Tài liệu Tìm hiểu các phép biến đổi wavelet ứng dụng trọng thủy vân bền vững

i .. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG ---------------    --------------- PHẠM QUỐC SƠN TÌM HIỂU CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET ỨNG DỤNG TRONG THỦY VÂN BỀN VỮNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH Thái Nguyên - 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ii ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG ---------------    --------------- PHẠM QUỐC SƠN TÌM HIỂU CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET ỨNG DỤNG TRONG THỦY VÂN BỀN VỮNG Chuyên ngành Mã số : Khoa học máy tính : 60 48 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. Nguyễn Bá Tƣờng Thái Nguyên - 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ iii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Luận văn này là công trình nghiên cứu thực sự của cá nhân, được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS. Nguyễn Bá Tường. Các số liệu, những kết luận nghiên cứu được trình bày trong luận văn này trung thực và chưa từng được công bố dưới bất cứ hình thức nào. Các thông tin, tài liệu trích dẫn trong luận văn đã được ghi rõ nguồn gốc. Tôi xin chịu trách nhiệm về nghiên cứu của mình. Học viên Phạm Quốc Sơn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ iv LỜI CẢM ƠN Trước hết tôi chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, các thầy cô giáo trường Đại học Công nghệ Thông tin và Truyền thông - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi, nhiệt tình giảng dạy và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập ở trường. Đặc biệt tôi gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới PGS.TS. Nguyễn Bá Tường và PGS.TS. Phạm Văn Ất đã hướng dẫn, chỉ bảo và động viên trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Cuối cùng tôi xin cảm ơn người thân, đồng nghiệp những người đã luôn ủng hộ, hỗ trợ tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên luận văn của tôi không thể tránh khỏi những thiếu sót, do đó tôi rất mong nhận được những ý kiến đánh giá, bổ sung để tôi có thể hoàn thiện luận văn của mình./. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ v MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ....................................................................................................... i LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................ii MỤC LỤC ................................................................................................................ iii DANH MỤC VIẾT TẮT .......................................................................................... v DANH MỤC HÌNH VẼ ........................................................................................... vi MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1 CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET .......................... 3 1.1. Phép biến đổi Fourier ........................................................................................ 3 1.1.1. Miền thời gian và miền tần số ...................................................................... 3 1.1.2. Nhược điểm của phép biến đổi Fourier ........................................................ 5 1.2. Phép biến đổi Wavelet liên tục .......................................................................... 7 1.2.1. Hàm Wavelet cơ sở ....................................................................................... 8 1.2.2. Họ các hàm Wavelet ................................................................................... 10 1.2.2.1. Biến đổi Wavelet Haar ............................................................................. 11 1.2.2.1. Biến đổi Wavelet Meeyer ........................................................................ 12 1.2.2.1. Biến đổi Wavelet Daubechies .................................................................. 13 1.3. Một số phép biến đổi Wavelet liên tục ........................................................... 14 1.3.1. Phép biến đổi Morlet................................................................................... 