Tài liệu Tính chính quy nghiệm của hệ navier - stokes

LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS. Cung Thế Anh đã tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn tốt nghiệp Thạc sỹ này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo tận tình trong suốt quá trình học tập tại trường. Qua đây tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã ở bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp Thạc sỹ. Hà Nội, tháng 11 năm 2013 Tác giả Như Thúy Vân 1 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Cung Thế Anh luận văn được hoàn thành không trùng với bất kì công trình khoa học nào khác. Trong khi thực hiện luận văn tác giả đã sử dụng và tham khảo các thành tựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng. Hà Nội, tháng 11 năm 2013 Tác giả Như Thuý Vân 2 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chương 1.Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.Các bất đẳng thức thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1. Bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2. Bất đẳng thức Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3. Bất đẳng thức Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.4. Bất đẳng thức Morrey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.Sự tồn tại nghiệm yếu của hệ Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.Độ đo Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5.Một số ký hiệu và khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Chương 2.Tính chính quy nghiệm của hệ Navier - Stokes . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.Phát biểu các kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.Các bổ đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3.Chứng minh các định lí chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Hệ phương trình Navier-Stokes xuất hiện khi mô tả chuyển động của các chất lỏng và khí như nước, không khí, dầu mỏ,. . . dưới những điều kiện tương đối tổng quát, và chúng xuất hiện khi nghiên cứu nhiều hiện tượng quan trọng trong khoa học hàng không, khí tượng học, công nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma,. . . Trong luận văn này, chúng tôi trình bày tính chính quy riêng phần của các nghiệm của phương trình Navier-Stokes ba chiều $ u ' ' ν∆u ' ' t ' ' ' ' &∇ u 0, B
p u  ∇q u B   ' ' ' upx, tq  0 ' ' ' ' ' %upx, 0q  u pxq 0  pu1, u2, u3qT ∇p  f, x P Ω, t ¥ 0; x P Ω, t ¥ 0; x P B Ω, t ¥ 0; (1) x P Ω. ÞÝÑ R là hàm áp suất, ν  const ¡ 0 là hệ số nhớt, u0 là điều kiện ban đầu và điều kiện biên Dirichlet trên biên B Ω với Ở đó, u là hàm vận tốc, p : Ω Ω là miền bị chặn trong R3 . Sự tồn tại nghiệm yếu u của hệ phương trình Navier Stokes đã được Leray và Hopf chứng minh trong [7, 4] mà nghiệm này thỏa mãn một dạng của bất đẳng thức năng lượng. Còn Scheffer đã