Tài liệu Tính toán và vẽ mặt fermi của một số kim loại và hợp chất

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ VŨ THỊ HỒNG HẠNH TÍNH TOÁN VÀ VẼ MẶT FERMI CỦA MỘT SỐ KIM LOẠI VÀ HỢP CHẤT KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý chất rắn Hà Nội, 2019 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ VŨ THỊ HỒNG HẠNH TÍNH TOÁN VÀ VẼ MẶT FERMI CỦA MỘT SỐ KIM LOẠI VÀ HỢP CHẤT KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý chất rắn Ngƣời hƣớng dẫn: TS. Nguyễn Thế Lâm Hà Nội, tháng 5 năm 2019 LỜI CẢM ƠN Sau suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, ngoài sự nỗ lực của bản thân cùng sự hướng dẫn, em luôn nhận được sự quan tâm, giúp đỡ, hỗ trợ tận tình của thầy cô, gia đình, bạn bè và người thân. Đến nay luận văn đã được hoàn thành. Nhân dịp này, em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến: TS. Nguyễn Thế Lâm, người hướng dẫn trực tiếp, thầy đã tận tình giúp đỡ, đóng góp nhiều ý kiến quan trọng giúp em hoàn thành luận văn. Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô khoa Vật lý trường Đại học sư phạm Hà Nội 2. Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, người thân và bạn bè đã luôn ủng hộ, động viên, giúp đỡ để em có thể hoàn thành tốt luận văn. Hà Nội, tháng 5 năm 2019 Sinh viên Vũ Thị Hồng Hạnh LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan rằng đề tài: “Tính toán và vẽ mặt Fermi của một số kim loại và hợp chất” là công trình nghiên cứu của em. Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Hà Nội, tháng 5 năm 2019 Sinh viên Vũ Thị Hồng Hạnh DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT FCC: lập phương tâm mặt BCC: lập phương tâm khối HCP: lục giác xếp chặt dHvA: de Haas-van Alphen MỤC LỤC MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1 CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ MẶT FERMI VÀ KIM LOẠI ............... 3 1.1. Cấu trúc của mặt Fermi ........................................................................... 3 1.2. Động học của các electron trên mặt Fermi ............................................... 7 1.3. Đo đạc thực nghiệm về mặt Fermi ......................................................... 10 CHƢƠNG 2: PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU, TÍNH TOÁN MẶT FERMI ........................................................................................................ 12 2.1. Các phương pháp lý thuyết nghiên cứu mặt Fermi ................................. 12 2.1.1. Phân bố Fermi – Dirac ........................................................................ 12 2.1.2. Nồng độ electron ................................................................................ 13 2.1.3. Phương pháp gần đúng liên kết chặt ................................................... 14 2.1.4. Phương pháp giả thế ........................................................................... 17 2.2. Các phương pháp thực nghiệm nghiên cứu mặt Fermi ........................... 19 2.2.1. Phương pháp hiệu ứng skin dị thường ................................................ 19 2.2.2. Phương pháp cộng hưởng cyclotron ................................................... 23 2.2.3. Hiệu ứng Shubnikov-de Haas ............................................................. 26 2.2.4. Hiệu ứng de Haas-van Alphen ............................................................ 31 CHƢƠNG 3: TÍNH TOÁN VÀ VẼ MẶT FERMI CHO MỘT SỐ KIM LOẠI VÀ HỢP CHẤT...................................................................... 37 3.1. Tính toán phổ điện tử cho một số tinh thể điển hình .............................. 37 3.2. Tính năng lượng Fermi của vàng (Au) ................................................... 41 3.3. Tính năng lượng Fermi của hợp kim Ni-Cu ........................................... 41 3.4. Tính năng lượng Fermi của crom (Cr) ................................................... 42 3.5. Tính năng lượng Fermi của hợp kim Fe-Al............................................ 43 3.6. Tính năng lượng Fermi của kẽm (Zn) .................................................... 44 3.7. Tính năng lượng Fermi của rutheni (Ru) ............................................... 45 KẾT LUẬN ................................................................................................. 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................... 48 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong cuộc cách mạng khoa học kỹ thuật hiện nay ngành Vật lý chất rắn đóng một vai trò đặc biệt quan trọng. Vật lý chất rắn đã tạo ra những vật liệu cho các ngành kỹ thuật mũi nhọn như điện tử, du hành vũ trụ, năng lượng nguyên tử, y học hiện đại.... Vật lý chất rắn là môn học nghiên cứu các tính chất vật lý của chất rắn. Bằng các mô hình tinh thể ta có thể rút ra các tính chất cơ bản của các vật liệu như: kim loại, chất bán dẫn, điện môi, vật liệu từ, siêu dẫn,.... Nghiên cứu vật lý chất rắn vừa giúp hiểu được các cơ chế vật lý xảy ra trong chất rắn, đề xuất được những hướng phát triển mới cho những mô hình lý thuyết mới, chế tạo vật liệu mới, sử dụng vật rắn chúng trong thực tiễn kỹ thuật và đời sống. Các tính chất điện, từ của kim loại và hợp chất được thể hiện rất nhiều thông qua hình dạng của bề mặt Fermi, bởi vì các tính chất điện, quang, từ của vật rắn đều do các electron tự do (dẫn) quyết định. Mặt Fermi có thể nói là mặt năng lượng của các electron tự do dòng điện là do sự thay đổi về khả năng chiếm dụng của các trạng thái gần bề mặt Fermi. Biết được mặt Fermi ta có thể tính được nhiều thông số cho một số kim loại, hợp chất. Xuất phát từ kiến thức được học môn vật lí chất rắn ta tính toán và vẽ được mặt Fermi cho một số kim loại, hợp chất cụ thể từ đây ta có thể dễ dàng nghiên cứu được các tính chất của chúng. Chính vì những lí do trên nên em đã chọn đề tài “Tính toán và vẽ một mặt Fermi của một số kim loại” để làm đề tài nghiên cứu khóa luận tốt nghiệp đại học của mình. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu - Tính phổ điện tử cho một các tinh thể điển hình. - Tính năng lượng Fermi của một số kim loại và hợp chất. - Vẽ mặt Fermi của một số kim loại và hợp chất. 1 3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu - Tính toán phổ điện tử cho một các tinh thể điển hình. - Tính năng lượng Fermi của vàng (Au), hợp kim Ni-Cu, crom (Cr), hợp kim Fe-Al, kẽm (Zn) (HCP, FCC), rutheni (Ru). - Vẽ mặt Fermi cho một số kim loại và hợp chất. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu Trong khi thực hiện đề tài này, em có sử dụng một số phương pháp nghiên cứu sau đây: - Phương pháp nghiên cứu lí thuyết. - Giải các phương trình bằng phương pháp số. - Ứng dụng một số phần mềm để vẽ mặt Fermi. 5. Nội dung chính của đề tài, các vấn đề cần giải quyết Chương 1: Tổng quan về mặt Fermi và kim loại Chương 2: Phương pháp nghiên cứu, tính toán mặt Fermi Chương 3: Tính toán và vẽ mặt Fermi cho một số kim loại và hợp chất Kết luận Tài liệu tham khảo 6. Kết quả dự kiến - Tính được phổ điện tử cho một các tinh thể điển hình. - Tính được năng lượng Fermi của vàng (Au), hợp kim Ni-Cu, crom (Cr), hợp kim Fe-Al, kẽm (Zn) (HCP, FCC), rutheni (Ru). - Vẽ được mặt Fermi của một số kim loại và hợp chất. 2 CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ MẶT FERMI VÀ KIM LOẠI 1.1. Cấu trúc của mặt Fermi  Vùng Briloanh và cách dựng vùng Briloanh: Khi giải phương trình Schrodinger một electron đối với mạng tinh thể một chiều, ta nhận được kết quả: phổ năng lượng của electron bị gián đoạn tại các điểm: k n a (1.1) trong đó n là số nguyên dương hoặc âm. Hình 1.1. Các vùng Briloanh đối với mạng một chiều gồm các nguyên tử giống nhau, hằng số mạng bằng a Các điểm này chia giá trị của vectơ sóng k thành các khoảng gọi là các vùng Briloanh. Thí dụ: khoảng  / a  k   / a gọi là vùng Briloanh thứ nhất, các khoảng 2 / a  k   / a và  / a  k  2 / a tạo thành vùng Briloanh thứ hai,… (hình 1.1). Các điểm trong vùng Briloanh thỏa mãn điều kiện phản xạ Bragg. Vì thế ta có thể xác định các vùng Briloanh một cách trực tiếp bằng cách sử dụng phương trình Bragg dưới dạng: 2kG  G 2  0 (1.2) Thí dụ, ta xét một mạng tinh thể hai chiều vuông góc đơn giản với hằng số mạng a. Các vectơ cơ sở của mạng đảo của tinh thể này có dạng: a*  2 2 x và b*  y a a x, y là các vectơ đơn vị theo hai phương x và y, do đó vectơ mạng đảo G có thể viết như sau: 3 G  m1a *  m 2 b *  2 (m1 x  m 2 y ) a (1.3) Vectơ sóng k có thể viết theo hai thành phần kx và ky: k  kx x  k y y (1.4) Thay (1.3) và (1.4) vào (1.2), ta được: m1k x  m2k y   2 (m12  m22 ) (1.5) với x.x  y. y  1 và x. y  0 . Ta tìm được các biên của vùng Briloanh thứ nhất bằng cách cho m1  1, m2  0 , ta được kx   / a và m1  0, m2  1, ta được k y   / a . Như vậy, vùng Briloanh thứ nhất là một hình vuông có cạnh 2 / a (hình 1.2). Hình 1.2. Ba vùng Briloanh đầu tiên đối với mạng tinh thể hai chiều vuông góc đơn giản Các biên của vùng Briloanh thứ hai ta có thể tìm được bằng cách cho m1  1 và m2  1 . Khi cho m1  1 và m2  1 , ta được k x  k y  2 a m1  1 và m2  1 , ta được  k x  k y  m1  1 và m2  1 , ta được k x  k y  4 2 a 2 a m1  1 và m2  1 , ta được  k x  k y  2 a Bốn phương trình trên mô tả bốn đường thẳng nghiêng góc 450 so với các trục k x và k y . Vùng Briloanh thứ hai là vùng được giới hạn bởi các biên của vùng một và vùng hai (hình 1.2). Tương tự, các biên vùng Briloanh thứ ba sẽ được xác định, nếu cho m1 và m2 các giá trị 0, ±1, ±2. Các vùng Briloanh trong tinh thể ba chiều cũng được xác định trực tiếp từ phương trình Bragg như trên, nhưng sẽ phức tạp hơn.  Bề mặt Fermi của kim loại kiềm (đơn, mạng BCC) KIM LOẠI HÓA TRỊ I Kim loại kiềm (BCC) 2 Li: 1s 2s Kim loại hiếm (FCC) 1 - Na: [Ne]3s1 - K: [Ar]4s1 Rb: [Kr]5s1 Cu: [Ar]3d104s1 Ag: [Kr]4d105s1 Cs: [Xe]6s1 Au: [Xe]4f145d106s1 Dãy đơn giản của kim loại thuộc hệ tinh thể này là các kim loại kiềm hóa trị một (K, Na,…). Vùng Briloanh thứ nhất của mạng lập phương tâm khối được chỉ ra ở hình 1.3. Đó là một khối giới hạn bởi 12 mặt thoi giống nhau, nằm cách tâm vùng những khoảng cách bằng nhau 2 / a , với a là hằng số mạng. Ô cơ sở của mạng lập phương tâm khối có thể tích V  a3 và chứa N = 2 nguyên tử. Do đó, bán kính mặt cầu Fermi kF của các electron tự do (trong điều kiện giả thế Veff (r )  0 ) bằng: 2   6  k F   3 2 3      1,241 a  a    a 1/3 1/3 (1.6) Khoảng cách ngắn nhất d từ tâm đến mặt thoi là d 2  (1 / 2) 2  (1 / 2) 2  0  2 a a 5 (1.7) Như vậy, giá trị của kF nằm trong khoảng 0 < kF < d, nghĩa là mặt cầu Fermi nằm hoàn toàn trong vùng Briloanh thứ nhất. Hình 1.3. Mặt Fermi trong vùng Briloanh thứ nhất đối với kim loại kiềm khi giả thể Veff (r )  0  Bề mặt Fermi của kim loại quý (đơn, mạng FCC) Các kim loại quý (Cu, Ag, Au) là các kim loại thuộc hệ tinh thể này. Vùng Briloanh thứ nhất của mạng lập phương tâm mặt là một khối giới hạn bởi 14 mặt trong đó có 8 mặt lục giác và 6 mặt vuông. Ô cơ sở của mạng loại này chứa N = 4 nguyên tử, do đó bán kính mặt cầu Fermi kF của các electron tự do (trong điều kiện giả thế Veff (r )  0 ) bằng: 4    12   k F   3 2 3      1,563 a  a    a 1/3 1/3 (1.8) Khoảng cách ngắn nhất từ tâm đến mặt vuông là ds  2 2 2 1 00  a a (1.9) Khoảng cách ngắn nhất từ tâm đến mặt lục giác là dh  2  (1 / 2) 2  (1 / 2) 2  (1 / 2) 2  3 a a (1.10) Như vậy, giá trị của kF nằm trong khoảng 0 < kF < dh, nghĩa là mặt cầu Fermi của electron nằm hoàn toàn trong vùng Briloanh thứ nhất. Vì thế hiệu dụng trong các tinh thể kim loại này là lớn hơn trong kim loại kiềm nên mặt Fermi ở gần tâm các mặt lục giác bị biến dạng: tại đó mặt Fermi không kín mà hở và dính vào biên vùng (hình 1.4). 6 Hình 1.4. Mặt Fermi trong vùng Briloanh thứ nhất đối với đồng (Cu) khi giả thế Veff  0 1.2. Động học của các electron trên mặt Fermi Xét một bó sóng với vị trí trung bình r và vectơ sóng k , sau đó:    1  n k  r k  k      k  q  r k      c      ở đây phép đạo hàm bỏ qua   (1.11) Trong đó, q: điện tích, E : vectơ cường độ điện trường, B : vectơ cường độ từ trường, c: vận tốc ánh sáng. Phạm vi có hiệu lực: Điều này giống như lực Lorentz thông thường. Nhưng nó chỉ có hiệu lực khi biến đổi có thể bị bỏ qua (xấp xỉ một dải tần) (có thể không hợp lệ trong khoảng cách nhỏ hoặc chất bán dẫn pha tạp nặng, nhưng không bao giờ bị vi phạm trong kim loại). eEa g g F (1.12) c g g , c 1,16.104  B / T  eV F (1.13) • E và B có thể không đồng nhất trong không gian, nhưng chúng phải nhẵn hơn nhiều so với mạng tinh thể. • E và B có thể dao động theo thời gian, nhưng với điều kiện  7 g Bloch electron trong một điện trường đều: dk  eE  k (t )  eEt dt (1.14)  Phân tán năng lượng (sơ đồ vùng định kỳ, 1D) Hình 1.5. Phân tán năng lượng (1D) • Trong trường điện một chiều, các electron giảm tốc độ và đảo ngược chuyển động của nó ở ranh giới Briloanh. • Một thế hiệu dịch DC tạo ra dòng điện xoay chiều (gọi là dao động Bloch). Một phần được lấp đầy mà không bị tán xạ Hình 1.6. Một phần được lấp đầy mà không bị tán xạ Một phần được lấp đầy với thời gian tán xạ Hình 1.7. Một phần được lấp đầy với thời gian tán xạ Mật độ dòng điện: j  (  e) 1  vk V k filled (1.15) • Tại sao dao động không được quan sát trong các tinh thể thông thường? Để hoàn thành một chu trình (là hằng số mạng) e/ =2 /a  T=h/ea Với E = 104 V/cm và a = 1 A, T = 10-10 s Một electron Bloch không thể đến ranh giới vùng mà không khử pha. 8 Để quan sát nó, người ta cần • Trường E mạnh hơn → nhưng chỉ tối đa khoảng 106 V/cm (đối với bán dẫn). • a lớn hơn → sử dụng siêu mạng (ví dụ: a = 100A). • Giảm thời gian va chạm → sử dụng tinh thể với chất lượng cao. - Dao động Bloch tạo ra sóng cực ngắn: tần số ~ 1012~13, bước sóng  0.01mm  0.1mm  Bloch electron trong một từ trường đồng nhất dk v 1  (k )  e  B , vk  dt c k  k .B  0, k .vk  1 d  (k ) 0 dt (1.16) Do đó, 1. Thay đổi k là vuông góc với trường B, k| | không thay đổi Và 2. (k) là hằng số chuyển động  Quỹ đạo cyclotron trong không gian thực Các phân tích trên cho chúng ta quỹ đạo trong không gian k. Còn quỹ đạo trong không gian r thì sao? e c k   r  B  r   2 Bk  r c eB  r (t )  r (0)   c ˆ B   k (t )  k (0)  eB Quỹ đạo r Quỹ đạo k • Quỹ đạo r được quay 900 so với quỹ đạo k và được thu nhỏ bởi c / eB  B 2 9 (1.17) • Bước sóng λB = 256 A với B = 1 tesla 1.3. Đo đạc thực nghiệm về mặt Fermi Hình 1.9. Hình trụ Landau Chu kỳ của dao động de Haas - van Alphen tỷ lệ thuận với mặt cắt ngang của bề mặt Fermi với các hình trụ Landau. Nếu trường từ đang chỉ theo hướng z, trạng thái k trong mặt phẳng xy bị giới hạn trong các vòng tròn và theo hướng z thì không có gì xảy ra. Đó là lý do tại sao ta có được hình trụ trong 3 chiều. Nếu ta áp dụng trường từ cho kim loại theo một hướng và thay đổi cường độ của trường, các hình trụ Landau bắt đầu di chuyển qua bề mặt Fermi, vì khoảng cách giữa chúng tỷ lệ với B. Kết quả của những điều này là các dao động trong tất cả các thuộc tính (mọi thứ phụ thuộc vào mật độ của các trạng thái như năng lượng bên trong). Trong trường hợp đặc biệt này của dao động de Haas - van Alphen, nó đã từ hóa. Hình 1.10 cho thấy dòng điện sinh ra nếu ta áp dụng trường từ theo hướng 111 hoặc 100 cho kim loại này. Bây giờ ta áp dụng từ trường theo nhiều