Tài liệu Tính liên tục của số mũ lyapunov cho phương trình vi phân không ôtônôm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– HÀ LAN ANH TÍNH LIÊN TỤC CỦA SỐ MŨ LYAPUNOV CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHÔNG ÔTÔNÔM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– HÀ LAN ANH TÍNH LIÊN TỤC CỦA SỐ MŨ LYAPUNOV CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHÔNG ÔTÔNÔM Chuyên ngành: Giải Tích Mã số: 8 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS. TSKH. Đoàn Thái Sơn THÁI NGUYÊN - 2019 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu khoa học độc lập của riêng bản thân tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TSKH. Đoàn Thái Sơn. Các nội dung nghiên cứu, kết quả trong luận văn này là trung thực và chưa từng công bố dưới bất kỳ hình thức nào trước đây. Ngoài ra, trong luận văn tôi có sử dụng một số kết quả của các tác giả khác đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc. Nếu phát hiện bất kỳ sự gian lận nào tôi xin chịu trách nhiệm về nội dung luận văn của mình. Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2019 Tác giả Hà Lan Anh Xác nhận của khoa chuyên môn Xác nhận của người hướng dẫn PGS. TSKH. Đoàn Thái Sơn i Lời cảm ơn Trong quá trình học tập và nghiên cứu để hoàn thành luận văn tôi đã nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của người hướng dẫn, PGS. TSKH. Đoàn Thái Sơn. Tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn bộ môn Giải tích, Khoa Toán, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, hướng dẫn, phản biện để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn này. Do thời gian có hạn, bản thân tác giả còn hạn chế nên luận văn có thể có những thiếu sót. Tác giả mong muốn nhận được ý kiến phản hồi, đóng góp và xây dựng của các thầy cô, và các bạn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2019 Tác giả Hà Lan Anh ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Lời mở đầu 1 1 Số mũ đặc trưng Lyapunov trong lý thuyết hệ phương trình vi phân tuyến tính 3 1.1 Định nghĩa và một số tính chất của số mũ đặc trưng Lyapunov 3 1.2 Số mũ Lyapunov cho nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Sự biến đổi của số mũ đặc trưng theo sự thay đổi nhỏ các hệ số 12 2.1 Ví dụ về sự không liên tục của số mũ Lyapunov . . . . . . . 13 2.2 Tách được tích phân và tính liên tục của số mũ Lyapunov . 17 Kết luận Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i ii iii Lời mở đầu Lý thuyết số mũ Lyapunov có lịch sử lâu đời và được biết đến là một công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân. Cụ thể số mũ Lyapunov đo tốc độ tách nhau của các nghiệm xuất phát gần nhau của phương trình vi phân và khi số mũ là âm thì các nghiệm này hội tụ tới nhau khi thời gian tiến ra vô cùng. Trong thực tế, có rất nhiều hệ phương trình mà ta không biết được một cách chính xác trường véc tơ và khi đó câu hỏi đặt ra là số mũ Lyapunov này sẽ thay đổi như thế nào nếu trường véc tơ của hệ thay đổi nhỏ. Từ câu hỏi này, luận văn mong muốn trình bầy một cách có hệ thống về vấn đề tình liên tục số mũ Lyapunov. Để làm được điều này, luận văn sẽ tập trung vào: - Giới thiệu sơ lược về số mũ Lyapunov cho phương trình vi phân không ôtônôm. - Ví dụ về tính không liên tục của số mũ Lyapunov cho phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm. - Độc lập tuyến tính, sự liên tục của số mũ Lyapunov. Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TSKH. Đoàn Thái Sơn, người thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo khoa Toán-Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu để hoàn thành luận văn này. Do điều kiện thời gian và năng lực còn hạn chế nên đề tài này không 1 tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được các thầy, cô và các bạn góp ý bổ sung. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn! 2 Chương 1 Số mũ đặc trưng Lyapunov trong lý thuyết hệ phương trình vi phân tuyến tính Trong chương này, chúng ta giới thiệu số mũ đặc trưng Lyapunov và một số tính chất cơ bản. 1.1 Định nghĩa và một số tính chất của số mũ đặc trưng Lyapunov Cho một hàm có giá trị phức f (t) được xác định trên khoảng [t0 , ∞). Định nghĩa 1.1. Một số (hoặc một ký hiệu ±∞) được định nghĩa là X [f ] = lim sup t→∞ ln|f (t)| , t (1.1) thì được gọi là số mũ đặc trưng Lyapunov của hàm số f (t). Quy ước: X [0] = −∞. Đôi khi số mũ đặc trưng Lyapunov ta còn gọi tắt là số mũ đặc trưng hay số mũ Lyapunov. Sau đây chúng tôi đưa ra một số ví dụ của số mũ Lyapunov của một số hàm số khác nhau. 3    1 Ví dụ 1.2. (i) X [tm ] = 0, X [c 6= 0] = 0, X exp t cos = 1. t    1 = −1, X [exp(±t sin t)] = 1, (ii) X exp −t cos t (iii) X [tt ] = ∞, X [t−1 ] = −∞. Từ Định nghĩa trên, ta có các tính chất sau: 1. X [f ] = X [|f |], 2. X [cf ] = X [f ], c 6= 0, 3. X [eαt ] = α, 4. Nếu |f (t)| ≤ |F (t)| cho t ≥ a, khi đó X [f ] ≤ X [F ]. Bổ đề tiếp theo cho ta hiểu chính xác hơn về sự tăng của một hàm số có số mũ đặc trưng hữu hạn. Bổ đề 1.3. Số mũ đặc trưng X [f ] = α hữu hạn nếu và chỉ nếu với mọi ε > 0, hai điều kiện sau được thỏa mãn: 1. limt→∞ |f (t)| = 0, exp(α + ε)t (1.2) 2. limt→∞ |f (t)| = ∞. exp(α − ε)t (1.3) Chứng minh. *Điều kiện cần: Giả sử 1 X [f ] = lim sup ln|f (t)| = α. t→∞ t (1.4) Theo (1.4), cố định ε > 0 bất kỳ, tồn tại một T > 0 sao cho với t > T , ta có bất đẳng thức 1 ε ln|f (t)| < α + . t 2 Nhân t vào hai vế rồi lấy mũ ta được, ε |f (t)| < exp α + t. 2  4 Hơn nữa, ta có limt→∞ |f (t)| ≤ limt→∞ exp(−ε/2)t = 0. exp(α + ε/2)texp((ε/2)t) Từ đó ta được (1.2). Từ (1.4), cho một dãy tk → ∞, k → ∞, khi đó tồn tại n > 0 sao cho với k > N ta có ln|f (tk )| > (α − ε/2)tk . Lấy mũ hai vế ta được |f (tk )| > exp(α − ε/2)tk . Do đó, ta có |f (tk )| = limt→∞ limt→∞ exp(α − ε)tk  |f (tk )| exp(ε/2)tk exp(α − ε/2)tk  ≥ limk→∞ exp(ε/2)tk = ∞. Từ đó ta thu được (1.3). *Điều kiện đủ: Từ (1.2) cho t đủ lớn, ta có bất đẳng thức |f (t)| < exp(α + ε)t, ta có X [|f (t)|] ≤X [eα+ ] =α + . Vì  > 0 tùy ý nên ta có, X [f ] ≤ α. Bây giờ, từ (1.3) cho dãy tk → ∞, k → ∞.. Do đó, với k đủ lớn ta có bất đẳng thức |f (tk )| > exp(α − ε)tk . 5 Tương tự như trên, ta cũng có bất đẳng thức X [f ] ≥ limt→∞ 1 ln|f (tk )| ≥ α − ε. tk Vì vậy, ta có X [f ] ≥ α. Do đó, nếu (1.2) và (1.3) đồng thời xảy ra, ta có X [f ] = α. Tiếp theo ta thu được đánh giá của số mũ Lyapunov cho giá trị max của hữu hạn các hàm số. Định lý 1.4. Cho các hàm fk (t), k = 1, .., n, ta có: " n # X X fk (t) ≤ max X [fk (t)]. 1≤k≤n k=1 Dấu ” = ” xảy ra khi chỉ có đúng một hàm có số mũ lớn nhất. Chứng minh. 1. Đặt α = maxk X [fk (t)]. Giả sử α là số hữu hạn. Xét P n |fk (t)| | nk=1 fk (t)| X ≤ limt→∞ = 0. limt→∞ exp(α + ε)t exp(α + ε)t k=1 Khi đó, " X n X # fk (t) ≤ α. k=1 2. Giả sử chỉ có một hàm có số mũ lớn nhất là fl (t), tức là α = X [fl (t)] > X [fk (t)] = αk , k 6= l. Theo Bổ đề 1.3, tồn tại một dãy tm → ∞, khi m → ∞ sao cho limm→∞ |fl (tm )| = ∞. exp(α − ε)tm 6 (1.5) Giả Pnsử αk 6= −∞, ta có P | k=1 fk (tm )| |fl (tm )| |fk (tm )| ≥ − k6=l . exp(α − ε)tm exp(α − ε)tm exp(αk + ε)tm exp(α − αk − 2ε)tm Cho 0 < ε < mink6=l (α − αk )/2 lấy giới hạn hai vế ta suy ra được # " n X fk (t) ≥ α. (1.6) X k=1 Từ (1.5) và (1.6) ta suy ra " X n X # fk (t) = α. k=1 Chứng minh trên vẫn đúng cho trường hợp αk = ±∞. Tiếp theo ta nghiên cứu về số mũ Lyapunov của tích của các hàm số. Định lý 1.5. Cho các hàm fk (t), k = 1, .., n. Khi đó " n # n Y X X fk (t) ≤ X [fk (t)]. k=1 k=1 Chứng minh. " X n Y k=1 # fk (t)   n   Y 1   = lim sup ln  fk (t)   t→∞ t k=1 n Y 1 |fk (t)| = lim sup ln t→∞ t k=1 = lim sup t→∞ ≤ = n X 1 k=1 n X t ln|fk (t)| 1 lim sup ln|fk (t)| t→∞ t k=1 n X k=1 7 X [fk ]. (1.7) Ví dụ 1.6. Áp dụng Định lý 1.4, ta tính được số mũ đặc trưng sau: X [e2t + e−1 + e3t ] = 3, X [e−1 + e0 + (1 − e0 )] = 0. 1.2 Số mũ Lyapunov cho nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm Xét phương trình vi phân tuyến tính ẋ = A(t)x, (1.8) ở đó A : [0, ∞) → Rn×n là một hàm liên tục thỏa mãn rằng sup kA(t)k ≤ M < ∞. t∈[0,∞) Mục đích của chúng tôi trong tiểu mục này là nghiên cứu các số mũ đặc trưng của các nghiệm của hệ (1.8). Để làm điều này, trước tiên chúng tôi chứng minh rằng số mũ đặc trưng của một nghiệm khác không của (1.8) là hữu hạn. Định lý 1.7. Bất kỳ nghiệm không tầm thường x(t) của hệ phương trình tuyến tính (1.8) có số mũ đặc trưng hữu hạn và −M ≤ X [x] ≤ M. Chứng minh. Cho Rn là không gian Euclide, tức ta gắn Rn với chuẩn sinh bởi tích vô hướng h·, ·i thông thường. Ta có    dkx(t)k2      = |< ẋ(t), x(t) > + < x(t), ẋ(t) >|  dt  = 2| < ẋ, x > | = 2 |< A(t)x(t), x(t) >| ≤ 2 kA(t)x(t)k . kx(t)k ≤ 2 kA(t)k .kx(t)k2 ≤ 2M kx(t)k2 . 8 Hơn nữa, dkx(t)k2 −2M kx(t)k 6 6 2M kx(t)k2 . dt 2 Hay dkxk2 −2M 6 6 2M. kxk2 dt Lấy tích phân từ t0 tới t bất đẳng thức này ta có − Zt Zt 2M dτ 6 t0 t0 dkxk2 dτ 6 kxk2 dt Zt 2M dτ . t0 Từ đó, −2M (t − t0 ) 6 ln kx(t)k2 − ln kx(t0 )k2 6 2M (t − t0 ). Suy ra, −M (1 − 1 1 t t ) 6 ln kx(t)k − ln kx(t0 )k 6 M (1 − ). t0 t t t0 Cho t → ∞, ta có 1 −M 6 lim sup ln kx(t)k 6 M. t→∞ t Nghĩa là −M 6 χ[x] 6 M . Định lý được chứng minh. Tiếp theo, chúng tôi chỉ ra rằng tập hợp các số mũ đặc trưng Lyapunov của tất cả các nghiệm khác không của (1.8) không có nhiều hơn n phần tử. Trước hết ta cần các bổ đề sau. Bổ đề 1.8. Nếu họ hàm vector x1 (t), ..., xm (t) xác định trên [0; ∞) có các số mũ đặc trưng hữu hạn đôi một khác nhau thì độc lập tuyến tính. Chứng minh. Chúng ta hãy xét tổ hợp tuyến tính không tầm thường của các vectơ x1 (t), ..., xm (t): m X ci xi (t). i=1 9 Theo Định lý 1.7 , số mũ đặc trưng của tổng này bằng max χ[ci xi (t)]. Nghĩa i là, " χ m X # ci xi (t) = max χ[ci xi (t)] = max χ[ci xi (t)] 6= −∞, i i=1 vì tồn tại ck 6= 0. Mặc khác i m P ci xi (t) = 0, nên i=1 " χ m X # ck xk (t) = χ[0] = −∞. k=1 Điều này mâu thuẫn. Do đó, {xi }m i=1 là độc lập tuyến tính Bổ đề 1.9. Hệ (1.8) có tối đa n nghiệm độc lập tuyến tính. Chứng minh. Gỉa sử ngược lại, tức là có tồn tại n+1 nghiệm x1 (t), ..., xn+1 (t) của (1.8) đó là tuyến tính độc lập. Do đó tồn tại các số c1 , ..., cn+1 không đồng thời bằng 0 sao cho c1 x1 (0) + ... + cn+1 xn+1 (0) = 0. Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử rằng c1 6= 0. Khi đó, x1 (0) = Đặt ξ(t) = −c2 c1 −c2 c3 cn+1 x2 (0) − x3 (0) − .... − xn+1 (0). c1 c1 c1 x2 (t) − c3 c1 x3 (t) − .... − cn+1 c1 xn+1 (t). Ta có ˙ = −c2 ẋ2 (t) − c3 ẋ3 (t) − .... − cn+1 ẋn+1 (t) ξ(t) c1 c1 c1 −c2 c3 cn+1 = A(t)x2 (t) − A(t)x3 (t) − .... − A(t)xn+1 (t) c1 c1 c1 c2 c3 cn+1 = A(t).[− x2 (t) − x3 (t) − ... − xn+1 (t)] c1 c1 c1 = A(t).ξ(t). (với mọi t) 10 Hơn nữa, ta có    ξ(0) = x1 (0),  ξ(t) là nghiệm của phương trình ẋ(t) = A(t)x(t). Vì thế, ξ(t) ≡ x1 (t). Đó là, c2 c3 cn+1 x1 (t) = − x2 (t) − x3 (t) − ... − xn+1 (t). c1 c1 c1 Do đó, c1 x1 (t) + c2 x2 (t) + ... + cn+1 xn+1 (t) = 0. Điều nay mâu thuẩn với giả thiết {xi }n+1 i=1 là độc lập tuyến tính. Tập tất cả các số mũ đặc trưng khác nhau của tất cả các nghiệm của một hệ phương trình vi phân tuyến tính được gọi là phổ của hệ đó Định lý 1.10. Số lượng phần tử của phổ không vượt quá n. Chứng minh. Theo Bổ đề 1.9, hệ phương trình (1.8) có n nghiệm {xi (t)}ni=1 là độc lập tuyến tính. Giả sử, nghiệm bất kỳ của (1.8) được viết dưới dạng x(t) = n X ci xi (t). i=1 Ta có n X χ[x(t)] = χ[ ci xi (t)] = max χ[ci xi (t)]. i=1 Do đó, số mũ Lyapunov của một nghiệm không tầm thường của hệ chỉ nhận một trong tối đa n phần tử χ[x1 (t)], . . . , χ[xn (t)]. Chứng minh kết thúc. 11 Chương 2 Sự biến đổi của số mũ đặc trưng theo sự thay đổi nhỏ các hệ số Xét phương trình vi phân tuyến tính ẋ = A(t)x, (2.1) với A ∈ C([0; +∞) , Rn×n ) mà sup kA(t)k 6 M . Theo Định lý 1.7 và Định lý 1.10, hệ (2.1) có nhiều nhất n số mũ Lyapunov. Giả sử n số mũ đó là −∞ < λ1 6 λ2 ≤ · · · ≤ λn < ∞. Xét một hệ nhiễu của (2.1) có dạng ẏ = [A(t) + Q(t)]y, (2.2) với Q ∈ C([0; +∞) , Rn×n ) mà sup kQ(t)k 6 σ . Giả sử phổ Lyapunov của (2.2) là −∞ < λ1 0 6 λ2 0 ≤ · · · ≤ λn 0 < ∞. Khi Q(t) thay đổi, số mũ đặc trưng của hệ (2.2) nói chung là thay đổi theo và không liên tục. Định nghĩa 2.1. Các số mũ đặc trưng của hệ (2.1) được gọi là ổn định nếu cho bất kỳ ε > 0 khi đó tồn tại σ > 0 sao cho với mọi Q(t) thỏa mãn 12 sup kQ(t)k < σ thì kéo theo: t≥0   λi − λi 0  < ε, i = 1, ..., n. Nội dung của chương này bao gồm: Chỉ ra một số ví dụ về tính không liên tục của số mũ Lyapunov (Mục 2.1) và chỉ ra độc lập tuyến tính là điều kiện đủ cho tính liên tục của số mũ Lyapunov (Mục 2.2). 2.1 Ví dụ về sự không liên tục của số mũ Lyapunov Các kết quả của mục này được lọc ra từ tài liệu [3]. Cụ thể với một nhiễu nhỏ ta có thể thu được số mũ Lyapunov của hệ nhiễu lớn hơn số mũ trung tâm trên (số mũ Lyapunov của hệ nhiễu nhỏ hơn số mũ trung tâm dưới). Tức là, để hệ có tính liên tục của số mũ Lyapunov điều kiện cần là số mũ Lyapunov trung tâm trên và dưới phải bằng nhau. Cụ thể, ta ta có định lý sau: Định lý 2.2. Cho một hệ thực ẋ = diag[a1 (t), a2 (t), ..., an (t)]x, (2.3) với ai ∈ C(R) là các hàm số thực liên tục và bị chăn và Ω là số mũ trung tâm trên. Khi đó hệ nhiễu x˙1 = a1 (t)x1 + δxn , x˙2 = δx1 + a2 (t)x2 , x˙3 = δx2 + a3 (t)x3 , .............................. x˙n = δxn−1 + an (t)xn , với δ nhỏ tùy ý, có số mũ đặc trưng λ0n ≥ Ω. 13 Sau đây chúng tôi xét một ví dụ ở đó ta có thể tính được số mũ trung tâm trên và số mũ trung tâm dưới. Ví dụ 2.3. Xét hệ x˙1 = 0, √ x˙2 = π sin π tx2 . Khi đó, ta có toán tử sinh bởi hệ trên là   1 0  (x1 , x2 )T , X(t, s) =  0 ep(t)−p(s) ở đây t Z p(t) = 0 √ √ √ √ 2 π sin π τ dτ = (sin π t − π t cos π t). π Trong trường hợp số mũ Lyapunov của hệ là 1 λ1 = 0, λ2 = lim sup p(t) = 0. t→∞ t Để tìm số mũ trung tâm trên chúng ta xét hàm số sau √ √ R(t) = (π sin π t + |π sin π t|)/2. Chú ý rằng R(t) > 0 với t ∈ (4k 2 , (2k + 1)2 ), và R(t) ≡ 0 với t ∈ [(2k + 1)2 , 4(k + 1)2 ], k = 0, 1, .... Tiếp theo, ta sẽ đánh giá 1 lim sup t→∞ t Z t R(τ )dτ. 0 Cho (2k)2 ≤ t ≤ (2k + 1)2 , ta có  Z  Z 4k2 1 t  1   R(τ )dτ − 2 R(t)dt → 0 khi k → ∞.  t 0  4k 0 14 Ta suy ra được Z (2k+1)2 (2k)2 2  √ √ √ (2k+1) 2 R(τ )dτ = (sin π t − π t cos π t) π (2k)2 = 2(2k + 1 + 2k) = 2(4k + 1), hay Z (2n+1)2 R(t)dt = 0 n Z X k=0 (2k+1)2 R(t)dt = (2k)2 n X 2(4k + 1) = 2(2n + 1)(n + 1). k=0 Cuối cùng ta có 1 Ω = limn→∞ (2n + 2)2 Z (2n+1)2 R(t)dt = limn→∞ 0 2(2n + 1)(n + 1) = 1. (2n + 1)2 Tương tự ta chọn hàm số √ √ r(t) = (π sin π t − |π sin π t|)/2, ta sẽ thu được số mũ trung tâm dưới ω = −1. Bây giờ, ta sẽ áp dụng kết quả của Định lý 2.2 để chỉ ra rằng số mũ Lyapunov của hệ 2.3 thay đổi không liên tục với nhiễu nhỏ. Các nhiễu nhỏ để chỉ ra tính không liên tục của số mũ Lyapunov khá kĩ thuật và chúng tôi xin giới thiệu độc giả thêm đến tài liệu tham khảo [3] cho các kí hiệu của nhiễu nhỏ mà chúng tôi sử dụng ở dưới đây. Ví dụ 2.4. Cho hệ √ x˙1 = 0, x˙2 = π sin π tx2 . (2.4) Theo Ví dụ 2.3, có λ1 = λ2 = 0, Ω = 1. Ta thấy rằng hệ √ x˙1 = δx2 , x˙2 = δx1 + π sin π tx2 . 15 (2.5)