nghiên cứu tính chính quy riêng phần của các nghiệm của hệ phương trình Navier - Stokes thỏa mãn một phiên bản địa phương của bất đẳng thức năng lượng trong một chuỗi các bài báo [9, 10, 11]. Xem thêm [3, 5, 12, 13, 14] về các bài toán liên quan. Trong luận văn này chúng tôi trình bày kết quả gần đây của Kukavica [6] về tính chính qui riêng phần của nghiệm yếu phù hợp của hệ Navier - Stokes. Kết quả chính của luận văn là chỉ ra rằng độ đo Hausdorff parabolic một chiều của tập các điểm kỳ 4 dị bằng 0 nếu f P L2. Kết quả này cải tiến kết quả nổi tiếng của Caffarelli - Kohn - Nirenberg trong [2]. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn này là chúng tôi trình bày kết quả trong [6] về tính chính quy riêng phần của các nghiệm của hệ phương trình Navier - Stokes trên miền Ω, ở đó giả thiết của số hạng ngoại lực f được giảm nhẹ hơn so với kết quả trước đó của Caffarelli - Kohn - Nirenberg [2]. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Hệ phương trình Navier-Stokes ba chiều. • Phạm vi nghiên cứu: Tính chính quy riêng phần của nghiệm. 4. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kỹ thuật nghiên cứu tính trơn của nghiệm của hệ Navier-Stokes: cách chọn hàm thử, đánh giá năng lượng. 5 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Các không gian hàm Để nghiên cứu bài toán (1) ta giới thiệu các không gian hàm sau: Ký hiệu : V  tu P C08 pΩq3 : ∇  u  0u;  V̄pH pΩqq  bao đóng của V trong pH01pΩqq3 (  tu P pH01pΩqq3 : ∇  u  0 u; H  V̄pL pΩqq  bao đóng của V trong pL2 pΩqq3 . V 1 0 3 2 3 Khi đó H và V là những không gian Hilbert với tích vô hướng lần lượt là: pu, vqH  pu, vq  » u.vdx  Ω pu, vqV  ppu, vqq  » Ω ∇u.∇vdx  Ω  trong đó u  pu1 , u2 , u3 q và v  pv1, v2, v3qT . V 1  tu P H2
1 pΩq  pH21 pΩqq1 ; ∇  u  0u 6 ui .vi dx, » ¸ 3 Bui . Bvi dx, B xj B xj i,j 1 T  i 1 Ω » ¸ 3 Ω » ¸ 3  i 1 ∇ui .∇vi dx }.}V 1 là chuẩn trong V 1(V 1 là đối ngẫu của V ) Ta có nhúng compact V Ñ Ñ H Ñ V 1 Phần bù trực giao H K của H trong pL2 pΩqq3 là H K =tu P pL2 pΩqq3 ; u  ∇ρ, ρ P H 1 pΩqu p∇ρ  BBut
υ∆u
pu.∇qu f q ã ã ã 1.2. Các bất đẳng thức thường dùng 1.2.1. Bất đẳng thức Cauchy Cho a ¡ 0, b ¡ 0 1.2.2. b2 . 2 a2 2 ab ¤ Bất đẳng thức Hölder Giả sử 1 ¤ p, q ¤ 8; p1 ta có » 1 q  1; u P LppΩq, v P Lq pΩq. |uv|dx ¤ }u}L pΩq.}v}L pΩq p q Ω 1.2.3. Bất đẳng thức Poincaré » » |∇u| dx ¥ C pΩq |u|2dx, @u P H01pΩq. 2 Ω 1.2.4. Ω Bất đẳng thức Morrey Giả thiết n   p ¤ 8. Khi đó tồn tại một hằng số phổ dụng C chỉ phụ thuộc vào p và n, sao cho }u}C với mọi u P C 1 pRn q, γ : 1
0,γ pRn ¤ C }u}W pR q 1 p n . p 7 n 1.3. Sự tồn tại nghiệm yếu của hệ Navier-Stokes Định lí 1.3.1. [15] Cho trước u0 P H và f P L2p0, T ; V 1q. Khi đó tồn tại một nghiệm yếu u của hệ Navier-Stokes thỏa mãn : u P L2 p0, T ; V q X L8 p0, T ; H q. Hơn nữa, u là liên tục yếu từ r0, T s vào H: u P Cw pr0, T s; H q, du (tức là @v P H : t ÞÑ puptq, v q liên tục ) và P L4{3 p0, T ; V 1 q, dt 1.4. Độ đo Hausdorff Ta nhắc lại một khái niệm cơ bản liên quan tới số chiều Hausdorff . Cho X là không gian metric và D ¡ 0. Độ đo Hausdorff D
chiều của một tập con Y của X là µD pY q  lim µD, pY q  sup µD, pY q, Ñ0 ¡   0 trong đó µD, pY q  inf ¸ p diam BiqD . i Ở đây, cận dưới đúng được chọn trên tất cả các phủ của Y bởi các hình cầu Bi sao cho diam Bi Vì µD, pY q ¤ µD pY q  0@D ¤ . Hiển nhiên µD, pY q D
D0 µD0 , pY q với D ¡ ¥ µD,1 pY q với  D0 , nếu ¡ D0. Trong trường hợp này số ¤ 1 và µD,pY q P r0, 8s. µD , pY q   8 và D0 P p0, 8q thì 0 inf tD, µD pY q  0u  inf tD, µD pY q   8u được gọi là số chiều Hausdorff của Y. Nếu số chiều Hausdorff của tập Y là hữu hạn, thì Y đồng phôi với một tập con của một không gian Euclidean hữu hạn chiều. 1.5. Một số ký hiệu và khái niệm Ký hiệu Br px0 q với chuẩn Euclide là hình cầu tâm tại x0 bán kính r và Qr px0 , t0 q  B r px0 q  rt0
r2 , t0 s 8 là hình trụ parabolic gắn với tâm px0 , t0 q P D. Để đơn giản ta viết  Qr p0, 0q và Br  Br p0q. Ta nói px0, t0q P D là điểm chính quy nếu u P L5pDq trong một lân cận mở D0 „ D của px0 , t0 q. Điểm px0 , t0 q P D là điểm kỳ dị nếu nó không 1 2 2 chính quy. Theo [12, 13, 14] thì ta có u P L8 @D1 : D1 „ D0, t Hx pD1 q X Lt Hx pD1 q, Qr nó là không gian thông thường dùng để định nghĩa nghiệm mạnh [2]. Với px0 , t0 q P D, và @r ¡ 0 : Qr px0, t0q „ D đặt αpx0 ,t0 q prq    βpx0 ,t0 q prq   1 ess sup r pt0
r2 ,t0 q ¼ 1 r γpx0 ,t0 q prq   p Qr x0 ,t0  r2 p Qr x0 ,t0  r2 λpx0 ,t0 q prq   p Qr x0 ,t0  1 r ¼ p Qr x0 ,t0 q 1{2 1{3 q ¼ 1 p q B r x0 |u|2dt | 5 u|2dxdt ¼ 1 δpx0 ,t0 q prq   q 1{2 » q |u|3dxdt 1{3 |p|3{2dxdt 1{2 |f |2dxdt . Nếu Qr px0 , t0 q X Dc  ∅, thì ta có thể thay Qr px0, t0q bởi Qr px0, t0q X Dc. Nếu nhãn px0, t0q không có thì ta vẫn hiểu là lân cận của p0, 0q, tức là αprq  αp0,0qprq. Năm đại lượng không có thứ nguyên (hay không có chiều), khi đó theo quy ước thông thường về số chiều thì số mũ của x, t, u, p và f tương ứng là 1, 2,
1,
2 và
3. Tương tự như vậy chọn các số mũ sao cho biểu diễn của nó là bậc 1 phụ thuộc vào u. Do đó dễ dàng tìm ra dạng biểu diễn tuyến tính, và dạng phi tuyến của các số hạng. Chú ý rằng giả thiết cho f P L2pDq từ đó suy ra λpx0 ,t0 q prq ¤ M r1{2 (1.1) @px0, t0q P D và @r ¡ 0 : Qr px0, t0q „ D, ở đó M  ||f ||L pDq. 2 9 Chương 2 Tính chính quy nghiệm của hệ Navier - Stokes 2.1. Phát biểu các kết quả chính Định nghĩa (Nghiệm yếu phù hợp) Cố định một tập mở liên thông D „ R3  p0, 8q. Giả sử pu, pq là một nghiệm yếu phù hợp trong D và nó được định nghĩa như sau: 3{2 2 1 2 pDq; (i) u P L8 t Lx pD q X Lt Hx pD q và p P L (ii) f P L2pDq là hàm phân kỳ tự do; (iii) Hệ phương trình Navier - Stokes (1) được thỏa mãn trong D theo nghĩa yếu; (iv) Bất đẳng thức năng lượng địa phương đúng trong D, tức là: » |u| φ|T 2 ¼ ¤ R3 p
