Tài liệu Tìm kiếm tài năng toán học myts_lop_7_8_9_2018_taom

https://www.facebook.com/groups/TAoMathematics/ by Mr. Cuo ng T A oM The ART of MATHEMATICS Hội Toán học Việt Nam phối hợp với Hexagon of Maths & Science và Trung tâm Phát triển KHCN và Tài năng trẻ Trung ương Đoàn (CYTAST) tiếp tục tổ chức Kỳ thi tìm kiếm tài năng toán học trẻ Việt Nam 2018 (viết tắt tiếng Anh là MYTS-2018) dành cho học sinh từ lớp 4 tới lớp 10 các trường phổ thông trên phạm vi cả nước vào cuối tháng Ba đầu tháng Tư năm 2018. Các thí sinh đạt kết quả xuất sắc tại cuộc thi sẽ được lưu hồ sơ cá nhân trong CSDL Tài năng trẻ Việt Nam và lựa chọn cử đi dự kỳ thi Olympic Toán Singapore SMO vào cuối tháng 5/2018. ĐỀ THI MYTS 2018 – Tìm kiếm tài năng TOÁN HỌC, ngày 31/3/2018 Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang - Phạm Hữu Hiệp 2 ĐỀ THI MYTS 2018 - LỚP 7, ngày 31/3/2018 Câu 1 (MYTS lớp 7 - Vòng 2 - 2018). Diệp nghĩ một số có ba chữ số abc. Nếu lấy tổng của 5 số acb, bac, bca, cab, cba thì được 3496. Hỏi số Diệp đã nghĩ là số nào? Câu 2 (MYTS lớp 7 - Vòng 2 - 2018). Cuối tuần, Tuấn đến nhà bạn chơi. Tuấn đi với tốc độ không đổi. Khi quay về, vẫn theo đường cũ. Tuấn nhẩm tính rằng, nếu đi nhanh hơn lúc đi 200 mét một giờ thì chỉ mất 20 21 thời gian lúc đi. Còn nếu giảm tốc độ đi 400 mét một giờ thì sẽ mất thêm 2 phút so với lúc đi. Hỏi khoảng cách từ nơi Tuấn ở đến nhà bạn là bao nhiêu km? Câu 3 (MYTS lớp 7 - Vòng 2 - 2018). Ghi lên bảng 2018 số nguyên dương đầu tiên: 1, 2, 3, ..., 2018. Sau đó xóa đi một số số và thay vào đó, ghi số dư của phép chia tổng các số vừa xóa cho 31. Sau một số lần làm như vậy, trên bảng chỉ còn lại hai số. Biết rằng một trong hai số đó là 96. Hãy tìm số kia. Câu 4 (MYTS lớp 7 - Vòng 2 - 2018). Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên đoạn thẳng BC, lấy các [ = 2 BAF [ và BAD [ = 3 BAF. [ Trên tia phân giác của góc ACB, [ lấy điểm E điểm F và D sao cho ACB nằm trong tam giác ABC sao cho AE = AD. Chứng minh rằng AEF là tam giác đều. Câu 5 (MYTS lớp 7 - Vòng 2 - 2018). Có 10 người ngồi quanh một chiếc bàn tròn. Biết rằng đối với bất kì người nào thì tổng số tuổi của người đó với tuổi của hai người ngồi ngay hai bên cạnh luôn là một số lẻ. Chứng minh rằng tất cả mọi người ngồi trong bàn đều có số tuổi là số lẻ. Câu 6 (MYTS lớp 7 - Vòng 2 - 2018). Hãy tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau sao cho a < b < c và a + b + c + ab + ac + bc chia hết cho abc. ? ĐỀ THI MYTS 2018 ? Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang - Phạm Hữu Hiệp 3 Hướng dẫn giải Câu 1 (MYTS lớp 7 - Vòng 2 - 2018). Diệp nghĩ một số có ba chữ số abc. Nếu lấy tổng của 5 số acb, bac, bca, cab, cba thì được 3496. Hỏi số Diệp đã nghĩ là số nào? Lời giải. Ta có abc + acb + bac + bca + cab + cba = 222a + 222b + 222c = 222( a + b + c) Từ đó suy ra 222( a + b + c) = abc + 3496 3496 3496 + 999 > 15 và a + b + c < < 21. Ta có abc = 222( a + b + c) − 3496. 222 222 Thay a + b + c bằng các số từ 16, 17, 18, 19, 20 ta thấy a + b + c = 17 thì abc = 278 thỏa yêu cầu đề Suy ra a + b + c > bài. Câu 2 (MYTS lớp 7 - Vòng 2 - 2018). Cuối tuần, Tuấn đến nhà bạn chơi. Tuấn đi với tốc độ không đổi. Khi quay về, vẫn theo đường cũ. Tuấn nhẩm tính rằng, nếu đi nhanh hơn lúc đi 200 mét một giờ thì chỉ mất 20 21 thời gian lúc đi. Còn nếu giảm tốc độ đi 400 mét một giờ thì sẽ mất thêm 2 phút so với lúc đi. Hỏi khoảng cách từ nơi Tuấn ở đến nhà bạn là bao nhiêu km? Lời giải. Gọi t (h) là thời gian, v (m/h) là vận tốc lúc đi, s (m) là quãng đường từ nơi Tuấn ở đến nhà bạn. Vì đi nhanh hơn lúc đi 200 mét một giờ thì chỉ mất 20 21 thời gian lúc đi. Ta có v 20 = ⇒ v = 4000 v + 200 21 Vì giảm tốc độ đi 400 mét một giờ thì sẽ mất thêm 2 phút so với lúc đi. Ta có 2 4000t 2 s = t+ ⇔ = t+ ⇒ t = 0, 3 v − 400 60 3600 60 Vậy s = vt = 1200 m = 1, 2 km. Câu 3 (MYTS lớp 7 - Vòng 2 - 2018). Ghi lên bảng 2018 số nguyên dương đầu tiên: 1, 2, 3, ..., 2018. Sau đó xóa đi một số số và thay vào đó, ghi số dư của phép chia tổng các số vừa xóa cho 31. Sau một số lần làm như vậy, trên bảng chỉ còn lại hai số. Biết rằng một trong hai số đó là 96. Hãy tìm số kia. Lời giải. Ta có 1 + 2 + ... + 2018 = 2018.2019 = 2037171 2 Mặt khác 2037171 ≡ 6 ? ĐỀ THI MYTS 2018 ? (mod 31) Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang - Phạm Hữu Hiệp 4 Khi xóa đi một số số và thay vào đó, ghi số dư của phép chia tổng các số vừa xóa đi cho 31 thì số mới sẽ là một số thuộc tập {0; 1; 2; ...; 30} Hiển nhiên, dù ở bước thứ bao nhiêu thì tổng các số còn lại có trên bảng đều chia 31 dư 6. Do đó, khi trên bảng còn 2 số mà có một số bằng 96 thì ta suy ra ngay rằng 96 là số chưa bị xóa và số còn lại là một số bị thay. Do đó, số cần tìm sẽ là số thuộc tập {0; 1; 2; ...; 30} Gọi số đó là a. Khi đó,   a ∈ {0; 1; 2; ...; 30}  a + 96 ≡ 6 (mod 31)   a ∈ {0; 1; 2; ...; 30} ⇔  a + 3 ≡ 6 (mod 31) ⇒a=3 Câu 4 (MYTS lớp 7 - Vòng 2 - 2018). Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên đoạn thẳng BC, lấy các [ = 2 BAF [ và BAD [ = 3 BAF. [ Trên tia phân giác của góc ACB, [ lấy điểm E điểm F và D sao cho ACB nằm trong tam giác ABC sao cho AE = AD. Chứng minh rằng AEF là tam giác đều. Lời giải. [ = x, khi đó ACB [ = 2x và BAD [ = 3x. Đặt BAF b + x = 90◦ − x. [ =B Theo tính chất góc ngoài ta có AFD B F [ = DAC [ + 2x = 90◦ − 3x + 2x = 90◦ − x. Hơn nữa, ADF D Do đó 4 AFD là tam giác cân tại A, suy ra AF = AD. Vậy AF = AE (1). d = 90◦ − x suy ra 4CAF cân tại C. Mà CE là Mặt khác, FAC phân giác nên suy ra CE là trung trực của AF. E C A Vậy EA = EF (2). Từ (1) và (2) suy ra 4 AEF đều. Câu 5 (MYTS lớp 7 - Vòng 2 - 2018). Có 10 người ngồi quanh một chiếc bàn tròn. Biết rằng đối với bất kì người nào thì tổng số tuổi của người đó với tuổi của hai người ngồi ngay hai bên cạnh luôn là một số lẻ. Chứng minh rằng tất cả mọi người ngồi trong bàn đều có số tuổi là số lẻ. Lời giải. Giả sử tồn tại một người có số tuổi là chẵn đặt là A1 . Suy ra hai người ngồi hai bên có một người có tuổi chẵn, một người có tuổi lẻ. Không mất tính tổng quát đặt A2 có số tuổi là lẻ, suy ra A3 có số tuổi là chẵn, A4 chẵn, A5 lẻ, A6 chẵn, A7 chẵn, A8 lẻ, A9 chẵn, A10 chẵn. C L C C L C C L C C A1 − A2 − A3 − A4 − A5 − A6 − A7 − A8 − A9 − A10 ? ĐỀ THI MYTS 2018 ? Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang - Phạm Hữu Hiệp 5 Tuy nhiên, ta thấy A9 , A10 , A1 ngồi cạnh nhau, nhưng tổng số tuổi lại là số chẵn, mâu thuẫn. Vậy tất cả mọi người ngồi trong bàn đều có số tuổi là số lẻ. Câu 6 (MYTS lớp 7 - Vòng 2 - 2018). Hãy tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau sao cho a < b < c và a + b + c + ab + ac + bc chia hết cho abc. Lời giải. Ta chia các trường hợp sau: • Nếu a ≥ 4 thì abc ≥ 4bc ≥ 3bc + 4c > ab + ac + bc + a + b + c, mâu thuẫn. • Nếu a = 3 thì 3bc|3 + 4b + 4c + bc mà ta lại có 3 + 4b + 4c + bc < 3bc + 3 < 4bc do đó 3bc = 3 + 4b + 4c + bc ⇔ 2bc = 4b + 4c + 3, mẫu thuẫn tính chẵn lẻ. • Nếu a = 2 thì 2bc|2(1 + b + c) + b + c + bc ⇒ 2|b + c + bc suy ra 2|b và 2|c, mẫu thuẫn tính nguyên tố cùng nhau của b, c. • Nếu a = 1 thì bc|2b + 2c + 1. Vì (b − 2)(c − 2) ≥ 0 ⇔ bc + 5 > 2b + 2c + 1. Vậy 2b + 2c + 1 < bc + 5 < 2bc. Do đó bc = 2b + 2c + 1 ⇔ (b − 2)(c − 2) = 5 ⇒ b = 3, c = 7 Vậy a = 1, b = 3, c = 7 là ba số cần tìm. ? ĐỀ THI MYTS 2018 ? Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang - Phạm Hữu Hiệp 6 ĐỀ THI MYTS 2018 - LỚP 8, ngày 31/3/2018 Câu 1 (MYTS lớp 8 - Vòng 2 - 2018). Tìm tất cả các số có 3 chữ số mà mỗi số đều bằng lập phương của tổng các chữ số của nó. Câu 2 (MYTS lớp 8 - Vòng 2 - 2018). Cho hai số a, b khác 0 thỏa mãn: (1 + a )2 (1 + b )2 + = 35. a + b = 3 và b a Tính a7 + b7 . Câu 3 (MYTS lớp 8 - Vòng 2 - 2018). Ghi lên bảng 2018 số nguyên dương đầu tiên: 1;2;3...;2018. Sau đó, xóa đi một số số và thay vào đó, ghi số dư của phép chia tổng các số vừa xóa đi cho 31. Sau một số lần làm như vậy, trên bảng còn lại hai số. Biết rằng một trong hai số đó là 96. Tìm số kia. Câu 4 (MYTS lớp 8 - Vòng 2 - 2018). Cho hình vuông ABCD có tâm là O. Trên tia đối của tia CD lấy điểm M, trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho CM + DN = CD. Gọi I là giao điểm của AM và BN; P là giao điểm của OI và AB. Chứng minh rằng \ MPN = 90o . Câu 5 (MYTS lớp 8 - Vòng 2 - 2018). Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD và 19 đường thẳng đôi một phân biệt, đôi một không song song và mỗi đường thẳng cách đều hai đỉnh nào đó của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng có ít nhất 3 đường thẳng trong các đường thẳng đó đồng quy. Câu 6 (MYTS lớp 8 - Vòng 2 - 2018). Với mỗi số nguyên n ≥ 2, kí hiệu Fn là tập hợp tất cả các a phân số có dạng với 0 ≤ a < b ≤ n và a, b là hai số nguyên tố cùng nhau. Ví dụ, ta có b       0 1 0 1 1 2 0 1 1 1 2 3 F2 = ; , F3 = ; ; ; , F4 = ; ; ; ; ; 1 2 1 3 2 3 1 4 3 2 3 4 Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n ≥ 2, tập hợp Fn có một số chẵn phần tử. ? ĐỀ THI MYTS 2018 ? Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang - Phạm Hữu Hiệp 7 Hướng dẫn giải Câu 1 (MYTS lớp 8 - Vòng 2 - 2018). Tìm tất cả các số có 3 chữ số mà mỗi số đều bằng lập phương của tổng các chữ số của nó. Lời giải. Gọi số cần tìm có dạng abc, theo đề bài ta có abc = ( a + b + c)3 Do 100 ≤ abc ≤ 999 ⇒ 100 ≤ ( a + b + c)3 ≤ 999 ⇒ 5 ≤ a+b+c ≤ 9 TH1. a + b + c = 5 thì ( a + b + c)3 = 53 = 125 (không thoả). TH2. a + b + c = 6 thì ( a + b + c)3 = 63 = 216 (không thoả). TH3. a + b + c = 7 thì ( a + b + c)3 = 73 = 343 (không thoả). TH4. a + b + c = 8 thì ( a + b + c)3 = 83 = 512 (thoả). TH5. a + b + c = 9 thì ( a + b + c)3 = 93 = 729 (không thoả). Vậy số cần tìm là 512. Câu 2 (MYTS lớp 8 - Vòng 2 - 2018). Cho hai số a, b khác 0 thỏa mãn: (1 + a )2 (1 + b )2 a + b = 3 và + = 35. b a Tính a7 + b7 . Lời giải. Ta có (1 + a )2 (1 + b )2 + = 35 b a 1 + 2a + a2 1 + 2b + b2 ⇔ + = 35 b a

