Tài liệu Tính hyperbolic của các miền lồi không bị chặn

  • Số trang: 48 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 105 |
  • Lượt tải: 0
nhattuvisu

Đã đăng 27125 tài liệu

Mô tả:

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Nguyễn Cao Luận TÍNH HYPERBOLIC CỦA CÁC MIỀN LỒI KHÔNG BỊ CHẶN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TháiNguyên, 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Nguyễn Cao Luận TÍNH HYPERBOLIC CỦA CÁC MIỀN LỒI KHÔNG BỊ CHẶN Chuyên ngành: Toán giải tích Mãsố : 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. PhạmViệtĐức TháiNguyên, 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i LỜI CAM ĐOAN Tôixin cam đoanđâylàcôngtrìnhnghiêncứucủatôivớisựhướngdẫncủa PGS. TS. PhạmViệtĐức. CácsốliệuvàtríchdẫnliênquanđãnêutrongLuậnvănnàylàhoàntoàntrungthực , chưacótrongbấtkỳmộtcôngtrìnhcủatácgiảnàokhác. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii LỜI CẢM ƠN Trongquátrìnhhoànthànhluậnvăntôiđãnhậnđượcsựhướngdẫntậntìnhcủa PGS.TS PhạmViệtĐức - Trường ĐHSP ĐạihọcTháiNguyên. - Vớilòngkínhtrọngtôixinđượcbiếtơnsâusắctớithầy. Nhândịpnàytôicũngxinđượcchânthànhcảmơncácthầy, côđãtậntìnhgiảngdạy, chỉbảotôitrongsuốtquátrìnhhọctậpvàhoànthànhluậnvăntạiTrường ĐHSP – ĐạihọcTháiNguyên . Đồngthờitôicũngxincảmơn Ban giámhiệu, KhoaToán, PhòngQuảnlýkhoahọc, KhoaSauđạihọcTrường ĐHSP - ĐạihọcTháiNguyên, đãtạođiềukiệnthuậnlợichoviệchọctậpvànghiêncứucủatôi. Cuốicùngtôixincảmơngiađình, bạnbèvàđồngnghiệpnhữngngườiluônđộngviênvàgiúpđỡtôitrongsuốtquátrìnhhọ ctậpvàhoànthànhluậnvăn. Do thờigianvàkhảnăngcònhạnchế, nênchắcchắnluậnvănkhôngthểtránhkhỏinhữngthiếusót, chúngtôirấtmongnhậnđượcsựđónggóptừcácthầycôvàcácbạn. TháiNguyên, tháng03 năm 2013 Nguyễn Cao Luận Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU …....................................................................................... 1 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.................................................. 2 1.1 Giảkhoảngcách Kobayashi …………………………..……...... 2 1.2 GiảkhoảngcáchCaratheodory ……………………………… 2 1.3 Mộtsốtínhchất ………………………………………………....... 3 1.4 HàmLempert ……………..…………………………………..... 9 1.5 Hàmđađiềuhòadưới ……….………………………………........ 9 1.6 Metric Bergman ………………………………..…………….... 10 1.7 Khônggianphức hyperbolic …………………………………..... 13 Chương 2: TÍNH HYPERBOLIC TRONG NHỮNG MIỀN LỒI KHÔNG BỊ CHẶN.................................................. ........................... 21 2.1. Mộtsốkếtquả ban đầu ……………. ………………………....... 21 2.2. Tính hyperbolic trongnhữngmiềnlồikhôngbịchặn.……............. 31 2.3. Ứngdụng........….......................................................................... 40 KẾT LUẬN ….................................................................................... 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................... 43 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 MỞ ĐẦU Việc nghiên cứu các tính chất của không gian phức hyperbolic đã được nghiên cứu từ lâu bởi nhiều nhà toán học trên thế giới.Đối với tính hyperbolic của các miền lồi không bị chặn cũng đã có một số kết quả được công bố. Năm 2009, F. Bracci và A. Saracco [5] đã chứng minh được 11 điều kiện tương đương với tính hyperbolic theo nghĩa Kobayashi trên miền lồi không bị chặn.Nội dung chính của luận văn này là trình bày chi tiết kết quả nói trên. Luận văn gồm hai chương: Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ sở liên quan chặt chẽ đến nội dung chính của luận văn, như :các giả khoảng cách bất biến và các không gian phức hyperbolic theo nghĩa Kobayashi, Brody và Caratheodory. Chương 2 trình bày những kết quả về tính hyperbolic của các miền lồi không bị chặn. Cụ thể, nội dung chính của chương là trình bày chứng minh định lý 11 điều kiện tương với tính hyperbolic trong miền lồi không bị chặn của  N .Cuối cùng là một số hệ quả ứng dụng của định lý chính. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Giả khoảng cách Kobayashi 1.1.1. Trên đĩa đơn vị mở    z  C|| z  1 , khoảng cách BergmanPoincaré cho bởi   0, z   ln 1 z , z  . 1 z 1.1.2. Giả sử X là một không gian phức, p và q là hai điểm tùy ý của X. Ta gọi một dây chuyền chỉnh hình  nối p với q trong X là tập hợp a ,..., a 1 n  ; f1 ,..., f n  Hol  , X  sao cho : f1  0   p, f i  ai   f i 1  0  , f n  an   q, i  1, n  1, trong đó, Hol  , X  là không gian các ánh xạ chỉnh hình từ  vào X được trang bị tôpô compact-mở. n Đặt : L     0, ai  và định nghĩa: d X  p, q   inf L , trong đó infimun lấy i 1 theo tất cả các dây chuyền chỉnh hình  nối p với q trong X. Hàm d X : X  X  0,   được gọi là giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X. Dễ thấy d X thỏa mãn các tiên đề về giả khoảng cách. Đặc biệt, trên  thì giả khoảng cách Kobayashi trùng với khoảng cách Bergman-Poincare, d   . 1.2. Giả khoảng cách Caratheodory Cho X là mộtkhông gian phức, Hol  X ,   là tập hợp các ánh xạ chỉnh hình f : X   . Giả khoảng cách Caratheodory c X được xác định trên Xbởicông thức: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 c X  p, q   sup   f  p  , f  q   , với p, q  X f trong đó supremum được lấy theo toàn bộ f  Hol  X ,   . Một số tính chất 1.3. 1.3.1. Mệnh đề.Nếu X và Y là hai không gian phức thì mỗi ánh xạ chỉnh hình f : X  Y có tính chất giảm khoảng cách: cY  f  p  , f  q    c X  p, q  dY  f  p  , f  q    d X  p, q  , f  Hol  X ,Y  , p, q  X . Chứng minh: Vì g : X   và h : Y   là các ánh xạ chỉnh hình nên h  f : X   cũng là ánh xạ chỉnh hình. Do đó, với hai điểm p, q  X luôn có:   c X  p, q   sup   g  p  , g  q   , g  Hol  X ,   ;   cY  f  p  , f  q    sup   h  f  p  , h  f  q   , h  f  Hol  X ,   . Theo Bổ đề Schwarz ta có:   h  f  p , h  f  q     f  p , f  q  suy ra     sup   f  p  , f  q    sup   h  f  p  , h  f  q   . Tức là : c X  p, q   cY  f  p  , f  q   . Tính chất giảm khoảng cách của giả khoảng cách Kobayashi là hiển nhiên vì nếu  là dây chuyền chỉnh hình nối hai điểm p và q trong X thì f   cũng là dây chuyền chỉnh hình nối f  p  , f  q  trong Y.  Hơn nữa d X còn là giả khoảng cách lớn nhất trên X thỏa mãn mọi ánh xạ chỉnh hình f :   X là giảm khoảng cách. Từ mệnh đề ta có hệ quả:Mỗi song chỉnh hình f : X  Y giữa các không gian phức là một đẳng cự. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Tức là c X  p, q   cY  f  p  , f  q   ; d X  p, q   dY  f  p  , f  q   , p,q  X. 1.3.2. Mệnh đề. Cho không gian phức X, ta có d X  p, q   cX  p, q  , p, q  X . Chứng minh.Như trong định nghĩa d X  p, q  , chọn p = p0 , p1 ,…, pk = q của X, các điểm a1, a2,…, ak, b1,…, bkcủa  và các ánh xạ chỉnh hình f1, f2,…, fk trong Hol(  ,X) thỏa mãn fi  ai   pi1, fi bi   pi . Cho flà một ánh xạ chỉnh hình từX vào  . Khi đó k k    a , b      f  f  a  , f  f b  i 1 i i i 1 i i i i    f  f1  a1  , f  f k  bk   =  f  p  , f  q   . Trong đó bất đẳng thức thứ nhất được suy ra từ bổ đề Schwarz và bất đẳng thức thứ hai là hệ quả của bất đẳng thức tam giác. Do đó k d X  p, q   inf    ai , bi   sup   f  p  , f  q    c X  p, q .  i 1 1.3.3. Mệnh đề.Cho  là đĩa đơn vị mở trong C , ta có : d  c   . Chứng minh.Từ bổ đề Schwarz-Pick ta thấy : ánh xạ chỉnh hình f :    là giảm khoảng cách đối với khoảng cách Poincaré  . Hơn nữa, từ định nghĩa của các giả khoảng cách Caratheodory và Kobayashi với cách lập luận tương tự như trong phần chứng minh Mệnh đề 1.3.2, ta cũng thu được: d  p, q     p, q   c  p, q  , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên p,q  . http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Sử dụng phép biến đổi đồng nhất của  ta thu được đẳng thức d  p, q  = c  p, q     p, q  , p, q .  1.3.4. Mệnh đề.Cho X là không gian phức. a) Nếu  X là một giả khoảng cách như sau  X  p, q     f  p  , f  q   f  Hol  X ,   ; p, q  X thì cX  p, q    X  p, q  p, q  X . b) Nếu  X là một giả khoảng cách trên X thỏa mãn  X  f  a  , f  b      a, b  f  Hol  , X  ; a, b   thì  X  p, q   d X  p, q  , p,q  X . Chứng minh .Phần a) là hiển nhiên. Ta đi chứng minh b). Thật vậy, chọn p0 , p1,..., pk , a1,..., ak , b1,..., bk , f1,..., f k như trong chứng minh mệnh đề 1.3.2. Khi đó k k i 1 i 1  X  p, q     X  pi 1 , pi     X  f i  ai  , f  bi   k     ai , bi . i 1 k Vì thế,  X  p, q   inf    ai , bi   d X  p, q  .  i 1 1.3.5. Mệnh đề.Giả  x, y  ,  x, y  X sửX và Y là hai không gian phức.Với x Y ta có d X x Y   x, y  ,  x, y    max  d X  x, x  , dY  y, y   (1) max c X  x, x  , cY  y, y   c X x Y   x, y  ,  x, y    c X  x, x   cY  y , y  (2) Chứng minh.Vì phép chiếu  : X  Y  X là chỉnh hình và tính giảm khoảng cách, ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 d X Y   x, y  ,  x, y    d X  x, x  . Tương tự d X Y   x, y  ,  x, y    dY  y, y  . Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử d X  x, x  dY  y, y . Nên ta chỉ còn phải chứng minh d X Y   x, y  ,  x, y    d X  x, x  . Lấy một dây chuyền  các đĩa chỉnh hình có độ dài l    từ x tới x trong X, ta xây dựng một dây chuyền  các đĩa chỉnh hình có độ dài l    từ  x, y  tới  x, y trong X  Y sao cho l     l    . Theo giả thiết, có một dây chuyền  các đĩa chỉnh hình có độ dài l  từ y tới y trong Y sao cho l   l    . Lấy  và  như sau:  :  x  x0 ,..., xk  x  X ; a1, a1..., ak , ak  ; f1,..., f k  Hol  , X   :  y  y0 ,..., ym  y  Y ; b1 , b1..., bm , bm  ; g1,..., g m  Hol  , Y  . Ta có thể giả sử k = m và   ai , ai    bi , bi , i  1,..., k bằng cách làm mịn các dây chuyền trên như sau: Lấy ai là một điểm trên đường trắc địa từ ai tới ai sao cho   ai , ai     ai , ai    ai, ai . Lấy xi  fi  ai . Ta nhận được một dây chuyền  từ x tới x gồm có k+1 đĩa chỉnh hình:  x  x0 ,..., xi 1 , xi, xi ,..., xk  x  X ;   :  a1 , a1..., ai , ai, ai, ai,..., ak , ak  ;  f ,..., f , f ,..., f  Hol  , X . i i k  1 Lặp lại quá trình trên sau một số hữu hạn lần và được kết quả là dây chuyền  là sự làm mịn của dây chuyền  với l     l   . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 Ta có thể giả sử k  m và   ai , ai     bi , bi . Bằng cách hợp thành fi và gi với các đẳng cấu thích hợp của  , ta có thể giả sử rằng a i  bi  0 và ai, bi là các số thực dương. Khi đó 0  bi  ai  1. Lấy i :    là phép nhân với bi / ai . Ta định nghĩa ánh xạ chỉnh hình hi :   X  Y bởi hi  z    fi  z  , gi  i  z    , z   . Lấy  là dây chuyền từ  x, y  tới  x, y bao gồm  x, y    x0 , y0  ,  x1, y1  ,...,  xk , yk    x, y  X  Y ; 0, ai,...,0, ak ; h1,..., hk  Hol  , X  Y . Vậy  có được các tính chất được yêu cầu,(1) được chứng minh. Chứng minh (2): Bất đẳng thức thứ nhất được chứng minh tương tự như (1). Để chứng minh bất đẳng thức thứ hai, trước tiên, do tính chất giảm khoảng cách của các ánh xạ chỉnh hình x  X   x, y   X x Y và  x, y   X x Y  x X , nên ta có: c X Y   x, y  ,  x, y    c X  x, x  và c X x Y   x, y  ,  x, y    c X x Y   x, y  ,  x, y    c X x Y   x, y  ,  x, y    c X  x , x   cY  y , y  .  Vậy (2) được chứng minh. Trong trường hợp tổng quát ta cũng có: Với một đa đĩa  n    ...   , ta có d n   x1 ,..., xn  ,  y1,..., yn    max d   xi , yi  1 cn   x1 ,..., xn  ,  y1 ,..., yn    max c  xi , yi  .  2 i i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 1.3.6. Mệnh đề.Với một không gian phức X, cả c X và d X đều liên tục trên XX. Chứng minh.TheoMệnh đề 1.3.2 ta chỉ cần chứng minh d X là hàm liên tục.Để chứng minh tính liên tục của d X tại  p, q   X  X , lấy  p , q  n n là một dãy trong X  X mà hội tụ về (p,q) trong tôpô của không gian phức X  X . Theo bất đẳng thức tam giác ta có: d X  pn , qn   d X  p, q   d X  pn , p   d X  qn , q . Ta chứng minh d X  pn , p   0 khi pn  p . Lấy U là một lân cận của p. Do d X  dU trong U (theo Mệnh đề 1.3.1) nên ta chỉ cần chứng minh dU  pn , p   0 khi pn  p trong U. Nếu p không là điểm chính quy của X, thì ta có thể giả sử U là một đa đĩa  n . Do đótheo công thức (1’) ta có điều phải chứng minh. Nếu p là điểm kì dị và giả sử có một số dương  sao cho dU  pn , p    với mọi n. Lấy  :U  U là một phép giải kì dị và qn  là một dãy trong U sao cho   qn   pn . Vì  là ánh xạ riêng, bằng cách lấy dãy con ta có thể giả sử qn  hội tụ về một điểm q U . Do tính liên tục nên ta có   q   p . Lấy V là một đa đĩa lân cận của qtrong U . Do  :V  U làm giảm khoảng cách và dV liên tục nên ta có dU  pn , p   dU    qn  ,   q    dV  qn , q   0 ,khi n   . Điều này mâu thuẫn với điều giả sử.Vậy mệnh đề được chứng minh. 1.4.  Hàm Lempert Cho một không gian phức X và đĩa đơn vị mở  trong mặt phẳng phức C . Khi đó, hàm Lempert  X được xác định bởi  X  z, w   inf   0, t  : t  0,1 ,   Hol  ,X  :   0   z,   t   w , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 với  là khoảng cách Poincaré trong  . 