hướng khác nhau để có được thông tin về toàn bộ bề mặt Fermi. Nó có thể xảy ra nhiều hơn một vùng trên bề mặt Fermi song song với các trụ Landau. Trong trường hợp này, ta nhận được một mô hình đập. Đó là một dao động cơ bản được thay đổi. Ta có thể biến đổi nó và nó sẽ cung cấp cho ta các thành phần tần số và biên độ của các dao động. Ta có thể tính khoảng thời gian ngoài tần số và sử dụng phương trình (1.18) để chúng phù hợp với mặt cắt ngang tương ướng.  1 1  4 2e S    Bn 1 Bn  trong đó: S: diện tích mặt cắt ngang của bề mặt Fermi 10 (1.18)  1 1  B  B  : chu kỳ  n1 n  Hình 1.10. Dao động de Haas - van Alphen 11 CHƢƠNG 2: PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU, TÍNH TOÁN MẶT FERMI 2.1. Các phƣơng pháp lý thuyết nghiên cứu mặt Fermi 2.1.1. Phân bố Fermi – Dirac Sự phân bố electron tuân theo thống kê Fermi – Dirac. Hàm phân bố cân bằng của electron ứng với hình chiếu spin xác định là: 1 f  E (k )   e E ( k )  k BT (2.1) 1 Đó chính là hàm phân bố Fermi – Dirac. Nó cho ta xác suất để trong trạng thái cân bằng nhiệt của khí electron lí tưởng, ở nhiệt độ T, trạng thái có   năng lượng E k bị electron chiếm. Đại lượng  là hàm của nhiệt độ và được xác định từ điều kiện tổng số electron của hệ có giá trị không đổi. Đại lượng  gọi là thế hóa học. Hình 2.1. Đường biểu diễn hàm phân bố Fermi – Dirac Ở nhiệt độ T  0 K , hàm phân bố (2.1) nhận giá trị bằng 1 nếu     E k  o và giá trị 0 nếu E k  o .  o là giá trị của  ở T  0 K . o  EF được gọi là năng lượng Fermi. Vậy ở 0K, thế hóa học có giá trị bằng năng lượng Fermi tại nhiệt độ đó. Đường biểu diễn của (2.1) ở T  0 K có dạng như hình 2.1a. Ta thấy hàm phân số giảm đột ngột từ giá trị 1 xuống 0 ở 12 E=o  EF . Như vậy, EF chính là mức năng lượng cao nhất bị electron chiếm ở T  0K . Khi T  0 K , hàm phân bố được biểu diễn trên hình 2.1b, c, d, e, g theo thứ tự nhiệt độ tăng. Trong các trường hợp này, thế hóa học  được xác định từ điều kiện tổng số hạt (electron) của hệ không thay đổi, tức:  n   f ( E ) Z ( E )dE (2.2) 0 với n là mật độ hạt (số hạt trong một đơn vị thể tích), Z(E) là mật độ trạng thái, Z(E)dE là số các trạng thái trong khoảng năng lượng từ E đến E+dE tính trong một đơn vị thể tích vật rắn. Từ (2.2), suy ra ở T = 0K, thì: o n   Z ( E )dE (2.3) 0 Từ (2.1), ta thấy ở T  0 K , khi E (k )   o thì hàm f(E) có giá trị bằng 1/2. Theo hình 2.1, ở T  0 K , các mức năng lượng E  o bị chiếm hoàn toàn (xác suất bị chiếm bằng 1) còn các mức với E  o bị bỏ trống hoàn toàn. Khi T  0 K , trạng thái ứng với năng lượng E  o bị chiếm với xác suất 1/2. Một số trạng thái ứng với E  o bị chiếm, còn một số trạng thái với E  o lại bị bỏ trống (xác suất trạng thái bị chiếm nhỏ hơn 1). 2.1.2. Nồng độ electron Nồng độ electron n trong trạng thái không cân bằng nhiệt được có dạng:  n   g ( E )f(E)dE (2.4) 0 trong đó f(E) là hàm phân bố Fermi – Dirac và g(E) là mật độ trạng thái của 21/2.(m*)3/2 1/2 E . Ta lấy gốc tính năng electron ở gần vùng dẫn có dạng g ( E )   2. 3 lượng ở đáy vùng dẫn, tức Ec  0 . 13