Tài liệu TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

TÀI LIỆU THPT HAY Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Nguyên hàm 1.1. Khái niệm  Cho hàm số x f xác định trên K . Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu F (x ) f (x ) , K.  Nếu hàm số f có một nguyên hàm F thì với mọi C y F (x ) C cũng là một nguyên f. hàm của  Họ tất cả các nguyên hàm của Vậy , hàm số f (x )dx f trên K được kí hiệu f (x )dx . F (x ) C , với F là nguyên hàm của f .  Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp  dx  a    x  xa 1 a 1 x dx dx x dx x2 C C (a C (x ln x 1 x 1)  0)  C sin xdx cos x C cos xdx dx cos2 x dx sin2 x  e xdx  x a dx sin x C tan x C cot x ex C C ax ln a a 1) 1 tan(ax a b) C (0  Bảng nguyên hàm mở rộng  (ax (a 1)  dx ax b 1 (ax b)a a a 1 a b) dx 1 ln ax a b 1 C (x C  dx cos2 (ax  dx sin2 (ax  eax bdx  a ax bdx 0)  sin(ax  cos(ax b)dx b)dx 1 cos(ax a 1 sin(ax a b) C b) C b) b) 1 cot(ax a 1 ax b e C a 1 a ax b C (0 a ln a C b) C a 1) 1.2. Các tính chất  [ f (x ) g(x )]dx f (x )dx TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN g(x )dx Page TÀI LIỆU THPT HAY af (x )dx  a f (x )dx C (a 0) 1.3. Công thức nguyên hàm từng phần u(x )v (x )dx u(x )v(x ) v(x )u (x )dx 1.4. Công thức đổi biến số f [u(x )]u (x )dx F [u(x )] C , trong đó F là nguyên hàm của f . 2. Tích phân và ứng dụng 2.1. Khái niệm Tích phân của hàm số f từ a đến b là b f (x )dx F (b) F (a ) F (x ) b a b f (x )dx là nguyên hàm của f. b f [u(x )]u (x )dx 2.2. Công thức đổi biến số: F a a b , trong đó a f (u )du a b u(x )v (x )dx 2.3. Công thức tích phân từng phần: u(x )v(x ) b b v(x )u (x )dx a a a 2.4. Diện tích hình phẳng y b y f (x ) x S g(x ) y f (x ) dx y a f (x ) a O y b b S f (x ) g(x ) dx a O a b TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN x Page TÀI LIỆU THPT HAY 2.5. Thể tích vật thể z S (x ) b V y S (x )dx a a O x b b x y f (x ) x y b V f 2 (x )dx p O a x a y f (x ) y d d V g 2 (y )dy p c c x O B. PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP VÀ VÍ DỤ MINH HỌA b 1. Tích phân các hàm số hữu tỷ a P (x ) dx Q(x ) 1.1. Đặt vấn đề Xét tích phân I * P (x ) Q (x ) * G (x ) b P * (x ) a Q(x ) P (x ) Q (x ) * dx . Nếu bậc P (x ) , trong đó bậc P (x ) I * b P * (x ) a Q(x ) TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN bậcQ (x ) thì ta thực hiện phép chia đa thức và nhận được bậc Q (x ) . Khi đó dx b a G (x )dx b P (x ) a Q(x ) dx Page TÀI LIỆU THPT HAY Do đó việc tính tính I * b * P (x ) a Q(x ) dx được đưa về tính I b P (x ) a Q (x ) Trong phần này, đối với tích phân dạng b P (x ) a Q (x ) dx . dx ta sẽ quan tâm nhiều đến các tích phân có mẫu thức là các tam thức bậc 2. b 1.2. Dạng a dx ax 2 bx c b  Nếu 0 thì a dx ax 2 b  Nếu 0 thì a 0 thì a c dx ax 2 b  Nếu bx bx c dx ax 2 bx c 1 b a a 1 b a a 1 b a a dx 2 (x p) 1 b d (x a a (x dx 2 (x . Lúc này ta đặt 2 q x0 ) x x0) 2 x0 ) p 1 q tan t . b 1 a x x0 a dx (x x 1 )(x b 1 1 a x 2 x1 a x2 ) 1 x 1 x2 x x1 x 1 1 ln a x 2 x1 x dx x2 x1 b . a Ví dụ 1. Tính các tích phân sau dx 2x 3 1 a. x 0 2 1 b. 2 2x 0 2 dx 8x 8 (t2 1)dt 1 c. x 0 2 dx 7x 12 . Giải 2 (x 1)2 Đặt x 1 tan t , Đổi cận x 0 t a. Ta có x2 2x 1. dx p và 4 x 3 t 1 p . 3 Khi đó 3 1 0 2x 2 dx 8x x2 dx 7x 1 b. 0 1 c. 0 x 2 dx 2x 2 8 1 2 3 1 1 0 1 12 (x 0 0 (x dx 1)2 TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN p 4 1 1 dx (x 2)2 dx 3)(x p 3 1 1 . 2 x 20 1 4) 0 (t 2 t2 1) dt 1 p 3 p 4 dt t p 3 p 4 p . 12 1 . 12 (x 4) (x 3) dx (x 3)(x 4) Page TÀI LIỆU THPT HAY 1 1 x 0 b 1.3. Dạng a mx ax 2 bx x 3 n mx 0 thì 0 thì phân tích a b c ax 2 a dx p a mx ax mx 0 thì  Nếu ln x b bx b  Nếu 4 n ax 2 a dx ln x 3 1 4 0 ln 16 . 15 dx c b  Nếu 1 2 b n bx d (ax 2 bx c) ax 2 bx c c a b n bx c A x x0 dx A dx x a B x1 x x2 b q a dx bx ax 2 c . B dx , tìm A và B. (x x 0 )2 dx , tìm A và B. Ví dụ 2. Tính các tích phân sau 3x 0 a. 2 x 2 1 4x 8 2x 1 dx b. 0 1 2 6x 4) 5. x 9 3x 1 dx c. 0 x 2 2 6x 8 dx . Giải a. Ta phân tích 3x 3 (2x 2 1 Như vậy 3x 0 2 x2 1 4x 8 0 dx 2 0 2 3 (2x 4) 5 2 dx x 2 4x 8 3 (2x 4) 5 2 dx 2 x 4x 8 3 ln x 2 2 Để tính I, ta đặt Đổi biến x x 2 4x 3 ln 2 I . 2 2 2 tan t , dx t 0, TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN x 8 0 2 5 dx 2 2x 4x 8 0 5 dx 2 2 2 (x 2) 2 0 2(tan2 t 1)dt . 0 t p . 4 Page TÀI LIỆU THPT HAY Khi đó p 4 I 2 10(tan t 4 tan2 t 0 3x 1 Vậy 3 x2 1 4x 5 2 p 4 5p . 8 5 t 2 0 dt 0 5p . 8 3 ln 2 2 dx 8 1) dt 4 p 4 b. Phân tích 2x x2 A 1 6x x 9 B 3 A(x 3) B (x 3)2 3)2 (x Suy ra 2x 1 A(x 3) B, x . Lần lượt cho x 2 và x 3 , ta nhận được hệ phương trình A B 3 A 2 B B 5 5 . Do đó 2x 1 0 x2 1 6x 9 2 1 dx 5 x 0 2 ln x 3 3 3)2 (x 5. dx 1 1 4 3 2 ln 5 . 12 x 3 2 A(x 2) B(x 4) . (x 2)(x 4) 0 c. Ta có 3x x2 A 2 6x x 8 B x 4 Suy ra A(x 2) B(x 4) 3x 2, x Lần lượt cho x 4 và x 2 ta nhận được A 5 và B . 