Tài liệu Tìm kiếm giải pháp thực hiện việc rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua khai thác một bài toán trong dạy học giải bài tập

LỜI CÁM ƠN Trước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Dũng, người đã tận tình, chu đáo, động viên và hướng dẫn em thực hiện luận văn. Em xin gửi lời cám ơn tới toàn thể các cán bộ phòng Sau Đại học, các thầy cô khoa Toán trường Đại học Tây Bắc cùng tất cả các thầy cô tham gia giảng dạy đã giúp đỡ, trang bị cho em những kiến thức quan trọng, quý báu trong suốt quá trình học tập của mình và giúp đỡ em hoàn thành luận văn của mình. Em cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban giám hiệu, tổ Toán trường THPT Hà Trung – Thanh Hóa, đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho em trong quá trình tiến hành thực nghiệm sư phạm. Cuối cùng, em xin gửi lời cám ơn tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ trong suốt quá trình em học tập và thực hiện luận văn. Em xin chân thành cảm ơn! Sơn La, ngày 18 tháng 9 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thành Long QUY ƢỚC VỀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN Viết tắt Viết đầy đủ THPT : Trung học phổ thông SGK : Sách giáo khoa BĐT : Bất đẳng thức NXB : Nhà xuất bản NC : Nâng cao HS : Học sinh GV : Giáo viên MỤC LỤC CHƢƠNG I. GIỚI THIỆU CHUNG VỀ ĐỀ TÀI ........................................................ 1 1.1. Vấn đề nghiên cứu................................................................................................ 1 1.2. Nhu cầu cần nghiên cứu ....................................................................................... 3 1.3. Đề tài nghiên cứu ................................................................................................. 3 1.4. Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng và phương pháp nghiên cứu .............................. 4 1.4.1. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 4 1.4.2. Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu ......................................................... 4 1.4.3. Đối tượng nghiên cứu .................................................................................... 4 1.5. Giả thuyết khoa học, ý nghĩa của việc nghiên cứu .............................................. 4 1.5.1. Giả thuyết khoa học ....................................................................................... 4 1.5.2. Ý nghĩa của việc nghiên cứu ......................................................................... 5 1.6. Cấu trúc luận văn ................................................................................................. 5 CHƢƠNG II. CỞ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN..................................................... 7 2.1. Nhu cầu và định hướng đổi mới phương pháp dạy học ....................................... 7 2.2. Cơ sở lý luận của vấn đề nghiên cứu ................................................................... 8 2.2.1. Tư duy và một số thao tác tư duy phổ biến ................................................... 8 2.2.2. Lý luận về dạy học giải bài tập toán ............................................................ 18 2.3. Cơ sở thực tiễn ................................................................................................... 23 2.3.1. Thực trạng về khả năng tư duy của học sinh THPT trong giải bài tập toán 23 2.3.2. Thực trạng về việc rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh THPT trong giải bài tập toán của giáo viên ............................................................................... 23 2.4. Kết luận chương II ............................................................................................. 24 CHƢƠNG III. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN VIỆC RÈN LUYỆN MỘT SỐ THAO TÁC TƢ DUY CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN TRONG DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP ............................................................... 25 3.1. Nhóm biện pháp thứ nhất: Rèn luyện một số thao tác tư duy cho học sinh thông qua việc đánh giá lời giải và khai thác giả thiết, kết luận của bài toán ..................... 25 3.1.1. Biện pháp thứ nhất: Đánh giá việc sử dụng giả thiết sau mỗi phép chứng minh ....................................................................................................................... 25 3.1.2. Biện pháp thứ hai: Giải bằng nhiều cách cho một bài toán ........................ 30 3.1.3. Biện pháp thứ ba: Khai thác bài toán theo hướng cố định giả thiết và thay đổi kết luận nhằm rèn luyện một số thao tác tư duy cho học sinh ........................ 37 3.1.4. Biện pháp thứ tư: Khai thác bài toán theo hướng cố định kết luận thay đổi giả thiết nhằm rèn luyện một số thao tác tư duy cho học sinh .............................. 47 3.1.5. Biện pháp thứ năm: Khai thác bài toán theo hướng thay đổi cả giả thiết và kết luận để đến một bài toán mới nhằm rèn luyện một số thao tác tư duy cho học sinh ........................................................................................................................ 56 3.2. Nhóm giải pháp thứ hai: Rèn luyện một số thao tác tư duy cho học sinh theo hướng kết hợp bài toán với một số bài toán có liên quan trước đó mà học sinh đã giải ............................................................................................................................. 64 3.2.1. Biện pháp thứ nhất: Xét xem bài toán vừa giải có là trường hợp riêng của một bài toán đã biết hay không? nhằm rèn luyện một số thao tác tư duy cho học sinh ........................................................................................................................ 64 3.2.2. Biện pháp thứ hai: Kết hợp bài toán vừa giải với một số bài toán có liên quan trước đó mà học sinh đã giải để khái quát hóa thành một bài toán tổng quát nhằm rèn luyện một số thao tác tư duy cho học sinh ............................................ 75 3.3. Nhóm biện pháp thứ ba: Rèn luyện một số tác tư duy cho học sinh thông qua việc làm “dễ hóa” hoặc làm “khó hóa” bài toán cho phù hợp với trình độ của học sinh ............................................................................................................................ 93 3.3.1. Biện pháp thứ nhất: Thay đổi cách phát biểu bài toán hoặc đưa thêm các câu hỏi trung gian có tính vấn đáp gợi mở, để làm “dễ hóa” bài toán cho phù hợp với các đối tượng học sinh yếu kém ở vùng sâu, vùng xa nhằm rèn luyện một số thao tác tư duy cho học sinh ............................................................................. 93 3.1.2. Biện pháp thứ hai: Thay đổi cách phát biểu bài toán hoặc cắt bớt một số câu hỏi trung gian để làm “khó hóa” bài toán cho phù hợp với các đối tượng học sinh ở các lớp chuyên chọn nhằm rèn luyện một số thao tác tư duy cho học sinh 98 3.4. Kết luận chương III .......................................................................................... 102 CHƢƠNG IV. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ............................................................ 104 4.1. Mục đích thực nghiệm ..................................................................................... 104 4.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm .................................................................... 104 4.2.1. Nội dung thực nghiệm ............................................................................... 104 4.2.2. Tổ chức thực nghiệm ................................................................................. 108 4.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm ......................................................................... 109 4.3.1. Đánh giá định tính ..................................................................................... 109 4.3.2. Đánh giá định lượng .................................................................................. 110 4.4. Kết luận chương IV .......................................................................................... 112 KẾT LUẬN CỦA LUẬN VĂN .................................................................................... 113 TÀI LIỆU CHÍNH DÙNG ĐỂ THAM KHẢO......................................................... 114 CHƢƠNG I. GIỚI THIỆU CHUNG VỀ ĐỀ TÀI 1.1. Vấn đề nghiên cứu Trong thư gửi các bạn trẻ yêu Toán, ngày 10 tháng 10 năm 1967. Cố thủ tướng Phạm Văn Đồng đã viết: “...Trong các môn khoa học và kỹ thuật, Toán học giữ một vai trò nổi bật. Nó các tác dụng lớn đối với nhiều ngành khoa học khác, đối với kỹ thuật, đối với sản xuất và chiến đấu. Nó còn là môn thể thao của trí tuệ, giúp chúng ta nhiều trong việc phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập, phương pháp giải quyết các vấn đề, giúp chúng ta rèn trí thông minh sáng tạo...”. Hướng đổi mới trong việc dạy toán ở trường phổ thông là phải thay thế lối truyền thụ tri thức một chiều bởi dạy cho học sinh kiến tạo kiến thức, dạy cách suy nghĩ giải quyết vấn đề, phát triển tư duy. Định hướng đó nhằm đáp ứng được yêu cầu ngày càng cao của xã hội. Nhiệm vụ trọng tâm của ngành Giáo dục là phải đào tạo ra những con người năng động, sáng tạo, có khả năng giải quyết vấn đề. Điều này đã được Luật Giáo dục Việt Nam, năm 2005 quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của người học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh”. Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học giải Toán có vai trò quan trọng trong việc phát triển khả năng tư duy của học sinh, để từ đó có khả năng thích ứng khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết. Học sinh cũng thấy được mỗi lời giải bài toán như là một quá trình suy luận, tư duy mà phương pháp giải không chỉ phụ thuộc vào đặc điểm của bài toán mà còn phụ thuộc tố chất tâm lý của bản thân người giải. Mối liên hệ, dấu hiệu trong bài toán chỉ có thể được phát hiện thông qua quá trình phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, so sánh, .... Đồng thời, qua việc phát triển tư duy cho học sinh trong dạy học giải Toán làm cho học sinh biết được tính thực tiễn của Toán học: Xuất phát từ thực tiễn và quay về phục vụ thực tiễn. Nguồn gốc sức mạnh của Toán học là ở tính chất trừu tượng cao độ của nó. Nhờ 1 trừu tượng hoá mà Toán học đi sâu vào bản chất của nhiều sự vật, hiện tượng và có ứng dụng rộng rãi. Nhờ có khái quát hoá, xét tương tự mà khả năng suy đoán và tưởng tượng của học sinh được phát triển, và có những suy đoán có thể rất táo bạo, có căn cứ dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm qua việc rèn luyện các thao tác tư duy. Cũng qua thao tác khái quát hoá và trừ tượng hoá mà tư duy độc lập, tư duy sáng tạo, tư duy phê phán của học sinh cũng được hình thành và phát triển. Bởi qua việc phát triển tư duy đó học sinh tự mình phát hiện vấn đề, tự mình xác định được phương hướng, tìm ra cách giải quyết và cũng tự mình kiểm tra, hoàn thiện kết quả đạt được của bản thân cũng như những ý nghĩ và tư tưởng của người khác. Một mặt các em cũng phát hiện ra được những vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Ở trường phổ thông dạy Toán là dạy hoạt động toán học, trong đó hoạt động chủ yếu là hoạt động giải toán. Bài tập toán mang nhiều chức năng: Chức năng giáo dục, chức năng giáo dưỡng, chức năng phát triển tư duy và chức năng kiểm tra đánh giá. Dạy học giải bài tập toán được xem là một trong những tình huống điển hình trong dạy học môn Toán. Bài tập toán ở trường phổ thông là hết sức phong phú, đa dạng. Có những bài toán có thuật giải, có bài toán chưa có thuật giải. Đối với những bài toán chưa có thuật giải, giáo viên cần gợi ý và hướng dẫn học sinh như thế nào để họ có thể tự mình tìm thấy lời giải của bài toán là một vấn đề hết sức quan trọng; để mỗi tiết dạy học giải bài tập không chỉ là tiết chữa bài tập. Muốn làm được như vậy, việc rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy đóng một vai trò quan trọng nếu không muốn nói là cơ bản trong dạy học giải bài tập toán. Trong nhà trường phổ thông, tri thức Toán học trang bị cho học sinh không chỉ đơn giản bao gồm các tri thức khoa học như khái niệm, định lí, qui tắc mà còn cả tri thức phương pháp như kĩ năng, phương pháp giải toán... Mà trong đó tri thức phương pháp là quan trọng nhất. Dạy học giải bài tập toán có vai trò đặc biệt trong dạy học toán ở trường phổ thông. Bài tập toán là phương tiện có hiệu quả không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, hình thành kỹ năng, kỹ xảo và rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh. Có nhiều cách thức, có nhiều 2 con đường để rèn luyện thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học toán nói chung và dạy học giải bài tập nói riêng. Song, việc rèn luyện các thao tác tư duy của học sinh thông qua việc khai thác một bài toán chưa được quan tâm một cách đúng mức. Giáo viên thường chỉ nghĩ đến việc chữa bài tập và cung cấp lời giải của bài tập đó cho học sinh trong dạy học giải bài tập toán. Vì vậy vấn đề được đặt ra cho tác giả của luận văn là: Tìm kiếm giải pháp thực hiện việc rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua khai thác một bài toán trong dạy học giải bài tập. 1.2. Nhu