⇔ ( a + b) + 2 a2 + b2 + a3 + b3 = 35ab h i h i ⇔ ( a + b) + 2 ( a + b)2 − 2ab + ( a + b) ( a + b)2 − 3ab = 35ab

⇔ 3 + 2 32 − 2ab + 3 32 − 3ab = 35ab ⇔ ab = 1 Do đó, a2 + b2 = ( a + b)2 − 2ab = 32 − 2 = 7 ? ĐỀ THI MYTS 2018 ? Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang - Phạm Hữu Hiệp 8 h i     a3 + b3 = ( a + b) a2 − ab + b2 = ( a + b) ( a + b)2 − 3ab = 3 32 − 3 = 18     a4 + b4 = a3 + b3 ( a + b) − ab a2 + b2 = 18.3 − 1.7 = 47    7 7 4 4 3 3 a +b = a +b a + b − ( ab)3 ( a + b) = 47.18 − 1.3 = 843 Câu 3 (MYTS lớp 8 - Vòng 2 - 2018). Ghi lên bảng 2018 số nguyên dương đầu tiên: 1;2;3...;2018. Sau đó, xóa đi một số số và thay vào đó, ghi số dư của phép chia tổng các số vừa xóa đi cho 31. Sau một số lần làm như vậy, trên bảng còn lại hai số. Biết rằng một trong hai số đó là 96. Tìm số kia. Lời giải. Ta có 1 + 2 + ... + 2018 = 2018.2019 = 2037171 2 Mặt khác 2037171 ≡ 6 (mod 31) Khi xóa đi một số số và thay vào đó, ghi số dư của phép chia tổng các số vừa xóa đi cho 31 thì số mới sẽ là một số thuộc tập {0; 1; 2; ...; 30} Hiển nhiên, dù ở bước thứ bao nhiêu thì tổng các số còn lại có trên bảng đều chia 31 dư 6. Do đó, khi trên bảng còn 2 số mà có một số bằng 96 thì ta suy ra ngay rằng 96 là số chưa bị xóa và số còn lại là một số bị thay. Do đó, số cần tìm sẽ là số thuộc tập {0; 1; 2; ...; 30} Gọi số đó là a. Khi đó,   a ∈ {0; 1; 2; ...; 30}  a + 96 ≡ 6 (mod 31)   a ∈ {0; 1; 2; ...; 30} ⇔  a + 3 ≡ 6 (mod 31) ⇒a=3 Câu 4 (MYTS lớp 8 - Vòng 2 - 2018). Cho hình vuông ABCD có tâm là O. Trên tia đối của tia CD lấy điểm M, trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho CM + DN = CD. Gọi I là giao điểm của AM và BN; P là giao điểm của OI và AB. Chứng minh rằng \ MPN = 90o . Lời giải. ? ĐỀ THI MYTS 2018 ? Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang - Phạm Hữu Hiệp A P 9 B I O N D Q K C M Gọi Q là giao điểm của PO và CD. 1 IA = . Khi đó cũng theo cách trên ta có IM 2 1 IP = . Từ đó có I là trọng tâm tam giác APC nên AM đi qua trung điểm K của PC. Suy ra IQ 2 AP PK Tiếp tục dùng định lý Thales, có = = 1. CM KC Vậy AP = CM. Trên DC lấy điểm K (K nằm giữa C, D) sao cho DK = CM. Khi đó DK = AP, suy ra APKD là hình chữ nhật. Do đó, PK = AD = AB. Mặt khác, ta có NK = ND + DK = KC + CM = KM Do đó, K là trung điểm MN. Ngoài ra, N M = 2NK = 2AB Do đó, MN = 2PK Suy ra, tam giác PN M là tam giác vuông tại P. Câu 5 (MYTS lớp 8 - Vòng 2 - 2018). Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD và 19 đường thẳng đôi một phân biệt, đôi một không song song và mỗi đường thẳng cách đều hai đỉnh nào đó của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng có ít nhất 3 đường thẳng trong các đường thẳng đó đồng quy. Lời giải. Trước hết ta có nhận xét sau: Nếu một đường thẳng cách đều 2 đỉnh của tứ giác thì đường thẳng đó sẽ thuộc một trong 3 trường hợp sau: ? ĐỀ THI MYTS 2018 ? Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang - Phạm Hữu Hiệp 10 TH1. Đường thẳng song song hoặc trùng 1 trong 4 cạnh của tứ giác. Trường hợp này ta có 4 TH như vậy ( chú ý ta xem TH song song và TH trùng nhau là một). TH2. Đường thẳng song song hoặc trùng với 1 trong hai đường chéo của tứ giác. Trong TH này ta có 2 đường thẳng như vậy. TH3. Đường thẳng đi qua trung điểm của một trong 4 cạnh hoặc đi qua trung điểm của một trong 2 đường chéo. Trong TH này ta có vô số đường thẳng như vậy. Gọi số đường thẳng thuộc TH1, TH2, TH3 lần lượt là x, y, z. Theo đề ta có x + y + z = 19 và x ≤ 4, y ≤ 2. Do đó, z = 19 − x − y ≥ 19 − 4 − 2 = 13 Mặt khác, ta thấy z đường thẳng này đi qua 6 trung điểm của 4 cạnh và của 2 đường chéo của tứ giác nên theo nguyên lí Dirichle ta thấy tồn tại ít nhất   13 +1 = 3 6 đường thẳng cùng đi qua một điểm. Vậy ta có điều phải chứng minh. Câu 6 (MYTS lớp 8 - Vòng 2 - 2018). Với mỗi số nguyên n ≥ 2, kí hiệu Fn là tập hợp tất cả các a phân số có dạng với 0 ≤ a < b ≤ n và a, b là hai số nguyên tố cùng nhau. Ví dụ, ta có b       0 1 1 2 0 1 1 1 2 3 0 1 ; , F3 = ; ; ; , F4 = ; ; ; ; ; F2 = 1 2 1 3 2 3 1 4 3 2 3 4 Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n ≥ 2, tập hợp Fn có một số chẵn phần tử. Lời giải. Ta chứng minh Fn có chẵn phần tử bằng quy nạp (∗). Hiển nhiên với trường hợp n = 2, 3, 4 thỏa (∗). Ta giả sử (∗) đúng tới n − 1. Ta chứng minh (∗) đúng với n. Tức Fn có chẵn phần tử. Ta thấy rằng F2 ⊂ F3 ⊂ ... ⊂ Fn ⊂ ...   i1 i2 ik Fn = Fn−1 ∪ ; ; ...; n n n với 1 ≤ i1 , i2 , ..., ik < n và i1 , i2 , ..., ik là các số nguyên tố cùng nhau với n. Do Fn−1 có chẵn phần tử (theo giả thiết quy nạp) nên ta quy bài toán về việc chứng minh rằng k chẵn. ? ĐỀ THI MYTS 2018 ? Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang - Phạm Hữu Hiệp Tương đương với việc chứng minh rằng: Số số từ 1 đến n nguyên tố cùng nhau với n là một số chẵn. Thật vậy, ta chứng minh rằng nếu ( a, n) = 1 thì (n − a, n) = 1. Giả sử (n − a, n) = d thì ta có    n...d  n...d ⇒ ⇒ (n, a) = d ⇒ d = 1  n − a...d  a...d Áp dụng bổ đề trên, thì luôn có số chẵn số từ 1 đến n nguyên tố cùng nhau với n. Từ đó ta có điều phải chứng minh. ? ĐỀ THI MYTS 2018 ? 11 Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang - Phạm Hữu Hiệp 12 ĐỀ THI MYTS 2018 - LỚP 9, ngày 31/3/2018 Câu 1 (MYTS lớp 9 - Vòng 2 - 2018). Giải phương trình √ 9 8x + 3 = 9x2 + 10x + . 4 Câu 2 (MYTS lớp 9 - Vòng 2 - 2018). Chứng minh rằng r r r 2 2 2 2017, 49 < 1 + 2 + 1 + 2 + · · · + 1 + < 2018. 2 3 20182 Câu 3 (MYTS lớp 9 - Vòng 2 - 2018). Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành đó. Trên tia đối của tia CD, lấy điểm M và trên tia đối của tia DC, lấy điểm N, sao cho CM + DN = CD. Gọi I là giao điểm của AM và BN; gọi P là giao điểm của OI và AB. Chứng minh rằng AP = CM. Câu 4 (MYTS lớp 9 - Vòng 2 - 2018). Tìm tất cả các cặp số nguyên tố ( p, q) sao cho 3p2 + 25pq + 3q2 là một luỹ thừa của 31. Câu 5 (MYTS lớp 9 - Vòng 2 - 2018). Có 4 đống sỏi, với số sỏi ở các đống lần lượt là 10 viên, 20 viên, 30 viên và 40 viên. Bạn Nam bóc sỏi từ đống nọ bỏ sang đống kia theo quy tắc: Mỗi lần, lấy 3 viên từ 3 đống, mỗi đống một viên, rồi bỏ sang đống còn lại. Hỏi, sau một số hữu hạn lần thực hiện liên tiếp việc chuyển sỏi theo quy tắc trên, Nam có thể làm cho 4 đống sỏi có số sỏi như nhau hay không? Vì sao? Câu 6 (MYTS lớp 9 - Vòng 2 - 2018). Cho đa giác lồi P có 2018 đỉnh. Bạn Ngoan muốn ghi vào mỗi đỉnh của P một số nguyên dương sao cho các điều kiện sau đây được đồng thời thoả mãn: 1/ Trong 2018 số được ghi, có ít nhất một số chẵn; 2/ Tổng của 3 số được ghi ở 3 đỉnh liên tiếp tuỳ ý là một số lẻ. Hỏi bạn Ngoan có thể thực hiện được ý muốn nêu trên của mình hay không? Vì sao? ? ĐỀ THI MYTS 2018 ? Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang - Phạm Hữu Hiệp 1 13 Hướng dẫn giải Câu 1 (MYTS lớp 9 - Vòng 2 - 2018). Giải phương trình √ 9 8x + 3 = 9x2 + 10x + . 4 Lời giải. 3 Với x ≥ − , phương trình đã cho tương đương 8 √ √ 4 8x + 3 = 36x2 + 40x + 9 ⇔ 8x + 3 + 4 8x + 3 + 4 = 36x2 + 48x + 16 2 √ 8x + 3 + 2 = (6x + 4)2 ⇔  √ 8x + 3 + 2 = 6x + 4 ⇔ √ 8x + 3 + 2 = −6x − 4 √ 8x + 3 = 6x + 2  ⇔ √ 3 8x + 3 + 6x + 6 = 0 (vô lý do x ≥ − ) 8  6x + 2 ≥ 0 ⇔ 8x + 3 = (6x + 2)2   6x + 2 ≥ 0 √ √ ⇔ − 4 + 7 − 4 − 7  x = ∨x = 18 18 √ −4 + 7 3 ⇔x= (thoả x ≥ − ). 18 8 √ −4 + 7 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = . 18 Câu 2 (MYTS lớp 9 - Vòng 2 - 2018). Chứng minh rằng r r r 2 2 2 2017, 49 < 1 + 2 + 1 + 2 + · · · + 1 + < 2018. 2 3 20182 Lời giải. Đặt r S= 2 1+ 2 + 2 r 2 1+ 2 +···+ 3 r 1+ 2 . 20182 Ta chứng minh hai bất đẳng thức phụ sau: Với mọi n ∈ N và n ≥ 1 ta có r 1 2 1 1+ < 1 + 2 < 1 + 2. n ( n + 1) n n Thật vậy, r 2 1 2 2 1 1 1 + 2 ≥ 1+ ⇔ 1+ 2 ≥ 1+ + 2 ⇔ ≤ 2, (đúng ∀n ∈ N, n ≥ 1). 2 n ( n + 1) n ( n + 1) n ( n + 1) n+1 n n ? ĐỀ THI MYTS 2018 ? Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang - Phạm Hữu Hiệp và r 1+ 14 2 1 2 2 1 1 ≤ 1 + 2 ⇔ 1 + 2 ≤ 1 + 2 + 4 ⇔ 4 ≥ 0, (đúng ∀n ∈ N, n ≥ 1). 2 n n n n n n Áp dụng bất đẳng thức này vào bài toán ta được 2017 + 1 1 1 1 2 1 + +···+ < S < 1+ 2 +1+ 2 +···+1+ 2.3 3.4 2018.2019 2 3 20182 1 1 1 1 1 < S < 2017 + + +···+ ⇒ 2017 + − 2 2019 1.2 2.3 2017.2018 1 1 1 ⇒ 2017 + − < S < 2017 + 1 − 2 1000 2018 ⇒ 2017, 49 < S < 2018. r Vậy 2017, 49 < 2 1+ 2 + 2 r 2 1+ 2 +···+ 3 r 1+ 2 < 2018. 20182 Câu 3 (MYTS lớp 9 - Vòng 2 - 2018). Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành đó. Trên tia đối của tia CD, lấy điểm M và trên tia đối của tia DC, lấy điểm N, sao cho CM + DN = CD. Gọi I là giao điểm của AM và BN; gọi P là giao điểm của OI và AB. Chứng minh rằng AP = CM. Lời giải. A P B I O N D Q C M Gọi Q là điểm đối xứng với M qua C, suy ra DQ = DC − QC = DC − CM = DN. Do AB k MN nên IM MN CM + DN + CD 2DC = = = = 2. IA AB CD DC Khi đó OA QC I M 1 · · = 1 · · 2 = 1. OC QM I A 2 Nên theo định lý Menelaus I, O, Q thẳng hàng. Từ đó P, I, O, Q thẳng hàng. Hơn nữa, do AP k MQ nên AP AI 1 QM = = ⇒ AP = = CM. QM IM 2 2 ? ĐỀ THI MYTS 2018 ? Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang - Phạm Hữu Hiệp 15 Vậy AP = CM. 1 IP 1 IA = . Suy ra = . IM 2 IQ 2 Từ đó có I là trọng tâm tam giác APC nên AM đi qua trung điểm K của PC. Tiếp tục dùng định lý AP PK Thales, có = = 1. Vậy AP = CM. CM KC Cách 2. Gọi Q là giao điểm của PO và CD. Khi đó cũng theo cách trên ta có Câu 4 (MYTS lớp 9 - Vòng 2 - 2018). Tìm tất cả các cặp số nguyên tố ( p, q) sao cho 3p2 + 25pq + 3q2 là một luỹ thừa của 31. Lời giải. Ta phân tích A = 3p2 + 25pq + 3q2 = 3p2 − 6pq + 3q2 + 31pq = 3 ( p − q)2 + 31pq. (1) Do A là một luỹ thừa của 31 nên A chia hết cho 31. Từ (1) suy ra ( p − q)2 chia hết cho 31 hay p − q chia hết cho 31 (do 31 là số nguyên tố). Do vai trò p, q như nhau, giả sử p > q và đặt p − q = 31k với k ∈ N. Khi đó, lại từ (1) suy ra   A = 3 (31k )2 + 31pq = 31 3.31k2 + pq . (2) Ta thấy rằng A phải có dạng 31n với n ∈ N, nhưng từ (2), n 6= 1. Do đó 3.31k2 + pq phải chia hết cho 31, suy ra pq chia hết cho 31, từ đó ta có p = 31 hoặc q = 31. Ta sẽ chứng minh p = q = 31. Thật vậy, không mất tính tổng quát giả sử q = 31, p 6= 31, từ p − q = 31k ⇔ p = 31(1 + k ) chia hết cho 31 là vô lý do p nguyên tố, nên p = 31. Kiểm tra lại, ta thấy cặp ( p, q) = (31, 31) thoả yêu cầu đề ra. Vậy ( p, q) = (31, 31). Câu 5 (MYTS lớp 9 - Vòng 2 - 2018). Có 4 đống sỏi, với số sỏi ở các đống lần lượt là 10 viên, 20 viên, 30 viên và 40 viên. Bạn Nam bóc sỏi từ đống nọ bỏ sang đống kia theo quy tắc: Mỗi lần, lấy 3 viên từ 3 đống, mỗi đống một viên, rồi bỏ sang đống còn lại. Hỏi, sau một số hữu hạn lần thực hiện liên tiếp việc chuyển sỏi theo quy tắc trên, Nam có thể làm cho 4 đống sỏi có số sỏi như nhau hay không? Vì sao? Lời giải. Ta xét số dư khi chia số sỏi của 4 đống cho 4. Đặt Sn số dư khi chia số sỏi 4 đống cho 4 ở bước thứ n. Ban đầu, số sỏi 4 đống lần lượt là 10, 20, 30, 40 nên số dư lần lượt là 2, 0, 2, 0. Nên S0 = {2; 0; 2; 0} chú ý ta không quan tâm thứ tự các phần tử của Sn . Do mỗi lần bốc, ta bốc 3 viên sỏi từ 3 đống, mỗi đống một viên sau đó bỏ vào đống còn lại nên số sỏi mỗi đống sẽ giảm 1 hoặc tăng 3 sau mỗi lần bốc (chú ý theo modulo 4 thì −1 ≡ 3 (mod 4) ) Do đó, ta thấy S1 = {1; 1; 3; 3} ? ĐỀ THI MYTS 2018 ? Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang - Phạm Hữu Hiệp 16 Tương tự S2 = {2; 0; 2; 0} Nên ta thấy ngay quy luật, với số tự nhiên n thì S2n−1 = {1; 1; 3; 3} S2n = {2; 0; 2; 0} Giả tồn tại một lúc nào đó, số sỏi của 4 đống đều bằng nhau thì khi đó số sỏi mỗi đống là 25 (giả sử tại bước k). Khi đó Sk = {1; 1; 1; 1} (vô lí). Vậy không thể xảy ra trường hợp số sỏi cả 4 đống bằng nhau. Câu 6 (MYTS lớp 9 - Vòng 2 - 2018). Cho đa giác lồi P có 2018 đỉnh. Bạn Ngoan muốn ghi vào mỗi đỉnh của P một số nguyên dương sao cho các điều kiện sau đây được đồng thời thoả mãn: 1/ Trong 2018 số được ghi, có ít nhất một số chẵn; 2/ Tổng của 3 số được ghi ở 3 đỉnh liên tiếp tuỳ ý là một số lẻ. Hỏi bạn Ngoan có thể thực hiện được ý muốn nêu trên của mình hay không? Vì sao? Lời giải. Sắp thứ tự các đỉnh liên tiếp lần lượt là Ai , Ai+1 , (1 ≤ i ≤ 2017). Do trong 2018 đỉnh được ghi số, có ít nhất một số là chẵn, và vai trò các đỉnh như nhau nên có thể giả sử giả số A1 là số chẵn đầu tiên. Để thoả điều kiện đề ra thì ta chỉ có thể ghi số theo hai cách sau C C L C C L C L C C C L C C L C L C C L A1 − A2 − A3 − A4 − A5 − A6 − · · · − A2015 − A2016 − A2017 − A2018 . hoặc A1 − A2 − A3 − A4 − A5 − A6 − · · · − A2015 − A2016 − A2017 − A2018 . (Nhận xét là các số ở cách thứ nhất, các số lẻ có dạng A3k (k ∈ N); ở cách thứ hai các số lẻ dạng A2+3k (k ∈ N).) Tuy nhiên, có thể thấy rằng, ở cách thứ nhất, các đỉnh A2017 , A2018 , A1 được ghi các số chẵn, nên tổng chẵn; ở cách thứ hai, các đỉnh A2018 , A1 , A2 được ghi hai số lẻ, một chẵn, nên tổng chẵn. Điều này cho ta sự mâu thuẫn. Vậy bạn Ngoan không thể nào thực hiện được ý muốn nêu trên của mình. ? ĐỀ THI MYTS 2018 ? Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang - Phạm Hữu Hiệp 17 THÔNG BÁO Xin chào tất cả bạn đọc! Hiện TAoM đang thực hiện các dự án toán chuyên cấp hai và cấp ba. Tuyển tập các bài toán từ kì thi HSG các tỉnh thành phố năm học 2017-2018 là dự án thứ hai của nhóm TAoM trong năm 2018. Và bất đẳng thức là chuyên đề đầu tiên mà chúng tôi thực hiện. Ngoài ra, trong năm học 2018-2019 tới chúng tôi thực hiện khoá " TỰ HỌC" theo lộ trình kiến thức chuẩn dành cho các bạn đang chuẩn bị cho kì thi HSG tỉnh thành phố và thi vào lớp chuyên toán. Chúng tôi xin mô tả sơ lượt khoá học. • Thời gian: khoá học từ tháng 6/2018 đến cuối tháng 3/2019 (tổng cộng 10 tháng). • Nội dung: Đại số, số học, hình học và tổ hợp. • Học phí: 50k một tháng như vậy cả khoá học là 500k. • Mô tả: chúng tôi sẽ gửi kế hoạch cả khoá học cho các bạn học viên ( bản kế hoạch sẽ gửi vào đầu tháng 6). Mỗi chuyên đề chúng tôi sẽ cung cấp lí thuyết và bài tập mẫu thật chuẩn với cấu trúc thi HSG tỉnh và đề toán chuyên cho các bạn, sau đó sẽ là bài tập tự luyện. – 21h tối thứ 6 sẽ bắt đầu phát tài liệu và bài tập tự luyện. Các bạn sẽ đọc và làm các bài tập. – 21h tối thứ 4 tuần sau sẽ phát đáp án chi tiết. • Sau mỗi chuyên đề, chúng tôi sẽ có một bài kiểm tra cho các bạn để đánh giá mức độ của mình (trung bình mỗi tháng sẽ có một bài). Chúng tôi sẽ chấm, công bố điểm và sẽ có những lời khuyên về những phần các bạn còn hạn chế. Điểm số 10 tháng sẽ được cộng lại và chúng tôi sẽ tổng kết sau khi kết thúc khoá học. 5 bạn cao điểm nhất sẽ được tặng KHOÁ LUYỆN ĐỀ VÀO 10 CHUYÊN vào tháng 4/2018. Những lí do mà các bạn nên chọn khoá TỰ HỌC của TAoM: • Học phí RẺ (50k mỗi tháng tương đương với một bữa ăn sang). • Lộ trình khoa học dành cho các bạn thi HSG tỉnh, TP và luyện thi vào chuyên (như vậy các bạn sẽ không lan man, không biết bắt đầu học từ đâu) • Hệ thống bài tập chuẩn,và khoa học dựa trên đề thi HSG tỉnh, TP và thi chuyên các năm. • Chúng tôi sẽ liên tục kiểm tra đánh giá và chỉ ra những mặt hạn chế của bạn bạn để giúp các bạn phát triển. • Ngoài ra, nếu các thầy cô dạy đội tuyển nếu muốn cũng có thể mua khoá học để bồi dưỡng học sinh của mình. ? ĐỀ THI MYTS 2018 ? Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang - Phạm Hữu Hiệp 18 Chúng tôi sẽ bắt đầu tuyển sinh vào tháng 5/2018. Hy vọng các thầy/cô, các bậc phụ huynh, các em học sinh sẽ quan tâm và giới thiệu để khoá học đến với những học sinh đam mê môn toán, đang có dự định thi HSG tỉnh, TP và thi vào lớp 10 chuyên toán. Xin chân thành cảm ơn tất cả các bạn! Thay mặt các admin nhóm TAoM Phạm Quốc Sang - Lê Minh Cường - Phạm Hữu Hiệp ? ĐỀ THI MYTS 2018 ?