8,T q ¼ 2 R3 p
8,T q |u|2pφt | 5 u|2φ 4q p|u|2 2pqu  5φ với mọi φ P C08 pDq sao cho φ ¥ 0 trong D và với mọi T  2pu  f qφ (2.1) P R. Định lí sau đây là kết quả chính của chương này. Định lí 2.1.1. Tồn tại một hằng số phổ dụng đủ nhỏ  đây. Nếu px0 , t0 q P D và lim sup βpx0 ,t0 q prq    r Ñ0 10 ¡ 0 thỏa mãn tính chất sau (2.2) thì px0 , t0 q là một điểm chính quy. Nói riêng độ đo Hausdorff parabolic một chiều của tập các điểm kỳ dị bằng 0. Điều kiện (ii) có thể được mở rộng tới hàm phân kỳ f P Lq pDq, với q ¡ 5{3. Cụ thể ta có định lí sau: ¡ 5{3. Thay thế điều kiện (ii) trong định nghĩa của nghiệm yếu P Lq pDq và limrÑ0 sup βpx ,t qprq   . Khi đó px0, t0q là điểm chính Định lí 2.1.2. Cho q phù hợp với f 0 0 quy. Từ định lí trên ta có Định lí 2.1.3. Với mỗi q chất sau đây. Nếu Q1 ¡ 5{3, tồn tại một hằng số   pqq ¡ 0 thỏa mãn tính „ D và » Q1 p|u|3 h|p|3{2 |f |q q ¤  thì tất cả điểm trong Q1{2 là điểm chính quy. Để chứng minh cho các định lí trên ta dựa vào các bổ đề sau. 2.2. Các bổ đề Bổ đề 2.2.1. Giả sử p0, 0q P D. Khi đó ta có θprq ¤ Cκ2{3 θpρq Cκ
5 β pρqθpρq Cκ
1{2 θpρq1{2 λpρq1{2 (2.3) và θprq ¤ Cκ2{3 θpρq với 0   r Cκ
5 θpρq2 Cκ
1{2 θpρq1{2 λpρq1{2 (2.4)   ρ{2 : Qρ „ D. Chứng minh. Vì β pρq ¤ θpρq, (2.4) được suy ra từ (2.3), nên ta chỉ cần chứng minh (2.3). Cho Gpx, tq  p4πtq
3{2 expp
|x|2 {4tq là hạt nhân Gaussian. Với r ¡ 0, ký hiệu ψ px, tq  r2 Gpx, r2
tq, px, tq P R3  p
8, 0q, 11 trong đó sự phụ thuộc của ψ vào r là để đơn giản nên ta có thể bỏ qua. Rõ ràng Btψ  0 trên R3  p
8, 0s. Trước hết, ta suy ra một vài tập bị chặn trên ψ để ước lượng ψ trên Qr theo bên dưới, tồn tại một điểm cố định t P r
r2 , 0s, ta có 4ψ ψ px, tq ¥ ψ px, tq||x|r  p4πpr2
tqq
3{2 expp
r2{4pr2
tqq. Giá trị nhỏ nhất của hàm này với t P r
r2 , 0s là tại t 
r2 , ta có ψ px, tq ¥ Tương tự, trên Qρ , ta có ψ px, tq P Qr . 1 , Cr (2.5) ¤ ψ|x0,t0  r2Gp0, r2q nghĩa là ψ px, tq ¤ px, tq P Qr . C , r (2.6) Tương tự, trên Qρ ta có 2 | 5 ψpx, tq| ¤ p prCr |x|t||q 2 và nó nhỏ hơn hoặc bằng Cr2 {pr2 { 5 2 q expp
4pr2|x| |t|qq 2 |t|q2 vì y1{2e
y ¤ C, @y ¥ 0. Ta có | 5 ψpx, tq| ¤ rC2 , px, tq P Qρ. (2.7) px, tq P QρzQρ{2 (2.8) Ta có ψ px, tq ¥ Cr2 , ρ3 | 5 ψpx, tq| ¤ Cr ρ4 2 , px, tq P QρzQρ{2. (2.9) Chứng minh (2.8) như sau: Biên của (2.8) cũng nằm trên Bρ  p
ρ2 ,
ρ2 {4q vì giá trị lớn nhất trên vùng đó là đạt được tại px, tq  p0,
ρ2{4q và giá trị của ψ tại điểm đó là nhỏ hơn hoặc bằng Cr2 {ρ3 . Với x P Bρ zBρ{2 và t P p
ρ2 {4, 0q ta có ψ px, tq ¤ ψ px, tq||x|ρ{2 ¤ C pr2{pr2
tq3{2q exppρ2{16pr2
tqq. Khi đó xem nghiệm là một hàm của t, sau đó biểu diễn số lớn nhất tại t  min tr2
ρ2 {24, 0u. Tách riêng các trường hợp r2 ¤ ρ2 {24 và r2 l C2 ψ tại các điểm cực đại nhỏ hơn hoặc bằng 3 . ρ Chứng minh (2.9) cũng tương tự: Trên Qρ zQρ{2 , ta có | 5 ψpx, tq| ¤ Cr2 ρ pr2 |t|q5{2 exp 12  | x| 2
4pr |t|q . 2 ¥ ρ2{24, ta được Biên của vế phải đạt được bằng cách tìm cực đại của biểu thức trên Bρ  p
ρ2 ,
ρ2 {4q (đó là tại x  0 và t 
ρ2 {4 ) và trên Bρ zBρ{2  p
ρ2 {4, 0q (đó là tại |x|  ρ{2 và tại |t|  max ρ2 {40
r2 , 0 ). Cho η : R3  R Ñ r0, 1s là hàm nhát cắt trơn sao cho η  1 trên Qρ{2 và η  0 trên Qcρ với |BtbBxα η| ¤ Cρ|pαα|0,2bbq , px, tq P R3  R, b P N0, α0 P N30. 0 0 (2.10) Thay φpx, tq  ψ px, tqη px, tq trong bất đẳng thức năng lượng (2.1), với bất kỳ t0 P r
r2, 0s » ¼ |u| ψ|t 2 2 0 Br |5| ψ ¤ ¼ |u| pφt ¼ 4φq 2 2 Qρ Qρ Qr ¼ 2 |u|2u  5φ ¼ pu  5 2 pu  f qφ. (2.11) Qρ Qρ Ký hiệu I1 , I2 , I3 và I4 là các hạng tử bên vế phải của (2.11). Trên Qρ , 4φ  pηt φt ta sử dụng Do vậy, φt Btψ 4ψ 4η qψ 2 5 η  5ψ,  0 trên Qr . Chú ý ηt, 4η và 5η bị triệt tiêu trên Qρ{2. 4φ triệt tiêu trên Qρ{2 , ta có sup |φt Qρ ¤ sup z Qρ Qρ{2 p|ηt 4φ|  sup z Qρ Qρ{2 4η |ψ q 2 sup z Qρ Qρ{2 |φt 4φ| | 5 η|| 5 ψ ¤ Cr ρ5 2 , ở đó ta đã sử dụng (2.8), (2.9) và (2.10). Do đó, I1 ¤ Cr2 ρ5 ¼ |u| ¤ 2 Qρ Để xử lý hạng tử thứ hai, đặt Aρ g Cr2 ess sup ρ3 p
ρ2 ,0q » Bρ |u|2 ¤ Cκ2αpρq2.  Aρgp, tq  |Bρ|
1 13 ³ Bρ g p, tq. (2.12) Ký hiệu ||v ||Lrt Lqx    |||vpx, tq||L pQ q |L p
ρ ,0q ta có q x I2 ¤ ¼ C r2 r t ρ 2  2 u  | |
Aρ|u|2 |u| Qρ   ¤ rC2 ||u||L pQ q ||u|2
Aρ|u|2 |L { pQ q 3 3 2 ρ ρ ¤ rC2 ||u||L pQ q|| 5 p|u|2q||L { L pQ q 3 3 2 t ρ 1 x ρ ¤ rC2 ||u||L pQ q||u||L L || 5 u||L L pQ q 3 Cρ { 1 3 ¤ r2 6 t ρ 2 t 2 x 2 x ρ ||u||L pQ q||u||L8L || 5 u||L L pQ q, 3 ρ trong đó ta đã sử dụng | 5 φ| ¤ |η || 5 ψ | 2 x t 2 t 2 x ρ | 5 η|ψ ¤ C {r2 trên Qρ, nó cũng đúng với (2.6) và (2.7). Ta có 2 I2 ¤ Cρ αpρqβ pρqγ pρq  Cκ
2 αpρqβ pρqγ pρq. r2 (2.13) Đối với I3 sử dụng bất đẳng thức Hölder và |Oφ| ¤ C {r2 trên Qρ ta được 2 I3 δ pρq2 γ pρq  Cκ
2 δ pρq2 γ pρq. ¤ Cρ r2 (2.14) Tương tự với I4 từ (2.6) ta có I4 ¼ |u||f | ¤ Cr ||u||L L pQ q||f ||L L pQ q ¤ C r ¤ Cρ αpρqλpρq  Cκ
1 αpρqλpρq. r 2 t 2 x 2 t ρ 2 x ρ Qρ sup Chú ý ess t0 Pp
r2 ,0q  ³ Br |u|2ψt ¥ C
1αprq2 và 2 ´ 0 Qr (2.15) | 5 u|2ψ ¥ C
1β prq2 theo (2.5) sử dụng (2.11), (2.12), (2.13), (2.14) và (2.15) ta có αprq2 β prq2 ¤ Cκ2αpρq2 Cκ
2αpρqβ pρqγ pρq Cκ
2δ pρq2 γ pρq Cκ
1αpρqλpρq, từ đó αprq β prq ¤ Cκαpρq Cκ
1αpρq 2 β pρq 2 γ pρq 2 1 Cκ
1δ pρqγ pρq 2 1 14 1 1 Cκ
2 αpρq 2 λpρq 2 . 1 1 1 Sử dụng Cκ
1δ pρqγ pρq 2 ¤ Cκ
3δpρq2 Cκγ pρq và một hệ quả trực tiếp của bất đẳng Cαpρq, ta có thức Gagliardo - Nirenberg γ pρq ¤ Cαpρq β pρq 1 1 2 1 2 αprq Cκ
1αpρq 4 β pρq 4 β prq ¤ Cκαpρq 3 Cκ
3 δ pρq2 Cho η Cκ
1 αpρqβ pρq 2 3 1 Cκ
2 αpρq 2 λpρq 2 . Cκαpρq 2 β pρq 2 1 1 1 1 1 (2.16) P C08pR3q sao cho η  1 trong một lân cận của B 3ρ{5 và η  0 trong lân cận của c B4ρ {5 với |Bα ηpxq| ¤ Cρp||αα0| |q , x P R3 , α0 0 0 Sử dụng ∆p  Bij Uij , trong đó Uij ∆pηpq  Bij pηUij q P N30. 
uipuj
Aρuj q, ta có pBij ηqUij
Bj pUij Biηq
BipUij Bj ηq
p∆η 2Bj ppBj η qpq (2.17) dễ dàng kiểm tra phần mở rộng ở vế phải. Ký hiệu N là hạt nhân của ∆
1, chú ý |Npxq| ¤ C |x|
1@x P R3. Từ (2.17), ta có ηp 
Ri Rj pηUij q N  ppBij η qUij q
Bj N  pUij Bi η q
BiN  pUij Bj ηq
N  pp∆ηq 2Bj N  ppBiηqpq  p1 p2 p3 p4 p5 p 6 trong đó Ri là biến đổi Riesz thứ i. Theo Định lý Calderón - Zygmund, với mỗi t P p
r2 , 0q ¸ ||p1||L { pB q ¤ ||p1||L { pR q ¤ C ||ηUij ||L { pR q 3 2 3 2 r 3 2 3 3 i,j ¤ C ||u||L pB q||u
Aρu||L pB q ¤ C ||u||L pB q||Ou||L pB q 2 2 6 ρ 2 ρ ρ ρ ta có   ||p1||L { pQ q ¤ C |||u||L pB q||Ou||L pB q |L p
r ,0q   ¤ Cr1{3 |||u||L pB q||Ou||L pB q |L p
r ,0q. 3 2 2 r 2 ρ 2 2 ρ 2 ρ ρ 2 2 2 Do đó,  ||p1||L { pQ q r4{3 1 3 2 r 1{2 ¤C 15
ρ 1{2 r αpρq1{2 β pρq1{2 . (2.18)  N  ppBij ηqUij q. Chú ý Bij η  0 trên B 3ρ{5 và trên B4ρc {5. Sử dụng |x
y| ¥ 4ρ{5
r ¥ 3ρ{10 nếu x P Br và y P B4ρc {5, ta có @t P p
r2, 0q Tiếp theo, p2 ||p2||L8pB q ¤ Cρ ||Uij Bij η||L pB q ¤ ρC3 ||U ||L pB q 1 r ¤ ρC2 ¸ 1 ρ ρ ||ui||L pB q||uj
Aρuj ||L pB q 2 6 ρ ρ i,j ¤ ρC2 ||u||L pB q|| 5 u||L pB q 2 do đó ||p2 ||L3{2 pBr q 2 ρ ρ ¤ C pr2{ρ2||u||L pB q|| 5 u||L pB q, lấy một biên tốt hơn (2.18) để p2 2 2 ρ ρ thay thế cho p1 . Tương tự lấy đạo hàm ta chỉ ra rằng biên trên của p3 và p4 là như nhau. Khi đó, p5 
N  pp 4 ηq. Vì 4η  0 trên B 3ρ{5 và trên B4ρc {5, tương tự như trên ta có ||p5||L8pB q ¤ ρC3 ||p||L pB q ¤ ρC2 ||p||L { pB q 1 r 3 2 ρ ρ do đó ||p5||L { pB q ¤ pCr2{ρ2q||p||L { pB q 3 2 3 2 r ρ suy ra ||p5||L { pQ q ¤ pCr2{ρ2q||p||L { pQ q 3 2 và do đó ta được  3 2 r ||p5||L { pQ q r4{3 1 3 2 1{2 ρ ρ { 1 3 ¤ Cr δ pρq ρ1{3 . Ước lượng tương tự cho p6 . Tập hợp các biên phía trước dẫn tới δ prq ¤ Cκ
1{2 αpρq1{2 β pρq1{2 Cκ1{3 δ pρq. Từ bất đẳng thức này và (2.16) suy ra θprq ¤ Cκαpρq Cκ
3 δ pρq2 Cκ
1 αpρq3{4 β pρq3{4 Cκαpρq1{2 β pρq1{2 Cκ
5 αpρqβ pρq Cκ
1 αpρqβ pρq1{2 Cκ
1{2 αpρq1{2 λpρq1{2 Cκ
10{3 δ pρq2 ¤ Cκθpρq Cκ
1β pρq1{2θpρq Cκ
5 β pρqθpρq Cκ2{3 θpρq Cκ
1 β pρq1{2 θpρq và (2.3). 16 Cκθpρq Cκθpρq Cκ
