Tài liệu Tính hữu hạn của Module nhân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN ……o0o…… KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Bộ môn Đại Số và Lý Thuyết Số Đề Tài TÍNH HỮU HẠN CỦA MODULE NHÂN Giáo viên hướng dẫn: T.S Trần Huyên Sinh viên thực hiện: Đỗ Thị Phương Thanh TP.HỒ CHÍ MINH - NĂM 2012 Lời Cảm Ơn Để hoàn thành luận văn này, em đã nhận được sự giúp đỡ của nhiều thầy cô giáo, gia đình và bạn bè. Em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Tiến sỹ Trần Huyên, người thầy đã tận tình hướng dẫn và truyền đạt cho em những kiến thức và kinh nghiệm quý báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Em xin chân thành gởi lời cảm ơn tới các thầy cô khoa Toán trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và truyền thụ kiến thức cho em trong quá trình học tập tại trường. Cuối cùng, em xin gởi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè, những người đã luôn động viên, khuyến khích và giúp đỡ em trong suốt quá trình hoàn thành luận văn. TP. Hồ Chí Minh – Tháng 5 năm 2012 Đỗ Thị Phương Thanh. Mục Lục Lời Cảm Ơn ........................................................................................................................ 2 Bảng Ký Hiệu ..................................................................................................................... 4 Lời Nói Đầu ........................................................................................................................ 5 Chương 1: Kiến Thức Chuẩn Bị §1: Vành giao hoán có đơn vị và module..................................................................... 7 1.Vành giao hoán có đơn vị ....................................................................................... 7 2.Module ................................................................................................................... 10 §2 : Module nhân. ........................................................................................................ 16 1. Định nghĩa và ví dụ : ........................................................................................... 16 2. Module con, module thương của module nhân: ............................................... 17 3. Các điều kiện tương đương: ............................................................................... 18 4. Các tính chất liên quan đến ideal tối đại, module con tối đại : ....................... 20 5. Tổng trực tiếp của module nhân. ....................................................................... 23 Chương 2: Tính Hữu Hạn Của Module Nhân. §1 . Module con nguyên tố của module nhân. ........................................................... 25 1. Một số kết quả về ideal nguyên tố của vành giao hoán có đơn vị : ................. 25 2. Module con nguyên tố của module nhân : ........................................................ 26 §2 .Module con nguyên tố tối tiểu của module nhân. ............................................... 33 §3.Module nhân hữu hạn sinh. .................................................................................. 37 §4. Tính hữu hạn của module nhân. .......................................................................... 43 Kết Luận ........................................................................................................................... 51 Tài Liệu Tham Khảo ....................................................................................................... 52 Bảng Ký Hiệu Kí hiệu Ý nghĩa Spec ( R ) Tập hợp tất cả các ideal nguyên tố của R . Spec ( M ) Tập hợp tất cả các module con nguyên tố của M . Var ( I ) Tập hợp tất cả các ideal nguyên tố của R chứa I . Min ( I ) Tập hợp tất cả các ideal nguyên tố tố tối tiểu trên I . Var ( N ) Tập hợp tất cả các module con nguyên tố của M chứa N . Max ( R ) Tập hợp tất cả các ideal tối đại của R . J ( R) Căn Jacobson của R . Max ( M ) Tập hợp tất cả các module con tối đại của M . Rad ( M ) Giao của tất cả các module con tối đại của M . IR I là ideal của R .  Tập con thực sự. ⊆ Tập con nhỏ hơn hoặc bằng. ann ( M ) Linh tử hóa của module M . ann ( m ) Linh tử hóa của phần tử m . ■ Kết thúc một chứng minh. Lời Nói Đầu Trong bài báo multiplication module ,J.Algebra 71(1981), A.Barnard đã đưa ra định nghĩa module nhân trên vành giao hoán có đơn vị. Từ đó, khái niệm module nhân đã thu hút được rất nhiều sự chú ý của các nhà toán học. Nhiều kết quả về module nhân đã lần lượt ra đời. Các kết quả về module nhân cho thấy module nhân có nhiều tính chất giống với vành giao hoán có đơn vị, chẳng hạn: mọi module con thực sự của module nhân đều nằm trong một module con tối đại nào đó, định lí Cohen đã được chứng minh trong trường hợp module nhân,… Luận văn nhằm mục đích trình bày một cách hệ thống về module nhân, tìm hiểu module con nguyên tố của module nhân, module con nguyên tố tối tiểu của module nhân và module nhân hữu hạn sinh từ đó nghiên cứu tính hữu hạn của module nhân. Từ đó có mối quan hệ giữa tính hữu hạn của vành R và tính hữu hạn của một R − module nhân. Nội dung của luận văn gồm: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Chương này gồm 2 tiết: vành giao hoán có đơn vị và module nhân. Chương này cung cấp những kiến thức cơ bản của vành giao hoán có đơn vị và module nhân. Chương 2 .Tính hữu hạn của module nhân Chương này là phần chính của luận văn. Chương này chia làm 4 tiết. Tiết 1: Module con nguyên tố của module nhân. Trình bày định nghĩa module con nguyên tố đi từ sự mở rộng của ideal nguyên tố, các tính chất quan trọng của module con nguyên tố của module nhân. Tiết 2: Module con nguyên tố tối tiểu của module nhân. Trình bày định nghĩa module con nguyên tố tối tiểu của module nhân, các tính chất quan trọng của module con nguyên tố tối tiểu của module nhân. Tiết 3: Module nhân hữu hạn sinh. Trình bày các điều kiện tương đương của module nhân hữu hạn sinh, các tính chất quan trọng của module nhân hữu hạn sinh. Tiết 4: Tính hữu hạn của module nhân. Trình bày một số định lí quan trọng về tính hữu hạn của module nhân. Từ đó xét mối quan hệ về tính hữu hạn của vành R và R − module nhân. Luận văn chỉ xét đến vành giao hoán có đơn vị. Cho nên khi nói đến vành mà không nói gì thêm thì ta hiểu đó là vành giao hoán có đơn vị. Tuy bản thân em đã cố gắng rất nhiều, nhưng do những hạn chế về khả năng lẫn thời gian nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn chỉnh hơn. Em xin cảm ơn. TP.Hồ Chí Minh, tháng 5 năm 2012 Đỗ Thị Phương Thanh. Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày một số khái niệm và kiến thức cơ bản về vành giao hoán có đơn vị ,module và module nhân để sử dụng cho chương sau và từ đó thấy được những tính chất tương tự nhau giữa vành giao hoán có đơn vị và module nhân. Để trình bày chương này, tác giả luận văn đã tham khảo [1],[2],[3],[12],[13]. §1: Vành giao hoán có đơn vị và module. 1. Vành giao hoán có đơn vị: Với định nghĩa vành giao hoán có đơn vị đã biết, ta chỉ xét một số định nghĩa mệnh đề mà ta sẽ dùng ở chương sau. Một khái niệm được coi là cái cốt lõi của vành giao hoán có đơn vị là ideal. Ta xét định nghĩa ideal cũng như những tính chất, mệnh đề có liên quan đến ideal. Định nghĩa 1.1.1: Ideal của một vành R là một tập con I ⊂ R thỏa: i) ii ) I ≠∅ ∀x, y ∈ I x+ y∈I iii ) ∀x ∈ I , ∀a ∈ R ax ∈ I Mệnh đề 1.1.2: Cho hai ideal I , J của vành R. Khi đó: Tập I + J = { x + y / x ∈ I , y ∈ J } là một ideal của R Tập = IJ {∑ huu han } xi y j / xi ∈ I , y j ∈ J là một ideal của R Tập ( I : J ) = { x ∈ R / ∀y ∈ J xy ∈ I } Tập rad ( I ) = { x ∈ R / ∃n ∈  \ {0} là một ideal của R . x n ∈ I } là một ideal của R . Mệnh đề 1.1.3. Cho I , J , ( Iα )α∈A là những ideal của một vành R , khi đó: I ⊂ (I : J ) (I : J ) J ⊂ I     Iα : I  =  ( Iα : I )  α∈A  α∈A Định nghĩa 1.1.4: Một ideal P của vành R được gọi là ideal nguyên tố nếu P ≠ R và ∀a, b ∈ R ab ∈ P ⇒ a ∈ P hay b ∈ P . Một ideal Q của vành R được gọi là ideal tối đại nếu Q ≠ R và chỉ có hai ideal của R chứa Q là Q và R . Tập hợp tất cả các ideal nguyên tố của vành R ký hiệu là Spec ( R ) . Tập hợp tất cả các ideal tối đại của vành R được ký hiệu là Max ( R ) . Mệnh đề 1.1.5: Cho ideal I của vành R. Khi đó: I là ideal nguyên tố ⇔ R I là miền nguyên. I là ideal tối đại ⇔ R I là trường. Định lí 1.1.6: Cho I1 ,..., I n là các ideal của R, P là ideal nguyên tố của R. khi đó các phát biểu sau tương đương: i) I j ⊆ P với j0 nào đó thỏa 1 ≤ j0 ≤ n 0 n ii) I j ⊆P j =1 n iii) ∏I j =1 j ⊆P Mệnh đề 1.1.7. Mỗi ideal thực sự đều chứa trong một ideal tối đại nào đó. Khi nhắc đến ideal tối đại, ideal nguyên tố ta xét những tập hợp đặc biệt chứa chúng. Định nghĩa 1.1.8. Vành chỉ có một ideal tối đại duy nhất được gọi là vành địa phương. Mệnh đề 1.1.9. Cho vành R và ideal thực sự M của R . Nếu ∀x ∈ R \ M x khả nghịch trong R thì R là vành địa phương và M là ideal tối đại của R . Nếu M là ideal tối đại của R và ∀x ∈ M 1 + x khả nghịch trong R thì R là vành địa phương. Định nghĩa 1.1.10. Ideal giao của tất cả ideal tối đại của vành R được gọi là căn Jacobson của vành R . Ký hiệu J ( R ) . Mệnh đề 1.1.11. x ∈ J ( R ) ⇔ ∀y ∈ R 1 − xy khả nghịch trong R . Định nghĩa 1.1.12: Cho I là một ideal của vành R. Đặt: Var ( I ) = {P ∈ Spec( R) / I ⊆ P} khi đó: rad ( I ) = =  P P∈Var ( I )  P P∈Spec ( R ) P⊇I Hệ quả 1.1.13: Căn lũy linh rad (0) của vành R thỏa: rad (0) =  P∈Spec ( R ) P Trong ideal nguyên tố có một lớp ideal đặc biệt đó là ideal nguyên tố tối tiểu. Một số tính chất chỉ cần đúng trong ideal nguyên tố tối tiểu thì sẽ đúng với ideal nguyên tố. Mệnh đề 1.1.14: Cho I là một Ideal thực sự của vành R. Khi đó tập hợp: Var ( I ) = {P ∈ Spec( R) / I ⊆ P} có ít nhất một phần tử tối tiểu theo quan hệ bao hàm. Một phần tử tối tiểu như vậy được gọi là ideal nguyên tố tối tiểu của I hay ideal nguyên tố tối tiểu trên I. Trong trường hợp R không tầm thường, ideal nguyên tố tối tiểu trên ideal 0 của vành R được gọi là ideal nguyên tố tối tiểu của R. Mệnh đề 1.1.15: cho P,I là các ideal của vành R, trong đó P là ideal nguyên tố và I ∈ P . Khi đó tập hợp: Θ = {P ' ∈ Spec( R) / P ⊇ P ' ⊇ I } có phần tử tối tiểu theo quan hệ bao hàm. Từ đó suy ra sự tồn tại của ideal nguyên tố tối tiểu P '' trên I thỏa P '' ⊆ P . Hệ quả 1.1.16: Cho I là một ideal của vành R. đặt Min(I) là tập hợp tất cả các ideal nguyên tố tối tiểu trên I. khi đó: rad ( I ) =  P P∈Min ( I ) Ta chuyển sang định nghĩa ideal nhân. Định nghĩa 1.1.17: Ideal A của R được gọi là ideal nhân nếu với mọi ideal B ⊆ A thì tồn tại ideal C của R sao cho B = AC . Một bổ đề được sử dụng nhiều trong chứng minh ở các chương sau là bổ đề Zorn Bổ đề Zorn: Nếu mỗi dây chuyền của một tập sắp thứ tự khác rỗng ∑ đều có cận trên trong ∑ thì ∑ có chứa phần tử tối đại. 2. Module Với định nghĩa module đã biết, mỗi ideal M trong vành R đều là một R − module với phép nhân ngoài cũng là phép nhân trong. Như vậy lớp những module con, module thương của một module bất kì thì có tính chất gì, ta xét những mệnh đề sau: Định nghĩa 1.1.18. Cho R-module M và tập con N ⊂ M . N được gọi là module con của M nếu : i) N ≠ ∅ ii) ∀x, y ∈ N x − y ∈ N iii) ∀a ∈ R, ∀x ∈ N ax ∈ N Định nghĩa 1.1.19. Thương ( N : P ) của hai module con N và P của R -module M là tập những phần tử r ∈ R sao cho rP ⊂ N , đó là ideal của R , hay ( N : P ) = {r ∈ R / rx ∈ N ∀x ∈ P} Đặc biệt, thương ( 0 : M ) được gọi là linh tử hóa của R -module M và được ký hiệu là ann ( M ) . ann ( M ) = {r ∈ R / rx = 0 ∀x ∈ M } Nếu I ⊂ ann ( M ) thì R -module M sẽ có cấu trúc R I - module nhờ phép nhân ngoài rx = rx ( r ∈ R, x ∈ M ) . Tổng quát hơn ta có: Nếu I là một ideal của R thì M IM sẽ có cấu trúc R − module nhờ phép nhân ngoài I ( r + I )( m + IM ) =rm + IM ( r ∈ R, m ∈ M ) . Định nghĩa 1.1.20. Một R -module M được gọi là trung thành nếu ann ( M ) = 0 . Một R -module M luôn là R ann ( M ) - module trung thành. Định lý 1.1.21. Cho M là một R - module, N là một module con của M . Khi đó có tương ứng 1-1 giữa tập tất cả các module con của M chứa N đến tập tất cả các module con của M / N , được cho bởi công thức A  A / N . Vì vậy mỗi module con của M / N có dạng A / N , trong đó A là module con của M chứa N . Khi xét đến tính hữu hạn của module thì module hữu hạn sinh là một khái niệm không thể thiếu. Định nghĩa 1.1.22. Cho R-module M Một họ phần tử ( xi )i∈I ⊂ M được gọi là hệ sinh của M nếu mọi phần tử của M đều là tổ hợp X tuyến tính của họ ( xi )i∈I . Khi đó M chính là module con sinh bởi= { xi / i ∈ I } . M được gọi là hữu hạn sinh nếu nó có một hệ sinh hữu hạn. Nói cách khác M = x1 ,..., xn . Vậy mọi R-module hữu hạn sinh M đều có dạng : n M = ∑ Rxi , với x1 ,..., xn ∈ M i =1 Khi đó nếu M sinh bởi 1 phần tử thì M được gọi là module xyclic. Mệnh đề 1.1.23. Ảnh đồng cấu của một module hữu hạn sinh là một module hữu hạn sinh. Hệ quả : Module thương của một module hữu hạn sinh là một module hữu hạn sinh. Mệnh đề 1.1.24. Cho M là một R-module, N là module con của M. Khi đó nếu N và M/N là các module hữu hạn sinh thì M hữu hạn sinh. Nhận xét 1.1.25. Module con của module hữu hạn sinh có thể không là module hữu hạn sinh. Định nghĩa 1.1.26. R -module M gồm những họ phần tử ( xi )i∈I ∈ ∏ M i mà hầu hết i∈I các xi = 0 được gọi là tổng trực tiếp của họ R -module ( M i ) i ∈ I . Ký hiệu ⊕ M i . i∈I Mệnh đề 1.1.27. Cho họ module con ( M i )i∈I của một R -module M . Khi đó M = ⊕ M i khi và chỉ khi mỗi phần tử x ∈ M được biểu diễn một cách duy nhất dưới i∈I dạng tổng hữu hạn ∑x i xi ∈ M i Ta xét định nghĩa module con tối đại : Định nghĩa 1.1.28. Cho M là một R − module, N là một module con của M . Khi đó N được gọi là module con tối đại của M nếu N là module con thực sự của M và với mọi module con K của M sao cho N ⊆ K ⊆ M thì N = K hoặc K = M . Khi đó radical của M , kí hiệu rad ( M ) , được định nghĩa là giao của tất cả các module con tối đại của M nếu chúng tồn tại và bằng M trong trường hợp ngược lại. Định nghĩa 1.1.29. M là một R - module đơn nếu M chỉ có hai module con là 0 và chính nó. Nếu N là module con tối đại của M thì M / N là module đơn. Ta nhắc lại khái niệm vành các thương và lúc này vành các thương cũng là một vành nên ta cũng xem xét các khái niệm tính chất như là ở một vành bình thường. Định nghĩa 1.1.30. Cho R là một vành. Một tập con S ⊂ R được gọi là tập con nhân nếu: (i) 1∈ S (ii) ∀a, b ∈ S ab ∈ S Hay nói cách khác, tập con nhân là một vị nhóm con của vị nhóm nhân ( R, ) . Định nghĩa 1.1.31. Cho tập con nhân S của một vành R . Trên tập R × S ta định nghĩa một quan hệ hai ngôi ≡ như sau: ∀ ( a, s ) , ( a ', s ') ∈ R × S ( a, s ) ≡ ( a ', s ') ⇔ ∃t ∈ S : ( as '− a ' s ) t =0. Thì ≡ là một quan hệ tương đương trên R × S . Ta ký hiệu tập thương R × S ≡ là S −1 R và ký hiêu lớp tương đương của phần tử ( a, s ) là a . s Mệnh đề 1.1.32. Tập S −1 R cùng với hai quy tắc : a b • Cộng: ∀ ; ∈ S −1 R s t a b at + bs + = s t st a b • Nhân: ∀ ; ∈ S −1 R s t a b ab ⋅ = s t st là một vành. Định nghĩa 1.1.33. Cho tập con S của một vành R , và một R -module M . Trên tập M × S ta định nghĩa một quan hệ hai ngôi ≡ như sau: ∀ ( m, s ) , ( m ', s ') ∈ M × S ( m, s ) ≡ ( m ', s ') ⇔ ∃t ∈ S : t ( sm '− s ' m ) =0. Thì ≡ là một quan hệ tương đương trên M × S . Ta ký hiệu tập thương M × S ≡ là S −1M và ký hiêu lớp tương đương của phần tử ( m, s ) là m . s Mệnh đề 1.1.34. Tập S −1M cùng với hai quy tắc : • Cộng: ∀ m n ; ∈ S −1M s t m n tm + sn + = s t st a s • Nhân: ∀ ∈ S −1 R, ∀ m ∈ S −1M t a m am ⋅ = s t st là một S −1 R - module Định nghĩa 1.1.35. S −1M -module S −1M được gọi là module các thương của R module M theo tập con nhân S . S −1M cũng là một R - module. • Nếu S = R \ P với P là ideal nguyên tố của vành R thì S −1M sẽ được ghi là M P . Vành M P là vành địa phương với ideal tối đại duy nhất là tập hợp p  S −1 P=:  / p ∈ P, s ∈ S  . s  • Nếu u : M → N là một đồng cấu R - module thì S −1u : S −1M → S −1 N xác định  m  u ( m) là một đồng cấu S −1 R - module. Hiển nhiên = s s bởi S −1u  S −1 ( v  u ) = S −1 ( v )  S −1 ( u ) Nhận xét 1.1.36. Nếu N là một module con của R -module M thì đồng cấu chính tắc S −1 N → S −1M là một đơn cấu. Do đó ta có thể coi S −1 N là một module con của S −1M . Hệ quả 1.1.37. Nếu N , P là các module con của R -module M và S là tập con nhân của R thì: P ) S −1 ( N ) + S −1 ( P ) a) S −1 ( N + = P ) S −1 ( N ) ∩ S −1 ( P ) b) S −1 ( N ∩= ( c) S −1 M N ) ≅−1 S −1 ( M ) S R S −1 ( N ) . Liên quan đến tính hữu hạn sinh, ta nhắc lại định nghĩa và một số tính chất liên quan đến vành và module noether. Định nghĩa 1.1.38. Cho R-module M là module noether khi và chỉ khi R-module M thỏa một trong các điều kiện sau : i) M thỏa điều kiện dây chuyền tăng. ii) M thỏa điều kiện tối đại. iii) Mọi module con của M đều hữu hạn sinh. Hệ quả 1.1.39. Vành R là vành noether khi và chỉ khi R thỏa một trong các điều kiện sau : i) Mọi dãy tăng các ideal của R đều dừng. ii) Mọi họ khác rỗng những ideal của R đều có phần tử tối tiểu. iii) Mọi ideal của R đều hữu hạn sinh. Mệnh đề 1.1.40. Module con và module thương của module noether là noether. Mệnh đề 1.1.41. Nếu R là vành noether thì mọi R-hữu hạn sinh đều noether. Mệnh đề 1.1.42. Ảnh đồng cấu của một vành noether là một vành noether. Mệnh đề 1.1.43. Nếu A là một vành con của một vành B, A noether và B là A-module hữu hạn sinh thì B là vành noether. Định lý 1.1.44. Vành các thương của vành noether là một vành noether. Định lý Cohen. Vành R là Noether khi và chỉ khi mỗi ideal nguyên tố P ∈ Spec( R) là hữu hạn sinh. §2 : Module nhân. 1. Định nghĩa và ví dụ : Trước khi vào định nghĩa module nhân, ta có một nhận xét về module xyclic : Mọi module xyclic M trên vành R đều có tính chất với mỗi module con N của M , tồn tại một ideal I của R sao cho N = IM . Thật vậy, do M là module xyclic nên M = Rm với m ∈ M . Đặt I= {r ∈ R \ rm ∈ N } , trươc tiên ta chứng minh I  R , I ≠ ∅ do 0 ∈ I , ∀r1 , r2 ∈ I thì r1m ∈ N , r2 m ∈ N , ta có ( r1 + r2 ) m = r1m + r2 m ∈ N do N là module con của M , suy ra = r1 + r2 ∈ I . ∀r ∈ I , a ∈ R thì rm ∈ N , nên ( ra ) m a ( rm ) ∈ N , do đó ra ∈ I . Vậy I  R . Với cách đặt I như trên thì IM ⊆ N , lấy x ∈ N , vì M = Rm nên x = rm , trong đó r ∈ R nên r ∈ I dẫn đến x ∈ IM , do đó N ⊆ IM . Vậy N = IM . Mở rộng lớp các module xylic, người ta đưa ra khái niệm lớp các module có tính chất như trên gọi là module nhân. Định nghĩa 1.2.1. Một R - module M được gọi là module nhân nếu với mỗi module con N của M , tồn tại một ideal I của R sao cho N = IM . Khi đó I được gọi là ideal đại diện của module con N . Ví dụ :Từ nhận xét ban đầu thì ta có mọi module xyclic là module nhân. Hiển nhiên vành R có đơn vị cũng là module xyclic sinh bởi 1∈ R , nên R cũng là R - module nhân. Mệnh đề 1.2.2. Cho R là vành, khi đó mọi ideal M của R sinh bởi tập các phần tử lũy đẳng của vành R là R - module