1.5. Hàm đa điều hòa dưới + Giả sử D là miền trong C . Một C 2 - hàm h xác định trên D được gọi là điều hòa nếu  2h  h : 4  0 trên D. zz + Hàm u : D   ,   được gọi là điều hòa dưới trong miền D nếu u thỏa mãn hai điều kiện sau: i) u là nửa liên tục trên trong D, tức là tập  z  D; u  z   s là tập mở đối với mỗi số thực s; ii) Với mỗi tập con mở compact tương đối trong G của D và mọi hàm h : G  R là điều hòa trong G và liên tục trong G ta có: nếu u  h trên G thì u  h trên G. Ta có tiêu chuẩn điều hòa dưới sau: Để hàm u nửa liên tục trên trong miền D là điều hòa dưới trong D, cần và đủ là với mỗi điểm z  D , tồn tại r0(z) >0 sao cho 1 u z  2 i 2  u  z  re  dt , với mọi r 0. Đặt U Y , r    x  X | y  Y , d X  x, y   r  . Nói cách khác, U Y , r  là tập các điểm trong X thỏa mãn khoảng cách tới một điểm nào đó của Y nhỏ hơn r. 1.7.3. Mệnh đề.Giả sử X là không gian phức hyperbolic liên thông. Khi đó X là hyperbolic đầy nếu và chỉ nếu với mọi x  X và mọi r  0 , hình cầu đóng B  x, r  là compact. Để chứng minh mệnh đề trên ta cần các bổ đề sau: 1.7.3.1. Bổ đề. Giả sử X là không gian phức, a  X và r , r   0 . Khi đó U U  a, r  , r   U  a, r  r   . Chứng minh.Trước hết ta chứng minh U U  a, r  , r   U  a, r  r   . Lấy x U U  a, r  , r  , theo định nghĩa tập U, có điểm y U  a, r  sao cho d X  x, a   d X  x, y   d X  y, a   r  r . Do đó, x U  a, r  r . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 Ngược lại, với bất kỳ x U  a, r  r , lấy   0 sao cho d X  a, x   r  r  3 . Tồn tại dây chuyền chỉnh hình trong X nối a với x, gọi đường nối 1,  2 ,...,  m là ảnh của dây chuyền đó trong X, thỏa mãn d X  a, x   tæng Kobayashi  d X  a, x    . Gọij là số lớn nhất sao cho độ dài của đường nối L 1 ,...,  j 1  r   .Chia cung  j thành hai cung j và j bởi điểm x j trên  j sao cho L 1 ,...,  j 1 , j   r   . Khi đó, d X  a, x j   r , tức là x j U  a, r  . Xét đường nối  ,...,  ,  ,...,   1 j j m ta có d X  x j , x   d X  a, x      r     r  r   3  2  r  r    . Vậy tồn tại x j U  a, r  sao cho d X  x j , x   r  . Từ đó x U U  a, r  , r  .  Bổ đề được chứng minh. 1.7.3.2. Bổ đề.Giả sử X là không gian phức compact địa phương với hàm khoảng cách d thỏa mãn đẳng thức U U  a; r  ; r   U  a; r  r   , với mọi a  X và với mọi r , r   0 . Khi đó với a  X và r  0 , nếu tồn tại s  0 sao cho U  x, s  là compact với mỗi x U  a, r  thì U  a, r  là compact. Chứng minh.Vì X là compact địa phương nên có t > 0 sao cho t 0, x  X sao cho  xn   U  x, r  . Theo giả thiết U  x, r  là compact, nên tồn tại dãy con x   x , x   y U  x, r  . nk n nk Mà xn  là dãy cơ bản nên xn   y  X . Vậy X là đầy. Ngược lại, giả sử X là đầy.Theo Bổ đề 1.7.3.2, ta chỉ cần chứng minh tồn tại số s > 0 sao cho với mọi x  X hình cầu đóng U  x, s  là compact.Giả sử ngược lại, khi đó tồn tại x1  X sao cho U  x1 ,1 / 2  không là compact.Theo Bổ đề 1.7.3.2, tồn tại x2 U  x1 ,1 / 2  sao cho U  x2 ,1 / 22  không là compact. Lập luận tương tự, tồn tại xn U  xn1 ,1 / 2n1  sao cho U  xn , 1 / 2n  không là compact. (*) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
- Xem thêm -