Tài liệu Tiểu luận tốt nghiệp phép chia trên tập hợp số nguyên

ận ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM TOÁN BỘ MÔN SƯ PHẠM TOÁN HỌC ------------ LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài: PHÉP CHIA TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN Giáo viên hướng dẫn: Th.S Nguyễn Văn A Sinh viên thực tập: Trần Văn B Mã SV: Lớp: Cần Thơ, 04/2015 Trang 1 MỤC LỤC MỤC LỤC............................................................................................................................................... 2 CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU ................................................................................................................... 4 1.1 Đặt vấn đề nghiên cứu. ................................................................................................................. 4 1.1.1 Sự cần thiết nghiên cứu. ............................................................................................... 4 1.1.2 Căn cứ khoa học và thực tiễn. ...................................................................................... 5 1.2 Mục tiêu nghiên cứu. .................................................................................................................... 5 1.2.1 Mục tiêu chung. ........................................................................................................... 5 1.1.2 Mục tiêu cụ thể............................................................................................................. 6 1.3 Các giả thuyết cần kiểm định và câu hỏi nghiên cứu. .................................................................. 6 1.3.1 Các giả thuyết cần kiểm định. ...................................................................................... 6 1.3.2 Câu hỏi nghiên cứu. ..................................................................................................... 6 1.4 Phạm vi nghiên cứu. ..................................................................................................................... 6 1.4.1 Không gian (địa bàn nghiên cứu)................................................................................. 6 1.4.2 Thời gian ...................................................................................................................... 7 1.5 Lược khảo tài liệu liên quan đến đề tài nghiên cứu. ..................................................................... 7 CHƯƠNG 2: NHẬP MÔN KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHÉP CHIA .............................................. 8 TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN ........................................................................................................... 8 2.1 Mở đầu. ......................................................................................................................................... 8 2.2 Định nghĩa phép chia. ................................................................................................................... 8 2.3 Quan hệ chia hết trên tập số nguyên. ............................................................................................ 9 2.4 Định lý về phép chia có dư. .......................................................................................................... 9 2.5 Các tính chất. ................................................................................................................................ 9 2.6 Một số dấu hiệu chia hết. ............................................................................................................ 10 2.7 Sự phân tích một số tự nhiên ra th a số nguyên tố. .................................................................... 11 2.8. Định lý Fec – ma. ....................................................................................................................... 11 2.9 ng đ ng thức hiệu hai l y th a c ng bậc. ............................................................................... 12 2.10 Đồng dư thức. ........................................................................................................................... 12 2.11 Một số định lý. .......................................................................................................................... 12 CHƯƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ PHÉP CHIA ..................................................... 14 TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN ......................................................................................................... 14 3.1 Một số kỹ năng cơ bản về phép chia trên tập hợp số nguyên (Z). .............................................. 14 3.2 Một số bài toán liên quan đến phép chia trên tập số nguyên. ..................................................... 20 3.2.1 Tìm số dư khi chia một lũy thừa cho một số nguyên.................................................. 20 3.2.2 Chứng minh một biểu thức không chia hết cho một số nguyên. ................................ 24 3.2.4 Chứng minh một số nguyên không phải là một số lũy thừa. ...................................... 28 3.2.5 S d ng ph p chia t ong vi c giải phư ng t ình nghi m nguyên. ............................. 30 3.2.6 S d ng dấu hi u cho hết và tính chất chia hết t ong số nguyên (Z). ....................... 36 3.2.7 Biến đổi biểu thức cần chứng minh về dạng tổng. ..................................................... 41 3.2.8 S d ng phư ng pháp quy nạp toán học. .................................................................. 44 3.2.9 S d ng đồng dư thức. ............................................................................................... 46 3.2.10 Sử dụng nguyên lý Đirichlet. .................................................................................. 49 3.2.11 Phư ng pháp phản chứng. ....................................................................................... 51 Trang 2 3.2.12 Tìm điều kiện để xảy ra quan hệ chia hết. ............................................................. 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................................... 56 PHỤ LỤC .............................................................................................................................................. 57 KẾT LUẬN ........................................................................................................................................... 60 Trang 3 CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU 1.1 Đặt vấn đề nghiên cứu. 1.1.1 Sự cần thiết nghiên cứu. Toán học ra đời gắn liền với con người và lịch sử phát triển của xã hội, nó có một ý nghĩa lý luận và thực tiễn vô c ng to lớn và quan trọng. Trong thời đại hiện nay, công nghiệp hóa, hiện đại hóa nhất thiết phải đặt trên nền tảng dân trí ngày càng được nâng cao. Trong giai đoạn hiện nay, theo quan điểm giáo dục mới của Đảng và nhà nước, giáo dục đào tạo nh m nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài trên mọi lĩnh vực khoa học. Sự phát triển của khoa học tự nhiên lại được đặt trên nền tảng của khoa học Toán học. Vậy dạy Toán ở phổ thông ngoài việc cung cấp tri thức cho con người, đặc biệt phải chú ý dạy cho con người biết phương pháp phân tích, nghiên cứu, tìm tòi đào sâu khai phá, phát triển bài toán để tổng quát hóa, khái quát hóa kiến thức và nâng cao tư duy về giải toán. Chương trình Toán cấp THCS, kiến thức cơ bản của bộ môn Toán là các khái niệm, các định nghĩa, các định lý, các hệ quả, các tiên đề, các công thức, các quy tắc về phép tính vv... Đó là một yêu cầu, nội dung Toán học mà học sinh cần phải n m được và hầu như là các em, đa số đã đạt được yêu cầu đó. Song một yêu cầu cần đạt và vô c ng quan trọng nữa về môn Toán đối với người học là “Kỹ năng giải bài tập Toán”. Đây là một nội dung khó. Để đạt được điều này thì người thầy phải thật sự đầu tư, tìm tòi nội dung, phương pháp giảng dạy để giúp học sinh có được năng lực tư duy sáng tạo t đó có được kỹ năng giải Toán. Trong chương trình toán cấp T CS có nhiều kiến thức, kỹ năng ở t ng khối. Các bài toán đại số có liên quan đến chứa dấu giá trị tuyệt đối là những bài toán khó đối với học sinh, ở những bài toán này học sinh thường rất dễ nhầm trong quá trình bỏ dấu giá trị tuyệt đối khi giải. Đặc biệt là những bất phương trình, phương trình có t hai dấu giá trị tuyệt đối trở lên, những bài toán giải và biện luận phương trìnhm bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, khi làm những bài tập dạng này phần lớn các học sinh rất lúng túng không có phương pháp giải. Chính vì vậy tôi thấy sự cần thiết nghiên cứu đề tài “Phép chia trên tập hợp số nguyên” để tìm ra những phương pháp giải đặc trưng nh m đạt được yêu cầu giúp học sinh có được “Kỹ năng giải bài tập Toán” Trang 4 1.1.2 Căn cứ khoa học và thực tiễn. Chúng ta đã biết r ng hiện nay kiểu dạy học “đọc chép” tức là thầy đọc trò chép vào vở, truyền thụ kiến thức theo kiểu “bình thông nhau”. Dạy nhồi nhét, học thụ động là kiểu dạy học cổ điển không còn chấp nhận được. Đặc biệt là đối với môn Toán, dạy như vậy thì học trò học đến đâu quên đến đó, làm bài tập nào thì biết bài tập đó, giải hết bài này đến bài khác, tốn rất nhiều thời gian và công sức mà không đọng lại trong đầu học sinh điều gì đáng kể. Ngay cả những học sinh khá giỏi c ng vậy, mới chỉ đầu tư vào giải hết các bài toán khó này đến bài toán khó khác mà vẫn chưa phát huy được tính tư duy sáng tạo, chưa có một phương pháp làm bài. Trong khi đó, t một đơn vị kiến thức cơ bản nào đó của toán học lại có một hệ thống bài tập rất đa dạng và phong phú, mỗi bài một kiểu, một dạng mà lời giải thì không theo một khuôn mẫu nào cả. Do vậy mà học sinh rất lúng túng khi đứng trước một đề toán. T đó mà chất lượng môn Toán vẫn thấp chưa đáp ứng được mong mỏi của chúng ta. Vậy thì để nâng cao chất lượng học tập bộ môn Toán của học sinh, hơn ai hết người thầy đóng vai trò quan trọng, phải thực sự đổi mới phương pháp giảng dạy, phải tích cực hóa hoạt động của học sinh nh m hình thành cho học sinh tư duy tích cực, tính độc lập sáng tạo, qua đó nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết các vấn đề một cách nhanh chóng. T đó mà học sinh v a lĩnh hội được đầy đủ những yêu cầu của chương trình hiện hành, v a thực hiện được nâng cao trí tuê, rèn luyện được tư duy lô gíc và khả năng sáng tạo toán học. Để làm được điều đó, trong khi giảng dạy bộ môn Toán, người thầy cần phải cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản cần thiết, những kỹ năng, kĩ xảo, một hệ thống làm bài, xem đó là những công cụ để giải quyết các bài tập, phương châm là “Giải 1 bài toán bằng 10 phư ng pháp chứ không phải 10 bái toán bằng 1 phư ng pháp”. 1.2 Mục tiêu nghiên cứu. 1.2.1 Mục tiêu chung. Nâng cao chất lượng giáo dục, đáp ứng nhu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy hiện nay. Trang 5 Phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo, năng lực tự học của học sinh, tạo điều kiện cho các em hứng thú học tập bộ môn. 1.1.2 Mục tiêu cụ thể. Rèn luyện cho học sinh những kỹ năng thực hành giải toán về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Các kỹ năng, kiến thức cơ sở về quy tắc tính toán, giá trị tuyệt đối của một biểu thức và giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối. Nêu cao được một số kinh nghiệm của bản thân về: “Phép chia trên tập hợp số nguyên” Ngoài ra còn rèn cho học sinh những đức tính cẩn thận, sáng tạo, chủ động trong giải toán. 1.3 Các giả thuyết cần kiểm định và câu hỏi nghiên cứu. 1.3.1 Các giả thuyết cần kiểm định. Giả thiết H01: Nhu cầu thiết yếu của đề tài đối với học sinh là như nhau. H02: Mức độ ảnh hưởng đến nhu cầu tại các trường học của các học sinh c ng là như nhau. 1.3.2 Câu hỏi nghiên cứu. 1. Tình hình thực tiễn về đề tài này đã phổ biến trong chương trình giáo dục cấp T CS chưa? 2. Những điểm mạnh điểm yếu trong phương pháp này? 3. Phải biết truyền đạt nội dung của đề tài này đến học sinh như thế nào? Có ph hợp với tất cả các đối tượng học sinh? 4. Suốt quá trình giảng phải cho học sinh động não suy nghĩ tại sao, làm thế nào? Tại sao nghĩ thế? 1.4 Phạm vi nghiên cứu. 1.4.1 Không gian (địa bàn nghiên cứu) Đề tài được nghiên cứu tại Đại học Cần Thơ Phạm vi thu thập số liệu: Trong Đại học Cần Thơ Trang 6 1.4.2 Thời gian Được thực hiện vào thánh 04/2015 1.5 Lược khảo tài liệu liên quan đến đề tài nghiên cứu. Trong quá trình thực hiện đề tài, tác giả đã tham khảo một số bài nghiên cứu và chuyên đề liên quan đến nội dung thực hiện cụ thể như sau: [1] Số học – Nguyễn Vũ Thanh. [2] Toán chọn lọc cấp II – Lê Hải Châu. [3] 400 bài toán chọn lọc – Vũ Dư ng Thuỵ – T ư ng Công Thành – Nguyễn Ngọc Đạm. [4] Chuyên đề số học – Võ Đại Mau. [5] Bài tập số học về đại số – Tủ sách ĐHSP – Nhà xuất bản GD 1985. [6] Thực hành giải toán cấp II – T ung tâm nghiên cứu đào tạo bồi dưỡng giáo viên. [7] 250 bài toán số học đại số – Võ Đại Mau – Lê Tất Hùng – Vũ Thị Nhàn. [8] Các đề vô định toán các nước – Nhà xuất bản Hải phòng. [9] 255 bài toán số học chọn lọc – Sở GD Hà Tây 1993. [10] Chuyên đề bồi dưỡng giỏi toán 6 – Đinh Vũ Nhân – Võ Thị Ái Nư ng – Hoàng Chúng. [11] Số học bà chúa của toán học – Hoàng Chúng. Trang 7 CHƯƠNG 2: NHẬP MÔN KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHÉP CHIA TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN 2.1 Mở đầu. Tập số nguyên ký hiệu b ng chữ Z các phân tử của nó gồm các số nguyân âm , số 0 và các số nguyên dương , hay còn nói tập Z gồm các số tự nhiên N và các số nguyên âm . Z = ( Z – ) (Z + ) (0) ; Z = ( Z – ) (N) . Trên trục số , số nào n m ở bên trái nhỏ hơn số n m bên phải . Khi ta nói a là số nguyên dương thì ta viết : a  Z ; a > 0 ; Khi ta nói a là số nguyên âm thì viết a  Z ; a < 0 . Trong tập Z phép chia không phải bao giờ c ng thực hiện được . Khi a chia cho b mà tìm được c thuộc vào Z để a = b.c thì lúc đó ta nói a chia hết cho b , ta viết a  b . Khi a chia hết cho b thì ta còn nói a là bội số của b , hay b là ước số của a . Ta viết Ư(a) = b . Người ta quan sát các số tận c ng để biết dấu hiệu chia hết cho : 2 ; 4; 5; 8; 10; ví dụ : số có tậnc ng là số 0; 2; 4; 6; 8; thì chia hết cho 2 lúc đó ta gọi là số chẵn . các số có tần c ng là 0 ; 5 thì chia hết cho 5 . tận c ng là 0 thì chia hết cho 10. Tận c ng có 2 chữ số chia hết cho 4 thì chia hết cho 4 . Tận c ng có 3 chữ số chia hết cho 8 thì chia hết cho 8 . Người ta tính tổng các chữ số để biết được các số có chia hết cho 3 ; 9 hay không nếu tổng các chữ số của số dó chia hết choa 3 ; cho 9 . Người ta tính hiệu các chữ số hàng chẵn và lẻ để biết số có chia hết cho 11 hay không nếu hiệu đó chia hết cho 11 . Tính chất chia hết của một tổng và hiệu : Nếu a chia hết cho c , b chia hết cho c thì ta nói a + b chia hết cho c . Điều ngược lại không đúng . và hiệu a – b c ng chia hết cho c . Điều ngược lại không đúng. Một tích có một th a số chia hết cho a thì cả tích chia hết cho a . Nếu a chia hết cho tích ab mà a và b nguyên tố c ng nhau thì a chia hết cho b. 2.2 Định nghĩa phép chia. Cho 2 số nguyên a và b trong đó b  0 ta luôn tìm được hai số nguyên q và r duy nhất sao cho: a = bq + r Với 0  r   b T ong đó: a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư. Trang 8 Khi a chia cho b có thể xẩy ra  b số dư r  {0; 1; 2; …;  b} Đặc biệt: r = 0 thì a = bq, khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a. Ký hiệu: ab hay b\ a Vậy: a  b  Có số nguyên q sao cho a = bq. 2.3 Quan hệ chia hết trên tập số nguyên. Cho hai số nguyên a, b. Nếu tồn tại số nguyên q sao cho a=b.q thì ta nói r ng a chia hết cho b(kí hi u a b ) , hay b chia hết a (kí hiệu b|a). Khi đó người ta c ng gọi a là bội số (hay đơn giản là bội) của b, còn b là ước số (hay đơn giản là ước) của b. Ví dụ: 15 = 5.3, nên 15 chia hết cho 3, 3 chia hết 15, 15 là bội của 3, 3 là ước của 15 Đặc biệt, số 0 chia hết cho mọi số khác không, số 1 chia hết mọi số nguyên, mỗi số nguyên khác 0 chia hết cho chính nó. Chính t đó, mọi số nguyên khác 1 có ít nhất hai ước là 1 và chính nó. Nếu số nguyên b|a thì số đối của nó -b c ng là ước của a. Do đó trong nhiều trường hợp, nếu n à số tự nhiên, người ta chỉ quan tâm tới các ước tự nhiên của n. Một số tự nhiên khác 1, có đúng hai ước tự nhiên là 1 và chính nó được gọi là số nguyên tố. Các số tự nhiên lớn hơn 1, không là số nguyên tố được gọi là hợp số. Một ước số của n được gọi là không tầm thường nếu nó khác 1, -1, n, -n. Số nguyên tố thì không có ước số không tầm thường. 1, -1, n, -n là các ước tầm thường của n. 2.4 Định lý về phép chia có dư. Cho a, b là hai số nguyên (b  0), khi đó tồn tại duy nhất hai số nguyên q, r sao cho a= bq+r với 0 ≤ r <|b|. Ta có a là số bị chia, b là số chia, q là thương số và r là số dư. Khi chia a cho b có thể có số dư là 0; 1; 2;...; |b|-1. (Kí hiệu |b| là giá trị tuyệt đối của b.) Đặc biệt: + Nếu r = 0 thì a = bq, khi đó a chia hết cho b. + Nếu r  0 thì phép chia a cho b là phép chia có dư. 2.5 Các tính chất. 1. Với  a  0  a  a Trang 9 2. Nếu a  b và b  c  a  c 3. Với  a  0  0  a 4. Nếu a, b > 0 và a  b ; b  a  a = b 5. Nếu a  b và c bất kỳ  ac  b 6. Nếu a  b  (a)  (b) 7. Với  a  a  (1) 8. Nếu a  b và c  b  a  c  b 9. Nếu a  m và an và(m,n)=1 a  mn 10. Nếu a + b  c và a  c  b  c 11. Nếu a  b và n > 0  an  bn 12. Nếu ac  b và (a, b) =1  c  b 13. Nếu a  b, c  b và m, n bất kỳ am + cn  b 14. Nếu a  b và c  d  ac  bd 15. Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n! 16. an  p(p nguyên tố)=> a  p 2.6 Một số dấu hiệu chia hết. Gọi N = an an 1 ...a1a0 1. Dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125 + N  2  a0  2  a0{0; 2; 4; 6; 8} + N  5  a0  5  a0{0; 5} Trang 10 + N  4 (hoặc 25)  a1 a0  4 (hoặc 25) + N  8 (hoặc 125)  a2a1a0  8 (hoặc 125) 2. Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9 + N  3 (hoặc 9)  a0+a1+…+an  3 (hoặc 9) 3. Một số dấu hiệu khác + N  11  [(a0+a1+…) - (a1+a3+…)]  11 4.Ứng dụng HĐT an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1) an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+… -abn-2+bn-1) *Hệ quả: an-bn( a-b) Với n,a-b 0 an+bn (a+b) Với n lẻ,a+b 0 2.7 Sự phân tích một số tự nhiên ra th a số nguyên tố. Mỗi số tự nhiên đều được viết dưới dạng tích của l y th a các số nguyên tố. Sự phân tích này là duy nhất. Ta có: a = p1n1 .p2 n2 .p3n3 ....pk nk (với p1,p2 ,...pk là các số nguyên tố và n1,n2 ,...nk là các số tự nhiên khác 0). Ta có một số tính chất cơ bản sau: Tính chất 2.7.1: b là một ước của a khi b có dạng a = p1m1 .p2m2 .p3m3 ....pk mk (với m1,m2 ,...mk là các số tự nhiên và 0  m1  n1; 0  m2  n2 ;...;0  mk  nk ) Tính chất 2.7.2: Số ước của a là  n1  1 n2  1....  n k  1 . Tính chất 2.7.3: Số a là một số l y th a bậc t khi t là ước chung của n1,n2 ,...nk . 2.8. Định lý Fec – ma. Cho a là số tự nhiên và p là một số nguyên tố thì ap  a p Hệ quả: a là số tự nhiên và p là một số nguyên tố và (a,p) = 1 thì ap1 1 p Trang 11 2.9 H ng đ ng thức hiệu hai l y th a c ng bậc. Ta có: a n  bn   a  b  a n1  a n2 b  a n3b2  ...  a 2 bn3  abn 2  bn 1   Hệ quả: Với a, b nguyên và m,n là các số tự nhiên, a khác b thì: 2.9.1) an  bn a  b .    b  2.9.2) a mn  bmn  a n m n m a n  bn . 2.9.3) a2n1  b2n1  a2n1   b  2n 1 a   b   a  b . 2.10 Đồng dư thức. a. Định nghĩa: Cho m là số nguyên dương. Nếu hai số nguyên a và b cho c ng số dư khi chia cho m thì ta nói a đồng dư với b theo modun m. Ký hiệu: a  b (modun) Vậy: a  b (modun)  a - b  m b. Các tính chất 1. 2. 3. 4. 5. 6. Với  a  a  a (modun) Nếu a  b (modun)  b  a (modun) Nếu a  b (modun), b  c (modun)  a  c (modun) Nếu a  b (modun) và c  d (modun)  a+c  b+d (modun) Nếu a  b (modun) và c  d (modun)  ac  bd (modun) Nếu a  b (modun), d  Uc (a, b) và (d, m) =1 a b  (modun)  d d 7. Nếu a  b (modun), d > 0 và d  Uc (a, b, m) a b  (modun m )  d d d 2.11 Một số định lý. 1. Định lý Euler Nếu m là 1 số nguyên dương (m) là số các số nguyên dương nhỏ hơn m và nguyên tố c ng nhau với m, (a, m) = 1 Thì a(m)  1 (modun) Công thức tính (m) Trang 12 Phân tích m ra th a số nguyên tố m = p11 p22 … pkk với pi  p; i  N* Thì (m) = m(1 - 1 1 1 )(1 ) … (1 ) p1` p2 pk 2. Định lý Wilson Nếu p là số nguyên tố thì ( P - 1)! + 1  0 (modp) Trang 13 CHƯƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ PHÉP CHIA TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN 3.1 Một số kỹ năng cơ bản về phép chia trên tập hợp số nguyên (Z). 3.1.1 Ví dụ, bài tập mẫu. Ví dụ 1: Chứng minh A(n)=3n4  14n3  21n2  10n 24 . Giải Để chứng minh A(n) 24 ta cần chứng minh A(n) 3 và A(n) 8 (vì (3,8) = 1) A(n) có dạng là một đa thức bậc 3 đối với n. Để chứng minh A(n) 3 một cách thông thường nhất là ta phân hoạch theo 3 rồi thay vào A(n). Tuy nhiên để thuận tiện cho việc xét ta đưa A(n) về tích nếu có thể. Ta có lời giải sau: A(n) = n  n  1 n  2 3n  5  A(n) 3 (tích 3 số nguyên liên tiếp chí hết cho số 3) Lại có: A(n) = n  n  1 n  2  4  n  n  1 n  2  n  3 3 8 Vì n  n  1 2  n  n  1 n  2  4 8 và n  n  1 n  2  n  3 8 do trong 4 số nguyên liên tiếp có 2 số chẵn và có một số là bội 4. Ví dụ 2: Chứng minh A(n) = n3  51n2  481n  3 48 . Giải Ta thấy so với ví dụ 1 thì biểu thức này c ng dạng. Tuy nhiên hệ số của đa thức A(n) lớn. Ta làm giảm hệ số b ng cách viết A(n) = B(48)+ F(n) và chứng minh F(n) 48 . Ta có lời giải vắn tắt như sau: A(n) = n3  51n2  481n  3  n3  3n2  n  3  48n2  480 48  F(n)  n3  3n2  n  3 48 Ta có: F(n) =  n  3 n  1 n  1 . Với n = 2k+1 (k  Z) ta có F(n) =  2k  2  2k  2k  2   8  k  1 k  k  1 . F(n) 16 v× k  k  1 2 lại có F(n) 3 vì  k  1 k  k  1 3 F(n) 16 và F(n) 3 mà (16,3) = 1 nên F(n) 48  A(n) 48 . Ví dụ 3: Chứng minh A(n) = 4n2  3n  5 6 với mọi n không chia hết cho 2 và cho 3. Giải Ta hiểu n không chia hết cho 2 và 3 có nghĩa là như thế nào? Một phép chia n cho 2 và 3 hay xét n chia cho 6 (BCNN(2,3)=6). Phân hoạch n theo 6 và thay vào A(n) ta có được lời giải Trang 14 đơn giản. Tất nhiên c ng như 2 ví dụ trên, nếu ta viết A(n) theo dạng tích sẽ thuận lợi hơn khi thay n. Ta có lời giải sau: A(n) = 4n2  3n  5 =4n2  3n  1  6   4n  1 n  1  6 với n không chia hết cho 2 và cho 3 khi n phân hoạch theo 6 thì chỉ có 2 dạng n = 6k + 1; n = 6k + 5 (k là số nguyên) *) Với n = 6k + 1 thì A(n) =  24k  3 6k  2   6 8k  13k  1 6 *) Với n = 6k + 5 thì A(n) =  4n  16k  6    4n  1 k  1 6 6 Tiểu kết 1: Qua 3 ví dụ trên, chúng ta đang xét phép chia của một biểu thức dạng đa thức khi chia cho một số. Kỹ năng cơ bản để giải quyết bài toán “chứng minh A(n) chia hết cho k” là 1) Viết k thành tích các số nguyên đôi một nguyên tố c ng nhau (c ng hạn k=a.b.c với a,b,c nguyên tố sánh đôi) 2) Chứng minh A(n) chia hết cho các th a số của k trong phân tích trên 3) Để chứng minh A(n) chia hết cho số nguyên a ta phân hoạch n theo a rồi thay vào A(n) 4) Để thuận lợi cho việc thay n ta thường viết A(n) về dạng tích (bởi khi đó bậc của biến n sẽ được giảm đi trong mỗi biểu thức cần thay thế). Ví dụ 4: Chứng minh B(n) = 11n2  122n1 133 với n  N . Giải Ta Ta thấy dạng của biểu thức B(n) là tổng các l y th a. Chia cho số 133 là quá lớn việc phân hoạch n theo 133 là không thể. Với phép chia một l y th a cho một số ta có hai tính chất quan trọng (định lý Fec-ma và ng đ ng thức) đã nêu ở trên. Để sử dụng h ng đ ng thức ( ĐT) ta cần làm xuất hiện hiệu hai l y th a c ng số m . Ta có lời giải sau: B(n) = 11n2  122n1  112.11n  12.122n  121.11n  12.144n  12.144n 12.11n  133.11n  B(n) 133 với n  N v× 12.144n  12.11n  12 144n  11n  144  11  133 Ví dụ 5: Chứng minh B(n) = 5n2 +26.5n +82n1 59 với n  N . Giải Trang 15   Ta thấy: B(n) = 25.5n +26.5n +8.64n  51.5n  8.64 n  59.5n  8 64 n  5n 59 Vì 64n  5n 64  5  59. . Ví dụ 6: Chứng minh B(n) =  n  1  1 n2 với n  N . n Giải Ta thấy nếu chỉ sử dụng ĐT như hai ví dụ trên thì chỉ có thể chứng minh B(n) chia hết n. Tuy nhiên việc sử dụng ĐT c ng gợi ý cho ta khi phân tích B(n) thành nhân tử thì ngoài nhân tử n còn nhân tử chia hết cho n. Ta có lời giải sau: B(n) =  n  1  1   n  1  1  n  1  n1 n Ta có:  n  1 n 1   n  1   n  1 n 1 n 2   n  1  1   n  1 n 2 n 3   n  1 n2   n  1 n 3  ....   n  1  1   ....   n  1  1  (biểu thức gồm n -1 ngoặc đơn)  1   n  1 n 3  1  ....   n  1  1  n n Vì  n  1  1 n  1  1  n với mọi k tự nhiên. k Vậy B(n) n 2 với n  N . Ví dụ 7: Chứng minh B(n) = 22  5 7 với n  N . 2n Giải Ta có thể hiểu B(n)=22  5 7 víi n  N có ngĩa là B(n) chia 7 dư 2. Bài toán trở về tìm dư của B(n) khi chia cho 7. Sử dụng ĐT an-bn là hợp lý. Để tránh phức tạp ta chọn b=1. Với định lý Fec-ma ta biết r ng 26  1 7. Tuy nhiên do 2n 26  1 chia hết cho 23 1 và 2 2  1 nên ta kiểm tra và chọn được 23  1 7. Việc xét l y th a bây giờ sẽ đơn giản hơn. Vì 23  1 7 nên 22k 1 7 với mọi k  N. Do vậy ta cần phải phân hoạch 22n theo 3(tìm dư của 22n khi chia cho 3). Dễ thấy 22n  4n  3k 1 (k N). Ta có lời giải sau:   Ta có: 22n  4n  4n  1  1 =3k+1 (với k  N. ) vì 4n 1 4 1  3.    B(n)  23k 1  5  2.8k  5  2 8k  1  7 7 vì 8k 1 8 1  7 . Tiểu kết 2: Qua 3 ví dụ 4,5,6 trên đây chúng ta đang xét phép chia của một biểu thức dạng tổng các l y th a khi chia cho một số. Kỹ năng cơ bản để giải quyết bài toán “chứng minh B(n) chia hết cho k” trong dạng này. 1) Viết các biểu thức về dạng hiệu các l y th a c ng số m Trang 16 2) Sử dụng ĐT để viết biểu thức về dạng tích nếu có thể! 3) Sử dụng định lý Fec-ma để chọn bội nhỏ nhất của một số có dạng hiệu hai l y th a . Ví dụ 8: Chứng minh S(n) = 16n  15n  1 225 với n  N . Giải Biểu thức S(n) chứa cả l y th a và đa thức. Việc sử dụng các kỹ năng cơ bản ở trên sẽ gặp khó khăn đối với dạng này. Nhận xét thấy S(n+1) có thể truy hồi về S(n) được nên ta sử dụng chứng minh kiểu qui nạp (ta cần chứng minh S(n+1) và S(n) chia cho 225 có c ng số dư, sau đó thử với n=0). Ta có lời giải sau: S(n) = 16n  15n  1  S(n  1)  16n 1  15  n  1  1    S(n  1)  S(n)  16n1  15  n  1  1  16 n  15n  1  16 n 16  1  15  15 16 n  1 225 Vì 16n  1 15. Vậy S(n + 1) và S(n) chia hết cho 255 có c ng số dư. Mặt khác S(0) =1 60  15.0  1  0 225 nên S(n) chia hết cho 255 với mọi giá trị n  N . Ví dụ 9: Chứng minh Sn =23  1 3n với n  N * . n Giải Ta chứng minh b ng phương pháp quy nạp. Giả sử bài toán đúng với n = n  N * tức là Sk  22  1 3k hay 23  1  q3k  23  q3k 1 k k Xét bài toán với n = k + 1, ta có:    1  2 k 1 S k 1  23  1  23 k 3     q.3 .3 q .3  q.3 3k  2    1 22.3  23  1  k k   q.3k. q.3k  1  q.3k  1  1  q.3k q 2 .3k.2  3q.3k  3 k 2 k.2 1 k    1 3k 1 Như vậy nếu S k 3k thì S k 1 3k 1. Mặt khác ta có S1  23 9 31 đúng nên S n 3n với mọi n  N * . 1 Tiểu kết 3: Qua các ví dụ 8,9 ta đã sử dụng phép chứng minh b ng qui nạp. Đây là phương Trang 17 k pháp chứng minh khá quen thuộc. Nội dung của bài toán qui nạp thường là “Chứng minh biểu thức S(n) thỏa mãn tính chất (T) với các giá trị của n tự nhiên (n>k) sao cho n chia cho q dư r tức là n= m.q + r. Bài toán sẽ có c hội làm được bằng qui nạp nếu như ta viết được S(n+r) theo S(n). 