Tài liệu Tiểu luận môn học-phân tích thiết kế thuật toán-lớp bài toán npc

TIỂU LUẬN MÔN HỌC PHÂN TÍCH THIẾT KẾ THUẬT TOÁN. Đề tài: LỚP BÀI TOÁN NPC (Nondeterministic Polynomial Completeness) Giảng viên hướng dẫn Thành viên thực hiện 1. 2. 3. 4. 5. : TS. Hoàng Quang : Nhóm 7 Trần Lê Ngọc ([email protected]) Huỳnh Quốc Lực ([email protected]) Trần Thị Hạnh ([email protected]) Võ Thị Tình ([email protected]) Nguyễn Thị Bích Liên ([email protected]) NỘI DUNG • • • • • 2 Phân loại bài toán Lớp bài toán P Lớp bài toán NP Lớp bài toán NPC Một số bài toán thuộc lớp NPC Phân loại bài toán Bài toán 2 lớp Giải được 2 lớp Lớp không đa thức Lớp đa thức ? Lớp NP 3 NPC Không giải được Lớp bài toán có độ phức tạp đa thức (Polynomial time – P) Lớp P Là tập hợp tất cả những bài toán có thể giải được bằng thuật toán đơn định trong thời gian đa thức (tức là tồn tại thuật toán giải quyết nó với thời gian chạy đa thức). Độ phức tạp tính toán của những bài toán này là O(nk), k hằng số. Những bài toán có độ phức tạp dạng O(k), O(log(n)), O(n), O(nlog(n)), nk đều là những bài toán thuộc lớp P. 4 Lớp bài toán có độ phức tạp không đa thức • Tập các bài toán có độ phức tạp lũy thừa O(an) hoặc giai thừa O(n!) là không thuộc lớp đa thức • Các bài toán không thuộc lớp đa thức chỉ giải được với một độ lớn dữ liệu đầu vào nhất định. Ví dụ: Cho một tập hợp có n phần tử, hãy liệt kê tất cả các tập con khác trống của tập hợp này. Số tập con của một tập hợp có n phần tử là 2n1. Lời giải tuy đã có nhưng khi thể hiện lời giải này bằng bất kỳ thuật toán nào thì phải tốn ít nhất 2n-1 bước. 5 N Số lần thực hiện Ghi chú 16 Khoảng vài chục ngàn Máy tính có thể giải 32 Khoảng 4 tỷ Cần những máy tính tốc độ cao và tốn rất nhiều thời 33 Khoảng 8 tỷ Lớp bài toán NP (Nondeterministic Polynomial time) • Chúng ta đều biết rằng tính xác định là một trong ba đặc tính quan trọng của thuật toán. • Mỗi bước của thuật toán phải được xác định duy nhất và có thể thực thi được. • Nếu có sự phân chia trường hợp tại một bước thì thông tin tại bước đó phải đầy đủ để thuật toán có thể tự quyết định chọn lựa trường hợp nào. • Vậy thì điều gì sẽ xảy ra nếu ta đưa ra một "thuật toán" có tính không đơn định?  Tại một bước của "thuật toán", ta đưa ra một số trường hợp chọn lựa nhưng không cung cấp đầy đủ thông tin để "thuật toán" tự quyết định? 6 Lớp bài toán NP … Ví dụ: Ta có một lời chỉ dẫn khi đi du lịch : "Khi đi hết khu vườn này, bạn hãy chọn một con đường mà bạn cảm thấy thích. Tất cả đều dẫn đến bảo tàng lịch sử". Khách du lịch ….. Go(“Khu vườn”); ??? Choose(1,2,3); Go(“Viện bảo tàng); Khu vườn 1 2 Viện bảo tàng 7 Máy tính 3 Tại sao lại đề cập đến những thuật toán không đơn định dù máy tính không thể thực hiện một thuật toán như vậy? Khi nghiên cứu về thuật toán không đơn định, dù không dùng để giải bài toán nào đi nữa, chúng ta sẽ có những hiểu biết về hạn chế của những thuật toán đơn định thông thường. Lớp bài toán NP … Ví dụ 2: Bài toán người bán hàng (TSP) - Có một người giao hàng cần đi giao hàng tại n thành phố. - Xuất phát từ một thành phố nào đó, đi qua các thành phố khác để giao hàng và trở về thành phố ban đầu. - Mỗi thành phố chỉ đến một lần - Khoảng cách từ một thành phố đến các thành phố khác là xác định. Hãy tìm một chu trình sao cho tổng độ dài các cạnh nhỏ hơn M? - Liệt kê từng con đường có thể đi - So sánh chiều dài mỗi con đường tìm được với M + Tìm được một con đường phù hợp + Xét hết tất cả các con đường 8 - Chọn một con đường có thể và tính chiều dài của nó. - So sánh chiều dài này với M + Nếu <=M thì báo là thành công + Ngược lại báo chọn lựa sai - Dùng thuật toán đơn định  độ phức tạp không thuộc lớp đa thức - Dùng thuật toán không đơn định  độ phức tạp đa thức Lớp bài toán NP … Lớp NP Những bài toán khi được giải bằng thuật toán không đơn định mà có độ phức tạp đa thức. • Lớp bài toán NP chưa thể phân loại là thuộc lớp đa thức hay không? Giải được Không giải được Độ phức tạp đa thức Độ phức tạp không phải đa thức Bài toán NP chưa được phân loại NP • Lớp NP chứa những bài toán thuộc lớp P, bởi vì nếu một bài toán được giải bằng thuật toán đơn định có Pđộ 9 phức tạp đa thức thì chắc chắn khi dùng thuật toán Lớp NP đầy đủ (NP Completeness-NPC) Có những bài toán đã biết là thuộc lớp NP nhưng không rõ có thuộc về lớp P hay không. (Tức là chúng ta có thể giải chúng dễ dàng trên một máy không đơn định (thuật toán không đơn định), nhưng chưa tìm ra được một lời giải hữu hiệu chạy trên máy thông thường (thuật toán đơn định) để giải chúng). Những bài toán NP này lại thêm một tính chất nữa là: “Nếu bất kỳ một trong những bài toán này có thể giải được trong thời gian đa thức thì tất cả những bài toán thuộc lớp NP cũng sẽ được giải trong thời gian đa thức trên một máy đơn định”. 10 Những bài toán như vậy được gọi là lớp bài toán NP đầy đủ (NPC). Lớp NPC … Định nghĩa: Chúng ta nói L là bài toán thuộc lớp NPC nếu các khẳng định dưới đây đều đúng: 1. L Є NP 2. Với mọi L’ Є NP thì L’ ≤ pL (Với mọi ngôn ngữ L’ thuộc NP, có một phép thu thời gian đa thức từ L’ về L). (Nếu L chỉ thoã điều kiện 2 thì L thuộc lớp NP-Khó) Định lý: Nếu có một bài toán NPC nào giải được trong thời gian đa thức thì P = NP. Nếu có một bài toán trong NP nào mà không giải được trong thời gian đa thức thì tất cả các bài toán NPC đều không giải được trong thời gian đa thức. NP 11 P NPC Tính thu giảm đa thức (polinomial reducibility) 12 • Lớp NPC là lớp con của những bài toán khó nhất trong lớp NP. • Công cụ chính để chứng minh một bài toán thuộc lớp NPC là ý tưởng về tính thu giảm đa thức • Bất cứ giải thuật nào giải được bài toán NP có thể được dùng để giải bài toán NPC nào đó đã biết bằng cách: Biến một thể hiện bất kỳ của bài toán NPC đã biết thành một thể hiện của bài toán mới Giải BT này bằng giải thuật đã có để tìm ra một lời giải Biến lời giải này về thành một lời giải của bài toán NPC đã biết. Tính thu giảm đa thức … Định nghĩa: (Thu giảm về) Ta nói rằng bài toán L1 thu giảm về bài toán L2 (kí hiệu L1  L2) nếu bất kỳ giải thuật nào giải được L2 thì cũng có thể được dùng để giải L1. Bổ đề: Để chứng minh một bài toán mới L là NPC chúng ta cần chứng minh: 1. L thuộc lớp NP 2. Một bài toán L’ Є NPC đã biết thì L’ thu giảm được về L 13 Tính thu giảm đa thức … 1. Bài toán người bán hàng (TSP): Cho một tập các thành phố và khoảng cách giữa các cặp thành phố. Hãy tìm một lộ trình đi qua tất cả các thành phố sao cho tổng khoảng cách của lộ trình nhỏ hơn M 2. Bài toán chu trình Hamilton (HCP): Cho một đồ thị, hãy tìm một chu trình đơn đi qua tất cả các đỉnh. • Giả sử ta biết HCP là NPC và muốn xác định xem TSP có là NPC hay không? • Bất kỳ giải thuật nào có thể dùng để giải TSP cũng có thể dùng để giải HCP thông qua sự thu giảm sau: Cho G=(V,E) là một thể hiện của HCP, tạo ra một thể hiện của TSP tương ứng G’=(V,E’), trong đó: – Các thành phố trong TSP tương ứng tập đỉnh trong HCP – Khoảng cách giữa hai thành phố ta gán giá trị: 0 nếu (i,j)  E c(i,j) = 1 nếu (i,j)  E 14 Tính thu giảm đa thức 0 0 2 … 1 1 5 4 3 G=(V,E) của HCP 0 0 1 0 1 1 0 G’=(V,E’) của STP 1. Bài toán TSP: Cho một tập các thành phố và khoảng cách giữa các cặp thành phố. Hãy tìm một lộ trình đi qua tất cả các thành phố sao cho tổng khoảng cách của lộ trình nhỏ hơn M 2. Bài toán HCP: Cho một đồ thị, hãy tìm một chu trình đơn đi qua tất cả các đỉnh. • Để chứng tỏ HCP ≤ p TSP: Ta chỉ ra G có một chu trình hamilton khi và chỉ khi G’ có một tua có mức hao phí tối đa là 0. – Thật vậy: Giả sử G có chu trình hamilton h  h là một tua trong G’ với mức hao phí 0. – Ngược lại: Giả sử G’ có tua h’ với mức hao phí tối đa là 0 (Vì E’={c(i,j)=(0,1)})  h’ chỉ chứa các cạnh trong E  h’ là một chu trình hamilton trong G. 15 • Nghĩa là HCP thu giảm về TSP  Tính chất NPC của HCP bao hàm tính chất NPC của TSP. Hay TSP là bài Định lý Cook Bài toán thoả mạch logic (circuit satisfiability problemCSP): • Phần tử bool (Boolean combinational element) là các phần tử có đầu vào và ra thuộc {0,1} (0: sai, 1: đúng) • Một phần tử bool dùng để tính 1 hàm boolean đơn, được gọi là một cổng logic (logic gate). Có 3 cổng logic x z x cổng AND và z cổng OR cơ bản: cổng NOT, (Cổng vào x x z y và y, cổng ra z) y 16 x y X Λ y x y X v y x x 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 Định lý Cook … Bài toán CSP … • Đầu vào (Circuit input): các dây không nối với một phần tử vào nào • Đầu ra (Circuit output): các dây không nối với một phần tử ra nào • Ta xét các mạch (circuit) chỉ có một đầu ra: 1. Một phép gán giá trị của một mạch là một tập các giá trị đầu vào. 2. Một mạch là thỏa mãn (satisfiable) nếu có một phép gán giá trị đầu vào sao cho đầu ra của mạch là 1. • Bài toán CSP là xác định xem có tồn tại một phép gán các trị logic vào các biến logic sao cho toàn công thức trở thành đúng (đầu ra là 1). 17 Định lý Cook … Bài toán CSP … Ví dụ: • Mạch với đầu vào (x1,x2,x3) = (1,1,0) • Đầu ra =1  Mạch là thõa được • CSP là một bài toán NPC 18 • Mạch không xác định đầu vào • Đầu ra không xác định  Mạch là không thõa được Định lý Cook • Vì kỹ thuật rút gọn dựa trên một bài toán có sẵn biết NPC để chứng minh một bài toán NPC khác, chúng ta cần một bài toán NPC đầu tiên. Đó là bài toán thỏa được mạch (circuit-satisfiability problem) • S.A Cook (1971) đã đề xuất chứng minh trực tiếp đầu tiên rằng bài toán thoã mạch logic-CSP là bài toán NPC. Định lý Cook: “Nếu tồn tại một giải thuật thời gian đa thức để giải bài toán thoả mãn mạch logic thì tất cả mọi bài toán trong lớp NP có thể giải được trong thời gian đa thức” 19 Một số bài toán NPC • Hàng nghìn bài toán khác nhau được biết là NPC. CIRCUIT-SAT SAT 3-CNF-SAT CLIQUE VERTEX-COVER HAM-CYCLE TSP 20 SUBSET-SUM