Tài liệu Tính chính quy của nghiệm yếu của hệ phương trình navier-stokes

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ THỊ THÙY DƯƠNG TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM YẾU CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 2014 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ THỊ THÙY DƯƠNG TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM YẾU CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TSKH NGUYỄN MINH TRÍ Thái Nguyên - Năm 2014 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời cam đoan Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Thái Nguyên, tháng 6 năm 2014 Tác giả Vũ Thị Thùy Dương i Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Một số ký hiệu • C(U ) = {u : U → R | u liên tục}. • C(Ū ) = {u ∈ C(U ) | u liên tục đều}. • C k (U ) = {u : U → R | u là liên tục khả vi k lần}. • C k (Ū ) = {u ∈ C k (U ) | Dα u là liên tục đều với mọi |α| ≤ k }. Do đó: nếu u ∈ C k (Ū ) thì Dα u thác triển liên tục tới Ū với mọi đa chỉ số α, |α| ≤ k . • L2 ([a, b], Rm ): tập các hàm khả tích bậc hai trên [a, b] và lấy giá trị trong Rm . ∞ T • C ∞ (U ) = C k (U ) = {u : U → R | u là khả vi vô hạn lần}, và C ∞ (Ū ) = k=0 ∞ T C k (Ū ). k=0 • Cc (U ), Cck (U ), ...,, ký hiệu các hàm trong C(U ), C k (U ), ..., với giá compact. • Lp (U ) = {u : U → R | u là đo được Lebesgue, kukLp (U ) < ∞}. Trong đó kukLp (U ) = Z p  p1 |u| dx U (1 ≤ p < ∞). • L∞ (U ) = {u : U → R | u là đo được Lebesgue, kukL∞ (U ) < ∞}. Trong đó kukL∞ (U ) = ess sup |u|. U • Lploc (U ) = {u : U → R | u ∈ Lp (V ), với mọi V ⊂⊂ U }. ii Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Lời cam đoan i Một số ký hiệu ii Mục lục iii Mở đầu 1 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Không gian Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Đạo hàm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.3 Không gian H −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.4 Không gian phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . 6 Một số bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Bất đẳng thức Cauchy với ε . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Bất đẳng thức Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.3 Bất đẳng thức nội suy đối với chuẩn Lp . . . . . . . 8 1.3.4 Bất đẳng thức Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.5 Bất đẳng thức Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.6 Bất đẳng thức Hardy - Littlewood . . . . . . . . . . 9 1.3 2 Nghiệm yếu của hệ phương trình Navier-Stokes 2.1 10 Phương trình Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 iii Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2.2 2.3 2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Toán tử Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Nghiệm yếu của hệ phương trình Navier-Stokes . . . . . . . 13 2.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu của hệ Navier - Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Tính chính quy của nghiệm yếu của hệ phương trình Navier - Stokes 17 3.1 Nghiệm yếu chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 Điều kiện chính quy của nghiệm yếu thông qua tiêu chuẩn năng lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Tài liệu tham khảo 30 iv Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Hệ phương trình Navier-Stokes lần đầu tiên được nghiên cứu vào năm 1822, cho đến nay đã có rất nhiều công trình nghiên cứu viết về phương trình này tuy nhiên những hiểu biết của ta về phương trình này còn quá khiêm tốn. Muốn hiểu được hiện tượng sóng dập sau đuôi con tàu chạy trên mặt nước hay hiện tượng hỗn loạn của không khí sau đuôi máy bay khi bay trên bầu trời, ... chúng ta đều phải tìm cách giải hệ phương trình Navier-Stokes. Do nhu cầu của Khoa học và Công nghệ mà việc nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes ngày càng trở nên thời sự và cấp thiết. Hệ phương trình Navier-Stokes mô tả sự chuyển động của chất lỏng trong Rn (n = 2 hoặc n = 3). Ta giả thiết rằng chất lỏng không nén được lấp đầy Rn . Ta tìm một hàm vector vận tốc u(t, x) = (ui (t, x)), i = 1, 2, ..., n và hàm áp suất p(t, x), xác định tại vị trí x ∈ Rn và thời gian t > 0, thỏa mãn hệ phương trình Navier-Stokes như sau: n ∂ui X ∂ui ∂p + uj = ν4ui − + fi (t, x) ∂t ∂x ∂x j i j=1 (x ∈ Rn , t > 0, i = 1, 2, ..., n), u = (u1 , u2 , ..., un ), n X ∂ui div u = = 0 (x ∈ R, t > 0). ∂x i i=1 Với điều kiện ban đầu u(0, x) = u0 (x). Ở đây, hàm vector u0 (x) là hàm khả vi vô hạn với div u0 = 0, fi (t, x) là những hàm đã biết biểu thị các lực tác động bên ngoài, ν là một hệ số dương. Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận và tài liệu tham khảo. Cụ thể như sau: 1 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. Chương 2: Nghiệm yếu của hệ phương trình Navier-Stokes. Trong chương này trình bày khái niệm phương trình Stokes, toán tử Stokes, hệ phương trình Navier - Stokes, sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu của hệ phương trình Navier - Stokes. Chương 3: Tính chính quy của nghiệm yếu của hệ phương trình NavierStokes. Chương này trình bày kết quả chính về tính chính quy của nghiệm yếu của hệ phương trình Navier - Stokes. Một nghiệm yếu u của hệ phương trình Navier - Stokes gọi là chính quy nếu động năng hoặc năng lượng 1 phân tán là liên tục Holder trái, như một hàm của t với số mũ Holder 2 và nửa chuẩn Holder đủ nhỏ, theo [3]. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS. TSKH Nguyễn Minh Trí, người đã tận tình hướng dẫn, tạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên cùng các thầy, cô giáo đã giảng dạy khoá học, xin chân thành cảm ơn ThS Đào Quang Khải - Phòng Phương trình vi phân đã quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn này. 2 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này trình bày sơ bộ về không gian Holder, không gian Sobolev và một số bất đẳng thức cơ bản. 1.1 Không gian Holder Cho U ⊂ Rn là một tập mở và 0 < γ ≤ 1. Định nghĩa 1.1.1. (i) Hàm số u : U → R được gọi là liên tục Holder bậc γ nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho |u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|γ , x, y ∈ U. Khi γ = 1, hàm số u được gọi là liên tục Lipschitz. (ii) Nếu u : U → R là bị chặn và liên tục, ta định nghĩa: kukC(Ū ) = sup |u(x)|. x∈U (iii) Nửa chuẩn Holder bậc γ của u : U → R là [u]C 0,γ (Ū ) = sup x,y∈U x6=y |u(x) − u(y)| |x − y|γ và chuẩn Holder bậc γ là kukC 0,γ (Ū ) = kukC(Ū ) + [u]C 0,γ (Ū ) . 3 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Định nghĩa 1.1.2. Không gian Holder C k,γ (Ū ) gồm tất cả các hàm số u ∈ C k (Ū ), mà chuẩn kukC k,γ (Ū ) = X kDα ukC(Ū ) + |α|≤k X [Dα u]C 0,γ (Ū ) |α|=k là hữu hạn. Như vậy, không gian C k,γ (Ū ) gồm tất cả các hàm số u sao cho các đạo hàm riêng cấp k của nó là bị chặn và liên tục Holder bậc γ . Định lý 1.1.1. Không gian Holder C k,γ (Ū ) là không gian Banach với chuẩn k · kC k,γ (Ū ) . 1.2 1.2.1 Không gian Sobolev Đạo hàm yếu Định nghĩa 1.2.1. Giả sử u, v ∈ L1loc (U ) và α là một đa chỉ số. Ta nói rằng v là đạo hàm yếu cấp α của u nếu Z Z α |α| uD φdx = (−1) vφdx U U đúng với mọi hàm thử φ ∈ Cc∞ (U ). Ký hiệu Dα u = v. Bổ đề 1.2.1. (Tính duy nhất của đạo hàm yếu). Một đạo hàm yếu cấp α của u nếu tồn tại thì được xác định một cách duy nhất (sai khác trên tập có độ đo không). 1.2.2 Không gian Sobolev Định nghĩa 1.2.2. Cố định 1 ≤ p ≤ ∞ và cho k là số nguyên không âm. Không gian Sobolev Wpk (U ) là tập tất cả các hàm khả tổng địa phương u : U → R sao cho với mỗi đa chỉ số α, |α| ≤ k , đạo hàm yếu Dα u tồn tại và thuộc Lp (U ). Chú ý: Nếu p = 2 ta có H k (U ) = W2k (U ) (k = 0, 1, 2, ...) là không gian Hilbert. Chú ý rằng H 0 (U ) = L2 (U ). 4 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Định nghĩa 1.2.3. Nếu u ∈ Wpk (U ), ta định nghĩa chuẩn của nó là  !1/p  R P  α p   (1 ≤ p < ∞) U |D u| dx |α|≤k kukWpk (U ) = P    ess sup |Dα u| (p = ∞).  U |α|≤k Định nghĩa 1.2.4. Bao đóng của Cc∞ (U ) trong H k (U ) được ký hiệu là ◦ H k (U ). ◦ Như vậy, ta coi H k (U ) như là tập các hàm u ∈ H k (U ) sao cho Dα u = 0 trên ∂U với mọi |α| ≤ k − 1. Ta ký hiệu |u| = kukL2 (Ω) . Chuẩn Dirichlet k∇ukL2 (Ω) = Z X n !1/2 |Di u|2 dx Ω i=1 được ký hiệu là kuk. Không gian H −1 1.2.3 ◦ Định nghĩa 1.2.5. Không gian đối ngẫu của H 1 (U ) được kí hiệu là H −1 (U ), tức là f ∈ H −1 (U ) nếu f là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn ◦ trên H 1 (U ). Định nghĩa 1.2.6. Nếu f ∈ H −1 (U ) thì ◦ kf kH −1 (U ) = sup{hf, ui|u ∈ H 1 (U ), kuk ◦ H 1 (U ) ≤ 1}. ◦ Ta viết <, > để kí hiệu giá trị của f ∈ H −1 (U ) trên u ∈ H 1 (U ). Định lý 1.2.1. (Cấu trúc của H −1 ) (i) Giả thiết f ∈ H −1 (U ). Khi đó tồn tại các hàm f 0 , f 1 , ..., f n trong L2 (U ) sao cho hf, vi = Z 0 (f v + U n X ◦ i f vxi )dx (v ∈ H 1 (U )). i=1 5 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (ii) Hơn nữa,  kf kH −1 (U ) = inf{ 1.2.4 1/2   |f | dx  f thỏa mãn (i), f 0 , ..., f n ∈ L2 (U )}. n R P U i 2 i=0 Không gian phụ thuộc thời gian Cho X là không gian Banach thực với chuẩn k · k. Định nghĩa 1.2.7. Không gian Lp (0, T ; X) gồm tất cả các hàm đo được u : [0, T ] → X với kukLp (0,T ;X) = Z T 1/p ku(t)kp dt < ∞ với 1 ≤ p < ∞, và 0 kukL∞ (0,T ;X) = ess sup ku(t)k < ∞. 0≤t≤T Định nghĩa 1.2.8. Không gian Lp (0, T ; Lq ) gồm tất cả các hàm đo được u : [0, T ] → Lq với kukLp (0,T ;Lq ) = Z 0 T 1/p ku(t, x)kpLq dt = Z T  Z 0 p/q 1/p |u(t, x)|q dx dt <∞ Ω với 1 ≤ p < ∞, và kukL∞ (0,T ;Lq ) = ess sup ku(t)kLq (Ω) < ∞. 0≤t≤T Định nghĩa 1.2.9. Không gian C([0, T ]; X) gồm tất cả các hàm liên tục u : [0, T ] → X với kukC([0,T ];X) = max ku(t)k < ∞. 0≤t≤T 6 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Định lý 1.2.2. Cho u ∈ Wp1 (0, T ; X) với 1 ≤ p ≤ ∞. Khi đó (i) u ∈ C([0, T ]; X), và Rt (ii) u(t) = u(s) + s u0 (τ )dτ với mỗi 0 ≤ s ≤ t ≤ T . (iii) Hơn nữa, max ku(t)k ≤ CkukWp1 (0,T ;X) , hằng số C chỉ phụ thuộc vào 0≤t≤T T. ◦ Định lý 1.2.3. Giả sử u ∈ L2 (0, T ; H 1 (U )), với u0 ∈ L2 (0, T ; H −1 (U )). (i) Khi đó u ∈ C([0, T ]; L2 (U )). (ii) Ánh xạ t 7→ ku(t)k2L2 (U ) là liên tục tuyệt đối, với d ku(t)k2L2 (U ) = 2 < u0 (t), u(t) > 0 ≤ t ≤ T h.k.n. dt (iii) Hơn nữa, max ku(t)kL2 (U ) ≤ C(kuk ◦ L2 (0,T ;H 1 (U )) 0≤t≤T + ku0 kL2 (0,T ;H −1 (U )) ), hằng số C chỉ phụ thuộc vào T. Định lý 1.2.4. Giả thiết U là mở, bị chặn, ∂U trơn. Cho n là số nguyên không âm. Giả sử u ∈ L2 (0, T ; H m+2 (U )), u0 ∈ L2 (0, T ; H m (U )). (i) Khi đó u ∈ C([0, T ]; H m+1 (U )). (ii) Hơn nữa, max ku(t)kH m+1 (U ) ≤ C(kukL2 (0,T ;H m+2 (U )) + ku0 kL2 (0,T ;H m (U )) ), 0≤t≤T hằng số C chỉ phụ thuộc vào T, U và m. 7 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1.3 1.3.1 Một số bất đẳng thức cơ bản Bất đẳng thức Cauchy với ε b2 ab ≤ εa + 4ε 2 1.3.2 (a, b > 0, ε > 0). Bất đẳng thức Holder Giả thiết 1 ≤ p, q ≤ ∞, ta có : Z 1 1 + = 1. Khi đó nếu u ∈ Lp (U ), v ∈ Lq (U ), p q |uv|dx ≤ kukLp (U ) kvkLq (U ) . U 1.3.3 Bất đẳng thức nội suy đối với chuẩn Lp Giả thiết 1 ≤ s ≤ r ≤ t ≤ ∞ và Ls (U ) ∩ Lt (U ). Khi đó u ∈ Lr (U ) và 1 θ 1−θ = + . Giả sử u ∈ r s t kukLr (U ) ≤ kukθLs (U ) kuk1−θ Lt (U ) . 1.3.4 Bất đẳng thức Gronwall Cho η(.) là một hàm liên tục tuyệt đối, không âm trên [0, T ] và thỏa mãn hầu khắp nơi theo t bất đẳng thức vi phân 0 η (t) ≤ φ(t)η(t) + ψ(t) trong đó φ(t), ψ(t) là các hàm khả tích, không âm trên [0, T ]. Khi đó   Z t Rt η(t) ≤ e 0 φ(s)ds η(0) + ψ(s)ds 0 với mọi 0 ≤ t ≤ T. 8 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1.3.5 Bất đẳng thức Sobolev Giả sử 1 ≤ p < n, 1 1 1 = − . Khi đó tồn tại hằng số C chỉ phụ thuộc p∗ p n vào p và n sao cho: kukLp∗ ≤ CkOukLp (Rn ) . 1.3.6 Bất đẳng thức Hardy - Littlewood Định nghĩa 1.3.1. Nếu f ∈ L1loc (Rn ) thì R 1 1. lim f (y)dy = f (x) xảy ra h.k.n theo x ∈ Rn . Ở r→0 m (B(x, r)) B(x,r) đây B(x, r) là hình cầu tâm x bán kính r > 0 và m (B(x, r)) là độ đo Lebesgue của nó. R 1 B(x,r) f (y)dy . r>0 m (B(x, r)) Toán tử M được gọi là toán tử cực đại Hardy - Littlewood. 2. M f (x) = sup Định lý 1.3.1. Cho f là một hàm đo được xác định trên Rn i. Nếu f ∈ L(Rn ) thì với mọi α > 0 A m ({x : M f (x) > α}) ≤ α Z |f | dx Rn ở đây A là hằng số phụ thuộc vào số chiều n của không gian. ii. Nếu f ∈ Lp (Rn ); 1 ≤ p ≤ ∞ thì hàm M f hữu hạn h.k.n. iii. Nếu f ∈ Lp (Rn ); 1 < p ≤ ∞ thì M f ∈ Lp (Rn ) và kM f kp ≤ Ap kf kp ở đây Ap là hằng số chỉ phụ thuộc vào p và số chiều n. 9 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 2 Nghiệm yếu của hệ phương trình Navier-Stokes Trong chương này trình bày về phương trình Stokes, toán tử Stokes, hệ phương trình Navier - Stokes, sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của hệ phương trình Navier - Stokes. 2.1 Phương trình Stokes Ta ký hiệu V = {ϕ ∈ (C0∞ (Ω))n | divϕ = 0}. H là bao đóng của V trong L2 (Ω)n . V là bao đóng của V trong H01 (Ω)n . Ta có V ⊂ H01 (Ω)n ⊂ L2 (Ω)n → V ⊂ V ⊂ H. 2.1.1 Định nghĩa Cho Ω là tập mở, bị chặn trong Rn , f ∈ L2 (Ω)n . Phương trình Stokes cho vector vận tốc u = (u1 , u2 , ...un ) và đại lượng áp suất p là −ν∆u + O p = f div u = 0 u=0 trong Ω. trong Ω. trên ∂Ω. 10 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (2.1) (2.2) (2.3) Trong đó ν là một hằng số dương. Nếu u, p là các hàm trơn thì tích phân từng phần ta được ν((u, v)) = (f, v), ∀v ∈ V. (2.4) Trong đó ((u, v)) là tích vô hướng ((u, v)) = n X Di uDi v. i=1 Chúng ta nói rằng u là nghiệm yếu của phương trình Stokes (2.1)-(2.3) nếu u ∈ V và ν((u, v)) = (f, v), ∀v ∈ V. 2.1.2 Tính chất Định lý 2.1.1. Cho Ω là tập mở, bị chặn. Khi đó với mỗi f ∈ L2 (Ω)n và ν > 0 tồn tại duy nhất nghiệm yếu của phương trình Stokes (2.1)-(2.3). Định lý 2.1.2. Cho Ω là tập mở, bị chặn của lớp C2 . Khi đó với mỗi f ∈ L2 (Ω)n và ν > 0 tồn tại duy nhất nghiệm u ∈ H 2 (Ω) ∩ V, p ∈ H 1 (Ω) của phương trình Stokes (2.1)-(2.3). Hơn nữa, kukH 2 (Ω) + kpkH 1 (Ω)/R ≤ ckf kL2 (Ω) . 2.2 2.2.1 Toán tử Stokes Định nghĩa Cho Ω là một tập mở, bị chặn trong Rn , ∂Ω thuộc lớp C2 , f ∈ L2 (Ω)n . n Gọi P : L2 (Ω) → H là phép chiếu Helmholtz-Leray. Định nghĩa 2.2.1. Toán tử Stokes được định nghĩa là A : D(A) ⊂ H → H, A = −P∆ , D(A) = H 2 (Ω) ∩ V. 2.2.2 Tính chất Mệnh đề 2.2.1. Toán tử Stokes là đối xứng, tức là (Au, v) = (u, Av), ∀u, v ∈ D(A). 11 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chứng minh. Trước hết giả sử u, v ∈ (C0∞ (Ω))n và div u = div v = 0. Do P u = u, P v = v nên (Au, v) = (u, Av) và ta có Z Z ∂ui ∂vi − (∆ui )vi dx = dx. Ω Ω ∂xj ∂xj Bây giờ, nếu u, v ∈ D(A) tùy ý, ta có thể xấp xỉ chúng trong H 1 (Ω)n bởi một hàm trong V . Nếu u ∈ D(A) và v ∈ V thì hiển nhiên Z Z ∂ui ∂vi − (∆ui )vi dx = dx Ω Ω ∂xj ∂xj đúng. Đặc biệt, (Au, v) = ((u, v)), ∀u, v ∈ D(A). Vì ((u, v)) là đối xứng nên mệnh đề được chứng minh. Chú ý rằng (Au, v) = ((u, v)) đúng với mọi u ∈ D(A), v ∈ V. Định lý 2.2.1. Toán tử Stokes là tự liên hợp. Định lý 2.2.2. Nghịch đảo của toán tử Stokes, A−1 , là toán tử compact trong H. Chứng minh. Cho f ∈ H, A−1 f = u trong đó u là nghiệm duy nhất thuộc H 2 (Ω) ∩ V = D(A) của phương trình Stokes. Ta đã biết A−1 : H → V là bị chặn. Ta có K = A−1 là đơn ánh, compact và tự liên hợp vì < A−1 f, g >=< A−1 f, AA−1 g >=< AA−1 f, A−1 g >=< f, A−1 g > . Do đó tồn tại một dãy các số dương µj > 0, µj+1 ≤ µj và một cơ sở trực giao của H là (wj ) thỏa mãn Kwj = µj wj . Đặt λj = µ−1 j ta có Awj = λj wj (2.5) 0 < λ1 ≤ ... ≤ λj ≤ λj+1 ≤ ... (2.6) lim λj = ∞ (2.7) j→∞ (wj )j=1,2,... là một cơ sở trực giao của H. Mệnh đề 2.2.2. Nếu Ω là bị chặn thuộc lớp C l+2 , l ≥ 0 thì wj ∈ n H l+2 (Ω) . 12 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Định nghĩa 2.2.2. Cho α > 0 là một số thực. Chúng ta định nghĩa toán tử Aα bởi α A (u) = ∞ X λαj uj wj , u= j=1 D(A ) = {u ∈ H | u = ∞ X uj wj , j=1 2.3.1 uj wj , u ∈ D(Aα ). j=1 α 2.3 ∞ X ∞ X 2 λ2α j |uj | < ∞, uj ∈ R}. j=1 Nghiệm yếu của hệ phương trình Navier-Stokes Định nghĩa Cho một miền bị chặn Ω ⊂ Rn và một khoảng [0, T ), 0 < T ≤ ∞ xét hệ phương trình Navier - Stokes sau đây: n ∂ui X ∂ui ∂p + uj = ν4ui − + fi (t, x) ∂t ∂x ∂x j i j=1 div u = n X ∂ui i=1 ∂xi =0 u(0, x) = u0 (x) (x ∈ Ω) (2.8) (2.9) (2.10) (x ∈ Ω ⊂ Rn , 0 < t < T, i = 1, ..., n), u = (u1 , ..., un ). Trong đó f = f (t, x) là hàm cho trước, ui = ui (t, x) và p = p(t, x) là các hàm chưa biết, ν là hằng số dương, biết rằng div u = 0 trong Ω. (2.11) Trước tiên ta xét sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán (2.8) - (2.10). Giả sử u0 ∈ L2 (Ω; Rn ); f ∈ L2 (0, T ; H −1 (Ω; Rn )) .  trong đó L2 (Ω; Rn ) = u : Ω → Rn ; kukL2 (Ω) < ∞ . (2.12) Trong trường hợp bài toán biên Dirichlet ta còn giả thiết thêm u0 · γ = 0 trên ∂Ω (2.13) ở đây γ là vector pháp tuyến ngoài của biên ∂Ω. Điều kiện (2.13) có nghĩa
là u0 thỏa mãn (2.11) và u0 ∈ L2 (Ω; Rn ), u0 · γ ∈ H −1 (∂Ω) . 13 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Định nghĩa 2.3.1. Hàm số u được gọi là nghiệm yếu của hệ (2.8) - (2.10) nếu với mọi φ ∈ C ∞ ([0, T ] × Ω; Rn ) , divφ = 0, supp φ ⊂⊂ [0, T ) × Ω   Z tZ X ∂φ dtdx νDu · Dφ − ui uj ∂j φj − u  ∂t 0 Ω i,j Z t Z = hf, φi −1 ◦1 dt + u0 · φdx (2.14) H 0 ×H Ω 0 div u = 0 trong D ((0, T ) × (Ω)) ◦ Trong trường hợp Ω = Rn ta thay H 1 bởi H 1 . Từ Định nghĩa 2.3.1 suy ra rằng u thỏa mãn (2.8) theo nghĩa các phân bố Schwartz. 2.3.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu của hệ Navier - Stokes Phần nội dung và tóm tắt chứng minh các Định lý 2.3.1 - 2.3.4 có thể tham khảo trong [2]. Định lý 2.3.1. (n = 2, Ω = Rn ). Bài toán (2.8) - (2.10) có duy nhất một nghiệm yếu u với những tính chất sau:
∂u u ∈ L2 (0, T ; H 1 ) ∩ C [0, T ]; L2 , ∈ L2 (0, T ; H −1 ) ∂t Hơn nữa tồn tại duy nhất một trường áp lực p ∈ L2 ((0, T ) × BR ), BR là hình cầu bán kính R với mọi R ∈ (0, ∞) có tính chất Z 2 1 Op ∈ L (0, T ; H ), p dx = 0 h.k.n theo t ∈ (0, T ) BR sao cho (2.8) - (2.10) thỏa mãn theo nghĩa phân bố và Z Z tZ 1 2 |u| dx + ν |Ou|2 dxds 2 2 R2 0 Z Z Rt 1 ≤ |u0 |2 dx + hf (s), u(s)iH −1 ×H 1 ds 2 R2 0 với mọi t ∈ [0, T ]. 14 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (2.15)