14 1.3.2. Phép biến đổi mũ Mexico ........................................................................... 14 1.4. Một vài ứng dụng trong phép biến đổi Wavelet ............................................ 15 1.4.1. Nén ảnh ....................................................................................................... 15 1.4.2. Trích chọn đặc trưng ................................................................................... 16 1.4.3. Thủy vân số ................................................................................................. 16 CHƢƠNG 2. PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET RỜI RẠC ...................................... 19 2.1. Khái niệm Wavelet rời rạc .............................................................................. 19 2.2. Một số phƣơng pháp biểu diễn Wavelet rời rạc ............................................ 21 2.2.1. Phương pháp biểu diễn bằng bộ lọc ............................................................ 21 2.2.1.1. Khái niệm bộ lọc ...................................................................................... 21 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ vi 2.2.1.2. Khái niệm tích chập ................................................................................. 21 2.2.1.3. Lấy mẫu lên và lấy mẫu xuống ................................................................ 21 2.2.1.4. Phép biến đổi wavelet rời rạc và phân tích đa phân giải ......................... 22 2.2.2. Phương pháp biểu diễn trên Ma trận........................................................... 25 2.2.2.1. Biến đổi Wavelet một chiều bằng ............................................................ 25 2.2.2.2. Biến đổi Wavelet hai chiều bằng ma trận ................................................ 26 2.3. Phép biến đổi Wavelet Haar............................................................................ 27 2.4. Phép biến đổi Wavelet Daubechies ................................................................. 29 2.5. Khai triển Wavelet nhiều mức ........................................................................ 30 2.6. Wavelet động .................................................................................................... 31 CHƢƠNG 3. THỦY VÂN BỀN VỮNG TRÊN MIỀN DWT ............................. 37 3.1. Thủy vân số ....................................................................................................... 37 3.2. Khai triển SVD ................................................................................................. 38 3.2.1. Khái niệm về khai triển SVD ...................................................................... 38 3.2.2. Một số tính chất của khai triển SVD .......................................................... 39 3.2.3. Ví dụ minh họa khai triển SVD .................................................................. 40 3.2.4. Thủy vân trên miền SVD ............................................................................ 41 3.3. Khai triển QR ................................................................................................... 45 3.3.1. Phép biến đổi QR ........................................................................................ 45 3.3.2. Xét ví dụ ...................................................................................................... 45 3.4. Lƣợc đồ thủy vân DWT-SVD.......................................................................... 46 3.4.1. Thuật toán nhúng thủy vân DWT- SVD ..................................................... 46 3.4.2. Thuật toán trích thủy vân DWT- SVD ....................................................... 48 3.4.3. Cài đặt thử nghiệm ...................................................................................... 49 3.4.4. Kết quả nhúng dấu thủy vân ....................................................................... 50 3.4.5. Khảo sát tính bền vững của lược đồ DWT-SVD ........................................ 51 3.4.6. Trích dấu thủy vân trên các ảnh đã tấn công .............................................. 53 3.5. Thủy vân DWT – QR ....................................................................................... 54 3.5.1. Thuật toán thủy vân .................................................................................... 54 3.5.2. Thuật toán trích thủy vân ............................................................................ 55 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ vii KẾT LUẬN .............................................................................................................. 56 DANH MỤC VIẾT TẮT Chữ viết tắt Diễn giải Ý nghĩa DCT Discrete Cosine Transform Biến đổi Cosin rời rạc IDCT Invert Discrete Cosine Transform Biến đổi ngược DCT DFT Discrete Fourier Transform Biến đổi Forier rời rạc IDFT Invert Discrete Fourier Transform Biến đổi ngược DFT DWT Discrete Wavelet Transform Biến đổi Wavelet rời rạc IDWT Invert Discrete Wavelet Transform Biến đổi ngược DWT PN Pseudo Noise Giả nhiễu FFT Fast fourier transfer Biến đổi Fourier nhanh GIS Geographic Information System Hệ thống thông tin địa lý PRNS Pseudo random number sequence Dãy số giả ngẫu nhiên Fourier Transfer Biến đổi Fourier FT Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ viii DANH MỤC HÌNH VẼ Ý nghĩa Tên hình Hình 1.1 Hàm của biến đổi Haar Wavelet Hình 1.2 Hàm của biến đổi Meyer Hình 1.3 Hình 2.1 Hàm  (t ) của họ biến đổi Daubechies n với n=2, 4, 7, 8 1999 ) Phân tích đa phân giải sử dụng Wavelet rời rạc Hình 2.2 Miền DWT một chiều Hình 2.3 Miền DWT hai chiều Hình 2.4 Ma trận biến đổi Haar cấp 8x8 Hình 2.5 Một khối dữ liệu Hình 2.6 Kết quả biến đổi Wavelet Haar hai chiều Hình 2.7 Mô hình Wavelet 3 mức Hình 3.1 Kết quả phân tích SVD đối với ma trận A Hình 3.2 Kết quả phân tích SVD đối với ma trận A của Hình 3.1 Hình 3.3 Kết quả phân tích QR đối với ma trận A Hình 3.4 Kết quả phân tích QR đối với ma trận A của Hình 3.3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu của ảnh Lena http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1 MỞ ĐẦU Một trong những sự kiện trọng đại của những thập niên cuối thế kỷ 20, đầu thế kỷ 21 là sự ra đời phát triển của mạng internet. Ngày nay, thông tin trở lên sẵn sàng kết nối trực tuyến, mọi người đều có thể truy cập internet để tìm kiếm thông tin một cách dễ dàng thông qua nhà cung cấp dịch vụ. Người dùng có thể đọc các thông tin mới nhất, tra cứu các thư viện số, tìm thông tin lĩnh vực mình quan tâm. Bên cạnh đó các nhà cung cấp sản phẩm cũng sẵn sàng cung cấp dữ liệu của mình cho người dùng thông qua mạng internet. Tuy nhiên, với lượng thông tin được truyền qua mạng ngày càng nhiều thì vấn nạn sao chép và sử dụng không hợp pháp dữ liệu số ngày một tăng. Để hạn chế vấn nạn trên, thủy vân số được xem là một trong những giải pháp quan trọng. Thủy vân ảnh là kỹ thuật nhúng thông tin vào dữ liệu ảnh trước khi ảnh được phân phối trên môi trường trao đổi không an toàn. Việc nhúng thông tin vào ảnh sẽ làm giảm chất lượng ảnh, tuy nhiên thông tin đã nhúng sẽ là dấu vết để nhận biết sự tấn công trái phép, hoặc để xác định thông tin về chủ sở hữu. Dựa vào mục đích sử dụng, các lược đồ thủy vân có thể được chia thành hai nhóm chính: thủy vân dễ vỡ và thủy vân bền vững. Thủy vân dễ vỡ là những kỹ thuật nhúng tin nhằm phát hiện ra sự biến đổi dù chỉ vài bít trên dữ liệu số. Do vậy, thủy vân dễ vỡ thường được ứng dụng trong bài toán xác thực tính toàn vẹn của dữ liệu trên môi trường trao đổi công khai. Trái với thủy vân dễ vỡ, thủy vân bền vững yêu cầu dấu thủy vân phải tồn tại (bền vững) trước những phép tấn công nhằm loại bỏ dấu thủy vân, hoặc trong trường hợp loại bỏ được dấu thủy vân thì ảnh sau khi bị tấn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 2 công cũng không còn giá trị sử dụng. Do vậy, những lược đồ thủy vân bền vững thường được ứng dụng trong bài toán bảo vệ quyền chủ sở hữu. T (Singular Value Decomposition: A  U  D V ) Các phép biến đổi và ( ) cũng giống như Decomposition: , đều là các phép biến đổi ma trận trực giao và có cùng một tính chất quan trọng là tập trung năng lượng ảnh vào một số phần tử cố định của miền biến đổi. Ngoài ra, có nhiều nghiên cứu sử dụng đồng thời phân