Tài liệu Tính giải được và các tính chất của nghiệm cho một số phương trình vi tích phân hàm phi tuyến

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HUỲNH THỊ HOÀNG DUNG TÍNH GIẢI ĐƯỢC VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM CHO MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN HÀM PHI TUYẾN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HUỲNH THỊ HOÀNG DUNG TÍNH GIẢI ĐƯỢC VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM CHO MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN HÀM PHI TUYẾN Ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số ngành: 62460102 Phản biện 1: PGS. TS. Mai Đức Thành Phản biện 2: PGS. TS. Nguyễn Đình Huy Phản biện 3: TS. Đào Nguyên Anh Phản biện độc lập 1: TS. Đào Nguyên Anh Phản biện độc lập 2: TS. Đào Quang Khải Người hướng dẫn: PGS. TS. Lê Thị Phương Ngọc THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2019 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu khoa học được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Lê Thị Phương Ngọc. Nội dung trong luận án này được viết trên cơ sở nội dung các bài báo đã công bố của tôi. Các kết quả và số liệu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một công trình nào khác. Các bài báo đồng tác giả, đã được các đồng tác giả cho phép sử dụng để viết luận án này. Tác giả luận án Huỳnh Thị Hoàng Dung i Lời cảm ơn Lời đầu tiên, tôi bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Lê Thị Phương Ngọc về sự tận tình hướng dẫn của PGS đối với tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án. Kính gửi đến TS. Nguyễn Thành Long lòng biết ơn chân thành, Thầy đã đọc bản luận án và cho những ý kiến đóng góp xác đáng và quý báu giúp tôi hiểu sâu hơn. Tôi bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn đến các Nhà Khoa học, Quý Thầy Cô trong các Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Bộ môn, cấp cơ sở Đào tạo, các chuyên gia phản biện độc lập và chính thức của luận án, đã cho tôi những nhận xét rất bổ ích giúp tôi hoàn thiện tốt luận án. Tôi vô cùng biết ơn Quý Thầy Cô trong và ngoài Khoa Toán-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh, đã truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm học thuật cho tôi trong suốt quá trình học tại trường. Trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Quý Thầy Cô phòng Quản lý Sau Đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành chương trình học. Kính gửi đến Ban Giám hiệu, Ban Chấp hành Công Đoàn Trường, các Phòng Ban của trường Đại học Kiến Trúc Tp. Hồ Chí Minh và các Anh Chị đồng nghiệp tại trường lời cảm ơn sâu sắc vì sự hỗ trợ về nhiều mặt để tôi có thể hoàn thành chương trình Nghiên cứu sinh. Tôi chân thành cảm ơn các Anh Chị, các Bạn thuộc nhóm Seminar đã đóng góp những ý kiến và kinh nghiệm quý báu trong các buổi sinh hoạt học thuật. Cuối cùng, tôi xin dành những lời thân thương nhất gửi đến các thành viên của gia đình tôi, những người đã luôn bên tôi những lúc khó khăn, luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi học tập. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2019. HUỲNH THỊ HOÀNG DUNG ii Mục lục Danh sách ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1 Thiết lập không gian hàm X1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 Tiêu chuẩn để một tập con trong X1 là tập compact tương đối . . 11 Không gian Xm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 Thiết lập không gian hàm Xm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2 Tiêu chuẩn để một tập con trong Xm là tập compact tương đối . . 15 Không gian Xm,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.1 Thiết lập không gian hàm Xm,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.2 Tiêu chuẩn để một tập con trong Xm,n là tập compact tương đối . 20 Các định lý điểm bất động sử dụng cho luận án . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4.1 Nguyên lý ánh xạ co của Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4.2 Định lý Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4.3 Định lý Krasnosel’skii trong không gian Banach . . . . . . . . . . 26 Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Khảo sát phương trình vi tích phân phi tuyến cấp 1 . . . . . . . . 28 Khảo sát phương trình (2.0.1) nhận giá trị trong không gian Banach E với H 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Chú ý về phương trình (2.0.1) nhận giá trị thực với H 0 . . . . . . . . . 34 2.3 Khảo sát phương trình (2.0.1) nhận giá trị trong không gian Banach E với H 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Mở đầu Chương 1 1.1 1.2 1.3 1.4 Không gian X1 Chương 2 2.1 2.4 Các công cụ sử dụng trong luận án Chú ý về phương trình (2.0.1) nhận giá trị thực với H 6= 0 . . . . . . . . . 43 Các ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5.1 Ví dụ cho phương trình (2.0.1) với E = R . . . . . . . . . . . . . . 44 2.5.2 Ví dụ cho phương trình (2.0.1) với E = C ([0, 1]; R) . . . . . . . . . 49 Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.5 iii Khảo sát phương trình vi tích phân phi tuyến cấp m . . . . . . . . 62 3.1 Khảo sát phương trình cấp m nhận giá trị trong không gian Banach E . . 62 3.2 Chú ý về phương trình (3.0.1) nhận giá trị thực . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.3 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.3.1 Ví dụ cho phương trình (3.3.1) với E = R . . . . . . . . . . . . . . 72 3.3.2 Ví dụ cho phương trình (3.3.1) với E = C ([0, 1]; R) . . . . . . . . . 76 Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Khảo sát phương trình vi tích phân phi tuyến cấp m + n . . . . . 82 Chương 3 Chương 4 4.1 Khảo sát phương trình cấp m + n nhận giá trị trong không gian Banach E 82 4.2 Chú ý về phương trình (4.0.1) nhận giá trị thực . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.3 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.3.1 Ví dụ cho phương trình (4.3.1) với E = R . . . . . . . . . . . . . . 94 4.3.2 Ví dụ cho phương trình (4.3.1) với E = C ([0, 1]; R) . . . . . . . . . 100 Kết luận chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Danh mục công trình của tác giả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 iv Danh sách ký hiệu Các ký hiệu N Z R Z+ R+ E Ω x Bx Bx 0 i = 1, m u Di u Dik u Dα u C (Ω; E) C k (Ω; E) ( A) [ A] [A] Tập hợp các số tự nhiên; Tập hợp các số nguyên; Tập hợp các số thực; Tập hợp các số nguyên không âm; Tập hợp các số thực không âm; Không gian Banach với chuẩn k k E ; Ω = [0, 1] N = [0, 1] [0, 1]; x = ( x1 , , x N ) = ( x1 , x 0 ) với x 0 = ( x2 , , x N ), Bx = [0, x1 ] [0, x N ]; Bx0 = [0, x2 ] [0, x N ]; i 2 f1, , mg hay i = 1, , m; u = u ( x1 , , x N ) : Hàm số theo N biến số thực x1 , , xN ; ∂u Di u = : Đạo hàm riêng cấp 1 của hàm u theo biến xi ; ∂xi ∂k u Dik u = k : Đạo hàm riêng cấp k của hàm u theo biến xi ; ∂xi ∂ α1 + + α N u α1 αN N; α , α N ) 2 Z+ D u = D1 D N u = α1 α N , α = ( α1 , ∂x1 ∂x N C (Ω; E) : Không gian gồm các hàm u : Ω ! E liên tục trên Ω; C k (Ω; E) = fu 2 C (Ω; E) : D α u 2 C (Ω; E), jαj = α1 + + αN Giả thiết A trong chương 2; Giả thiết A trong chương 3; Giả thiết A trong chương 4. 1 k g; Mở đầu Lý thuyết về phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình vi tích phân là một trong những lĩnh vực cơ bản của Giải tích toán học. Phương trình vi phân được hiểu là một phương trình có chứa hàm chưa biết (còn gọi là ẩn hàm) cùng với các đạo hàm của ẩn hàm đó (đạo hàm thường hay đạo hàm riêng), có thể chứa cả các biến độc lập của ẩn hàm. Nếu ẩn hàm là hàm một biến thì người ta gọi phương trình đó là phương trình vi phân thường, ngược lại, nhiều hơn một biến thì nó được gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng, hay nói gọn là phương trình đạo hàm riêng. Cấp của phương trình vi phân chính là cấp cao nhất của đạo hàm của ẩn hàm (đạo hàm thường hay đạo hàm riêng) xuất hiện trong phương trình. Phương trình tích phân, phương trình vi tích phân cũng được hiểu tương tự. Phương trình vi tích phân không chỉ có chứa đạo hàm (có thể có đạo hàm riêng) mà còn có chứa cả tích phân (theo loại tích phân nào đó) mà dưới dấu tích phân có chứa các biến độc lập, biến lấy tích phân, ẩn hàm cùng với các đạo hàm của ẩn hàm đó. Phương trình vi phân, phương trình vi tích phân đóng vai trò quan trọng trong khoa học kỹ thuật và cả trong thực tế đời sống. Các phương trình này thường mô tả các hiện tượng xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau: hóa học, sinh học, sinh thái học, vật lý học, cơ học, (xem Corduneanu [14], Deimling [15] và các tài liệu trích dẫn trong đó). Do tính ứng dụng, do bản chất toán học chứa đựng trong các kết quả đạt được từ việc nghiên cứu các mô hình thực tế ngay từ những công trình đầu tiên mô tả các mô hình của vật lý học, cơ học, , mà phương trình vi phân, phương trình vi tích phân từ trước cho đến nay đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của các nhà khoa học. Đã có rất nhiều công trình nghiên cứu về tính giải được, nghĩa là nghiên cứu sự tồn tại hoặc không tồn tại nghiệm của phương trình, và nghiên cứu các tính chất có thể có của nghiệm kể cả nghiên cứu cấu trúc của tập nghiệm, (xem [1] – [13], [16] – [58], [61] và các tài liệu trích dẫn liệt kê trong đó). Thực tế cho thấy rằng, có nhiều dạng phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình vi tích phân khác nhau và không có một phương pháp chung nào để giải tất cả các phương trình đó. Chính vì thế, đề tài nghiên cứu của luận án là cần thiết, có ý nghĩa lý luận và thực tiễn. Tiếp nối các kết quả đã có cho phương trình vi tích phân, trong luận án này chúng tôi nghiên cứu các phương trình vi tích phân cấp 1, cấp m (m 2) và cấp m + n nhận 2 giá trị trong không gian Banach lần lượt theo 3 dạng sẽ được nêu ra ở dưới đây, các kết quả thu được là mới liên quan đến sự tồn tại nghiệm và các tính chất của nghiệm cho các phương trình. Dạng 1 u( x ) = g( x ) + Z Bx H ( x, y, u(y), D1 u(y))dy + Z Ω K ( x, y, u(y), D1 u(y))dy. (0.1) Dạng 2 u( x ) = g( x ) + + Z Ω Z Ω H ( x, y, u(y), D1 u(y), , D1m u(y))dy , D1m u(y))dy. K ( x, y, u(y), D1 u(y), (0.2) Dạng 3 u( x ) = g( x ) + Z Ω H ( x, y; u(y), D2n D1m u(y))dy + Z Ω K ( x, y; u(y), D2n D1m u(y))dy. (0.3) Các dạng phương trình này và các dạng phương trình tương tự đã được nhiều tác giả nghiên cứu bằng phương pháp điểm bất động kết hợp các công cụ thích hợp của giải tích hàm phi tuyến (xem [16], [33], [44] - [46] và các tài liệu tham khảo có liệt kê trong đó). Trong [7], sử dụng Định lý điểm bất động Perov, Bica và các cộng sự đã chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm và các tính chất khác của nghiệm cho phương trình vi tích phân Fredholm cấp 1 nhận giá trị trong không gian Banach E tùy ý như sau x (t) = g(t) + Z b a f (t, s, x (s), x 0 (s))ds, t 2 [ a, b], (0.4) trong đó f : [ a, b] [ a, b] E E ! E liên tục và g 2 C1 ([ a, b] ; E) là các hàm cho trước. Trong [50], B. G. Pachpatte đã nghiên cứu phương trình vi tích phân phi tuyến kiểu Fredholm cấp n 1 có dạng như sau x (t) = g(t) + Z b a f (t, s, x (s), x 0 (s), , x (n 1) ( s )) ds, t 2 I = [ a, b], (0.5) trong đó n 2 N, n 2 và x, g, f là các hàm nhận giá trị thực. Giả sử g 2 C ( I; R), 2 n f 2 C( I R ; R) là các hàm khả vi liên tục đến cấp n 1 theo t trên tập xác định tương ứng của chúng. Với các giả thiết được xây dựng cho các hàm g, f cho trước, B. G. Pachpatte đã nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất và các tính chất khác của nghiệm cho phương trình vi tích phân (0.5). Trước hết, bằng cách biến đổi phương trình đã cho về phương trình điểm bất động x = Tx, với toán tử T : S ! S và S là một không 3 gian Banach được xây dựng dựa trên một chuẩn kiểu Bielecki (tức là một loại chuẩn có trọng), tác giả đã chứng minh được T : S ! S là ánh xạ co, từ đó thu được sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình. Tiếp theo, sử dụng một bất đẳng thức tích phân có đánh giá nghiệm tường minh, tác giả cũng đã thu được các tính chất khác của nghiệm của (0.5) như tính duy nhất (nhiều nhất một nghiệm), sự phụ thuộc liên tục của nghiệm và chỉ ra được các đánh giá của nghiệm theo các hàm cho trước với các điều kiện thích hợp. Chi tiết về xây dựng không gian Banach S trong [50] như sau: Với λ > 0 là hằng số dương cho trước, xét không gian S= ( u 2 Cn 1 ( I; R) : supe λt t2 I ∑ n 1 j =0 u( j) (t ) < +∞ ) , được trang bị một chuẩn kiểu Bielecki như sau kukS = supe t2 I λt n 1 ∑ j =0 u( j) (t) , u 2 S, thế thì (S, k kS ) là không gian Banach. Trong [48], B. G. Pachpatte tiếp tục nghiên cứu phương trình vi tích phân kiểu Fredholm theo hai biến như sau: u( x, y) = f ( x, y) + Z aZ b 0 0 g ( x, y, s, t; u(s, t), D1 u(s, t), D2 u(s, t)) dtds, (0.6) trong đó ( x, y) 2 ∆ = [0, a] [0, b], a > 0, b > 0, f , g là các hàm cho trước; u là ẩn hàm ∂u và D1 u = ∂u ∂x , D2 u = ∂y lần lượt chỉ đạo hàm riêng cấp một của hàm u ( x, y ) , ( x, y ) 2 ∆, tương ứng theo biến thứ nhất và biến thứ hai, ở đây, trước hết các hàm f , g cho trước được giả sử thỏa điều kiện f 2 C1 (∆; R), g 2 C (∆2 R3 ; R) và Di g 2 C (∆2 R3 ; R), i = 1, 2. Đối với dạng phương trình vi tích phân theo hai biến này, các phương pháp và kỹ thuật được sử dụng trong [50] đã được cải tiến để thu được các kết quả tương tự về sự tồn tại duy nhất nghiệm và một số tính chất của nghiệm cho (0.6). Đặc biệt, kỹ thuật xây dựng không gian Banach E dựa trên cách chọn chuẩn kiểu Bielecki đã được tác giả cải tiến một cách thích hợp tương ứng với dạng của phương trình (0.6). Không gian Banach E= ( u 2 C1 (∆; R) : sup e λ( x +y) ( x,y)2∆ ) (ju ( x, y)j + j D1 u ( x, y)j + j D2 u ( x, y)j) < +∞ , với chuẩn k k E (kiểu Bielecki) được xây dựng trong [48] cho bởi kuk E = sup e ( x,y)2∆ λ( x +y) (ju ( x, y)j + j D1 u ( x, y)j + j D2 u ( x, y)j) , 4 trong đó λ > 0 là hằng số cho trước. Trong [6], A. Aghajani và các cộng sự đã chứng minh một số kết quả về sự tồn tại, duy nhất và đánh giá của các nghiệm của phương trình vi tích phân kiểu Fredholm theo hai biến như sau, bằng cách sử dụng định lý điểm bất động Perov, u( x, y) = f ( x, y) + Z bZ d a c (0.7) g ( x, y, s, t, u(s, t), D1 u(s, t), D2 u(s, t)) dtds. Trong [31], Lungu và Rus thiết lập một số kết quả liên quan đến sự tồn tại, duy nhất, các bất đẳng thức tích phân và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào các dữ liệu cho trước của phương trình tích phân kiểu Volterra-Fredholm dưới đây theo hai biến trong không gian Banach nhờ vào kỹ thuật toán tử Picard u( x, y) = g( x, y, h(u)( x, y)) + Z xZ y 0 0 K ( x, y, s, t, u(s, t)) dsdt, ( x, y) 2 R2+ . (0.8) Áp dụng một định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii và với các giả thiết thích hợp, Purnaras [53] đã thu được một số kết quả về sự tồn tại nghiệm cho phương trình tích phân hàm phi tuyến x (t) = Q(t) + Z µ(t) 0 k (t, s) f (s, x (θ (s)))ds + Z σ(t) 0 v(t, s) g(s, x (η (s)))ds, t 2 [0, 1], (0.9) t, với mọi trong đó E = R, 0 µ(t) t; 0 σ(t) t; 0 θ (t) t; 0 η (t) t 2 [0, 1]. Trong [3], sử dụng một định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii, Avramescu và Vladimirescu đã chứng minh sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận cho phương trình x (t) = q(t) + Z t 0 K (t, s, x (s))ds + Z ∞ 0 G (t, s, x (s))ds, t 0, (0.10) trong đó các hàm q, K, G là các hàm liên tục cho trước, nhận giá trị trong không gian hữu hạn chiều R p và thỏa các điều kiện phù hợp. Purnaras cũng cho thấy các kỹ thuật được sử dụng trong [53] có thể được áp dụng để thu được kết quả tồn tại nghiệm cho phương trình sau x (t) = q(t) + + Z λ(t) β(t) Z µ(t) α(t) k (t, s) f (s, x (θ (s))) ds b k (t, s) F s, x (ν(s)), Z σ(s) 0 (0.11) k0 (s, v, x (η (v))) dv ds, t 2 [0, 1]. Trong trường hợp phương trình nhận giá trị trong không gian Banach E tùy ý, sự 5 tồn tại của nghiệm ổn định tiệm cận của phương trình x (t) = q(t) + f (t, x (t)) + + Z ∞ 0 G t, s, x (s), Z t Z s0 0 V t, s, x (s), Z s 0 V1 (t, s, r, x (r )) dr ds (0.12) G1 (t, s, r, x (r )) dr ds, t 0, đã được chứng minh trong [42], bằng cách xây dựng một không gian Fréchet dựa trên khái niệm nửa chuẩn và sử dụng một định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii trong không gian Fréchet. Gần đây, trong [22], Danh và các đồng tác giả đã xét các phương trình vi tích phân phi tuyến theo hai biến có dạng như sau u( x, y) = g( x, y) + u( x, y) = g( x, y) + Z 1Z 1 0 0 Z 1Z 1 0 0 K ( x, y, s, t; u(s, t), D1m u(s, t))dsdt, K ( x, y, s, t; u(s, t), D1m u(s, t), D2n u(s, t))dsdt, (0.13) (0.14) trong đó ( x, y) 2 Ω = [0, 1] [0, 1] và g : Ω ! R, K : Ω Ω R2 ! R hoặc n m K : Ω Ω R3 ! R là các hàm cho trước. Ký hiệu D1m u = ∂∂xmu , D2n u = ∂∂yun , lần lượt để chỉ các đạo hàm riêng cấp m 1, n 1 của một hàm u xác định trên Ω, đối với biến thứ nhất và biến thứ hai. Các tác giả trong [22] đã nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và tính compact của tập nghiệm cho (0.13) trong các trường hợp m = 1 hoặc m 2 và cho (0.14) trong trường hợp m 1 và n 1. Trên cơ sở các công trình trên, luận án nghiên cứu tính giải được và tính compact của tập nghiệm cho một số phương trình vi tích phân hàm phi tuyến cấp 1, cấp m (m 2), cấp m + n theo nhiều biến, lần lượt có dạng (0.1), (0.2), (0.3). Việc nghiên cứu tập trung vào các vấn đề sau: - Thiết lập các không gian hàm mới tương thích với từng dạng phương trình vi tích phân hàm phi tuyến và chứng minh các không gian hàm này là không gian Banach đồng thời đưa ra các tiêu chuẩn để một tập con trong mỗi không gian hàm này là tập compact tương đối. - Sự tồn tại nghiệm và các tính chất của nghiệm như tính duy nhất nghiệm hoặc tính compact của tập nghiệm đối với từng dạng phương trình. Ở đây, nghiệm của các phương trình được xem xét cả trong trường hợp chúng nhận giá trị trong không gian Banach E tổng quát và trong trường hợp E là không gian thực. Bằng các phương pháp và kỹ thuật của giải tích hàm phi tuyến, trong đó công cụ chính là phương pháp điểm bất động kết hợp với việc thiết lập các không gian hàm mới, luận án đã đạt được mục tiêu nghiên cứu. Cấu trúc của luận án gồm phần mở đầu, phần nội dung chính chia làm bốn chương (chương 1 đến chương 4) và cuối cùng 6 là phần kết luận. Kết quả thu được cho ba dạng phương trình (0.1), (0.2), (0.3) được trình bày chi tiết trong các chương với nội dung tóm tắt như sau. (i) Chương 1 thiết lập các không gian hàm X1 , Xm , Xm,n và chứng minh các không gian hàm này là không gian Banach đồng thời đưa ra các tiêu chuẩn để một tập con trong mỗi không gian hàm này là tập compact tương đối. (ii) Chương 2 xét phương trình vi tích phân hàm phi tuyến (0.1), trong đó g : Ω ! E, H : ∆ E2 ! E, K : Ω Ω E2 ! E là các hàm cho trước, ở đây E là không gian Banach tổng quát với chuẩn k k E , và ∆ = f( x, y) 2 Ω Ω : y 2 Bx g, Bx = ∂u để chỉ đạo hàm riêng của hàm u xác định trên [0, x1 ] [0, x N ]. Ký hiệu D1 u = ∂x 1 Ω, theo biến thứ nhất. Chương này xét (0.1) lần lượt theo các trường hợp H 0 và H 6= 0. Trường hợp H 0, bằng cách biến đổi phương trình (0.1) về dạng phương trình điểm bất động, áp dụng nguyên lý ánh xạ co Banach, dưới một số giả thiết phù hợp trên các hàm cho trước g, K, sự tồn tại duy nhất nghiệm của (0.1) trong X1 được chứng minh. Tiếp theo, áp dụng Định lý Schauder, với các giả thiết phù hợp trên các hàm cho trước g, K, tính khác rỗng và compact của tập nghiệm của (0.1) trong X1 được khẳng định. Trường hợp H 6= 0, bằng cách biến đổi phương trình (0.1) về dạng phương trình điểm bất động của tổng 2 toán tử, một toán tử co và một toán tử hoàn toàn liên tục, sử dụng Định lý điểm bất động Krasnosel’skii và thiết lập các giả thiết trên g, H, K, tính khác rỗng và compact của tập nghiệm của (0.1) trong X1 được chỉ ra. (iii) Chương 3 khảo sát phương trình vi tích phân hàm phi tuyến (0.2), với g : Ω ! E, H, K : Ω Ω Em+1 ! E là các hàm cho trước, E là không gian Banach tổng quát ∂i u , m) theo biến với chuẩn k k E . Ký hiệu D1i u = ∂x i chỉ đạo hàm riêng cấp i (i = 1, 1 thứ nhất của hàm u. Với cùng phương pháp như ở trường hợp H 6= 0 của chương 2, tập nghiệm của (0.2) được chứng minh là tập khác rỗng và compact trong Xm . (iv) Chương 4 nghiên cứu phương trình vi tích phân hàm phi tuyến (0.3), với x = ( x1 , , x N ) 2 Ω = [0, 1] N , trong đó g : Ω ! E, H, K : Ω Ω E2 ! E là các hàm cho trước, E cũng là không gian Banach tổng quát với chuẩn k k E . Ký hiệu D2n D1m u = ∂m+n u ∂n ∂m u ∂x m ∂x n = ∂x n ∂x m chỉ đạo hàm riêng cấp m + n theo hai biến của hàm u, gồm lấy đạo 1 2 2 1 hàm riêng cấp m theo biến thứ nhất và sau đó lấy đạo hàm riêng cấp n theo biến thứ hai. Trên cơ sở xây dựng các giả thiết phù hợp trên các hàm cho trước g, H, K, với cùng phương pháp như ở trường hợp H 6= 0 của chương 2, tính khác rỗng và compact của tập nghiệm của (0.3) trong Xm,n được chứng minh. Sự tồn tại nghiệm và các tính chất của các tập nghiệm tương ứng nêu trên vẫn còn đúng khi xem xét không gian Banach E trong trường hợp đặc biệt, E = R, nhưng với các giả thiết được giảm nhẹ hơn trong từng trường hợp cụ thể. Cuối các chương 2, 3 và 4, các ví dụ minh họa các kết quả đạt được cho các phương trình (0.1), (0.2), (0.3) ứng 7 với các trường hợp E = R và E = C ([0, 1]; R) cũng được trình bày. Các kết quả trên đây của luận án là sự phát triển và kế thừa các kết quả trong 6 bài báo [D1] – [D6] đã công bố cùng với một bài [D7] đã gửi đăng trên tạp chí khoa học chuyên ngành. Một phần kết quả của luận án và kết quả liên quan đã được báo cáo trong các hội nghị: Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 8, Nha Trang, 10-14/08/2013. Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 9, Nha Trang, 14-18/08/2018. Hội nghị Khoa học lần thứ 10, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh, 11/11/2016. Hội nghị Khoa học lần thứ 11, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh, 09-10/11/2018. Hội nghị Toán học Miền Trung-Tây Nguyên lần thứ 1, Quy Nhơn, 12-14/8/2015 Hội nghị Toán học Miền Trung-Tây Nguyên lần thứ 2, Đà Lạt, 09-11/12/2017 Hội nghị Toán học Miền Trung-Tây Nguyên lần thứ 3, Buôn Ma Thuột, 02-04/8/2019. Hội nghị Toàn quốc lần thứ 4 về Ứng dụng toán học, Đại học Kinh tế Quốc dân Hà Nội, 23-25/12/2015. Hội nghị Khoa học "Toán học Giải tích và Ứng dụng", Đại học Hồng Đức, Thanh Hóa, 26-28/05/2016. 8 Chương 1 Các công cụ sử dụng trong luận án Chương 1 chủ yếu trình bày việc xây dựng các không gian hàm mới phù hợp với các dạng phương trình đề cập trong luận án. Trong chương này, các không gian hàm mới vừa nêu sẽ được chứng minh là các không gian Banach, đặc biệt, các tiêu chuẩn để một tập con là tập compact tương đối trong các không gian hàm này cũng được thiết lập một cách cụ thể, cả trong trường hợp tổng quát và trong trường hợp riêng. Ngoài ra, để thuận tiện cho việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của các phương trình nêu trong các chương 2-4, chương này cũng nhắc lại các định lý điểm bất động như nguyên lý ánh xạ co của Banach, Định lý Schauder, Định lý Krasnosel’skii. 1.1 Không gian X1 1.1.1 Thiết lập không gian hàm X1 Cho Ω = [0, 1] N và ( E, k k E ) là không gian Banach. Xét X = C (Ω; E) là không gian Banach gồm các hàm liên tục từ Ω vào E đối với chuẩn sau đây kuk X = sup ku( x )k E , u 2 X. (1.1.1) x 2Ω Thiết lập không gian X1 như sau (1.1.2) X1 = fu 2 X : D1 u 2 X g. Rõ ràng, ta luôn có C1 (Ω; E) vậy, cho e1 2 E, e1 6= 0, (i) Xét u( x ) = u( x1 , u2 / X1 ; (ii) Xét v = v( x ) = , xN ) = N x12 + ∑ xi i =2 X1 x1 1 i +1 X, nhưng C1 (Ω; E) 6= X1 và X1 6= X. Thật 1 2 ! 9 N + ∑ xi i =2 1 i +1 ! e1 , ta có u 2 X, nhưng e1 , ta có v 2 X1 , nhưng v 2 / C1 (Ω; E). Bổ đề 1.1.1 X1 là không gian Banach đối với chuẩn (1.1.3) kuk X1 = kuk X + k D1 uk X , u 2 X1 . Chứng minh Bổ đề 1.1.1 Cho fu p g up uq X1 = up uq X1 là dãy Cauchy trong X1 , nghĩa là X + D1 u p D1 uq X ! 0, khi p, q ! ∞. Khi đó fu p g và f D1 u p g cũng là dãy Cauchy trong X. Vì X là đầy đủ, nên fu p g hội tụ về u và f D1 u p g hội tụ về v trong X, nghĩa là, up u X ! 0, D1 u p v X ! 0, khi p ! ∞. (1.1.4) Chúng ta sẽ nghiệm lại rằng D1 u = v. Ta có u p (x) Do u p u u p (x) up (0, x 0 ) = Z x1 0 D1 u p (s, x 0 )ds, 8 x = ( x1 , x 0 ) 2 Ω. (1.1.5) ! 0 trong (1.1.4) nên ta có X u(0, x 0 ), trong E, 8 x = ( x1 , x 0 ) 2 Ω. u p (0, x 0 ) ! u( x ) Cũng do D1 u p Z x1 0 v X D1 u p (1.1.6) ! 0 trong (1.1.4) nên ta cũng có (s, x 0 )ds ! Z x1 0 v(s, x 0 )ds, 8 x = ( x1 , x 0 ) 2 Ω, (1.1.7) điều này có được vì Z x1 0 D1 u p (s, x 0 )ds Z x1 0 v(s, x 0 )ds E Z x1 0 D1 u p (s, x 0 ) D1 u p v X v(s, x 0 ) E ds ! 0. Kết hợp (1.1.5)-(1.1.7), ta suy ra u( x ) u(0, x 0 ) = Z x1 0 v(s, x 0 )ds, 8 x = ( x1 , x 0 ) 2 Ω. (1.1.8) Từ đó D1 u = v 2 X. Dẫn đến u 2 X1 và u p ! u trong X1 . Bổ đề 1.1.1 được chứng minh. 10 1.1.2 Tiêu chuẩn để một tập con trong X1 là tập compact tương đối Bổ đề dưới đây sẽ chỉ ra một tiêu chuẩn để một tập con của X1 là tập compact tương đối trong X1 . Bổ đề 1.1.2 Cho F X1 . Khi đó F là compact tương đối trong X1 khi và chỉ khi các điều kiện sau đây được thỏa mãn (i) 8 x 2 Ω, các tập F ( x ) = fu( x ) : u 2 F g, D1 F ( x ) = f D1 u( x ) : u 2 F g là compact tương đối trong E; (ii) 8ε > 0, 9δ > 0 : 8 x, x̄ 2 Ω, j x x̄ j < δ =) sup [u( x ) (1.1.9) u( x̄ )] E < ε, u2F trong đó ta ký hiệu [u( x ) u( x̄ )] E = ku( x ) u( x̄ )k E + k D1 u( x ) D1 u( x̄ )k E . Chứng minh Bổ đề 1.1.2 (a) Cho F là compact tương đối trong X1 . Trước tiên, ta chỉ ra rằng (1.1.9) (i) là đúng. Chứng minh F ( x ) = fu( x ) : u 2 F g là tập con compact tương đối của E. Để chứng minh F ( x ) là compact tương đối trong E, cho fu p ( x )g là một dãy trong F ( x ), ta chứng minh rằng fu p ( x )g chứa một dãy con hội tụ trong E. Bởi vì F là compact trong X1 , ta có fu p g F chứa một dãy con hội tụ fu pk g trong X1 . Vì thế tồn tại u 2 X1 sao cho u pk u X1 ! 0 khi k ! ∞. Bởi vì u pk ( x ) u( x ) E u pk u X u pk u X ! 0. Do đó u pk ( x ) ! u( x ) 1 trong E. Vậy F ( x ) là compact tương đối trong E. Tương tự, bởi vì D1 u pk ( x ) D1 u( x ) E D1 u pk D1 u X u pk u X ! 0, ta 1 có D1 F ( x ) cũng là compact tương đối trong E. Từ đó suy ra rằng (1.1.9) (i) là đúng. Kế đến, ta chứng minh rằng (1.1.9) (ii) là đúng. Với ε > 0, ta xét họ các quả cầu mở trong X1 , với tâm u 2 F và bán kính 4ε như sau B(u, 4ε ) = fū 2 X1 : ku Hiển nhiên rằng F S u2F ūk X1 < 4ε g, u 2 F . B(u, 4ε ). Bởi vì F là compact trong X1 , phủ mở f B(u, 4ε ), u 2 F g của F tồn tại một phủ con hữu hạn, vậy tồn tại u1 , , uq 2 F sao cho F Sq ε j =1 B ( u j , 4 ). Do các hàm u j , D1 u j , j = 1, q là liên tục đều trên Ω, tồn tại δ > 0 sao cho 8 x, x̄ 2 Ω, j x x̄ j < δ =) [u j ( x ) 11 u j ( x̄ )] E < 2ε , 8 j = 1, q. Với mọi u 2 F , tồn tại j0 = 1, q, sao cho u 2 B(u j0 , 4ε ). Như vậy, với mọi x, x̄ 2 Ω, nếu j x x̄ j < δ khi đó ta thu được [u( x ) u( x̄ )] E [u( x ) 2 u < 2ε 4 u j0 ( x )] E + [u j0 ( x ) u j0 + [u j0 ( x ) X1 u j0 ( x̄ )] E + [u j0 ( x̄ ) u( x̄ )] E u j0 ( x̄ )] E + 2ε = ε. Từ đó suy ra rằng (1.1.9) (ii) là đúng. (b) Ngược lại, cho các điều kiện (i), (ii) trong (1.1.9) là đúng, ta chứng tỏ rằng F là compact tương đối trong X1 . Cho fu p g là một dãy trong F , ta chứng minh fu p g chứa một dãy con hội tụ trong X1 . Đặt F1 = fu p : p 2 Ng. Do (1.1.9), ta thu được F1 ( x ) = fu p ( x ) : p 2 Ng là tập con compact tương đối của E, với mọi x 2 Ω, và cũng thu được F1 là đẳng liên tục trong X. Áp dụng Định lý Ascoli-Arzela (xem [29]) cho F1 , ta có F1 là compact tương đối trong X, vì thế tồn tại một dãy con fu pk g của fu p g và u 2 X sao cho u pk u X ! 0, khi k ! ∞. Lý luận tương tự, F2 = f D1 u pk : k 2 Ng cũng là compact tương đối trong X. Ta thu được sự tồn tại của một dãy con của f D1 u pk g, với cùng ký hiệu như vậy, và w 2 X, sao cho D1 u pk w ! 0, khi k ! ∞. X Bởi vì u pk ( x ) u pk và hơn nữa, do u pk u( x ) (0, x 0 ) u X = Z x1 0 D1 u pk (s, x 0 )ds, 8 x = ( x1 , x 0 ) 2 Ω, ! 0 và D1 u pk u(0, x 0 ) = Z x1 0 w X (1.1.10) ! 0, ta thu được từ (1.1.10) rằng w(s, x 0 )ds, 8 x = ( x1 , x 0 ) 2 Ω. Khi đó D1 u = w 2 X. Do đó u 2 X1 và u pk ! u trong X1 . Bổ đề 1.1.2 được chứng minh. Chú thích 1. Trong trường hợp E là không gian hữu hạn chiều, một tập trong E là compact khi và chỉ khi nó là tập đóng và bị chặn, nên điều kiện để một tập con trong X1 là compact tương đối được giảm nhẹ như sau, trong đó điều kiện (ii) được giữ nguyên. Khi đó Bổ đề 1.1.2 được phát biểu lại như sau. Bổ đề 1.1.3 Cho F X1 = fu 2 C (Ω; R) : D1 u 2 C (Ω; R)g. Khi đó F là compact 12 tương đối trong X1 khi và chỉ khi các điều kiện sau đây được thỏa mãn (i) 9 M > 0 : kuk X1 M, 8u 2 F ; (ii) 8ε > 0, 9δ > 0 : 8 x, x̄ 2 Ω, j x x̄ j < δ =) sup [u( x ) u2F u( x̄ )]R < ε, (1.1.11) trong đó ta ký hiệu [u( x ) u( x̄ )]R = ju( x ) u( x̄ )j + j D1 u( x ) D1 u( x̄ )j . Chứng minh Bổ đề 1.1.3 Chứng minh bổ đề này được thực hiện tương tự như với chứng minh Bổ đề 1.1.2. 1.2 1.2.1 Không gian Xm Thiết lập không gian hàm Xm Xét X = C (Ω; E) là không gian Banach như ở Mục 1.1.1. Đặt Xm = fu 2 X : D1i u 2 X, i = 1, mg. (1.2.1) Chú ý rằng trong trường hợp E = R, N = 2, ta có C1 (Ω; R) n Xm 6= φ, Xm n C1 (Ω; R) 6= φ, Xm \ C1 (Ω; R) 6= φ, với mọi m = 2, 3, Thật vậy, (i) Với u = u( x, y) = x 12 x 12 y 12 y 12 , ta có u 2 C1 (Ω; R), nhưng u2 / Xm . (ii) Ta cũng có v = v( x, y) = x m+1 y 21 2 Xm , nhưng v 2 / C1 (Ω; R). (iii) Với w( x, y) = e x+y , ta có w 2 Xm \ C1 (Ω; R), vậy Xm \ C1 (Ω; R) 6= φ. Bổ đề 1.2.1 Xm là không gian Banach đối với chuẩn m k u k Xm = ∑ i =0 Chứng minh Bổ đề 1.2.1 Cho fu p g rằng fu p g hội tụ trong Xm . Ta có D1i u uq Xm = up uq , u 2 Xm . (1.2.2) Xm là dãy Cauchy trong Xm . Ta chứng minh m up X + ∑ D1i u p X i =1 D1i uq X ! 0, khi p, q ! ∞. Từ đó suy ra rằng fu p g và f D1i u p g, i = 1, m cũng là các dãy Cauchy trong X. Vì X là đầy đủ, fu p g hội tụ về u và f D1i u p g hội tụ về v(i) trong X, nghĩa là, up u X ! 0, D1i u p v (i ) 13 X ! 0, khi p ! ∞, i = 1, m. (1.2.3) Ta sẽ chứng minh rằng D1i u = v(i) , i = 1, m. Với i = 1, ta có u p (0, x 0 ) = u p (x) Bởi vì u p u p (x) u X 0 0 D1 u p (s, x 0 )ds, 8 x = ( x1 , x 0 ) 2 Ω. (1.2.4) ! 0, ta có u(0, x 0 ), trong E, 8 x = ( x1 , x 0 ) 2 Ω. u p (0, x 0 ) ! u( x1 , x 0 ) v (1) Mặt khác, suy ra từ D1 u p Z x1 Z x1 D1 u p (s, x 0 )ds ! Z x1 0 X (1.2.5) ! 0 rằng v(1) (s, x 0 )ds, trong E, 8( x1 , x 0 ) 2 Ω, (1.2.6) bởi vì Z x1 0 D1 u p (s, x 0 )ds Z x1 0 v(1) (s, x 0 )ds E D1 u p Z x1 0 v (1) D1 u p (s, x 0 ) X v(1) (s, x 0 ) X ds ! 0. Kết hợp (1.2.4)-(1.2.6) dẫn đến u( x ) u(0, x 0 ) Suy ra từ D1 u = v(1) 2 X. Giả sử D1i u = v(i) , i = 1, Ta có D1r u p ( x ) Bởi vì D1r u p (1.2.8) rằng D1r u( x ) = 0 X v(1) (s, x 0 )ds, 8 x = ( x1 , x 0 ) 2 Ω. Z x1 0 D1r+1 u p (s, x 0 )ds, 8 x = ( x1 , x 0 ) 2 Ω. ! 0 và D1r+1 u p D1r u(0, x 0 ) (1.2.7) , r < m. Ta sẽ chứng minh rằng D1r+1 u = v(r+1) . D1r u p (0, x 0 ) = D1r u Z x1 = Z x1 0 v (r +1) X (1.2.8) ! 0, chúng ta thu được từ v(r+1) (s, x 0 )ds, 8 x = ( x1 , x 0 ) 2 Ω. (1.2.9) Khi đó D1r+1 u = v(r+1) 2 X. Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta suy ra rằng D1i u = v(i) , i = 1, m. Do đó u 2 Xm và u p ! u trong Xm . Bổ đề 1.2.1 được chứng minh. 14