Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Tìm hiểu về phép đối xứng tâm trong chương trình phổ thông...

Tài liệu Tìm hiểu về phép đối xứng tâm trong chương trình phổ thông

.DOCX
36
379
69

Mô tả:

BAO GỒM CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---------- BÀI TIỂU LUẬN TÌM HIỂU VỀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG Nhóm Sinh viên: SP Toán 49 C - Lớp N04 (Nhóm 6) 1. 2. 3. 4. 5. 6. Nguyễn Lưu Quỳnh Anh Đỗ Thị Thu Hiền Phan Thị Hương Vũ Thị Lê Minh Nguyễn Thị Mỵ Nguyễn Thị Thu Thảo Thái Nguyên, ngày 29/03/2017 Lời mở đầu 1 Trong nhà trường phổ thông, hình học là một môn khó đối với học sinh, bởi vì tính chặt chẽ, logic và tính trừu tượng của hình học cao hơn các môn học khác. Việc đưa nội dung các phép biến hình vào chương trình toán ở bậc trung học cơ sở và trung học phổ thông không những chỉ cung cấp cho học sinh những công cụ mới để giải toán mà còn tập cho học sinh làm quen với các phương pháp tư duy và suy luận mới, biết nhìn nhận sự việc và các hiện tượng xung quanh trong cuộc sống với sự vận động và biến đổi của chúng để nghiên cứu, tìm tòi, khám phá tạo cơ sở cho sự ra đời của những phát minh và sang tạo trong tương lai. Đặc biệt là các phép biến hình sơ cấp là một phần quan trọng của hình học và nó là một công cụ hữu ích đối với các bài toán hình học phẳng và hình học không gian. Trong việc giải toán hình học ngoài phương pháp tổng hợp, phương pháp tọa độ, phương pháp vecto mà chúng ta đã biết và sử dụng còn có phương pháp biến hình. Đó là phương pháp vận dụng tính chất của các phép biến hình vào việc khảo sát tính chất hình học của các hình, tính toán các đại lượng hình học, tìm tập hợp điểm và dựng hình. Các phép dời hình được vận dụng rất nhiều cho việc giải các bài toán hình học phẳng. Đề tài này đề cập đến một phép dời hình. Đặc biệt là phép đối xứng tâm. Qua việc tìm hiểu những tính chất và ứng dụng của phép đối xứng tâm trong mặt phẳng để vận dụng vào giải các bài toán hình học cụ thể. Từ đó cung cấp cho người đọc một công cụ giải toán mới đó là phương pháp biến hình mà cụ thể ở đây là sử dụng phép đối xứng tâm ( có thể gọi là phương pháp đối xứng tâm). 2 PHẦN I: KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa phép đối xứng tâm (Hình 1.1) Cho điểm O. Phép biến hình biến điểm M thành M sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM được gọi là phép đối xứng tâm O. Khi M trùng tâm O, thì phép đối xứng tâm biến O thành chính nó. Điểm O được gọi là tâm của phép đối xứng hay đơn giản là tâm đối xứng. M’ là ảnh qua phép đối xứng tâm O của M  M là ảnh của M’qua phép đối xứng tâm O. 2. Kí hiệu, cách gọi Ký hiệu: ĐO. Khi đó: M' = ĐO(M) ⇔ 3. Biểu thức vectơ M' =ĐO (M) ⇔ 4. Biểu thức tọa độ: =- =- Cho I(a;b) Đ1 : M(x;y)  M(x;y). Khi đó  x 2 a− x y 2 b− y Đặc biệt: Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ O: 3 ĐO: M(x;y)  M(x;y). Khi đó  x− x y− y 5. Bảo toàn khoảng cách Nếu ĐO(M) = M, N = ĐO(N) thì =– từ đó suy ra MN = MN 6. Tác động đến các đối tượng hình học Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính. 7. Hình có tâm đối xứng Điểm O được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm O biến H thành chính nó. Khi đó ta nói hình có tâm đối xứng. O là tâm của hình (H ) ĐO(H) = (H) Nếu hình (H’)là ảnh của hình (H) qua ĐO thì ta còn nói là (H’) đối xứng với H qua tâm O, hay (H) và (H’) đối xứng với nhau qua O. (Hình 1.2) Hai hình đối xứng nhau qua một điểm 4 Hình này đối xứng với hình kia qua điểm O nếu mỗi điểm của hình này đối xứng với một điểm của hình kia qua O, và ngược lại. Điểm O gọi là tâm đối xứng của hai hình đó. (Hình 1.3) Quan sát Hình (1.3), ta thấy: Hai đoạn thẳng AB và A'B' đối xứng nhau qua tâm O Hai đường thẳng AC và A'C' đối xứng nhau qua tâm O Hai góc ABC và A'B'C' đối xứng nhau qua tâm O Hai tam giác ABC và A'B'C' đối xứng nhau qua tâm O Người ta cũng chứng minh được rằng: Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một điểm thì chúng bằng nhau. 5 (Hình 1.4) Trên Hình (1.4) ta có hai hình (H) và (H’) đối xứng với nhau qua tâm O. Một số hình có tâm đối xứng 1. Hình bình hành, tâm đối xứng của hình bình hành là giao điểm hai đường chéo. 2. Đường tròn, tâm đối xứng của đường tròn là tâm của đường tròn. 3. Hình chữ nhật, tâm đối xứng của hình chữ nhật là giao điểm hai đường chéo. 4. Hình thoi, tâm đối xứng của hình thoi là giao điểm hai đường chéo. 5. Hình vuông, tâm đối xứng của hình vuông là giao điểm hai đường chéo. 6 Một số hình trong thực tếcó tâm đối xứng (Hình 1.5 ) ( Hình 1.6) (Hình 1.7 ) (Hình 1.8) 7 Phần II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP I. XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM Cho điểm I(a;b) và hình (H) có phương trình f(x,y) = 0 tìm phương trình ảnh (H) của hình (H) qua phép đối xứng tâm I: Phương pháp:  Gọi M(x;y) là điểm tùy ý trên đường (H): f(x;y) = 0.  Gọi M(x;y) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I. Dùng biểu thức tọa độ  x  2 a− x y  2 b− y ta có M(2a – x ; 2b – y)  M  (H)  g(x,y) = 0  (H) của hình (H) qua phép đối xứng tâm I  (H) là tập hợp tất cả các điểm M.  (H) : f (x,y) = 0 Đặc biệt: i. Nếu (H) là đường thẳng ta có thể thực hiện như sau: + Chọn hai điểm M(x0;y0), N(x1;y1) cụ thể thuộc đường thẳng (H). + Dùng biểu thức tọa độ ta có: M(2a – x0; 2b – y0) và N(2a – x1; 2b – y1) 8 là ảnh của điểm M và N qua phép đối xứng tâm I.  Đường thẳng (d) là đường thẳng đi qua hai điểm M và N (d ') :  x  (2a  x ) y  (2b  y ) 1 1  (2a  x )  (2a  x ) (2b  y )  (2b  y ) 0 1 0 1 ii. Nếu (H) là đường tròn ta có thể thực hiện như sau:  Xác định tâm O(x0;y0) và bán kính R của đường tròn tâm (H).  Dùng biểu thức tọa độ ta có tọa độ cuả tâm O(2a – x0; 2b – y0) là ảnh của điểm O qua phép đối xứng tâm I.  