2. Như vậy 3x 1 0 x2 2 6x 8 5 1 dx x 0 5 ln x 4 2 4 x 2 2 ln x 2 dx 1 0 5 ln Trong phần tiếp theo của tích phân hữu tỷ, ta sẽ xét các ví dụ phức tạp hơn. 3 4 2 ln 2 . Ví dụ 3. Tính các tích phân sau 1 a. 0 x 3 x2 6x 2 1 11x 6 dx 1 b. TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 0 x 3 x3 6x 2 2 9x 4 dx c. 1 0 x 3 x 4 2x 3 3x 2 4x 2 dx Page TÀI LIỆU THPT HAY Giải a. Vì x3 6x 2 11x 6 x2 6x 2 x3 1)(x 2)(x B C 6 x 1 x 2 x 3 A(x 2)(x 3) B(x 1)(x 3) C (x (x 1)(x 2)(x 3) 3) B(x 2 và x A B C 2 5 10 3) nên ta phân tích A 1 11x A(x 2)(x Lần lượt cho x 1, x 2A B 2C (x x2 1)(x 3) C (x 1)(x 2) 3 , nhận được hệ phương trình 1)(x 1, x 2) . . 1 5. 5 Khi đó x2 6x 2 1 0 x 3 1 11x 6 x 0 ln x b. Trước hết thực hiện phép chia đa thức x3 6x 2 1 0 x3 2 9x 4 1 1 dx 1 cho x 3 1 dx x 1 5 ln x 1 x3 5 1 x3 0 5 x 2 3 5 ln x 2 6x 2 9x dx 3 1 ln 2 0 8 5 ln . 9 4 , được 6x 2 9x 2 dx 6x 2 9x 4 1 I. Để tính tích phân I, ta phân tích như sau x3 6x 2 9x 2 6x 2 9x 4 A x A(x B 1 1)2 (x 1)(x C 4) B(x (x 1)2 (x x 4 4) 4) A(x 1)(x 4) B(x 4) C (x 1)2 6x 2 Cho lần lượt x 1, x 0 và x 4 , ta được hệ phương trình 4A 3B 9C 4B C 1 62 2 A B C 8 9 1 3 C (x 9x 1)2 2, x . . 62 9 Do đó TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Page TÀI LIỆU THPT HAY 1 I 0 8 1 . 9 x 1 8 ln x 9 1 1 . 3 (x 1)2 1 1 . 3 x 1 1 62 1 . dx 9 x 4 1 62 ln x 9 4 0 8 ln 2 9 1 6 62 5 ln . 9 4 Vậy x3 6x 2 1 0 1 c. 0 x3 x3 2 9x x 4 2x 3 3x 2 4x 2 4 8 ln 2 9 dx 1 dx x 62 5 ln 9 4 1 1 2 x 2 x 2 2x 2 dx 3x 2 4x 2 1 x x 0 0 x 2 2x 2 dx 3x 2 4x 2 x3 0 7 . 6 3 1 2 I. Phân tích x3 x 2 2x 2 3x 2 4x 2 A(x 2 Cho lần lượt x 2x A 2A 5A A x Bx x2 1 A(x 2 C 2x 2 2x 2) (Bx C )(x (x 1)(x 2 2x 2) 2) (Bx C )(x 1) x 2 2x 2, x 1, x 0 và x = 1 nhận được hệ phương trình 1 C 2 2B 2C A B C 3 1) . 1 0 4 Khi đó I 1 0 1 x 1 ln x 1 4 2x x2 1 0 1 0 (x 2 4 1)2 Đối với tích phân J, đặt x + 1 = tant , dx Đổi cận J p . 4 t arctan 2 . x=1 arctan 2 (tan2 t 1) 4 p dt 2 (tan t 1) 4 x=0 dx 1 dx (tan2 t ln 2 J. 1)dt t TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN arctan 2 4t p 4 arctan 2 p. 4 Page TÀI LIỆU THPT HAY x 4 2x 3 3x 2 4x 1 Vậy x 0 3 2 1 2 dx ln 2 4 arctan 2 p. 2. Tích phân các hàm số lượng giác b sinm x cosn xdx , trong đó m và n là các số nguyên. 2.1 Dạng a  Nếu m lẻ thì đặt t cos x .  Nếu n lẻ thì đặt t sin x .  Nếu m và n đều chẵn thì đặt t tan x . Đặc biệt, khi m và n đều chẵn, dương ta sử dụng công thức hạ bậc và biến tích thành tổng. Ví dụ 4. Tính các tích phân sau p 2 a. sin3 x cos4 xdx p 2 b. 0 0 p 6 c. sin2 x .cos4 xdx 0 sin2 x dx cos3 x d. Giải a. Ta nhận thấy sinx có mũ lẻ nên đặt x Đổi cận p 3 t 0 1, p 4 cos x , dt p t 2 t x 1 dx . sin2 x cos4 x sin xdx . 0. Do đó p 2 p 2 sin3 x cos4 xdx 0 (1 cos2 x )cos4 x sin xdx 0 0 t 2 )t 4dt (1 1 t5 5 t7 7 1 2 . 35 0 b. Vì sinx và cosx đều có mũ chẵn, dương nên sử dụng công thức hạ bậc, được p 2 2 p 2 4 sin x .cos xdx 0 sin2 x cos2 x cos2 xdxdx 0 p 2 0 p 2 0 1 16 1 2 sin 2x cos2 xdx 4 1 1 . 4 p 2 (1 cos 4x 1 . 2 cos 2x cos 2x dx 2 cos 4x cos 4x cos 2x )dx 0 TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Page TÀI LIỆU THPT HAY p 2 1 16 p 2 sin x , dt Đổi cận x 0 1 cos 2x 2 (1 0 1 (x 16 t 1 sin 2x 4 1 sin 4x 4 t cos 2x ) dx 1 cos 6x )dx 2 cos 4x cos xdx . p 0, x 2 t 1 (cos 6x 2 cos 4x 0 1 16 c. Đặt cos 2x 1 1 sin 6x 12 p 2 p . 32 0 1. Do vậy p 6 0 p 6 sin2 x dx cos3 x 0 1 2 sin2 x .cos x dx (1 sin2 x )2 0 t2 dx . (1 t 2 )2 Để tính tích phân vừa nhận được, ta phân tích t2 (1 t 2 )2 A 1 t B (1 t )2 1 t )2 B(1 A(1 t )(1 A(1 t )(1 1, x Cho lần lượt x C D t t )2 (1 t )2 C (1 t )2 (1 (1 t 2 )2 t) D(1 t )2 t )2 B(1 t )2 C (1 t )2 (1 t ) D(1 t )2 1, x 0 và x 2 ta nhận được hệ phương trình 4B 1 4D 1 A B C 9A 9B D 3C 0 D A B C D 4 t 2, t . . 1 4 1 4 1 4 . 1 4 Như vậy 1 2 0 t2 dx (1 t 2 )2 1 4 1 2 t tan x , dt (1 t 1 t 1 0 1 ln 1 4 d. Đặt 1 (1 1 1 t tan2 x )dx hay dx TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 1 t )2 ln 1 t 1 t (1 1 2 1 t 1 1 1 1 2 t 0 t )2 dt 1 1 (ln 4 3 4 ). 3 dt . Page 1 TÀI LIỆU THPT HAY p 4 x Đổi cận t p 3 x 1, t 3. Ta lại có 1 2 cos x t2 1 và t2 2 sin x . t2 1 Do đó p 3 p 4 1 1 dx sin2 x cos4 x 3 t2 1 t2 1 3 t 2 )2 (1 t 1 3 t 2 4 t2 1 t 2t t2 1 1 dt t2 1 t 3 2 1 1 dt 2t 3 . dt dt 2t 2 t2 1 3 t2 1 3 1 3 3 3 1 4 . 3 Nhận xét. Ta có thể giải câu d. theo cách khác như sau p 3 p 4 p 3 1 dx 2 4 sin x cos x p 4 p 3 (sin2 x cos2 x )2 dx 2 4 sin x cos x sin 4 x p 4 p 3 p 4 p 3 p 4 2 sin2 x cos2 x sin2 x cos4 x sin2 x 1 . cos2 x cos2 x tan2 x (tan2 x 2 cos2 x 1) TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 2 tan x 2(tan2 x cot x 3 3 p 4 dx 1 dx 2 sin x p 3 3 tan x 3 cos4 x (cot2 x 1) 1 3 1) dx 4 . 3 Page 1 TÀI LIỆU THPT HAY b R(sin x , cos x )dx , trong đó R là hàm hữu tỷ. 2.2. Dạng a b R(sin x , cos x )dx ta sử dụng phép đổi biến t Để tính tích phân a tan x . Tuy nhiên, bài toán có thể 2 được giải đơn giản hơn nếu nó rơi vào một trong các trường hợp sau R( sin x, cos x )  Nếu R(sin x, cos x )  Nếu R( sin x , cos x ) R(sin x, cos x ) thì đặt t R(sin x, cos x ) thì đặt t R(sin x, cos x ) thì đặt t  Nếu cos x . sin x . tan x . Ví dụ 5. Tính các tích phân sau p 2 a. 0 p 6 0 2 sin3 x sin x dx cos x 1 p 6 b. 0 cos2 x 1 dx sin 2x 3 cos x c. sin2 xdx cos x (sin x cos x ) Giải a. Đặt t cos x , dt Đổi cận x 1 t sin dx . p x 2 1, t 0. Khi đó p 2 0 p 2 2 sin3 x sin x dx cos x 1 0 p 2 2 cos2 x )sin x dx cos x 1 (3 0 0 1 1 (2 sin2 x 1)sin x dx cos x 1 3 2t 2 dt t 1 2t 0 t b. Đặt t sin x , dt Đổi cận x 0 t 2 2t cos xdx . p 0, x 6 TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 2 1 t ln t 1 1 t dt 1 1 0 ln 2 . 1 . 2 Page 1 TÀI LIỆU THPT HAY Khi đó p 6 0 p 6 cos2 x 1 dx sin 2x 3 cos x (cos2 x 1)cos x dx 2 sin x cos2 x 3 cos2 x 0 p 2 (2 sin2 x )cos x dx 2 sin x (1 sin2 x ) 3(1 sin2 x ) 0 1 2 2 t2 t 2 ) 3(1 2t(1 0 1 2 2 t2 t 2 )(2t (1 0 3) t2) dt dt . Ta phân tích 2 t2 (1 t 2 )(2t A B 1 t 3) C t 1 2t A(1 t )(2t 3) B(1 t )(2t 3) (1 t 2 )(2t 3) 3 C (1 t 2 ) . A(1 t )(2t 1, x Cho lần lượt x t )(2t 3) C (1 t 2 ) 2 0 , nhận được hệ phương trình 3) B(1 1 và x 10A 1 2B 1 3A 3B C A B C 2 1 10 1 2 1 5 t 2, t . . Như vậy 1 2 2 t2 t 2 )(2t (1 0 1 ln 1 10 3) dt c. Đặt t tan x , dt Đổi cận x 0 1 1 . 10 1 t 0 1 ln 1 2 t t 1 2 1 ln 2t 10 t (tan2 x 0, x 1 1 . 2 1 t 3 t 1 8 ln 10 3 0 dt 1)dx hay dx p 6 1 2 1 1 . dt 5 2t 3 t 2 1 1 3 ln . 2 2 . 1 . 3 Khi đó p 6 0 2 cos x (sin x cos x ) p 6 dx TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 0 2 cos x (tan x 2 1) dx Page 1 TÀI LIỆU THPT HAY p 6 2 1 tan2 x 0 p 6 2 0 0 a sin x m sin x b cos x n cos x 1 1 . dt 1 t2 1 1 t 0 2.3. Dạng t2 t 1 3 2 .(tan x tan2 x 1 dx tan x 1 1 3 2 1 dx 1) 1 dt 2 ln t 1 1 3 2 ln 0 3 1 3 . c dx p Phân tích a sin x b cos x a(m sin x c n cos x p) b(m cos x n sin x ) . Khi đó a sin x m sin x b cos x n cos x c dx p ax m cos x n sin x dx m sin x n cos x p b ln m sin x n cos x p C . a dx b Ví dụ 6. Tính các tích phân sau p 2 a. 0 10 cos x dx 3 sin x cos x p 2 b. 0 13 sin x 3 3 sin x 2 cos x 1 dx Giải a. Ta có p 2 0 p 2 10 cos x dx 3 sin x cos x (3 sin x 0 p 2 dx 0 p 2 3 0 p 2 cos x ) 3(3 cos x 3 sin x cos x d(3 sin x 3 sin x 3 ln 3 sin x cos x sin x ) dx cos x ) cos x p 2 0 p 2 3 ln 3 . b. Phân tích p 2 0 13 sin x 3 3 sin x 2 cos x 1 p 2 dx TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 0 3(3 sin x 2 cos x 3 sin x 1) 2(3 cos x 2 cos x 1 2 sin x ) dx Page 1 TÀI LIỆU THPT HAY p 2 3 dx p 2 2 0 3p 2 a sin x (m sin x 2.4. Dạng 0 d(3 sin x 2 cos x 1) 3 sin x 2 cos x 1 2 ln 3 sin x 2 cos x n cos x ) b(m cos x 1 p 2 3p 2 0 2 ln 4 . 3 b cos x dx n cos x )2 Phân tích a sin x b cos x a(m sin x n sin x ) . Khi đó a sin x (m sin x a(m sin x b cos x dx 2 n cos x ) n cos x ) b(m cos x (m sin x n cos x )2 1 a m sin x n cos x 1 a m sin x n cos x dx dx n sin x ) dx d (m sin x n cos x ) (m sin x n cos x )2 b b m sin x C. n cos x Ví dụ 7. Tính các tích phân sau p 2 a. 0 4 cos x dx ( 3 sin x cos x )2 p 2 b. 0 sin x (sin x 3 cos x dx cos x )2 Giải a. Ta biến đổi tích phân đã cho p 2 0 p 2 4 cos x dx 2 ( 3 sin x cos x ) 0 p 2 1 2 p 2 Tính 0 dx sin x p 2 p 6 0 p 2 3 sin x 2 0 p 2 0 3 0 sin x 2 p 6 p 6 p 6 3 sin x 1 cos x 2 3 sin x ) dx d( 3 sin x cos x ) ( 3 sin x cos x )2 p 2 3 dx cos x TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN p 2 dx sin x 1 cos x 3( 3 cos x 3 sin x cos x 1 dx 3 sin x cos x 0 1 2 3 sin x cos x 0 1. dx Page 1 TÀI LIỆU THPT HAY p 2 0 1 2 d cos x cos2 x 1 p 2 1 0 Vậy 0 p 6 1 cos x 1 1 ln 2 1 p 2 p 6 p 6 cos x p 6 4 cos x dx 2 ( 3 sin x cos x ) 1 p 6 cos x 1 cos x p 2 p 6 d cos x p 6 1 7 4 3 . ln 2 3 0 1 7 4 3 ln 4 3 3 1. b. Ta biến đổi tích phân đã cho p 2 0 sin x (sin x p 2 3 cos x dx cos x )2 2(sin x cos x ) (cos x (sin x cos x )2 0 p 2 2 0 p 2 dx sin x cos x 0 p 2 1 2J sin x cos x sin x ) dx d(sin x cos x ) (sin x cos x )2 2J . 0 Ta có 2J p 2 2 0 dx cos x 2 p 4 0 p 2 2 2 2 3 cos x dx 2 (sin x cos x ) 3. Tích phân các hàm số vô tỷ Vậy sin x 2 2 ln cos x 1 2 sin x d cos x 1 0 p 2 0 p 2 sin x 1 sin x ln(17 p 4 dx p 4 sin2 x 1 p 4 p 4 p 4 p 4 p 2 0 2 2 ln(17 12 2) . 12 2) . Đổi biến số Dạng tích phân  f x, a 2 2 x dx TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN x a sin t Page 1 TÀI LIỆU THPT HAY  2 f x, x  f x, a  f x, 2 a dx 2 2 x dx a x a x  R x, dx p1 q1 R x , (ax  x b ) , (ax ax p1 b q1 cx d , b) ax p2 b q2 cx d p2 q2 , ..., (ax , ..., b) ax pi b qi cx d pi qi a x cos t a tan t x a cos 2t ax dx k dx b t k , với BCNN q1 , q2 , ..., qi ax b cx d t- Bây giờ, ta xét một số ví dụ minh họa cho các dạng tích phân trên. Ví dụ 8. Tính các tích phân sau x2 4 1 a. 0 2 d. x 1 dx x2 0 b. 3 x dx x 4 4 2 x2 9 dx x 6 x 64 e. 1 Giải a. Đặt x 2 sin t , dx Đổi cận x 0 c. 1 dx 3 2 x 0 2x 2 dx x2 4 6 f. 4 x x 4 1 . dx . 2 x 2 2 cos tdt . 0, x t x 2 1 t p . 6 Khi đó 1 0 x2 4 p 6 1 dx 2 x 0 p 6 0 p 6 (4 sin2 t 1)2 cos t dt 2 4 4 sin t (4 sin2 t 1)2 cos t dt 2 cos t (4 sin2 t 1)dt 0 p 6 2(1 cos 2t ) 1 dt 0 p 6 (3 2 cos 2t )dt 0 3t sin 2t p 6 0 TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN p 2 3 . 2 Page 1 TÀI LIỆU THPT HAY b. Đặt x 3 , dx cos t Đổi cận x 3 t 3 sin t dt . cos2 t 0, x p . 3 t 6 Khi đó 6 3 p 3 x2 9 dx x 3 cos t 0 9(1 cos2 t ) p 3 cos2 t . 3 cos t 0 p 3 sin t 3 cos t 3 0 cos t p 3 0 p 3 9 3 sin t . dt 2 cos t 9 cos2 t . 3 sin t dt cos2 t 3 sin t dt 2 cos t 3 sin2 t dt cos2 t 3 tan2 tdt 0 p 3 3 (tan2 t 1 dt 1) 0 3 tan t t p 3 0 3 3 c. Đặt x 2 tan t , dx 2 dt . 2 cos t Đổi cận x 0 t 2 0, x p. p . 4 t Khi đó 2 0 p 4 2x 2 dx x2 4 0 p 4 8 tan2 t 2 . dt 4(tan2 t 1) cos2 t 8 tan2 t 2 cos t 0 2 . dt cos2 t p 4 Đặt u sin2 t 8 dt 8 3 0 cos t sin t , du cos tdt . TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN p 4 0 p 4 8 0 tan2 t dt cos t sin2 t cos tdt 2 2 (1 sin t ) Page 1 TÀI LIỆU THPT HAY t Đổi cận u 0 p 4 0, t 2 . 2 u Khi đó p 4 8 0 2 2 sin2 t cos tdt (1 sin2 t )2 8 u2 (1 u 2 )2 B (1 u)2 1 u)2 B(1 0 u2 du . (1 u 2 )2 Phân tích A u 1 A(1 u)(1 A(1 u )(1 u )2 B(1 1, u 1, u 0 và u Cho lần lượt u 4B 1 4D 1 A B C 9A 9B D 3C 0 D C D (1 u)2 u u)2 C (1 (1 u 2 )2 u)2 (1 u) u )2 C (1 u )2 (1 u ) D(1 2 nhận được hệ phương trình A B C D 4 D(1 u )2 u)2 . u 2, u . 1 4 1 4 1 4 . 1 4 Do đó 2 2 8 0 u2 du (1 u 2 )2 8 d. Đặt x Đổi cận x 2 2 8 1 1 . 4 1 u 0 1 ln 1 4 u 1 1 . 4 1 u 1 1 . 4 (1 u )2 1 ln 1 4 1 1 . 4 1 u u 1 1 41 u 1 1 . du 4 (1 u )2 2 2 0 2 ln(3 2 2) 4 2 . 4 cos 2t , dx 8 sin 2tdt . p 0 t , x 2 t 0. 4 Khi đó 2 0 x2 4 4 p 6 x dx x p 4 128 p 4 p 6 (16 cos2 2t ) 4(1 4(1 cos 2t ) ( 8 sin 2t )dt cos 2t ) cos2 t cos 2t (2 sin t cos t )dt 2 sin t 2 TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Page 1 TÀI LIỆU THPT HAY p 4 128 p 6 p 4 128 p 6 p 4 128 p 6 cos2 2t(2 cos2 t )dt cos2 2t(1 cos 2t )dt (cos2 2t cos3 2t )dt p 4 128 p 6 t x Đổi cận Khi đó x 1 t 6 x 64 x 1 1 dx 3 2 x 2 1 6 1 2 6 Đặt t tan u , dt Đổi cận t 1 t 1 t2 p 6 4 3 3 . 1 (tan2 u 2 dt 1 2 1 1 t2 1 1 2 6 1 2 6 t2 1 1 ln t 2 2 5 3 ln 2 p , t 4 u p 6 32 2. t 1 1 8 3 sin 2t 2 p 4 t dt 1 t2 t3 6 3 1 sin 6t 6 dt (t 3 1)6t 5 dt 6 4 t t t4 t2 2 3 cos 2t 4 t 6 , dx 6t 5dt . x 64 t x 1, , cos 6t 1 sin 4t 2 32 2t e. Đặt cos 4t 2 1 1 t2 dt 1 dt . 1)du . u arctan 2 . Khi đó 1 2 6 1 t2 1 dt 6 arctan 2 p 4 tan2 u tan2 u TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 1 du 1 Page 2