ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-------------------
NGÔ VĂN GIANG
TÍNH TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA HỆ
PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành : Toán giải tích
Mã số
: 60 46 01
Thái Nguyên, năm 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Möc löc
Möc löc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Mët sè kþ hi»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Mð ¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà
1.1
1.2
1.3
7
Khæng gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.1
¤o h m y¸u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.2
Khæng gian Sobolev
. . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.1.3
Khæng gian H −1
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.4
Khæng gian phö thuëc thíi gian . . . . . . . . . .
9
Mët sè b§t ¯ng thùc cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.2.1
B§t ¯ng thùc Cauchy vîi . . . . . . . . . . . .
11
1.2.2
B§t ¯ng thùc Holder
. . . . . . . . . . . . . . .
12
1.2.3
B§t ¯ng thùc nëi suy èi vîi chu©n Lp . . . . . .
12
1.2.4
B§t ¯ng thùc Gronwall . . . . . . . . . . . . . .
12
1.2.5
B§t ¯ng thùc Sobolev . . . . . . . . . . . . . . .
12
Ph÷ìng tr¼nh Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.3.1
ành ngh¾a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.3.2
T½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
1.4
1.5
To¡n tû Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.4.1
ành ngh¾a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.4.2
T½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
B§t ¯ng thùc cho sè h¤ng phi tuy¸n . . . . . . . . . . .
16
2 Nghi»m y¸u cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes
2.1
2.2
Mët sè b§t ¯ng thùc ÷îc l÷ñng nghi»m cõa h» ph÷ìng
tr¼nh Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
Sü tçn t¤i nghi»m y¸u cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes
26
3 Nghi»m m¤nh cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes
3.1
3.2
19
29
Sü tçn t¤i nghi»m m¤nh cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes 29
3.1.1
Trong tr÷íng hñp 2 chi·u
. . . . . . . . . . . . .
30
3.1.2
Trong tr÷íng hñp 3 chi·u
. . . . . . . . . . . . .
33
Sü duy nh§t cõa nghi»m m¤nh cõa h» ph÷ìng tr¼nh NavierStokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.2.1
Sü duy nh§t nghi»m trong tr÷íng hñp 2 chi·u . .
35
3.2.2
Sü duy nh§t nghi»m trong tr÷íng hñp 3 chi·u . .
36
K¸t luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
T i li»u tham kh£o
40
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Mët sè kþ hi»u
• R = (−∞; +∞) : tªp c¡c sè thüc.
• R+ = [0; +∞) : tªp c¡c sè thüc khæng ¥m.
• Rn : khæng gian vectì tuy¸n t½nh thüc n chi·u vîi kþ hi»u t½ch væ
h÷îng l < ., . > v chu©n vectì l || . || .
• C([a; b], Rn ) : tªp t§t c£ c¡c h m li¶n töc tr¶n [a; b] v nhªn gi¡ trà
tr¶n Rn .
• C(U ) = {u : U → R | u li¶n töc}.
• C(Ū ) = {u ∈ C(U ) | u li¶n töc ·u}.
• C k (U ) = {u : U → R | u l li¶n töc kh£ vi k l¦n}.
• C k (Ū ) = {u ∈ C k (U ) | Dα u l li¶n töc ·u vîi måi |α| ≤ k }.
Do â: n¸u u ∈ C k (Ū ) th¼ Dα u th¡c triºn li¶n töc tîi Ū vîi måi a ch¿
sè α, |α| ≤ k .
• L2 ([a, b], Rm ): tªp c¡c h m kh£ t½ch bªc hai tr¶n [a, b] v l§y gi¡ trà
trong Rm .
k
∞
• C ∞ (U ) = {u : U → R | u kh£ vi væ h¤n} = ∩∞
k=0 C (U ), C (Ū ) =
k
∩∞
k=0 C (Ū ).
• Cc (U ), Cck (U ), ...,, kþ hi»u c¡c h m trong C(U ), C k (U ), ..., vîi gi¡
compc.
• Lp (U ) = {u : U → R | u l o ÷ñc Lebesgue, kukLp (U ) < ∞}.
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Trong â
kukLp (U )
Z
1
= ( |u|p dx) p
U
(1 ≤ p < ∞).
• L∞ (U ) = {u : U → R | u l o ÷ñc lebesgue, kuk < ∞}.
Trong â
kukLp (U ) = ess sup |u|.