Đường tròn (C) { là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm I} có tâm là O(2a – x0; 2b – y0) và bán kính R  (C) : [ x – (2a – x0)]2 +[ y – (2b – y0)]2 = R2 1.1. Tìm tọa độ của một điểm qua phép đối xứng tâm Bài 1.1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm I(1;-2). Tìm tọa độ của điểm I' là ảnh của điểm I qua phép đối xứng tâm O. Hướng dẫn giải: Bài tập trên các bạn thấy khá là dễ dàng bởi tâm đối xứng của chúng ta chính là gốc tọa độ. Do đó ta gọi tọa độ của điểm I' là I'(x';y') thì:   ' x − x ⇔ y ' − y Vậy tọa độ của điểm I' là: I'(-1;2) 9 x ' −1 y ' 2 Bài 1.2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2;3). Tìm tọa độ của điểm A' là ảnh của điểm A qua phép đối xứng tâm I(2;4). Hướng dẫn giải: Gọi tọa độ của điểm A' là: A'(x';y') Theo biểu thức tọa độ ta có:  x '  2 x0  x  x '  2.2  2  x '  2       y '  2 y  y  y '  2.4  3  y '  5  0 Vậy tọa độ của điểm A' là: A'(2;5) Bài 1.3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A'(2;3). Tìm tọa độ của điểm A biết A' là ảnh của điểm A qua phép đối xứng tâm I(2;4). Hướng dẫn giải: Gọi tọa độ của điểm A là: A(x;y) Áp dụng biểu thức tọa độ ta có:  x '  2 x0  x    y '  2 y0  y   x  2 x0  x '  x  2.2  2  x  2       y  2 y0  y '  y  2.4  3  y  5  Vậy tọa độ của điểm A là: A(2;5). 10 1.2. Tìm phương trình đường thẳng bằng phép đối xứng tâm: Với dạng toán trong phép đối xứng tâm chúng ta sẽ xét hai trường hợp:  Tâm đối xứng là gốc tọa độ  Tâm đối xứng là một điểm bất kì cho trước. Sau đây là bài tập áp dụng. Bài 1.4: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm có phương trình d: I (1;2) , đường thẳng d 3x  y  9  0 . Hãy xác định phương trình của đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua: a. Phép đối xứng qua gốc tọa độ. b. Phép đối xứng qua tâm I. Hướng dẫn giải: a) Tâm đối xứng là gốc tọa độ: Cách 1: Sử dụng biểu thức tọa độ: Gọi A( x; y) là một điểm bất kì thuộc đường thẳng d và A '( x '; y ') thuộc đường thẳng d’ là ảnh của điểm A qua phép đối xứng tâm O. Khi đó ta có:  x '  x  x  x '     y'  y  y  y' Thay x, y ở trên vào phương trình đường thẳng d ta được: 11 3( x ')  ( y ')  9  0  3x ' y ' 9  0  3x ' y ' 9  0 Vậy phương trình của đường thẳng d’ là 3x ' y ' 9  0 Cách 2: Sử dụng tính chất của phép đối xứng tâm: Vì đường thẳng d’ là ảnh của đường thảng d qua phép đối xứng tâm O nên d sẽ song song hoặc trùng với đường thẳng d. Do đó đường thẳng d sẽ có phương trình là: 3x  y  c  0 Chúng ta cần phải tìm c trong phương trình này. Để xác định được c chúng ta sẽ đi tìm 1 điểm thuộc đường thẳng d. Để tìm được điểm này chúng ta chỉ cần lấy 1 điểm thuộc d sau đó xác định ảnh của nó qua phép đối xứng tâm O. Lấy điểm M (2;3) thuộc d. Gọi M thuộc d là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O. khi đó M '(2; 3) Vì điểm M thuộc d nên ta có : 2.3  (3)  c  0  c  9 Vậy phương trình của đường thẳng d là: 3x  y  9  0 Cách 3: Tìm 2 điểm M, N thuộc d và viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm này. 12 Lấy hai điểm M (2;3) và N (0;9) thuộc đường thẳng d. Khi đó ảnh của hai điểm M và N qua phép đối xứng tâm O sẽ là hai điểm M và N thuộc đường thẳng d. Ta có tọa độ hai điểm M và N là M (2; 3) và N (0; 9) . u r u u uur uu u Vecto M ' N '(2; 6)  đường thẳng d' có vectơ pháp tuyến là: n(3; 1) u r Đường thẳng d' đi qua M '(2; 3) nhận n(3; 1) làm vec tơ pháp tuyến có phương trình là: 3( x  2) 1( y  3)  0  3x  y  9  0 b) Tâm đối xứng là điểm I Cách 1: Sử dụng biểu thức tọa độ Gọi M ( x; y) thuộc đường thẳng d và M '( x '; y ') là ảnh của điểm M qua phép đối xứng tâm  x '  2x  x  0   y'  2y  y  0  I (1;2) . Khi đó ta sẽ có:  x  2x  x '  x  2.1  x ' x  2 x'  0       y  2 y0  y '  y  2.2  y '  y  4  y '  Thay (x; y) ở trên vào phương trình đường thẳng d ta được: 3(2  x ')  (4  y ')  9  0  6  3x ' 4  y ' 9  0 13 Vậy phương trình đường thẳng d' là: 3x  y 11  0 Cách 2: Sử dụng tính chất Vì đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm I(1;2) nên d' sẽ song song hoặc trùng với đường thẳng d. Do đó đường thẳng d' sẽ có phương trình là: 3x  y  c  0 . Chúng ta cần phải tìm c trong phương trình này. Lấy điểm M(-2;3) thuộc d. Gọi M'(x';y') thuộc d' là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I. Khi đó ta có:  x '  2x  x  x '  2.(1)  (2)  x '  4  0      y '  2 y  y  y '  2.2  3  y ' 1  0  Vậy điểm M'(4;1) Vì điểm M' thuộc d' nên ta có: 3.4 1  c  0  c  11  Phương trình của đường thẳng d' là: 3x  y 11  0 Cách 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm Lấy điểm M(-2;3) thuộc d. M' là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I thì M'(4;1) (lấy kết quả từ cách 2) 14 Lấy điểm N(-3;0) thuộc d. Gọi N'(x';y') là ảnh của N qua phép đối xứng tâm I. Theo biểu thức tọa độ ta có:  x '  2x  x  x '  2.(1)  (3)  x '  5  0      y '  2 y  y  y '  2.2  0  y' 4  0  Vậy tọa độ của N' là: N'(5;4) u u ur uuu M ' N '  (1;3) ⇔ vectơ pháp tuyến của đường thẳng d' Vectơ uu ur n  (3;1) là: d ' uu ur n  (3;1) Đường thẳng d' đi qua M'(4;1) nhận d ' làm VTPT có phương trình là: 3( x  4)  1( y 1)  0  3x  y  11  0  3x  y 11  0 Bài 1.5: Cho đường thẳng d' có phương trình: x  y 1  0 và điểm M(1;2). Tìm phương trình đường thẳng d biết d' là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm M. Hướng dẫn giải: Cách làm: Dựa vào biểu thức tọa độ Gọi A(x;y) là điểm thuộc đường thẳng d và A'(x';y') là ảnh của điểm A qua phép đối xứng tâm M. Khi đó A' thuộc d'. 15 Ta sẽ có tọa độ của A' thỏa mãn phương trình: x ' y '1  0 (1) Áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm ta có:  x '  2x  x  x '  2.1  x x'  2 x  0       y '  2.2  y  y' 4 y  y '  2 y0  y  Thay ( x'; y') ở trên vào phương trình (1) ta được: 2  x  4  y 1  0   x  y  5  0  x  y  5  0 Vậy phương trình đường thẳng d là: 16 x  y 5  0 . 1.3. Tìm phương trình đường tròn bằng phép đối xứng tâm Bài 1.6: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M  1;2  và đường tròn  C  x2  y2  2 x  6 y  6  0 . Xác định phương trình có phương trình đường tròn  C ' là ảnh của đường tròn  C  qua phép đối xứng tâm M. Hướng dẫn giải : Cách 1: Xác định phương trình đường tròn theo tính chất: Đường tròn  C có tâm I  1;3 và bán kính r 2 Phép đối xứng tâm biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. Do đó đường tròn  C ' sẽ có bán kính r '  r  2 Công việc chúng ta phải làm là tìm tâm I' của đường tròn  Gọi C ' I'  x '; y ' là ảnh của tâm I qua phép đối xứng tâm M, nên ta có:  x '  2x  x  0   y '  2 y0  y  Vậy tọa độ của tâm I' là:   x '  2.1   1    y '  2.2  3 I'  3;1 17  x'  3   y ' 1  C '  Phương trình đường tròn 2 2  x  3   y 1  4 . cần tìm là: Cách 2: Xác định phương trình đường tròn bằng biểu thức tọa độ. Gọi A  x; y  là điểm bất kì thuộc đường tròn  C và A'  x '; y ' là ảnh của điểm A qua phép đối xứng tâm M. Khi đó A' sẽ thuộc đường tròn  C ' . Theo biểu thức tọa độ ta có:  x '  2x  x  x '  2.1  x x  2 x'  0       y '  2.2  y  y  4 y'  y '  2 y0  y  Thay (x; y) trong biểu thức trên vào phương trình đường tròn  C  ta được: 2 2  2  x '   4  y '  2  2  x '  6  4  y '   6  0 2 2  4  4 x ' x ' 16  8 y ' y '  4  2 x ' 24  6 y ' 6  0  x '2  y '2  6 x ' 2 y ' 6  0 2 2   x  3   y 1  4  C ' cần tìm là:  x  3 2   y 1 2  4 . Vậy phương trình đường tròn 18 Qua lời giải trên ta thấy bài toán yêu cầu tìm phương trình đường tròn bằng phép đối xứng tâm O hay gốc tọa độ thì bài toán rơi vào trường hợp đặc biệt rồi. Điểm O  0;0  M  1;2  lúc này sẽ được thay bằng điểm . C Bài 1.7: Cho đường tròn   C' và đường tròn   x  2 có phương trình:  2   y  1  4 2 x2  y 2  4 x  6 y  9  0 . có phương trình Tìm tâm đối xứng biết đường tròn (C ') là ảnh của đường tròn (C ) qua phép đối xứng tâm A Hướng dẫn giải: Gọi tọa độ của điểm A là: A( x ; y ) 0 0 Đường tròn (C ) có tâm là I  2;1 và bán kính r  2 Đường tròn (C ) có tâm là I '(2; 3) và bán kính r  2 Vì đường tròn (C ') là ảnh của đường tròn (C ) qua phép đối xứng tâm A nên ta có điểm I' là ảnh của điểm I qua phép đối xứng tâm A. Theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm ta có: 19  2  2x  2  0   3  2 y  1  0  2x  4  0   2 y  2  0  x  2  0   y0  1  Vậy tọa độ của tâm đối xứng A là: A  2; 1 Như vậy chúng ta đã phân tích và tìm lời giải cho hai bài toán được gắn vào hai dạng toán là: Tìm phương trình đường tròn ảnh Tìm tâm đối xứng khi biết đường tròn tạo ảnh và đường tròn ảnh II.Chứng minh các tính chất hình học và tính các yếu tố trong một hình. Phương pháp:  Từ giả thiết chọn một điểm I cố định phù hợp để xây dựng tâm đối xứng.  Thực hiện phép đối xứng qua tâm I vừa tìm ở trên.  Dùng tính chất của phép đối xứng tâm để chứng minh các yếu tố hình học hoặc xác định các tính chất của hình. III. TÌM TẬP HỢP ĐIỂM THỎA MÃN MỘT TÍNH CHẤT CHO TRƯỚC  Từ giả thiết chọn điểm E di động sao cho EM nhận điểm I làm trung điểm.  Xác định hình (H) là quỹ tích của E. 20
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan