Tài liệu Tiêu chuẩn tự liên hợp thiết yếu của toán tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 TRẦN TRUNG CHÍNH TIÊU CHUẨN TỰ LIÊN HỢP THIẾT YẾU CỦA TOÁN TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 TRẦN TRUNG CHÍNH TIÊU CHUẨN TỰ LIÊN HỢP THIẾT YẾU CỦA TOÁN TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. TẠ NGỌC TRÍ Hà Nội – Năm 2017 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Tạ Ngọc Trí. Thầy đã tận tình hướng dẫn và giải đáp những thắc mắc của tôi, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này Qua đây, tôi xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo phòng Sau đại học, các thầy cô giáo khoa Toán cũng như các thầy cô giáo giảng dạy lớp thạc sĩ K19 chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn quan tâm, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, ngày 26 tháng 03 năm 2017 Tác giả luận văn Trần Trung Chính. i Lời cam đoan Luận văn này là kết quả nghiên cứu của bản thân tác giả dưới sự hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí. Tác giả xin khẳng định kết quả của luận văn này là trung thực. Đề tài "Tiêu chuẩn tự liên hợp thiết yếu của toán tử" là kết quả của việc nghiên cứu, học tập và nỗ lực của bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác. Hà Nội, ngày 26 tháng 03 năm 2017 Tác giả luận văn Trần Trung Chính. ii Mục lục Lời cam đoan ii Lời mở đầu 1 1 Toán tử tuyến tính và phổ của toán tử tuyến tính 5 1.1 Toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Toán tử tuyến tính không bị chặn . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn . . . . . . . . 17 2 Một tiêu chuẩn xét sự tự liên hợp thiết yếu của toán tử 31 2.1 Phát biểu tiêu chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Một số bổ đề và chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3 Một số nhận xét và kết quả khác . . . . . . . . . . . . . 37 2.4 Ví dụ áp dụng cụ thể: Toán tử Dirac . . . . . . . . . . . 40 2.5 Lý thuyết nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 iii Lời mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Lý thuyết phổ của toán tử tuyến tính bị chặn đã trở thành một chủ đề được trình bày phổ biến trong các giáo trình về giải tích hàm ở bậc đại học. Trong đó phổ của toán tử tự liên hợp thường cũng được nhắc đến bởi toán tử tự liên hợp(bị chặn) có phổ cũng được xác định rất rõ ràng ( nằm trên đường thẳng thực). Tuy nhiên rất nhiều toán tử lại không bị chặn, nhất là các toán tử xét trong Vật lý, Cơ học lượng tử,... Lý thuyết về toán tử tuyến tính không bị chặn không quen thuộc lắm với chương trình toán ở bậc đại học. Các toán tử tuyến tính không bị chặn thường được nghiên cứu trên một miền trù mật của không gian Hilbert và được gọi là toán tử xác định trù mật (densely defined operator). Với sự xuất hiện của toán tử xác định trù mật như vậy dẫn đến việc nghiên cứu mở rộng các khái niệm đã có đối với toán tử bị chặn. Từ đó chúng ta cũng có thể xét được toán tử tự liên hợp (không bị chặn) và đặc biệt là một lớp toán tử “gần” tự liên hợp, gọi là toán tử tự liên hợp thiết yếu. Rất nhiều tiêu chuẩn để có một toán tử tự liên hợp thiết yếu được nghiên cứu. Trong luận văn này chúng tôi xin giới thiệu về toán tử tự liên hợp thiết yếu và một kết quả để xét tính tự liên hợp thiết yếu. Nội dung chính của luận văn này đề cập đến kết quả của B. Thaler, a criterion for the essential self-adjointness, J. Operator Theory, 31(1994), 351-361. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về sự tự liên hợp thiết yếu, nhờ sự hướng dẫn tận tình của Thầy giáo TS.Tạ Ngọc Trí, tôi chọn nghiên cứu đề tài: Tiêu chuẩn tự liên hợp thiết yếu của toán tử. 1 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài này nhằm tìm hiểu về toán tử tự liên hợp thiết yếu và tiêu chuẩn xét sự tự liên hợp thiết yếu của một toán tử. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu nghiên cứu một kết quả mới về tiêu chuẩn xét sự tự liên hợp thiết yếu của một toán tử. 4. Đối tượng nghiên cứu Các kiến thức cơ sở cần thiết, một số tiêu chuẩn xét sự tự liên hợp thiếu yếu của một toán tử, ví dụ cụ thể áp dụng là Toán tử Dirac. 5. Phương pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu và các bài báo liên quan đến tiêu chuẩn xét sự tự liên hợp thiết yếu của một toán tử. Tổng hợp kiến thức, phân tích, hệ thống các khái niệm, vận dụng cho mục đích nghiên cứu những tài liệu liên quan đến đề tài, sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích hàm, lý thuyết toán tử. Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn. 6.Giả thuyết khoa học Tổng hợp để trình bày một tiêu chuẩn về xét sự tự liên hợp thiết yếu, chứng minh một số bổ đề liên quan, đưa ra nhận xét và một số kết quả khác, ví dụ áp dụng cụ thể: Toán tử Dirac và lý thuyết nhiễu. 2 Các kí hiệu và chữ viết tắt N Tập số tự nhiên R Tập số thực C Tập số phức ∅ Tập rỗng ., . Tích vô hướng Rn Không gian Euclide n chiều T −1 Nghịch đảo của toán tử T T∗ Toán tử liên hợp của toán tử T trong không gian Hilbert T Bao đóng của toán tử T ρ(T ) Tập giải được của toán tử T D(T ) Miền xác định của toán tử T Ker(T ) Nhân của toán tử T Ran(T ) Miền giá trị của toán tử T L∞ (T ) Không gian Lebesgue các hàm bị chặn hầu khắp nơi Lp (T ) Không gian Lebesgue của các hàm p- khả tích inf Cận dưới đúng sup Cận trên đúng suppg Giá của hàm g σ(T ) Phổ của toán tử T σp (T ) Phổ điểm của toán tử T σess (T ) Phổ thiết yếu của toán tử T µ(ψ) Độ đo phổ 3 1 Toán tử đơn vị χΩ(.) Biểu trưng của tập Ω 4 Chương 1 Toán tử tuyến tính và phổ của toán tử tuyến tính Chương này trình bày về toán tử tuyến tính và phổ của toán tử tuyến tính. Nội dung của chương này là những kiến thức cơ sở giúp cho việc theo dõi các phần sau được thuận lợi hơn. Tài liệu tham khảo của phần này chủ yếu từ [1] ,[2]. 1.1 Toán tử tuyến tính bị chặn Định nghĩa 1.1. (Toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp) Cho T là toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert H. Toán tử T ∗ : H → H gọi là toán tử liên hợp của T , nếu T x, y = x, T ∗ y , ∀x, y ∈ H. Khi T = T ∗ thì toán tử T gọi là toán tử tự liên hợp hay toán tử đối xứng. Nói cách khác, nếu T là toán tử tự liên hợp thì Tx, y = x, T y , ∀x, y ∈ H Định lý 1.1. Nếu T là toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert H 5 thì T = sup | Tx, x | . x =1 Định lý 1.2. Nếu T , B là toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert H thì 1) T ∗∗ = T . 2) (λT + µB)∗ = λT ∗ + µT ∗ với λ, µ ∈ C. 3) (T B)∗ = B ∗ T ∗ . 4) T ∗ T = T 2 . Định nghĩa 1.2. Toán tử T trong không gian Hilbert H được gọi là chuẩn tắc nếu T ∗ T = T T ∗ . Định nghĩa 1.3. (Toán tử dương) Toán tử tuyến tính T gọi là toán tử dương trên không gian Hilbert H nếu Tx, x ≥ 0, ∀x ∈ H. Định nghĩa 1.4. (Toán tử xác định dương) Toán tử tuyến tính T gọi là toán tử xác định dương trên không gian Hilbert H nếu tồn tại hằng số γ > 0 sao cho Tx, x ≥ γ x , ∀x ∈ H. Định nghĩa 1.5. (Toán tử compắc) Toán tử tuyến tính T trên không gian Hilbert H gọi là toán tử compắc (hay toán tử hoàn toàn bị chặn) nếu, với mỗi dãy bị chặn (xn ) trong H, dãy (T xn ) chứa một dãy con hội tụ. Định lý 1.3. (Các tính chất của toán tử compắc) 1) Toán tử compắc là hoàn toàn bị chặn. 2) Cho T là toán tử compắc trong không gian Hilbert H và B là toán tử bị chặn trong H thì T B và BT là toán tử compắc. 6 3) Toán tử T là toán tử compắc trong không gian Hilbert H khi và chỉ khi T biến một dãy con hội tụ yếu thành dãy hội tụ mạnh. Nghĩa là: T compắc − − → xn → x ⇒ Txn → Tx, ∀xn , x ∈ H. −w − 4) Toán tử compắc biến một dãy trực chuẩn thành một dãy hội tụ mạnh. Định nghĩa 1.6. Cho toán tử tuyến tính S trong không gian Hilbert H. T được gọi là khả nghịch nếu tồn tại toán tử tuyến tính B sao cho T B = BT = 1 Nhận xét 1.1. Cho C là tập lồi đóng trong không gian Hilbert H thì có duy nhất một phần tử x ∈ C sao cho x = inf{ y : y ∈ C}. Định lý 1.4. Nếu T có một khả nghịch bị chặn, T −1 , thì T ∗ có một khả nghịch bị chặn và (T ∗ )−1 = (T −1 )∗ . 1.2 Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn Định nghĩa 1.7. (Phổ của toán tử tuyến tính) Cho T là toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert H. Phổ của toán tử T , kí hiệu là σ(T ), là tập tất cả các số phức λ sao cho T − λ1 là không khả nghịch. Định nghĩa 1.8. (Tập giải được) Tập ρ(T ) = C\σ(T ) được gọi là tập giải được của T . Định nghĩa 1.9. Cho T là toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert H. Vectơ x ∈ H, x = 0 thoả mãn Tx = λx, x được gọi là vectơ riêng của T , λ ∈ C được gọi là giá trị riêng của toán tử T ứng với vectơ riêng x. 7 Nếu λ là giá trị riêng của toán tử T thì ta có (T − λ1)x = 0, x = 0, với 1 là đơn vị của T , suy ra T − λ1 không khả nghịch, vậy λ ∈ σ(T ). Và khi đó λ được gọi là điểm phổ của T . Chú ý: + Mỗi vectơ riêng tương ứng với mỗi giá trị riêng. Ngược lại, một vectơ riêng tương ứng với vô số giá trị riêng. + Trong không gian hàm, vectơ riêng thường được gọi là hàm riêng. Định nghĩa 1.10. Tập hợp tất cả các vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ được gọi là không gian riêng của λ. Chiều của không gian này được gọi là bội số (multiplicity) của λ. Định nghĩa 1.11. Tập các giá trị riêng của T được gọi là phổ điểm của T. Kí hiệu là: σp (T ). Chú ý: Mọi giá trị riêng của T đều thuộc phổ của T . Phổ của T có thể chứa nhiều những giá trị mà không phải là giá trị riêng của T . Ví dụ 1.2.1. Cho toán tử T trong không gian Euclide n chiều Rn xác định bởi ma trận:  λ1 . . . 0   . . T =  . ... . . .  0 · · · λn      Trong đó λj ∈ R\{0} với mọi j = 1, 2, ..., n. Ta kiểm tra được T là toán tử tuyến tính bị chặn, tất cả các số λj (j = 1, 2, ..., n) đều là giá trị riêng của toán tử T và tất cả các số λ = λj (j = 1, 2, ..., n) đều là giá trị chính quy của toán tử T . Vì vậy toán tử T chỉ có phổ điểm. 8 Định lý 1.5. Mọi giá trị riêng của toán tử tuyến tính tự liên hợp trên không gian Hilbert H đều là số thực. Chứng minh: Giả sử x ∈ H, x = 0 là vectơ riêng của toán tử T tương ứng với giá trị riêng λ. Ta có: λ x, x = λx, x = Tx, x = x, Tx = x, λx = λ x, x Vì x, x = 0 nên λ = λ. Vậy λ là số thực. Nhận xét 1.2. . + Toán