U
• Lploc (U ) = {u : U → R | u ∈ Lp (V ), vîi måi V ⊂⊂ U }.
• H k (U ), Wpk (k = 1, 2, 3...) kþ hi»u c¡c khæng gian Sobolev.
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Mð ¦u
H» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes l¦n ¦u ti¶n ÷ñc nghi¶n cùu v o n«m
1822, cho ¸n nay ¢ câ r§t nhi·u cæng tr¼nh nghi¶n cùu vi¸t v· ph÷ìng
tr¼nh n y tuy nhi¶n nhúng hiºu bi¸t cõa ta v· ph÷ìng tr¼nh n y cán qu¡
khi¶m tèn. Muèn hiºu ÷ñc hi»n t÷ñng sâng dªp sau uæi con t u ch¤y
tr¶n m°t n÷îc hay hi»n t÷ñng hén lo¤n cõa khæng kh½ sau uæi m¡y bay
khi bay tr¶n b¦u tríi...chóng ta ·u ph£i t¼m c¡ch gi£i h» ph÷ìng tr¼nh
Navier-Stokes. Do nhu c¦u cõa Khoa håc v Cæng ngh» m vi»c nghi¶n
cùu h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes c ng trð n¶n thíi sü v c§p thi¸t.
H» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes mæ t£ sü chuyºn ëng cõa ch§t läng
trong Rn (n = 2 ho°c n = 3). Ta gi£ thi¸t r¬ng ch§t läng khæng n²n ÷ñc
l§p ¦y Rn . Ta i t¼m mët h m vectì vªn tèc u(x, t) = (ui (x, t)), i =
1, 2, ..., n v h m ¡p su§t p(x, t), x¡c ành t¤i và tr½ x ∈ Rn v thíi gian
t > 0, thäa m¢n h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes nh÷ sau:
n
∂ui X ∂ui
∂p
+
uj
= ν4ui −
+ fi (x, t)
∂t
∂x
∂x
j
i
j=1
(x ∈ Rn , t > 0, i = 1, 2, ..., n), u = (u1 , u2 , ..., un ),
n
X
∂ui
= 0 (x ∈ R, t > 0).
div u =
∂x
i
i=1
Vîi i·u ki»n ban ¦u
u(x, 0) = uo (x).
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Ð ¥y, h m vectì uo (x) l h m kh£ vi væ h¤n vîi div uo = 0, fi (x, t) l
nhúng h m ¢ bi¸t biºu thà c¡c lüc t¡c ëng b¶n ngo i, ν l mët h» sè
d֓ng.
Luªn v«n gçm ph¦n mð ¦u, ba ch÷ìng v t i li»u tham kh£o. Cö
thº l
Ch÷ìng 1: Mët sè ki¸n thùc chu©n bà.
Ch÷ìng 2: Nghi»m y¸u cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes.
Ch÷ìng 3: Nghi»m m¤nh cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-stokes.
Cuèi còng, tæi xin b y tä sü k½nh trång v láng bi¸t ìn s¥u sc tîi
th¦y gi¡o PGS. TSKH Nguy¹n Minh Tr½, ng÷íi ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n,
t¤o måi i·u ki»n gióp ï tæi ho n th nh luªn v«n n y. Tæi xin ch¥n
th nh c£m ìn Ban chõ nhi»m Khoa Sau ¤i håc, Ban chõ nhi»m Khoa
To¡n Tr÷íng H S÷ ph¤m H Th¡i Nguy¶n còng c¡c th¦y gi¡o, cæ
gi¡o ¢ tham gia gi£ng d¤y kho¡ håc, xin ch¥n th nh c£m ìn gia ¼nh,
b¤n b±, çng nghi»p v c¡c b¤n còng lîp cao håc To¡n K17 ¢ luæn quan
t¥m, ëng vi¶n v gióp ï tæi trong suèt thíi gian håc tªp v l m luªn
v«n.
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Ch֓ng 1
Mët sè ki¸n thùc chu©n bà
Trong ch÷ìng n y tr¼nh b y sì bë v· khæng gian Sobolev, mët sè b§t
¯ng thùc cì b£n, ph÷ìng tr¼nh Stokes, to¡n tû Stokes v mët sè b§t
¯ng thùc v· sè h¤ng phi tuy¸n.
1.1 Khæng gian Sobolev
Trong ph¦n n y tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v k¸t qu£ li¶n quan
¸n khæng gian Sobolev, ph¦n chùng minh chi ti¸t câ thº xem trong [5].