1{2 λpρq1{2 θpρq1{2 Trong chứng minh của Định lí 2.1.1 ta sử dụng tính chất liên tục của αprq. Bổ đề 2.2.2. Cho 0   r   R và t1   t2 sao cho B R  rt1, t2s „ D. Khi đó ta có » lim ess δ Ñ0 Pr |upx, tq| dx ¤ ess 2 sup t t1 ,t2 δ s Br » sup Pr t t1 ,t2 s |upx, tq|2dx. Br Chứng minh. Để chứng minh » lim ess δ Ñ0 Pr |upx, tq| dx ¤ ess 2 sup t t1 ,t2 δ s Br Giả sử £ là tập các điểm Lebesgue của hàm t ÞÑ ³ » sup Pr t t1 ,t2 s |upx, tq|2dx. Br (2.19) |upx, tq|2dx trong pt1, t2q. Cho  ¡ 0, và cho t2   T   t2 δ sao cho B R  rt1 , T s „ D. Giả sử T0 P £ X rt2
δ, t2 s. Giả sử ψ P C08 pR3 q là một hàm có miền ảnh thuộc r0, 1s sao cho ψ1  1 trên B r và ψ2  0 trên BRc . Cho h P p0, t2
t1 q, giả sử ψ2h ptq là hàm liên tục, mà ψ2h ptq  0, @t   T0 là các hàm tuyến tính giữa T0 và T0 h, và bằng 1 với t ¥ T0 h. Một dãy các xấp xỉ khẳng định được sử dụng φpx, tq  ψ1 pxqψ2h ptq trong bất đẳng thức BR (2.1). Ta có » |upx, T q| ψ1pxqdx
2 BR ¼ ¤ BR 1 h » T0 h » T0 BR |u|2 4 φ p|u|2 pT0 ,T q |upx, tq|2ψ1pxqψ2hptqdxdt 2pqu. 5 φ  2pu.f qφ do đó » |upx, T q| dx
2 ¼ ¤ BR pT0 ,T q Br 1 h » T0 h T0 |u|2φh2 ptq 4 ψ1pxq p|u|2 » BR |upx, tq|2ψ2hptqdxdt 2pqψ2h ptqu. 5 ψ1 pxq  2pu.f qψ2h ptqψ1 pxq . Cho h Ñ 0 , ta có » |upx, T q| dx
» 2 Br ¼ ¤ BR ¤ pT0 ,T q » t2
δ t2 δ » BR |upx, T0q|2dx |u|2 4 ψ1 p|u|2   u 2 4 ψ1 || p|u|2 17 2pqu. 5 ψ1 2pqu. 5 ψ1 2pu.f qψ1   2pu.f qψ1  . Chọn δ ¡ 0 đủ nhỏ để các số hạng bên phải nhỏ hơn hoặc bằng . Điều này cho ta » Pp sup t t2 ,t2 δ q Br |upx, tq2dx ¤ sup P Xpt2
δ,t2 q t £ |upx, tq|2dx  vì  ¡ 0 bất kỳ và do £ là một tập con có độ đo đầy trong pt1 , t2 q nên ta suy ra được (2.19). Bổ đề 2.2.3. Tồn tại một hằng số phổ dụng đủ nhỏ  ¡ 0 thỏa mãn tính chất sau. Nếu lim sup βpx0 ,t0 q prq    r Khi đó @ P p0, 1{2q tồn tại r2 , r3 Ñ0 ¡ 0 và M ¡ 0 sao cho max αpx,tq prq, βpx,tq prq, δpx,tq prq2 với px, tq P Bpx0 ,t0 q pr2 q và r ( ¤ M r P p0, r3q. Ở đây ta ký hiệu Bpx0 ,t0 q prq  px, tq : px
x0q2 pt
t0q2   r2 ( . Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng px0 , t0 q θ̃px,tq prq  p0, 0q. Ký hiệu  θpx,tqprq{r và θ̃px, tq  θ̃p0,0qpx, tq. Giả sử  P p0, 1{2q. Theo Bổ đề 2.2.1 và (1.1), ta có θ̃prq ¤ Cκ2{3
 θ̃pρq Cκ
5
 β pρqθ̃pρq θ̃prq ¤ C0 κ2{3
 θ̃pρq C0 κ
5
 β pρqθ̃pρq CM 1{2 κ

1{2 ρ1{4
{2 θ̃pρq1{2 do đó 1 θ̃pρq 6 C0 M κ
1
2 ρ1{2
 . Tương tự, từ bất đẳng thức (2.4) suy ra θ̃px,tq prq ¤ C1 κ2{3
 θ̃px,tq pρq C1 κ
5
 ρ θ̃px,tq pρq2 với 0   r 1 θ̃px,tq pρq 6 C1 M κ
1
2 ρ1{2
 ¤ ρ{2. Không mất tính tổng quát ta giả sử C1  C0. ( Cố định κ  min 1{2, 1{p6C0 q1{p2{3
q sao cho C0 κ2{3
 ¤ 1{6 và r ¤ ρ{2. Khi đó chọn   κ5 {p6C0q 18 sao cho C0  κ5  Theo giả thiết, tồn tại r4 ¤ 16 . „ D, ¡ 0 sao cho Qr 4 β prq ¤  , # và θ̃n   r4 {
C r + 0 4 1 2  C0 M r 4 κ1 2 max Với n  0, 1, 2, ..., ký hiệu Rn 0 r , κ5  ¤ 18 .  κnr4 và θ̃n  θ̃pRnq. Thì 1  21n θ̃n n  0, 1, 2, ... 1 , 8 Bằng quy nạp, ta có θ̃n Vậy tồn tại n0  1 θ̃0 2n 1 8  1 1 2 ... 1 2n
1 n  1, 2, ... , P N sao cho θ̃n ¤ 1{3, hay 0 1 θ̃p0,0q pκn0 r4 q ¤ . 3 Theo tính liên tục của tích phân và Bổ đề 2.2.2, tồn tại r2 1 θ̃p0,0q pκn0 r4 q ¤ , 2 ¡ 0 và r5 P p0, r4 q sao cho px, tq P Bpx ,t qpr2q. 0 0 Chú ý θ̃px,tq κn 1 r5  ¤ 21 θpx,tq pκnr5q 1 θ̃ pκn r5 q2 8 1 , 8 n  n0 , n1 , ... với px, tq P Bpx ,t qpr2q. 0 0 Bằng quy nạp, ta có θpx,tq pκn r5 q ¤ n  n0 , n0 1 2 với px, tq P Bpx ,t qpr2q. 0 0 19 1, ... (2.20) Sử dụng tính đơn điệu của tích phân ta được αpρ1 q ¤ pρ2 {ρ1 q1{2 αpρ2 q; β pρ1 q ¤ pρ2 {ρ1 q1{2 β pρ2 q và δ pρ1 q ¤ pρ2 {ρ1 q4{3 δ pρ2 q với 0   ρ1 θ̃px,tq pρ1 q ¤ C  ρ2 ρ1 1{2   ρ2 ρ1 4{3     ρ2. Do đó, θ̃px,tq pρ2 q, 0   ρ1   ρ2 (2.21) vậy Qρ2 px, tq „ D. Từ (2.20) và (2.21), kết luận θ̃px,tq prq ¤ C, r P p0, r5q @px, tq P Bpx ,t qpr2q 0 0 do đó bổ đề được chứng minh. Trong chứng minh Định lí 2.1.1 cần bổ đề sau. Bổ đề 2.2.4. [8] Cho V „ R3  R là miền bị chặn. Giả sử (i) suppx,tqPV supρ¡0 ρ
λ (ii) g ´ q X p q |g py, sq| dyds   8 và V Bρ x,t P LmpVq với m ¥ q ¡ 1 và 0 ¤ λ   5. Với α ¡ 0, xác định ¼ g py, sq ? hpx, tq  p|x
y| t
sq5
α dyds. V Khi đó với mọi m̃ P pm, 8q sao cho 1 m̃ ¡ 1 m  1
ta có h P Lm̃ pVq. 2.3. qα 5
λ Chứng minh các định lí chính Chứng minh Định lí 2.1.1 Chứng minh. Không mất tính tổng quát, px0 , t0 q  0. Sử dụng Bổ đề 2.2.3 với   1{4, Dr2 , r3 ¡ 0 và M ¡ 0 sao cho max αpx,tq prq, βpx,tq prq, δpx,tq prq2 với px, tq P Bpx0 ,t0 q pr2 q và r ( ¤ M r1{4 P p0, r3q. Không mất tính tổng quát, r2  r3. Chú ý γpx,tq prq ¤ Cαpx,tq prq1{2 βpx,tq prq1{2 20 Cαpx,tq prq ¤ CM r1{4 (2.22)