Tài liệu Tích phân ngẫu nhiên ITO và toán tử ngẫu nhiên trong không gian Banach

Môc lôc 1 Lêi cam ®oan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lêi c¶m ¬n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Môc lôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 §é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Gauss vμ tÝch ph©n ngÉu nhiªn Wiener v« h¹n chiÒu 11 1.1 BiÕn ngÉu nhiªn nhËn gi¸ trÞ trong kh«ng gian Banach . . . . 12 1.2 §é ®o vÐc t¬ vμ tÝch ph©n cña hμm nhËn gi¸ trÞ to¸n tö ®èi víi ®é ®o vÐc t¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1 §é ®o vÐc t¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.2 TÝch ph©n Bochner . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.3 TÝch ph©n cña mét hμm nhËn gi¸ trÞ to¸n tö ®èi víi mét ®é ®o vÐc t¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 16 §é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn vμ tÝch ph©n ngÉu nhiªn cña hμm tÊt ®Þnh ®èi víi ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn . . . . . . . . . . . . . 18 1.4 §é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5 TÝch ph©n ngÉu nhiªn Wiener ®èi víi ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn 1.6 Gauss ®èi xøng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Martingale nhËn gi¸ trÞ trong kh«ng gian Banach . . . . . . 25 3 2 TÝch ph©n ngÉu nhiªn Ito v« h¹n chiÒu vμ c«ng thøc Ito 2.1 TÝch ph©n ngÉu nhiªn cña hμm ngÉu nhiªn nhËn gi¸ trÞ to¸n tö ®èi víi ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Gauss . . . . . . . . . . . 2.2 2.3 3 27 BiÕn ph©n b×nh ph−¬ng cña ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Gauss ®èi xøng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Qu¸ tr×nh Ito vμ c«ng thøc Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 To¸n tö ngÉu nhiªn gi÷a c¸c kh«ng gian Banach 3.1 27 58 Kh¸i niÖm cña to¸n tö ngÉu nhiªn bÞ chÆn, vÝ dô vμ c¸c tÝnh chÊt tæng qu¸t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2 C¸c ®iÒu kiÖn ®Ó mét to¸n tö ngÉu nhiªn lμ bÞ chÆn . . . . . 65 3.3 Nguyªn lý bÞ chÆn ®Òu kh«ng cã hiÖu lùc cho to¸n tö ngÉu nhiªn bÞ chÆn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Th¸c triÓn cña to¸n tö ngÉu nhiªn bÞ chÆn . . . . . . . . . . 75 VÒ c¸c nghiªn cøu tiÕp theo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Tμi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.4 Phô lôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4 Më ®Çu Trong h¬n ba thÕ kû qua, víi c«ng lao ®ãng gãp cña nhiÒu thÕ hÖ c¸c nhμ to¸n häc, gi¶i tÝch to¸n häc ®· trë thμnh mét lÜnh vùc to¸n häc lín víi nh÷ng chuyªn ngμnh nh−: phÐp tÝnh vi tÝch ph©n, ph−¬ng tr×nh vi ph©n, ph−¬ng tr×nh ®¹o hμm riªng, lý thuyÕt c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh,. . . Nã cung cÊp cho nhiÒu ngμnh khoa häc vμ kü thuËt mét c«ng cô hÕt søc ®¾c lùc ®Ó xö lý vμ tÝnh to¸n c¸c m« h×nh tÊt ®Þnh. Tuy nhiªn, chóng ta ®ang sèng trong mét thÕ giíi chÞu nhiÒu t¸c ®éng cña nh©n tè ngÉu nhiªn. PhÇn lín c¸c hÖ ®éng lùc, c¸c qu¸ tr×nh trong tù nhiªn lμ c¸c hÖ ®éng lùc ngÉu nhiªn vμ qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn. Thμnh thö ®Ó ph¶n ¸nh thùc tÕ ®óng ®¾n h¬n, ngoμi viÖc nghiªn cøu c¸c m« h×nh tÊt ®Þnh, viÖc nghiªn cøu c¸c m« h×nh ngÉu nhiªn lμ mét tÊt yÕu vμ cÇn thiÕt. Trong vμi chôc n¨m gÇn ®©y, mét mÆt do nhu cÇu ph¸t triÓn néi t¹i cña to¸n häc, mÆt kh¸c nh»m cung cÊp mét ng«n ng÷, mét c«ng cô cho phÐp m« t¶, ph©n tÝch, dù b¸o vμ ®iÒu khiÓn c¸c m« h×nh ngÉu nhiªn, gi¶i tÝch ngÉu nhiªn (gi¶i tÝch trong m«i tr−êng ngÉu nhiªn) ®· ra ®êi víi c¸c lý thuyÕt vÒ ®é ®o ngÉu nhiªn, tÝch ph©n ngÉu nhiªn, ph−¬ng tr×nh vi ph©n ngÉu nhiªn, to¸n tö ngÉu nhiªn, ®iÓm bÊt ®éng ngÉu nhiªn, hÖ ®éng lùc ngÉu nhiªn. . .. Trong c¸c h−íng nghiªn cøu cña gi¶i tÝch ngÉu nhiªn, viÖc nghiªn cøu gi¶i tÝch ngÉu nhiªn v« h¹n chiÒu còng ®−îc nhiÒu t¸c gi¶ quan t©m do sù ph¸t triÓn néi t¹i cña gi¶i tÝch ngÉu nhiªn còng nh− do sù xuÊt hiÖn cña nhiÒu bμi to¸n thùc tiÔn ®ßi hái c¸ch tiÕp cËn v« h¹n chiÒu. CÇn chó ý r»ng ®Ó nghiªn cøu gi¶i tÝch ngÉu nhiªn trªn kh«ng gian v« h¹n chiÒu, ng−êi ta cÇn ph¶i cã nh÷ng ph−¬ng ph¸p míi vμ dông cô míi kh¸c so víi viÖc nghiªn cøu gi¶i tÝch ngÉu nhiªn h÷u h¹n chiÒu. Bëi lÏ r»ng nh÷ng ph−¬ng ph¸p vμ dông cô c¬ b¶n cña x¸c suÊt trªn kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu khi më réng sang kh«ng gian v« h¹n chiÒu th× kh«ng cßn hiÖu lùc n÷a (xem [21, 22, 43] vμ c¸c th− môc ë ®ã). 5 VÒ mÆt lÞch sö, tÝch ph©n ngÉu nhiªn ®Çu tiªn trong lý thuyÕt x¸c suÊt lμ tÝch ph©n cña mét hμm tÊt ®Þnh ®èi víi chuyÓn ®éng Brown do Wiener ®−a ra [44] vμo n¨m 1923. TÝch ph©n nμy ®−îc gäi lμ tÝch ph©n Wiener. TÝch ph©n Wiener cã thÓ nh×n nhËn nh− lμ tÝch ph©n cña mét hμm tÊt ®Þnh thùc ®èi víi ®é ®o ngÉu nhiªn Wiener - mét ®é ®o ngÉu nhiªn gi¸ trÞ thùc sinh bëi chuyÓn ®éng Brown. T− t−ëng vÒ ®é ®o ngÉu nhiªn gi¸ trÞ thùc lÇn ®Çu tiªn xuÊt hiÖn trong c«ng tr×nh cña Bochner [6]. TÝch ph©n ngÉu nhiªn cña hμm tÊt ®Þnh ®èi víi ®é ®o ngÉu nhiªn gi¸ trÞ thùc ®−îc nghiªn cøu bëi Urbanik vμ Woyczynski [42]. Sù më réng cho tr−êng hîp v« h¹n chiÒu ®−îc thùc hiÖn bëi Hoffman-Jorgensen [16], Okazaki [25], Rosinski [27]. Mét h−íng më réng kh¸c cña tÝch ph©n Wiener ®−îc §.H.Th¾ng ®Ò cËp trong [36, 41]: §ã lμ xÐt tÝch ph©n cña c¸c hμm tÊt ®Þnh thùc ®èi víi c¸c ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Gauss vμ ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Wiener v« h¹n chiÒu. Ch−¬ng 1 cña luËn ¸n cã tiªu ®Ò "§é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Gauss vμ tÝch ph©n ngÉu nhiªn Wiener v« h¹n chiÒu". Ch−¬ng nμy sÏ tr×nh bμy mét c¸ch tãm l−îc nhÊt ®Ó lμm quen víi ®Þnh nghÜa, c¸c kÕt qu¶ c¬ b¶n vÒ ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn, ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Gauss ®èi xøng víi gi¸ trÞ trong kh«ng gian Banach v« h¹n chiÒu vμ tÝch ph©n cña hμm tÊt ®Þnh thùc ®èi víi chóng, trong ®ã tËp trung vμo c¸c tÝnh chÊt c¸c ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Gauss ®èi xøng. C¸c kÕt qu¶ nμy sÏ ®−îc sö dông ®Õn ë ch−¬ng 2. Nhu cÇu cña to¸n häc còng nh− thùc tiÔn ®ßi hái ph¶i thùc hiÖn qu¸ tr×nh lÊy tÝch ph©n kh«ng chØ cho c¸c hμm tÊt ®Þnh mμ c¶ cho c¸c hμm ngÉu nhiªn. N¨m 1942 nhμ to¸n häc Ito [18] ®· x©y dùng qu¸ tr×nh tÝch ph©n cho mét hμm ngÉu nhiªn phï hîp ®èi víi chuyÓn ®éng Brown. TÝch ph©n nμy ®−îc gäi lμ tÝch ph©n ngÉu nhiªn Ito. TÝch ph©n Ito vμ c«ng thøc Ito ®ãng mét vai trß ®Æc biÖt quan träng trong gi¶i tÝch ngÉu nhiªn t−¬ng tù nh− tÝch ph©n Riemann vμ c«ng thøc Newton-Leibniz trong gi¶i tÝch cæ ®iÓn. Gi¶i tÝch cæ ®iÓn nghiªn cøu vi tÝch ph©n trong kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu, gi¶i tÝch ngÉu nhiªn nghiªn 6 cøu phÐp tÝnh vi tÝch ph©n ngÉu nhiªn. Sù kh¸c nhau c¬ b¶n gi÷a gi¶i tÝch cæ ®iÓn vμ gi¶i tÝch ngÉu nhiªn thùc chÊt n»m ë sù kh¸c nhau cña c«ng thøc ®¹o hμm hμm sè hîp, trong m«i tr−êng ngÉu nhiªn c«ng thøc nμy mang tªn Ito. Vi tÝch ph©n ngÉu nhiªn Ito ngμy cμng ®ãng vai trß quan träng, m« t¶ ngμy cμng ®óng vμ s¸t nhiÒu m« h×nh trong thùc tÕ vμ cã nhiÒu øng dông thiÕt thùc. Mét trong nh÷ng øng dông ®¸ng chó ý cña nã gÇn ®©y cã thÓ kÓ ®Õn ®ã lμ nã trë thμnh c«ng cô quan träng trong nghiªn cøu to¸n tμi chÝnh (xem [15, 31] vμ c¸c th− môc ë ®ã), vÝ dô nh− viÖc ®Þnh nghÜa vμ nghiªn cøu c¸c m« h×nh Black-Scholes, Merton, Hull and White, .... Cã nhiÒu h−íng nghiªn cøu më réng tÝch ph©n Ito. Mét sè t¸c gi¶ muèn x©y dùng lo¹i tÝch ph©n ngÉu nhiªn mμ kh«ng cÇn gi¶ thiÕt phï hîp, nh− tÝch ph©n Ogawa, tÝch ph©n Stratonovich, tÝch ph©n Skorokhod (xem [3, 24, 29] vμ c¸c th− môc ë ®ã). Mét h−íng më réng kh¸c lμ x©y dùng tÝch ph©n cña hμm ngÉu nhiªn ®èi víi c¸c qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn tæng qu¸t h¬n. Ch¼ng h¹n lý thuyