Tài liệu Tìm số hạng tổng quát của dãy số bằng phương pháp sai phân

  • Số trang: 22 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 598 |
  • Lượt tải: 0
dangvantuan

Đã đăng 62512 tài liệu

Mô tả:

TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ BẰNG PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN I-Phƣơng trình sai phân bậc nhất:  x0  const . Tìm số hạng tổng quát của dãy số? ax n+1  bxn  0 Dạng 1: Cho dãy số {xn} :  2 n b b b Từ công thức truy hồi ta có : xn     .xn1     .xn2  ....................     .x0  a  a  a n b Khi đó công thức tổng quát (CTTQ) của dãy số được xác định bởi : xn  x0 .    .  a x  5 Thí dụ : Cho dãy số {xn} được xác định bởi :  0 .  xn 1  3xn  0 , n   Tìm số hạng tổng quát của dãy số. Giải: Từ công thức truy hồi ta có : xn  3xn1  32 xn2  .................  3n x0 hay xn  5.3n .  x0 , với Pk (n) là đa thức bậc k của n. ax n+1  bxn  Pk (n) Dạng 2: Cho dãy số {xn} :  Tìm số hạng tổng quát của dãy số ? b a Giải: Xét phương trình đặc trưng : a  b  0     . Đối với dạng này ta xét thêm một giá trị xn* gọi là nghiệm riêng của phương trình sai phân. Khi đó số hạng tổng quát của dãy được xác định bởi : xn  c. n  xn* . Trong đó nghiệm riêng xn* được xác định như sau :  Nếu a + b ≠ 0 thì nghiệm riêng xn*  Qk (n) thay vào phương trình ta được: a.Qk (n  1)  b.Qk (n)  Pk (n) . Đồng nhất hệ số ta tìm được Qk (n) .  Nếu a + b = 0 thì nghiệm riêng xn*  n.Qk (n) thay vào phương trình ta được: a(n  1).Qk (n  1)  bn.Qk (n)  Pk (n) . Đồng nhất hệ số ta tìm được n.Qk (n) . x  7 Thí dụ 1: Cho dãy số {xn} :  0 .Tìm số hạng tổng quát xn . 2   xn 1  2 xn  3n  4n  5 , n   . Giải: Xét phương tình đặc trưng   2  0    2 . Ta có : a + b = 1 – 2 = -1 ≠ 0 nên nghiệm riêng pt có dạng : xn*  an2  bn  c . Thay xn* vào pt, ta được : a(n  1)2  b(n  1)  c  2an2  2bn  2c  3n2  4n  5   an2  (2a  b)n  a  b  c  3n2  4n  5 . Đồng nhất hệ số hai vế ta được : a  3 a  3   2a  b  4  b  10 a  b  c  5 c  18    xn*  3n 2  10n  18 . CTTQ của số hạng trong dãy : xn  c.2n  3n2  10n 18 . Từ x0  7  c 18  7  c  25. Suy ra xn  25.2n  3n2  10n  18 .  x0  5 . Tìm CTTQ của xn.  xn 1  xn  4n  5 , n   . Thí dụ 2: Cho dãy số {xn} :  Giải: Xét phương trình đặc trưng  1  0    1. Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 Ta có : a + b = 1 – 1 = 0 nên nghiệm riêng của pt có dạng xn*  n(an  b)  an2  bn . xn* vào pt, ta được : a(n  1)2  b(n  1)  an2  bn  4n  5 .  2an  a  b  4n  5 . Đồng nhất hệ số hai vế ta được :  2a  4 a  2   xn*  2n2  3n .  a  b  5 b  3 Số hạng tổng quát của dãy có dạng : xn  c  2n2  3n . Từ x0  5  c  5. Suy ra xn  2n2  3n  5.  x0 ax n+1  bxn  d (d  const) , n   . Dạng 3: Cho dãy số {xn} :    b  n  d      1 n b  a       xn     .x0   Khi đó số hạng tổng quát của dãy số là :   b    a a     1   a     xn  x0  nd neu a  b  0. neu a  b  0.  x0  5 . Tìm CTTQ của xn . x  x  6 ,  n   . n  1 n  Thí dụ 1: Cho dãy số {xn} :  Giải: Từ công thức truy hồi ta có : xn  xn1  6  xn2  2.6  xn3  3.6  .......  x0  6n hay xn  6n  5 .  x0  3 . Tìm CTTQ của xn .  xn 1  8 xn  4 , n   Thí dụ 2: Cho dãy số {xn} :  Giải: Từ công thức truy hồi, ta có : xn  8 xn 1  4  8 8 xn 2  4   4  82.xn 2  4 8  1  82.xn 2  4. 82  1 8n  1  ........  8n.x 0 4. . 8 1 8 1 Suy ra xn  3.8n  . 8n  1  4 7 25 n 4 .8  . 7 7 x Dạng 4: Cho dãy số {xn} :  0 . Tìm CTTQ của xn. n ax  bx  d .  ,  n    n  n 1 b Giải: Xét phương trình đặc trưng : a  b  0      q. a  Nếu    thì nghiệm riêng của phương trình xn*  c. n thay vào pt, ta được : a.c. n 1 d d n d n *  b.c.  d .  c   xn   a  b a  b a   q  n n Số hạng tổng quát của dãy : xn  c1.q n  xn*  c1.q n   do b  qa  . d n . a   q    n d d d d n d  n  qn n  c1  x0   xn   x0  . q   x . q  . 0  a(  q) a(  q) a(  q)  a(  q) a  q   Nếu    thì nghiệm riêng của phương trình xn*  cn n thay vào pt, ta được : d d d ac(n  1) n1  bcn n  d n  c    (do q   ) . a(n  1)  bn a(n  1)  aqn aq Từ x0  c1  Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 Suy ra xn*  dnq n dnq n1 .  aq a dnq n 1 Số hạng tổng quát của dãy : xn  c1.q  x  c1.q  . a dnq n 1 Từ x0  c1  xn  x0 .q n  . a  d qn   n neu q    . a q  n Vậy từ trên ta có : xn  x0 .q   . d  .nq n 1 neu q    a n * n n x  5 Thí dụ 1: Cho dãy số {xn} :  0 n   xn 1  3xn  2.5 , n   . Tìm CTTQ của xn . b a Ta có :   q    3 ; d  2 ;   5. Vì q   nên ta có số hạng tổng quát của dãy sẽ là : d qn   n 3n  5n xn  x0 .q n  .  5.3n  2.  4.3n  5n. a q  35 x  2 Thí dụ 2: Cho dãy {xn} :  0 . Tìm CTTQ của xn. n   xn 1  3xn  5.3 , n   b Ta có:   q    3 ;   3 ; d  5. Vì q   nên ta có số hạng tổng quát của dãy sẽ là : a d xn  x0 .q n  .nq n 1  2.3n  5n.3n 1  (5n  6).3n 1 . a x Dạng 5: Cho dãy số {xn} :  0 . Xác định n n n (1) , n    axn 1  bxn  d11  d 2 2  .....  d k k sô hạng tổng quát của dãy trên. Gọi xn*1 là nghiệm riêng của phương trình axn1  bxn  d11n xn*2 là nghiệm riêng của phương trình axn1  bxn  d2 2n ................................................................................... *k xn là nghiệm riêng của phương trình axn1  bxn  dk kn . Khi đó nghiệm riêng của phương trình (1) sẽ là xn*  xn*1  xn*2  ....  xn*k . b Khi đó số hạng tổng quát xn  c. n  xn*      .  a x  2 Thí dụ: Cho dãy {xn} :  0 . Tìm CTTQ của xn. n n   xn 1  2 xn  3.2  5.7 (*) , n   . Giải: Xét phương trình đặc trưng :   2  0    2.  Do 1   nên nghiệm riêng xn*1  d1n.2n , thay vào phương trình, ta được : 3 d1 (n  1).2n1  2d1n.2n  3.2n  d1   xn*1  3n.2n1 . 2 *2  Do  2   nên nghiệm riêng xn  d2 .7n , thay vào phương trình, ta được : d2 .7n1  2d2 .7n  5.7n  d2  1  xn*2  7n . Số hạng tổng quát xn  c.2n  xn*1  xn*2  c.2n  3n.2n1  7n Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 Từ x0  2  c  1  2  c  1. Suy ra xn  2n  3n.2n1  7n . x Dạng 6: Cho dãy số {xn} :  0 n  axn 1  bxn  Pk (n)  d , n   Ta gọi xn*1 là nghiệm riêng của axn1  bxn  Pk (n) . Tìm CTTQ của xn. xn*2 là nghiệm riêng của axn1  bxn  d n . Công thức tổng quát của dãy số được xác định là xn  c. n  xn*1  xn*2 . Từ giá trị của x0 ta tìm được giá trị c. x  3 Thí dụ: Cho dãy số {xn} :  0 n   xn 1  5 xn  3n  2  2.3 , n   Giải: Xét Phương trình đặc trưng :   5  0    5. . Tìm CTTQ của xn. 3 4 Gọi xn*1 là nghiệm riêng của phương trình xn1  5xn  3n  2  xn*1   n  11 . 16 xn*2 là nghiệm riêng của phương trình xn1  5xn  2.3n  xn*2  3n . 3 11 Số hạng tổng quát của dãy cho bởi: xn  c. n  xn*  c.5n  n   3n . 4 16 11 75 75 3 11 Từ x0  3  c   1  3  c  . Suy ra xn  .5n  n   3n. 16 16 16 4 16 II-Phƣơng trình sai phân bậc hai: Dạng 1: Dạng thuần nhất và có phương trình đặc trưng bậc hai tồn tại nghiệm thực.  x0 ; x1 . Tìm CTTQ của xn. axn  2  bxn 1  cxn  0 , n   Cho dãy số {xn} :  Xét phương trình đặc trưng a 2  b  c  0 (1) .  Phương trình (1) có nghiệm 1 ; 2 (1  2 ) thì số hạng tổng quát có dạng : xn  c1.1n  c2 .2n . Từ x0 ; x1 ta tìm được c1 và c2.  Phương trình (1) có nghiệm 1  2   thì số hạng tổng quát có dạng : xn  (c1  nc2 ). n . Từ x0 ; x1 ta tìm được c1 và c2.  x0  2; x1  5. . Tìm CTTQ của xn .  xn  2  5 xn 1  6 xn , n   . Thí dụ 1: Cho dãy {xn} :  Giải: Xét phương trình đặc trưng  2  5  6  0  1  2  2  3. Số hạng tổng quát của dãy có dạng xn  c1.2n  c2 .3n .  x0  2 c1  c2  2 c  1   1 . Suy ra xn  2n  3n . 2c1  3c2  5 c2  1  x1  5 Từ   x0  3; x1  10. . Tìm CTTQ của xn .  xn  2  4 xn 1  4 xn , n   . Thí dụ 2: Cho dãy {xn} :  Giải: Xét phương trình đặc trưng  2  4  4  0  1,2  2. Số hạng tổng quát của dãy có dạng xn  (c1  nc2 ).2n .  x0  3 c  3 c  2  2  1 . Suy ra xn  (2n  3).2n . 2( c  c )  10 c  3 x  10  1 2  2  1 Từ  Dạng 2: Dạng thuần nhất và phương trình đặc trưng vô nghiệm thực. Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201  x0 ; x1 . Tìm CTTQ của xn . axn  2  bxn 1  cxn  0 , n   Cho dãy số {xn} :  Xét phương trình đặc trưng a 2  b  c  0 (2) . Ta có phương trình (2) không tồn tại nghiệm thực, khi đó số hạng tổng quát của dãy có dạng : xn  r n (c1cosn +c2 sin n ) . Trong đó r  A2  B 2 ;   arctan  b B với A   ; B  . A 2a 2a Từ hai giá trị x0 và x1 ta tìm được c1 và c2.  x  1 ; x1  3 3  1 Thí dụ: Cho dãy số {xn} :  0 . Tìm CTTQ của xn .   xn  2  2 xn 1  16 xn , n   . Giải: Xét phương trình đặc trưng  2  2  16  0 co   22  16  12  0 . Suy ra phương trình sai phân không có nghiệm thực.  b B  1 ; B   3 và r  A2  B 2  2 ;   arctan  . 2a 2a A 3 n  n Khi đó số hạng tổng quát của xn có dạng : xn  2n  c1cos  c2 sin  . 3 3   c1  1  x0  1 c  1  n n      c1 c2 3   1 . Suy ra xn  2n  cos  3sin Từ  3 3    x1  3 3  1 2  2  2   3 3  1 c2  3    x ; x Dạng 3: Cho dãy số {xn} :  0 1 . Tìm CTTQ của xn. axn  2  bxn 1  cxn  d , n   Đặt A    .  Gọi xn* là nghiệm riêng của phương trình. Khi đó nghiệm riêng xn* được xác định như sau: d  *  xn  a  b  c khi a  b  c  0   x*  dn khi a  b  c  0 ; 2a  b  0 .  n 2a  b   xn*  n(n  1) d khi a  b  c  0 ; 2a  b  0.  2a Xét phương trình đặc trưng, xét nghiệm của phương trình đặc trưng như các trường hợp trên. Kết hợp với nghiệm riêng ta có được công thức của x n.  x0  4 ; x1  1 . Tìm CTTQ của xn. 2 xn  2  5 xn 1  2 xn  3 , n   Thí dụ 1: Cho dãy số {xn} :  1 2 d 3   3 . Do a+b+c ≠ 0 nên nghiệm riêng của phương trình xn*  a bc 25 2 1 Số hạng tổng quát của dãy số : xn  c1.2n  c2 . n  3 . 2 c  c  3  4  x0  4  1 2 c  3 1   1 . Suy ra xn  3.2n  n  2  3 . Từ  c2 2 2c1   3  1 c2  4  x1  1   2 Xét phương trình đặc trưng : 2 2  5  2  0  1  2  2  . Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 89   x0  5; x1  Thí dụ 2: Cho dãy số {xn} :  . Tìm số hạng tổng quát xn. 5  xn  2  7 xn 1  6 xn  11, n   Giải: Xét phương trình đặc trưng  2  7  6  0  1  1  2  6. dn 11n 11 Do a+b+c=0 và 2a+b ≠ 0 nên nghiệm riêng xn*     n. 2a  b 2  7 5 11 Số hạng tổng quát của dãy có dạng xn  c1  c2 .6n  n , n   . 5  x0  5 c1  c2  5 c1  2 11   Từ  . Suy ra xn  2  3.6n  n . 11 89   89   5 c1  6c2   x1  c2  3  5 5 5    x  3; x1  2 Thí dụ 3: Cho dãy {xn} :  0 . Xác định công thức tổng quát xn.  xn  2  2 xn 1  xn  6 , n   Giải: Xét phương trình đặc trưng  2  2  1  0  1,2  1. d  3n(n  1). 2a Số hạng tổng quát của dãy là : xn  c1  nc2  3n(n  1) , n   . Có a+b+c=0 và 2a+b=0 nên nghiệm riêng xn*  n(n  1)  x0  3 c2  3 c  1   1 . c2  3  x1  2 c1  c2  2 Từ  Suy ra xn  3n2  4n  3 , n   . x ; x Dạng 4: Cho dãy số {xn} :  0 1 n  axn  2  bxn 1  cxn  dq , n   . . Xác định CTTQ của xn. Gọi xn* là nghiệm riêng của phương trình sai phân trên. Khi đó nghiệm riêng này được xác  * dq n  xn  aq 2  bq  c khi q  1  q  2 .   * ndq n 1 khi q  1  q  2 . đinh như sau :  xn  . 2aq  b   * d n2 khi q  1  2 .  xn  n(n  1) .q 2a  Xét phương trình đặc trưng, lập công thức nghiệm và ta có được công thức xn.  x  2 ; x1  5 Thí dụ 1: Cho dãy số {xn} :  0 . Lập công thức tính xn. n   xn  2  8 xn 1  15 xn  3.4 , n   Giải: Xét phương trình đặc trưng :  2  8  15  0  1  3  2  5. dq n 3.4n   3.4n . Ta có q  1  q  2 nên nghiệm riêng của phương trình x  2 aq  bq  c 16  32  15 n n n Số hạng tổng quát của dãy là : xn  c1.3  c2 .5  3.4 , n   . * n  x0  2 c1  c2  3  2 c  4   1 . Suy ra xn  4.3n  5n  3.4 n , n   . 3c1  5c2  12  5 c2  1  x1  5 Từ   x  8 ; x1  5. Thí dụ 2: Cho dãy số {xn} :  0 . Tìm CTTQ của xn . n   xn  2  11xn 1  28 xn  6.7 , n   . Giải: Xét phương trình đặc trưng  2  11  28  0  1  4  2  7. Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 ndq n1 6n.7n1   2n.7n1. 2aq  b 2.1.7  11 n n Số hạng tổng quát của dãy có dạng : xn  c1.4  c2 .7  2n.7n1 . Ta có: q  2 nên nghiệm riêng của phương trình xn*   x0  c1  c2  8 c  10  1 . Suy ra xn  10.4n  2.7 n  2n.7 n 1 , n   .  x1  4c1  7c2  2  28 c2  2 Từ   x  4 ; x1  5. Thí dụ 3: Cho dãy {xn} :  0 n   xn  2  10 xn 1  25 xn  2.(5) , n   . Giải: Xét phương trình đặc trưng  2  10  25  0  1  2  5 . . Tìm CTTQ của xn. d n2 .q  n(n  1).(5)n2 . 2a Số hạng tổng quát của dãy : xn   c1n  c2  .(5)n  n(n  1).(5)n , n   . Ta có q  1  2 nên nghiệm riêng của phương trình xn*  n(n  1) Từ  x0  c2  4 c  3  1 . Suy ra xn  (3n  4).(5) n  n(n  1).(5) n  (n 2  76n  100).(5) n n   .   x1  5(c 1 c2 )  5 c2  4 x ; x Dạng 5: Cho dãy số {xn} được xác định bởi :  0 1 với Pk (n) axn  2  bxn 1  cxn  Pk (n) , n   . là đa thức bậc k theo n. Xác định số hạng tổng quát của dãy số. Nghiệm riêng xn* cua phương trình đượ xác định như sau:  xn*  Qk (n) khi a  b  c  0.  *  xn  nQk (n) khi a  b  c  0  2a  b  0.  x*  n 2Q (n) khi a  b  c  0  2a  b  0. k  n Xác định công thức tổng quát theo trình tự các bước như đã trình bày ở các ví dụ trên.  x  31 ; x1  60. Thí dụ : Cho dãy số {xn} :  0 . Tìm CTTQ của xn. n   xn  2  7 xn 1  10 xn  8n  12n  14, n   . Giải: Xét phương trình đặc trưng của dãy :  2  7  10  0  1  2  2  5. Ta có : a+b+c ≠ 0 nên nghiệm riêng của phương trình xn*  an2  bn  c . Thay vào công thức truy hồi, tiến hành đồng nhất hệ số ta được : xn*  2n2  8n  15 . Số hạng tổng quát của dãy : xn  c1.2n  c2 .5n  2n2  8n  15.  x0  c1  c2  15  31 c  15  1 . Suy ra xn  15.2n  5n  2n2  8n  15, n   . c  1 x  2 c  5 c  25  60  2  1 1 2 Từ  x ; x Dạng 6: Cho dãy xác định bởi {xn} :  0 1 n  axn  2  bxn 1  cxn  Pk (n). , n   . .Tìm CTTQ xn. Nghiệm riêng xn* của phương trình dạng này được xác định như sau :  xn*  Qk (n). n khi   1    2 .  * n  xn  n.Qk (n). khi   1    2 . Từ đây tìm được công thức tổng quát cảu xn.  x*  n 2 .Q (n). n khi      . k 1 2  n  x  5; x1  18. Thí dụ: Cho dãy {xn} :  0 n2   xn  2  6 xn 1  9 xn  2(3n  1).3 , n   . . Xác định công thức xn. Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 Giải: Xét phương trình đặc trưng  2  6  9  0  1  2  3. Ta có   1  2 nên nghiệm riêng của pt xn*  n2  an  b  .3n . Thay xn* vào công thức truy hồi, rút gọn và đồng nhất hệ số, ta được xn*   n3  2n2  .3n . Số hạng tổng quát của dãy là xn  (c1n  c2 ).3n  (n3  2n2 ).3n , n   .  