Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Tính chất của không gian cầu trường được....

Tài liệu Tính chất của không gian cầu trường được.

.PDF
37
129
86

Mô tả:

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN NGUYỄN VĂN TRUNG TÍN TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN CẦU TRƯỜNG ĐƯỢC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Ngành học: SƯ PHẠM TOÁN HỌC Giảng viên hướng dẫn: TS. LƯƠNG QUỐC TUYỂN Đà Nẵng, Nåm 2018 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN ———————— NGUYỄN VĂN TRUNG TÍN TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN CẦU TRƯỜNG ĐƯỢC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY Ngành: Sư phạm Toán học GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: TS. LƯƠNG QUỐC TUYỂN Đà Nẵng - Năm 2018 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 4 1 Kiến thức chuẩn bị 7 1.1 Không gian tô pô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Lân cận, cơ sở lân cận và cơ sở của không gian tôpô 9 1.1.2 Bao đóng của tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Ánh xạ mở, ánh xạ đóng và phép đồng phôi . . . . . . . 13 1.4 Không gian con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 Không gian compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6 Không gian chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Tính chất của không gian cầu trường được 16 2.1 Định nghĩa và một số kết quả liên quan . . . . . . . . . . 16 2.2 Kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển LỜI CẢM ƠN Trong thời gian thực hiện đề tài, tuy gặp không ít khó khăn nhưng nhờ sự giúp đỡ từ phía thầy cô, gia đình, bạn bè cùng với sự nỗ lực của bản thân, em đã tự tìm tòi, học hỏi nhiều kiến thức bổ ích cho bản thân và hoàn thành khóa luận này. Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS. Lương Quốc Tuyển và anh Ông Văn Tuyên đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ và động viên em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận này. Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả quý thầy cô giáo đã tận tình dạy bảo em trong suốt thời gian học tập của mình dưới mái trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng. Em xin chân thành cảm ơn! Đà Nẵng, tháng 05 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Văn Trung Tín Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Trang 2 Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển DANH MỤC KÝ HIỆU Trong toàn bộ khóa luận này, khi cho các không gian X, G thì ta hiểu rằng X, G là các không gian tôpô và em quy ước tất cả các không gian là T1 , còn các khái niệm và thuật ngữ khác nếu không nói gì thêm thì được hiểu thông thường. N Tập hợp các số nguyên dương R Tập hợp các số thực A\B Hiệu của hai tập hợp A ∩ B Giao của hai tập hợp A ∪ B Hợp của hai tập hợp f ◦g |A| Phép hợp thành hai ánh xạ Số phần tử của tập hợp A Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Trang 3 Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Năm 1936, G. Birkhoff đã giới thiệu nhóm tôpô ([4]). Sau đó, M. M. Choban đã giới thiệu không gian cầu trường được và V. V. Uspenskij chứng minh được rằng mọi nhóm tôpô đều là không gian cầu trường được, nhưng tồn tại một không gian cầu trường được không phải là một nhóm tôpô ([5,9]). Từ đó đến nay, rất nhiều kết quả liên quan đến không gian này được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu (xem [6, 7, 8]). Tuy nhiên, khái niệm không