1.1.1 ¤o h m y¸u
ành ngh¾a 1.1.1. Gi£ sû u, v ∈ L1loc(U ) v α l mët a ch¿ sè. Ta nâi
r¬ng v l ¤o h m y¸u c§p α cõa u n¸u
Z
Z
α
|α|
uD φdx = (−1)
vφdx
U
U
óng vîi måi h m thû φ ∈ Cc∞ (U ).
K½ hi»u Dα u = v.
Bê · 1.1.2. (T½nh duy nh§t cõa ¤o h m y¸u). Mët ¤o h m y¸u c§p
α cõa u n¸u tçn t¤i th¼ ÷ñc x¡c ành mët c¡ch duy nh§t (sai kh¡c tr¶n
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
tªp câ ë o khæng).
1.1.2 Khæng gian Sobolev
ành ngh¾a 1.1.3. Cè ành 1 ≤ p ≤ ∞ v cho k l sè nguy¶n khæng
¥m. Khæng gian Sobolev Wpk l tªp t§t c£ c¡c h m kh£ têng àa ph÷ìng
u : U → R sao cho vîi méi a ch¿ sè α, |α| ≤ k , ¤o h m y¸u Dα u tçn
t¤i v thuëc Lp (U ).
Chó þ 1.1.4. N¸u p = 2 ta câ
H k (U ) = W2k (U ) (k = 1, 2, ...)
l khæng gian Hilbert. Chó þ r¬ng H 0 (U ) = L2 (U ).
ành ngh¾a 1.1.5. N¸u u ∈ Wpk (U ), ta ành ngh¾a chu©n cõa nâ l
kukWpk := (
XZ
|α|≤k
|Dα u|p dx)1/p (1 ≤ p < ∞)
U
v
kukWpk :=
X
ess sup |Dα u| (p = ∞).
|α|≤k
U
ành ngh¾a 1.1.6. Bao âng cõa Cc∞(U ) trong H k (U ) ÷ñc k½ hi»u l
H0k (U ).
Nh÷ vªy, ta coi H0k (U ) nh÷ l tªp c¡c h m u ∈ H k (U ) sao cho Dα u = 0
tr¶n ∂U vîi måi |α| ≤ k − 1.
Chóng ta kþ hi»u |u| = kukL2 (Ω) . Chu©n Dirichlet
k∇ukL2 (Ω)
Z X
n
=(
|Di u|2 dx)1/2
Ω i=1
s³ ÷ñc kþ hi»u l kuk.
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
1.1.3 Khæng gian H −1
ành ngh¾a 1.1.7. Khæng gian èi ng¨u cõa H01(U ) ÷ñc k½ hi»u l
H −1 (U ), tùc l f ∈ H −1 (U ) n¸u f l mët phi¸m h m tuy¸n t½nh bà ch°n
tr¶n H01 (U ).
ành ngh¾a 1.1.8. N¸u f ∈ H −1(U ) th¼
kf kH −1 (U ) = sup{< f, u > |u ∈ H01 (U ), kukH01 (U ) ≤ 1}.
Ta vi¸t <, > º k½ hi»u gi¡ trà cõa f ∈ H −1 (U ) tr¶n u ∈ H01 (U ).
ành lþ 1.1.9. (C§u tróc cõa H −1)
(i) Gi£ thi¸t f ∈ H −1 (U ). Khi â tçn t¤i c¡c h m f 0 , f 1 , ..., f n trong
L2 (U ) sao cho
Z
< f, v >=
0
f v+
U
n
X
f i vxi dx (v ∈ H01 (U )).
i=1
(ii) Hìn núa,
kf kH −1 (U )
Z X
n
= inf{(
|f i |2 dx)1/2 | f
U i=0
thäa m¢n (i) vîi f 0 , ..., f n ∈ L2 (U )}.
1.1.4 Khæng gian phö thuëc thíi gian
ành ngh¾a 1.1.10. Khæng gian
Lp (0, T ; X)
gçm t§t c£ c¡c h m o ÷ñc u : [0, T ] → X vîi
Z T
kukLp (0,T ;X) := (
ku(t)kp dt)1/p < ∞
0
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
vîi 1 ≤ p < ∞, v
kukL∞ (0,T ;X) := ess sup ku(t)k < ∞.
0≤t≤T
ành ngh¾a 1.1.11. Khæng gian
Lp (0, T ; Lq )
gçm t§t c£ c¡c h m o ÷ñc u : [0, T ] → Lq vîi
Z T
Z T Z
p
1/p
kukLp (0,T ;Lq ) := (
ku(t, x)k dt) = (
( |u(t, x)|q dx)p/q dt)1/p < ∞
0
0
Ω
vîi 1 ≤ p < ∞, v
kukL∞ (0,T ;Lq ) := ess sup ku(t)kLq (Ω) < ∞.
0≤t≤T
ành ngh¾a 1.1.12. Khæng gian
C([0, T ]; X)
gçm t§t c£ c¡c h m li¶n töc u : [0, T ] → X vîi
kukC([0,T ];X) := max ku(t)k < ∞.
0≤t≤T
ành lþ 1.1.13. Cho u ∈ Wp1(0, T ; X) vîi 1 ≤ p ≤ ∞. Khi â
u ∈ C([0, T ]; X)
Z t
u(t) = u(s) +
u0 (τ )dτ
s
vîi méi 0 ≤ s ≤ t ≤ T . Hìn núa,
max ku(t)k ≤ CkukWp1 (0,T ;X) ,
0≤t≤T
h¬ng sè C ch¿ phö thuëc v o T.
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
ành lþ 1.1.14. Gi£ sû u ∈ L2(0, T ; H01(U )), vîi u0 ∈ L2(0, T ; H −1(U )).
(i) Khi â
u ∈ C([0, T ]; L2 (U )).
(ii) nh x¤
t 7→ ku(t)k2L2 (U )
l li¶n töc tuy»t èi, vîi
d
ku(t)k2L2 (U ) = 2 < u0 (t), u(t) > 0 ≤ t ≤ T h.k.n.
dt
(iii) Hìn núa,
max ku(t)kL2 (U ) ≤ C(kukL2 (0,T ;H01 (U )) + ku0 kL2 (0,T ;H −1 (U )) ),
0≤t≤T
h¬ng sè C ch¿ phö thuëc v o T.
ành lþ 1.1.15. Gi£ thi¸t U
l mð, bà ch°n, ∂U trìn. Cho n l sè
nguy¶n khæng ¥m. Gi£ sû
u ∈ L2 (0, T ; H m+2 (U )), u0 ∈ L2 (0, T ; H m (U )).
(i) Khi â
u ∈ C([0, T ]; H m+1 (U )).
(ii) Hìn núa,
max ku(t)kH m+1 (U ) ≤ C(kukL2 (0,T ;H m+2 (U )) + ku0 kL2 (0,T ;H m (U )) ),
0≤t≤T
h¬ng sè C ch¿ phö thuëc v o T, U v m.
1.2 Mët sè b§t ¯ng thùc cì b£n
1.2.1 B§t ¯ng thùc Cauchy vîi
b2
ab ≤ a +
4
2
(a, b > 0, > 0).
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
1.2.2 B§t ¯ng thùc Holder
Gi£ thi¸t 1 ≤ p, q ≤ ∞,
1
p
+ 1q = 1. Khi â n¸u u ∈ Lp (U ), v ∈ Lq (U ),
ta câ :
Z
|uv|dx ≤ kukLp (U ) kvkLq (U ) .
U
1.2.3 B§t ¯ng thùc nëi suy èi vîi chu©n Lp
Gi£ thi¸t 1 ≤ s ≤ r ≤ t ≤ ∞ v
1
r
s
t
= θs + 1−θ
t . Gi£ sû u ∈ L (U )∩L (U ).
Khi â u ∈ Lr (U ) v
kukLr (U ) ≤ kukθLs (U ) kuk1−θ
Lt (U ) .
1.2.4 B§t ¯ng thùc Gronwall
Cho η(.) l mët h m li¶n töc tuy»t èi, khæng ¥m tr¶n [0, T ] v thäa
m¢n h¦u khp t b§t ¯ng thùc vi ph¥n
η 0 (t) ≤ φ(t)η(t) + ψ(t)
trong â φ(t), ψ(t) l c¡c h m kh£ t½ch, khæng ¥m tr¶n [0, T ]. Khi â
Z t
Rt
φ(s)ds
η(t) ≤ e 0
[η(0) +
ψ(s)ds]
0
vîi ∀ 0 ≤ t ≤ T.
1.2.5 B§t ¯ng thùc Sobolev
Gi£ sû 1 ≤ p < n,
1
p∗
= p1 − n1 . Khi â tçn t¤i h¬ng sè C ch¿ phö thuëc
v o p v n sao cho:
kukLp∗ ≤ CkDukLp (Rn ) .
