Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo dục - Đào tạo Cao đẳng - Đại học Tính đối xứng và các định luật bảo toàn trong vật lý...

Tài liệu Tính đối xứng và các định luật bảo toàn trong vật lý

.DOCX
23
381
118

Mô tả:

LỜI CẢM ƠN Trên thực tế không có sự thành công nào mà không gắn liền với những sự hỗ trợ, giúp đỡ dù ít hay nhiều, dù trực tiếp hay gián tiếp của người khác. Trong suốt thời gian từ khi bắt đầu học tập ở giảng đường đại học đến nay, em đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của quý Thầy Cô. Với lòng biết ơn sâu sắc nhất, em xin gửi đến quý Thầy Cô ở Khoa Vật lý – Trường Đại học Sư phạm Huế đã cùng với tri thức và tâm huyết của mình để truyền đạt vốn kiến thức quý báu cho em trong suốt thời gian học tập tại trường. Em xin chân thành cảm ơn thầy Đoàn Tử Nghĩa – giảng viên môn Cơ học lý thuyết đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, tạo điều kiện cho em có thể hoàn thành bài tiểu luận. Cuối cùng, em xin gửi lời lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã đóng góp ý kiến, tạo điều kiện cho em trong suốt thời gian qua để em có thể hoàn thành bài tiểu luận này. Em xin chân thành cảm ơn! Sinh viên thực hiện: Mai Hoàng Page 1 of 23 MỤC LỤC A. MỞ ĐẦU ……………………………………….......................... 3 I. LỊCH SỬ VẤN ĐỀ …………………………………………… 3 II. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ………………………………………....3 III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU …………………....................... 4 IV. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU ………………………………….. 5 V. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU ………………………………….. 5 VI. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU …………………………….. 5 B. NỘI DUNG …………………………………………………….. 6 I. KHÁI NIỆM VÀ CÁC VÍ DỤ VỀ ĐỐI XỨNG……………… .6 1. KHÁI NIỆM ………………………………………………….6 2. MỘT SỐ VÍ DỤ …………………………….………………..7 II. ĐỐI XỨNG KHÔNG GIAN VÀ THỜI GIAN …………………8 1. ĐỐI XỨNG KHÔNG GIAN …………………………………8 2. ĐỐI XỨNG THỜI GIAN ……………………... ……………9 III. PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE LOẠI II ….......................… 11 1. PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE ĐỐI VỚI CƠ HỆ HOLONOM………………………………………………………. 11 2. PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE ĐỐI VỚI CƠ HỆ KHÔNG HOLONOM……………………………………….……………… 14 IV. THIẾT LẬP CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN ……………….. 16 1. BẢO TOÀN ĐỘNG LƯỢNG …………………………..… 16 2. BẢO TOÀN MOMEN XUNG LƯỢNG ….........................16 3. BẢO TOÀN NĂNG LƯỢNG ……………………………….18 V. VAI TRÒ CỦA CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN …………….. 19 VI. VẬN DỤNG CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN ……………… 19 C. KÊT LUẬN………………………………………..................... … 22 Page 2 of 23 PHẦN A: MỞ ĐẦU I. Lịch sử đề tài: Đối xứng đã tồn tại sẵn trong tự nhiên ngay từ khi tự nhiên xuất hiên. Tự nhiên xuất hiện khi nào cũng không ai trả lời được. Cho đến khi con người xuất hiện với ngôn ngữ viết, đối xứng cũng chỉ tồn tại và nảy sinh một cách tự nhiên trong tâm trí con người. Khái niệm đối xứng đó mới chỉ dừng lại ở cảm quan trực tiếp của con người về đối xứng hình học của vật thể. Trong quá trình các nhà vật lý nghiên cứu khoa học thấy các định luật bảo toàn tỏ ra vạn năng đến nỗi sau khi được khái quát hóa đích đáng chúng đã được áp dụng không chỉ trong cơ học cổ điển, mà cả vào lý thuyết tương đối và vật lý lượng tử. Nguyên nhân làm cho chúng thành vạn năng thì chưa rõ, cho đến khi thiết lập được mối liên hệ giữa chúng và các tính chất đối xứng của không gian và thời gian. Người đầu tiên chỉ ra mối liên hệ đó là vào năm 1904, G. Gamel, song công trình của ông thực sự không được biết tới tring nhiều năm. Ở dạng thức tổng quát hơn, bản chất các định luật bảo toàn đã Page 3 of 23 được vạch ra năm 1918 bởi một nhà toàn học Emmy Noether (1882 – 1935). II. Lí do chọn đề tài : Thế kỉ XX là thế kỉ của vật lý, đi tiên phong là Vật Lý lý thuyết. Sự ra đời của các thuyết vật lý đã tạo cơ sở, nền tảng cho sự phát triển vững mạnh cho ngành Vật lý học. Chính vì thế nghiên cứu các thuyết Vật lý là con đường không thể thiếu đối với mỗi nhà vật lý lý thuyết cũng như các nhà vật lý thực nghiệm.Cơ học lý thuyết là một môn khoa học nghiên cứu quy luật chung nhất về chuyển động, nghiên cứu của chuyển động của vật thể mà không đề cập đến nguyên nhân gây ra chuyển động, sự tương tác của các lực trong không gian theo thời gian. Tất cả các nguyên lý của các ngành cơ học ứng dụng khác đều dựa trên phương pháp và kết quả của cơ học lý thuyết. Trong quá trình nghiên cứu các nhà khoa học đã tìm ra những tính chất chung, phổ biến thậm chí như tất yếu đối với tất cả các thuyết mà đối xứng và các định luật bảo toàn là những tính chung nhất, phổ biến nhất và tất yếu nhất. Và điều đặc biệt là mọi phép biến đổi đối xứng liên tục của các định luật vật lý đều ứng với bảo toàn của một đại lượng động lực học nhất định. Các ví dụ quan trọng nhất của phép biến đổi như thế là dịch chuyển song song trong không gia ( tịnh tiến ), dịch chuyển thời gian và quay trong không gian. Cái thứ nhất là một biến đổi đối xứng, vì tính đồng nhất của không gian, cái thứ hai là vì tính đồng nhất của thời gian, còn cái thứ ba là vì tính đẳng hướng của không gian. Page 4 of 23 Trong lĩnh vực vật lý này các định luật kiểu như vậy thường là nguồn thông tin cơ bản và đôi khi là duy nhất về tính chất đối tượng được nghiên cứu. Vậy nên việc tìm kiếm đối xứng để rút ra những định luật bảo toàn trở nên một loại nhiệm vụ quan trọng bậc nhất của vật lý học hiện đại. Qua tìm hiểu thấy “tính đối xứng và các định luật bảo toàn trong vật lý” là một lĩnh vực hấp dẫn, nhiều thú vị, bản thân là một sinh viên vật lý em quyết định chọn đề tài này làm đề tài nghiên cứu tiểu luận cho mình III. Đối tượng nghiên cứu: Các hiện tượng quá trình, các thuyết, các định luật và các phương tiện vật lý. IV. Mục đích nghiên cứu: Đề tài cần phải nêu và chứng minh được tính đối xứng trong các định luật, các thuyết vật lý. Trên cơ sở đó mở hướng phát triển của các thuyết vật lý, đặc biệt là các thuyết cho thế giới siêu vi mô. V. Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu các khái niệm đối xứng - Tìm hiểu và thiết lập phương trình Lagrange - Tìm hiểu và thiết lập các định luật bảo toàn - Tìm và phát hiện tính đối xứng, và bảo toàn các hiện tượng, quá trình vật lý. - Tìm mối liên hệ giữa tính đối xứng và các định luật bảo toàn của các định luật, thuyết vật lý, phương trình vật lý tương ứng. - Rút ra được vai trò của các định luật bảo toàn và tính đối xứng trong vật lý. Page 5 of 23 VI. Phương pháp nghiên cứu - Thu thập thông tin qua sưu tầm sách và tài liệu - Phân tích tổng hợp các tư liệu, kiến thức, thông tin sưu tầm được. - Tham khảo ý kiến thầy hướng dẫn, các bạn sinh viên. - Hệ thống hóa viết thành tài liệu chuyên khảo về “tính đối xứng và các định luật bảo toàn trong vật lý” PHẦN B: NỘI DUNG I. Khái niệm và các ví dụ về đối xứng: 1. Khái niệm:  Đối xứng là gì? Thuật ngữ đối xứng rất đỗi quen thuộc đối với mỗi chúng ta. Nếu để ý một chút ta cũng nhận thấy hầy như tất cả các vật thể vật chất đều có hình dạng đối xứng. Chúng ta thích nhìn những biểu hiện đối Page 6 of 23 xứng trong tự nhiên, nhìn các hành tinh và mặt trời có hình cầu đối xứng một cách lý tưởng, nhìn các tinh thể đối xứng, nhìn các hoa tuyết và cả nhưng bông hoa gần như đối xứng. Hình 1. Các hình ảnh mang tính chất đối xứng trong thực tế.  