Bài 1
MỘT SỐ TÍNH CHẤT TỔNG QUÁT CỦA TÍCH PHÂN
I. Mục tiêu bài dạy
- HS nắm vững các tính chất của hàm số chẵn, hàm số lẻ
- Nắm vững tích phân với cận đối xứng của hàm chẵn và hàm lẻ từ đó áp
dụng vào tính một số tích phân cụ thể
- HS nắm vững sáu bài toán cơ bản về tích phân và biết áp dụng chúng
II. Nội dung bài dạy
Bài toán 1. Chứng minh rằng, nếu f(x) là hs lẻ và liên tục trên đoạn [-a ; a] thì
a
f ( x)dx 0
a
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau:
2
a)
cos x[ln( x
1
2
x
2
1 x
dx
1 x
c) (cos 4 x sin sin x) ln
1 x 2 )]dx
2
1
2
2
1
2
2
3
d) sin(sin x mx)dx
b) ( x x 1 x x 1) dx
0
1
Bài toán 2. Chứng minh rằng, nếu f(x) là hs chẵn và liên tục trên đoạn [-a ; a] thì
a
a
0
f ( x)dx 2f ( x)dx 2 f ( x)dx
a
0
Ví dụ 2. Cho e
x2
2
0
ba
dx . Tính
1
e
a
( x b )2
2a2
dx với a, b dương bất kì.
b a
Bài toán 3. Chứng minh rằng, nếu f(x) là hs chẵn và liên tục trên đoạn [-a ; a] thì
a
a
0
a
f ( x)
1
dx f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx với b > 0 bất kì
x
2 a
a1 b
0
a
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau:
3
2
a)
(5
3
2
1
ln( x 2 1)
dx
c)
x
1
1 2007
dx
x
1) 1 x 2
2
1
ex
dx
b) x
2
(
e
1
)(
x
1
)
1
d)
(2
2
a
Ví dụ 4. Cho b R và I(a) =
x ln( x 1 x 2 )
(1 x
a
2
x
1) 1 x 2
2
dx
sin 2 x
e) x dx
5 1
2
dx
I(a)
. Tính lim
a
)(1 e bx )
Bài toán 4. Giả sử f(x) liên tục trên đoạn [0 ; 1] khi đó
2
2
f (sin x)dx f (cos x)dx
0
0
Ví dụ 5. Tính các tích phân sau:
a)
b)
2
n
sin x
dx
n
n
0 sin x cos x
2
cos x
sin x
0
cos x
c)
2
sin 3 x
dx
sin x cos x
0
3
dx
d)
sin
6
3
cos x
dx
x cos 3 x
2
e) 2 1
tan 2 (cos x) dx
0 cos (sin x )
f)
2
sin n x cos x
dx
n 1
n 1
sin
x
cos
x
0
Bài toán 5. Chứng minh rằng, nếu f(x) là hs liên tục trên đoạn [0 ; 1] thì
xf (sin x )dx f (sin x)dx
20
0
Tổng quát: Nếu f(x) liên tục trên [-a ; a] và f(x) = f(a + b - x), x [-a ; a] thì
b
b
a b
xf ( x) dx
f ( x)dx
2
a
a
Ví dụ 6. Tính các tính phân sau:
x sin 3 x
dx
a)
2
0 1 3 cos x
cos x x sin x
dx
b)
3 cos 2 x
0
1
9
c) 53 x
0
x
1
dx
5
sin (2 x 1)
4 x 1
2
Bài toán 6. Giả sử f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì
b
b nT
f ( x)dx
a
f ( x)dx
a nT
Ví dụ 7. Tính các tích phân sau:
2007
4
sin 9 6 x cos10 x
dx
a)
8
0 1 cos 16 x
Ví dụ 8. Với 0 < t <
b)
2
1 cos 2 x dx
c)
0
, đặt I(t) =
4
t
dx
2 cos x
0
4
tan x
cos 2 x dx . Tính I(t) và chứng minh rằng:
0
2
tan 3 t 3 tan t
tan t e 3
4
Ví dụ 9. Cho f(x) = ax2 + bx + c (a 0) có hai nghiệm thực phân biệt x1, x2
x2
Tính In = (2ax b)
2 n 1
e
ax 2 bx c
dx (n N ) áp dụng tính
x1
2
2
15
cos x cos x
dx
(1 2 cos x) sin xe
0
Bài tập về nhà
1
1)
4)
1
4
x
dx
x
1
2
1
2
2
4 sin x
(sin x cos x)
3
5) ln 1 sin x dx
dx
0
4