x0  c2  5 c  2  1 . Suy ra xn  (2n  5).3n  (n3  2n 2 ).3n   n3  2n 2  2n  5  .3n . c  5 x  3( c  c )  3  18  2  1 1 2 Từ  Dạng 7: Cho dãy số được xác định bởi {xn} :  x0 ; x1. . Xác định số hạng tổng quát của dãy trên.  axn  2  bxn 1  cxn   .cosn + sinn , n   . Đối với phương trình dạng này, nghiệm riêng của nó có dạng : xn*  Acosn +Bsinn . Thay xn* vào công thức truy hồi để xác định được hai hệ số A và B. Thí dụ: Cho dãy {xn} : được xác định bởi :  x0  4 ; x1  4  2  . Tìm số hạng tổng quát của dãy.  n n  sin , n   .  xn  2  3xn 1  2 xn  3  3 2 .cos  4 4 2 Giải: Xét phương trình đặc trưng :   3  2  0  1  1  2  2. n n Nghiệm riêng của phương trình có dạng : xn*  Acos  B sin . Thay vào công thức truy 4 4   hồi, ta được : (n+2) (n  2)   (n+1) (n  1)  n n     3  Acos  B sin  2  Acos  B sin    Acos 4  B sin   4   4 4  4 4   n n . 3  3 2 .cos  sin 4 4   Phân tích vế trái và rút gọn ta được : 3 A 3B n  3 A 3B n n n      2 A  .cos   A    2 B  .sin  3  3 2 cos  sin . B 4  4 4 4 2 2 2 2    3 A 3B   B  2  2  2 A  3  3 2 A 1 n n   xn*  cos  sin Đồng nhất hệ số, ta được :  . 4 4 B  1   A  3 A  3B  2 A  1  2 2 n n Số hạng tổng quát của dãy : xn  c1  c2 .2n  cos  sin . 4 4 x  c  c  1   4  0 1 2 c  6 n n Từ   1 . Suy ra xn  2n  6  cos  sin , n   . 4 4  x1  c1  2c2  2  4  2 c2  1     x0 ; x1 axn  2  bxn 1  cxn  d n1  d n 2  ...  d nk (1), n   . Dạng 8: Cho dãy số dạng sau { xn} :  Trong đó d ni là một trong các dạng sau : hắng số d, d . n , Pk (n) ,  n .Pk (n) , .... Khi đó ta gọi xn*i là nghiệm riêng của phương trình axn2  bxn1  cxn  dni . Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 k Nghiệm riêng của (1) được xác định là x   xn*i . Sau đó ta thiết lập được công thức tổng * n i 1 quát như các thí dụ đã cho. III-Phƣơng trình sai phân bậc ba: Loại 1: Phƣơng trình thuần nhất :  x0 ; x1 ; x2 . Xác định số hạng tổng quát axn 3  bxn  2  cxn 1  dxn  0 n   . Dạng 1: Cho dãy {xn} :  xn của dãy số. Xét phương trình đặc trưng a 3  b 2  c  d  0 . Phương trình có 3 nghiệm phân biệt 1 ; 2 va 3 . Khi đó số hạng của dãy được xác định là : xn  c1.1n  c2 .2n  c3 .3n . Từ các giá trị x0 ; x1 ; x2 ta xác định được các giá trị c1 ; c2 va c3 .  x0  1; x1  5 ; x2  8. . Tìm CTTQ của xn .  xn3  6 xn 2  11xn1  6 xn  0 n   . Thí dụ: Cho dãy số {xn} :  Giải: Xét phương trình đặc trưng :  3  6 2  11  6  0  1  1 ; 2  2 ; 3  3. Số hạng tổng quát của dãy có dạng : xn  c1  c2 .2n  c3.3n . 11  c1   2  x0  c1  c2  c3  1  11 5 Từ  x1  c1  2c2  3c3  5  c2  9 . Suy ra xn    9.2n  .3n n   . 2 2  x  c  4c  9c  8  5 2 3  2 1 c3   2  x ; x ; x Dạng 2: : Cho dãy {xn} :  0 1 2 . Xác định số hạng tổng axn 3  bxn  2  cxn 1  dxn  0 n   . quát xn của dãy số. Xét phương trình đặc trưng a 3  b 2  c  d  0 có hai nghiệm phân biệt 1 va 2  3   . Khi đó số hạng tổng quát của dãy số cho bởi : xn  c1.1n   c2 n  c3  . n . Từ các giá trị x0 ; x1 ; x2 ta xác định được các giá trị c1 ; c2 va c3 .  x0  5; x1  11 ; x2  16 . Tìm CTTQ của dãy.  xn 3  11x n  2 32 xn 1  28 xn  0 , n   . Thí dụ: Cho dãy số {xn} :  Giải: Xét phương trình đặc trưng  3  11 2  32  28  0  1  7  2  3  2. Số hạng tổng quát của dãy có dạng : xn  c1.7n   c2n  c3  .2n 6  c1   35  x0  c1  c3  5  13 6 181  n    13 . Suy ra xn   .7 n   n  Từ  x1  7c1  2c2  2c3  11  c2   .2 , n   . 14 35 35   14  x  49c  4c  4c  16  1 2 3  2 181  c3  35  x ; x ; x Dạng 3: Cho dãy {xn} :  0 1 2 . Xác định số hạng tổng quát axn 3  bxn  2  cxn 1  dxn  0 n   . xn của dãy số. Xét phương trình đặc trưng a 3  b 2  c  d  0 có 1 nghiệm kép 1  2  3   . Khi đó công thức nghiệm tổng quát có dạng : xn   c1n2  c2n  c3  . n . Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 Từ các giá trị x0 ; x1 ; x2 ta xác định được các giá trị c1 ; c2 va c3 .  x0  3 ; x1  2 ; x2  8 . Xác định số hạng tổng  xn 3  3xn  2  3xn 1  xn  0 , n   . Thí dụ: Cho dãy số {xn} :  quát của dãy. Giải: Xét phương trình đặc trưng :  3  3 2  3 1  0  1  2  3  1 . Số hạng tổng quát của dãy có dạng : xn  c1n2  c2 n  c3 . 7  c  1  2  x0  c3  3  9 7 9 Từ  x1  c1  c2  c3  2  c2   . Suy ra xn  n 2  n  3, n   . 2 2 2  x  4c  2c  c  8  1 2 3  2 c  3  3   x ; x ; x Dạng 4: Cho dãy {xn} :  0 1 2 . Xác định số hạng tổng quát axn 3  bxn  2  cxn 1  dxn  0 n   . xn của dãy số. Xét phương trình đặc trưng a 3  b 2  c  d  0 có 1 nghiệm thực  và hai nghiệm phức. Khi đó số hạng tổng quát của phương trình có dạng : xn  c1. n  c2 .cosn +c3 .sin n . Từ các giá trị x0 ; x1 ; x2 ta xác định được các giá trị c1 ; c2 va c3 .  x  3; x1  4  3 ; x2  8  3. Thí dụ: Cho dãy số {xn} :  0 . Tìm CTTQ của xn.   xn 3  5 xn  2  22 xn 1  48 xn  0 , n   . Giải: Xét phương trình đặc trưng  3  5 2  22  48  0     3   2  2  16   0    3 . Phương trình sai phân bậc hai  2  2  16  0 không có nghiệm  2    2  16  0 VN  thực nên theo thí dụ trong dạng 2 của phương trình sai phân bậc hai ta có số hạng tổng quát là xn'  c2 .cos n n n n  c3 sin . Vậy số hạng tổng quát xn  c1.3n  c2 .cos  c3 .sin . 3 3 3 3   x0  c1  c2  3  c c 3 Từ  x1  3c1  2  3  4  3 2 2   c2 c3 3  8 3  x2  9c1    2 2 c1  1 n n    c2  2 . Suy ra xn  3n  2  cos  sin 3 3   c3  2   , n   .  Loại 2: Phƣơng trình không thuần nhất.  x0 ; x1 ; x2 . axn 3  bxn  2  cxn 1  dxn  d n , n   . Cho dãy số dạng {xn} :  Trong đó d n có thể là hăng số, m n , đa thức bậc k theo n Pk (n) , .... Ta tiến hành tìm nghiệm riêng như dạng đối với phương trình bậc 2 đã trình bày ở trên. IV-Phƣơng trình sai phân bậc cao. Dạng 1: Phương trình thuần nhất : a0 xnk  a1 xnk 1  ......  ak xn  0 . Xét phương trình đặc trưng : a0 k  a1 k 1  ..............  ak  0 . TH1: có k nghiệm thực phân biệt, khi đó số hạng tổng quát của dãy sẽ có dạng : Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 k xn  c1.  c2 .  c3 .  ...........  ck .   ci .in . n 1 n 2 n 3 n k i 1 TH2: Có s nghiệm bằng nhau , (k – s) nghiệm khác nhau và khác với s nghiệm trên. Khi k  s 1 p n đó số hạng tổng quát của dãy có dạng : xn    c p 1.n  .   ci .in . i  s 1  p 0  TH3: Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức : x j  A  Bi  r  cos +isin  trong đó r  A2  B 2 ;   arctan B và k – 2 nghiệm thực khác nhau thì số hạng tổng quát của dãy A k 2 số sẽ có dạng : xn   ci .in  r n  c1' .cosn +c'2 .sin n  . i 1 Dạng 2: Phương trình không thuần nhất: a0 xnk  a1 xnk 1  .......  ak xn  bn . Ta xét thêm nghiệm riêng xn* tuỳ theo dạng của bn và các hệ số ai . Thiết lập công thức tổng quát của xn từ các giả thiết của bài. V-Một số dạng đặc biệt khác thƣờng gặp của dãy số trong các kì thi. Dạng 1: Phương trình sai phân dạng " Hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp một".  xn 1  axn  byn .  yn 1  cxn  dyn Cho dãy số {xn} , {yn} được xác định như sau :  Tìm số hạng tổng quát xn và yn. Đưa hệ về phương trình sai phân tuyến tính cập 2 của từng dãy {x n} và {yn} : xn2  axn1  byn1  axn1  b(cxn  dyn )  axn1  bcxn  d ( xn1  axn )  (a  d ) xn1  (bc  ad ) xn yn2  cxn1  dyn1  c(axn  byn )  dyn1  dyn1  bcyn  a( yn1  dyn )  (a  d ) yn1  (bc  ad ) yn . Đưa được hệ về dạng phương trình cơ bản, từ đây ta dễ dàng tìm được CTTQ của số hạng từng dãy đã cho. u0  2; un 1  2un  vn n   . v0  1; vn 1  un  2vn Thí dụ: Tìm CTTQ của dãy số {xn} và {yn} :  Giải: Ta có : un2  (a  d )un1  (bc  ad )un  4un1  3un và u1  5 . 1 3 Từ đây, ta có : un  2 n1  vn  un 1  2un  1  3n 1 . 2 Dạng 2: Phương trình sai phân dạng phân thức tuyến tính: Tìm CTTQ của dãy số có công thức xác định như sau : x0   ; xn1  Cách 1: Đặt xk  yn 1 zn 1 axn  b n   . cxn  d yk ( zk  0). Khi đó dãy được biến đổi thành : zk yn b  yn 1  ayn  bzn  yn  2  (a  d ) yn 1  (bc  ad ) yn zn ay  bzn   n   n   . yn z  cy  dz z  ( a  d ) z  ( bc  ad ) z cy  dz n  1 n n n  2 n  1 n   n n c.  d zn a. Từ công thức tổng quát của {yn} và {zn} ta suy ra CTTQ của {xn} . Cách 2: Đặt xn  un  t , thay vào công thức truy hồi của dãy ta có : aun  at  b (a  ct ) xn  ct 2  (a  d )t  b un 1  t  cun  ct  d cun  ct  d (*). Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 Ta chọn t sao cho ct 2  (d  a)t  b  0. Khi đó ta chuyển (*) về dạng : Từ đây ta tìm được 1 1 m  n. un un 1 1 , suy ra un . un u1  2 Thí dụ: Tìm CTTQ của dãy số {un} :  . 9un 1  24 un  5u  13 n  2. n 1  x Cách 1: Đặt un  n , thay vào công thức truy hồi ta được : yn x 9 n 1  24  xn 1  9 xn  24 yn  xn  2  4 xn 1  3xn xn yn 1 9 xn 1  24 yn 1     n   . x yn 5 xn 1  13 yn 1  yn 1  5 xn  13 yn  yn  2  4 yn 1  3 yn 5 n 1  13 yn 1  x  2 ; x2  42 42 . Ta chọn  1 . 23  y1  1 ; y2  23  x  22.3n 1  24 22.3n 1  24 Từ đây ta tìm được :  n . Suy ra u  n  2. n n 1 n 1 11.3  10 y  11.3  10   n Cách 2: Đặt un  xn  t , thay vào công thức truy hồi ta được : Từ u1  2  u2   9 xn  9t  24 (9  5t ) xn 1  5t 2  22t  24 xn  t   xn  5 xn  5t  13 5 xn 1  5t  13 Ta chọn t : 5t 2  22t  24  0  t  2  x1  4.  