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
1.3 Ph÷ìng tr¼nh Stokes
1.3.1 ành ngh¾a
Cho Ω l tªp mð, bà ch°n trong Rn . Cho f ∈ L2 (Ω)n . Ph÷ìng tr¼nh
Stokes cho vector u = (u1 , u2 , ...un ) v væ h÷îng f l (ν > 0 l mët h¬ng
sè)
−ν∆u + grad p = f
div u = 0
u=0
trong Ω.
(1.1)
(1.2)
trong Ω.
(1.3)
trong ∂Ω.
N¸u u, p l c¡c h m trìn th¼ t½ch ph¥n tøng ph¦n ta ÷ñc
ν((u, v)) = (f, v), ∀v ∈ V.
(1.4)
Trong â ((u, v)) l t½ch væ h÷îng
((u, v)) =
n
X
Di uDi v.
i=1
Chóng ta nâi r¬ng u l nghi»m y¸u cõa ph÷ìng tr¼nh Stokes (1.1)-(1.3)
n¸u
u∈V
v
ν((u, v)) = (f, v), ∀v ∈ V.
1.3.2 T½nh ch§t
Ng÷íi ta ¢ chùng minh ÷ñc c¡c t½nh ch§t sau (xem [1]) cõa ph÷ìng
tr¼nh Stokes.
ành lþ 1.3.1. Cho Ω l tªp mð, bà ch°n. Khi â vîi méi f ∈ L2(Ω)n, ν >
0 tçn t¤i duy nh§t nghi»m y¸u cõa ph÷ìng tr¼nh Stokes (1.1)-(1.3).
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
ành lþ 1.3.2. Cho Ω l tªp mð, bà ch°n cõa lîp C 2. Khi â vîi méi
f ∈ L2 (Ω)n , ν > 0 tçn t¤i duy nh§t nghi»m u ∈ H 2 (Ω) ∩ V, p ∈ H 1 (Ω)
cõa ph÷ìng tr¼nh Stokes (1.1)-(1.3). Hìn núa,
kukH 2 (Ω) + kpkH 1 (Ω)/R ≤ ckf kL2 (Ω) .
1.4 To¡n tû Stokes
Chóng ta kþ hi»u
V = {ϕ ∈ (C0∞ (Ω))n | divϕ = 0}.
H l bao âng cõa V trong L2 (Ω)n . V l bao âng cõa V trong H01 (Ω)n .
Ta câ
V ⊂ H01 (Ω)n ⊂ L2 (Ω)n → V ⊂ V ⊂ H.
1.4.1 ành ngh¾a
Cho Ω l mët tªp mð, bà ch°n trong R, ∂Ω thuëc lîp C 2 . Cho f ∈
n
L2 (Ω)n . Gåi P : L2 (Ω) → H l ph²p chi¸u Helmoltz-Leray.
ành ngh¾a 1.4.1. To¡n tû Stokes ÷ñc ành ngh¾a l
A : D(A) ⊂ H → H, A = −P∆ , D(A) = H 2 (Ω) ∩ V.
1.4.2 T½nh ch§t
M»nh · 1.4.2. To¡n tû Stokes l èi xùng, tùc l
(Au, v) = (u, Av), ∀u, v ∈ D(A).
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Chùng minh. Tr÷îc h¸t gi£ sû u, v ∈ (C0∞ (Ω))n v div u = div v = 0.
Th¼ tø P u = u, P v = v n¶n (Au, v) = (u, Av) v ta câ
Z
Z
∂ui ∂vi
− (∆ui )vi dx =
dx.
Ω
Ω ∂xj ∂xj
B¥y gií, n¸u u, v ∈ D(A), tòy þ, chóng ta câ thº x§p x¿ chóng trong
H 1 (Ω)n bði mët h m trong V . N¸u u ∈ D(A) v v ∈ V th¼ hiºn nhi¶n
Z
Z
∂ui ∂vi
dx
− (∆ui )vi dx =
∂x
∂x
j
j
Ω
Ω
óng. °c bi»t,
(Au, v) = ((u, v)), ∀u, v ∈ D(A).
Tø ((u, v)) l èi xùng n¶n m»nh · ÷ñc chùng minh. Chóng ta chó þ
r¬ng (Au, v) = ((u, v)) óng vîi u ∈ D(A), v ∈ V.
ành lþ 1.4.3. To¡n tû Stokes l tü li¶n hñp.
ành lþ 1.4.4. Nghàch £o cõa to¡n tû Stokes, A−1, l to¡n tû compact
trong H.
Chùng minh. Cho f ∈ H, A−1 f = u trong â u l nghi»m duy nh§t
thuëc H 2 (Ω) ∩ V = D(A) cõa ph÷ìng tr¼nh Stokes (xem [1]). Ta ¢ bi¸t
A−1 : H → V l bà ch°n. Ta câ K = A−1 l ìn ¡nh, copact v tü li¶n
hñp v¼
< A−1 f, g >=< A−1 f, AA−1 g >=< AA−1 f, A−1 g >=< f, A−1 g > .
Do â tçn t¤i mët d¢y c¡c sè d÷ìng µj > 0, µj+1 ≤ µj v mët cì sð trüc
giao cõa H l (wj ) thäa m¢n Kwj = µj wj . °t λj = µ−1
j ta câ
Awj = λj wj
(1.5)
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
0 < λ1 ≤ ... ≤ λj ≤ λj+1 ≤ ...
(1.6)
lim λj = ∞
(1.7)
j→∞
(wj )j=1,2,... l mët cð sð trüc giao cõa H.
M»nh · 1.4.5. N¸u Ω l bà ch°n thuëc lîp
C l+2 , l ≥ 0 th¼ wj ∈
n
H l+2 (Ω) .
ành ngh¾a 1.4.6. Cho α > 0 l mët sè thüc. Chóng ta ành ngh¾a
to¡n tû Aα bði
α
A (u) =
∞
X
λαj uj wj ,
u=
j=1
α
D(A ) = {u ∈ H | u =
∞
X
uj wj , u ∈ D(Aα ).
j=1
∞
X
uj wj ,
j=1
∞
X
2
λ2α
j |uj | < ∞, uj ∈ R}.
j=1
1.5 B§t ¯ng thùc cho sè h¤ng phi tuy¸n
Chóng ta ành ngh¾a sè h¤ng phi tuy¸n
Z
Z
∂vi
wj dx =
b(u, v, w) =
< u · ∇v, w > dx
uj
∂x
j
Ω
Ω
(1.8)
trong â Ω l tªp bà ch°n, cõa lîp C l vîi l õ lîn, u, v, w ∈ C ∞ (Ω̄)n .
M»nh · 1.5.1. Cho Ω ⊂ Rn l tªp mð, bà ch°n v thuëc lîp C l. Cho
s1 , s2 , s3 l c¡c sè thüc, 0 ≤ s1 ≤ l, 0 ≤ s2 ≤ l − 1, 0 ≤ s3 ≤ l. Gi£ sû
r¬ng s1 + s2 + s3 ≥
n
2
v (s1 , s2 , s3 ) 6= (0, 0, n2 ), (0, n2 , 0), ( n2 , 0, 0) th¼ tçn
t¤i mët h¬ng sè ëc lªp vîi s1 , s2 , s3 , Ω sao cho
|b(u, v, w)| ≤ c|Ω|
s1 +s2 +s3
− 21
n
1+[s ]−s1
k u k[s1 ],Ω1
s −[s ]
1+[s ]−s3
2
× k v k[s22 ]+2,Ω
k w k[s3 ],Ω3
s −[s ]
1+[s ]−s
1
2
2
k u k[s11 ]+1,Ω
k v k[s2 ]+1,Ω
×
s −[s ]
3
k w k[s33 ]+1,Ω
.
(1.9)
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
vîi måi u, v, w ∈ C ∞ (Ω̄)n .
Chó þ 1.5.2. ×îc l÷ñng (1.9) câ thº suy ra
|b(u, v, w)| ≤ c|Ω|
s1 +s2 +s3
− 12
n
k u ks1 ,Ω k v ks2 +1,Ω k u ks3 ,Ω .
