Tài liệu Tính chất parametrix của lớp toán tử giả vi phân loại elliptic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 LÊ HỒNG QUÂN TÍNH CHẤT PARAMETRIX CỦA LỚP TOÁN TỬ GIẢ VI PHÂN LOẠI ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 LÊ HỒNG QUÂN TÍNH CHẤT PARAMETRIX CỦA LỚP TOÁN TỬ GIẢ VI PHÂN LOẠI ELLIPTIC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Bùi Kiên Cường Hà Nội, 2017 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Cấu trúc luận vă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Dự kiến đóng góp của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Chương 1. Một số khái niệm và kết quả chuẩn bị . . . . . . . . 6 1.1. Hàm trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Tích phân Lebesgue và không gian Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4. Không gian các hàm số giảm nhanh S(Rn ) . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5. Không gian Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6. Phép biến đổi Fourier ngược và công thức Parseval. . . . . . . . 18 1.7. Hàm suy rộng tăng chậm và biến đổi Fourier. . . . . . . . . . . . . . 20 Chương 2. Tính chất parametrix của lớp toán tử giả vi phân elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1. Biểu trưng và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2. Về hợp thành các toán tử giả vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3. Tích phân dao động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4. Biểu trưng kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5. Sự hợp thành của hai toán tử giả vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.6. Các toán tử giả vi phân elliptic và parametrix . . . . . . . . . . . . 42 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Lời cảm ơn Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Bùi Kiên Cường đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành luận văn này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán, các thầy cô phòng Sau đại học và các thầy cô của trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại trường. Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp. Hà Nội, tháng 6 năm 2017 Tác giả Lê Hồng Quân Lời cam đoan Dưới sự hướng dẫn của TS. Bùi Kiên Cường luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài "Tính chất Parametrix của một lớp toán tử giả vi phân elliptic" được hoàn thành bởi sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác. Trong khi nghiên cứu và viết luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Tôi cũng xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 06 năm 2017 Tác giả Lê Hồng Quân Các kí hiệu N tập số tự nhiên R tập số thực C tập số phức d(x, y) khoảng cách giữa hai phần tử x và y {xn }∞ n=1 dãy số thực hoặc phức C[a,b] tập tất cả các hàm số giá trị thực liên tục trên đoạn [a, b] B (a, r) hình cầu mở tâm a bán kính r B (a, b) hình cầu đóng tâm a bán kính r x chuẩn của vectơ x bd(S) biên của S conv(S) bao lồi của S Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Một trong những ý tưởng hàng đầu trong lý thuyết toán tử giả vi phân là đưa việc nghiên cứu các tính chất của một toán tử đạo hàm riêng tuyến tính α cα (x)∂x P = |α|≤m có dạng một đa thức theo các đạo hàm ∂x = (∂x1 , ........, ∂xn ) với các hệ số cα không đổi phụ thuộc x thành nghiên cứu biểu trưng của nó được ký hiệu bởi cα (x)(iζ)α , p(x, ζ) = |α|≤m Đó là một đa thức theo biến ζ ∈ Rn với các hệ số phụ thuộc vào biến không gian x. Khi đó câu hỏi đặt ra là những tính chất của toán tử vi phân P (x, Dx ) - chẳng hạn là tính khả nghịch - có liên hệ như thế nào đối với các tính chất của biểu trưng p(x, ζ). Công cụ chủ yếu trong lý thuyết này là biến đổi Fourier e-ix.ζ f (x)dx, ζ ∈ Rn F[f ] (ζ) := f (ζ) := (1) Rn được xác định đối với các hàm phù hợp f : Rn → C. Ở đây, (1) có thể diễn tả bởi tích vô hướng của hàm f (x) và hàm x → eix.ζ eix.ζ dx = (f, eix.ζ )L2 (Rn ) F[f ] (ζ) := f (ζ) := Rn 2 với ζ ∈ Rn cố định, ở đó (·, ·) là tích vô hướng trên L2 (Rn ) . Vì thế f (ζ) có thể được hiểu như là sự đóng góp của dao động phức x → eix.ζ để thành một hàm theo biến ζ = (ζ1 , ......., ζn ) ∈ Rn mô tả tần số của dao động. Biết biến đổi Fourier g(ζ) = f (ζ) của hàm f có thể được xây dựng lại nhờ sự giúp đỡ của biến đổi Fourier ngược F −1 [g] (x) := 1 (2π)n ix.ζ e g(ζ)dζ Rn thật vậy có F −1 [F [f ]] ≡ F −1 [f ] = f. Ở đây F −1 [g] có thể diễn tả bởi tổ hợp tuyến tính nhỏ của x → eix.ζ cùng hệ số g(ζ) (và nhân tử điều chỉnh 1 n (2π) ). Sử dụng công thức đảo: α cα (x)∂x Pu = |α|≤m = cα (x) |α|≤m = 1 (2π)n Ở đây ta sử dụng ∂xj e ix.ζ 1 (2π)n 1 (2π)n e ix.ζ ix.ζ e u(ζ)dζ ˆ Rn (iζ)α e ix.ζ u(ζ)dζ ˆ Rn p(x, ζ)ˆ(ζ)dζ u Rn ix.ζ = iζj e ix.ζ α và vì thế ∂x e = (iζ)α e ix.ζ . Từ đây thúc đẩy cho định nghĩa biểu trưng p(x, ζ) của P . Tiếp theo cho p(x, ζ) = p(ζ) là độc lập với x ∈ Rn thì: Pu = F −1 [p(ζ)ˆ] = F −1 [p(ζ)F [u]] u Vì thế P áp dụng vào u như là phép nhân của u(ζ) qua biểu trưng p(ζ) ˆ . Đó là gợi ý cho phép nghịch đảo của P tương ứng cho phép nhân 1 p(ζ) 3 với hàm nằm trong phép hàm biến đổi Fourier. Vì thế ta định nghĩa: ˆ Qf := F −1 p(ζ)−1 f (ζ) = 1 (2π)n eix.ζ Rn 1 ˆ f (ζ)dζ p(ζ) với giả thiết p(ζ) = 0 với mọi ζ ∈ Rn . Khi đó thì ˆ F [Qf ] = p(ζ)−1 f (ζ) vì FF −1 = I (Công thức nghịch đảo) và vì thế: ˆ ˆ P Qf = F −1 [p(ζ)F [Qf ]] = F −1 p(ζ)p(ζ)−1 f = F −1 f (ζ) = f tức là Q là ngược của P. Dĩ nhiên, Q không là toán tử vi phân, nó thuộc vào lớp toán tử giả vi phân, mà ta định nghĩa bởi q(x, Dx )f := 1 (2π)n ˆ eix.ζ q(x, ζ)f (ζ)dζ Rn trong đó q(x, ζ) là một hàm thích hợp và không nhất thiết là một đa thức trong ζ. Trong trường hợp hệ số của P phụ thuộc trong x, biến đổi ngược của P là không dễ dàng. Nếu ta định nghĩa tương tự như trường hợp hệ số không đổi: Qf := 1 (2π)n eix.ζ Rn 1 ˆ f (ζ)dζ p(x, ζ) thì P Qf = 1 (2π)n P Rn eix.ζ 1 ˆ f (ζ)dζ p(x, ζ) Bởi vì trong quy tắc nhân: P eix.ζ p(x, ζ) = (P eix.ζ ) 1 1 +r(x, ζ) = p(x, ζ) +r(x, ζ) = 1+r(x, ζ) p(x, ζ) p(x, ζ) 4 ở đó số dư r(x, ζ) bao gồm số hạng trong đó 1 p(x,ζ) là khả vi theo biến x ít nhất là một lần. Vì thế P Qf = I + r(x, Dx ) trong đó r(x, Dx ) = 0 nếu p(x, ζ) là không độc lập với x. Nhưng trong một nghĩa nào đó r(x, Dx ) có bậc thấp (bậc nhỏ hơn 0) và không đóng vai trò quan trọng. Đến nay các dự đoán đã được thực hiện chính thức và được chính xác hóa và chứng minh một cách đầy đủ, tạo thành lý thuyết, gọi là lý thuyết giả vi phân. Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi trình bày các kết quả nghiên cứu sự hợp thành, tính chất parametrix của toán tử giả vi phân elliptic. 2. Mục đích nghiên cứu + Hệ thống hóa được những kiến thức cơ bản về một số không gian hàm liên quan đến lý thuyết toán tử giả vi phân. + Trình bày các tính chất cơ bản nhất của lý thuyết toán tử giả vi phân, đặc biệt là trình bày về tính chất parametrix của lớp toán tử giải vi phân elliptic. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Làm một báo cáo tổng quan thể hiện đầy đủ mục đích nghiên cứu, nội dung và phương pháp nghiên cứu. Báo cáo có thể là một tài liệu tham khảo tốt cho những người quan tâm về lý thuyết toán tử giả vi phân elliptic. 5 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Các không gian hàm, các phép biến đổi trên không gian hàm: biến đổi Fourier,... + Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu trong và ngoài nước liên quan đến các đối tượng nghiên cứu. 5. Phương pháp nghiên cứu + Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm, phương pháp nghiên cứu lý thuyết để tiếp cận vấn đề. + Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các tài liệu trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới. 6. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm hai chương , cụ thể gồm các chương như sau: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương 2: Tính chất parametrix của lớp toán tử giả vi phân elliptic. 7. Đóng góp của đề tài Luận văn là một công trình nghiên cứu tổng quan về lý thuyết toán tử giả vi phân trên Rn , đặc biệt là tính chất parametrix của lớp toán tử giả vi phân elliptic. Chương 1 Một số khái niệm và kết quả chuẩn bị 1.1. Hàm trong Rn Trong phần này chúng tôi tóm tắt các sự kiện đã được biết về phép tính vi phân trong Rn . Tiếp theo, N chúng ta sẽ kí hiệu là tập tất cả các số tự nhiên không bao gồm số 0 và N0 := N ∪ {0}. Hơn nữa, R và C tương ứng kí hiệu cho các số thực và số phức. Hằng số xuất hiện trong bất đẳng thức thường được kí hiệu là C đôi khi được đánh dấu bởi một chỉ số. Ví dụ Cα kí hiệu cho C phụ thuộc vào α. Trong dãy các bất đẳng thức, tất cả hằng số đơn giản là kí hiệu cho C, mặc dù nó có thể thay đổi từ dòng này sang dòng tiếp theo. Chúng ta sẽ sử dụng các đa chỉ số, một đa chỉ số là một vec tơ α = (α1 , ....., αn ) ∈ Nn . Với α ∈ Nn chúng ta định nghĩa độ dài của α là 0 0 |α| = α1 + ..... + αn và giai thừa của nó α! = α1 !.....αn ! Đa chỉ số được sử dụng để viết các đa thức cho x ∈ Nn và α ∈ Nn 0 0 ta định nghĩa xα = xα1 ......xαn . Khi đó xα là một là một đa thức có bậc n 1 |α| và một đa thức tùy ý p : Rn → C có bậc m ∈ Nn có thể viết bởi: 0 cα xα với hệ số cα ∈ C. Ở đây, p(x) = |α|≤m là ký hiệu của phép lấy |α|≤m 7 tổng đối với tất cả đa chỉ số α ∈ Nn có độ dài |α| ≤ m. Hơn nữa, nếu 0 α, β ∈ Nn ta viết α ≤ β nếu và chỉ nếu αj ≤ βj với mọi j = 1, . . . .., n. 0 Hệ số nhị thức được định nghĩa bởi:   α α!  = β!(α − β)! β nếu β ≤ α ngược lại   α  =0 β Dễ dàng kiểm tra qua:       α α α   =  1  ......  n  . β β1 βn Sử dụng ký hiệu và mối quan hệ cơ bản:       n n n+1  + =  k k+1 k+1 với n, k ∈ N0 , ta có thể chứng minh bằng quy nạp:   α   xβ y α−β (x + y)α = β β≤α với mọi x, y ∈ Rn , tổng quát hóa công thức nhị thức đã biết trong một chiều. Nhớ lại không gian C k (Rn ) bao gồm tất cả các hàm khả vi k lần f : Rn → C hoặc f : Rn → R cùng các đạo hàm liên tục đến cấp k và C ∞ (Rn ) = k∈N C k (Rn ). Nếu α ∈ Nn và u ∈ C |α| (Rn ) thì ta định nghĩa: 0 α ∂x u(x) = ∂ |α| α αn u(x). ∂x11 .....∂xn 8 α α Nếu u phụ thuộc nhiều biến số, chẳng hạn x và y, ∂x u và ∂y u kí hiệu cho đạo hàm tương ứng với x, y. Sử dụng các quy tắc của vi phân, ta có thể chứng minh công thức Leibniz sau:   α α   (∂ β u)(x)(∂ α−β v)(x) ∂x (uv)(x) = β β≤α (1.1) với mọi α ∈ Nn và u, v ∈ C |α| (Rn ). 0 Tiếp theo, ta nhắc lại công thức Taylor. Định lý 1.1. (Công thức Taylor) Cho u ∈ C k (Rn ), k ∈ N thì với mọi x, y ∈ Rn ta có: u(x + y) = |α| n . Thì x ∈ L1 (Rn ) và (1 + |x|)−s ∈ L1 (Rn ) Chúng ta sẽ sử dụng định lý đổi biến trong các trường hợp sau: Rn (Φ(x) |detDΦ(x)| dx = Rn f (y)dy cho tất cả f ∈ L1 (Rn ) và C 1 - vi đồng phôi Φ : Rn → Rn . Đặc biệt, chúng ta có: (Ax + b) |det A| dx = Rn f (y)dy Rn với mọi f ∈ L1 (Rn ), b ∈ Rn và A ∈ Rn×n mà det A = 0. Chúng ta sử dụng không gian Lp (Rn ), 1 ≤ p < ∞ bao gồm tất cả hàm số đo được f : Rn → C , sao cho f p |f (x)|p := 1 p < ∞. Rn Toàn bộ không gian này là không gian Banach (được đồng nhất các hàm liên tục hầu khắp nơi). Chúng ta chủ yếu nghiên cứu với không gian Hilbert L2 (Rn ); chuẩn của nó được tính nhờ tích vô hướng f 2 = (f, f ) (f, g) ≡ (f, g)L2 (Rn ) = f (x)g(x)dx Rn Tích L2 −vô hướng sẽ đóng một vai trò cơ bản. 12 ∞ Một không gian con quan trọng trong không gian Lp (Rn ) là C0 (Rn ) là bộ tất cả hàm f : Rn → C trơn vô hạn với giá compact supp f := {x ∈ Rn : f (x) = 0} . ∞ Bổ đề 1.2. Cho 1 ≤ p < ∞ Thì C0 (Rn ) là một trù mật trong Lp (Rn ). ∞ Tức là cho mọi f ∈ Lp (Rn ) là một dãy fk ∈ C0 (R n ) khi lim f − fk k→∞ ∞ 0. Như vậy C0 (Rn ) . p p = = Lp (Rn ) 1.3. Biến đổi Fourier Cho f ∈ L1 (Rn ). Chúng ta có biến đổi Fourier của f bởi e−ixξ f (x)dx f (ξ) := F [f ] (ξ) := (1.4) Rn vói ξ ∈ Rn . Vì e−1xξ f (x) = |f (x)| với mọi ξ ∈ Rn , ta có e−1xξ f (x) ∈ L1 (Rn ) đối với x và (1.4) được xác định. Bổ đề 1.3. Chúng ta có các tính chất cơ bản sau: b 1. F : L1 (Rn ) → Ca (Rn ) là 1 ánh xạ tuyến tính sao cho b F [f ] Ca (Rn ) ≤ f L1 (Rn ) . 2. Nếu f : Rn → C là 1 khả vi liên tục sao cho f ∈ L1 (Rn ) và ∂i f ∈ L1 (Rn ) thì F ∂xj f = iξi F [f ] = iξj f . (1.5) 3. Nếu f ∈ L1 (Rn ) sao cho xj f ∈ L1 (Rn ) thì f (ξ) là có đạo hàm riêng liên tục đối với ξj và ∂ξj f (ξ) = F [−ixj f (x)] . (1.6) 13 4. Cho f ∈ L1 (Rn )và (τy f )(x) := f (x + y), y ∈ Rn , kí hiệu các phép tịnh tiến của f dọc véc tơ −y. Khi đó F [τy f ] (ξ) = eiyξ f (ξ) với ξ ∈ Rn 5. Nếu f, g ∈ L1 (Rn )thì f (ξ)g(ξ) = F [f ∗ g] . Trong đó f (x − y)g(y)dy f ∗ g(x) := Rn là tích chập của f và g. 6. Cho f ∈ L1 (Rn ) và cho (pε f )(x) := f (εx), ε > 0, kí hiệu các phép giãn của f bởi ε. Khi đó F [pε f ] (ξ) = ε−n f (ξ/ε) = ε−n pε−1 f (ξ). Nếu f ∈ L1 (Rn ) là khả vi liên tục và ∂i f ∈ L1 (Rn ) với mọi j = 1, . . . , n thì f (ξ) và ξj f (ξ) là hàm số bị chặn. Vì thế (1 + |ξ|) f (ξ) ≤ C ⇔ f (ξ) ≤ C 1 + |ξ| nghĩa là f (ξ) triệt tiêu như |ξ|−1 khi |ξ| → ∞. α Nhìn chung, nếu f ∈ C k (Rn ) thỏa mãn ∂x f ∈ L1 (Rn ) với mọi |α| ≤ k thì chúng ta có thể hiện sau: f (ξ) ≤ C (1 + |ξ|)k tóm lại, tính khả vi của f suy ra sự triệt tiêu cấp đa thức f khi |ξ| → ∞ Mặt khác, nếu (1 + |x|)k f (x) ∈ L1 (Rn ) cho 1 số k ∈ N, chúng ta áp dụng Bổ đề 1.3 liên tục để kết luận rằng f ∈ C k (Rn ) Hơn nữa phân rã nhanh hơn của f (x) khi |x| → ∞ xảy ra đối với tính khả vi cao hơn của f .