xn  xn1 1 3 1 11.3n 1  10 4 22.3n 1  24   5   xn   u  x  2  . n n 5 xn 1  3 xn xn 1 xn 4 11.3n 1  10 11.3n 1  10 Dạng 3: Hệ phương trình tuyến tính bậc 2. un  un21  a.vn21 ; u1    Tìm CTTQ của dãy số (un) và (vn) được xác định bởi :   vn  2un 1.un 1 ; v1           2 2  un  u  a.v un  a .vn  un 1  a .vn 1  .......  u1  a .v1   2 2n1 a . v  2 a . u . v u  av  u  a .v n n 1 n 1   .......  u1  a .v1 n n 1 n 1  n . 2n1 2n1   1 u     a     a  n 2      n1 n1 v  1     a 2     a 2    n 2 a   2 n 1 2 n 1      n1    Thí dụ: Xác định CTTQ của hai dãy số {un} và {vn} thoả : u1  2 và  v1  1 Giải: 2 2  un  un 1  2vn 1 n  2.  v  2 u . v  n 1 n 1  n   u  2v  u  2v 2 2  n n 1 n 1 un  un 1  2vn 1  n  Ta có:   2vn  2 2un 1vn 1 un  2vn  un 1  2vn 1     2 2 Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 a        un  2vn  u1  2v1  u  2v  u  2v n 1 1  n   2n1 2n1    2  2   2 2 2n1 2n1 2n1 2n1   1 u  2  2  2  2  n 2     .  2n1 2n1  1  v  2 2  2 2   n 2 2           Dạng 4: Dạng phân thức bậc 2 trên bậc 1:  x1   n  2. Tìm CTTQ của dãy {xn} :  xn21  a  x  a   .   n  2 xn 1  u Đặt xn  n , khi đó dãy trên được chuyên về hai dãy {un} và {vn} như vn un  u  a.v    vn  2un 1vn 1 2 n 1 2 n 1 ; u1   ; v1  1 n  2. Khi đó xn  un  a vn     a   a 2n1 2n1 sau :      a    a 2n1 2n1 .  x1  2 Thí dụ: Xác định CTTQ của dãy số {xn} :  . xn21  2 x  n  2.  n 2 xn 1  un  un21  2vn21 u1  2  Giải: Xét hai dãy số {un} và {vn} :  và  n  2.  v1  1 vn  2un 1vn 1 u Ta dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp xn  n . vn Theo kết quả bài toán trên, ta có : xn  2.   2  2  2 2 2n1 2 n1    2  2   2 2 2n1 2n1 . Dạng 5: Dạng có căn thức trong công thức truy hồi. u1   a) Với dãy số {un} :  , với a2  b  1 ta xác định CTTQ như sau: un  aun 1  bu  c n  2.  Từ dãy truy hồi   un  aun1   bun21  c  un2  2aunun1  un21  c  0 2 n 1 Thay n bởi n – 1, ta được un22  2aun2un1  un21  c  0. Ta đây ta dễ thấy un và un2 là nghiệm của phương trình bậc hai X 2  2aun1 X  un21  c  0 . Theo định lý Vi-et, ta có un  un2  2aun1 . Từ đây ta dễ dàng xác định CTTQ của xn. b) Một cách biểu diễn khác : Cho dãy số {un} : u1    un 1 u  n  2. n 2  a  cu  b n 1  , trong đó   0; a  1 ; a 2  b  1 ta xác định CTTQ như sau : Ta viết lại công thức tổng quát dưới dạng : 1 a b   c 2 . un un 1 un 1 Đặt xn  1 un . Ta có xn  axn1  bxn21  c đây là dãy mà ta đã xét ở trên. u1  1 Thí dụ: Cho dãy số {un} :  un  5un 1  24un 1  8 n  2.  Tìm un ? Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 Giải: Từ công thức truy hồi của dãy ta có :  un  5un1   24un21  8 2 (1) . Thay n bởi n – 1 ta được : un22  10un2un1  un21  8  0 (2). Từ (1) và (2)  un2 , un là hai nghiệm của phương trình : Áp dụng định lý Vi-et, ta có : un  un2  10un1.  un2  10unun1  un21  8  0 t 2  10un1t  un21  8  0 n 1 n 1 Ta dễ dàng tìm được un  6  2  5  2 6   6  2  5  2 6  . 2 6 2 6 Dạng 6: Công thức truy hồi bậc hai dạng phân thức. u1   ; u2   Cho dãy số {un} :  . Tìm un ? un21  a u  n  2.  n un  2  Đối với dạng này thì từ công thức truy hồi u 3, u4, u5. Ta giả sử un  xun1  yun2  z . u3  xu2  yu1  z Lập hệ phương trình u4  xu3  yu2  z  x, y, z. u  xu  yu  z 4 3  5 Từ công thức truy hồi ta dễ dàng tìm được công thức tổng quát của un. u1  u2  1 Thí dụ: Tìm CTTQ của dãy số {un} :  . un21  2 u  n  2.  n un  2  Giải: Ta có : u3  3; u4  11; u5  41. Ta giả sử un  xun1  yun2  z. u3  xu2  yu1  z x  y  z  3 x  4    Ta có hệ pt : u4  xu3  yu2  z  3x  y  z  11   y  1  un  4un1  un2 . u  xu  yu  z 11x  3 y  z  41  z  0   4 3  5 n n 95 3 95 3 . 2 3  . 2 3 n  1. Ta dễ dạng tìm được xn  6 6     VI-Sử dụng lƣợng giác để tìm công thức tổng quát của dãy số : u1 Dạng 1: Xác định công thức dãy số dạng {un} :  2 un  2un 1  1 n  2.  Nếu u1  1 : ta đặt u1  cos . Khi đó ta có : ta làm như sau : un  cos2n-1 . 1 1  Nếu u1  1 : ta đặt u1   a    a  0 va au1  0 . Khi đó 2 a 1 1 1 1  1 1  1  n1 1   u2   a 2  2  2   1   a 2  2   u3   a 4  4   ........un   a 2  2n1  2 a 2 a  2 a  2  a  . Với cách xác định số a, ta có a là nghiệm (cùng dấu với u1) của phương trình a 2  2u1a  1  0 . Do tích hai nghiệm la 1 nên nếu a là 1 nghiệm thì 1 a sẽ là nghiệm còn lại của phương trình. Khi đó công thức tổng quát có thể viết như sau :  1 un   u1  u12  1 2   u  2n1 1 u 1 2 1  2n1  .  Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 1  u1  Thí dụ 1: Cho dãy số {un}:  . Xác định CTTQ của dãy {un}. 2 u  2u 2  1 n  2. n 1  n 1   2 2 22 Giải: Ta có u1   cos  u2  2cos2  1  cos  u3  2cos 2  1  cos 2 3 3 3 3 3 n-1 2  Bằng quy nạp ta chứng minh được rằng un  cos n  1. . 3 u  3 Thí dụ 2: Cho dãy số {un} :  1 . Xác định CTTQ của un. 2 un  2un 1  1 n  2. 1 1 Giải: Gọi a là nghiệm lớn của phương trình :  a    3  a 2  6a  1  0  a  3  2 2 . 2 a 2 1 1 1 1 1 Ta có a  6a  1  0  u1   a    3 , khi đó u2   a    1  a 2  2 . 2 a a 2 a k 1 k 1 1 Giả sử xk  a 2  2k 1 thì xk 1  a 2  2k . a a 2n1 2n1 n1 1 Theo nguyên lý quy nạp, ta được xn  a 2  2n1  3  2 2  3  2 2 . a Thí dụ 3: Cho dãy số {xn} được xác định như sau : x1  5, xn1  xn2  2 n  1 . xn 1 Tìm giá trị của S  nlim .  x x .....x 1 2 n 2    Giải: Chọn a là nghiệm lớn của phương trình x 2  5 x  1  0  a   5  21  1. 2 2 1 1 1 Ta có a  5a  1  0  x1  a   5 ; khi đó x2  x12  2   a    2  a 2  2 . a a a  n1 1 Bằng quy nạp ta chứng minh được xn  a 2  2n1 n  1. a k  1 k  1 k 1 1 1   2  2 Chú ý rằng  a 2  2k 1   a  2k 1    a  2k  , a  a   a   1  n 1  1  1  a    a 2  2n  1  n a   xn 1   xn 1 a  a a  a2 . a  1  .    ta có  1 1  1 x1 x2 .....xn  a 2n a  1  a  x x ..... x n n   1 2 n a a2 a2  1 1  2n xn 1 a .  a  1   a  1  21.  lim Do đó S  nlim   x x ......x n  1  a a 1 2 n 1  2n  a u  p Dạng 2: Tìm CTTQ của dãy số {un} :  1 , ta làm như sau : 3 u  4 u  3 u  n  2. n 1 n 1  n  Nếu p  1 , thì   0;  : cos =p . Khi đó bằng quy nạp ta chứng minh được : 2 un  cos3n-1 . Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 1 1  Nếu p  1 thì ta đặt u1   a   2  au1  0  . Bằng quy nạp ta chứng minh được a     3 3  1 1  n1 1   u1  u12  1  . un   a3  3n1  . hay un   u1  u12  1 2 2 a    2 u1  Thí dụ 1: Xác định CTTQ của dãy {un} :  . 2 3 u  4u  3u , n  2. n 1 n  n n1 n1 2    3 3 3 32 .  cos  u2  4cos3  3cos  cos  u3  4cos3  3cos  cos 2 4 4 4 4 4 4 4 3n-1 Bằng quy nạp ta chứng minh được un  cos n  1. 4 x  7 Thí dụ 2: Tìm CTTQ của dãy {xn} :  1 . 3  xn  4 xn 1  3xn 1 n  1. Giải: Gọi a là nghiệm lớn của phương trình x2 14 x  1  0  a  7  4 3 . Giải: Ta có u1  3 1 1 1 1 3 1 1 1 Ta có u1   a    7  u2   a     a     a3  3  . 2 a 2 a 2 a 2 a  n1 1 1 Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được un   a3  3n1  n  1. 2 a  n1 3 3n1 1 Vậy công thức tổng quát của dãy là : un   7  4 3  7  4 3  n  1. 2  u  p Dạng 3: Cho dãy {un} :  1 . Để xác định công thức tổng quát của 3 un  4un 1  3un 1 , n  2.     nó ta có thể làm như sau : 1 1 Ta đặt u1   a   . Khi đó bằng nạp ta chứng minh được : 2 a 1  n1 1 un   a3  3n1 2 a   1 2   2  u1  u1  1     u  3n1 1 u 1 2 1  3n1  .  3  u1  6 Thí dụ : Xác định CTTQ của dãy {un} :  u  24u 3  12 6u 2  15u  6 n  2. n 1 n 1 n 1  n Đặt un  xvn  y . Thay vào công thức truy hồi của dãy, biến đổi và rút gọn ta được :     xvn  y  24 x3vn31  12 6 x 2 y  6 x 2 vn21  3 24 xy 2  8 6 xy  5 x vn1  24 y 3  12 6 y 2  15 y  6. 6 x 2 y  6 x 2  0 Ta chọn y sao cho :  3 2  24 y  12 6 y  15 y  6  y  y 1 . 6 Khi đó : xvn  24 x3vn31  3xvn1  vn  24 x2vn31  3vn1 . Ta chọn x   vn  4vn31  3vn 1 ; v1  2  vn   1 2 5 2   3n1   2 5  3n1 1 6    Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201  1  Suy ra un  2 5 2 6   3n1   2 5  3n1  1   6 n  1.   u1    1 Dạng 4: Xác định CTTQ của dãy {un} :  với . a 2 un  a  bun 1 n  2.  ab  2  Khi đó ta đặt u1    acos  u 2  a  b  acos   a 1  2cos2   acos2 . 2 Bằng quy nạp ta ta chứng minh được un  acos  2n-1  n  1. 3  u1  Thí dụ 1: Xác định CTTQ của {un} :  . 2 u  2  u 2 n  2. n 1  n 3  Giải: Đặt   cos ,    ;   , khi đó : u1  2cos  u 2  2(1  2cos2 )  2cos2 . 4 2  Bằng quy nạp ta chứng minh được un  2cos2n-1 n  1. 1   x1  2 Thí dụ 2: Tìm CTTQ của dãy số {xn} :  . 2  2 1  un21  n  2.  xn  2 2  2 1  sin 2  1 2 Giải: Ta có : u1   sin  u2  6 2 Bằng quy nạp ta chứng minh được là : un  sin   2 1  cos  6  6    sin 2 2.6   n 1 2 .6 n  2. Thí dụ 3: Cho a, b là hai số dương không đổi thoả mãn a < b và hai dãy {an} , {bn} ab  a1  2 ; b1  ba1 được xác định như sau :  . Tìm CTTQ của an và bn. a  b n  1 n  1 a  ; bn  anbn 1 n  2.  n 2 a a  Giải: Ta có 0   1 nên ta đặt  cos với    0;  . b b  2  Khi đó : a1  a b a2  1 1  2   bcos +b b 1  cos     bcos2 và b1  b.bcos2  bcos 2 2 2 2 2 bcos 2  2  bcos 2  2  bcos  .cos 2  và b  bcos  .cos  . 2 2 22 2 22 Bằng quy nạp ta chứng minh được : an  bcos  2 cos  2 2 .....cos 2  2 n   2 2 và bn  bcos cos 2 .....cos 2  2n . u1  a Dạng 5: Để tìm CTTQ của dãy {un} :  un 1  b n  2. un  1  bu n 1  Ta đặt a  tan  và b  tan  , khi đó ta dễ dàng chứng minh được un  tan   (n  1)  . Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 u1  3  Thí dụ 1 : Cho dãy {un} :  . Tính giá trị của u2011 . un 1  2  1 n  2. un  1  1  2 u n 1   Giải: Ta có tan  8 tan  2  1 và u1  3  tan   tan    3 . 