Hình như ý tưởng về đối xứng là rất nguyên thuỷ và nảy sinh một cách tự nhiên trong tâm trí con người. Đối xứng là gì mà lại có một sức hấp dẫn đặc biệt đến vậy? Dường như đối xứng gợi ra một cảm giác về cân đối, về kiểu mẫu và đều đặn, về hài hoà và đẹp đẽ, và cuối cùng về thuần khiết và hoàn hảo. Thông thường, chúng ta chỉ quan sát sự biểu hiện của đối xứng trục, đối xứng mặt… một định luật, định lý, lý thuyết Vật lý có đối xứng chăng? Để dễ liên tưởng ta xét một ví dụ đối xứng hình học: nhìn vào một người ta thấy nữa bên trái đối xứng với nữa bên phải, ít nhất là hình dạng bên ngoài. Một lọ hoa cũng đối xứng như vậy hoặc chỉ hơi khác một chút.  Cơ học lý thuyết, với tính chất là một học thuyết, tốt nhất cần được xây dựng từ các nguyên lý đối xứng. Quả vậy, các qui luật sẽ không tồn tại được nếu các qui luật thay đổi từ ngày này sang ngày khác, từ thời điểm này sang thời điểm khác, thì chúng sẽ không trở thành qui luật nữa. Trái lại, như chúng ta sẽ thấy sau này, sự việc diễn biến của các hệ cô lập không phụ thuộc vào thời điểm và vị trí trong không gian sẽ dẫn đến những qui luật vật lý xác định: đó là các qui luật về bảo toàn năng lượng và xung lượng. Rõ ràng ở đây cái chốt của vấn đề là tính chất tương đương hay là tính chất đối xứng giữa những thời điểm khác nhau và những điểm khác nhau của không gian. Page 7 of 23  Tư duy về đối xứng đã được đề cập đến trước Einstein mặc dầu không được rõ nét sau đó đã được Einstein phát triển cuối cùng đã được mở rộng trong lĩnh vực vật lý lượng tử, ở đó các nguyên lý đối xứng có liên quan cả đến những hình thái tương tác khác nhau của vật chất ( tương tác điện từ, tương tác yếu, tương tác mạnh, tương tác hấp dẫn).  Cho đến nay, có thể phân loại các nguyên lý đối xứng như sau: - Các nguyên lý đối xứng trong vật lý học kinh điển, có liên quan đến các tính chất đối xứng của không gian và thời gian và được gọi là nguyên lý đối xứng hình học. - Các nguyên lý đối xứng khác, có liên quan đến các hình thái tương tác nói trên, được gọi là nguyên lý đối xứng động lực. - Các nguyên lý đối xứng động lực không mang tính chất trực quan như các nguyên lý đối xứng hình học. - Theo lệ thường, công cụ toán học dùng để nghiên cứu các tính chất đối xứng là đại số học, nói riêng là lý thuyết nhóm, trong đó một khái niệm hết sức quan trọng là khái niệm bất biến. 2. Một số ví dụ: Thân hình đối xứng nghĩa là nếu chuyển nữa người bên trái bên phải và ngược lại, tức là đổi chỗ cho hai nữa người cho nhau, thì ta thấy người đó vẫn như cũ. Hình vuông có một dạng đối xứng đặc biệt: quay nó đi 90 0 thì nó giống nguyên như cũ. Bây giờ ta xét tính đối xứng của một định luật Vật lý: Định luật coulomb về sự hút tĩnh điện giữa một electron mang điện âm và một hạt nhân nguyên tử mang điện dương…Ở đây ta có tính đối xứng cầu của điện trường do electron hay hạt nhân tạo ra, đối xứng Coulomb: khi electron hay hạt nhân di chuyển trong mặt cầu bất ký thì lực Coulomb khôg đổi. Ta cũng có đối xứng điện tích electron mang điện âm và điện dương của hạt nhân. Đảo 2 vị trí của electron và hạt nhân lực Coulomb F vẫn giữ nguyên dạng là đối xứng, di chuyển hệ electron và hạt nhân sang một vị trí khác F vẫn giữ nguyên dạng là đối xứng. Như vậy, đối với trường hợp của chúng ta, một vài tính chất của các định luật, thuyết Vật lý biểu hiện rất Page 8 of 23 II. giống với những tính chất của một số vật đối xứng – biến đổi nó như thế nào đó thì ta lại được kết quả giống như ban đầu. Ta tìm hiểu đối xứng với ý nghĩa như vậy trong Vật lý học. Bây giờ ta hãy nhắc lại định nghĩa đối xứng xủa nhà toán học Đức Hermann Weyl đưa ra làm cơ sở cho việc xét tính chất đối xứng các định luật, thuyết Vật lý của ta một vật là đối xứng nếu ta có thể làm một thứ gì đó đối với nó mà sau khi làm xong thì khi đó nó vẫn như trước. Đây là một định nghĩa có tính chất thao tác – nó có thể quyết định. Chữ “vật” ở đây là đối tượng quan tâm. Cái mà ta làm đối với nó được gọi là pháp biến đổi đối xứng. Còn “ nhìn vẫn như cũ” cũng chỉ là một cách gọi khác của sự bất biến “sự bất biến”. Chữ “nhìn” tự nó là một tính chất nào đó, nhận ra được của