Tài liệu Tính hút trong thời gian hữu hạn đối với hệ vi phân cấp phân số có trọng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ====== LÊ THỊ HỒNG TÍNH HÚT TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN ĐỐI VỚI HỆ VI PHÂN CẤP PHÂN SỐ CÓ TRỌNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ====== LÊ THỊ HỒNG TÍNH HÚT TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN ĐỐI VỚI HỆ VI PHÂN CẤP PHÂN SỐ CÓ TRỌNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Trần Đình Kế HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Nhân dịp luận văn được hoàn thành em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. TRẦN ĐÌNH KẾ đã tận tình hướng dẫn em trong quá trình thực hiện luận văn này. Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng sau đại học, cùng toàn thể các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi để em có điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình học tập, thực hiện đề tài và nghiên cứu khoa học. Do thời gian và kiến thức có hạn nên luận văn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót nhất định. Em xin chân thành cảm ơn đã nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên. Hà Nội, ngày 19 tháng 06 năm 2017 Tác giả Lê Thị Hồng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Trần Đình Kế, luận văn tốt nghiệp “Tính hút trong thời gian hữu hạn đối với hệ vi phân cấp phân số có trọng” được hoàn thành bởi sự nhận thức của chính bản thân tác giả và không trùng với bất kỳ luận văn nào khác. Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, ngày 19 tháng 06 năm 2017 Tác giả Lê Thị Hồng Mục lục MỞ ĐẦU 1 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm của lý thuyết nửa nhóm . . . . . . . 1.2 Giải tích phân thứ có trọng . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Độ đo không compact và ánh xạ nén . . . . . . . . . . 5 5 8 11 2 Điều kiện tồn tại nghiệm 14 2.1 Trường hợp dưới tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Trường hợp trên tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 Tính hút trong thời gian hữu hạn 19 3.1 Một số điều kiện đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Ứng dụng cho phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . 23 KẾT LUẬN 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO 26 ii MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết ổn định các hệ vi phân xuất phát từ các bài toán thực tế, có lịch sử phát triển hàng thế kỷ từ công trình của Lyapunov và đã đạt được những thành tựu quan trọng. Một trong những hướng phát triển của lý thuyết này là xem xét khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn. Lý thuyết ổn định các hệ vi phân trong thời gian hữu hạn đã trở thành chủ đề nghiên cứu sôi động trong những năm gần đây. Với mong muốn tiếp cận hướng nghiên cứu này, chúng tôi chọn đề tài Tính hút trong thời gian hữu hạn đối với hệ vi phân cấp phân số có trọng. Mục tiêu cụ thể là xét tính hút trong thời gian hữu hạn của điểm cân bằng của hệ vi phân bậc phân số dạng Dα,σ u(t) = Au(t) + f (u(t)), t ∈ (0, T ], (0.1) trong đó Dα,σ là đạo hàm Caputo cấp α ∈ (0, 1) với trọng w(t) = e−σt , A là phần tử sinh của một C0 -nửa nhóm trên không gian Banach X và f là một hàm phi tuyến. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tính hút và hút mũ trong thời gian hữu hạn của nghiệm u = 0 của hệ vi phân (0.1). 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 1. Tìm hiểu lý thuyết ổn định trong thời gian hữu hạn cho các hệ vi phân; 2. Tìm hiểu giải tích bậc phân số, lý thuyết điểm bất động cho các ánh xạ nén; 1 3. Nghiên cứu tính hút và hút mũ của hệ (0.1). 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiêu cứu: hệ vi phân bậc phân số có trọng. • Phạm vi nghiên cứu: Điều kiện đảm bảo tính hút và hút mũ. 5. Phương pháp nghiên cứu Luận văn sử dụng một số công cụ của giải tích hàm: • Lý thuyết nửa nhóm; • Giải tích phân thứ; • Lý thuyết điểm bất động. 6. Dự kiến đóng góp mới Trình bày một số kết quả gần đây về tính hút cho phương trình vi phân cấp phân số có trọng. 2 Đặt vấn đề Những nghiên cứu về hệ động lực trong thời gian hữu hạn đã phát triển mạnh trong hai thập kỷ qua. Lý do đầu tiên là khi xem xét các hệ vi phân dạng x (t) = f (t, x(t)), (0.2) ta chỉ thu thập được thông tin của hệ trong một khoảng thời gian hữu hạn t ∈ [t0 , t1 ]. Ngay cả khi có được thông tin của hệ (0.2) trên cả nửa trục thời gian, việc nghiên cứu dáng điệu nghiệm trong một khoảng thời gian ngắn t ∈ [t0 , t1 ] cũng là một chủ đề thú vị. Khi nghiên cứu các bài toán phát sinh từ các mạng hóa-sinh học, xử lý tín hiệu (ví dụ, trong các công trình [9, 20, 22]), dáng điệu thời gian ngắn của trạng thái đóng vai trò quan trọng và có ý nghĩa hơn so với dáng điệu tiệm cận khi t → ∞. Các nghiên cứu gần đây về đa tạp bất biến, tính chất lưỡng phân của hệ động lực sinh bởi các hệ vi phân trong khoảng thời gian hữu hạn được trình bày trong các công trình [4, 7, 8, 11, 12, 15]. Ngoài ra một số kết quả về số mũ Lyapunov cho các hệ động lực thời gian hữu hạn đã được đề cập trong [9, 11, 25]. Trong bài báo [10], Giesl và Rasmussen đã đề xuất khái niệm tính hút trong thời gian hữu hạn cho nghiệm của phương trình (0.2) trên đoạn [0, T ] với hàm trạng thái x(·) lấy giá trị trong Rn . Cụ thể, một nghiệm µ của (0.2) được gọi là hút trên đoạn [0, T ] nếu tồn tại η > 0 sao cho với mọi nghiệm x(·, ξ) của (0.2) ứng với dữ kiện ban đầu ξ , ta có x(T, ξ) − µ(T, µ(0)) < ξ − µ(0) , ∀ξ ∈ Bη (µ(0))\{µ(0)}, ở đó Bη (x0 ) là hình cầu tâm x0 bán kính η . Nếu ta có lim sup η 0 1 sup x(T, ξ) − µ(T, µ(0)) < 1, η ξ∈Bη (µ(0)) thì nghiệm µ được gọi là hút mũ trên đoạn [0, T ]. Mục đích của luận văn là nghiên cứu tính hút của nghiệm của lớp phương trình vi phân α,σ D0 x(t) = Ax(t) + f (x(t)), 3 (0.3) trên đoạn [0, T ], ở đó hàm trạng thái x(·) nhận giá trị trên một không gian α,σ Banach X , D0 , α ∈ (0, 1), σ > 0, là đạo hàm cấp phân số có trọng loại Caputo (Định nghĩa 1.6 ở phần sau), A là một toán tử đóng trên X sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh, f : X → X là một hàm phi tuyến. Gần đây, phương trình vi phân cấp phân số có trọng đã được sử dụng trong các nghiên cứu về địa-vật lý, vật liệu xốp, thủy văn (xem trong [18, 19, 13]). Ngoài ra, công trình [23] đã trình bày một bài toán, trong đó giải tích phân thứ được mở rộng bằng cách thêm hàm trọng để có thể mô tả chính xác hơn các quá trình ngẫu nhiên. Một số kết quả về tồn tại nghiệm và tính toán số cho phương trình vi phân cấp phân số có trọng đã được đề cập trong các công trình [2, 5, 16, 31]. Tuy nhiên, những kết quả về dáng điệu nghiệm cho lớp phương trình này còn ít được biết đến. Trong luận văn này, chúng tôi sẽ sử dụng những khái niệm về hệ động lực thời gian hữu hạn trình bày trong [10, 21] để nghiên cứu dáng điệu nghiệm của (0.3). 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Giả sử (X, · ) là một không gian Banach. Sau đây, ta dùng ký hiệu Lp (0, T ; X), p ≥ 1, để chỉ không gian các hàm lấy giá trị trong X , khả tích bậc p theo nghĩa Bochner trên đoạn [0, T ]. Tập D ⊂ Lp (0, T ; X) được gọi là bị chặn tích phân nếu tồn tại hàm ν ∈ Lp (0, T ) := Lp (0, T ; R) sao cho ∀f ∈ D, f (t) ≤ ν(t) với hầu khắp t ∈ [0, T ]. Ký hiệu L(X) là không gian Banach các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào chính nó. Một họ toán tử {V (t)}t≥0 ⊂ L(X) được gọi là liên tục theo chuẩn nếu hàm t → V (t) ∈ L(X) liên tục trên (0, ∞). 1.1 Một số khái niệm của lý thuyết nửa nhóm Định nghĩa 1.1. Ta nói rằng {S(t)}t≥0 là một nửa nhóm các ánh xạ tuyến tính bị chặn trên X nếu S(t) ∈ L(X) với mọi t ≥ 0 và i) S(0) = I; ii) S(t)S(s) = S(t + s), ∀t, s ≥ 0. Nửa nhóm S(t) gọi là một C0 -nửa nhóm (hay nửa nhóm liên tục mạnh) nếu lim S(t)x = x, ∀x ∈ X. t→0+ (1.1) Định nghĩa 1.2. Giả sử {S(t)}t≥0 là một C0 -nửa nhóm trên X . Ta định nghĩa toán tử sinh A của nó như sau: D(A) = x ∈ X : lim và Ax = lim h→0+ h→0+ S(h) − I x tồn tại trong X h S(h) − I d+ (S(t)x) x= |t=0 , ∀x ∈ D(A). h dt 5 Ta sẽ dùng ký hiệu (S(t), A) khi cần chỉ rõ nửa nhóm {S(t)}t≥0 sinh bởi toán tử A. Nửa nhóm {S(t)}t≥0 được gọi là compact nếu với mỗi t > 0, S(t) là một toán tử compact. Bây giờ chúng ta sẽ nêu định nghĩa nửa nhóm giải tích. Với δ ∈ (0, π) và σ ∈ (0, π) ta định nghĩa ∆δ = {z ∈ C : | arg z| < δ, z = 0}, ∆δ (a) = a + ∆δ = {z ∈ C : | arg(z − a)| < δ, z = a}, Σσ = {z ∈ C : | arg z| > σ, z = 0}, Σσ (a) = a + Σσ = {z ∈ C : | arg(z − a)| > σ, z = a}. Định nghĩa 1.3. Giả sử (S(t), A) là một C0 -nửa nhóm trên không gian Banach X . Ta nói rằng (S(t), A) là một nửa nhóm giải tích nếu tồn tại một thác triển của S(t) thành ánh xạ S(z) xác định với mọi z thuộc quạt ∆δ ∪ {0} và thỏa mãn các điều kiện sau: (1) z → S(z) là ánh xạ từ ∆δ ∪ {0} vào L(X); (2) S(z1 + z2 ) = S(z1 )S(z2 ) với mọi z1 , z2 ∈ ∆δ ∪ {0}; (3) Với mọi w ∈ X , ta có S(z)w → w khi z → 0 trong ∆δ ∪ {0}; (4) Với mọi w ∈ X , ánh xạ z → S(z)w là giải tích từ ∆δ vào X . Mỗi ánh xạ S(z) như trên gọi là một thác triển nửa nhóm giải tích của S(t). Định nghĩa 1.4. Nếu ánh xạ t → S(t) liên tục trên khoảng (0, +∞) theo chuẩn trong L(X) thì ta nói nửa nhóm {S(t)}t≥0 là liên tục theo chuẩn (normcontinuous). Nếu S(·) liên tục trên nửa trục [0, ∞) thì ta nói nửa nhóm này liên tục đều. Ta biết rằng mỗi nửa nhóm compact hoặc giải tích đều là liên tục theo chuẩn (xem [27]). Ví dụ 1.1. Cho A là một toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Banach X (A ∈ L(X)). Khi đó họ toán tử ∞ e tA := n=0 tn An , t ∈ R+ , n! là một nửa nhóm liên tục đều, do đó nó liên tục theo chuẩn. Ví dụ 1.2. Giả sử A là một toán tử tuyến tính tự liên hợp trên không gian Hilbert thực H thỏa mãn: 6 (1) A là xác định dương, tức là tồn tại a > 0 sao cho Au, u ≥ a||u||2 , ∀u ∈ D(A); (2) A có giải thức compact, tức là toán tử giải R(λ, A) = (λI−A)−1 là compact với mọi λ ∈ ρ(A). Từ giả thiết của A suy ra phổ của A là một dãy đếm được gồm toàn giá trị riêng thực với bội hữu hạn 0 < a ≤ λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 ≤ . . . , và λn → ∞ khi n → ∞. Các vectơ riêng tương ứng {e1 , e2 , . . . } lập thành một cơ sở trực chuẩn của H . Khi đó mỗi u ∈ H có biểu diễn ∞ u= u, ei ei . i=1 Hơn nữa, đẳng thức Parseval sau đúng ∞ 2 | u, ei |2 . ||u|| = i=1 Miền xác định của toán tử A cho bởi ∞ |λi |2 | u, ei |2 < ∞ u∈H: D(A) = , i=1 và toán tử A cho bởi ∞ λi u, ei ei , với u ∈ D(A). Au = i=1 Định lí ánh xạ phổ nói rằng nếu f là một hàm giá trị thực liên tục xác định trên phổ σ(A), thì toán tử tuyến tính f (A) định nghĩa bởi ∞ f (A)u = f (λi ) u, ei ei , i=1 ở đó miền xác định