Tài liệu Tính chính quy của nghiệm của phương trình monge-ampere phức trong miền lồi

  • Số trang: 54 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 45 |
  • Lượt tải: 0
nhattuvisu

Đã đăng 27125 tài liệu

Mô tả:

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TRƢƠNG THÚY NGA TÍNH CHÍNH QUI CỦA NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG MIỀN LỒI Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN - 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1 Chƣơng 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................. 4 1.1. Hàm đa điều hoà dưới ............................................................................. 4 1.2. Hàm đa điều hoà dưới cực đại ............................................................. 11 1.3. Toán tử Monge-Ampère phức .............................................................. 16 Chƣơng 2. TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG MIỀN LỒI........................ 27 2.1. Tính chính qui của nghiệm của bài toán Dirichlet trong miền siêu lồi ...... 29 2.2. C 1 - ước lượng trong miền lồi ............................................................. 32 2.3. C 2, a - ước lượng và tính chính quy địa phương của toán tử Monge- Ampère. ................................................................................. 35 2.4. Tính chính quy của nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức trong miền lồi ............................................................................. 41 2.5. Tính chính quy của nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức trong đa đĩa................................................................................. 44 KẾT LUẬN .................................................................................................... 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 51 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Bài toán Dirichlet cho các toán tử Monge-Ampère phức thường được xét trên những miền trơn, giả lồi chặt trong £ n . Đối với những toán tử này, sự tồn tại của các nghiệm liên tục yếu đã được Bedford và Taylor chứng minh năm 1976, sự tồn tại của các nghiệm trơn đã được chứng minh bởi L. Caffarelli, J. J. Kohn, L. Nirenberg, và J. Spruck năm 1985; và N. V Krylov năm 1994. Tuy nhiên, ở đây không giả thiết gì về tính chính quy của biên. Theo hướng nghiên cứu trên chúng tôi chọn đề tài: “Tính chính quy của nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức trong miền lồi”. Cụ thể là đối với các C 2 - hàm đa điều hòa dưới trơn, xét phương trình Monge-Ampère phức det (u i j ) = y , ở đây u i j = ¶ 2u / ¶ z i ¶ z j , i, j = 1,..., n . (*) Vấn đề đặt ra ở đây là chỉ ra sự tồn tại C ¥ - nghiệm đa điều hòa dưới u (z ) = 0 , trong đó W là một miền lồi, u của phương trình (*) trong W với zlim ® ¶W bị chặn trong £ n , y là C ¥ - hàm trong W sao cho y > 0 và Dy 1/ n bị chặn. Trong trường hợp đa đĩa, chúng ta sẽ chỉ ra sự tồn tại của C ¥ nghiệm đa điều hòa dưới trong P của phương trình (*) sao cho lim u(z ) = f (z ) với z Î ¶ P , trong đó R là một đa đĩa trong £ n , y là C ¥ z® z hàm trong P sao cho y > 0 và D 2y 1/ n bị chặn và f là C 1,1 - hàm trên biên ¶ P sao cho f là điều hòa dưới trên mỗi đĩa giải tích được nhúng trong ¶ P . Đề tài có tính thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 http://www.lrc-tnu.edu.vn 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của luận văn là trình bày một số kết quả trong việc nghiên cứu tính chính quy của nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức trong miền lồi. 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây: - Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực trị, toán tử Monge-Ampère. - Trình bày một số kết quả về tính chính quy của nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức trong miền lồi. 3. Phƣơng pháp nghiên cứu - Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương pháp của giải tích hàm hiện đại, các phương pháp của lý thuyết thế vị phức. - Kế thừa phương pháp và kết quả của Zbigniew Blocki. 4. Bố cục của luận văn Nội dung luận văn gồm 52 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, toán tử Monge-Ampère. Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả nghiên cứu về tính chính quy của nghiệm của phương trình Monge-Ampère trong miền lồi. Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 http://www.lrc-tnu.edu.vn Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Sở Giáo dục và Đào tạo Lạng Sơn, Trường THPT Cao Lộc - Lạng Sơn cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2012 Tác giả Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Hàm đa điều hoà dƣới 1.1.1. Định nghĩa. Cho W là một tập con mở của £ n và u : W® é- ¥ , ¥ êë ) là một hàm nửa liên tục trên và không trùng với - ¥ trên bất kỳ thành phần liên thông nào của W. Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi a Î W và b Î £ n , hàm l a u(a + l b) là điều hoà dưới hoặc trùng - ¥ trên mỗi thành phần của tập hợp {l Î £ : a + l b Î W}. Trong trường hợp này, ta viết u Î P SH (W) . ( ở đây P SH (W) là lớp hàm đa điều hoà dưới trong W). 1.1.2. Định lý. Cho u : W® éêë- ¥ , ¥ trùng - ¥ ) là một hàm nửa liên tục trên và không trên bất kỳ thành phần liên thông của WÐ £ n . Khi đó u Î P SH (W) khi và chỉ khi với mỗi a Î W và b Î £ n sao cho {a + l b : l } Î £ , l £ 1 Ð W, u(a ) £ l(u;a, b) , ta có trong đó 1 l(u ;a, b) = 2p 2p ò u(a + e b)dt . it 0 Ngoài ra, tính đa điều hoà dưới là một tính chất địa phương. Chứng minh. Phần thứ nhất suy ra trực tiếp từ định nghĩa của hàm đa điều hoà dưới vì l(u;a, b) = L(v;0,1) , trong đó v(l ) = u(a + l b) . Phần thứ hai là hiển nhiên, vì tính điều hoà dưới là tính chất địa phương. Một số tính chất quan trọng của hàm đa điều hoà dưới có thể được suy Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 http://www.lrc-tnu.edu.vn ra từ kết quả tiếp theo. Tương tự như trường hợp của hàm điều hoà dưới, ta gọi nó là Định lý xấp xỉ chính cho hàm đa điều hoà dưới. 1.1.3. Định lý. Cho W là một tập con mở của £ n và u Î P SH (W) . Nếu e > 0 sao cho We ¹ Æ, thì u * l e Ð C ¥ Ç P SH (We )  Hơn nữa, u * l e đơn điệu giảm khi e giảm, và lim u * l e (z ) = u(z ) với mỗi z Î W. e® 0 Phép chứng minh giống như chứng minh của Định lý xấp xỉ chính cho các hàm điều hoà dưới. Trước tiên ta cần Bổ đề sau: 1.1.4. Bổ đề. Cho WÐ £ n là một tập mở và u Î L1loc (W) . Giả sử a Î W, { } b Î £ n , và a + l b : l Î £ , l £ 1 Ð W . Khi đó (l(u ;., b) * c e )(a ) = l(u * c e ;a, b) . (1.1) Chứng minh. Vế trái của (1.1) bằng æ1 ç òn çççè2p £ ö ÷ it ÷ u ( a + e b w ) dt c e ( w)d l ( w) . ÷ ò ÷ ÷ ø 0 2p và do Định lý Fubini, nó bằng vế phải của (1.1). Bây giờ chúng ta có thể chứng minh định lý. Chứng minh. Do [9], Mệnh đề 2.5.2 (i ) , u * l e Î C ¥ (We ) . Định lý 1.1.2 kết hợp với Bổ đề trên, suy ra u * l e Î P SH (We ) . Sử dụng lập luận đó như trong [9], Bổ đề 2.5.3, đối với mỗi biến riêng, ta có thể chứng minh (bằng quy nạp theo j ) ước lượng sau : u *l e ³ 1 ò I (w ,...., w 1 , wj + 1,..., wn )dl ( w1,..., wj - 1, wj + 1,...., wn ) , j- 1 C n- 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 http://www.lrc-tnu.edu.vn trong đó I ( w1,...., wj - 1, wj + 1,..., wn ) = ò u (z 1 + e2w1,....., z j + e2wj , z j + 1 + e1wj + 1,..., z n + e1wn )c ( w)dl ( wj ) , C với 0 £ e2 < e1 và z = (z 1,..., z n ) Î We . Từ đó ta có 1 (u * l e )(z ) ³ (u * l e )(z ) ³ u (z ) . 1 2 Phần còn lại của chứng minh cũng như trong [9], Định lý 2.5.5. Bây giờ chúng ta sẽ nêu vài hệ quả của định lý xấp xỉ chính. 1.1.5. Hệ quả. Cho W và W¢ là những tập mở trong £ n và £ k , tương ứng. Nếu u Î P SH (W) và f : W¢® W là một ánh xạ chỉnh hình, thì u o f là đa điều hoà dưới trong W¢. 1.1.6. Hệ quả. Nếu W là một tập con mở trong £ n , thì P H (W) Ð P SH (W) Ð SH (W) Ð L1loc (W). 1.1.7. Hệ quả. Cho W là một tập con mở trong £ n , và u : W® ¡ là một hàm số. Khi đó u Î P H (W) khi và chỉ khi u và - u là đa điều hoà dưới trong W Vì hàm đa điều hoà dưới là điều hoà dưới nên ta có thể phát biểu vài tính chất khác: 1.1.8. Hệ quả. Nếu u, v Î P SH (W) và u = v hầu khắp nơi trong W, thì u º v. 1.1.9. Hệ quả. Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6 http://www.lrc-tnu.edu.vn bị chặn, tức là nếu W là một tập con mở liên thông bị chặn của £ n và u Î P SH (W) , thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi z Î W, u (z ) < sup lim sup u(y ) . wÎ ¶ W y ® w yÎ W 1.1.10. Định nghĩa. Tập hợp E Ð £ n được gọi là đa cực nếu với mỗi điểm a Î E đều có một lân cận V của a và một hàm u Î P SH (V ) sao cho E ÇV Ð {z Î V : u (z ) = - ¥ }. 1.1.11. Hệ quả. Các tập đa cực có độ đo (Lebesgue) không. Tính đa điều hoà dưới có thể được đặc trưng dưới dạng đạo hàm suy rộng. 1.1.12. Định lý. Nếu WÐ £ n là mở và u Î P SH (W)  thì với mỗi ¶ 2u n b = (b1,..., bn ) Î £ n , å j ,k = 1 ¶ z j¶ z k bj bk ³ 0 trong W, theo nghĩa của đạo hàm suy rộng, tức là ò u(z )áLj (z )b, bðdl (z ) ³ 0, W với hàm không âm j Î C 0¥ (W) tùy ý. Ngược lại, nếu v Î L1loc (W) sao cho với n mọi z Î W, mọi b = (b1,..., bn ) Î £ , n å j ,k = 1 ¶ 2v ¶ z j¶ z k bj bk ³ 0 trong W (1.2), theo nghĩa phân bố, thì hàm u = lim(v * c e ) được xác định tốt, đa điều hoà e® 0 dưới trong W, và bằng v hầu khắp nơi trong W. Chứng minh. Cho u Î P SH (W) và u e = u * c e với e > 0 . Lấy một hàm không âm j Î C 0¥ (W) và một véc tơ b = (b1,..., bn ) Î £ n . Định lý hội tụ trội Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7 http://www.lrc-tnu.edu.vn Lebesgue kết hợp với tích phân từng phần và Định lý xấp xỉ chính suy ra ò u (z )  Lj (z )b, b  dl (z ) = lim e® 0 W ò u (z )  Lj (z )b, b  dl (z ) e W = lim e® 0 ò á Lu (z )b, bðj (z ) dl (z )  0. e W Phần đầu tiên của định lý được chứng minh. Giả sử v Î L1loc (W) và (1.2) được thoả mãn. Đặt v e = v * c e với e > 0 . Khi đó D v ³ 0 trong W, theo ý nghĩa suy rộng. Do [9], Định lý 2.5.8, tồn tại duy nhất hàm điều hoà dưới u trên W trùng với v hầu khắp nơi và u = lim ve . Định lý Fubini và (1.2) suy ra e® 0 ò Lv e (z )b, b j (z ) dl (z )  0, W với mọi b Î £ n , j Î C 0¥ (We ) , j ³ 0 . Bởi vậy Lv e (z )b, b ³ 0 , với mọi z Î We , b Î £ n , và do đó v e Î P SH (We ) . Khi v e < v e nếu e1 < e2 , thì hàm 1 2 giới hạn u là đa điều hoà dưới. 1.1.13. Hệ quả. Cho W là một tập con mở trong £ n . Một hàm u Î C 2(W) là đa điều hoà trong W nếu và chỉ nếu u o T là điều hoà trong T - 1(W) với mỗi đẳng cấu £ - tuyến tính T : £ n ® £ n . 1.1.14. Định lý. Cho W là một tập con mở trong £ n . Khi đó (i ) Họ P SH (W) là nón lồi, tức là nếu a , b là các số không âm và u, v Î P SH (W) , thì a u + b v Î P SH (W) . (ii ) Nếu W là liên thông và {u } j Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8 jÎ ¥ Ð P SH (W) là dãy giảm, thì http://www.lrc-tnu.edu.vn u = lim u j Î P SH (W) hoặc u º - ¥ . j® ¥ (iii ) Nếu u : W® ¡ , và nếu {u j } jÎ ¥ Ð P SH (W) hội tụ đều tới u trên các tập con compact của W, thì u Î P SH (W) . (iv ) Giả sử {u a } aÎ A Ð P SH (W) sao cho bao trên của nó u = sup u a là bị aÎ A chặn trên địa phương. Khi đó hàm chính quy nửa liên tục trên u * là đa điều hoà dưới trong W. 1.1.15. Hệ quả. Cho W là một tập mở trong £ n và w là một tập con mở thực sự khác rỗng của W. Nếu u Î P SH (W) , v Î P SH (w) , và lim v(x ) £ u (y ) x® y với mỗi y Î ¶ w Ç W, thì công thức íï max {u, v } trong w w = ïì ïï u trong W\ w î xác định một hàm đa điều hoà dưới trong W. Cho W là một tập con mở trong £ n . Ta nói rằng một ánh xạ chỉnh hình f : W® £ m là không suy biến trong W nếu trong mỗi thành phần liên thông của W có thể tìm được một điểm z sao cho hạng của ¶ z f là m . 1.1.16. Mệnh đề. Cho f : W® £ m là một ánh xạ chỉnh hình không suy biến trên một tập mở WÐ £ m và W¢là một lân cận mở của f (W) trong £ m . Cho {u } a aÎ A Ð P SH (W¢) sao cho bao trên của nó u = sup u a là bị chặn trên địa aÎ A phương. Khi đó (u o f )* = (u * o f ). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh. Đặt A = {z Î W: det ¶ z f = 0}. Vì z a det ¶ z f là một hàm chỉnh hình, A là đa cực nên theo Hệ quả 1.1.11, A có độ đo Lebesgue bằng không. Hạn chế của ánh xạ f trên W\ A là mở (do Định lý ánh xạ ngược) và liên tục nên ta có: (u o f )* = lim sup {u ( f (z )) : z Î B (a, e)} e® 0 = lim sup {u( w) : w Î f (B (a, e)) } e® 0 = (u * o f )(a ) , với bất kỳ a Î W\ A . Bởi vậy (u o f )* = (u * o f ) hầu khắp nơi trong W. Cũng vậy (u o f )*,(u * o f ) Î P SH (W) . Do đó theo Hệ quả 1.1.8, (u o f )* = (u * o f ) trong W. 1.1.17. Định lý. Cho W là một tập con mở của £ n . (i ) Cho u, v là các hàm đa điều hoà trong W và v > 0 . Nếu f : ¡ ® ¡ là lồi, thì vf (u / v ) là đa điều hoà dưới trong W. (ii ) Cho u Î P SH (W) , v Î P SH (W) , và v > 0 trong W. Nếu f : ¡ ® ¡ là lồi và tăng dần, thì vf (u / v ) là đa điều hoà dưới trong W. (iii ) Cho u, - v Î P SH (W) , u ³ 0 trong W, và v > 0 trong W. Nếu f : éêë0, ¥ )® é0, ¥ êë ) là lồi và f (0) = 0 , thì vf (u / v ) Î P SH (W) . 1.1.18. Định lý. Cho W là một tập con mở của £ n và F = {z Î W: v(z ) = - ¥ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 } http://www.lrc-tnu.edu.vn là một tập con đóng của W ở đây v Î P SH (W) . Nếu u Î P SH (W\ F ) là bị chặn trên, thì hàm u xác định bởi íï u (z ) (z Î W\ F ) ïï u (z ) = ì lim sup u (y ) (z Î F ) ïï y ® z ïî y Ï F là đa điều hoà dưới trong W. Nếu u là đa điều hoà và bị chặn trong W\ F , thì u là đa điều hoà trong W. Nếu W là liên thông, thì W\ F cũng liên thông. 1.2. Hàm đa điều hoà dƣới cực đại 1.2.1. Định nghĩa. Cho W là một tập con mở của £ n và u : W® ¡ là hàm đa điều hoà dưới. Ta nói rằng u là cực đại nếu với mỗi tập con mở compact tương đối G của W, và với mỗi hàm nửa liên tục trên v trên G sao cho v Î P SH (G ) và v £ u trên ¶ G , đều có v £ u trong G. Ký hiệu M P SH (W) là họ tất cả các hàm đa điều hoà dưới cực đại trên W. Sau đây ta sẽ xem xét một số tính chất tương đương của tính cực đại. 1.2.2. Mệnh đề. Cho WÐ £ n là mở và u : W® ¡ là hàm đa điều hoà dưới. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (i ) Với mỗi tập con mở compact tương đối G của W và mỗi v Î P SH (W) , nếu lim sup(u (z ) - v(z )) ³ 0 , với mọi x Î ¶ G , thì u ³ v trong G ; z® x (ii ) Nếu v Î P SH (W) và với mỗi e > 0 tồn tại một tập compact K Ð W sao cho u - v ³ - e trong W\ K , thì u ³ v trong W; (iii ) Nếu v Î P SH (W) , G là một tập con mở compact tương đối của W, và Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 http://www.lrc-tnu.edu.vn u ³ v trên ¶ G thì u ³ v trong G; (iv ) Nếu v Î P SH (W) , G là một tập con mở compact tương đối của W, và lim inf(u (z ) - v(z )) ³ 0, với mỗi x Î ¶ G , thì u ³ v trong G; z® x (v ) u là hàm cực đại. Chứng minh. (i ) Þ (ii ) : Cho v là một hàm đa điều hoà dưới có tính chất: với mỗi e > 0 tồn tại một tập compact K Ð W sao cho u - v ³ - e trong W\ K . Giả sử rằng u(a ) - v(a ) = h < 0 tại một điểm a Î W. Bao đóng của tập hợp íïï ï hü E = ì z Î W: u (z ) < v(z ) + ïý ïîï 2 ïïþ là tập con compact của W. Bởi vậy có thể tìm được tập mở G chứa E và compact tương đối trong G . Theo (i ) ta có u ³ v + h trong G , điều đó mâu 2 thuẫn với a Î E . Phần còn lại được suy ra từ khẳng định: hàm íï max {u (z ), v(z )} (z Î G ) w(z ) = ïì ïï u (z ) (z Î W\ G ) î là đa điều hoà dưới trong W (xem Hệ quả 1.1.16) theo các giả thiết (iii ) , (iv ) , (v ) và (i ) . Tiếp theo chúng ta sẽ xét một lớp quan trọng các hàm cực đại liên tục. Trước hết, chúng ta cần một số định nghĩa. Cho W là một miền bị chặn trong £ n và f Î C (¶ W) . Bài toán Dirichlet suy rộng là tìm một hàm nửa liên tục trên u : W® ¡ sao cho u Î M P SH (W) và u W Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 ¶W º f. http://www.lrc-tnu.edu.vn Cho W là miền bị chặn trong £ n và f Î C (¶ W) . Ta sẽ ký hiệu U(W, f ) là họ của tất cả các hàm u Î P SH (W) sao cho u * £ f trên ¶ W, trong đó u * (z ) = lim sup u ( w) , với mọi z Î W. w® z wÎ W Đặt y W, f (z ) = sup {u (z ) : u Î U(W, f )}, z Î W. Hàm y W, f (z ) được gọi là hàm Perron - Bremermann đối với W và f . Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng y W, f (z ) là nghiệm của bài toán Dirichlet suy rộng khi W là một hình cầu Euclid. 1.2.3. Định lý. Cho f Î C (¶ B ) , trong đó B = B (a, r ) là một hình cầu mở trong £ n . Khi đó hàm y xác định bởi íï y (z ) (z Î B ) y (z ) = ïì B , f ïï f (z ) (z Î ¶ B ) î là một nghiệm của bài toán Dirichlet suy rộng đối với tập B và hàm f . Hơn nữa, y là liên tục. Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng a = 0 . Giả sử h là nghiệm của bài toán Dirichlet cổ điển đối với B và f . Vì hàm đa điều hoà dưới là điều hoà dưới, nên suy ra y B , f £ h trong B theo nguyên lý cực đại đối với hàm điều hoà dưới. Do h liên tục trong B , nên ta có ( y B , f )* £ h trong B . Đặc biệt, điều đó có nghĩa là ( y B , f )* Î U(B , f ) và như vậy ( y B , f )* º y trong B Þ y Î P SH (B ) . Để hoàn thành chứng minh kết luận thứ nhất của định lý, ta chỉ cần chứng minh ( y B , f )* ³ f trên ¶ B . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 http://www.lrc-tnu.edu.vn Ta sẽ chứng minh một tính chất mạnh hơn: với z 0 Î ¶ B bất kỳ, thì lim inf y B , f (z ) ³ f (z 0 ) . z ® z0 zÎ B Thật vậy, lấy z 0 Î ¶ B và e > 0 . Chứng minh sẽ được hoàn thành nếu ta có thể tìm được một hàm liên tục v : B ® ¡ sao cho v B Î U (B , f ) và v(z 0 ) = f (z 0 ) - e . Điều đó có thể đạt được bằng cách định nghĩa v(z ) = c éêRe z , z 0 - r 2 ù + f (z 0 ) - e , ú ë û trong đó c > 0 là hằng số, được chọn để v £ f trên ¶ B . (Chú ý rằng biểu thức trong dấu móc vuông là âm trên B \ {z 0 }). Từ đó với mỗi z 0 Î ¶ B , ta có lim y (z ) = y (z 0 ) , (1.3) z ® z0 zÎ B tức là y liên tục tại mỗi điểm biên. Tính cực đại của y là hiển nhiên. Thực vậy, nếu G là một tập con mở compact tương đối của B , v : G ® éêë- ¥ , ¥ v G ) là nửa liên tục trên, Î P SH (W) và v £ y trên ¶ G , thì hàm íï max {v, y } V = ïì ïï y î zÎG zÎ B\G thuộc U(B , f ) Þ V £ y . Đặc biệt, v £ y trong G . (điều phải chứng minh) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 http://www.lrc-tnu.edu.vn Để chứng minh rằng y là liên tục, chỉ cần chứng tỏ nó nửa liên tục dưới. Thật vậy, lấy e > 0 . Khi ¶ B là compact, y B = f là liên tục đều. Điều đó r kết hợp với (1.3) suy ra tồn tại d = (0, ) sao cho nếu z Î B , w Î ¶ B , và 2 z - w < 3d , thì y (z ) - y ( w) < e . 2 (1.4) Với bất kỳ y Î B (0, d) , đặt íï max {y (z ), y (z + y ) - e} (z Î B Ç (- y + B ) H y (z ) = ïì . ïï y (z ) (z Î B \ (- y + B ) î Ta sẽ chứng minh rằng H y B Î U (B , f ) . Thật vậy vì B (0, r - d) Ð B Ç (- y + B ) = B (0, r ) Ç B (- y, r ) nên H y Î P SH (B (0, r - d )) là lớn nhất trong hai hàm đa điều hoà dưới. Mặt khác, H y = y trong B \ B (0, r - 2d) . Thực vậy, theo định nghĩa H y (z ) ta có H y (z ) = y (z ), z Î B \ (- y + B ) . Nếu z Î (B Ç (- y + B )) \ B (0, r - 2d) , thì ta chọn z 0 Î ¶ B sao cho z - z 0 < 2d . Ta có z + y - z 0 < 3d và do đó theo (1.4) y (z ) - y (z 0 ) < e 2 và Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 y (z + y ) - y (z 0 ) < e . 2 http://www.lrc-tnu.edu.vn Như vậy y (z ) ³ y (z + y ) - e Hy = f trên ¶ B Þ Þ H y (z ) = y ( z ) Þ H y Î P SH (B ) và H y Î U (B , f ) Þ H y £ y . Từ đó nếu z , w Î B và z - w < d , thì y (z ) ³ H w- z (z ) ³ y (z + w - z ) - e = y ( w) - e . Vậy y là nửa liên tục dưới. (điều phải chứng minh). 1.3. Toán tử Monge-Ampère phức Cho u là đa điều hoà dưới trên miền WÐ £ n . Nếu u Î C 2 (W) thì toán tử: n é ¶u ù ú := dd u Ù ... Ù dd u = 4 n !det êê dV , ú 1444444442 444444443 êë¶ z j ¶ z k ú û1£ j ,k £ n n (dd u ) ( c c ) ( ) c n với dV là yếu có thể tích trong C n gọi là toán tử Monge-Ampère. Toán tử này có thể xem như độ đo Radon trên W, tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact C 0 (W) trên W ( c ò j dd u C 0 (W) ' j a n ) . W Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hoà dưới bị chặn địa phương trên W thì tồn tại dãy {u n } n> 1 ïí un ] u và ì dd cu n ïîï ( Ð P SH h (W) Ç C ¥ sao cho n ïü ) ïýïþï hội tụ yếu tới độ đo Radon m trên W tức là: lim ò j dd cun ( n W n ) = ò j d m, " j Î C 0 (W). W Hơn nữa m không phụ thuộc vào việc chọn dãy {u n } như trên, ta ký hiệu: (dd c u )n = m và gọi là toán tử Monge-Ampère của u . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Sau đây chúng ta sẽ xem xét một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampère, phần cuối của mục này là nguyên lý so sánh được dùng trong chương 2. 1.3.1. Mệnh đề. Nếu y Î C ¥p, p là (p, p ) - dạng lớp C ¥ trên tập mở WÐ £ n ( ) và T là (q, q ) - dòng với p + q = n - 1 thì ( y Ù dd cT n ) - dd y ÙT c ( ) = d y Ù d cT - d c y ÙT . Chứng minh. Ta có: ( ) d y Ù d cT - d c y ÙT = d y Ù d cT + y Ù dd cT - dd c y ÙT + d c y Ù dT . Nhưng p + q + 1 = n nên d y Ù d cT = i (¶ y + ¶ y ) Ù (¶ T - ¶ T ) = i (¶ y Ù ¶ T - ¶ y Ù ¶ T + ¶ y Ù ¶ T - ¶ y Ù ¶ T ). = i (¶ y Ù ¶ T - ¶ y Ù ¶ T ) = - d c y Ù dT ( ) Do đó d y Ù d cT - d c y ÙT = y Ù dd cT - dd c y ÙT . Từ mệnh đề trên và dùng công thức Stokes đối với dòng ta có: nếu T là (q, q) (n - dòng trên tập mở WÐ £ n y Î C 0,¥ n - q- 1,n - q- 1 (W) ( ) và q - 1, n - q - 1) - dạng lớp C ¥ với hệ số trong D(W) thì ò y Ù dd T - ò dd y ÙT c W c = W ò d (y Ùd T c d c y ÙT ) W = ò y Ùd T c d c y ÙT = 0 . ¶W Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 http://www.lrc-tnu.edu.vn là ò y Ùdd T = ò dd y ÙT Vậy dd cT , y = c W Giả sử T u Î P SH (W) Ç L (W). (1.5) W (q, q) là dòng dương có bậc ¥ loc = T , dd c y . c Khi đó T = å J,K T JK trên tập mở WÐ £ n và æi ÷ öq çç ÷ dz Ù dz với T là JK J K ÷ çè2 ÷ ø các độ đo phức trên W. Vậy từ u Î P SH (W) Ç L¥loc (W) nên u là hàm khả tích đối với các T J K . Do đó uT = å J ,K uT JK æi ÷ öq çç ÷ dz Ù dz là (q, q ) - dòng ÷ K çè2 ø ÷ J với hệ số độ đo. Ta đưa ra định nghĩa sau: dd cu ÙT = dd c (uT ). Từ (1.5) ta có ò dd u ÙT Ù y c = dd cu ÙT , y = dd c (uT ), y = uT , dd c y W = ò uT Ù dd c y , W đúng cho mọi y Î C 0,¥ n - q- 1,n - q- 1 (W). ( ) { } là dãy các độ đo Radon trên tập mở WÐ 1.3.2. Mệnh đề. Giả sử mj hội tụ yếu tới độ đo Radon m . Khi đó a) Nếu G Ð W là tập mở thì m(G ) £ lim inf mj (G ) . j® ¥ b) Nếu K Ð W là tập compact thì m(K ) ³ lim sup mj (K ) . j® ¥ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 http://www.lrc-tnu.edu.vn ¡ n
- Xem thêm -