3.1.2 Bài tập vận dụng. Bài 1: Chứng minh r ng: a) 251 - 1 chia hết cho 7 b) 270 + 370 chia hết cho 13 c) 1719 + 1917 chi hết cho 18 d) 3663 - 1 chia hết cho 7 nhưng không chia hết cho 37 e) 24n -1 chia hết cho 15 với n N Hướng dẫn – Đáp số: a) 251 - 1 = (23)17 - 1 23 - 1 = 7 b) 270 + 370 (22)35 + (32)35 = 435 + 935 4 + 9 = 13 c) 1719 + 1917 = (1719 + 1) + (1917 - 1) 1719 + 1 17 + 1 = 18 và 1917 - 1 19 - 1 = 18 nên (1719 + 1) + (1917 - 1) hay 1719 + 1917 18 d) 3663 - 1 36 - 1 = 35 7 3663 - 1 = (3663 + 1) - 2 chi cho 37 dư - 2 e) 2 4n - 1 = (24) n - 1 24 - 1 = 15 Bài 2: Chứng minh r ng: a) n5 - n chia hết cho 30 với n  N ; b) n4 -10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi n lẻ n Z c) 10n +18n -28 chia hết cho 27 với n N ; Hướng dẫn – Đáp số: a) n5 - n = n(n4 - 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 + 1) = (n - 1).n.(n + 1)(n2 + 1) chia hết cho 6 vì (n - 1).n.(n+1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 (*) Mặt khác n5 - n = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n2 - 1).(n2 - 4 + 5) = n(n2 - 1).(n2 - 4 ) + 5n(n2 - 1) Trang 18 = (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) Vì (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5 5n(n2 - 1) chia hết cho 5 Suy ra (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) chia hết cho 5 (**) T (*) và (**) suy ra đpcm b) Đặt A = n4 -10n2 + 9 = (n4 -n2 ) - (9n2 - 9) = (n2 - 1)(n2 - 9) = (n - 3)(n - 1)(n + 1)(n + 3) Vì n lẻ nên đặt n = 2k + 1 (k  Z) thì A = (2k - 2).2k.(2k + 2)(2k + 4) = 16(k - 1).k.(k + 1).(k + 2)  A chia hết cho 16 (1) Và (k - 1).k.(k + 1).(k + 2) là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên A có chứa bội của 2, 3, 4 nên A là bội của 24 hay A chia hết cho 24 (2) T (1) và (2) suy ra A chia hết cho 16. 24 = 384 c) 10 n +18n -28 = ( 10 n - 9n - 1) + (27n - 27) + Ta có: 27n - 27 27 (1) + 10 n - 9n - 1 = [( 9...9 + 1) - 9n - 1] = 9...9 - 9n = 9( 1...1 - n) 27 (2) n n n vì 9 9 và 1...1 - n 3 do 1...1 - n là một số có tổng các chữ số chia hết cho 3 n n T (1) và (2) suy ra đpcm Bài 3: Chứng minh r ng với mọi số nguyên a thì: a) a3 - a chia hết cho 3 b) a7 - a chia hết cho 7 Hướng dẫn – Đáp số: a) a3 - a = a(a2 - 1) = (a - 1) a (a + 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên tồn tại một số là bội của 3 nên (a - 1) a (a + 1) chia hết cho 3 b) ) a7 - a = a(a6 - 1) = a(a2 - 1)(a2 + a + 1)(a2 - a + 1) Nếu a = 7k (k  Z) thì a chia hết cho 7 Nếu a = 7k + 1 (k  Z) thì a2 - 1 = 49k2 + 14k chia hết cho 7 Trang 19 Nếu a = 7k + 2 (k  Z) thì a2 + a + 1 = 49k2 + 35k + 7 chia hết cho 7 Nếu a = 7k + 3 (k  Z) thì a2 - a + 1 = 49k2 + 35k + 7 chia hết cho 7 Trong trường hợp nào củng có một th a số chia hết cho 7 Vậy: a7 - a chia hết cho 7. Bài 4: Chứng minh r ng A = 13 + 23 + 33 + ...+ 1003 chia hết cho B = 1 + 2 + 3 + ... + 100 Hướng dẫn – Đáp số: Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + ...+ (50 + 51) = 101. 50 Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 và 101 Ta có: A = (13 + 1003) + (23 + 993) + ... +(503 + 513) = (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 2. 99 + 992) + ... + (50 + 51)(502 + 50. 51 + 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 2. 99 + 992 + ... + 502 + 50. 51 + 512) chia hết cho 101 (1) Lại có: A = (13 + 993) + (23 + 983) + ... + (503 + 1003) Mỗi số hạng trong ngoặc đều chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 (2) T (1) và (2) suy ra A chia hết cho 101 và 50 nên A chi hết cho B 3.2 Một số bài toán liên quan đến phép chia trên tập số nguyên. 3.2.1 Tìm số dư khi chia một lũy thừa cho một số nguyên. 3.2.1.1 Ví dụ, bài tập mẫu. Ví dụ 1: Tìm số dư khi chia 3100 cho 8? Cho 7? Cho 56. Giải Đây là phép chia một l y th a cho một số tự nhiên. Một số kỹ năng cơ bản được vận dụng như tiểu kết 2. *) Ta có 32 1 8. Áp dụng hệ quả 4.2 ta có 3100 1  350.2 1 32 1 8. Vậy 3100 chia 8 dư 1. Theo định lý Fec – ma ta có 36 1 7. Ta cần viết 3100 chia 36k để sử dụng hệ quả 4.1   *) Ta có 3100  34.396  34 396  1  34. Vì 396 1  36.16 1 36 1 7 và 34 = 81 chia 7 có dư 4 nên 3100 chia cho 7 dư 4. *) Để tìm dư của 3100 khi chia cho 56 ta xuất phát t việc tìm 3100 khi chi cho 7 và 8 (vì 56 = 7.8 và (7,8) = 1) Trang 20