Tài liệu Tính ổn định của nghiệm dừng của phương trình vi phân dưới tác dụng của nhiễu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ THÙY DUNG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM DỪNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DƯỚI TÁC DỤNG CỦA NHIỄU KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ THÙY DUNG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM DỪNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DƯỚI TÁC DỤNG CỦA NHIỄU KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học ThS. Trần Văn Tuấn HÀ NỘI – 2018 LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thạc sĩ Trần Văn Tuấn đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành đề tài này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã chỉ dẫn em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa. Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, động viên và giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài khóa luận này. Em xin cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Thùy Dung 1 LỜI CAM ĐOAN Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và nghiên cứu. Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt sự hướng dẫn tận tình của Thạc sĩ Trần Văn Tuấn. Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khóa luận này em đã tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo ở cuối khóa luận. Em xin khẳng định kết quả của đề tài Tính ổn định của nghiệm dừng của phương trình vi phân dưới tác dụng của nhiễu không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác. Hà Nội, tháng 05 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Thùy Dung Mục lục Mở đầu iv 1 Kiến thức chuẩn bị 2 1.1 Không gian chuẩn hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Tích vô hướng của hai véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Không gian Metric, không gian Metric đầy và nguyên lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Khái quát về hệ phương trình vi phân 8 . . . . . . . . . . 11 1.4.1 Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm đối với phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.3 Các trường hợp đặc biệt của phương trình . . . . 14 1.4.4 Bổ đề Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Tính ổn định của nghiệm dừng của phương trình vi phân dưới tác dụng của nhiễu 22 2.1 Khái niệm tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Tính ổn định của phương trình vi phân tuyến tính . . . . 27 2.3 Tính ổn định của phương trình vi phân bị nhiễu . . . . . 33 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.4 NGUYỄN THỊ THÙY DUNG Hàm kỹ thuật Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Kết luận 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY DUNG Lời mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Có rất nhiều bài toán xuất phát từ thực tế, chẳng hạn, ta muốn khảo sát sự biến động của hệ sinh thái, hệ động lực học hay khảo sát sự ổn định của mật độ dân cư,. . . Các nhà khoa học, kĩ sư thường quan tâm đến sự tác động của ngoại cảnh ảnh hưởng thế nào đến quá trình vận động tiếp theo của hệ. Để khảo sát sự ổn định của quá trình đó người ta thường mô hình hóa toán học vào các hệ đó. Trong thực tế, người ta mong muốn dưới tác động nhỏ của ngoại lực thì trạng thái cân bằng của hệ vẫn ổn định. Do đó lý thuyết ổn định được hình thành, phát triển một cách sâu rộng, mạnh mẽ và được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như: khoa học kỹ thuật, kinh tế, sinh học,... Lý thuyết ổn định là một phần quan trọng trong lý thuyết định tính phương trình vi phân. Ngày nay, lý thuyết ổn định đã được nghiên cứu một cách hệ thống, đạt được nhiều thành tựu và được trình bày trong nhiều tài liệu chuyên khảo [1, 4, 5]. Với mục đích tìm hiểu lý thuyết ổn định đối với phương trình vi phân tôi chọn đề tài: “Tính ổn định của nghiệm dừng của phương trình vi phân dưới tác dụng của nhiễu” dưới sự hướng dẫn của thầy Trần Văn Tuấn để thực hiện khóa luận tốt nghiệp của mình. 2. Mục đích nghiên cứu a) Tìm hiểu phương trình vi phân thường; Bài toán Cauchy đối với iv Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY DUNG phương trình vi phân; Lý thuyết ổn định đối với phương trình vi phân tuyến tính hoặc phi tuyến. b) Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov để kiểm tra tính ổn định của nghiệm dừng của các phương trình bị nhiễu. 3. Đối tượng nghiên cứu Phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến. Các phương pháp để kiểm tra tính ổn định của nghiệm dừng của phương trình vi phân bị nhiễu. 4. Phạm vi nghiên cứu a) Phương trình vi phân và tính ổn định của nghiệm dừng. b) Phương trình vi phân bị nhiễu và tính ổn định của nghiệm dừng của phương trình vi phân theo phương pháp hàm Lyapunov. 5. Phương pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích các bài giải minh họa, tích cực nghiên cứu dưới sự chỉ bảo của thầy giáo hướng dẫn. 6. Cấu trúc đề tài Khóa luận được trình bày trong hai chương Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Chương 2. Tính ổn định của nghiệm dừng của phương trình vi phân dưới tác dụng của nhiễu. Hà Nội, tháng 05 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Thùy Dung v Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY DUNG BẢNG KÍ HIỆU N Tập số tự nhiên Z Tập số nguyên R Tập số thực C Tập số phức. R+ Tập số thực không âm C[a, b] Tập các hàm liên tục trên đoạn [a, b]. Rn Không gian Euclide n chiều, với x = (x1 , x2 , . . . , xn ) là các phần tử trong Rn , !1/2 n X chuẩn Euclide kxk = |xi |2 , i=1 Reλ Phần thực của λ spec(A) Phổ của A (tập các giá trị riêng của A) x = (x1 , · · · , xn ) Phần tử của Rn |x| Chuẩn của phần tử x, bằng  Kết thúc chứng minh 1 p x21 + · · · + x2n Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm, kết quả liên quan đến không gian metric, không gian metric đầy, nguyên lý Banach về ánh xạ co được sử dụng trong khóa luận, chi tiết có thể tham khảo [1, 5]. 1.1 Không gian chuẩn hữu hạn chiều Kí hiệu Rn là không gian véc tơ thực n chiều. Các phần tử của nó là các véc tơ n chiều có dạng x = (x1 , x2 , . . . , xn ). Đôi khi ta cũng viết véc tơ x dưới dạng một ma trận cột. Các số thực x1 , x2 , . . . , xn được gọi là tọa độ của véc tơ x. Phép cộng véc tơ được xác định bằng phép cộng các tọa độ, phép nhân véc tơ với một số thực cũng được xác định tương tự. Cho trước ma trận cấp n × m (n-dòng, m-cột), khi đó chúng ta thu được ánh xạ tuyến tính e : R m → Rn , B 2 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY DUNG e = Bx, trong đó Bx là kí hiệu của véc tơ cột cho bởi công thức Bx P m  b x  j=1 1j j    m  P  b2j xj    Bx :=  j=1 ,   . ..    n  P bmj xj j=1 trong đó bji là kí hiệu của phần tử ở vị trí giao của dòng thứ i với cột thứ j của ma trận B, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m. Ngược lại, mọi ánh xạ tuyến tính Rm → Rn đều có dạng trên. Ma trận chuyển vị B ∗ của B là ma trận cấp m × n với các phần tử là b∗ji = bij , ∀1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m. Đặc biệt, với bất kì ma trận thực A cấp n × n từ một ánh xạ tuyến tính trong không gian Rn vào chính nó thì ma trận A đó được gọi là ma trận không suy biến nếu định thức của nó là một hằng số khác 0. Khi đó tồn tại duy nhất một ma trận nghịch đảo, kí hiệu là A−1 và xác định bởi công thức A × A−1 = A−1 × A = I, trong đó, ta kí hiệu I là ma trận đơn vị cấp n. Định nghĩa 1.1. Một chuẩn trên Rn là ánh xạ k·k : Rn → [0, +∞) thỏa mãn các tiên đề sau (i) kxk ≥ 0, ∀x ∈ Rn . 3 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY DUNG (ii) kxk = 0 ⇔ x = 0. (iii) kλxk = |λ| kxk , ∀λ ∈ R, x ∈ Rn . (iv) kx + yk ≤ kxk + kyk , ∀x, y ∈ Rn . Các hàm dưới đây là các ví dụ cụ thể cho chuẩn trong Rn . kxk := max |xi |, kxk1 = (1.1) 1≤i≤n n X |xi |, (1.2) i=1 kxke := n X ! 21 x2i . (1.3) i=1 Với một chuẩn bất kì trên Rn luôn cảm sinh một tôpô trên chính nó (tôpô sinh bởi chuẩn). Từ đó cho phép ta định nghĩa khái niệm hội tụ và  một số khái niệm điển hình về tôpô như sau. Ta nói dãy xj j≥1 ∈ Rn hội tụ tới x trong Rn với chuẩn k·k nếu lim xj − x = 0. j→∞ Hình cầu mở tâm a ∈ Rn và bán kính r là tập {x ∈ Rn ; kx − ak < a} . Hình cầu đóng tâm a ∈ Rn và bán kính r là tập {x ∈ Rn ; kx − ak ≤ a} . Chúng ta cũng có thể định nghĩa khái niệm tôpô của bao đóng, tập 4 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY DUNG đóng, tập mở và tính liên tục. Theo đó, một tập D ⊂ Rn được gọi là mở nếu với mọi điểm x0 ∈ D, tồn tại một hình cầu mở tâm x0 và chứa trong D. Tập C ⊂ Rn được gọi là đóng nếu mọi dãy điểm trong C hội tụ và hội tụ tới một điểm trong C. Tập K ⊂ Rn gọi là compact nếu mọi dãy điểm trong K chứa một dãy con hội tụ tới một điểm trong K. Cuối cùng, tập D được gọi là bao ngoài nếu nó chứa vô số hình cầu. Ta có thể thấy rằng sự hội tụ theo chuẩn tương đương với sự hội tụ theo tọa độ.  Chính xác hơn, nếu cho một dãy xj ∈ Rn , xj = (xj1 , xj2 , . . . , xjn ), thì lim xj = x = (x1 , x2 , . . . , xn ) j→∞ ⇔ lim xjk = xk , ∀k = 1, 2, . . . , n. j→∞ Ta nói hai chuẩn k·k1 và k·k2 là tương đương nếu tồn tại một hằng số C ≤ 1 sao cho 1 kxk2 ≤ kxk1 ≤ Ckxk2 . C (1.4) Theo đó, các khái niệm tập con đóng, tập con mở, tập con compact của Rn cũng được định nghĩa tương tự với mọi chuẩn trên Rn . Cho một ma trận thực cấp n × n với các phần tử {aij ; 1 ≤ i, j ≤ n}, chuẩn của nó là một số thực kAk = max i n X j=1 5 |aij | . (1.5) Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY DUNG Trong không gian véc tơ các ma trận tuyến tính cấp n × n (không 2 gian tuyến tính n2 chiều Rn ), ánh xạ A → kAk thỏa mãn tất cả các tiên đề (i) − (iv) trong Định nghĩa 1.1 (i) kAk ≥ 0. (ii) kAk = 0 ⇔ A = 0. (iii) kλAk = |λ| kAk , ∀λ ∈ R. (iv) kA + Bk ≤ kAk + kBk. Theo đó, ta nói rằng dãy ma trận (Aj )j≥1 hội tụ tới ma trận A khi j → ∞, chúng ta sẽ kí hiệu rằng A = lim Aj , khi lim kAj − Ak = 0. j→∞ Nếu ta kí hiệu ajk` , j→∞ 1 ≤ k, ` ≤ n các phần tử của ma trận Aj , ak` , 1 ≤ k, ` ≤ n các phần tử của ma trận A thì lim Aj = A ⇔ lim ajk` = ak` , ∀k, `. j→∞ j→∞ Nếu k·k là chuẩn trên Rn xác định bởi (1.1), chúng ta có bất đẳng thức sau kAxk ≤ kAk kxk , ∀x ∈ Rn . 1.2 Tích vô hướng của hai véc tơ Cho hai véc tơ x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn 6 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY DUNG Ta định nghĩa rằng tích vô hướng của chúng là một số thực có dạng (x, y) := n X x k yk . (1.6) k=1 Chúng ta có thể coi tích vô hướng như một hàm (·, ·) : Rn × Rn → R. Không khó để thấy rằng nó thỏa mãn các tính chất sau (x, y) = (y, x) , ∀x, y ∈ Rn , (1.7) (x, y + z) = (x, y) + (x, z) , (λx, y) = λ (x, y) , ∀x, y, z ∈ Rn , λ ∈ R, (1.8) (x, x) ≥ 0, ∀x ∈ R, (x, x) = 0 ⇔ x = 0. (1.9) Ta thấy rằng hàm k·ke xác định bởi 1 kxke := (x, x) 2 , x ∈ Rn , (1.10) chính xác là chuẩn trong. Không gian véc tơ Rn được trang bị với tích vô hướng (1.6) và chuẩn (1.10) được gọi là không gian Euclide thực n chiều. Trong không gian Euclide, chúng ta có thể định nghĩa khái niệm về toán tử trực giao, đối xứng và nói chung, chúng ta có thể mở rộng thành công một phần lớn của hình học Euclide cổ điển. 7 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.3 NGUYỄN THỊ THÙY DUNG Không gian Metric, không gian Metric đầy và nguyên lý điểm bất động Định nghĩa 1.2. (Định nghĩa không gian Metric). Cho X là một tập hợp tuỳ ý. Ta nói ánh xạ d : X × X −→ [0, ∞) là một metric trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X, d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X. Một tập X được trang bị cùng với một metric d được gọi là không gian metric và được kí hiệu là (X, d). Một không gian metric (X, d) được trang bị một tôpô tự nhiên. Thật vậy, với mọi điểm x0 ∈ X thừa nhận một hệ các lân cận bao gồm các tập có dạng S(x0 , r), trong đó S(x0 , r) là hình cầu mở bán kính r tâm tại x0 , đó là, S(x0 , r) := {x ∈ X; d(x, x0 ) < r}. (1.11) Trong trường hợp riêng, chúng ta có thể định nghĩa khái niệm hội tụ.. Chúng ta nói rằng dãy {xn }n≥1 ⊂ X hội tụ đến x ∈ X và viết là lim xn = n→∞ x nếu lim d(xn , x) = 0. n→∞ 8 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY DUNG Đẳng thức này cũng có nghĩa là ∀ε > 0, ∃N (ε) ∈ N sao cho d(xn , x) ≤ ε, ∀m, n ≥ N (ε). Định nghĩa 1.3. (Định nghĩa không gian Metric đầy). Không gian metric (X, d) được gọi là đầy nếu mọi dãy cơ bản bất kỳ trong X hội tụ. Định nghĩa 1.4. (Định nghĩa ánh xạ co). Cho hai không gian metric (X, d1 ), (Y, d2 ). Ánh xạ A : (X, d1 ) → (Y, d2 ) gọi là ánh xạ co, nếu tồn tại số α ∈ [0, 1) sao cho d2 (Ax1 , Ax2 ) ≤ αd1 (x1 , x2 ), ∀x1 , x2 ∈ X. Định lý 1.1. (Nguyên lý Banach về ánh xạ co). Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đầy (X, d) vào chính nó đều có điểm bất động x̄ duy nhất, nghĩa là x̄ ∈ X thỏa mãn hệ thức Ax̄ = x̄. Chứng minh. Lấy một điểm bất kì x0 ∈ X và lập dãy {xn } với xn = Axn−1 (n = 1, 2, . . .) ta được d(x2 , x1 ) = d(Ax1 , Ax0 ) ≤ αd(x1 , x0 ) = αd(Ax0 , x0 ), d(x3 , x2 ) = d(Ax2 , Ax1 ) ≤ αd(x2 , x1 ) ≤ α2 d(Ax0 , x0 ), .. . d(xn+1 , xn ) = d(Axn−2 , Axn−1 ) ≤ αd(xn , xn−1 ) ≤ αn d(Ax0 , x0 ) 9 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY DUNG với n ∈ N∗ . Từ đó suy ra ∀n, p ∈ N∗ ta có d (xn+p , xn ) ≤ d (xn+p , xn+p−1 ) + d (xn+p−1 , xn+p−2 ) + . . . + d (xn+1 , xn ) . Hay d(xn+p , xn ) ≤ p X d(xn+k , xn+k−1 ) k=1 p X ≤ d(Ax0 , x0 ) αn+k−1 k=1 n n−p α −α d(Ax0 , x0 ) 1−α αn ≤ d(Ax0 , x0 ). 1−α = Vì 0 ≤ α < 1 nên lim αn = 0. Do đó, ∀p ∈ N∗ , lim d(xn+p , xn ) = 0, n→∞ n→∞ nghĩa là dãy {xn } là dãy cơ bản trong không gian Metric đầy (X, d). Từ đó tồn tại lim xn = x̄ ∈ X. Hơn nữa n→∞ d(Ax̄, x̄) ≤ d(Ax̄, xn ) + d(xn , x̄) = d(Ax̄, Axn−1 ) + d(xn , x̄) (1.12) ≤ αd(xn−1 , x̄) + d(xn , x̄), ∀ n = 1, 2, . . . Cho n → ∞ trong bất đẳng thức (1.12), ta được d(Ax̄, x̄) = 0 hay Ax̄ = x̄, nghĩa là x̄ là điểm bất động của ánh xạ A. 10 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY DUNG Giả sử tồn tại điểm ȳ ∈ X mà Aȳ = ȳ. Khi đó d(x̄, ȳ) = d(Ax̄, Aȳ) ≤ αd(x̄, ȳ) ⇒ (1 − α)d(x̄, ȳ) ≤ 0 ⇒ d(x̄, ȳ) = 0, (0 ≤ α < 1) ⇒ x̄ = ȳ. Vì vậy x̄ là điểm bất động duy nhất của ánh xạ A. Định lý được chứng minh. 1.4 1.4.1 Khái quát về hệ phương trình vi phân Hệ phương trình vi phân Xét hệ phương trình vi phân thường cấp một có dạng tổng quát ẋ (t) = f (t, x(t)), t ≥ 0 (1.13) trong đó x(·) ẩn hàm, t ≥ 0 là biến thời gian, x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)), f : Rn × [0, ∞) → Rn cho bởi f (t, z) = (f1 (t, z), . . . , fn (t, z)) và  dx1 dt    ẋ1    dx  .   .   ẋ(t) := =  ..  =  ..  dt     dxn ẋn dt Định nghĩa 1.5. Nghiệm x(t) của phương trình vi phân (1.13) là một hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)) có đạo hàm và thoả mãn phương trình trên nửa khoảng [0, +∞). 11 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ THÙY DUNG Giả sử x(0) = x0 = (x1 0 , x2 0 , . . . , xn 0 ) với xi 0 (i = 1, 2, . . . , n) đã biết. Khi đó, bài toán đi tìm nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.13), ẋ(t) = f (t, x(t)) với điều kiện ban đầu x(0) = x0 gọi là bài toán Cauchy. Nhận xét 1.1. Xét phương trình vi phân tuyến tính bậc n x(n) = f (t, x, x0 , x00 , . . . , x(n−1) ). (1.14) Đặt x = x1 , x0 = x2 , . . . , x(n−1) = xn . Khi đó ta có hệ phương trình vi phân cấp một sau     x01       x02          x0n = x2 , = x3 , (1.15) .. . = f (t, x1 , x2 , . . . , xn ). Nếu x = x(t) là nghiệm của phương trình (1.14) thì x1 = x(t), x2 = x0 (t), . . . , xn = x(n−1) (t) là nghiệm của (1.15). Ngược lại, nếu x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t) là nghiệm của hệ (1.15) thì hàm x = x1 (t) là nghiệm của phương trình (1.14). 12