Tài liệu TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

  • Số trang: 41 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 154 |
  • Lượt tải: 0
tailieu

Tham gia: 27/02/2016

Mô tả:

TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
TÀI LIỆU THPT HAY Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Nguyên hàm 1.1. Khái niệm  Cho hàm số x f xác định trên K . Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu F (x ) f (x ) , K.  Nếu hàm số f có một nguyên hàm F thì với mọi C y F (x ) C cũng là một nguyên f. hàm của  Họ tất cả các nguyên hàm của Vậy , hàm số f (x )dx f trên K được kí hiệu f (x )dx . F (x ) C , với F là nguyên hàm của f .  Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp  dx  a    x  xa 1 a 1 x dx dx x dx x2 C C (a C (x ln x 1 x 1)  0)  C sin xdx cos x C cos xdx dx cos2 x dx sin2 x  e xdx  x a dx sin x C tan x C cot x ex C C ax ln a a 1) 1 tan(ax a b) C (0  Bảng nguyên hàm mở rộng  (ax (a 1)  dx ax b 1 (ax b)a a a 1 a b) dx 1 ln ax a b 1 C (x C  dx cos2 (ax  dx sin2 (ax  eax bdx  a ax bdx 0)  sin(ax  cos(ax b)dx b)dx 1 cos(ax a 1 sin(ax a b) C b) C b) b) 1 cot(ax a 1 ax b e C a 1 a ax b C (0 a ln a C b) C a 1) 1.2. Các tính chất  [ f (x ) g(x )]dx f (x )dx TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN g(x )dx Page TÀI LIỆU THPT HAY af (x )dx  a f (x )dx C (a 0) 1.3. Công thức nguyên hàm từng phần u(x )v (x )dx u(x )v(x ) v(x )u (x )dx 1.4. Công thức đổi biến số f [u(x )]u (x )dx F [u(x )] C , trong đó F là nguyên hàm của f . 2. Tích phân và ứng dụng 2.1. Khái niệm Tích phân của hàm số f từ a đến b là b f (x )dx F (b) F (a ) F (x ) b a b f (x )dx là nguyên hàm của f. b f [u(x )]u (x )dx 2.2. Công thức đổi biến số: F a a b , trong đó a f (u )du a b u(x )v (x )dx 2.3. Công thức tích phân từng phần: u(x )v(x ) b b v(x )u (x )dx a a a 2.4. Diện tích hình phẳng y b y f (x ) x S g(x ) y f (x ) dx y a f (x ) a O y b b S f (x ) g(x ) dx a O a b TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN x Page TÀI LIỆU THPT HAY 2.5. Thể tích vật thể z S (x ) b V y S (x )dx a a O x b b x y f (x ) x y b V f 2 (x )dx p O a x a y f (x ) y d d V g 2 (y )dy p c c x O B. PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP VÀ VÍ DỤ MINH HỌA b 1. Tích phân các hàm số hữu tỷ a P (x ) dx Q(x ) 1.1. Đặt vấn đề Xét tích phân I * P (x ) Q (x ) * G (x ) b P * (x ) a Q(x ) P (x ) Q (x ) * dx . Nếu bậc P (x ) , trong đó bậc P (x ) I * b P * (x ) a Q(x ) TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN bậcQ (x ) thì ta thực hiện phép chia đa thức và nhận được bậc Q (x ) . Khi đó dx b a G (x )dx b P (x ) a Q(x ) dx Page TÀI LIỆU THPT HAY Do đó việc tính tính I * b * P (x ) a Q(x ) dx được đưa về tính I b P (x ) a Q (x ) Trong phần này, đối với tích phân dạng b P (x ) a Q (x ) dx . dx ta sẽ quan tâm nhiều đến các tích phân có mẫu thức là các tam thức bậc 2. b 1.2. Dạng a dx ax 2 bx c b  Nếu 0 thì a dx ax 2 b  Nếu 0 thì a 0 thì a c dx ax 2 b  Nếu bx bx c dx ax 2 bx c 1 b a a 1 b a a 1 b a a dx 2 (x p) 1 b d (x a a (x dx 2 (x . Lúc này ta đặt 2 q x0 ) x x0) 2 x0 ) p 1 q tan t . b 1 a x x0 a dx (x x 1 )(x b 1 1 a x 2 x1 a x2 ) 1 x 1 x2 x x1 x 1 1 ln a x 2 x1 x dx x2 x1 b . a Ví dụ 1. Tính các tích phân sau dx 2x 3 1 a. x 0 2 1 b. 2 2x 0 2 dx 8x 8 (t2 1)dt 1 c. x 0 2 dx 7x 12 . Giải 2 (x 1)2 Đặt x 1 tan t , Đổi cận x 0 t a. Ta có x2 2x 1. dx p và 4 x 3 t 1 p . 3 Khi đó 3 1 0 2x 2 dx 8x x2 dx 7x 1 b. 0 1 c. 0 x 2 dx 2x 2 8 1 2 3 1 1 0 1 12 (x 0 0 (x dx 1)2 TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN p 4 1 1 dx (x 2)2 dx 3)(x p 3 1 1 . 2 x 20 1 4) 0 (t 2 t2 1) dt 1 p 3 p 4 dt t p 3 p 4 p . 12 1 . 12 (x 4) (x 3) dx (x 3)(x 4) Page TÀI LIỆU THPT HAY 1 1 x 0 b 1.3. Dạng a mx ax 2 bx x 3 n mx 0 thì 0 thì phân tích a b c ax 2 a dx p a mx ax mx 0 thì  Nếu ln x b bx b  Nếu 4 n ax 2 a dx ln x 3 1 4 0 ln 16 . 15 dx c b  Nếu 1 2 b n bx d (ax 2 bx c) ax 2 bx c c a b n bx c A x x0 dx A dx x a B x1 x x2 b q a dx bx ax 2 c . B dx , tìm A và B. (x x 0 )2 dx , tìm A và B. Ví dụ 2. Tính các tích phân sau 3x 0 a. 2 x 2 1 4x 8 2x 1 dx b. 0 1 2 6x 4) 5. x 9 3x 1 dx c. 0 x 2 2 6x 8 dx . Giải a. Ta phân tích 3x 3 (2x 2 1 Như vậy 3x 0 2 x2 1 4x 8 0 dx 2 0 2 3 (2x 4) 5 2 dx x 2 4x 8 3 (2x 4) 5 2 dx 2 x 4x 8 3 ln x 2 2 Để tính I, ta đặt Đổi biến x x 2 4x 3 ln 2 I . 2 2 2 tan t , dx t 0, TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN x 8 0 2 5 dx 2 2x 4x 8 0 5 dx 2 2 2 (x 2) 2 0 2(tan2 t 1)dt . 0 t p . 4 Page TÀI LIỆU THPT HAY Khi đó p 4 I 2 10(tan t 4 tan2 t 0 3x 1 Vậy 3 x2 1 4x 5 2 p 4 5p . 8 5 t 2 0 dt 0 5p . 8 3 ln 2 2 dx 8 1) dt 4 p 4 b. Phân tích 2x x2 A 1 6x x 9 B 3 A(x 3) B (x 3)2 3)2 (x Suy ra 2x 1 A(x 3) B, x . Lần lượt cho x 2 và x 3 , ta nhận được hệ phương trình A B 3 A 2 B B 5 5 . Do đó 2x 1 0 x2 1 6x 9 2 1 dx 5 x 0 2 ln x 3 3 3)2 (x 5. dx 1 1 4 3 2 ln 5 . 12 x 3 2 A(x 2) B(x 4) . (x 2)(x 4) 0 c. Ta có 3x x2 A 2 6x x 8 B x 4 Suy ra A(x 2) B(x 4) 3x 2, x Lần lượt cho x 4 và x 2 ta nhận được A 5 và B . 2. Như vậy 3x 1 0 x2 2 6x 8 5 1 dx x 0 5 ln x 4 2 4 x 2 2 ln x 2 dx 1 0 5 ln Trong phần tiếp theo của tích phân hữu tỷ, ta sẽ xét các ví dụ phức tạp hơn. 3 4 2 ln 2 . Ví dụ 3. Tính các tích phân sau 1 a. 0 x 3 x2 6x 2 1 11x 6 dx 1 b. TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 0 x 3 x3 6x 2 2 9x 4 dx c. 1 0 x 3 x 4 2x 3 3x 2 4x 2 dx Page TÀI LIỆU THPT HAY Giải a. Vì x3 6x 2 11x 6 x2 6x 2 x3 1)(x 2)(x B C 6 x 1 x 2 x 3 A(x 2)(x 3) B(x 1)(x 3) C (x (x 1)(x 2)(x 3) 3) B(x 2 và x A B C 2 5 10 3) nên ta phân tích A 1 11x A(x 2)(x Lần lượt cho x 1, x 2A B 2C (x x2 1)(x 3) C (x 1)(x 2) 3 , nhận được hệ phương trình 1)(x 1, x 2) . . 1 5. 5 Khi đó x2 6x 2 1 0 x 3 1 11x 6 x 0 ln x b. Trước hết thực hiện phép chia đa thức x3 6x 2 1 0 x3 2 9x 4 1 1 dx 1 cho x 3 1 dx x 1 5 ln x 1 x3 5 1 x3 0 5 x 2 3 5 ln x 2 6x 2 9x dx 3 1 ln 2 0 8 5 ln . 9 4 , được 6x 2 9x 2 dx 6x 2 9x 4 1 I. Để tính tích phân I, ta phân tích như sau x3 6x 2 9x 2 6x 2 9x 4 A x A(x B 1 1)2 (x 1)(x C 4) B(x (x 1)2 (x x 4 4) 4) A(x 1)(x 4) B(x 4) C (x 1)2 6x 2 Cho lần lượt x 1, x 0 và x 4 , ta được hệ phương trình 4A 3B 9C 4B C 1 62 2 A B C 8 9 1 3 C (x 9x 1)2 2, x . . 62 9 Do đó TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Page TÀI LIỆU THPT HAY 1 I 0 8 1 . 9 x 1 8 ln x 9 1 1 . 3 (x 1)2 1 1 . 3 x 1 1 62 1 . dx 9 x 4 1 62 ln x 9 4 0 8 ln 2 9 1 6 62 5 ln . 9 4 Vậy x3 6x 2 1 0 1 c. 0 x3 x3 2 9x x 4 2x 3 3x 2 4x 2 4 8 ln 2 9 dx 1 dx x 62 5 ln 9 4 1 1 2 x 2 x 2 2x 2 dx 3x 2 4x 2 1 x x 0 0 x 2 2x 2 dx 3x 2 4x 2 x3 0 7 . 6 3 1 2 I. Phân tích x3 x 2 2x 2 3x 2 4x 2 A(x 2 Cho lần lượt x 2x A 2A 5A A x Bx x2 1 A(x 2 C 2x 2 2x 2) (Bx C )(x (x 1)(x 2 2x 2) 2) (Bx C )(x 1) x 2 2x 2, x 1, x 0 và x = 1 nhận được hệ phương trình 1 C 2 2B 2C A B C 3 1) . 1 0 4 Khi đó I 1 0 1 x 1 ln x 1 4 2x x2 1 0 1 0 (x 2 4 1)2 Đối với tích phân J, đặt x + 1 = tant , dx Đổi cận J p . 4 t arctan 2 . x=1 arctan 2 (tan2 t 1) 4 p dt 2 (tan t 1) 4 x=0 dx 1 dx (tan2 t ln 2 J. 1)dt t TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN arctan 2 4t p 4 arctan 2 p. 4 Page TÀI LIỆU THPT HAY x 4 2x 3 3x 2 4x 1 Vậy x 0 3 2 1 2 dx ln 2 4 arctan 2 p. 2. Tích phân các hàm số lượng giác b sinm x cosn xdx , trong đó m và n là các số nguyên. 2.1 Dạng a  Nếu m lẻ thì đặt t cos x .  Nếu n lẻ thì đặt t sin x .  Nếu m và n đều chẵn thì đặt t tan x . Đặc biệt, khi m và n đều chẵn, dương ta sử dụng công thức hạ bậc và biến tích thành tổng. Ví dụ 4. Tính các tích phân sau p 2 a. sin3 x cos4 xdx p 2 b. 0 0 p 6 c. sin2 x .cos4 xdx 0 sin2 x dx cos3 x d. Giải a. Ta nhận thấy sinx có mũ lẻ nên đặt x Đổi cận p 3 t 0 1, p 4 cos x , dt p t 2 t x 1 dx . sin2 x cos4 x sin xdx . 0. Do đó p 2 p 2 sin3 x cos4 xdx 0 (1 cos2 x )cos4 x sin xdx 0 0 t 2 )t 4dt (1 1 t5 5 t7 7 1 2 . 35 0 b. Vì sinx và cosx đều có mũ chẵn, dương nên sử dụng công thức hạ bậc, được p 2 2 p 2 4 sin x .cos xdx 0 sin2 x cos2 x cos2 xdxdx 0 p 2 0 p 2 0 1 16 1 2 sin 2x cos2 xdx 4 1 1 . 4 p 2 (1 cos 4x 1 . 2 cos 2x cos 2x dx 2 cos 4x cos 4x cos 2x )dx 0 TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Page TÀI LIỆU THPT HAY p 2 1 16 p 2 sin x , dt Đổi cận x 0 1 cos 2x 2 (1 0 1 (x 16 t 1 sin 2x 4 1 sin 4x 4 t cos 2x ) dx 1 cos 6x )dx 2 cos 4x cos xdx . p 0, x 2 t 1 (cos 6x 2 cos 4x 0 1 16 c. Đặt cos 2x 1 1 sin 6x 12 p 2 p . 32 0 1. Do vậy p 6 0 p 6 sin2 x dx cos3 x 0 1 2 sin2 x .cos x dx (1 sin2 x )2 0 t2 dx . (1 t 2 )2 Để tính tích phân vừa nhận được, ta phân tích t2 (1 t 2 )2 A 1 t B (1 t )2 1 t )2 B(1 A(1 t )(1 A(1 t )(1 1, x Cho lần lượt x C D t t )2 (1 t )2 C (1 t )2 (1 (1 t 2 )2 t) D(1 t )2 t )2 B(1 t )2 C (1 t )2 (1 t ) D(1 t )2 1, x 0 và x 2 ta nhận được hệ phương trình 4B 1 4D 1 A B C 9A 9B D 3C 0 D A B C D 4 t 2, t . . 1 4 1 4 1 4 . 1 4 Như vậy 1 2 0 t2 dx (1 t 2 )2 1 4 1 2 t tan x , dt (1 t 1 t 1 0 1 ln 1 4 d. Đặt 1 (1 1 1 t tan2 x )dx hay dx TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 1 t )2 ln 1 t 1 t (1 1 2 1 t 1 1 1 1 2 t 0 t )2 dt 1 1 (ln 4 3 4 ). 3 dt . Page 1 TÀI LIỆU THPT HAY p 4 x Đổi cận t p 3 x 1, t 3. Ta lại có 1 2 cos x t2 1 và t2 2 sin x . t2 1 Do đó p 3 p 4 1 1 dx sin2 x cos4 x 3 t2 1 t2 1 3 t 2 )2 (1 t 1 3 t 2 4 t2 1 t 2t t2 1 1 dt t2 1 t 3 2 1 1 dt 2t 3 . dt dt 2t 2 t2 1 3 t2 1 3 1 3 3 3 1 4 . 3 Nhận xét. Ta có thể giải câu d. theo cách khác như sau p 3 p 4 p 3 1 dx 2 4 sin x cos x p 4 p 3 (sin2 x cos2 x )2 dx 2 4 sin x cos x sin 4 x p 4 p 3 p 4 p 3 p 4 2 sin2 x cos2 x sin2 x cos4 x sin2 x 1 . cos2 x cos2 x tan2 x (tan2 x 2 cos2 x 1) TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 2 tan x 2(tan2 x cot x 3 3 p 4 dx 1 dx 2 sin x p 3 3 tan x 3 cos4 x (cot2 x 1) 1 3 1) dx 4 . 3 Page 1 TÀI LIỆU THPT HAY b R(sin x , cos x )dx , trong đó R là hàm hữu tỷ. 2.2. Dạng a b R(sin x , cos x )dx ta sử dụng phép đổi biến t Để tính tích phân a tan x . Tuy nhiên, bài toán có thể 2 được giải đơn giản hơn nếu nó rơi vào một trong các trường hợp sau R( sin x, cos x )  Nếu R(sin x, cos x )  Nếu R( sin x , cos x ) R(sin x, cos x ) thì đặt t R(sin x, cos x ) thì đặt t R(sin x, cos x ) thì đặt t  Nếu cos x . sin x . tan x . Ví dụ 5. Tính các tích phân sau p 2 a. 0 p 6 0 2 sin3 x sin x dx cos x 1 p 6 b. 0 cos2 x 1 dx sin 2x 3 cos x c. sin2 xdx cos x (sin x cos x ) Giải a. Đặt t cos x , dt Đổi cận x 1 t sin dx . p x 2 1, t 0. Khi đó p 2 0 p 2 2 sin3 x sin x dx cos x 1 0 p 2 2 cos2 x )sin x dx cos x 1 (3 0 0 1 1 (2 sin2 x 1)sin x dx cos x 1 3 2t 2 dt t 1 2t 0 t b. Đặt t sin x , dt Đổi cận x 0 t 2 2t cos xdx . p 0, x 6 TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 2 1 t ln t 1 1 t dt 1 1 0 ln 2 . 1 . 2 Page 1 TÀI LIỆU THPT HAY Khi đó p 6 0 p 6 cos2 x 1 dx sin 2x 3 cos x (cos2 x 1)cos x dx 2 sin x cos2 x 3 cos2 x 0 p 2 (2 sin2 x )cos x dx 2 sin x (1 sin2 x ) 3(1 sin2 x ) 0 1 2 2 t2 t 2 ) 3(1 2t(1 0 1 2 2 t2 t 2 )(2t (1 0 3) t2) dt dt . Ta phân tích 2 t2 (1 t 2 )(2t A B 1 t 3) C t 1 2t A(1 t )(2t 3) B(1 t )(2t 3) (1 t 2 )(2t 3) 3 C (1 t 2 ) . A(1 t )(2t 1, x Cho lần lượt x t )(2t 3) C (1 t 2 ) 2 0 , nhận được hệ phương trình 3) B(1 1 và x 10A 1 2B 1 3A 3B C A B C 2 1 10 1 2 1 5 t 2, t . . Như vậy 1 2 2 t2 t 2 )(2t (1 0 1 ln 1 10 3) dt c. Đặt t tan x , dt Đổi cận x 0 1 1 . 10 1 t 0 1 ln 1 2 t t 1 2 1 ln 2t 10 t (tan2 x 0, x 1 1 . 2 1 t 3 t 1 8 ln 10 3 0 dt 1)dx hay dx p 6 1 2 1 1 . dt 5 2t 3 t 2 1 1 3 ln . 2 2 . 1 . 3 Khi đó p 6 0 2 cos x (sin x cos x ) p 6 dx TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 0 2 cos x (tan x 2 1) dx Page 1 TÀI LIỆU THPT HAY p 6 2 1 tan2 x 0 p 6 2 0 0 a sin x m sin x b cos x n cos x 1 1 . dt 1 t2 1 1 t 0 2.3. Dạng t2 t 1 3 2 .(tan x tan2 x 1 dx tan x 1 1 3 2 1 dx 1) 1 dt 2 ln t 1 1 3 2 ln 0 3 1 3 . c dx p Phân tích a sin x b cos x a(m sin x c n cos x p) b(m cos x n sin x ) . Khi đó a sin x m sin x b cos x n cos x c dx p ax m cos x n sin x dx m sin x n cos x p b ln m sin x n cos x p C . a dx b Ví dụ 6. Tính các tích phân sau p 2 a. 0 10 cos x dx 3 sin x cos x p 2 b. 0 13 sin x 3 3 sin x 2 cos x 1 dx Giải a. Ta có p 2 0 p 2 10 cos x dx 3 sin x cos x (3 sin x 0 p 2 dx 0 p 2 3 0 p 2 cos x ) 3(3 cos x 3 sin x cos x d(3 sin x 3 sin x 3 ln 3 sin x cos x sin x ) dx cos x ) cos x p 2 0 p 2 3 ln 3 . b. Phân tích p 2 0 13 sin x 3 3 sin x 2 cos x 1 p 2 dx TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 0 3(3 sin x 2 cos x 3 sin x 1) 2(3 cos x 2 cos x 1 2 sin x ) dx Page 1 TÀI LIỆU THPT HAY p 2 3 dx p 2 2 0 3p 2 a sin x (m sin x 2.4. Dạng 0 d(3 sin x 2 cos x 1) 3 sin x 2 cos x 1 2 ln 3 sin x 2 cos x n cos x ) b(m cos x 1 p 2 3p 2 0 2 ln 4 . 3 b cos x dx n cos x )2 Phân tích a sin x b cos x a(m sin x n sin x ) . Khi đó a sin x (m sin x a(m sin x b cos x dx 2 n cos x ) n cos x ) b(m cos x (m sin x n cos x )2 1 a m sin x n cos x 1 a m sin x n cos x dx dx n sin x ) dx d (m sin x n cos x ) (m sin x n cos x )2 b b m sin x C. n cos x Ví dụ 7. Tính các tích phân sau p 2 a. 0 4 cos x dx ( 3 sin x cos x )2 p 2 b. 0 sin x (sin x 3 cos x dx cos x )2 Giải a. Ta biến đổi tích phân đã cho p 2 0 p 2 4 cos x dx 2 ( 3 sin x cos x ) 0 p 2 1 2 p 2 Tính 0 dx sin x p 2 p 6 0 p 2 3 sin x 2 0 p 2 0 3 0 sin x 2 p 6 p 6 p 6 3 sin x 1 cos x 2 3 sin x ) dx d( 3 sin x cos x ) ( 3 sin x cos x )2 p 2 3 dx cos x TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN p 2 dx sin x 1 cos x 3( 3 cos x 3 sin x cos x 1 dx 3 sin x cos x 0 1 2 3 sin x cos x 0 1. dx Page 1 TÀI LIỆU THPT HAY p 2 0 1 2 d cos x cos2 x 1 p 2 1 0 Vậy 0 p 6 1 cos x 1 1 ln 2 1 p 2 p 6 p 6 cos x p 6 4 cos x dx 2 ( 3 sin x cos x ) 1 p 6 cos x 1 cos x p 2 p 6 d cos x p 6 1 7 4 3 . ln 2 3 0 1 7 4 3 ln 4 3 3 1. b. Ta biến đổi tích phân đã cho p 2 0 sin x (sin x p 2 3 cos x dx cos x )2 2(sin x cos x ) (cos x (sin x cos x )2 0 p 2 2 0 p 2 dx sin x cos x 0 p 2 1 2J sin x cos x sin x ) dx d(sin x cos x ) (sin x cos x )2 2J . 0 Ta có 2J p 2 2 0 dx cos x 2 p 4 0 p 2 2 2 2 3 cos x dx 2 (sin x cos x ) 3. Tích phân các hàm số vô tỷ Vậy sin x 2 2 ln cos x 1 2 sin x d cos x 1 0 p 2 0 p 2 sin x 1 sin x ln(17 p 4 dx p 4 sin2 x 1 p 4 p 4 p 4 p 4 p 2 0 2 2 ln(17 12 2) . 12 2) . Đổi biến số Dạng tích phân  f x, a 2 2 x dx TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN x a sin t Page 1 TÀI LIỆU THPT HAY  2 f x, x  f x, a  f x, 2 a dx 2 2 x dx a x a x  R x, dx p1 q1 R x , (ax  x b ) , (ax ax p1 b q1 cx d , b) ax p2 b q2 cx d p2 q2 , ..., (ax , ..., b) ax pi b qi cx d pi qi a x cos t a tan t x a cos 2t ax dx k dx b t k , với BCNN q1 , q2 , ..., qi ax b cx d t- Bây giờ, ta xét một số ví dụ minh họa cho các dạng tích phân trên. Ví dụ 8. Tính các tích phân sau x2 4 1 a. 0 2 d. x 1 dx x2 0 b. 3 x dx x 4 4 2 x2 9 dx x 6 x 64 e. 1 Giải a. Đặt x 2 sin t , dx Đổi cận x 0 c. 1 dx 3 2 x 0 2x 2 dx x2 4 6 f. 4 x x 4 1 . dx . 2 x 2 2 cos tdt . 0, x t x 2 1 t p . 6 Khi đó 1 0 x2 4 p 6 1 dx 2 x 0 p 6 0 p 6 (4 sin2 t 1)2 cos t dt 2 4 4 sin t (4 sin2 t 1)2 cos t dt 2 cos t (4 sin2 t 1)dt 0 p 6 2(1 cos 2t ) 1 dt 0 p 6 (3 2 cos 2t )dt 0 3t sin 2t p 6 0 TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN p 2 3 . 2 Page 1 TÀI LIỆU THPT HAY b. Đặt x 3 , dx cos t Đổi cận x 3 t 3 sin t dt . cos2 t 0, x p . 3 t 6 Khi đó 6 3 p 3 x2 9 dx x 3 cos t 0 9(1 cos2 t ) p 3 cos2 t . 3 cos t 0 p 3 sin t 3 cos t 3 0 cos t p 3 0 p 3 9 3 sin t . dt 2 cos t 9 cos2 t . 3 sin t dt cos2 t 3 sin t dt 2 cos t 3 sin2 t dt cos2 t 3 tan2 tdt 0 p 3 3 (tan2 t 1 dt 1) 0 3 tan t t p 3 0 3 3 c. Đặt x 2 tan t , dx 2 dt . 2 cos t Đổi cận x 0 t 2 0, x p. p . 4 t Khi đó 2 0 p 4 2x 2 dx x2 4 0 p 4 8 tan2 t 2 . dt 4(tan2 t 1) cos2 t 8 tan2 t 2 cos t 0 2 . dt cos2 t p 4 Đặt u sin2 t 8 dt 8 3 0 cos t sin t , du cos tdt . TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN p 4 0 p 4 8 0 tan2 t dt cos t sin2 t cos tdt 2 2 (1 sin t ) Page 1 TÀI LIỆU THPT HAY t Đổi cận u 0 p 4 0, t 2 . 2 u Khi đó p 4 8 0 2 2 sin2 t cos tdt (1 sin2 t )2 8 u2 (1 u 2 )2 B (1 u)2 1 u)2 B(1 0 u2 du . (1 u 2 )2 Phân tích A u 1 A(1 u)(1 A(1 u )(1 u )2 B(1 1, u 1, u 0 và u Cho lần lượt u 4B 1 4D 1 A B C 9A 9B D 3C 0 D C D (1 u)2 u u)2 C (1 (1 u 2 )2 u)2 (1 u) u )2 C (1 u )2 (1 u ) D(1 2 nhận được hệ phương trình A B C D 4 D(1 u )2 u)2 . u 2, u . 1 4 1 4 1 4 . 1 4 Do đó 2 2 8 0 u2 du (1 u 2 )2 8 d. Đặt x Đổi cận x 2 2 8 1 1 . 4 1 u 0 1 ln 1 4 u 1 1 . 4 1 u 1 1 . 4 (1 u )2 1 ln 1 4 1 1 . 4 1 u u 1 1 41 u 1 1 . du 4 (1 u )2 2 2 0 2 ln(3 2 2) 4 2 . 4 cos 2t , dx 8 sin 2tdt . p 0 t , x 2 t 0. 4 Khi đó 2 0 x2 4 4 p 6 x dx x p 4 128 p 4 p 6 (16 cos2 2t ) 4(1 4(1 cos 2t ) ( 8 sin 2t )dt cos 2t ) cos2 t cos 2t (2 sin t cos t )dt 2 sin t 2 TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Page 1 TÀI LIỆU THPT HAY p 4 128 p 6 p 4 128 p 6 p 4 128 p 6 cos2 2t(2 cos2 t )dt cos2 2t(1 cos 2t )dt (cos2 2t cos3 2t )dt p 4 128 p 6 t x Đổi cận Khi đó x 1 t 6 x 64 x 1 1 dx 3 2 x 2 1 6 1 2 6 Đặt t tan u , dt Đổi cận t 1 t 1 t2 p 6 4 3 3 . 1 (tan2 u 2 dt 1 2 1 1 t2 1 1 2 6 1 2 6 t2 1 1 ln t 2 2 5 3 ln 2 p , t 4 u p 6 32 2. t 1 1 8 3 sin 2t 2 p 4 t dt 1 t2 t3 6 3 1 sin 6t 6 dt (t 3 1)6t 5 dt 6 4 t t t4 t2 2 3 cos 2t 4 t 6 , dx 6t 5dt . x 64 t x 1, , cos 6t 1 sin 4t 2 32 2t e. Đặt cos 4t 2 1 1 t2 dt 1 dt . 1)du . u arctan 2 . Khi đó 1 2 6 1 t2 1 dt 6 arctan 2 p 4 tan2 u tan2 u TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 1 du 1 Page 2
- Xem thêm -