7) x sin x cos xdx
0
1 cos x
2
2
8)
0
2
3
10) cos x cos x cos x dx
2
1
12)
x sin x
dx
2
1
x
1
2)
2
2
Bài 2
dx
x
6)
4
sin x cos 5 x sin 2 x
dx
1 ex
2
2
3 sin x cos x
(sin x cos x)
0
9)
2
x cos x
dx
2
x
4 sin
2
(sin 6 x cos 6 x )6 x
dx 3)
11)
6x 7x
3 ( x x 1 x x 1)
dx
1 3x
1
3)
2
x sin x
1 2
x
2
4
4
2
dx
TÍNH TÍCH
PHÂN BẰNG
PHƯƠNG
PHÁP ĐỔI
BIẾN SỐ
I. Mục tiêu bài dạy
- HS nắm vững hai công thức đổi biến số
- HS vận dụng thành thạo công thức trong các bài toán liên quan
II. Nội dung bài dạy
* Công thức đổi biến số dạng 1
b
b
a
f ( x)dx �
f (j (t ))j '(t ) dt
�
* Quy tắc đổi biến số dạng 1
* Công thức đổi biến số dạng 2
j (b )
b
f (j ( x))j '( x)dx j
a
f (t ) dt
(a)
* Quy tắc đổi biến số dạng 2
Tính các tích phân sau:
7
1)
x 2 2x
3
x 1
2 3
1
0
4)
x
7)
10)
2
dx
( x 1 3 ln x ) ln x
dx
5)
x
1
1 x
5
dx
7
7 2
)
dx
3
13) sin x cos2 x dx
1 cos x
11)
14)
6
1 cos3 x sin x cos5 xdx
17)
ln 3
e2x
(e
6)
0
9)
x
11
1 x4
2
cos 2 x
0 sin x 3 cos x dx
sin
4
dx
x cos x
dx
(3 x 1) 4
5
0
1 5
2
x
1) 3
dx
x2 1
dx
x4 x2 1
12)
2
15)
sin x cos x
dx
3 sin 2 x
4
18)
dx
sin 2 x sin x
6
( x 1)dx
19) x(1 xe x ) Đặt t = 1 + xex
x
2
2
4 x dx
0
1
dx
25) 2 x
e 3
0
2
2
3
20)
ln(ex)dx
3 x ln x
x
21) x (1 ln x)dx
1
2
28)
2x 2 1
1
dx
3
0
22)
3 3
8) x (1 x ) dx
2
2
3)
0
1
16)
x 1
1
x(1 x
0
1
dx
e
e x 1
0
2)
1
x
1
1
7
dx
x2 4
5
ln 2
2
x 2 dx
x2 1
dx
23) 4
x 4x2 3
0
24)
29)
dx
x cos 2 x
0
1
xdx
26) 4 2
x x 1
0
2
2
x2
1 x2
dx
1
27)
x4 1
0 x6 1 dx
3
30)
0
x3 x 2
x2 1
dx
Bài 3
TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP
TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
I. Mục tiêu bài dạy
- HS nắm vững công thức tích phân từng phần và hiểu bản chất công thức
- HS vận dụng thành thạo công thức trong các bài toán liên quan
II. Nội dung bài dạy
2
31)
8
� �
2
sin
xdx
3
34) �
(3 x 1) 2 sin(4 x )dx
3
1
35)
x sin x
37) � 2 dx
cos x
38)
43) �
x tan xdx
2
0
2
(1 sin x)1 cos x
46) �
ln
dx
1 cos x
0
ln 2 ( x 1)
49) � 3 dx
x
x9
dx
�
(1 x 4 )3
0
Bài 4
1
�
x
0 sin (2 x
)
6
dx
sin x ln(tan x)dx
36) �
39)
2
2
x sin x
dx
�
1 cos x
0
0
cos x ln(1 cos x) dx
�
41) �
esin x sin x cos3 xdx
42)
cos(ln x )dx
44) �
cos 2 x
45) �
2
0
47)
�x
2
53)
esin x
dx
ecos x
x 2 x 2 a 2 dx
48) �
3dx
1
1
50)
2
a
6
1
52)
3
2
2
e
4
2 x 1) e2 x 3dx
2
6
3
( x 3 1 7 ln x ) ln x
dx
40) �
x
1
(x
�
3
x lg 2 xdx
33) �
0
0
0
10
32) �
x(sin 4 cos 4 x )dx
x ln( x 1 x 2 )
�
1 x2
1 sin x
e dx
�
1 cos x
x
1
dx
51)
54)
dx
�
(1 x
1
2
2 2
)
x 2 dx
�
( x sin x cos x) 2
0
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ
I. Mục tiêu bài dạy
- HS nắm vững phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng phần,
bảng các nguyên hàm cơ bản.