Chó þ 1.5.3. Trong tr÷íng hñp (s1 , s2 , s3 ) l mët trong c¡c vectì (0, 0, n2 ),
(0, n2 , 0), ( n2 , 0, 0) t÷ìng ùng vîi mët ¡nh gi¡ cõa d¤ng L∞ . Khi â ta
câ c¡c ¡nh gi¡ sau:
t
1−t
|b(u, v, w)| ≤ ckukL∞ kvk1,Ω kwk0,Ω ≤ ckuk1−t
l0 ,Ω kukl,Ω kvk1,Ω kwk0,Ω . (1.10)
vîi
n
2
= (1 − t)l0 + tl, t ∈ (0, 1), Ω thuëc lîp C l .
t
|b(u, v, w)| ≤ ckuk0,Ω kvk1,Ω kwkL∞ ≤ ckuk0,Ω kvk1,Ω kwk1−t
l0 ,Ω |wkl,Ω . (1.11)
t
|b(u, v, w)| ≤ ckuk0,Ω kwk0,Ω k∇vkL∞ ≤ ckuk0,Ω kwk0,Ω kvk1−t
l0 +1,Ω kvkl+1,Ω .
(1.12)
Vîi u, v, w ∈ V ta câ t½nh ch§t °c bi»t sau cõa sè h¤ng phi tuy¸n
b(u, v, w) = −b(u, w, v),
(1.13)
b(u, v, v) = 0.
(1.14)
Thªt vªy, trong tr÷íng hñp khæng gian 3 chi·u ta câ
b(u, v, v) =
3 Z
X
i,j=1
Ω
ui
∂vj
vj ds
∂xi
3 Z
1X
∂
=
ui
(vj )2 ds
2 i,j=1 Ω ∂xi
3 Z
1X
∂ui
=−
(vj )2 ds
2 i,j=1 Ω ∂xi
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
3 Z X
3
1X
∂ui 2
=−
( (
)v )ds = 0.
2 j=1 Ω i=1 ∂xi j
V¼
3
X
∂ui
i=1
∂xi
= div u = 0.
Tø â suy ra
b(u, v, w) + b(u, w, v) = b(u, v + w, v + w) = 0.
Do â ta câ (1.13).
ành ngh¾a 1.5.4. Cho u, v ∈ C ∞(Ω̄)n. Chóng ta ành ngh¾a B(u, v)
bði
B(u, v) = P (u · ∇v)
trong â P l ph²p chi¸u Helmoltz-Leray.
M»nh · 1.5.5. Cho Ω ⊂ Rn l tªp mð, bà ch°n, cõa lîp
C l . Cho
s1 , s2 , s3 l c¡c sè thüc thäa m¢n 0 ≤ s1 ≤ l, 0 ≤ s2 ≤ l − 1, 0 ≤
s3 ≤ l. Gi£ sû r¬ng s1 + s2 + s3 ≥ n/2 v (s1 , s2 , s3 ) khæng l (n/2, 0, 0),
(0, n/2, 0), (0, 0, n/2). Khi â tçn t¤i mët h¬ng sè c = c(s1 , s2 , s3 , Ω) thäa
m¢n, ∀u, v ∈ C ∞ (Ω̄)n
|A−s3 /2 B(u, v)| ≤ c|Ω|
s1 +s2 +s3
− 12
2
1+[s ]−s
1+[s ]−s1
kuk[s1 ],Ω1
s −[s ]
2
2
2
×kvk[s2 ]+1,Ω
kvk[s22 ]+2,Ω
.
s −[s ]
1
×
kuk[s11 ]+1,Ω
(1.15)
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Ch֓ng 2
Nghi»m y¸u cõa h» ph÷ìng tr¼nh
Navier-Stokes
2.1 Mët sè b§t ¯ng thùc ÷îc l÷ñng nghi»m cõa h»
ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes
Chóng ta x²t Ω ⊂ Rd , d = 2 ho°c d = 3 l tªp mð bà ch°n cõa lîp
C l , l ≥ 2 õ lîn. H» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes s³ ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng:
du
+ νAu + B(u, u) = f
dt
(2.1)
u(0) = u0 .
(2.2)
Trong ch÷ìng n y chùng minh sü tçn t¤i nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh
Navier-Stokes b¬ng ph÷ìng ph¡p x§p x¿ galerkin. ¦u ti¶n chóng ta
mæ t£ ph÷ìng ph¡p x§p x¿ Galerkin. â l h» c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n
th֒ng.
Cho m l sè nguy¶n d÷ìng. Chóng ta x²t w1 , w2 , ..., wm l m vectì
ri¶ng cõa A. X²t ph²p chi¸u pm : H −→ span(H).
T¡c ëng Pm v o (2.1) ta ÷ñc
d
Pm u = νA(Pm u) + Pm B(u, u) = Pm f.
dt
(2.3)
19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
- Xem thêm -