tích SVD với các phép biến đổi ma trận khác như , ,… để xây dựng các lược đồ thủy vân. Trong luận văn này tìm hiểu các lược đồ thủy vân đã được đề xuất trên cơ sở đó cải tiến, phát triển lược đồ thủy vân mới dựa trên phép biến đổi Wavelet đối với miền không gian ảnh. So với các lược đồ thủy vân dựa trên phân tích , đã được đề xuất thì lược đồ mới bền vững hơn trước một số phép tấn công, biến đổi ảnh, ngoài ra lược đồ mới còn có thêm một số ưu điểm là: Số lượng phép tính ít hơn, tính bảo mật cao hơn, chất lượng ảnh thủy vân tốt hơn. Luận văn tập trung vào nghiên cứu một số kỹ thuật thủy vân trong ảnh đã được công bố, sau đó mở rộng, phát triển một số lược đồ thủy vân bền vững ứng dụng phép biến đổi Wavelet trên dữ liệu ảnh số. Nội dung của luận văn ngoài chương mở đầu, kết luận bao gồm các chương sau: Chương 1: Tổng quan về phép biến đổi Wavelet Chương 2: Phép biến đổi Wavelet rời rạc Chương 3: Thủy vân bền vững trên miền DWT Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 3 CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET Phép biến đổi Wavelet có vai trò quan trọng trong xử lý tín hiệu. Nội dung chính của chương này trình bày một số khái niệm và phép biến đổi Fourier, Wavelet liên tục làm cơ sở sử dụng trong Chương 2. 1.1. Phép biến đổi Fourier phép biến đổi Fourier của hàm f là hàm: Cho hàm Nếu , phép biến đổi Fourier ngược của f là f ’. và Khi đó và Khi phép biến đổi Fourier và phép biến đổi ngược tồn tại ta dùng ký hiệu: để chỉ F là phép biến đổi Fourier của ; là phép biến đổi Fourier ngược của F. Nếu ) ta có =0 Qua phép biến đổi Fourier cho thấy mọi tín hiệu ở miền tần số đều có thể chuyển về thời gian và ngược lại tín hiệu ở thời gian chuyển về tín hiệu miền tần số. 1.1.1. Miền thời gian và miền tần số Miền thời gian ảnh là miền dữ liệu của ảnh gốc, tác động đến miền không gian ảnh chính là tác động trực tiếp đến các điểm ảnh, làm thay đổi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 4 giá trị của điểm ảnh. Đây là phương pháp trực quan được tập trung khai thác trong quá trình thủy vân trong ảnh, khi nói đến việc thủy vân trong ảnh chính là nhằm thay đổi giá trị các điểm ảnh gốc. Phương pháp này tập trung tác động ở những bít ít quan trọng của mỗi điểm ảnh nhằm đảm bảo cho ảnh được chỉnh sửa có giá trị điểm ảnh gần nguyên gốc nhất. Tuy nhiên, phương pháp này có nhiều nhược điểm, chẳng hạn như tính bền vững không được đảm bảo với thông tin nhúng dấu thủy vân qua các thao tác biến đổi ảnh như quay chụp ảnh, nén ảnh, lọc, làm nhiễu... Các tác tác động đó đôi khi cũng làm sai lệch điểm ảnh dẫn đến các bít ít quan trọng nhất cũng bị thay đổi. Phương pháp biến đổi dựa trên miền không gian như trình bày ở trên là cách biến đổi tín hiệu và miền giá trị rời rạc của các điểm ảnh được gọi là miền biến số độc lập. Trong thực thế phép biến đổi trực tiếp này gặp phải những khó khăn và hiệu quả không cao. Ngoài phương pháp biến đổi trực tiếp, có dùng phương pháp biến đổi gián tiếp thông qua các phép biến đổi trực giao làm nhiệm vụ chuyển miền không gian sang miền biến đổi. Miền biến đổi hay còn gọi là miền tấn số là miền nhận được khi biển đổi miền ảnh. Đây là kỹ thuật sử dụng phương pháp biến đổi tương tự như phép tính tích phân hay phương pháp đổi hệ tọa độ trong tích đề các. Phương pháp này nhằm chuyển miền không gian sang miền tần số, cụ thể là biến đổi tín hiệu và miền giá trị rời rạc của các điểm ảnh sang miền mới và có biến số mới. Mỗi phép biến đổi có những thuận lợi và khó khăn riên, tùy vào trường hợp cụ thể để lựa chọn phép biến đổi nào cho phù hợp. Sau khi biến đổi các tín hiệu và miền giá trị rời rạc trong miền biến số mới này, nếu cần thiết có thể dùng phép biến đổi ngược lại để đưa ảnh về miền biến số độc lập. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 5 Phương pháp biến đổi gián tiếp làm đơn giản rất nhiều các công việc gặp phải khi dùng phương pháp biến đổi trực tiếp trong miền biến số độc lập. Có một số phương pháp biến đổi phổ biến hiện nay như: Fourier, Cosin rời rạc (DCT), Wavelet ... là những phép biến đổi được sử dụng phố biến trong các kỹ thuật xử lý dữ liệu đa phương tiện, đặc biệt trong xử lý ảnh số. Ngoài ra các phép biến đổi này còn dùng nhiều trong lĩnh vực giấu tin, thủy vân số. 1.1.2. Nhƣợc điểm của phép biến đổi Fourier Mọi hàm tuần hoàn chu kỳ đều có thể khai triển thành chuỗi trong không gian các hàm tuần hoàn chu kỳ . [-T⁄2,T⁄2], ta định nghĩa tích vô hướng: Trên Vì [-T⁄2,T⁄2] Nên tích vô hướng trên cũng được áp [-T⁄2,T⁄2] dụng cho mọi [-T⁄2,T⁄2] đặt Dễ dàng kiểm chứng tạo thành một cơ sở trực chuẩn trên T⁄2,T⁄2] Với các hệ số Fourier: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ [- 6 Phép biến đổi Fourier là công cụ toán học quan trọng, là cầu nối trong việc biểu diễn tín hiệu giữa miền không gian và miền tần số. Việc biểu diễn tín hiệu ở miền tần số đôi khi có lợi hơn miền không gian. Tuy nhiên phép biến đổi Fourier chỉ cung cấp thông tin có tính toàn cục và chỉ thích hợp cho những tín hiệu tuần hoàn, không chứa các đột biến hoặc thay đổi không được dự báo trước. Biến đổi Fourier là phép biến đổi thuận nghịch giữa miền không gian và miền tần số và tín hiệu được xử lý. Tại một thời điểm bất kỳ chỉ tồn tại miền thông tin được thể hiện, nghĩa là tín hiệu trong miền không gian không có sự xuất hiện thông tin về tần số và tín hiệu, sau biến đổi Fourier không xuất hiện thông tin về thời gian. Fourier cho biết thông tin tần số xuất hiện, cho biết tần số nào có trong tín hiệu, tuy nhiên nó không cho biết tần số đó xuất hiện tại thời điểm nào trong tín hiệu. Nếu tín hiệu là ổn định (các thành phần của tần số không biến đổi theo thời gian) thì việc xác định tần số xuất hiện khi nào trong tín hiệu là không cần thiết. Phép biến đổi Fourier cũng có thể áp dụng cho những tín hiệu không ổn định, nếu như chúng ta chỉ quan tâm tới thành phần tần số trong tín hiệu mà không quan tâm đến nó xuất hiện khi nào trong tín hiệu. Tuy nhiên, nếu thông tin về thời gian xuất hiện của tần số trong tín hiệu là cần thiết, thì phép biến đổi FT không có khả năng đáp ứng được yêu cầu này, đây cũng là hạn chế của phép biến đổi này. Khác với phép biến đổi FT, phép biến đổi Wavelet đáp ứng tốt nhờ tính địa phương cho cả hai miền không gian và miền tần số, cho phép quan sát tín hiệu theo hai cách là miền tần số thấp và miền tần số cao. Đồng thời phép biến đổi Wavelet cho xem xét cụ thể một địa phương cụ thể hoặc toàn cảnh. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 7 1.2. Phép biến đổi Wavelet liên tục Wavelet (sóng nhỏ) là một phương pháp quan trọng trong việc khắc phục nhược điểm của phép biến đổi FT trong xử lý tín hiệu, phương pháp này cho phép thay đổi kích thước và so sánh tín hiệu ở mỗi giai đoạn riêng biệt. Phương pháp này bắt đầu với sóng nhỏ (Wavelet) chứa các dao động ở tần số khá thấp, sóng nhỏ này được so sánh với tín hiệu phân tích để có một bức tranh toàn cục của tín hiệu ở độ phân giải thô. Sau đó sóng nhỏ được nén lại để nâng cao dần tần số dao động. Quá trình này làm thay đổi tỉ lệ phân tích (Scale), khi thực hiện tiếp bước so sánh tín hiệu sẽ được nghiên cứu chi tiết ở mức độ tần số cao hơn, giúp phát hiện các thành phần biến thiên nhanh còn ẩn bên trong tín hiệu. Trong phép biến đổi Wavelet được chia làm hai nhóm chính là phép biến đổi Wavelet liên tục và phép ưavelet rời rạc, tùy vào từng bài toán cụ thể để vận dụng phép biến đổi Wavelet cho phù hợp. Gọi Wavelet , phép biến đổi liên tục của là tín hiệu sử dụng hàm được biểu diễn bởi Trong đó: - là hệ số biến đổi Wavelet liên tục của đảo của tần số) và - với là tỉ lệ (nghịch là dịch chuyển đặc trưng vị trí của tần số. là hàm liên hiệp phức của Wavelet, được gọi là Wavelet phân tích. Phương trình (1.6) cho thấy, phép biến đổi Wavelet là một ánh xạ chuyển từ hàm một biến thành hàm Số hóa bởi Trung tâm Học liệu phụ thuộc hai biến số là tỉ lệ http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 8 , biến dịch chuyển . Hệ số trong (1.1) đảm bảo cho sự chuẩn hóa sóng Wavelet với tỉ lệ phân tích s khác nhau . Phép biến đổi Wavelet có tính linh động cao hơn so với phép biến đổi Fourier (sử dụng hàm mũ duy nhất) vì không nhất thiết phải sử dụng hàm Wavelet cố định, mà có thể lựa chọn các hàm Wavelet khác nhau trong họ hàm Wavelet sao cho thích hợp với bài toán (hình dạng của hàm Wavelet phù hợp với tín hiệu cần phân tích) để có kết quả phân tích tốt nhất. Ngày nay, đã xây dựng được khoảng vài chục các họ hàm Wavelet khác nhau được xây dựng nhằm áp dụng cho nhiều mục đích phân tích đa dạng. Biểu thức (1.6) có thể viết lại dưới dạng tích chập (inner product) như sau: Trong đó 1.2.1. Hàm Wavelet cơ sở Biến đổi Wavelet liên tục (CWT) của một hàm Wavelet mẹ ký hiệu là: hiệu bắt đầu từ hàm của hàm của Wavelet mẹ (morther Wavelet) ký có thể là hàm số thực, hàm số phức, hay hàm bất kỳ thỏa mãn tính chất sau: Tích phân suy rộng trên toàn bộ trục t của hàm Tích phân năng lượng của hàm trên bằng , tức là: toàn bộ trục là một số hữu hạn thỏa mãn điều kiện. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 9 thì các Wavelet kí hiệu là: được biểu diễn như sau: Biến đổi này là một hàm của 2 số thực a, b, dấu * ký hiệu của liên . Nếu chúng ta định nghĩa một hàm hiệp phức của theo biểu thức: Chúng ta có thể viết được thành: Theo toán học ta gọi đây là tích vô hướng của hai hàm giá trị 1 và gọi là hệ số chuẩn hóa để đảm bảo tích phân năng của a hàm sẽ độc lập với , : Với mỗi giá trị của a thì đi là một bản sao của được dịch đơn vị trên trục thời gian. Do đó b gọi là tham số dịch, đặt tham số dịch thu được. Điều đó cho thấy rằng a chính là tham số tỷ lệ. Khi thì hàm Wavelet sẽ được trải rộng còn khi 0 < a < 1 thì hàm sẽ được co lại. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 10 Nếu là biến đổi CWT của bằng hàm Wavelet , thì biến đổi ngược của CWT được tính như sau: Với giá trị của C được định nghĩa là: Biến đổi CWT chỉ tồn tại nếu dương và hữu hạn, do đó gọi là điều kiện tồn tại của biến đổi Wavelet. Cùng với hai điều kiện trên, đây là điều kiện thứ ba mà một hàm cần phải thỏa mãn để có thể được lựa chọn làm hàm Wavelet. Chúng ta có thể xem biến đổi CWT là ma trận hai chiều các kết quả của phép tích vô hướng hai hàm và . Các hàng của ma trận ứng với giá trị của , các cột của ma trận ứng với giá trị . Do đó cách tính biến đổi Wavelet ở trên có thể trình bày dưới dạng: 1.2.2. Họ các hàm Wavelet Trong triển khai Wavelet, hai chỉ số được dùng nhằm biểu diễn của tín hiệu tính địa phương tốt cho cả hai lĩnh vực thời gian và tần số. Giả sử mọi là họ hàm tạo thành cơ sở trực chuẩn trong . Khi đó có thể được khai triển. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 11 Với một số điều kiện nhất định ta gọi khai triển trên Wavelet của hàm . Các hệ số được gọi là biến đổi Wavelet rời rạc của . Họ dùng 2 chỉ số để có thể biểu diễn được tính địa phương trên cả hai lĩnh vực thời gian và tần số của tín hiệu, chỉ số phương theo tần số, chỉ số Một họ được tính địa định tính theo thời gian. như trên được gọi là hệ thống Wavelet và nó thỏa mãn ba điều kiện là: một hệ thống Wavelet là tập các hàm cơ sở để có thể biểu diễn tín hiệu, khai triển tín hiệu; khai triển Wavelet cho biểu diễn có tính địa phương theo thời gian – tần số; việc tính toán các hệ số được thực hiện hiệu quả với độ phức tạp thấp. 1.2.2.1. Biến đổi Wavelet Haar Biến đổi Haar Wavelet là biến đổi đơn giản nhất trong họ Wavelet. Do tính chất đơn giản của phép biến đổi Haar, nên phép biến đổi này thường được ứng dụng nhiều trong nén ảnh. Khi áp dụng phép biến đổi Haar trong nén ảnh thì thuật toán trên sử dụng trên máy tính có một số khác biệt so công thức toán học thông thường. Hàm Wavelet Haar thứ nhất gọi là hàm Scaling (Scaling funtion), xác định như sau: Hàm Wavelet Haar thứ hai gọi là Wavelet mẹ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 12 Giá trị của hàm tại những thời điểm rời rạc không quan trọng lắm, nhưng tương tự trường hợp khai triển Fourier ta quy ước giá trị tại các giá trị Hàm scaling . được mở rộng lên toàn bộ tập và Wavelet mẹ số thực R bằng cách cho nhận giá trị 0 ngoài khoảng cơ bản: Khi đó, biểu đồ của hàm biến đổi Wavelet Haar có dạng như hình sau: Hình 1.1. Hàm của biến đổi Wavelet Haar 1.2.2.1. Biến đổi Wavelet Meeyer Yves Meyer là nhà khoa học đặt nền móng cho phép biến đổi Wavelet. Phép biến đổi Meyer Wavelet cũng là một phép biến đổi thông dụng, biến Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/