gian cầu trường được còn khá xa lạ với nhiều sinh viên khoa Toán. Mặt khác, số lượng các tính chất của không gian này còn khá khiêm tốn so với những không gian khác. Hiện nay, còn khá nhiều câu hỏi mở vẫn chưa được giải đáp trong [3, 4, 6]. Với mong muốn cung cấp khái niệm, một số tính chất cơ bản, đồng thời nêu lên một số tính chất mới của không gian này, dưới sự hướng dẫn của TS. Lương Quốc Tuyển, em chọn đề tài khóa luận: Tính chất của không gian cầu trường được. II. MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI Giới thiệu về không gian cầu trường được, đồng thời chứng minh chi tiết một số định lý và bổ đề liên quan, để từ đó trong phần Kết quả chính đưa ra các tính chất mới của không gian cầu trường được và chứng minh tính đúng đắn của chúng. III. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, bố cục khóa luận của em bao gồm hai chương: Chương 1 của khóa luận trình bày một số kiến thức chuẩn bị về không gian tôpô, như định nghĩa không gian tôpô, lân cận, cơ sở lân cận và cơ sở của không gian tôpô; định nghĩa và các định lý của ánh xạ liên tục, ánh xạ mở, ánh xạ đóng và phép đồng phôi. Chương 2 của khóa luận trình bày các định nghĩa và bổ đề liên Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Trang 4 Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển quan, để từ đó trong phần kết quả chính, em nêu ra một số kết quả mới mà em nghiên cứu được về không gian cầu trường được. IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Khóa luận của em chủ yếu sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết. Đồng thời, nghiên cứu kết quả của các tác giả đi trước để đưa ra các kết quả mới. V. BỐ CỤC CỦA ĐỀ TÀI Mở đầu. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian tôpô 1.1.1. Lân cận, cơ sở lân cận và cơ sở của không gian tôpô 1.1.2. Bao đóng của tập hợp 1.2. Ánh xạ liên tục 1.3. Ánh xạ mở, ánh xạ đóng. Phép đồng phôi. 1.4. Không gian con 1.5. Không gian compact 1.6. Không gian chính quy. Chương 2. Tính chất của không gian cầu trường được 2.1. Một số định nghĩa và kết quả liên quan 2.2. Kết quả chính Kết luận. VI. ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI 1. Đề tài góp phần cung cấp khái niệm và một số tính chất cơ bản của không gian cầu trường được. 2. Đề tài trình bày một số tính chất mới của không gian cầu trường được. Điều này được thể hiện ở Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.2 và Định lý 2.2.4. Những tính chất này đã góp phần làm sáng tỏ mối liên hệ giữa tập đóng và tập compact trong không gian này, đồng thời làm rõ tính Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Trang 5 Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển chất đếm được thứ nhất của không gian con cầu trường được. Các kết quả này là cơ sở quan trọng để nhận được hai bài báo: [1] Ông Văn Tuyên và Nguyễn Văn Trung Tín (2017), “Một số tính chất mới của không gian cầu trường được”, Tạp chí Khoa học và Giáo dục - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, to accept. [2] Ông Văn Tuyên và Nguyễn Văn Trung Tín (2017), “Tính chất đếm được thứ nhất của không gian con cầu trường được”, Tạp chí Khoa học và Giáo dục - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng. Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Trang 6 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, em sẽ trình bày một số kiến thức chuẩn bị về không gian tôpô như định nghĩa, lân cận, cơ sở lân cận và cơ sở của không gian tôpô, bao đóng của tập hợp. Đồng thời, em còn đề cập tới định nghĩa và định lý liên quan tới ánh xạ liên tục, ánh xạ đóng, ánh xạ mở, phép đồng phôi và không gian compact, không gian chính quy, nhằm phục vụ cho việc chứng minh các bổ đề và định lý trong Chương 2. 1.1 Không gian tô pô Định nghĩa 1.1.1 [10] Cho một tập X. Một họ τ các tập con của X gọi là một tôpô trên X nếu thỏa mãn các điều kiện: (1) X và ∅ thuộc τ ; (2) Hợp tùy ý các tập thuộc τ là thuộc τ ; (3) Giao hữu hạn các tập thuộc τ là thuộc τ. Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển Một tập X cùng một tôpô trên X gọi là một không gian tôpô. Để chỉ rõ τ là tôpô của của không gian tôpô X, ta viết (X, τ ). Cho (X, τ ) là không gian tôpô. Tập U ∈ τ được gọi là một tập mở của X. Tập con F của X được gọi là một tập đóng nếu X\F là tập mở. Nhận xét 1.1.1 Từ định nghĩa ta có các nhận xét sau: 1. ∅, X là các tập mở; 2. Hợp tùy ý các tập mở là tập mở; 3. Giao hữu hạn các tập mở là tập mở. Ví dụ 1.1.1 Với mọi tập X, P (X) = {U : U ⊂ X} là một tôpô trên X, gọi là tôpô rời rạc. Tập X cùng với tôpô rời rạc gọi là không gian rời rạc. Ví dụ 1.1.2 Với mọi tập X, τ = {∅, X} là một tôpô trên X, gọi là tôpô thô. Ví dụ 1.1.3 Cho X là một tập. Một hàm d : X 2 −→ R là một mêtric trên X nếu thỏa mãn các điều kiện: (1) d(x, y) ≥ 0; d(x, y) = 0 ⇔ x = y; (2) d(x, y) = d(y, x); (3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Trang 8 Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển Một tập X cùng với một mêtric d trên X gọi là không gian mêtric (X, d); d(x, y) gọi là khoảng cách từ x đến y. Với mỗi a ∈ X và ε > 0, đặt B(a, ε) = {x ∈ X|d(x, a) < ε}, B(a, ε) gọi là hình cầu mở tâm a bán kính ε. Tập con G của X là mở nếu với mọi a ∈ G tồn tại ε > 0 sao cho B(a, ε) ⊂ G. Với mọi không gian mêtric (X, d), họ các tập mở theo mêtric d là một tôpô trên X. Tôpô này gọi là tôpô sinh bởi mêtric d. Không gian mêtric luôn được coi là không gian tôpô với tôpô sinh bởi mêtric. 1.1.1 Lân cận, cơ sở lân cận và cơ sở của không gian tôpô a) Lân cận: Định nghĩa 1.1.2 Cho X là một không gian tôpô và x ∈ X , A ⊂ X. Khi đó: ∗ Tập con U của X được gọi là một lân cận của tập A nếu tồn tại tập mở V sao cho A ⊂ V ⊂ U. ∗ Nếu lân cận U của A là tập mở thì U được gọi là lân cận mở của A. ∗ Nếu A = {x} thì U được gọi là lân cận của x. Nhận xét 1.1.2 ∗ Nếu tập U là mở thì U là lân cận của mọi điểm Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Trang 9 Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển thuộc nó. ∗ Nếu U , V là hai lân cận của x thì U ∩ V là lân cận của x. ∗ Nếu U là lân cận của x và U ⊂ V thì V cũng là lân cận của x. ∗ Tập A là mở khi và chỉ khi với mọi điểm x ∈ A, tồn tại lân cận Vx của x sao cho x ∈ Vx ⊂ A. b) Cơ sở lân cận: Định nghĩa 1.1.3 Cho X là một không gian tôpô và x ∈ X. Một họ Ux các lân cận của x được gọi là một cơ sở lân cận của điểm x nếu với mọi lân cận V của x đều tồn tại một lân cận U ∈ Ux sao cho U ⊂ V. Chú ý 1.1.1 Không gian tôpô X gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất nếu mọi điểm x ∈ X đều có cơ sở lân cận đếm được. c) Cơ sở của tôpô: Định nghĩa 1.1.4 Cho (X, τ ) là một không gian tôpô. Một họ con B của τ được gọi là một cơ sở của τ nếu mọi tập thuộc τ đều bằng hợp của một họ các tập thuộc B. Nói cách khác, họ con B của τ là cơ sở của τ nếu với mọi U ∈ τ và với mọi x ∈ U, tồn tại V ∈ B sao cho x ∈ V ⊂ U. Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Trang 10 Khóa luận tốt nghiệp 1.1.2 Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển Bao đóng của tập hợp Định nghĩa 1.1.5 Cho A là tập con của không gian tôpô X. Khi đó, giao tất cả các tập đóng chứa A được gọi là bao đóng của A. Kí hiệu: A hoặc Cl(A) Mệnh đề 1.1.1 Một số tính chất của bao đóng tập hợp: • Bao đóng của A luôn tồn tại; • A là tập đóng nhỏ nhất chứa A; • Nếu A ⊂ B thì A ⊂ B; • A ∪ B = A ∪ B; • A ∩ B ⊂ A ∩ B; • (A) = A; • Tập A đóng khi và chỉ khi A = A Định lý 1.1.1 Cho A là tập con của không gian tôpô X và x ∈ X. Khi đó, điểm x ∈ A nếu và chỉ nếu với mọi lân cận mở U của x, ta có U ∩ A 6= ∅. Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Trang 11 Khóa luận tốt nghiệp 1.2 Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển Ánh xạ liên tục Định nghĩa 1.2.1 Cho X , Y là các không gian tôpô và ánh xạ f : (X, τ ) → (Y, σ). Ánh xạ f được gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ X nếu với mọi lân cận (mở) U của f (x0 ) trong Y đều tồn tại lân cận (mở) V của x0 trong X sao cho f (V ) ⊂ U. Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X. Định lý 1.2.1 Cho X , Y là các không gian tôpô và ánh xạ f : (X, τ ) → (Y, σ). Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (1) f liên tục trên X. (2) Tạo ảnh của tập mở trong Y là tập mở trong X. f −1 (U ) ∈ τ, ∀U ∈ σ. (3) Tạo ảnh của tập đóng trong Y là tập đóng trong X. (4) f (A) ⊂ f (A), ∀A ⊂ X. (5) f −1 (B) ⊂ f −1 (B), ∀B ⊂ Y. Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Trang 12 Khóa luận tốt nghiệp 1.3 Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển Ánh xạ mở, ánh xạ đóng và phép đồng phôi Định nghĩa 1.3.1 Cho X , Y là các không gian tôpô và ánh xạ f : (X, τ ) → (Y, σ). Khi đó, ? f được gọi là ánh xạ mở nếu mọi tập mở U trong X, f (U ) là tập mở trong Y. Nói cách khác, ánh xạ f được gọi là mở nếu f (U ) ∈ σ, ∀U ∈ τ. ? f được gọi là ánh xạ đóng nếu mọi tập đóng F trong X, f (F ) là tập đóng trong Y. ? Ánh xạ f được gọi là phép đồng phôi nếu f là song ánh và f, f −1 liên tục. Định lý 1.3.1 Cho f : (X, τ ) → (Y, σ) là một song ánh, liên tục. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương: (i) f là phép đồng phôi; (ii) f là ánh xạ mở; (iii) f là ánh xạ đóng. Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Trang 13 Khóa luận tốt nghiệp 1.4 Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển Không gian con Định nghĩa 1.4.1 Cho (X, τ ) là không gian tôpô và A là một tập con của X. Khi đó, họ τA = {U ∩ A|U ∈ τ } là một tôpô trên A, gọi là tôpô cảm sinh bởi tôpô trên X. Không gian (A, τA ) gọi là không gian con của không gian tôpô X. Định lý 1.4.1 Cho (A, τA ) là không gian con của (X, τ ), E ⊂ A. Khi đó, E đóng trong (A, τA ) khi và chỉ khi tồn tại tập F đóng trong (X, τ ) sao cho E = A ∩ F. 1.5 Không gian compact Định nghĩa 1.5.1 [10] Cho (X, τ ) là không gian tôpô, A ⊂ X. Khi đó, tập con A được gọi là tập compact nếu mọi phủ mở của A trong X đều có phủ con hữu hạn. Không gian tôpô X gọi là không gian compact nếu X là tập compact. Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Trang 14 Khóa luận tốt nghiệp 1.6 Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển Không gian chính quy Định nghĩa 1.6.1 [10] Cho (X, τ ) là không gian tôpô. Khi đó, X được gọi là không gian chính quy nếu với mọi điểm x ∈ X và với mọi tập con F đóng trong X không chứa x, tồn tại các lân cận U của x, V của F sao cho U ∩ V = ∅. Định lý 1.6.1 Cho (X, τ ) là không gian tôpô. Khi đó, X là không gian chính quy khi và chỉ khi với mọi điểm x ∈ X và với mọi lân cận mở U của x, tồn tại lân cận mở V của x sao cho x ∈ V ⊂ V ⊂ U. Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Trang 15 Chương 2 Tính chất của không gian cầu trường được Trong chương này, em sẽ trình bày một số định nghĩa và kết quả của không gian cầu trường được, để từ đó nêu ra một số kết quả mới của không gian này mà em nghiên cứu được. Đặc biệt, trong phần này có các kết quả mới như Định lý 2.2.1, 2.2.2 và 2.2.4 đã được nhận đăng trong hai bài báo [1] và [2]. 2.1 Định nghĩa và một số kết quả liên quan Định nghĩa 2.1.1 [3] Nhóm tôpô G là một nhóm G với một tôpô trên G sao cho ánh xạ tích p : G × G → G xác định bởi p(x, y) = xy Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển và ánh xạ ngược q : G → G xác định bởi q(x) = x−1 với mọi x, y ∈ G là liên tục. Định nghĩa 2.1.2 [6] Không gian G được gọi là không gian cầu trường được nếu tồn tại một phép đồng phôi ϕ : G × G → G × G và một phần tử e ∈ G sao cho π1 ◦ ϕ = π1 và với mỗi x ∈ G ta có ϕ(x, x) = (x, e). Trong đó, π1 : G × G → G là phép chiếu lên tọa độ thứ nhất. Khi đó, phép đồng phôi ϕ được gọi là một phép cầu trường trên G và e được gọi là phần tử đơn vị phải của G. Định lý 2.1.1 [9] Nếu G là nhóm tôpô thì G là không gian cầu trường được. Chứng minh. Giả sử G là nhóm tôpô với phần tử đơn vị e và xét các ánh xạ ϕ : G × G → G × G xác định bởi ϕ(x, y) = (x, xy −1 ) và ϕ1 : G×G → G×G xác định bởi ϕ1 (x, y) = (x, y −1 x). Khi đó, để chứng minh G là không gian cầu trường được ta sẽ chứng minh ϕ là phép đồng phôi thỏa mãn π1 ϕ = π1 và ϕ(x, x) = (x, e). Trước tiên, ta chứng minh ϕ là phép đồng phôi. Thật vậy, (1) Với mọi x, y ∈ G, ta có ϕϕ1 (x, y) = ϕ(x, y −1 x) = (x, x(y −1 x)−1 ) = (x, xx−1 y) = (x, y) và ϕ1 ϕ(x, y) = ϕ1 (x, xy −1 ) = (x, (xy −1 )−1 x) = (x, yx−1 x) = (x, y). Do đó, ϕϕ1 = 1G2 và ϕ1 ϕ = 1G2 . Như vậy, ϕ là một song ánh. Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Trang 17 Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển (2) Với mọi x, y ∈ G và ϕ(x, y) = (x, xy −1 ), ta sẽ chứng minh ánh xạ ϕ liên tục. Thật vậy, giả sử U là lân cận mở của (x, xy −1 ). Khi đó, tồn tại U1 , U2 lần lượt là lân cận mở của x, xy −1 sao cho U1 × U2 ⊂ U. Bởi vì U2 là lân cận mở của xy −1 nên tồn tại V1 , V2 lần lượt là lân cận mở của x, y −1 sao cho V1 V2 ⊂ U2 . Hơn nữa, vì G là nhóm tôpô nên tồn tại V3 là lân cận mở của y sao cho V3−1 ⊂ V2 . Do vậy, V1 V3−1 ⊂ V1 V2 ⊂ U2 . Bây giờ, nếu đặt V = V1 ∩ U1 , thì V lân lân cận mở của x, V × U2 ⊂ U1 × U2 ⊂ U và V V3−1 ⊂ V1 V3−1 ⊂ U2 . Do đó, ϕ(V, V3 ) = V × (V V3−1 ) ⊂ V × U2 ⊂ U. Như vậy, ánh xạ ϕ liên tục. Chứng minh tương tự ta cũng có ϕ1 là ánh xạ liên tục. Như vậy, ánh xạ ϕ là phép đồng phôi. Tiếp theo, ta chứng minh π1 ϕ = π1 . Thật vậy, với mọi x, y ∈ G, π1 ϕ(x, y) = π1 (x, xy −1 ) = x. Do đó, π1 ϕ = π1 . Cuối cùng, với mọi x ∈ G, ϕ(x, x) = (x, xx−1 ) = (x, e). Nhận xét 2.1.1 [6] Nếu G là nhóm tôpô thì G là không gian cầu trường được. Tuy nhiên điều ngược lại không đúng. Định lý 2.1.2 [6] Không gian G là cầu trường được khi và chỉ khi tồn tại hai ánh xạ liên tục p : G × G → G và q : G × G → G sao cho với bất kỳ x ∈ G, y ∈ G, tồn tại e ∈ G thỏa mãn p(x, q(x, y)) = q(x, p(x, y)) = y và q(x, x) = e. Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Trang 18
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan

Tài liệu vừa đăng