cầu cần nghiên cứu Chương trình Toán học ở trường trung học phổ thông có nhiều tiềm năng thuận lợi cho việc rèn luyện các thao tác tư duy. Bài tập Toán có nhiều dạng thuộc về nhiều chủ đề kiến thức khác nhau, khi giải đòi hỏi người học sinh phải biết định hướng, biết sử dụng một cách tổng hợp nhiều kiến thức có liên quan. Song để làm được việc đó học sinh phải thành thạo một số thao tác tư duy cơ bản. Vì vậy việc rèn luyện cho học sinh các thao tác duy trong dạy học toán chung và dạy giải bài tập nói riêng là một nhu cầu thực tiễn. Mặc dù đã có nhiều công trình nghiên cứu việc rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh, nhưng việc rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua khai thác một bài toán trong dạy học giải bài tập chưa được quan tâm một cách đúng mức vì nhiều lý do khác nhau. Thông thường dạy học giải bài tập sẽ kết thúc khi học sinh có được lời giải bài toán. Giáo viên ít dành thời gian cho việc khai thác bài toán sau khi đã có một lời giải. Vì vậy nghiên cứu việc khai thác một bài toán là vấn đề cần được tiếp tục nghiên cứu cả về phương diện lý luận và triển khai trong thực tiễn dạy học. 1.3. Đề tài nghiên cứu Từ những lý do trên đây, tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là: “Rèn luyện các thao tác tư duy thông qua khai thác một bài toán trong dạy học giải bài tập toán ở trường trung học phổ thông”. 3 1.4. Mục đích, nhiệm vụ, đối tƣợng và phƣơng pháp nghiên cứu 1.4.1. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu một số vấn đề lý luận và thực tiễn về việc rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy thông qua khai thác một bài toán trong dạy học giải bài tập Toán ở trường THPT, nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán. 1.4.2. Nhiệm vụ và phƣơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận về tư duy và các thao tác tư duy. - Nghiên cứu lý luận về dạy học giải bài tập toán. - Nghiên cứu thực trạng việc rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh trong trong dạy học giải bài tập toán nói chung và trong việc khai thác một bài toán nói riêng. - Đề xuất giải pháp thực hiện rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác một bài toán. - Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra, đánh giá tính khả thi và hiệu quả của giải pháp đã đề ra trong luận văn. 1.4.3. Đối tƣợng nghiên cứu Dạy học và giải bài tập môn Toán ở trường THPT. 1.5. Giả thuyết khoa học, ý nghĩa của việc nghiên cứu 1.5.1. Giả thuyết khoa học Nếu sự dụng các biện pháp được nêu trong luận văn một cách thường xuyên và hợp lý trong việc dạy học toán nói chung và dạy học giải bài tập toán nói riêng, thì khả năng tư duy của học sinh sẽ được cải thiện và nâng cao. 4 1.5.2. Ý nghĩa của việc nghiên cứu - Góp phần nghiên cứu lý luận về việc rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học giải bài tập toán nói chung và trong khai thác một bài toán nói riêng. - Luận văn đã đề xuất được một giải pháp gồm ba nhóm biện pháp với chín biện pháp cụ thể nhằm thực hiện việc rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác một bài toán là một vấn đề đang còn ít được quan tâm trong dạy và học toán ở các trường phổ thông hiện nay. Vì thế giải pháp được đề xuất có một ý nghĩa và giá trị thực tiễn nhất định. - Luận văn có thể được sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên dạy môn Toán ở trường THPT và sinh viên năm cuối ở các trường Đại học sư phạm. 1.6. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm 4 chương: Chương I: Giới thiệu chung về đề tài Nội dung chủ yếu của chương trình bày vấn đề nghiên cứu, mục đính nghiên cứu, nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu. Chương II: Cở sở lý luận và thực tiễn Nội dung chủ yếu của chương trình bày những vấn đề về lý luận và thực tiễn liên quan đến việc rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua khai thác một bài toán. Chương III: Giải pháp thực hiện việc rèn luyện một số thao tác tư duy cho học sinh THPT thông qua khai thác một bài toán trong dạy học giải bài tập Nội dung chủ yếu của chương: Đề xuất giải pháp có tính chất tổng thể nhằm thực hiện việc rèn luyện một số thao tác tư duy cho học sinh THPT thông qua khai thác một bài toán trong dạy học giải bài tập. Chương IV: Thực nghiệm sư phạm 5 Nội dung chủ yếu của chương trình bày mục đích nội dung và kết quả thực nghiệm sư phạm và những đánh giá về tính hiệu quả và khả thi của những biện pháp đã nêu trong luận văn. 6 CHƢƠNG II. CỞ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 2.1. Nhu cầu và định hƣớng đổi mới phƣơng pháp dạy học Trong văn kiện của Đảng và Nhà nước đã từng đề cập tới vấn đề đổi mới PPDH: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập của học sinh ” (Luật Giáo dục 2005). Trong công cuộc hội nhập và đổi mới điều đầu tiên đó là hội nhập về tri thức. Trong công cuộc hội nhập về tri thức ấy, lĩnh vực phải hội nhập trước nhất và quyết liệt nhất chính là lĩnh vực Giáo dục. Trước những yêu cầu và nhu cầu của sự phát triển xã hội, kinh tế đòi hỏi phải nâng cao chất lượng giáo dục. Nền giáo dục quốc dân phải tạo ra một thế hệ mới những công dân có năng lực lao động một cách tự chủ, tích cực và sáng tạo. Điều này đặt ra những yêu cầu mới đối với hệ thống giáo dục, đòi hỏi có những thay đổi, điều chỉnh về nội dung dạy học, phương pháp dạy học và đương nhiên cả mục tiêu dạy học một cách phù hợp. Môn Toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện các mục tiêu giáo dục phổ thông. Môn Toán góp phần hình thành và phát triển nhân cách. Song song với việc tiếp thu tri thức và rèn luyện kĩ năng toán học, môn Toán còn góp phần phát triển các năng lực trí tuệ chung, rèn luyện một số đức tính và phẩm chất cần thiết cho người lao động như: tính chính xác, khoa học, kỷ luật, sáng tạo…Ngoài ra, môn Toán còn là công cụ giúp học sinh học tập các môn học khác trong nhà trường phổ thông, tạo cơ sở để học sinh học tiếp đại học, cao đẳng, trung cấp chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động. Mục tiêu dạy học không chỉ ở những kết quả cụ thể của quá trình học tập, ở những tri thức và kĩ năng bộ môn mà điều quan trọng hơn là ở bản thân việc học, 7 cách học, ở khả năng đảm nhiệm, tổ chức và thực hiện những quy trình học tập một cách có hiệu quả. Như vậy, để học tập có hiệu quả thì hiểu lý thuyết thôi chưa đủ, người học cần vận dụng lý thuyết vào thực hành mà trước hết là vận dụng lý thuyết vào giải toán. Việc hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán không chỉ đơn thuần là dạy giải một bài toán cụ thể mà quan trọng là thông qua bài toán đó GV dạy cho học sinh chiến lược để giải toán. Qua quá trình hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán cụ thể, GV cần cài đặt sẵn những tri thức phương pháp giải toán trong đó. Dần dần học sinh lĩnh hội và rèn luyện phương pháp tìm lời giải cho một lớp các bài toán. Cao hơn nữa học sinh tự mình giải quyết được các bài toán mới lạ. Nhu cầu và định hướng đổi mới phương pháp dạy học đòi hỏi giáo viên cần phải tìm tòi và khai thác các khả năng rèn luyện thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học bài tập toán nói chung và trong dạy học giải bài tập nói riêng. 2.2. Cơ sở lý luận của vấn đề nghiên cứu 2.2.1. Tƣ duy và một số thao tác tƣ duy phổ biến a. Khái niệm về tƣ duy Quá trình hoạt động nhận thức của con người là một trong những hoạt động trọng tâm cơ bản nhất của con người, do đó nó cũng tuân theo cấu trúc tổng quát của một hoạt động nói chung. Quá trình nhận thức được phản ánh hiện thực khách quan bởi con người, là quá trình tạo thành tri thức trong bộ óc con người về hiện thực khách quan. Nhờ có nhận thức, con người mới có ý thức về thế giới; ý thức về cơ bản là kết quả của quá trình nhận thức thế giới. Nhờ đó, con người có thái độ đối với thế giới xung quanh, đặt ra mục đích và dựa vào đó mà hành động. Nhận thức không phải một hành động tức thời, giản đơn, máy móc và thụ động mà là một quá trình biện chứng, tích cực, sáng tạo. Quá trình nhận thức được diễn ra theo con đường từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, rồi từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn. Đó là quá trình nhận thức đi từ hiện tượng đến bản chất, từ bản chất kém sâu sắc đến bản chất sâu sắc hơn. Vì vậy: “trong lí luận nhận thức, cũng như trong tất cả lĩnh vực khác của khoa học, cần suy luận một cách biện chứng, nghĩa là đừng 8 giả định rằng nhận thức của chúng ta là bất di bất dịch và có sẵn, mà phải phân tích xem sự hiểu biết nãy sinh ra từ sự không hiểu biết như thế nào, sự hiểu biết không đầy đủ, chính xác trở thành đầy đủ hơn và chính xác hơn như thế nào”. Theo 21, tr.4: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của cái vật chất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lí luận... Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất xã hội của con người và bảo đảm phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật của thực tại. ....tư duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài người. Cho nên tư duy của con người được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ nhất với lời nói, và những kết quả của tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ. Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình như trừu tượng hoá, phân tích và tổng hợp, việc nêu lên những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chúng, việc đề xuất những giả thiết, những ý niệm... Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó. Khả năng phản ánh thực tại một cách khái quát của tư duy được biểu hiện ở khả năng của con người có thể xây dựng những khái niệm chung, gắn liền với sự trình bày những quy luật tương ứng. Khả năng phản ánh thực tại một cách gián tiếp của tư duy được biểu hiện ở khả năng suy lý, kết luận lôgíc, chứng minh của con người. Khả năng này hết sức mở rộng khả năng nhận thức. Xuất phát từ chỗ phân tích những sự kiện có thể tri giác được một cách trực tiếp, cho phép nhận thức được những gì không thể tri giác được nhờ các giác quan. Những khái niệm và những hệ thống khái niệm (những lí luận khoa học) ghi lại (khái quát hoá) kinh nghiệm của loài người và là điểm xuất phát để tiếp tục nhận thức thực tại. Tư duy con người được nghiên cứu trong những lĩnh vực khoa học khác nhau và bằng những phương pháp khác nhau”. Từ những điều đó, ta thấy rằng nhận thức cảm tính có vai trò quan trọng trong đời sống tâm lí của con người, nó cung cấp vật liệu cho các hoạt động tâm lí cao hơn. Tuy nhiên trong thực tế biến đổi thì cuộc sống xã hội luôn đặt ra những vấn đề cấp bách và biến đổi khôn lường. Do đó con người không thể giải quyết được nhiều vấn đề phức tạp đặt ra trong Toán học. Muốn giải quyết các vấn đề như 9 vậy con người cần phải có nhận thức cao hơn, đó là nhận thức lí tính mà ta còn gọi đó là “tư duy”. Tư duy được rất nhiều nhà tâm lí học nghiên cứu, một trong những nghiên cứu đầy đủ về tư duy đã được trình bày trong công trình của Theo X. L. Rubinstêin 17, tr.8: “Tư duy - đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể với khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể”. Như vậy tư duy mang bản chất xã hội và có tính sáng tạo, kết quả của nó không phải bằng chân tay, bằng hình tượng mà bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể hiện qua ngôn ngữ. Qua ngôn ngữ con người nhận thức những tình huống có vấn đề trong cuộc sống, trong xã hội và qua quá trình phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hóa, tổng quát hoá... để đi đến những khái niệm, định lí, phán đoán, ...để có được những sản phẩm của tư duy. Từ đó ta thấy được rằng, tư duy lúc nào cũng gắn kết với ngôn ngữ và được thực hiện trong ngôn ngữ cho nên nếu tư duy không phát triển thì ngôn ngữ cũng không thể phát triển được. Vì vậy nếu có tư duy tốt đúng đắn thì có thể có triển vọng để nắm vững ngôn ngữ tốt, trong sáng và rõ ràng qua đó phát triển được trí tuệ của học sinh. Vì thế mà, khách thể trong quá trình tư duy được phản ánh dưới nhiều mức độ khác nhau, từ thuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con người. Và tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo. Nhà tâm lí học CRUGLIĂC (xem 10, tr.65) nói rằng: “Nhờ tư duy mà có thể chuyển được những tri thức sơ đẳng đầu tiên sang những tri thức sâu sắc hơn, chuyển từ hiện tượng sang bản chất và từ bản chất bậc một sang bản chất bậc hai, ....Nguyên nhân là do tri thức về bản chất không nằm trên bề mặt của hiện tượng, chỉ trong quá trình phân loại mới có thể phát hiện và tìm ra được chúng. Tư duy càng phát triển bao nhiêu càng có khả năng lĩnh hội tri thức một cách có kết quả và sâu sắc và càng có nhiều khả năng vận dụng những tri thức ấy trong hoạt động thực tế bấy nhiêu. Tri thức và tư duy gắn bó với nhau như sản phẩm đi đôi với quá trình”. 10 Qua đó ta thấy rằng, một tình huống khi gặp vấn đề nào đó, nó sẽ kích thích tư duy con người tìm tòi cách giải quyết, thúc đẩy nhận thức để tiến lên thu thập các tri thức mới, từ đó làm cho tư duy ngày một phát triển cao độ trong mối liên quan biện chứng với nhau. Tư duy là sản phẩm cao nhất của bộ não con người. Do đó, tư duy thuộc nấc thang nhận thức cao nhất, đó là nhận thức lý tính. Vì vậy tư duy có những đặc điểm mới về chất so với cảm giác và tri giác. Có thể thấy sự khác biệt đó qua những đặc điểm cơ bản sau: - Tư duy chỉ nảy sinh khi con người đứng trước những hoàn cảnh có vấn đề. - Tư duy có tính khái quát. - Tư duy có tính gián tiếp. - Tư duy của con người có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ. b. Một số thao tác tƣ duy phổ biến Chúng ta biết rằng, hoạt động nhận thức hay hẹp hơn, hoạt động tư duy chỉ diễn ra trong tình huống có vấn đề, khái niệm mà ta thường dùng để chỉ các mâu thuẫn nảy sinh trong thực tiễn hay xét một cách nôm na, ta thường gọi là bài toán. Bài toán bao gồm hai hệ thống thông tin, hai bộ phận về hình thức luôn mâu thuẫn với nhau nhưng luôn có những liên hệ gắn bó với nhau. Bộ phận thứ nhất là “điều kiện” bao gồm tất thảy những thông tin đã cho một cách tường minh hoặc tiềm ẩn. Tức là điều kiện có liên quan đến bài toán sẽ biểu hiện sau những biến đổi nhất định. Bộ phận thứ hai là “yêu cầu” gồm những thông tin mà bài toán đòi hỏi phải tìm. Quá trình giải bài toán là hoạt động trí óc gồm những thao tác đa dạng, phức tạp nhưng xét đến cùng luôn là sự phân tích, tổng hợp, so sánh, đối chiếu các điều kiện với các yêu cầu của bài toán; phân tích, lý giải các mối liên hệ đã có để giải quyết những mâu thuẫn giữa điều kiện và yêu cầu. Quá trình phân tích, lý giải này sẽ dẫn tư duy đến những mối liên hệ mới. Cứ như thế mà dần dần làm sáng tỏ yêu cầu cần đạt của bài toán. Thông tin cần cho việc giải bài toán còn ở dạng tiềm ẩn, cho nên, việc lý giải thông qua các thao tác tư duy, mối liên hệ giữa tập hợp các điều kiện tường minh 11 hay tiềm ẩn với các yêu cầu của bài toán. Việc khám phá dần dần các điều kiện tiềm ẩn cũng chính là quá trình chứng minh, bổ sung hoàn chỉnh hoặc bác bỏ giả thuyết ban đầu, bởi vì nhờ các hoạt động đó mà tư duy có thể nhìn thấy rõ hơn mối liên hệ thực giữa điều kiện và yêu cầu. Nó sẽ giúp ta thấy được con đường đi tới mục đích mà yêu cầu đặt ra là đúng hướng. Tiêu biểu cho tư duy là quá trình phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá,... việc nêu lên những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chúng, việc đề xuất những giả thuyết, những ý niệm,... kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó. Khả năng phản ánh thực tại một cách gián tiếp của tư duy được biểu hiện ở khả năng suy lý, kết luận lôgic chứng minh của con người”. Hoạt động tư duy của con người luôn hướng vào giải quyết một vấn đề, hoặc làm sáng tỏ điều nào đó mà họ có mong muốn cần hiểu biết. Trong quá trình dạy học, việc rèn các hoạt động trí tuệ cho học sinh cần tập trung chú ý tới việc rèn luyện một số thao tác tư duy cơ bản. Đó là những hoạt động trí tuệ thường gặp trong dạy học Toán ở nhà trường phổ thông.  Phân tích và tổng hợp Theo tâm lí học các quá trình phân tích và tổng hợp là những thao tác tư duy cơ bản, tất cả những cái tạo thành hoạt động trí tuệ đều là những dạng khác nhau của các quá trình đó. Vì vậy, để phát triển trí tuệ cho học sinh qua bộ môn Toán, giáo viên cần phải coi trọng việc rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích và tổng hợp. Theo Nguyễn Cảnh Toàn [14, tr.122]: Phân tích là chia một chỉnh thể ra thành nhiều bộ phận để đi sâu vào các chi tiết trong từng bộ phận. Tổng hợp là nhìn bao quát lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, tìm các mối liên hệ giữa các bộ phận của chỉnh thể và của chính chỉnh thể đó với môi trường xung quanh. Theo ông, phân tích tạo điều kiện cho tổng hợp, tổng hợp lại chỉ ra phương hướng cho sự phân tích tiếp theo. Theo Hoàng Chúng [9, tr.15]: Trong mọi khâu của quá trình học tập Toán học của học sinh, năng lực phân tích, tổng hợp luôn là một yếu tố quan trọng giúp học sinh nắm vững kiến thức và vận dụng kiến thức một cách sáng tạo. 12 Theo M. N. Sácđacốp [11] thì: Phân tích là một quá trình nhằm tách các bộ phận của những sự vật hoặc hiện tượng của hiện thực với các dấu hiệu và thuộc tính của chúng, cũng như các mối liên hệ và quan hệ giữa chúng theo một hướng nhất định. Theo ông, thì quá trình phân tích nhằm mục đích nghiên cứu chúng đầy đủ và sâu sắc hơn, và chính như vậy mới nhận thức được một cách trọn vẹn các sự vật và hiện tượng. Tổng hợp (cộng) là sự tổng hợp sơ đẳng, nhờ đó mà các bộ phận của một toàn thể kết hợp với nhau làm thành một tổng số của các bộ phận đó. Ông cho rằng; sự tổng hợp chân chính không phải là sự liên kết máy móc các bộ phận thành một chỉnh thể, không phải đơn thuần là sự tổng cộng các bộ phận của một toàn thể. Sự tổng hợp chân chính là một hoạt động tư duy xác định, đặc biệt đem lại kết quả mới về chất, cung cấp một sự hiểu biết mới nào đó về hiện thực. Như vậy, phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất. Chúng là hai hoạt động trí tụê cơ bản của quá trình tư duy. Những hoạt động trí tuệ khác đều diễn ra trên nền tảng của phân tích và tổng hợp. Có thể nói không một vấn đề tổng hợp (không tầm thường) nào lại chẳng cần dùng đến phân tích trong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề. Phân tích và tổng hợp không bao giờ tồn tại tách rời nhau. Chúng là hai mặt đối lập của một quá trình thống nhất bởi vì trong phân tích đã có tổng hợp, phân tích cái toàn thể đồng thời là tổng hợp các phần của nó. Vì phân tích cái toàn thể ra từng phần cũng chỉ nhằm mục đích làm bộc lộ ra mối liên hệ giữa các phần của cái toàn thể ấy. Phân tích một cái toàn thể là con đường để nhận thức cái toàn thể sâu sắc hơn. Sự thống nhất của quá trình phân tích - tổng hợp còn được thể hiện ở chỗ: Cái toàn thể ban đầu (tổng hợp 1) định hướng cho phân tích, chỉ ra cần phân tích mặt nào, khía cạnh nào, kết quả của phân tích là cái toàn thể ban đầu được nhận thức sâu sắc hơn (tổng hợp 2). Như vậy, phân tích và tổng hợp theo con đường: tổng hợp 1 phân tích - tổng hợp 2. Các thao tác phân tích - tổng hợp có mặt trong mọi hành động trí tuệ của con người. Trong giải toán, học sinh thường phải thực hiện các thao tác phân tích, tổng hợp xen kẽ với nhau. Bằng gợi ý của G. Pôlya viết trong tác phẩm “Giải bài toán 13 như thế nào” [19] đã đưa ra quy trình 4 bước để giải bài toán. Trong mỗi bước tác giả đã đưa ra các gợi ý, đó chính là các thao tác phân tích, tổng hợp liên tiếp, đan xen nhau để thực hiện được 4 bước của quá trình giải toán. Có thể thấy trong giải toán, các thao tác phân tích và tổng hợp thường gắn bó khăng khít với nhau. Trong phân tích có sự tổng hợp (Tổng hợp thành phần) và trong quá trình tổng hợp phải có sự phân tích (Để đảm bảo tính lôgic và tính định hướng của quá trình tổng hợp). Một điều hiển nhiên là: Một bài tập mà học sinh cần phải giải (Bài tập này do giáo viên đặt ra, do chương trình học tập yêu cầu, do học sinh biết được trong quá trình tự học vv...) chỉ có hữu hạn các phương pháp giải, các phương pháp giải ấy tất nhiên phải sử dụng các kiến thức đã có (kiến thức đã được học, kiến thức tự tích luỹ...) của học sinh vì thế bản chất của thao tác giải một bài tập toán của học sinh thường là: Vốn kiến thức Toán học, kĩ năng và kinh nghiệm giải Toán Nội dung và hình thức của bài toán Định hướng tìm tòi lời giải bài tập Hướng 2 Hướng 1 Nhận thức đềPhân tích 1 chọn lựa hoặc bác bỏ Nhận thức đềPhân tích 2 chọn lựa hoặc bác bỏ Chọn lựa được hướng giải thích hợp Tiến hành phân tích, tổng hợp để đưa ra lời giải của bài tập 14 Hướng k Nhận thức đềPhân tích k chọn lựa hoặc bác bỏ  Khái quát hoá và trừu tƣợng hoá Khái quát hoá: Theo G. Pôlia [18, tr.21]: “Khái quát hoá là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu”. Theo tác giả Nguyễn Bá Kim [12, tr.55]: “Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát”. Có thể nói trong cuộc sống và học tập, khắp nơi và mọi lúc đều cần đến thao tác tư duy khái quát. Đúng như Đại văn hào Nga - Lep Tônxtôi đã nói: “Chỉ khi trí tuệ của con người tự khái quát hoặc đã kiểm tra sự khái quát thì con người mới có thể hiểu được nó”. [7, tr.170] “Không có khái quát thì không có khoa học; không biết khái quát là không biết cách học. Khả năng khái quát là khả năng học tập vô cùng quan trọng, khả năng khái quát Toán học là một khả năng đặc biệt”. Theo tác giả Nguyễn Bá Kim trong Nghiên cứu giáo dục số 5/1982 thì những dạng khái quát hoá thường gặp trong môn Toán được biểu diễn bằng sơ đồ sau: Khái quát hoá Khái quát hóa từ cái riêng lẻ đến cái tổng quát Khái quát hoá từ cái tổng quát đến cái tổng quát hơn Khái quát hoá tới cái tổng quát đã biết Khái quát hoá tới cái tổng quát chưa biết (Trích dẫn từ [13, tr.6]) Với sự biểu diễn như trên, ta thấy rằng có 2 con đường khái quát: Con đường thứ nhất trên cơ sở so sánh những trường hợp riêng lẻ, con đường thứ 2 không dựa trên so sánh mà dựa trên sự phân tích chỉ một hiện tượng trong một loạt hiện tượng giống nhau. Có thể nói rằng, khái quát hoá là một thông số quan trọng bậc nhất, một năng lực đặc thù của tư duy, là cơ sở duy nhất để phân biệt giữa tư duy lý luận và tư 15