ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
—————————————————
NGUYỄN THỊ THẢO LY
TÍNH TAUT CỦA MIỀN HARTOGS
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên – 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
—————————————————
NGUYỄN THỊ THẢO LY
TÍNH TAUT CỦA MIỀN HARTOGS
Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN HUỆ MINH
Thái Nguyên – 2016
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng luận văn mà tôi trình bày ngay sau đây là công
trình nghiên cứu của riêng tôi với sự hướng dẫn chu đáo và tận tình của
TS. Trần Huệ Minh.
Tôi không sao chép từ bất kỳ một công trình nào khác. Tôi kế thừa và
phát huy các thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự biết ơn chân
thành.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016
Người viết luận văn
Nguyễn Thị Thảo Ly
i
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và chu đáo của
TS. Trần Huệ Minh, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô, người đã
dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ em hoàn thành luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo bộ môn
của trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, Trường
Đại học Sư phạm Hà Nội đã tận tình giảng dạy, khích lệ và tạo mọi điều
kiện thuận lợi trong quá trình học tập của em. Em cũng xin bày tỏ lòng
biết ơn tới thầy giáo chủ nhiệm lớp Toán cao học K22, thầy Trần Nguyên
An, người đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ chúng em trong quá trình học tập.
Em xin cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa
Toán, Phòng Đào tạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã
tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ em trong suốt thời gian em học tập.
Cuối cùng, em xin cảm ơn các bạn, các anh chị học viên học cùng lớp cao
học Toán K22 đã luôn giúp đỡ em trong quá trình học tập, cảm ơn người
thân và gia đình đã luôn luôn động viên và ủng hộ em về mọi mặt để em có
thể hoàn thành tốt luận văn cũng như khóa học của mình.
Em xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016
Người viết luận văn
Nguyễn Thị Thảo Ly
ii
Mục lục
Lời cam đoan
i
Lời cảm ơn
ii
Mục lục
iii
Mở đầu
1
1 Kiến thức chuẩn bị
3
1.1
Các hàm bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Giả khoảng cách Kobayashi . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3
Tính hyperbolic ứng với các hàm bất biến . . . . . . . . . .
6
1.4
Giả metric vi phân Royden - Kobayashi trên không gian phức
7
1.5
Hàm điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.6
Hàm đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.7
Miền cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.8
Miền taut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.9
Siêu lồi và miền Hartogs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
iii
1.10 Dạng Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Tính taut của các miền Hartogs
11
12
2.1
Tiêu chuẩn Royden cho tính taut của các miền trong Cn . .
12
2.2
Tính taut của miền Hartogs . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.3
Tính taut của miền Hartogs với thớ cân bằng . . . . . . . .
32
2.4
Tính taut của miền Hartogs - Laurent . . . . . . . . . . . .
37
Kết luận
40
Tài liệu tham khảo
40
iv
Danh mục kí hiệu
B1 (λ0 , γ0 ) := B|·| (λ0 , γ0 ), λ0 ∈ C, γ0 > 0;
Bn (z, R) := Bk·k (z, R), R ∈ Cn , R > 0;
| · |≡k · kC : chuẩn Euclid trong C;
k · k≡k · knC : chuẩn Euclid trong Cn ;
L b G : L là compact tương đối trong G;
∂G: Biên của G;
E := B1 (0, 1) : đĩa đơn vị trong mặt phẳng phức;
TX: không gian tiếp xúc Zariski của X;
O(G1 , G2 ) : tập hợp các ánh xạ chỉnh hình từ G1 vào G2 ;
O(G) := O(G, C);
C ↑ (G) : tập hợp tất cả các hàm nửa liên tục trên f : G → [−∞, +∞);
C(G) := C(G, C);
SH(B): tập hợp tất cả các hàm điều hòa dưới trên B;
PSH(G): tập hợp tất cả các hàm đa điều hòa dưới trên G;
d := (dG )G∈G ;
kG : giả khoảng cách Kobayashi trên G.
v
Mở đầu
Bài toán quan trọng đầu tiên của giải tích phức hyperbolic là chỉ ra lớp
các không gian phức hyperbolic. Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu
tính hyperbolic của những lớp không gian phức cụ thể cũng như tìm hiểu
những lớp không gian phức hyperbolic ở dạng tường minh đã thu hút được
sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Miền Hartogs thuộc vào một trong số
những lớp không gian phức như vậy.
Như chúng ta đã biết, mỗi không gian phức taut là hyperbolic do đó ta có
thể chứng tỏ tính hyperbolic của một không gian phức bằng cách chứng tỏ
tính taut của nó. Luận văn "Tính taut của miền Hartogs" nhằm tìm hiểu và
nghiên cứu tính taut của miền Hartogs Ωϕ (X) thông qua tính taut của X;
sử dụng tiêu chuẩn của Royden cho các miền taut để nghiên cứu tính taut
của miền Hartogs Ω = Ωu,h (G) trên một miền G ⊂ Cn với thớ cân bằng
m chiều, đồng thời chỉ ra điều kiện cần cho một miền Hartogs - Laurent
Σ = Σu,v (G) trên một miền G ⊂ Cn là taut.
Luận văn gồm 42 trang, trong đó có phần mở đầu, nội dung hai chương,
phần kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo.
Chương 1. Trình bày tổng quan và hệ thống lại các khái niệm, các tính
chất cần thiết cho chương sau.
1
Chương 2. Trình bày tiêu chuẩn Royden cho tính taut của các miền trong
Cn , nghiên cứu tính taut của miền Hartogs Ωϕ (X) và chỉ ra đặc trưng đầy
đủ cho tính taut của lớp các miền Hartogs với thớ cân bằng m chiều Ωu,h (G)
đồng thời nghiên cứu tính taut của miền Hartogs - Laurent Σu,v (G).
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt các kết quả được nghiên
cứu trong luận văn và danh mục tài liệu tham khảo.
Bản luận văn chắc chắn không tránh khỏi những khiếm khuyết, vì vậy
em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các
bạn học viên để luận văn này thêm hoàn thiện hơn.
2
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương 1 ta kí hiệu E là đĩa đơn vị trong mặt phẳng phức,
O(G1 , G2 ) là tập các ánh xạ chỉnh hình từ G1 vào G2 với tôpô compact
mở, O(G) = O(G, C).
1.1
Các hàm bất biến
Định nghĩa 1.1.1. Cho G là tập các miền trong Cn , ρ là khoảng cách
Poincare trên đĩa đơn vị E , tức là
|1−ζ|
ρ(λ, ζ) = tanh−1 ( |1−
), λ, ζ ∈ E .
λ̄ζ|
Một họ d := (dG )G∈G các hàm dG : G × G → R>0 được gọi là co rút chỉnh
hình nếu
i) d là chuẩn tắc, tức là dE = ρ.
ii) d thoả mãn tính chất giảm, tức là G, D ∈ G ta có
dD (f (z), f (ω)) 6 dG (z, ω), f ∈ O(G, D), z, ω ∈ G.
Chú ý 1.1.2. - Điều kiện ii) suy ra được họ d là bất biến đối với các ánh xạ
3
song chỉnh hình, để cho ngắn gọn, ta gọi dG ∈ d(G ∈ G) là hàm bất biến.
0
00
- Với Gj ∈ G, zj , zj ∈ Gj , j ∈ {1, 2} ta có
0
0
00
00
0
00
0
00
dG1 ×G2 ( (z1 , z2 ), (z1 , z2 ) ) ≥ max{ dG1 (z1 , z1 ), dG2 (z2 , z2 ) }
(∗)
Ta nói họ d của các hàm bất biến có tính chất tích nếu đẳng thức trong
0
00
(∗) đạt được với bất kỳ Gj ∈ G, zj , zj ∈ Gj , j ∈ {1, 2}.
Định nghĩa 1.1.3. Cho D là một tập khác ∅, một hàm d : D × D → R>0
gọi là một giả khoảng cách trên D nếu
i) d(x, x) = 0, x ∈ D
ii) d là đối xứng, tức là d(x, y) = d(y, x), x, y ∈ S
iii) d thoả mãn bất đẳng thức tam giác, tức là
d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y), x, y, z ∈ D.
Giả khoảng cách d trên D được gọi là khoảng cách trên D nếu thoả mãn
thêm điều kiện d(x, y) = 0 ⇔ x = y với mọi x, y ∈ D.
Nhận xét 1.1.4. Cho G ∈ G, z, ω ∈ G. Tồn tại một ánh xạ ϕ ∈ O(E, G) có
miền giá trị chứa cả z và ω . Và bất kỳ f ∈ O(G, E), ta có f ◦ ϕ ∈ O(E, E)
và do đó
ρ(f (z), f (ω)) = ρ( (f ◦ ϕ)(λ), (f ◦ ϕ)(ζ) ) 6 ρ(λ, ζ),
trong đó λ, ζ ∈ E với ϕ(λ) = z, ϕ(ζ) = ω.
Như vậy, ta có thể xác định được hai co rút chỉnh hình bằng cách xét các
ánh xạ từ G vào E và từ E vào G như sau, với z, ω ∈ G ∈ G , ta đặt
cG (z, ω) :=
sup
f ∈O(G,E)
4
ρ(f (z), f (ω)),
k̃G (z, ω) :=
inf
ρ(λ, ζ).
ϕ∈O(E,G)
ϕ(λ)=z,ϕ(ζ)=ω
Theo chú ý 1.1.4, hàm k̃G là hàm giá trị thực không âm và do vậy cG cũng
là hàm giá trị thực không âm. Dễ thấy rằng c := (cG )G∈G và k̃ := (k̃G )G∈G
là các hàm co rút chỉnh hình và với bất kỳ G ∈ G , hàm cG là giả khoảng
cách, k̃G là đối xứng nhưng trong trường hợp tổng quát nó không thoả mãn
bất đẳng thức tam giác. Hơn nữa, nếu (dG )G∈G là các hàm co rút chỉnh hình
cG 6 dG 6 k̃G ,
thì
G ∈ G.
Ta gọi cG là giả khoảng cách Caratheodory của G và k̃G là hàm Lempert
của G.
1.2
Giả khoảng cách Kobayashi
Cho G ∈ G là một miền trong Cn , z, ω ∈ G. Xét dãy các điểm
{p0 = z, p1 , ..., pµ−1 , pµ = ω} ⊂ G,
xét dãy các điểm {λj }j=1,µ của E và dãy các ánh xạ {ϕj }j=1,µ trong O(E, G)
∀j = 1, ..., µ.
thoả mãn ϕj (0) = pj−1 , ϕj (λj ) = pj ,
Ta gọi tập α = {p0 , ..., pµ , λ1 , ..., λµ , ϕ1 , ..., ϕµ } là một dây chuyền chỉnh
hình nối z và ω trong G.
Với mọi dây chuyền như vậy, ta lập tổng
µ
P
ρ(0, λj ). Đặt
j=0
µ
X
kG (z, ω) = inf {
ρ(0, λj ), α ∈ Ω z,ω },
α
j=0
trong đó Ω z,ω là tập hợp tất cả các dây chuyền chỉnh hình trong G nối z và ω .
Khi đó kG là giả khoảng cách và được gọi là giả khoảng cách Kobayashi trên
G.
5
Ta dễ dàng chứng minh được các tính chất sau của kG
i) kG là hàm liên tục
ii) Nếu f ∈ O(G1 , G2 ) thì f là giảm khoảng cách đối với giả khoảng cách
Kobayashi, tức là kG1 (p, q) ≥ kG2 (f (p), f (q)), ∀p, q ∈ G1
iii) kE = %E .
(2)
Ta định nghĩa một hàm kG xác định bởi
(2)
kG (a, z) := inf { %(0, λ) + %(0, ζ) : ϕ, ψ ∈ O(E, G),
λ, ζ ∈ E, ϕ(0) = a, ϕ(λ) = ψ(0),
ψ(ζ) = z }, a, z ∈ G.
Rõ ràng
1.3
(2)
kG ≥ kG .
Tính hyperbolic ứng với các hàm bất biến
Định nghĩa 1.3.1. Cho (dG )
G∈G
là họ các hàm bất biến. Ta nói miền
G ∈ Cn là d - hyperbolic nếu dG (z, ω) > 0 với mọi z, ω ∈ G với z 6= ω .
Nếu miền G là d - hyperbolic thì tôpô sinh ra bởi dG trùng với tôpô ban
đầu của G.
Định nghĩa 1.3.2. Cho D ⊂ Cm là một miền và (G, dG ) là một không
gian mêtric. Ta nói họ F ⊂ O(D, G) là liên tục đồng bậc tương ứng với
khoảng cách dG nếu với bất kỳ ε > 0 và z0 ∈ D, tồn tại một lân cận mở
U ≡ U (z0 ) ⊂ D của z0 sao cho
dG ( f (z0 ), f (z) ) < ε với bất kỳ z ∈ U, f ∈ F.
6
Chú ý 1.3.3. 1. Lấy (dG ) G∈G là một họ co rút chỉnh hình là giả khoảng
cách. Nếu một miền G ⊂ Cn là d - hyperbolic, thì O(E, G) là liên tục đồng
bậc ứng với kG .
2. Dễ thấy rằng nếu miền G ⊂ Cn mà họ O(E, G) là liên tục đồng bậc ứng
với dG , trong đó (G, dG ) là một không gian mêtric thì G là k - hyperbolic.
3. Lấy G b Cn là một miền compact tương đối trong Cn , thì tồn tại
R > 0 sao cho G b Bn (z, R) với bất kỳ z ∈ G. Vì vậy
kG (z, ω) > k
Bn (z,R) (z, ω)
= ρ(0,
||z − ω||
||z − ω||
)>
,
R
R
z, ω ∈ G,
suy ra G là k - hyperbolic.
1.4
Giả metric vi phân Royden - Kobayashi trên không gian
phức
Giả sử X là một không gian phức, TX là không gian tiếp xúc Zariski của
X, e0 =
∂
∂z |z=0
∈ T0 Er là véctơ tiếp xúc đơn vị.
- Nón Royden - Kobayashi của X được định nghĩa như sau
0
Con X = {υ ∈ T X; ∃ϕ ∈ O(Er , X); ∃u ∈ T0 Er sao cho ϕ (u) = υ}.
- Giả mêtric vi phân Royden - Kobayashi là hàm trên TX được định nghĩa
như sau
inf { 1 ; ∃ϕ ∈ O(Er , X); ϕ(0) = z, ϕ0 (e0 ) = υ}, nếu υ ∈ Con X.
r
FX (z, υ) =
∞, nếu υ 6∈ Con X.
7
1.5
Hàm điều hòa dưới
Hàm u : G → [−∞, ∞) được gọi là điều hoà dưới trong miền G ⊂ Cn
nếu u thoả mãn hai điều kiện sau
i) u là nửa liên tục trên trong G, tức là tập {z ∈ G|u(z) < s} là tập mở
với mỗi số thực s.
ii) Với mỗi tập con mở compact tương đối Ω của G và mọi hàm h : Ω → R
là điều hoà trong Ω và liên tục trong Ω̄, ta có nếu u 6 h ở trên ∂G thì u 6 h
ở trên Ω.
Ta có tiêu chuẩn điều hòa dưới sau
Để hàm u nửa liên tục trên trong miền G là điều hòa dưới trong G, điều
kiện cần và đủ là với mỗi điểm z ∈ G, tồn tại r0 (z) > 0 sao cho
Z 0
1
u(z + reit )dt, với mọi r < r0 .
u(z) ≤
2π 2π
1.6
Hàm đa điều hòa dưới
Định nghĩa 1.6.1. Hàm ϕ : G → [−∞; ∞) được gọi là đa điều hoà dưới
trong miền G ⊂ Cn ( ký hiệu ϕ ∈ PSH(G) ) nếu
i) ϕ là hàm nửa liên tục trên trên G sao cho ϕ 6= −∞ trên mỗi thành
phần liên thông của G.
ii) Với mỗi điểm a ∈ G, với mọi b ∈ Cn , hàm λ 7→ ϕ(a + λb) là điều
hoà dưới hoặc đồng nhất bằng −∞ trên mỗi thành phần liên thông của tập
{λ ∈ C : a + λb ∈ G}.
Định lý 1.6.2. [10] Cho ϕ : G → [−∞, ∞) là một hàm nửa liên tục trên
8
và ϕ 6= −∞ trên bất cứ thành phần liên thông của G. Khi đó ϕ ∈ P SH(G)
khi và chỉ khi với mỗi a ∈ G, b ∈ Cn mà {a + λb : λ ∈ G, |λ| 6 1} ⊂ G, ta
ϕ(a) 6 l(ϕ; a, b),
có
trong đó l(ϕ; a, b) =
1
2π
R 2π
0
ϕ(a + eit b)dt.
Định lý 1.6.3. [10](Nguyên lý cực đại) Giả sử D ⊂ Cm là một miền bị
chặn và u là hàm đa điều hoà dưới trên D, u 6≡ const. Khi đó
u(z) < sup {lim
sup u(z)}.
z→ω
ω∈∂D z∈D
1.7
Miền cân bằng
Định nghĩa 1.7.1. Cho D là một miền trong Cm , D gọi là miền cân bằng
nếu với bất kỳ ω ∈ D, λ ∈ Ē , ta có λω ∈ D.
b>0 bởi
Ta định nghĩa một hàm h ≡ hD : Cm → R
hD (ω) = inf {α > 0 :
ω
∈ D}, ω ∈ Cm ,
α
hD được gọi là hàm Minkowski của D.
Như vậy D = {ω ∈ Cm |hD (ω) < 1}, và ta viết D = Dh .
Dễ thấy h là một hàm nửa liên tục trên và
h(λω) = |λ|, h(ω), λ ∈ C, ω ∈ Cm ,
h ≡ 0 nếu và chỉ nếu Dh = Cm .
Mệnh đề 1.7.2. [10] Cho D = Dh ⊂ Cm là một miền cân bằng trong Cm .
Khi đó
(1) D là bị chặn khi và chỉ khi tồn tại C > 0 sao cho h(ω) > C||ω||, với
bất kỳ ω ∈ Cm .
9
(2) D không chứa đường thẳng phức qua 0 khi và chỉ khi h là xác định
dương trên Cm , tức là h(ω) > 0 với ∀ω ∈ Cm
∗ .
(3) Nếu h ∈ C(Cm ), h > 0 trên Cm
∗ thì D là miền bị chặn.
Mệnh đề 1.7.3. [10] Nếu một miền cân bằng D = Dh ⊂ Cm là bị chặn thì
h là một tựa chuẩn trên Cm .
1.8
Miền taut
Cho G là một miền trong Cn , trên O(E, G) ta trang bị tôpô compact mở
- Dãy {fj }∞
j=1 ⊂ O(E, G) được gọi là phân kỳ compact nếu với mỗi tập
con compact K của E, mỗi tập con compact L của G, tồn tại j0 ∈ N sao
cho fj (K) ∩ L = ∅, với mọi j ≥ j0 .
- Họ O(E, G) được gọi là họ chuẩn tắc nếu mỗi dãy {fi }∞
i=1 trong O(E, G)
chứa một dãy con {fiυ } hoặc là hội tụ đều trên mỗi tập con compact tới
K
ánh xạ f ∈ O(E, G) ( ký hiệu fiυ =⇒ f ) hoặc là phân kỳ compact.
- Miền G được gọi là taut nếu họ O(E, G) là một họ chuẩn tắc.
1.9
Siêu lồi và miền Hartogs
- Hàm ϕ : X −→ [−∞, ∞) gọi là hàm vét cạn nếu ϕ−1 ( [−∞, c] ) là
compact với mọi c ∈ R.
- Không gian phức X được gọi là siêu lồi nếu X là Stein và X có một hàm
vét cạn đa điều hòa dưới âm liên tục.
10
- Giả sử ϕ là hàm đa điều hòa dưới trên X. Miền Ωϕ (X) cho bởi
Ωϕ (X) = { (x, λ) ∈ X × C; | λ |< e−ϕ(x) },
được gọi là miền Hartogs liên kết với ϕ.
1.10
Dạng Levi
Giả sử u là hàm lớp C 2 trong một tập con mở của Cn và ω = (ω1 , ..., ωn ) ∈
Cn . Ta định nghĩa
n
X
∂ 2 u(p)
hLu(p)ω, ωi =
ωi ω̄j
∂z
∂
z̄
i
j
i,j=1
là dạng Levi của u tại p.
Với G là tập con mở của Cn ta có: Hàm u thuộc lớp C 2 trong G là hàm
đa điều dưới nếu và chỉ nếu hLu(p)ω, ωi ≥ 0, ∀p ∈ G, ∀ω ∈ Cn .
Nếu hLu(p)ω, ωi > 0, ∀p ∈ G, ∀ω ∈ Cn , ω 6= 0 thì u được gọi là hàm đa
điều hòa dưới chặt.
11
Chương 2
Tính taut của các miền Hartogs
Trước tiên, ta sẽ trình bày tiêu chuẩn Royden cho tính taut của các miền
trong Cn , sử dụng tiêu chuẩn này, ta sẽ chỉ ra được một đặc trưng đầy đủ
cho tính taut của lớp các miền Hartogs với thớ cân bằng, hơn nữa ta có thể
đưa ra một điều kiện cần để một miền Hartogs - Laurent là taut.
2.1
Tiêu chuẩn Royden cho tính taut của các miền trong Cn
Định lý 2.1.1. [5] Cho G ⊂ Cn là một miền. Các tính chất sau là tương
đương
a) G là một miền taut
(m)
b) Với bất kỳ m ∈ N, R > 0 và z0 ∈ G, tập {z ∈ G : kG (z0 , z) < R} là
một tập con compact tương đối của G
(2)
c) Với bất kỳ R > 0 và z0 ∈ G, tập {z ∈ G : kG (z0 , z) < R} là một tập
con compact tương đối của G.
Chứng minh.
a) ⇒ b). Giả sử b) không đúng, tức là ta có thể tìm được m ∈ N, R > 0,
12
z0 ∈ G và một dãy (zυ )υ∈N các điểm zυ ∈ G có các tính chất sau
υ→∞
(m)
kG (z0 , zυ ) < R và zυ −→ z̃ ∈ ∂G hoặc zυ → ∞ khi υ → ∞. (∗)
Từ định nghĩa, ta có thể chọn các hàm ϕυ,j ∈ O(E, G), 1 ≤ j ≤ m và
các điểm συ,j ∈ E, 1 ≤ j ≤ m có tính chất
zυ,1 (0) = z0 , ϕυ,j (συ,j ) = ϕυ,j+1 (0), 1 ≤ j ≤ m
m
X
ϕυ,m (συ,m ) = z0 và
ρ(0, συ,j ) < R.
j=1
Vì ϕυ,1 (0) = z0 , tồn tại một dãy con (ϕ1υ,1 ) ⊂ (ϕυ,1 ) sao cho ϕ1υ,1 hội tụ
đều trên các tập compact đến ϕ1 ∈ O(E, G) và ϕ1 (0) = z0 .
υ→∞
Ta có thể giả thiết rằng σ1υ,1 −→ σ1 ∈ E và ta viết ϕ1 (0) = z0 và
ϕ1 (σ1 ) = lim ϕ1υ,1 (σ1υ,1 ) = lim ϕ1υ,2 (0).
υ→∞
υ→∞
Lặp lại lập luận trên nhiều lần, ta có một dãy con (ϕmυ,1 ) ⊂ (ϕυ,1 ), ...
..., (ϕmυ,m ) ⊂ (ϕυ,m ) và (σmυ,1 ) ⊂ (συ,1 ), ..., (σmυ,m ) ⊂ (συ,m ) với
j→∞
K
ϕ mυ,j =⇒ ϕj ∈ O(E, G), σ mυ,j −→ σj ∈ E
υ→∞
và ϕ1 (0) = z0 , ϕj (σj ) = ϕj+1 (0), 1 ≤ j ≤ m
ϕm (σm ) = lim zmυ .
υ→∞
Điều này mâu thuẫn với (*).
b) ⇒ c) Hiển nhiên.
c) ⇒ d) Lấy dãy (fj )j ⊂ O(E, G).
Ta giả sử dãy này là không phân kỳ compact, tức là tồn tại các tập
compact K ⊂ E và L ⊂ G và một dãy con (f1j ) ⊂ (fj ) sao cho f1j (K)∩L 6=
∅ với mọi j.
13
- Xem thêm -