Ω ≤ ckuk1−t l0 ,Ω kukl,Ω kvk1,Ω kwk0,Ω . (1.10) vîi n 2 = (1 − t)l0 + tl, t ∈ (0, 1), Ω thuëc lîp C l . t |b(u, v, w)| ≤ ckuk0,Ω kvk1,Ω kwkL∞ ≤ ckuk0,Ω kvk1,Ω kwk1−t l0 ,Ω |wkl,Ω . (1.11) t |b(u, v, w)| ≤ ckuk0,Ω kwk0,Ω k∇vkL∞ ≤ ckuk0,Ω kwk0,Ω kvk1−t l0 +1,Ω kvkl+1,Ω . (1.12) Vîi u, v, w ∈ V ta câ t½nh ch§t °c bi»t sau cõa sè h¤ng phi tuy¸n b(u, v, w) = −b(u, w, v), (1.13) b(u, v, v) = 0. (1.14) Thªt vªy, trong tr÷íng hñp khæng gian 3 chi·u ta câ b(u, v, v) = 3 Z X i,j=1 Ω ui ∂vj vj ds ∂xi 3 Z 1X ∂ = ui (vj )2 ds 2 i,j=1 Ω ∂xi 3 Z 1X ∂ui =− (vj )2 ds 2 i,j=1 Ω ∂xi 17 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Z X 3 1X ∂ui 2 =− ( ( )v )ds = 0. 2 j=1 Ω i=1 ∂xi j V¼ 3 X ∂ui i=1 ∂xi = div u = 0. Tø â suy ra b(u, v, w) + b(u, w, v) = b(u, v + w, v + w) = 0. Do â ta câ (1.13). ành ngh¾a 1.5.4. Cho u, v ∈ C ∞(Ω̄)n. Chóng ta ành ngh¾a B(u, v) bði B(u, v) = P (u · ∇v) trong â P l  ph²p chi¸u Helmoltz-Leray. M»nh · 1.5.5. Cho Ω ⊂ Rn l  tªp mð, bà ch°n, cõa lîp C l . Cho s1 , s2 , s3 l  c¡c sè thüc thäa m¢n 0 ≤ s1 ≤ l, 0 ≤ s2 ≤ l − 1, 0 ≤ s3 ≤ l. Gi£ sû r¬ng s1 + s2 + s3 ≥ n/2 v  (s1 , s2 , s3 ) khæng l  (n/2, 0, 0), (0, n/2, 0), (0, 0, n/2). Khi â tçn t¤i mët h¬ng sè c = c(s1 , s2 , s3 , Ω) thäa m¢n, ∀u, v ∈ C ∞ (Ω̄)n |A−s3 /2 B(u, v)| ≤ c|Ω| s1 +s2 +s3 − 12 2 1+[s ]−s 1+[s ]−s1 kuk[s1 ],Ω1 s −[s ] 2 2 2 ×kvk[s2 ]+1,Ω kvk[s22 ]+2,Ω . s −[s ] 1 × kuk[s11 ]+1,Ω (1.15) 18 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ch÷ìng 2 Nghi»m y¸u cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes 2.1 Mët sè b§t ¯ng thùc ÷îc l÷ñng nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes Chóng ta x²t Ω ⊂ Rd , d = 2 ho°c d = 3 l  tªp mð bà ch°n cõa lîp C l , l ≥ 2 õ lîn. H» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes s³ ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng: du + νAu + B(u, u) = f dt (2.1) u(0) = u0 . (2.2) Trong ch÷ìng n y chùng minh sü tçn t¤i nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes b¬ng ph÷ìng ph¡p x§p x¿ galerkin. ¦u ti¶n chóng ta mæ t£ ph÷ìng ph¡p x§p x¿ Galerkin. â l  h» c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng. Cho m l  sè nguy¶n d÷ìng. Chóng ta x²t w1 , w2 , ..., wm l  m vectì ri¶ng cõa A. X²t ph²p chi¸u pm : H −→ span(H). T¡c ëng Pm v o (2.1) ta ÷ñc d Pm u = νA(Pm u) + Pm B(u, u) = Pm f. dt (2.3) 19 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- Xem thêm -