- HS nắm vững phương pháp tính tích phân các hàm hữu tỉ và vô tỉ
- HS vận dụng thành thạo vào giải toán
II. Nội dung bài dạy
Bài toán tổng quát. Cho P(x) và Q(x) là các đa thức. Tính tích phân sau:
b
P ( x)
dx
�
Q( x)
a
Giáo viên nêu cách giải sau đó áp dụng vào giải các bài tập sau:
Bài 1. Tính các tích phân sau:
1)
4x 1
dx
2
�
2 x 5x 2
0
4)
4 x 4 dx
�x
1
2)
2
4 x 3
0
2
2 x 4 3x 2 7 x 3
� x3 3x 2 dx
0
0
3)
x2
dx
�
( x 1)( x 2)(3 x)
0
3dx
2dx
3dx
4dx
4
2
� �
� �
3ln
2
2
x 1 1 x 1
x 3 1 x 3
3
3
1
1
dx
dx 1 dx 1 2 x 1 dx 2 4
� � �2
ln
5) � 3
x
3
x
1
3
x
x
1
3 3
x
x
1
1
1
1
1
2
2
2
2
(Nếu việc giải hệ để tìm các hệ số gặp khó khăn ta có thể gán cho x = 0 A = 1;
x = -1 B = - 1/3 )
1
dx
6) �
( x 2 3 x 2)2
7)
dx
�
x x
5
3
1
1
� 2
x2 1
2 � 2x 2
2x 2
dx
dx �2
dx �
ln 3 2 2
8) �4
��2
x
1
4
4
x
2
x
1
x
2
x
1
0
0
�0
�
1
Bài 2. Tính các tích phân sau:
dx
1
x 7
ln
c
1) �
x 2 x 5 2 7 x 7
2)
dx
1
x 9 x 3 dx
�
x 3 x 6 x 9 6 �
x 3 x 6 x 9
1 �1
1
1
1 � 1 x 3 x 9
c
�
� ln
2
18 �
�x 3 x 6 x 6 x 6 � 18
x 6
6
6
x 5dx
1 x 1 x 2
1 � 1
1
6
� 6
d
x
6
3) �12
6
�
�
6
6
x 3 x 2 6 x 1 x 2
6 � x 2 x 1
�
6
1 x 2
ln 6
c
6 x 1
� 6
�
d x
�
�
2
2
dx
1 x x 3
1 � xdx
dx � 1 x 2 3
dx
c
4) �3
� 2
� ln
x 3x 3 �x x 2 3
3 ��
x 3 �
x �6
x2
4
4
e
e
e
�
dx
1 x 3 x
1 � dx
dx
�
�
dx
5) �9
5
5
�
�
�
5
4
4
�
�
x
3
x
3
3
x
x
x
3
x
x
3
1
1
1
�1
�
4
4
e
e
e
e
e
1 � dx 1 x 3 x dx � 1 dx 1 dx 1 x 3 dx � 1
1
x4
��5 �
�
�
ln
3 �1 x
3 1 x x 4 3 � 3 �
x5 9 �
x 9�
x 4 3 � 12 x 4 36 x 4 3
1
1
1
�
�
d 3x 2
dx
1
1
dt
6) �
�
�
2
2
2
3
3
�
�
3
x
2
9
x
12
x
7
t
t
11
3x 2 � 3x 2 11�
2
2
2
1 t t 11
1
tdt
1 dt 1 3x 2 11
� 2
dt �2
ln
c
2
3 t t 11
3 t 11 3 �
t 6
3x 2
e
�e
�
�1
3
BTVN
2 x6 1
dx
1, �6
2
x
(1
x
)
1
ln13
0
ex
4 x 2 11x 9
dx
2, �3
x 3x 2 3x 7
1
3,
x3 x
dx
�
x6 4 x4 4 x2 1
5,
( x 4 1)
dx
�
x( x 4 5)( x 5 5 x 1)
7,
dx
�
sin x 2 cos x 3
4,
6,
2
dx
�
3sin x 4 cos x 5
0
Bài 5
�(3 e )
ln 5
x
ex 1
dx
sin x 2 cos x 3
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ
A. Mục tiêu bài dạy
- HS nắm vững phương pháp đổi biến số, phương pháp lượng giác hoá các
bài toán tích phân, bảng các nguyên hàm cơ bản.
- HS nắm vững phương pháp tính tích phân các hàm vô tỉ
- HS vận dụng thành thạo vào giải toán
B. Nội dung bài dạy
dx
I. Dạng 1. Tích phân dạng: � 2
ax bx c
du
ln u u 2 k c . Thật vậy: Đặt
Nx: � 2
u k
�
�
u
dt
dx
t u u 2 k � dt �
1
t�
dx �
2
t
u2 k
� u k �
du
dt
�u 2 k �t ln t c
* Nếu a > 0, biến đổi
* Nếu a < 0,
ax 2 bx c u 2 k
ax 2 bx c k 2 u 2 , đặt t = k.sinu
Bài 1. Tính các tích phân sau:
1)
�2 x
2
3)
2
dx
2
2)
5x 2
7
1
3
1
dx
� 4 6 x 3x
1
5)
�3x
4)
2
dx
2
5x 4
dx
�7 8 x 10 x
2
dx
� x 1 x 2
Cách 1: Làm theo phương pháp trên.
Cách 2: * Nếu x > -1, đặt:
1
2dt
dx
� 1
�
t x 1 x 2 � dt �
dx �
�
t
x 1. x 2
�2 x 1 2 x 2 �
dx
dt
��
2� 2ln t c 2ln x 1 x 2 c
t
x 1 x 2
* Nếu x < -2 , đặt:
� 1
�
1
2dt
dx
t ( x 1) ( x 2) � dt �
dx �
�
�2 ( x 1) 2 ( x 2) �
t
x 1. x 2
�
�
dx
dt
��
2� 2ln t c 2ln ( x 1) ( x 2) c
t
x 1 x 2
Cách 3. Sử dụng phép thế ơle.
II. Dạng 2. Tích phân dạng:
Biến đổi:
mx n dx
�ax
2
bx c
mx n dx
�ax
bx c
2ax b dc
2
m
dx
� mb �
n
�
�
�ax 2 bx c
2a �ax 2 bx c � 2a �
Bài 2. Tính các tích phân sau:
1
x 4 dx
1) � 2
x 4x 5
0
0
x 1 dx
3) � 2
x 4x 5
2
III. Dạng 3. Tích phân dạng
0
2)
x 2 dx
�x
1
2
4)
f x,
�
2x 2
2
2x 1
�4 x
1
2
12 x 5
dx
ax 2 bx c dx
Cách giải: Sử dụng phép thế Ơle.
+ Nếu a > 0, đặt ax 2 bx c t � ax
+ Nếu c > 0, đặt ax 2 bx c tx � c
+ Nếu ttb2: ax2 + bx + c có nghiệm x0, đặt ax 2 bx c t x x0
Bài 2. Tính các tích phân sau:
dx
dx
1) �
(HVKTQS
–
99)
2)
�
1 x x2 1
x x2 x 1
3)
�
1
dx
1 x x
4) �
2
Bài 5
dx
1 x x 1
2
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ (TIẾP)
A. Mục tiêu bài dạy
- HS nắm vững phương pháp đổi biến số, phương pháp lượng giác hoá các
bài toán tích phân, bảng các nguyên hàm cơ bản.
- HS nắm vững phương pháp tính tích phân các hàm vô tỉ
- HS vận dụng thành thạo vào giải toán
B. Nội dung bài dạy
dx
IV. Dạng 4. Tích phân dạng �
mx n ax 2 bx c
Cách giải:
px q dx
Tổng quát: �
mx n ax 2 bx c
Bài 4. Tính các tích phân sau:
1)
�
( x 1)
dx
x 2x 2
2
1
2
2)
�(2 x 3)
1
2
(3 x 2)dx
�
( x 1)
x 2 3x 3
� ax b �
f
��x, n cx d �dx
�
�
ax b
dt n b
Cách giải: Đặt t n
�x
cx d
a ct n
V. Dạng 5. Tích phân dạng:
dx
4 x 2 12 x 5
Bài 5. Tính các tích phân sau:
1
1 x
dx 1
1) �
2)
1
x
2
0
xdx
�x 1
3
3
5
3
5
x 1 3 3 x 1 c (đhan-01)
2
5
1 �
x 1 � 6 �x 1 ��
�
3
��
4) �2
� �
��dx I
x 1 � �x 1 � �x 1 ��
�
�
6
5
x 1
1 t
12t
�x 6
� dx
dt
2
6
x 1
t 1
t 1
6
x 4 dx
�
2ln 3 1
3) �
x
2
x
2
4
Đặt t
6
5
4
x 1 � 3 6 �x 1 �
�I �
3 t 3 t 4 dt 3 6 �
�
�
�
� c
5 �x 1 � 4 �x 1 �
VI. Một số tích phân khác.
Bài 6. Tính các tích phân sau:
1 2
x3 1 x 2 dx �
x 1 x 2 d 1 x 2 . (HVHCQG – SP – 01)
1) �
2
1
x3 1 x 2 dx �
1 t 2 .t.2tdt
Đặt t 1 x 2 � 2tdt d 1 x 2 � �
2
4
2
x5 dx
1 x d x 3
2) �
�
. Đặt t x 2 3
2
2
x 3 2
x 3
x2 1
dx Đặt t x 1
3) �
x 1
x 2 1.d x 2 1
x x2 1
1
dx � 2
4) �4
x 3x 2 2
2 x 1 x 2 2
t 2 dt
dt
dt
2
Đặt t x 2 1 � I �2
�
�
t 2 t 2 3 t 2 3 t 2 2 t 2 3
dt
dt
1 t 3 t 2
3�
2
ln
c
�
t2 3
t 2 2 2 t 3 t 2
5)
xdx
�x 1
x 1
(2 x 1) 3 5 xdx
6) �
3
3
7)
x5 dx
�x
2
3
Đặt t x 2 3 � x 2 t 2 3 � xdx tdt
Bài 7. Tính các tích phân sau:
d x 2 1
xdx
1
dt
2
�
t
x
1
�
I
1) �2
.
Đặt
2
�
t 2
x 1 x2 1 2 x 2 1 x 2 1
1
2)
�3x
0
xdx
2
5 2 x 2
Đặt t 2 x 2
3
3)
�x
2
dx
2
2 x2 3
Đặt t
x
x2 3
Bài 8. Tính các tích phân sau:
3
2
3 x
�
1)
0
1
2)
�4 x
0
3 x2
2
dx
2
4 x2
a
x a 2 x 2 dx
3) �
0
1
2
4)
a 0
x 2 dx
�
1 x
0
2 5
BTVN
x8 x
dx
1) � 4
x( x 1)
4
4)
x
�2a x dx, a 0
0
dx
7) �
1
10)
1 x2 2 x 2
xdx
�
( ax
2
13)
�
(x
16)
�
x
19)
�
x x
2
4
3
1) x 1
2
dx
5
�( x 1)( x 1)
5)
2
� x 4 x 3dx
8)
�
x
3
11)
14)
17)
4
2
dx
x2 x 1
5
b) cx 2 d
xdx
1 x
dx
dx
2)
x2 2 x 2
dx
�
x
2
dx
�
x 1 x
4
3
�ax x dx
3
3
ax
3)
�a x dx
6)
�
x x
9)
�
( ax
dx
2
2
a2
dx
b) cx 2 d
x 3 1 x 2 dx
12) �
15)
18)
1 x3
� x 2 dx
x 5 dx
3
�
(a x
2
) a x2
1
BÀI 6
TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC
I. Mục tiêu bài dạy
- HS biết cách tính tính phân của các hàm số lượng giác
- Có cái nhìn tổng quát về tích phân của các hàm số lượng giác
II. Nội dung bài dạy
A. Lí thuyết
B. Bài tập
* Dạng 1.
dx
�
a sin x b cos x c
Bài 1. Tính các tích phân sau:
� x�
d �tan �
dx
dx
� 2�
�
�
1) �
x
x
x
x�
3sin x 4cos x
� 2x
2 x
6sin cos 4 �
cos sin 2 � 3tan 2 2 tan
2
2
2
2
2�
� 2
dx
2) �
2sin x 5cos x 3
a sin x b cos x c
dx
* Dạng 2. �
m sin x n cos x p
Tồn tại cách phân tích duy nhất:
asinx + bcosx + c = (msinx + ncosx + p) + (mcosx – nsinx) + , với mọi x
asinx + bcosx + c = (m - n)sinx + (n - m)cosx + p + , với mọi x
Bài 2. Tính các tích phân sau:
1)
3sin x 4 cos x 3
�sin x 2 cos x 3
1, 2, 6
dx.
2
2) �sin x cos x 1 dx
sin x 2 cos x 3
5cos x 4sin x
4) �cos x sin x 3 dx
3)
0
5)
dx
2 cos x sin x 3
dx
�
sin x 2 cos x 3
1
9
, , 0
2
2
cos xdx
4
3
x ln 4 cos x 3sin x c
�
4 3 tan x �
2sin x 4 cos x 24
25
f sin x;cos x dx . f là hs hữu tỉ đối với sinx và cosx.
* Dạng 3. �
+ f sin x;cos x f sin x;cos x đặt t = cosx
+ f sin x; cos x f sin x;cos x đặt t = sinx
+ f sin x; cos x f sin x;cos x đặt t = tanx
+ Có thể đặt t tan
x
2
Bài 3. Tính các tích phân sau:
dx
1) �
sin x cos 6 x
4)
6)
2)
2
4sin 3 x
dx
�
1
cos
x
0
dx
3 3
ln
�
cos x sin x cos x
3
0
3
dx
x cos 5 x
cos3 x
dx
�
sin 4 x
3
6
�
sin
3)
5)
�sin
4
4
dx
3
x cos 5 x
Cách 1: Đặt t = cosx dài
Cách 2: Mũ của sinx và cosx hơn kém nhau 2 đơn vị.
�
sin
7)
3
d tan x
d tan x
dx
1
3
1
8�
8�
3ln tan x tan 2 x tan 4 x c
3
3
5
2
x cos x
2 tan x
2
4
sin 2 x
� 2 tan x �
�
�
2
1 tan x �
�
sin xdx
�
cos x
1 sin x
2
8)
�sin
3
dx
11
x cos x
tan 5 xdx
9) �
Bài 4. Tính các tích phân sau:
1)
dx
�2 sin x cos x
(ĐHBK – 00)
sin x cos xdx 1 sin x cos x 2 1
2) �
dx
sin x cos x 2 � sin x cos x
BÀI 6
TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC (TIẾP)
I. Mục tiêu bài dạy
- HS biết cách tính tính phân của các hàm số lượng giác
- Có cái nhìn tổng quát về tích phân của các hàm số lượng giác
II. Nội dung bài dạy
C. Lí thuyết
D. Bài tập
* Một số tích phân khác
Bài 5. Tính các tích phân sau:
sin 5 xdx
cos 6 xdx
1) �
2) �
Bài 6. Tính các tích phân sau:
sin 2 x cos 4 xdx
1) �
5)
tan 7 xdx
3) �
cot 8 xdx
4) �
dx
3) � 4
sin x cos x
sin 5 2 x cos 2008 xdx
2) �
4)
cos5 xdx
�sin
3
3
sin xdx
3
cos x
�
cos x
Bài 7. Tính các tích phân sau:
1)
dx
�
sin x
2)
dx
�
cos x
dx
�
sin x cos x
3)
Bài 8. Tính các tích phân sau:
sin 2 x
3) � 6 dx
cos x
2) �sin xdx
3 cos 2 x
0
4
2 3
sin 3 x sin x
dx
5) �
tan x sin 3 x
cos 2 x
dx
4) �
sin x 3 cos x
dx
�
sin 3x cos 3 x
3
2
sin( x )(2 2sin 2 x)dx
1) �
4
4)
�
6) cos x cos( x )
4
3
7)
2
3
cos xdx
6
tan( x ) cot( x ) dx
8) �
�7 cos 2 x
0
Bài 9. Tính các tích phân sau:
2
1)
x cos x
dx =
2
x
�4 sin
2
Do f x
2
x
�4 sin
2
2
x
dx
x
là hs lẻ nên
4 sin 2 x
2
cos x
�4 sin
2
2
x
x
�4 sin
2
2
2
x
dx 0
dx 0
2
d sin x 1
ln 3
2
x 2
�4 sin
2
1
dx
2
x
2
sin sin x nx dx n ��
2) I �
0
Cách 1: Đặt x 2 t �
2
2
0
0
sin sin x nx dx
�
sin sin t nt dt � I 0
�
Cách 2: Đặt x t
�I
2
0
sin sin x nx dx �
sin sin t n t dt ��
sin sin t nt dt 0
�
Do hs f t sin sin t nt là hs lẻ.
BT:
1)
3)
5)
4 cos x 3sin x
�cos x 2sin x
dx
2
3sin x 4 cos x
dx
�
3sin 2 x 4 cos 2 x
0
sin x sin 4 x
1
dx
x sin x cos x 2 cos 2 x 1
2)
�
4sin
4)
sin 3 x
dx
�
3sin 4 x sin 6 x 3sin 2 x
2
cos 5 x tan xdx
6) �
dx
�
tan x cot 2 x
3
cos6 x
7) � 4 dx
sin x
sin 4 x cos 5 xdx
8) �
4
cos x sin 8 xdx
9) �
10) sin x cos( x )
15)
3
sin 3 xdx
12) �
0
3
4
sin 2 xdx
�
sin 4 x cos 4 x
0
14)
dx
16)
4
4sin 3 xdx
17) �
4
18)
1 cos x
25)
cos xdx
x cos 3 x
22)
3
0
24)
dx
�
(sin x cos x) cos
6
2
�sin
4
3
dx
3
x cos5 x
2 cos x sin 2 x
dx
�
(1 sin x)(3 cos 2 x)
(cos x sin x)dx
26) �
0
2
tan x cos xdx
2
x 9 cos 2 x
�
16sin
0
2
cos 2 xdx
�
(sin x cos x 2)
x
3
dx
23) � 3
sin x cos5 x
4
3
sin 3 x sin xdx
20) �
tan x sin 3 x
3
19) �sin xdx
4 cos 2 x
0
�
sin
dx
�
sin x cos
0
2 3
2
21)
1 cos x
6
�
sin 2 x 2sin x
0
dx
2
sin 3 x cos 4 xdx
11) �
13)
1
�
3
3 sin 2 x
x
27)
3
4
dx
�
1 tan x
0
28)
6
4
1
sin 2 xdx
30) � x
e
1
29) � tan xdx2006
1 (cos x)
0
2
dx
�
1 tan x
4
10
4
1
cos x(2 cot 2 x 3cot x 1) sin 2 x cot x
e
dx
32) �
sin 3 x
31) �
(sin x cos x sin x cos x)dx
10
4
0
4
BÀI 7
TÍCH PHÂN HÀM CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
I. Mục tiêu bài dạy
- HS nắm vững các kiến thức về GTTĐ và tích phân, đặc biệt là các tính chất
của nó
- HS giải thành thạo các tích phân có chứa dấu GTTĐ
II. Nội dung bài dạy
A. Lí thuyết
1. Một số phép biến đổi vi phân thường gặp.
1
+ d ( f ( x)) f ' ( x)dx hay f ' ( x)dx d ( f ( x))
dx d (ax b)
+
a
+ cos xdx d (sin x)
1
sin
xdx
d
(cos
x
)
+
+ xdx d (ax 2 b)
a
dx
d (tan x )
cos 2 x
dx
d (cot x)
+
sin 2 x
dx
d (ln x )
+
x
1
+ e x dx d (ae x b)
a
+
1
n
n 1
+ x dx a(n 1) d (ax b)
dx
+
d (x x 2 a )
x2 a
x x2 a
1
1
+ 1 2 dx d x
x
x
1
1
+ 1 2 dx d x
x
x
2. Một số tính chất của tích phân.
b
1) Đảo cận, đảo dấu:
a
f ( x)dx �
f ( x)dx
�
a
2) Tách cận tích phân:
b
b
c
a
a
b
f ( x)dx �
f ( x)dx �
f ( x)dx
�
c
b
b
b
a
a
a
f (t )dt �
f ( x )dx �
f (u )du
3) Không phụ thuộc biến số tích phân: �
4) Bất đẳng thức tích phân: nếu f(x) g(x), x [a ; b] thì :
b
b
a
a
f ( x)dx ��
g ( x )dx
�
3. Quy tắc đổi biến số.
Bước 1: Đặt x = (t) (hoặc t = (x)) dx = ’(t)dt (hoặc dt = ’(x)dx)
Bước 2: Đổi cận x = a (t) = a t =
x = b (t) = b t =
Bước 3: Áp dụng công thức
b
f ( x)dx �
f ( (t )) '(t )dt
�
a
4. Công thức tích phân từng phần.
b
b
udv uv |ba �
vdu
�
a
a
b
Muốn tính tích phân I =
�f ( x) dx
ta làm như sau:
a
Bước 1. Giải phương trình f(x) = 0 với x (a ; b). Giả sử các nghiệm là x1 và x2.
Bước 2. Tách cận tích phân
b
x1
x2
b
a
a
x1
x2
f ( x) dx �
f ( x) dx �
f ( x) dx �
f ( x) dx
I= �
x1
x2
a
x1
f ( x) dx
�
�f ( x)dx
b
�f ( x)dx
x2
Bài 1. Tính các tích phân sau:
2
2
a)
x x dx
�
3
�2 1 cos 2x dx = 4
e)
0
4
b)
�x
3
2
2 x xdx
2
f)
0
cos x
�
0
3
2
x2 4x 3
dx
c) �
x
1
0
sin xdx
�tan
g)
4
3
x cot 2 x 2dx
2
6
3
d) K = �1 sin 2xdx
2 4 x 1 dx
�
x
h)
0
0
Bài 2. Tính các tích phân sau:
a)
4
1
x3
�x
c)
tan x sin x 2 x dx
�
0
0
2
1
1
10 dx
1
x2
b) � x ln 1 x dx
2
0
d)
x2
x 1 e x dx
�
2
0
Bài 3. Cho f(x) là hàm số liên tục trên � và thoả mãn f ( x) f ( x) 2 2 cos 2 x
3
2
Tính I =
3
2
Đặt t = - x
3
2
3
2
f ( x)dx
�
3
2
3
2
3
2
f ( x)dx �f (t )dt �f (t )dt �f ( x) dx
�
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
�
sin x dx
�
�f ( x) f x �
�dx � 2 1 cos 2 x dx 2 �
3
2
3
2
1
3
2
x x m dx đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4. Tìm m để I(m) = �
0
BÀI 8
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
THỂ TÍCH CÁC KHỐI TRÒN XOAY
I. Mục tiêu bài dạy
- HS nắm vững ý nghĩa hình học của tích phân
- HS nắm vững công thức tính diện tích, thể tích
- HS giải thành thạo các bài toán liên quan
II. Nội dung bài dạy
A. Lí thuyết
1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x), x = a và x = b
b
được cho bởi công thức sau S =
�f ( x) g ( x) dx
a
2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x = f(y), x = g(y), y = a và y = b
b
được cho bởi công thức sau S =
�f ( y) g ( y) dy
a
3. Nếu hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = f(x), y = g(x) thì trước tiên ta giải
phương trình f(x) = g(x) để tìm ra các nghiệm x1 < x2 < x3. Khi đó
S=
x3
x2
x3
x1
x1
x2
�f ( x) g ( x) dx �f ( x) g ( x) dx �f ( x) g ( x) dx
4. D = {y = f(x), trục Ox, x = a, x = b}. Cho D quay xung quanh Ox được vật thể
b
y 2 dx
tròn xoay có thể tích là V = �
a
5. D = {x = f(y), trục Oy, y = a, y = b}. Cho D quay xung quanh Oy được vật thể
b
x 2 dy
tròn xoay có thể tích là V = �
a
* Chú ý
+ D = {y = f(x), y = g(x), x = a, x = b} và nếu f(x) g(x), x [a ; b] thì
b
2
2
�
VOx = �
�f ( x) g ( x) �
�dx
a
+ Nếu hình phẳng D được giới hạn bởi nhiều đường thì ta tìm giao điểm của
các đường đó và chia hình phẳng D thành các hình phẳng đơn giản sao cho có thể
vận dụng được công thức.
B. Bài tập
Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
ln x
a) x = 1, x = e, y = 0, y
.
2 x
b) y2 = 2x, y = x, y = 0 và y = 3.
c) y = - 4 x 2 và x2 + 3y = 0.
d) y2 + x – 5 = 0 và x + y – 3 = 0
Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y = |x2 – 1| và y = |x| + 5
b) x = y , x + y – 2 = 0 và y = 0.
c) y = x, y = 0 và y = 4 – x.
8
x2
và y =
x
8
1
Bài 3. Cho hàm số y 2 . Gọi (C) là phần đồ thị của hàm số ứng với x > 0. A và
x
d) y = x2, y =
B là các điểm trên (C) có hoành độ lần lượt là 1 và 2.
a) Viết phương trình Parabol đi qua O, A và B.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và Parabol.
Bài 4. Cho hình phẳng giới hạn bởi hai Parabol y2 = 2x và x2 = 2y.
a) Tính diện tích hình phẳng.
b) Tính VOx và VOy.
Bài 5.
a) Viết phương trình chính tắc của (E) biết tiêu cự bằng 8, tâm sai bằng 4/5.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (E) ở câu a) và các tiếp tuyến của (E)
biết các tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0 ;
15
)
4
Bài 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 2 – 4x + 5 và các tiếp tuyến của
nó kẻ từ điểm A(
5
; -1).
2
Bài 7. Cho hình phẳng D giới hạn bởi y2 – 2y + x = 0 và x + y = 0.
a) Tính diện tích của D.
b) Cho D quay xung quanh Ox tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
Bài 8. Cho hình phẳng D giới hạn bởi y = 2x2 và 2x – y + 4 = 0.
a) Tính diện tích của D.
b) Cho D quay xung quanh Ox tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
c) Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
Bài 9. Cho hình phẳng D giới hạn bởi y = x2 – 2x và y = -x2 + 4x.
a) Tính diện tích của D.
b) Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
Bài 10. Cho hình phẳng D giới hạn bởi: y = x2 (x > 0), y = -3x +10, y = 1.
a) Cho D quay xung quanh Ox tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
b) Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
Bg.
61
2
�
dx
3x 10 1�
x 4 1 dx �
a) VOx �
(đvtt)
�
�
5
1
2
2
2
�
10 y
�
�
9
�
1 �
4
b) VOy
3
y
2
�
101
�dy
(đvtt)
54
�
�
y
4
1
O
BÀI 8
1
2
3
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
THỂ TÍCH CÁC KHỐI TRÒN XOAY
I. Mục tiêu bài dạy
- HS nắm vững ý nghĩa hình học của tích phân
- HS nắm vững công thức tính diện tích, thể tích
- HS giải thành thạo các bài toán liên quan
II. Nội dung bài dạy
A. Lí thuyết
1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x), x = a và x = b
b
được cho bởi công thức sau S =
�f ( x) g ( x) dx
a
2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x = f(y), x = g(y), y = a và y = b
b
f ( y ) g ( y ) dy
được cho bởi công thức sau S = �
a
B. Bài tập
x
Bài 11. Cho hình phẳng D giới hạn bởi y
1
x2
y
và
.
x2 1
2
c) Tính diện tích của D.
d) Cho D quay xung quanh Ox tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
e) Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
Bài 12. Cho hình phẳng D giới hạn bởi: (P): y = 2x – x2 và trục Ox.
a) Cho D quay xung quanh Ox tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
b) Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
Bg.
y
A
2
2 x x 2 dx
a) VOx �
2
0
16
(đvtt)
15
1
b) y = 2x – x2 x 1 � 1 y
cung OA có pt: x 1 1 y
cung AB có pt: x 1 1 y
1
�1 1 y
VOy �
�
�
0
1
2
2
O
8
1 y �dy
(đvtt)
�
�
3
x
B
2
-1
Bài 13. Cho hình phẳng D giới hạn bởi y = |x2 – 4x + 3| và y = x + 3.
a) Tính diện tích của D.
b) Cho D quay xung quanh Ox tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
c) Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
y
Bg.
a) S = 109/6 (đvdt)
8
3
-3
O 1
-1
2
3
5
x
Bài 14. Cho hình phẳng D giới hạn bởi y = x2 và x = -y2.
a) Tính diện tích của D.
b) Cho D quay xung quanh Ox tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
c) Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
Bài 15. Cho hình tròn tâm I(2 ; 0) bán kính R = 1. Tính thể tích hình tròn xoay
sinh bởi hình tròn khi quay xung quanh:
a) Ox
b) Oy
Bài 16. Cho Hình phẳng D giới hạn bởi (E):
( x 4) 2 y 2
1.
4
16
a) Cho D quay xung quanh Ox tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
b) Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
Bài 17. Cho hình phẳng D giới hạn bởi (P): y2 = 2x và (C): x2 + y2 = 8.
(P) chia đường tròn thành hai phần, tính diện tích mỗi phần.
y
2
�
y2 �
4
2
S2 2�
8
y
dy 2 (đvdt)
�
�
2 �
3
0�
Ta có: S1 S2 2 2
2
2
S2
S1
4
8 � S1 6 (đvdt)
3
2
O
2 2
x
-2
2
Bài 18. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y 1 2sin
y 1 2sin 2
S
3x
cos 3 x
2
3x
12 x
, y 1
,x
2
2
y
7
6
7 1
� 3�
cos 3 xdx 2 1 (đvdt)
2 2
0
1
2
O
x
2
27
x
2
6
3
Bài 19. Cho hình phẳng D giới hạn bởi: (P1): y = x ; (P2): y ; (H): y
x
27
c) Cho D quay xung quanh Ox tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
d) Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
Bg.
y
9
HD cách vẽ (H)
(P1) (H) = A(3;9); (P2) (H) =
P1
B(9;3)
(H)
9/2
(P ) (P ) = O(0;0)
1
VOx
2
583
(đvtt)
3
VOy 81 27 ln 3 (đvtt)
3
P2
O
3
6
BTVN.
Bài 20. Cho hình phẳng D giới hạn bởi y = sin|x| và y = |x| - .
a) Tính diện tích của D.
b) Cho D quay xung quanh Oy tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
Bài 21. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
x
9
- Xem thêm -
.DOC 
21 
137 
149 