8  tan      . Bằng quy nạp ta chứng minh được :     3 8 1  tan .tan 3 8       5  un  tan   (n  1)  n  2. Suy ra u2011  tan   2010.   tan     2  3. 8 8 3 3 3 4  u1  3  Thí dụ 2: Tìm CTTQ của dãy số {un} :  un 1 n  2. un  1  1  un21  1 1 1 1  1  2 . Đặt xn  Giải: Ta có :  , khi đó ta được dãy {xn} dược xác định như un un 1 un 1 un 1 sau : x1  và xn  xn1  1  xn21 . 3 Khi đó, u2  3  1    1  cos 3  Vì x1  .  cot  x2  cot  1  cot 2   cot  3 3 3 2.3 3 sin 3 Bằng quy nạp ta chứng minh được : xn  cot  n 1 2 .3  un  tan  n 1 2 .3 n  1, 2,3...........  BÀI TẬP DÀNH CHO ĐỘC GIẢ TỰ LUYỆN Bài 1: Xác định công thức tổng quát của các dãy số sau đây : 3xn1  2 xn  0 n0 a) Cho x0  1; n b) Cho x0  1; 5xn1  4 xn  2 n  0. n  0. c) Cho x0  2; xn1  xn  2n2  n  4 4 xn1  7 xn  6n  5 n  0. d) Cho x0  5; xn1  xn  13 n  0. e) Cho x0  3; 3xn1  2 xn  23 n  0. f) Cho x0  4; n g) Cho x0  7; xn1  3xn  2.3 n  0. 2 xn1  xn  2n2 n  0. h) Cho x0  15; 7 n  0. 5 n  1. j) Cho x0  1; x1  4; xn1  4 xn1  xn1  0 2 1 n  1. k) Cho x0  4; x1  ; xn1  xn  xn1  0; 3 4 n 1. l) Cho x0  3; x1  3  4 3 ; xn1  2 xn  13xn1  0 i) Cho x0  ; 11xn1  6 xn  2.3n  4n m) Cho x0  5; x1  1; xn1  6 xn  3xn1  14 n 1. Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 n) o) p) q) r) s) t) u) Cho x0  4; x1  3; xn1  2 xn  3xn1  6 n  1. Cho x0  2; x1  4; xn1  2 xn  xn1  11 n  1. n Cho x0  1; x1  5; xn1  8xn  15n1  4.2 n  1. Cho x0  1; x1  4; xn1  3xn  4 xn1  3.4n n  1. Cho x0  4; x1  2; xn1  6xn  9xn1  5.3n ; n  1. 2 Cho x0  1; x1  3; xn1  7 xn  12 xn1  (2n  3n 1).2n n  1. Cho x0  2; x1  3; xn1  7 xn  10 xn1  (3n 1).5n n  1. Cho x0  1; x1  3; xn1  8xn  16xn1  (2n2  3).4n n  1. n n  2sin 3 3 n n w) Cho x0  1 ; x2  5 ; 2 xn1  7 xn  5xn1  2  5 n  1. v) Cho x0  1; x1  6 ; xn1  3xn  2 xn1  3cos  xn 1  2 xn  5 yn  yn 1  5 xn  3 yn x) Cho x1  3; y1  2 ;  y) Cho x1  2; xn1  2 xn  7 4 xn  3 n  1. n  1. n  1. ; Bài 2: Xác định Công thức tổng quát của các dãy số đặc biệt sau : 1 2 xn 2 .xn 2002 xn1  2001xn  2000 xn 1 xn a) Cho x0  1; x1  ; xn 2  b) Cho x0  1; xn2  xn21.xn3 xn x1  2; c) Cho x1  1; xn1  d) Cho u0  2; 2  3  xn2 u1  6  33 ; với n  0. n  0. n 1 un1  3un  8un2  1 n 1  3 u1  3  e) Cho  u 2 3 un  n 1 n  2.  1  3  2 un 1    un    , n   .  Bài 3: Cho dãy số {un} thoả mãn như sau : u0  1, u1  9 u  10.u  u n 1 n  2 n   , n  2.  n Chứng minh rằng k   , k  1. a) uk2  un21  10uk uk 1  8 b) 5uk  uk 1  4 và 3.uk2  1 2 .  x0  1; x1  0 .  xn  2 xn 1  xn 2  2 n  2. Bài 4: Cho dãy {xn} xác định như sau :  Xác định số tự nhiên n sao cho : xn1  xn  22685.  x0  1; x1  5 .  xn 1  6 xn  xn 1 n  1. Bài 5: Cho day {xn} được xác định bởi :  Tìm nlim  xn 2  ( TH&TT T7/253)  Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 1 1 2  2 2  1  1  1  an   Bài 6: Xét dãy {an} : a1  và an 1    n  1. 2 2     Chứng minh rằng : a1  a2  a3  ......  a2005  1,03 (TH&TT T10/335) Bài 7: Cho dãy số {an} : a0  2; an1  4an  15an2  60 n  1. Hãy xác định CTTQ của an và chứng minh rằng số 1  a2n  8 có thể biểu diễn thành tổng bình phương của 3 số nguyên 5 liên tiếp với n  1. (TH&TT T6/262) Bài 8: Cho dãy số  p(n) được xác định như sau : p(1)  1; p(n)  p(1)  2 p(2)  .......  (n 1) p(n 1) n  2. Xác định p(n) . (TH&TT T7/244). u  2 Bài 9: Xét dãy {un} :  1 . Chứng minh rằng với mỗi số 3 2 un  3un 1  2n  9n  9n  3 n  2. p 1 nguyên tố p thì 2009 ui chia hết cho p (TH&TT T6/286). i 1 x  a Bài 10: Dãy số thực {xn} :  0 . 2   xn 1  2 xn  1 n  0. Tìm tất cả giá trị của a để xn  0 n  0 . (TH&TT T10/313) xn1.xn 1 Bài 11: Dãy số {xn} : x0  1; x1  và xn2  n  0. 2002 xn1  2001xn  2000 xn 1.xn 2 Hãy tìm CTTQ của xn (TH&TT T8/298). 1  a1  2 Bài 12: Cho dãy số {an} được xác định như sau {an} :  an 1 an  n  1. 2nan 1  1  Tính tổng S  a1  a2  ..........  a2010. Bài 13: Cho dãy số được xác định bởi : a1  1.2.3; a2  2.3.4; ......; an  n(n  1)(n  2). Đặt Sn  a1  a2  ....  an . Chứng minh rằng 4Sn  1 là số chính phương . ( HSG Quốc Gia – 1991 Bảng B) Bài 15: Cho hai dãy số {an} và {bn} được xác định như sau : a0  2 ; b0  1  . 2anbn  an 1  a  b ; bn 1  an 1bn n  0. n n  Chứng minh rằng các dãy {an} và {bn} có cùng giới hạn chung khi n   . Tìm giới hạn chung đó. ( HSG Quốc Gia – 1993 Bảng A ngày thứ 2) Bài 16: Cho các số nguyên a, b. Xét dãy số nguyên {an} được xác định như sau : a0  a; a1  b; a2  2b  a  2 .  an 3  3an  2  3an 1  an n  0. a) Tìm CTTQ của an b) Tìm các số nguyen a, b để an là số chính phương với n  1998 . (HSG Quốc Gia – 1998 Bảng B). Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201
- Xem thêm -