nhân. Thật vậy, giả sử {ei }i∈I là tập hợp các phần tử lũy đẳng của vành R , M = ∑ Rei và B i∈I là ideal của R chứa trong M . Ta có BM ⊆ B . Lấy b ∈ B . Khi đó tồn tại tập con hữu n hạn {e1 , e2 ,..., en } của tập {ei }i∈I thỏa b = ∑ ri ei trong đó các phần tử r1 , r2 ,..., rn ∈ R . Do i =1 n n ∑ ∑ r (1 − e ) e lũy đẳng nên 1 − e cũng lũy đẳng và b = ri − =i 1 =i 1  n i i 0 suy ra (1 − e1 ) ... (1 − en ) b =  và b = (1 − (1 − e1 ) ... (1 − en ) ) b ∈  ∑ Rei  b ⊆ BM . Do đó B ⊆ BM , suy ra B = BM . Vậy  i =1  M là R - module nhân. ■ Như nhận xét thì module xyclic chính là module nhân vậy thì điều kiện nào để một module bất kì là module nhân. Mệnh đề sau đây sẽ là một điều kiện : Mệnh đề 1.2.3. Cho M là R -module khác 0 trên vành địa phương R . Khi đó M là một R -module xyclic. Nhận xét 1.2.4: Từ định nghĩa module nhân thì ứng với mỗi module con của module nhân, tồn tại ideal đại diện thỏa điều kiện đã nêu, tuy nhiên ideal đại diện đó là không = 2 duy nhất, chẳng hạn  6 là  - module nhân và module con 2. 4 )  6 ( 8 )  6 . (= Module con, module thương của module nhân: Với định nghĩa module nhân như trên thì có những lớp nào bảo toàn và những lớp nào không bảo toàn. Những mệnh đề sau đây sẽ cho ta biết điều đó. Mệnh đề 1.2.5. Cho R là vành, khi đó ta có: Cho S là tập con nhân của R . Nếu R -module M là module nhân thì S −1M là S −1 R module nhân. Chứng minh : Vì M là module nhân nên với mọi module con N của M tồn tại ideal −1 I của R sao cho N = IM . Do đó = S −1 N S= ( IM ) ( S I )( S −1 −1 M ) . Vậy S −1M là S −1 R - module nhân. Mệnh đề 1.2.6. Mọi ảnh đồng cấu của module nhân là module nhân. Chứng minh. Lấy M là R -module nhân, f : M → M là toàn cấu R -module và N là module con của M , khi đó tồn tại module con N của M sao cho f ( N ) = N . Do M là module nhân nên tồn tại ideal I thỏa N = IM . Ta có: = N f= IM ) If = ( N ) f (= ( M ) I M . Do đó M là module nhân.■ Hệ quả 1.2.7. Mọi module thương của module nhân là module nhân. Chứng minh. Giả sử M là R -module nhân, N là module con của M Xét ánh xạ: f : M →M /N x  x + N := x là toàn cấu nên theo mệnh đề 1.2.6 M / N là R - module nhân.■ Mệnh đề 1.2.8. Cho M là R - module nhân, khi đó nếu N là module con của M sao cho N ∩ MB = NB với mọi ideal B của R thì N là module nhân. Chứng minh. Lấy Y là module con của N . Vì M là module nhân nên tồn tại ideal B của R sao cho Y = BM , theo giả thiết N ∩ MB = NB nên ta có Y = BM =Y ∩ BM ⊆ N ∩ BM = NB ⊆ MB =Y Do đó Y = BN hay N là module nhân.■ Như vậy module thương của module nhân trên tập con nhân là module nhân, module thương của module nhân là module nhân, còn module con N của R-module nhân M chưa chắc là module nhân, nó phải thỏa điều kiện N ∩ MB = NB với mọi ideal B của R thì N là module nhân. Các điều kiện tương đương: 3. Việc dựa vào định nghĩa đề xét xem một module có phải là module nhân hay không không phải là công việc đơn giản, vậy còn những tiêu chuẩn nào khác để một module là module nhân, xét các mệnh đề sau đây. Mệnh đề 1.2.9. Cho M là một R - module. Khi đó M là R - module nhân nếu và chỉ nếu với mọi m ∈ M tồn tại ideal I của R sao cho Rm = IM . Chứng minh. Giả sử M là R - module nhân, thì với mọi m ∈ M ta có Rm là module con của M nên tồn tại ideal I của R sao cho Rm = IM . Ngược lại, giả sử với mọi m ∈ M tồn tại ideal I của R sao cho Rm = IM Lấy N là module con bất kỳ của M . Lấy x ∈ N thì tồn tại I x sao cho Rx = I x M N = Đặt I = ∑ I x , do đó x∈N nhân.■   Rx ∑= I M  ∑ I= = ∑ M   x∈N x∈N x x∈N x IM . Vậy M là R - module Mệnh đề 1.2.10. Cho R - module M . Khi đó các phát biểu sau là tương đương: (1) M là module nhân; (2) N ⊆ ( N : M ) M , với mọi module con N của M ; = (3) N N :M )M (= ann ( M / N ) M , với mọi module con N của M . Chứng minh. (1) ⇒ ( 2 ) : Giả sử N là module con của M , do M là module nhân nên tồn tại ideal I của R sao cho N = IM . Suy ra với mọi r ∈ I thì rM ⊆ IM = N nên I ⊆ (N : M ) ( 2 ) ⇒ ( 3) : Ta có N ⊇ ( N : M ) M hiển nhiên, nên N = ( N : M ) M và ta có ( N : M ) = ann ( M / N ) nên ta có ( 3) . ( 3) ⇒ (1) : Hiển nhiên.■ Mệnh đề 1.2.11. Cho R - module M , khi đó những mệnh đề sau tương đương (1) M là module nhân; (2) Với mọi ideal I của R thỏa I ⊆ ann ( M ) , M là R / I - module nhân; (3) Tồn tại ideal I của R thỏa I ⊆ ann ( M ) , M là R / I - module nhân. Mệnh đề 1.2.12. Cho M là module trên vành R , khi đó những mệnh đề sau tương đương: (1) M là module nhân; (2) Với mọi module con xyclic N của M , tồn tại ideal B của vành R sao cho N = BM ; (3) Với mọi module con N của M , tồn tại tập { N i }i∈I các module con của N và tập { Bi }i∈I các ideal của R sao cho N = ∑ i∈I N i và N i = Bi M với mỗi i ∈ I . Chứng minh. (1) ⇒ ( 2 ) : hiển nhiên ( 2 ) ⇒ ( 3) : Lấy N là module con của M , { N i }i∈I là tập tất cả các module con xyclic của N khi đó theo giả thiết tồn tại các ideal Bi của vành R thỏa N i = Bi M , và hiển nhiên N = ∑ i∈I N i . Vậy { N i } , { Bi } là các tập cần tìm. ( 3) ⇒ (1) : Lấy N là module con của M , khi đó tồn tại { N i }i∈I các module con của N và tập { Bi }i∈I các ideal của R sao cho N = ∑ i∈I N i và N i = Bi M với mỗi i ∈ I . Ký hiệu B = ∑ i∈I Bi là ideal của R N = Khi đó N ∑= BM ∑= i∈I i i∈I i   M  ∑= Bi  BM  i∈I  Vậy M là module nhân. Mệnh đề 1.2.13: R - module hữu hạn sinh M là module nhân nếu và chỉ nếu RP module M P là module nhân với mọi ideal nguyên tố( tối đại) P của R . Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh chiều nghịch (chiều thuận đã có trong mệnh đề 1.2.5), giả sử RP - module M P là module nhân với mọi ideal nguyên tố( tối đại) P của R . Lấy N là module con của M . Ta có N P = ( N P : M P ) M P . Vì M là R - module hữu hạn sinh nên ta có ( N P : M P ) = ( N : M ) P . Do đó = NP N : M ) P M P ( ( N : M ) M ) P suy ra ( N= (= P : MP )MP N = ( N : M ) M . Vậy M là R - module nhân. ■ 4. Các tính chất liên quan đến ideal tối đại, module con tối đại : Vậy khi một module là một module nhân thì có những tính chất gì liên quan đến ideal tối đại của vành R . Ta xét những mệnh đề sau : Định lý 1.2.14. Cho R - module M , khi đó những mệnh đề sau tương đương: (1) M là module nhân; (2) Với mọi ideal tối đại Q của R , Q không chứa linh tử hóa của bất kỳ phần tử nào của M hoặc tồn tại q ∈ Q và m ∈ M thỏa (1 − q ) M ⊆ Rm .