vật phải được giữ không đổi, dưới tác dụng của “nhóm” biến đổi đối xứng. Như vậy, trong trường hợp của chúng ta, ta cần chú ý rằng có thể biến đổi các định luật, các thuyết Vật lý hoặc các cách biểu diễn chúng như thế nào tuỳ ý nhưng không được làm ảnh hưởng tới hệ quả của chúng. Ta hãy đi xem xét, tìm hiểu tính chất như thế trong tất cả các lĩnh vực của vật lý học từ cổ chí kim Đối xứng không gian và thời gian: 1. Đối xứng không gian: a. Không gian là đồng nhất: Điều đó có nghĩa là vị trí tuyệt đối của một vật thể không có nghĩa gì cả. Điều có ý nghĩa ở đây là các định luật vật lý không thay đổi trong phép tịnh tiến không gian. Xét một cơ hệ chuyển động tại mặt đất, lúc đó đinh luật II Newton cho cơ hệ là: a⃗ = ⃗ F m Định luật vạn ật hấp dẫn của hai vật trong cơ hệ là: ⃗ F =G . m1 m2 r2 Ta di chuyển cơ hệ này tới một vị trí khác trong không gian, ví dụ ngoài khoảng không vũ trụ chẳng hạn, thì lúc đó chuyển động của cơ hệ vẫn tuân theo định luật II F Newton. a⃗ = ⃗ m Và lực hấp dẫn giữa hai vật trong cơ hệ vẫn là dạng: ⃗ F =G . m1 m2 r2 Page 9 of 23 Tất nhiên, tính đồng nhất trong không gian đòi hỏi ta phải di chuyển tấtcả những điều kiện ảnh hưởng tới cơ hệ của ta. Tính đồng nhất của không gian còn thể hiện ở các thí nghiệm vật lý diễn ra như nhau tại các vị trí khác nhau. Với điều kiện ta phải kể tới tất cả những gì ảnh hưởng tới thí nghiệm và chuyển tất cả những cái đó đi cùng với thiết bị thí nghiệm. Ví dụ, ta xét một hệ con lắc và thử di chuyển đi 20 nghìn dặm lên trên xa. Rõ ràng là nó sẽ hoạt động không đúng như trước được, bởi vì con lắc cần tới sức hút của Trái đất. Nhưng nếu ta dịch chuyển cả hành tinh của chúng ta cùng với thiết bị thì sẽ hoạt động y như trước. b. Không gian là đẳng hướng: Tính đẳng hướng của không gian nghĩa là không có một hướng nào tuyệt đối, mọi hướng là tương đương nhau. Nếu ta tiến hành một thí nghiệm nào đó, rồi quay toàn bộ thị nghiệm sang một hướng mới và lặp lại thí nghiệm đó thì kết quả vẫn như cũ. Các quy luật chi phối thí nghiệm vẫn diễn ra như cũ. Ví dụ, ở hướng này, lực hấp dẫn ⃗F tỷ lệ với tích hai khối lượng m1, m2, tỷ lệ với tỷ lệ với m1.m2 và 1 , thì ở hướng kia ta vẫn có ⃗F r2 1 2 …Và khi quay thí nghiệm thì ta nhớ r quay cả những gì ảnh hưởng tới thí nghiệm. Ví dụ, dao động của con lắc đơn trong đồng hồ ngày xưa, nếu ta quay nó đi 900 thì con lắc sẽ vướng vào thành hộp. Nhưng nếu ta quay Trái đất đi cùng với nớ thì con lắc vẫn dao động như lúc chưa quay. 2. Đối xứng thời gian a. Thời gian là đồng nhất Thời gian là đồng nhất, nghĩa là mọi thời điểm đều như nhau, không có gốc thời gian tuyệt đối. Các định luật Vật lý như nhau ở quá khứ, ở hiện tại, ở tương lai. Các định luật Vật lý cổ điển được phát hiện từ rất lâu đến nay nó vẫn giữ nguyên, nghiệm đúng cho các hiện tượng, quá trình mà ta xét trước đây. Và trong tương lai, với các quá trình, hiện tượng đó, định luật vẫn cho nghiệm đúng. Như Newton phát hiện các hệ quy chiếu quán tính là tương đương nhau và dùng các thí nghiệm cơ học ta vẫn chứng Page 10 of 23 minh được tính đối xứng của các hệ quy chiếu quán tính và ở trong tương lai cũng thế. Quả táo rơi xuống đất khi nó rụng theo định luật vạn vật hấp dẫn của Newton. Đến nay, khi rụng qua táo cúng vẫn rơi xuống đất và công thức tính lực hấp dẫn vẫn là: ⃗ F =G . m1 m2 r2 Các hiện tượng vật lý diễn ra với quy luật như nhau khôn phụ thuộc vào quá khứ, hiện tại, tương lai. Ta phóng một hành tinh quay quanh mặt trời, theo một hướng xác định. Và giả sử ta có thể phòng nó một lần nữa sau hai năm và trong lần thứ hai này, cách phóng từ điểm xuất phát cũng như vị trí tương đối của hành tinh và mặt trời lúc bắt đầu phóng hoàn toàn giống như lần trước, thì chuyển động nó vẫn diễn ra Hình 2. Đối xứng theo thời gian Thế kỉ III TCN Thế kỉ XXI b. Tính đối xứng thuận nghịch của thời gian: Tính đối xứng của thời gian