tử tự liên hợp có phổ nằm trên đường thẳng thực. + Toán tử tự liên hợp với phổ không âm là toán tử dương . Định lý 1.6. Cho toán tử T tự liên hợp trên không gian Hilbert H. Số λ là giá trị chính quy của T khi và chỉ khi tồn tại hằng số dương α sao cho T − λ1 ≥ α x , ∀x ∈ H. Hệ quả 1.1. Số λ thuộc phổ của toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert Hkhi và chỉ khi tồn tại dãy xn ⊂ H, |x| = 1(n = 1, 2, ...) sao cho lim |Tλ xn | = 0. n→∞ Chứng minh: Với ∀x ∈ H ta có: Tλ x, x = Tx, x − λ x, x x, Tλ x = Tλ x, x = Tx, x − λ x, x 9 Suy ra x, Tλ x − Tλ x, x = (λ − λ) x, x = 2bi x ⇒ 2 |b| x 2 = | x, Tλ x − Tλ x, x | ≤ | x, Tλ x |+| Tλ x, x | ≤ 2 x Tλ x ⇒ Tλ x ≥ |b| x , ∀x ∈ H Theo định lý ta có λ = a + ib, (b = 0) là giá trị chính quy của toán tử T . Định lý 1.7. Phổ của toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert H là khác rỗng. Chứng minh: Theo Định lý 1.7 phổ của toán tử liên hợp chỉ có thể nằm trên trục thực. Đặt m = inf x =1 Tx, x , M = Sup Tx, x . x =1 Vì T là toán tử tự liên hợp nên T = Sup | Tx, x | = max(|m| , |M |). x =1 Ta có nhận xét với số thực t tuỳ ý phổ của toán tử Tt = T − t1 nhận được từ phổ của toán tử T bằng cách tịnh tiến dọc theo trục thực phổ của toán tử T một đoạn bằng t, các số m, M được thay bằng các số m − t, M − t. Thật vậy: Giả sử λ0 là một giá trị phổ của toán tử T . Theo hệ quả 1.1, tồn tại dãy {xn } ⊂ H, x = 1 sao cho lim Txn − λ0 xn = 0. n→∞ Do đó: lim Tt xn − (λ0 − t)xn = lim (T − t1)xn − (λ0 − t)xn n→∞ n→∞ = lim T xn − λ0 xn = 0 n→∞ Suy ra λ0 − t là giá trị phổ của toán tử Tt . 10 Dựa vào định nghĩa cận trên đúng và cận dưới đúng ta kiểm tra được Sup [ Tx, x − t] = M − t |x|=1 inf [ Tx, x − t] = m − t |x|=1 Từ đó không mất tính tổng quát, có thể coi 0 ≤ n ≤ M . Khi đó |T | = m. Theo định nghĩa cận trên đúng, tồn tại dãy {xn } ⊂ H, xn = 1 sao cho lim Txn , xn = M . n→∞ Đặt dn = M − Txn , xn thì dn > 0, (n = 1, 2, ...) và lim dn = 0. Do x→∞ đó Txn − M xn 2 = Tx − M xn , T xn − M xn = T xn 2 − 2M T xn , xn + M 2 ≤ 2M 2 − 2M T xn , xn = 2M dn , ∀n = 1, 2, ... Nên lim T xn − M xn = 0 nghĩa là số M thuộc phổ của toán tử T . n→∞ Bằng cách tương tự ta chứng minh được số m thuộc phổ của toán tử T. Định lý 1.8. (Cấu trúc phổ của toán tử tự liên hợp) Phổ của toán tử tự liên hợp T trong không gian Hilbert H nằm trên đoạn [m, M] của trục thực, trong đó m = inf Tx, x , x =1 M = Sup Tx, x x =1 Chứng minh: Theo định lý 1.7 ta chỉ cần chứng minh mọi số thực λ không thuộc 11 đoạn [m, M] đều là giá trị chính quy. Giả sử λ < m. Đặt d = m − λ thì d > 0 và ∀x ∈ H, x = 1 ta có d = m − λ ≤ T x, x − λx, x = Tλ x, x ≤ Tλ x x ⇒ Tλ x ≤ d x . ∀x ∈ H, x = 0, ta đặt y = x thì y = 1, theo chứng minh trên x Tλ y ≥ d y ⇒ Tλ x x ≥d x x ⇒ Tλ x ≥ d x . Hiển nhiên, bất đẳng thức nhận được đúng với cả x = 0. Vì vậy Tλ x ≥ d x , ∀x ∈ H. Suy ra, λ là giá trị chính quy của toán tử T . Trường hợp λ > M thì λ là giá trị chính quy được chứng minh tương tự. Định lý 1.9. (Cấu trúc phổ của toán tử compắc tự liên hợp) Phổ của toán tử compắc tự liên hợp T trên không gian Hilbert H là phổ điểm. Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh mỗi giá trị phổ λ = 0 của toán tử compắc tự liên hợp T trên không gian Hilbert H là một giá trị riêng. Theo hệ quả 1.1 tồn tại dãy {xn } ⊂ H, x = 1 sao cho lim Txn − λxn = 0 n→∞ 12 1 (Txn − yn )(n = 1, 2, ...). λ Nhờ tính compắc của toán tử T . Dãy {Txn } chứa dãy con {Txnk } hội Đặt yn = Txn − λxn thì xn = tụ trong không gian H. Do dãy {yn } hội tụ đến 0, nên dãy xnk = 1 (Txnk − ynk )(k = 1, 2, ...) λ hội tụ, đặt x = lim xnk . n→∞ Hiển nhiên, x = 1 và 1 1 (Txnk − ynk ) = Tx ⇒ Tx = λx n→∞ λ λ x = lim xnk = lim n→∞ Vì vậy, λ là giá trị riêng của toán tử T . Định lý được chứng minh. Hệ quả 1.2. Nếu toán tử compắc tự liên hợp T trên không gian Hilbert H có vô số giá trị riêng thì tập các giá trị riêng đó là đếm được và số 0 là điểm giới hạn duy nhất của các giá trị riêng đó. Định lý 1.10. 1) Mọi giá trị riêng của một toán tử dương trên không gian Hilbert H là không âm. 2) Mọi giá trị riêng của một toán tử xác định dương trên không gian Hilbert H là dương. Chứng minh: 1)Giả sử T là toán tử dương và Tx = λx với x = 0. Vì T là tự liên hợp nên ta có: 0 ≤ Tx, x = λx, x = λ x, x = λ x . Do đó λ ≥ 0. 13 (1.1) 2)Bằng cách thay ≤ bằng < trong 1.2 ta suy ra điều phải chứng minh. 1.3 Toán tử tuyến tính không bị chặn Cho H là không gian Hilbert, DomT là miền xác định của toán tử T , DomT ⊆ H. Kí hiệu là D(T ) và DD(H) là tập các toán tử xác định trù mật trên H. Định nghĩa 1.12. (Toán tử tuyến tính không bị chặn) Toán tử tuyến tính T : D(T ) → H gọi là toán tử không bị chặn nếu tồn tại dãy số xn , xn ∈ D(T ), xn = 1, n = 1, 2, ... và Txn → ∞ khi n → ∞. Thông thường ta xét trường hợp D(T ) là không gian con tuyến tính trù mật trong không gian Hilbert H. Ví dụ 1.3.1. Cho T là toán tử compắc trong không gian Hilbert vô hạn chiều H. Nếu T khả nghịch thì A−1 không bị chặn. Thật vậy, giả sử{vn } ⊂ H, n = 1, 2, ... là dãy trực chuẩn và zn = T vn . Khi đó zn → 0 (khi n → ∞) nhưng T −1 zn 0 (khi n → ∞). Ví dụ 1.3.2. Cho T là toán tử xác định trong không gian con S của không gian L2 (R) sao cho T f (x) = −f (x) + x2 f (x), ∀f ∈ S. j 1 1 1 2 d 2 Nếu fj = (2j j!)− 2 (−1)j π − 4 e 2 x j (e−x ) thì fj ∈ S, fj = 1 và dx T fj = 2j + 1, j = 1, 2, ... Do đó T fj = 2j + 1 → ∞ khi j → ∞ ({fj } là cơ sở trực chuẩn của không gian L2 (R) ). Vậy T là toán tử không bị chặn. Định nghĩa 1.13. Cho toán tử không bị chặn T : D(T ) → H. 14 Toán tử T gọi là toán tử đóng nếu với mỗi dãy {xj } ⊂ D(T ), xj → x và Txj → y thì x ∈ D(T ) và Tx = y. Toán tử T gọi là toán tử mở rộng của toán tử T nếu D(T ) ⊆ D(T ) và Tx = T x, ∀x ∈ D(T ). Toán tử T gọi là đóng được nếu T là mở rộng đóng. Mở rộng đóng nhỏ nhất của toán tử đóng T gọi là bao đóng. Ký hiệu là T . Lõi (core) đóng của T là tập con của D(T ) sao cho bao đóng của T bị thu hẹp trên tập hợp này trùng với T . Định nghĩa 1.14. ( Toán tử liên hợp của toán tử tuyến tính không bị chặn) Cho toán tử không bị chặn T : D(T ) → H. Ký kiệu D(T ∗ ) là tập hợp các phần tử y ∈ H, với mỗi z ∈ H ta có Tx, y = x, z , ∀x ∈ D(T ). Với mỗi y ∈ D(T ∗ ) và gọi T ∗ là toán tử liên hợp của T . Định nghĩa 1.15. Cho toán tử không bị chặn T : D(T ) → H. Toán tử T gọi là toán tử đối xứng nếu toán tử liên hợp T ∗ là mở rộng của toán tử T . Toán tử T gọi là toán tử tự liên hợp nếu T đối xứng và D(T ∗ ) = D(T ). Nếu bao đóng T tự liên hợp thì toán tử đối xứng T gọi là toán tử tự liên hợp thiết yếu. Do D(T ) ⊂ D(T ∗ ) là trù mật trong H nên toán tử đối xứng luôn là toán tử đóng. Nếu T là toán tử đối xứng thì T ∗ là mở rộng đóng của T , nên mở rộng đóng bé nhất của T là T ∗∗ phải chứa trong T ∗ . Do đó ta có: 15