của f (A) cho bởi ∞ D(f (A)) = |f (λi )|2 | u, ei |2 < ∞ u∈H: i=1 7 . Nói riêng, khi f (λ) = e−λt , ta có C0 -nửa nhóm sinh bởi −A là ∞ e −At e−λi t u, ei ei . u= i=1 Dễ thấy {e−At }t≥0 thỏa mãn ba điều kiện trong định nghĩa của một C0 -nửa nhóm và toán tử sinh của e−At là −A. Bây giờ ta chỉ rằng toán tử tuyến tính e−At là compact với mỗi t > 0. Thật vậy, với mỗi u ∈ H ta có ∞ ||e −At −At u − PN e e−2λi t | u, ei |2 u|| = i=N +1 ∞ −2λN +1 t | u, ei |2 = e−2λN +1 t ||u||, ≤e i=1 ở đây PN là phép chiếu xuống không gian hữu hạn chiều sinh bởi các vectơ riêng {e1 , . . . , eN }. Từ đây suy ra với mỗi t > 0, e−At là giới hạn đều của một dãy các toán tử hữu hạn chiều, do đó nó là toán tử compact. 1.2 Giải tích phân thứ có trọng Giả sử σ là một số dương. Định nghĩa 1.5. Tích phân bậc α > 0 có trọng của hàm f ∈ L1 (0, T ; X) được xác định bởi α,σ I0 f (t) t 1 = Γ(α) (t − s)α−1 e−σ(t−s) f (s)ds, 0 ở đó Γ(·) là hàm Gamma, Γ(α) = ∞ α−1 −t t e dt. 0 Định nghĩa 1.6. Với hàm f ∈ C 1 ([0, T ]; X), đạo hàm bậc α ∈ (0, 1) có trọng xác định bởi α,σ D0 f (t) = 1 Γ(1 − α) t (t − s)−α e−σ(t−s) (f (s) + σf (s))ds. 0 Xét bài toán Cô-si α,σ D0 x(t) = Ax(t) + f (t), t > 0, α ∈ (0, 1), (1.2) (1.3) x(0) = x0 , với A là toán tử sinh của C0 -nửa nhóm S(·) thỏa mãn S(t) ≤ M, ∀t ≥ 0. 8 Từ kết quả của Zhou và Jiao [30] cho trường hợp σ = 0, ta sẽ xây dựng khái niệm nghiệm tích phân phù hợp cho bài toán (1.2)-(1.3) dạng công thức biến thiên hằng số. Ký hiệu L là phép biến đổi Laplace cho hàm nhận giá trị trong X và xác định trên R+ . Sử dụng phép biến đổi này cho hai vế của phương trình (1.2), ta nhận được 1 L[e−σ(·) (·)−α ∗ (x + σx)](λ) = AL[x](λ) + L[f ](λ), Γ(1 − α) α,σ do ta có biểu diễn D0 x = 1 e−σ(·) (·)−α ∗ (x + σx), trong đó ∗ là ký hiệu Γ(1 − α) tích chập. Khi đó 1 L[e−σ(·) (·)−α ](λ)L[x + σx](λ) = AL[x](λ) + L[f ](λ). Γ(1 − α) Chú ý rằng L[e−σ(·) (·)−α ](λ) = Γ(1 − α)(λ + σ)α−1 , ta nhận được (λ + σ)α−1 (λL[x](λ) − x(0) + σL[x](λ)) = AL[x](λ) + L[f ](λ). Vì vậy L[x](λ) = (λ + σ)α−1 [(λ + σ)α I − A]−1 x0 + [(λ + σ)α I − A]−1 L[f ](λ), (1.4) với mọi λ sao cho (λ + σ)α ∈ ρ(A), ở đây I là toán tử đồng nhất trên X . Giả sử {Sα (t), Pα (t)}t∈R+ là họ các toán tử tuyến tính bị chặn trên X cho bởi ∞ φα (θ)S(tα θ)x dθ, Sα (t)x = 0 (1.5) ∞ θφα (θ)S(tα θ)x dθ, ∀x ∈ X, Pα (t)x = α (1.6) 0 với φα là hàm xác định trên (0, ∞), cho bởi biểu thức 1 φα (θ) = απ ∞ (−1)n−1 θn−1 n=1 Γ(nα + 1) sin nπα, θ ∈ (0, ∞). n! Theo [30, Bổ đề 3.1], ta có ∞ e−λt Sα (t)dt = L[Sα ](λ) = λα−1 (λα I − A)−1 , ∞ 0 e−λt tα−1 Pα (t)dt = L[(·)α−1 Pα ](λ) = (λα I − A)−1 , 0 trong L(X). Thay vào (1.4), ta nhận được L[x](λ) = L[e−σ(·) Sα ](λ)x0 + L[(·)α−1 e−σ(·) Pα ](λ)L[f ](λ). 9 (1.7) Sử dụng biến đổi Laplace ngược trong (1.7), chú ý quy tắc tịnh tiến và quy tắc tích chập ta có t −σt x(t) = e (t − s)α−1 e−σ(t−s) Pα (t − s)f (s)ds, t ≥ 0. Sα (t)x0 + (1.8) 0 Dựa trên (1.8), ta có định nghĩa sau đây về nghiệm tích phân của (0.3). Định nghĩa 1.7. Hàm x ∈ C([0, T ]; X) được gọi là nghiệm tích phân của (0.3) trên đoạn [0, T ] ứng với dữ kiện ban đầu ξ nếu t x(t) = e−σt Sα (t)ξ + (t − s)α−1 e−σ(t−s) Pα (t − s)f (x(s)) ds, 0 với mỗi t ∈ [0, T ]. Ta nhắc lại một số kết quả sẽ được dùng trong phần sau. Bổ đề 1.1. Giả sử A là toán tử sinh của C0 -nửa nhóm {S(t)}t≥0 trong X sao cho S(t) ≤ M với t ≥ 0. Khi đó i) Sα (t) ≤ M , Pα (t) ≤ M Γ(α) với mọi t ≥ 0; ii) Nếu S(t) compact với t > 0, thì Sα (t) và Pα (t) cũng compact với t > 0; iii) Nếu S(·) liên tục theo chuẩn thì Sα (·) và Pα (·) cũng có tính chất này. Hai tính chất đầu đã được chứng minh trong [30], tính chất sau cùng được chứng minh trong [28]. Giả sử Φ(t, s) là họ các toán tử tuyến tính bị chặn trên X với t, s ∈ [0, T ], s ≤ t. Ta có kết quả sau đây [24, Bổ đề 1]. Bổ đề 1.2. Giả sử Φ thỏa mãn: (Φ1) tồn tại hàm s ≤ t; ∈ Lq (0, T ), q ≥ 1 sao cho Φ(t, s) ≤ (t − s) với t, s ∈ [0, T ], (Φ2) Φ(t, s) − Φ(r, s) ≤ h → 0. với 0 ≤ s ≤ r − , r < t = r + h ≤ T , = (h) → 0 khi Khi đó toán tử S : Lq (0, T ; X) → C([0, T ]; X) xác định bởi t (Sg)(t) := Φ(t, s)g(s)ds 0 sẽ biến mỗi tập bị chặn tích phân thành một tập liên tục đồng bậc, ở đây q là số mũ liên hợp của q . 10 Xét toán tử Qα : Lp (0, T ; X) → C([0, T ]; X) xác định bởi t (t − s)α−1 e−σ(t−s) Pα (t − s)f (s)ds, Qα (f )(t) = (1.9) 0 1 với p > α . Sử dụng hai bổ đề vừa nêu, ta có kết quả sau. Mệnh đề 1.3. Giả sử C0 -nửa nhóm {S(t)}t≥0 sinh bởi A liên tục theo chuẩn. Khi đó với mỗi tập bị chặn tích phân Ω ⊂ Lp (0, T ; X), Qα (Ω) là tập liên tục đồng bậc trong C([0, T ]; X). Chứng minh. Do S(·) liên tục theo chuẩn, Pα (t) cũng có tính chất này theo khẳng định trong Bổ đề 1.1. Do đó Φ(t, s) = (t − s)α−1 e−σ(t−s) Pα (t − s) thỏa mãn các điều kiện (Φ1)−(Φ2) trong Bổ đề 1.2. Mệnh đề được chứng minh. Ta sẽ sử dụng bất đẳng thức dạng Gronwall với nhân kỳ dị sau đây (xem [29, Hệ quả 2]). Bổ đề 1.4. Giả sử β > 0, b ≥ 0 và a(·) là một hàm không âm, không giảm và khả tích địa phương trên [0, T ) (0 < T ≤ +∞). Nếu u(·) là hàm không âm, khả tích địa phương trên [0, T ) và thỏa mãn t (t − s)β−1 u(s) ds, t ∈ [0, T ), u(t) ≤ a(t) + b 0 ∞ thì u(t) ≤ a(t)Eβ (bΓ(β)tβ ), ở đây Eβ là hàm Mittag-Leffler, Eβ (z) = n=0 zn , Γ(βn + 1) z∈C . 1.3 Độ đo không compact và ánh xạ nén Cho E là không gian Banach. Ký hiệu B(E) là họ các tập con bị chặn và khác rỗng của E . Ta sử dụng khái niệm độ đo không compact sau đây (xem trong [14]). Định nghĩa 1.8. Một hàm tập hợp β : B(E) → R+ được gọi là độ đo không compact (MNC) trên E nếu β(co Ω) = β(Ω) với mọi Ω ∈ B(E), ở đó co Ω là bao lồi đóng của tập Ω. Một MNC β được gọi là: (i) đơn điệu, nếu Ω0 , Ω1 ∈ B(E) mà Ω0 ⊆ Ω1 , ta có β(Ω0 ) ≤ β(Ω1 ); 11 (ii) không kỳ dị, nếu β({a} ∪ Ω) = β(Ω) với mọi a ∈ E, Ω ∈ B(E); (iii) bất biến với các tập compact, nếu β(K ∪ Ω) = β(Ω) với mọi tập compact tương đối K ⊂ E và Ω ∈ B(E); (iv) nửa cộng tính, nếu β(Ω0 + Ω1 ) ≤ β(Ω0 ) + β(Ω1 ) với mọi tập Ω0 , Ω1 ∈ B(E); (v) chính quy, nếu điều kiện β(Ω) = 0 tương đương với tính compact tương đối của Ω. Một ví dụ tiêu biểu về MNC, thỏa mãn tất cả các tính chất kể trên, là độ đo Hausdorff χ(·), xác định như sau χ(Ω) = inf{ε > 0 : Ω có ε − lưới hữu hạn}. Ngoài ra ta cũng sử dụng các MNC sau đây. Với L > 0 và D ⊂ E = C([0, T ]; X), đặt ω(D) = sup e−Lt χ(D(t)), ở đó D(t) := {x(t) : x ∈ D}, (1.10) t∈[0,T ] modC (D) = lim sup max δ→0 x∈D t,s∈[0,T ],|t−s|<δ x(t) − x(s) . (1.11) Theo [14, Ví dụ 2.1.2, 2.1.4], ω và modC là các độ đo thỏa mãn mọi tính chất nêu trong Định nghĩa 1.8, trừ tính chính quy. Hơn nữa, với D ⊂ C([0, T ]; X), ta biết rằng • ω(D) = 0 nếu và chỉ nếu D(t) là compact tương đối với mỗi t ∈ [0, T ]; • modC (D) = 0 nếu và chỉ nếu D liên tục đồng bậc. Đặt χ∗ (D) = ω(D) + modC (D), (1.12) thì χ∗ là một độ đo chính quy trên C([0, T ]; X). Thật vậy, nếu χ∗ (D) = 0 thì ω(D) = modC (D) = 0. Do đó D(t) compact tương đối với mỗi t ∈ [0, T ] và D là tập liên tục đồng bậc. Khi đó D compact tương đối theo định lý Arzelà-Ascoli. Ta còn sử dụng khái niệm χ-chuẩn cho các toán tử tuyến tính bị chặn trên E . Với L ∈ L(E), ta định nghĩa L χ = inf{C > 0 : χ(L(Ω)) ≤ Cχ(Ω) với mọi tập bị chặn Ω ⊂ E}. Ta biết rằng (xem [1]) • L χ = χ(L(B1 )), với B1 là hình cầu đơn vị trong E ; 12 (1.13) • L χ là một nửa chuẩn trên L(E) thỏa mãn L • L χ = 0 khi và chỉ khi L là toán tử compact. χ ≤ L ; Ta có một số bất đẳng thức dựa trên độ đo không compact như sau. Ký hiệu χ(·) là độ đo Hausdorff trên X . Mệnh đề 1.5. ([14]) Nếu {ωn } ⊂ L1 (0, T ; X) là tập bị chặn tích phân thì t χ t ωn (s) ds ≤2 0 χ({ωn (s)}) ds 0 với mỗi t ∈ [0, T ]. Bất đẳng thức trên có thể mở rộng cho các tập bị chặn trong L1 (0, T ; X) như sau. Mệnh đề 1.6 ([3]). Giả sử D ⊂ L1 (0, T ; X) là tập bị chặn tích phân thỏa mãn χ(D(t)) ≤ q(t) với hầu khắp t ∈ [0, T ], ở đó q ∈ L1 (0, T ). Khi đó t t f (s)ds : f ∈ D χ ≤4 0 q(s)ds, ∀t ∈ [0, T ]. 0 Đến đây, chúng ta đề cập đến nguyên lý điểm bất động cho các ánh xạ nén. Trước tiên ta có định nghĩa sau. Định nghĩa 1.9. Một ánh xạ liên tục F : Z ⊆ E → E được gọi là nén ứng với độ đo β (β−nén) nếu với mỗi tập bị chặn Ω ⊂ Z , bất đẳng thức β(Ω) ≤ β(F(Ω)) kéo theo tính compact tương đối của Ω. Cho β là một độ đo đơn điệu và không kỳ dị trên E . Từ lý thuyết bậc tô-pô (xem [1, 14]) ta có định lý điểm bất động sau đây. Định lý 1.7. [14, Hệ quả 3.3.1] Giả sử M là một tập con lồi, đóng và bị chặn trong E , F : M → M là ánh xạ β -nén . Khi đó Fix(F) := {x = F(x)} là một tập compact khác rỗng. 13 Chương 2 Điều kiện tồn tại nghiệm Trong chương này, chúng tôi trình bày các kết quả về tồn tại nghiệm tích phân cho bài toán Cô-si. Các kết quả được trình bày dựa trên tài liệu [32]. 2.1 Trường hợp dưới tuyến tính Chúng ta đưa ra các điều kiện sau cho phương trình (0.3). (A) Nửa nhóm {S(t)}t≥0 sinh bởi A liên tục theo chuẩn và bị chặn toàn cục, tức là tồn tại M ≥ 1 sao cho S(t)x ≤ M x , ∀t ≥ 0, ∀x ∈ X; (F) Hàm f : X → X liên tục và thỏa mãn các điều kiện sau: (1) Điều kiện tăng trưởng f (v) ≤ a + b v , ∀v ∈ X, với hầu khắp t ∈ [0, T ], ở đó a, b là các số không âm; (2) Nếu S(·) không compact thì với mọi tập Ω ⊂ X , ta có χ(f (Ω)) ≤ k χ(Ω), ỏ đó k ∈ R+ . Chú ý 2.1. Chú ý rằng điều kiện (F)(2) được thỏa mãn nếu f liên tục tuyệt đối (tức biến các tập bị chặn thành các tập compact tương đối) hoặc là ánh xạ k -Lipschitz (xem [1]). 14 Với ξ ∈ X , ta định nghĩa toán tử nghiệm Σ : C([0, T ]; X) → C([0, T ]; X) như sau t −σt Σ(y)(t) = e (t − s)α−1 e−σ(t−s) Pα (t − s)f (y(s)) ds, Sα (t)ξ + (2.1) 0 hay tương đương, Σ(y)(t) = e−σt Sα (t)ξ + Qα ◦ Nf (y)(t), với Qα xác định bởi (1.9) và Nf (y)(t) = f (y(t)) với y ∈ C([0, T ]; X). Dễ dàng kiểm tra được rằng u là nghiệm tích phân của (0.3) ứng với dữ kiện ban đầu ξ nếu và chỉ nếu nó là điểm bất động của toán tử nghiệm Σ. Nhờ các giả thiết cho f , ta thấy Σ là một ánh xạ liên tục trên C([0, T ]; X). Bổ đề sau giúp ta chứng minh tính nén của Σ. Bổ đề 2.1. Giả sử các giả thiết (A) và (F) thỏa mãn. Khi đó t χ∗ (Σ(Ω)) ≤ (t − s)α−1 e−(σ+L)(t−s) Pα (t − s) sup 4k t∈[0,T ] χ ds χ∗ (Ω), 0 với mọi tập bị chặn Ω ⊂ C([0, T ]; X). Chứng minh. Giả sử Ω là tập bị chặn trong C([0, T ]; X). Với x ∈ Ω, ta có Σ(x)(t) = e−σt Sα (t)ξ + Qα ◦ Nf (x)(t); ở đó t (t − s)α−1 e−σ(t−s) Pα (t − s)f (x(s)) ds. Qα ◦ Nf (x)(t) = 0 Sử dụng Mệnh đề 1.3, ta thấy Qα ◦ Nf (Ω) là tập liên tục đồng bậc trong C([0, T ]; X) bởi Nf (Ω) bị chặn tích phân từ điều kiện (F)(1). Do vậy modC (Σ(Ω)) = modC (Qα ◦ Nf (Ω)) = 0. Mặt khác, ta có χ(Σ(Ω)(t)) ≤ χ(Qα ◦ Nf (Ω)(t)), t ≥ 0. Nhờ Mệnh đề 1.6, ta nhận được t (t − s)α−1 e−σ(t−s) χ(Pα (t − s)f (Ω(s)) ds. χ(Qα ◦ Nf (Ω)(t)) ≤ 4 0 15 (2.2)