còn thể hiện ở tính thuận nghịch vủa thời gian. Nghĩa là một hiện tượng quán tính diễn ra thì nó có thể diễn ra theo chiều ngược lại. Tính chất này của thời gian được quan sat nhiều trong thế giới vi mô, các quá trình “thuận” và “nghịch” có xác suất như nhau. Các phân tử trong một thể tích khi nhỏ do va chạm nên khi thì chạy dồn lại với nhau, khi lại chạy đi tứ tán làm cho mất độ phân tử chỉ tính trung bình mới là không đổi III. Các phương trình lagrange loại II: Phép tính biến phân ( biến thiên ) qk thì qk ( t ) hàm qk biểu thị: qk = qk ( t, với  = 0 thì mô tả chuyển động thực của hệ Page 11 of 23 với  ≠ 0 thì mô tả chuyển động khã dĩ của hệ  là số thực bất kì ∂ qk δα ∂α d d Tính chất 1: q´k  dt (q k )  dt (δ qk ) Tính chất 2: ∫ q . dt ∫ ( δq ) dt Nếu chọn  :   qk = { } IV. Thiết lập các định luật bảo toàn: 1. Bảo toàn động lượng: Định luật này được quy ra từ tính đồng nhất của không gian. Không gian là đồng nhất,nghĩa là mọi điểm của không gian là bình đẳng như nhau. Từ đó nếu hệ tịnh tiến đến một vị trí mới thì tính chất vật lí của hệ sẽ không thay đổi, do đó hàm Lagrange mô tả hệ phải bất biến trong phép tịnh tiến này. → ⃗r i +δ ⃗r thì δL = 0 Mà L = L ( ⃗r i, ⃗vi , t ) i = 1, 2, …, n ri ⃗ n ∂L ∂L δL = ∑ ∂ ⃗r δ ⃗r i + ∑ ∂ ⃗v i δ v⃗i + i=1 i ∂L δt ∂t =0 Chỉ tịnh tiến vị trí, không có tịnh tiến thời gian nên t = 0. Giữ nguyên vector vận tốc các hạt nên ⃗vi  Vậy Suy n ∂L L = ∑ ∂ ⃗r δ ⃗r i i=1 i n ∂L ra: ∑ ∂ ⃗r = i=1 i = n δ⃗ ri ∑ i=1 ∂L ∂⃗ ri =0 0 Theo phương trình Lagrange: ∂L ∂⃗ ri = d ∂L dt ∂ v⃗i Nên ta có: n ∑ dtd ∂∂ v⃗L i=1 i n = d dt ( n ∑ ∂∂ ⃗vL i=1 i ) =0 ∂L Đặt P = ∑ ∂ ⃗v : gọi là xung lượng của hệ. i=1 i P = const 2. Định luật bảo toàn momen xung lượng của hệ : Định luật bảo toàn momen xung lượng của hệ kín liên hệ chặt chẽ với tính đẳng hướng của không gian. Không gian được gọi là đẳng hướng nếu mọi hướng của không gian của nó đều đóng vai trò như nhau về mặt vật lý. Điều đó có ý Page 12 of 23 nghĩa rằng khi quay toàn bộ cơ hệ kín xung quanh một trục bất kì với một góc δ ⃗φ ( mọi chất điểm của cơ hệ đều cùng quay với một góc , vector vận tốc cảu mỗi chất điểm vẫn giữ nguyên về độ lớn vầ chỉ thay đổi về chiều) thì mọi tính chất vật lý của cơ hệ kín không thay đổi và do đó hàm Lagrange của hệ kín là bất biến, nghĩa là : N δL=∑ ( k=1 ∂L +∂ L δ⃗ r k¿ δ⃗ v k )¿ ∂ r⃗k ∂⃗ vk =0 (43) r k và δ ⃗ v k liên quan đến phép Ta hãy tính các đại lượng δ ⃗ quay toàn bộ cơ hệ kín quanh một trục nào đó với một góc δ ⃗φ. Trục quay và góc quay hoàn toàn tùy ý. Từ hình (3) dễ thấy rằng δ⃗ rk rk ] = [ δ ⃗φ ⋀⃗ (44) ở đó vector δ ⃗φ đặt trên trục quay và có độ lớn bằng góc quay Tương tự như (44) ta δφ có : bang 0 δ ⃗r δ⃗ vk vk ] = [ δ ⃗φ ⋀⃗ (45) Đặt (45) và (44) vào (43) và lưu ý rằng : ∂L ∂⃗ rk ∂L ∂⃗ rk v k= = mk⃗ ⃗ pk d ∂L ( ) dt ∂ ⃗ rk = = ' = ⃗ p´ k (46) ⃗ Fk ' r⃗ + δ ⃗r Ta được : N δL=∑ {⃗ p´ k [ δ ⃗φ ⋀ r⃗k ]+ ⃗ p k [ δ ⃗φ ⋀⃗ vk ]} k=1 = δ ⃗φ d ¿) dt =0 (47) Do tính chất tùy ý của δ ⃗φ cho nên từ (47) suy ra : d ¿ dt )=0 N hay ⃗L = pk ] = ⃗ Const ∑ [ ⃗r k ⋀ ⃗ k =1 r k ⋀⃗ pk ] gọi là momen xung lượng của chất điểm k Đại lượng [ ⃗ và đại lượng ⃗L = N pk ] ∑ [ ⃗r k ⋀ ⃗ gọi là momen xung lượng của cơ hệ k =1 đối với điểm O. Như vậy, đối với cơ hệ kín thì momen xung lượng của cơ hệ đối với gốc O bất kì là đại lượng được bảo toàn. Thực hiện phép tính đạo hàm theo thời gian đẳng thức r k ⋀⃗ pk ] = 0 và ⃗ F k ta được : p´ k = ⃗ (47) với sự chú ý [ ⃗ ' Page 13 of 23 N Fk ] = 0 ∑ [ ⃗r k ⋀ ⃗ (48) k =1 F k là lực do các chất điểm của cơ hệ tác dụng lên Lực ⃗ r k ⋀⃗ F k ] là momen của nội lực chất điểm Mk, nó là nội lực và [ ⃗ đặt lên cơ hệ đối với gốc O bất kì bằng không. Trong đó ⃗L: được gọi là momen xung lượng của hệ ⃗ L= const 3. Định luật bảo toàn cơ năng : Theo cơ học cổ điển cho rằng định luật bảo toàn năng lượng được phát biểu như sau : Trong một hệ cô lập năng lượng có thể chuyển đổi từ dạng này sang dạng khác, nhưng năng lượng toàn phần thì không đổi. Phương trình biểu diễn tổng quát : K + U + Eint + ( độ biến đổi các dạng năng lượng khác ) = 0 Nhưng nếu lực tác dụng xuyên qua biên của hệ và thực hiện công W trên các vật trong hệ thì hệ không không còn cô lập, và không thể áp dụng phương trình trên nên phương trình được viết lại : E = K + U + Eint Còn theo cơ học lý thuyết thì : Định luật bảo toàn năng lượng của cơ hệ kín liên hệ chặt chẽ với tính đồng nhất của thời gian. Thời gian được gọi là đồng nhất nếu mọi thời điểm đểu tương đương với nhau về măt vật lý. Điều đó có nghĩa rằng khi thay t bằng t + t thì hàm Lagrange của cơ hệ không thay đổi, nghĩa là : ' δL=L ¿) rk , ⃗ vk ) = – L( t,⃗ ∂L δt ∂t = 0 (49) Do tính chất tùy ý của t cho nên, ta có : ∂L ∂t =0 (50) Lấy đạo hàm toàn phần theo thời gian của hàm d r⃗ d ( ∂L) ∂L v k= k , Lagrange và lưu ý rằng ⃗ = dt ∂ ⃗ v k và dt ∂ ⃗ rk ∂L ∂t = 0, ta được : dL ∂ L = dt ∂ t +∑ k { vk ∂ L d r⃗k ∂ L d ⃗ + ∂⃗ r k dt ∂ ⃗ v k dt }= N d ∂L (∑ v ) ⃗ dt k=1 ∂ ⃗ vk k H ay N d ∂L (∑ v −L)= ⃗ dt k=1 ∂ ⃗ vk k 0 (51) Từ đó suy ra : Page 14 of 23 E= N L v −L ⃗ ∑ ∂∂⃗ vk k k =1 = ∑ mk v −L = 2 k N 1 mk v 2k ∑ 2 k=1 rn ¿ + U(⃗r 1 … ⃗ = Const (52) E = T + U = const Đó là định luật bảo toàn cơ năng E của cơ hệ kín. Trong lịch sử vật lý tuy nhiều lần định luật bảo toàn năng lượng tưởng chừng bị thất bại bề ngoài như thế luôn kích thích nghiên cứu để tìm nguyên nhân thất bại. Cho đến ngày nay người ta luôn tìm được nguyên nhân và định luật bảo toàn năng lượng luôn đúng,có thể ở dạng tổng quát hơn. V. Vai trò các định luật bảo toàn : Các định luật bảo toàn có vai trò vô cùng to lớn trong cơ học cổ điển cũng như cơ học lý và trong kỹ thuật và đời sống. Sau đây là một số vai trò cực ký quan trọng của các định luật bảo toàn : 1. Nói chung, không thể giải thích chính xác các phương trình chuyển động Lagrange là những phương trình vi phân cấp hai. Nhưng ngay trong trường hợp có thể giải được các phương trình đó một cách trọn vẹn hay bằng công cụ máy tính điện tử, thì bản thân các qui luật chuyển động được diễn ra dưới dạng các hàm xác định của thời gian nhiều khi cũng không cung cấp được những thông tin có nghĩa và hữu ích so với các thông tin suy từ các định luật bảo toàn. 2. Các đinh luật bảo toàn là những phương trình vi phân cấp I, nói chung đơn giản hơn các phương trình chuyển động có cấp cao hơn. 3. Sự phát hiện một định luật bảo toàn đánh dấu một sự tiến bộ của Vật lý học. có thể nói rằng sự phát triển của vật lý học cũng đồng thời là sự phát triển của nội dung và số lượng của các định luật bảo toàn, tức là sự phát triển của khái niệm đại lượng động lực. Nếu các học thuyết vật lý hiện đại phong phú và sâu sắc hơn so với cơ học kinh điển như định luật bảo toàn là phong phú hơn. Điều này lại có ý nghĩa là các tính chất đối xứng ở các học thuyết đó là phong phú hơn. Có thể nêu lên các định luật bảo toàn không có mặt trong kinh điển như các định luật bảo toàn số chẵn lẻ, định luật bảo toàn số barion, số lạ v.v… Mặt khác, khi nghiên cứu tính đẳng hướng của không gian, nội dung cảu định luật bảo toàn momen xung lượng trong cơ học Page 15 of 23 v0 Súng lò xo lượng tử trở nên sâu sắc hơn với sự có mặt của một khái niệm mới là khái niệm spin v.v…. VI. Vận dụng các định luật bảo toàn : h1 m Bài tập 1. Hai đĩa cùng được gắn vào một trục quay cố định. Người ta cho trục hơi xoắn rồi lại h2 nhả ra. Hãy xác định hệ thức giữa các vận tốc góc và các góc quay của các đĩa khi chúng dao động xoắn. Cho khối lượng của trục bé không đáng kể, còn các v momen quán tính của đĩa đôi với trục x là J 1_và J2 là các đại lượng đã biết. Bài giải : Để bỏ qua các lực đàn hồi chưa biết và có tác dụng gây ra dao động cho các đĩa, ta xem trục và các đĩa F như một hệ. Các lực ngoài tác dụng lên hệ ( phản lực của các gối đỡ và trọng lực ) đều cắt trục x ; vì vậy ∑ mx ( Fek ) = 0 và Kx = const, Nhưng vì ở thời điểm ban đầu ( Kx ) = 0 nên ta luôn có Kx = J1J22 = 0 ( vì momen động lượng của hệ đối với trục x bằng tổng momen động lượng của các đĩa đối với cùng trục đó). Từ đó : 1 = −J 2  J1 2 và φ 1= −J 2 φ, J1 2 Trong đó 1 và 2 là các góc xoắn của đĩa kể từ vị trí ban đầu. Bởi vậy, dao động sẽ xảy ra ngược chiều nhau, biên độ dao động góc tỷ lệ nghịch với momen quán tính lớn hơn. Bài tập 2. Một hòn bi thép khối lượng m = 5,2g được bắn xuống theo phương thẳng đứng từ độ cao h 1 = 18m với tốc độ đầu v0 = 14m/s ( hình bên ). Nó đi sâu vào cát một đoạn h2 = 21cm. a.Hỏi độ thay đổi cơ năng của hòn bi là bao nhiêu ? b.Độ thay đổi nội năng của hệ hòn bi – Trái Đất – cát là bao nhiêu ? c.Độ lớn của lực trung bình F mà cát tác dụng lên hòn bi là bao nhiêu ? Giải : a. Tại điểm dừng ở độ cao h2 tốc độ hòn bi bằng không, và động năng của nó cũng bằng không. Độ thay đổi cơ năng của quả cầu là E = K + U Page 16 of 23 Hay E = ( 0 - 1 m v 20) 2 – mg ( h1 + h2 ) trong đó : −¿( h1 + h2 ) là độ dịch chuyển xuống tổng cộng của hòn bi. Thay số ta tìm được : E = −¿ −1 2 ( 5,2 × 10−3 kg ) (14m/s)2 (5,2 × 10-3kg) (9,8m/s2) ( 18m + 0,21m ) = −¿ 1,437f = −¿ 1,4 J b. Đây là hệ cô lập, vì khi hòn bi được bắn ra thì nó chỉ có trong lượng là mg ( do trái đất ) và lực trung bình F hướng lên cát tác dụng vào nó. Thay E = K + U vào phương trình bảo toàn năng lượng đối với hệ cô lập (K + U + Eint = 0) ta tìm được cho hệ hòn bi – Trái Đất – cát như sau : Hay E + Eint = 0 Eint = −¿E = −¿ (−¿ 1,437J)  1,4 J Kết quả này cho thấy khi hòn bi đi vào cát thì F phân tán toàn bộ cơ năng của nó, chuyển cơ năng thành nội năng ( chủ yếu là nhiệt năng ) của hòn bi và cát. c. Cơ năng của hòn bi được bảo toàn trước khi nó đi vào cát. Sau đó, khi hòn bi đi qua đoạn h 2 trong cát thì cơ năng của nó thay đổi một lượng E, mà ta có (E = −¿fd ) có thể viết lại như sau : suy ra : F = −F h 2 = E ∆E −1.4377 = −h2 −0,21 = 6,48N. Bài tập 3. Một đầu đạn khối lượng m bay theo phương nằm ngang với vận tốc u rồi rơi vào thùng xe chở cát. Hỏi sau khi va chạm xe từ trạng thái đứng yên sẽ chuyển động với vận tốc bằng bao nhiêu ? Biết rằng khối lượng xe chở cát là M. Giải : Ta xem đầu đạn và xe như một hệ. Điều đó cho phép khi giải bài toán không cần để ý đến các lực do va chạm đầu đạn với xe chở cát. Tổng hình chiếu của các lực ngoài tác dụng vào hệ trên trục nằm ngang Ox bằng không. Do đó Qx = const hay Q0x = Q1x, trong dó Q0 là động lượng của hệ trước lúc va chạm. Vì trước lúc va chạm xe đứng yên, nên Q0x = mu Sau khi va chạm, xe và đầu đạn cùng chuyển động với vận tốc như nhau. Ta kí hiệu vận tốc đó là v. Khi đó : Q1x = ( m + M ) v Page 17 of 23 So sánh các vế của biểu thức của Q0x = Q1x, ta có ( m + M) v = mu  v= m m+ M u Bài tập 4. Vận dụng định luật bảo toàn động lượng trong khi phóng tàu vũ trụ. Để giữ sự ổn định của vệ tinh, trước khi phóng lên từ cửa khoang hàng của một tàu vũ trụ con thoi, vệ tinh được làm cho quay quanh trục giữa của nó vì hướng của vận tốc một hạt đang chuyển động thì nó khó thay đổi hơn ( bởi một xung ngang đã cho ) khi động lượng của hạt lớn so với khi nó nhỏ. Cũng như vậy, sự định hướng của một vật đang quay khó thay đổi hơn ( do một momen quay, cho trước, từ ngoài) khi momen động lượng của vật lớn, so với một momen quay ngoài rất nhỏ. Sự định hướng của một vệ tinh không quay có thể thay đổi ngay cả với một momen quay ngoài rất nhỏ, chẳng hạn do khí quyển loãng còn dư hoặc do áp suất ánh sáng của Mặt Trời. Một vệ tinh quay thì không bị thế. Bài tập 5 . Sự định hướng của con tàu vũ trụ. Khi một hệ hạt cô lập không có momen động lượng, thì sự định hướng của nó trong vũ trụ liệu có thể bị thay đổi, bằng cách tạo ra tạo ra những thay đổi bên trong hệ? Nếu hệ không phải là một vật rắn, thì câu trả lời là: “ được, với một số điều kiện”. Hình Bài tập 8. Hình 11 trình bày một sính viên, ngồi trên cái ghê có thể quay được quanh một trục thẳng đứng. Ban đầu, anh sinh viên ở trạng thái nghỉ và cầm một cái bánh xe đạp mà vành được đổ chì cho nặng, và có quán tính quay I đối với trục giữa chừng 1,2kg.m2. Bánh xe quay với tốc độ góc ban đầu là ωi là 3,9 vòng/s ; nhìn từ trên xuống, thì bánh quay ngược chiều kim đồng hồ. Trục Li của bánh bánh xe thẳng đứng và momen động lượng ⃗ xe hướng thẳng đứng lên trên. Bây giờ, anh sinh viên lật ngược cái bánh xe lại hình 11.b ; kết quả là anh ta cùng với ghế quanh quay trục ghế. Anh sinh viên quay với tốc độ góc bao nhiêu, và theo chiều nào? ( quán tính quay I0 của hệ : sinh viên + ghế + bánh x, đối với trục ghê là 6,8kg.m2 ) Giải : Không có momen quay ngoài nào tác dụng vào hệ sinh viên + ghế + bánh xe phải đạt được một momen động lượng của hệ đối với bất kì trục thẳng đứng nào. Li của hệ là momen Momen động lượng ban đầu của ⃗ Page 18 of 23 động lượng của riêng một mình bánh xe. Sau khi bánh xe bị lật ngược, thì hệ vẫn phải có một momen động lượng toàn phần cùng độ lớn và cùng hướng. Li. Sau khi lật, momen động lượng của bánh xe là - ⃗ Ngoài ra, hệ sinh viên + ghế + bánh xe phải đạt được Li. Khi đó, một momen động lượng nào đó ; ta gọi nó là ⃗ theo hình 11.c ta có Li = L + ( -Li ) Hay là : L = 2Li = I0ω Trong đó ω là tốc độ góc mà anh sinh viên có được, dau khi lật bánh xe. Ta được : ω = vòng/s 2 Li I0 = 2 I ωi I0 = (2)(1,2 kg . m2 )(3,9 6,8 kg . m 2 vòng ) s = 1,4 Kết quả dương cho ta thấy rằng anh sinh viên quay ngược chiều kim đồng hồ, quanh trục của ghế, khi nhìn từ trên xuống. Nếu anh sinh viên muốn ngừng quay, thì anh chỉ việc lật ngược cái bánh xe lần nữa. Khi lật ngược bánh xe, anh sinh viên nhận thức rất rõ ràng phải tác dụng một momen quay. Tuy nhiên, momen quay này là trong hệ sinh viên + ghế + bánh xe và như thế, không thể làm thay đổi momen động lượng toàn phần của hệ đó. Tuy nhiên, ta có thể chấp nhận hệ của ta chỉ gồm có sinh viên + ghế còn bánh xe, thì để ngoài hệ mới. Làm cách đó, thi khi anh sinh viên tác dụng một momen quay vào bánh xe thì bánh xe tác dụng một phản momen quay vào anh và momen quay này bây giờ lại là một momen ngoài. Chính là tác dụng của momen ngoài này đã làm thay đổi momen động lượng của hệ sinh viên + ghế khiến nó quay. Momen quay là ngoài, hay trong, chỉ phụ thuộc vào bạn chọn cách xác định hệ của bạn như thế nào. Page 19 of 23 Hình 11. Bài toán mẫu. a) anh sinh viên cầm một bánh xe đạp đang quay quanh trục thẳng đứng. b) anh sinh viên lật ngược bánh xe lại, làm cho bản thân anh cũng quay. c) momen động lượng toàn phần của hệ vẫn giữ cùng một giá trị, bất chấp sự lật ngược bánh xe Bài tập 9. Một tàu vu trụ có khối lượng M đi trong không gian sâu thẳm với vận tốc vi = 2100km/h so với Mặt trời. Nó ném đi tầng cuối có khối lượng 0,20M với tốc độ tương đối là u = 500km/h. Hỏi sau đó tốc độ của con tàu là bao nhiêu? Giải : Ta lấy hệ con tàu và tầng cuối. Ta cũng coi vận tốc là dương nếu nó có chiều của chiều tàu chuyển động. Vì hệ kín và cô lập nên động lượng của hệ được bảo toàn, tức là : Pi = Pf (*) Trong đó các kí hiệu i và f là chỉ các giá trị trước và sau khi ném. Trước khi ném ta có : Pi = Mvi (**) Gọi U là vận tốc của tầng bị ném và v f là vận tốc của tàu sau khi bị ném, cả hai vận tốc đều được đo đối với Mặt trời. Động lượng toàn phần của hệ sau khi ném là : Pf = 0,20MU + 0,80Mvf (***) Trong đó số hạng thứ nhất ở vế phải là động lượng của tầng và số hạng thứ hai là của tàu. Tốc độ tương đối u của tầng bị ném là hiệu tốc độ con tàu và tốc độ tầng : u = vf – U Hay là : U = vf – u Thay biểu thức này của U vào (***) và sau đó thay vào các phương trình ( ** ) và ( * ) thì tìm được : Mvi = 0,20M(vf – u) + 0,80Mvf Page 20 of 23
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan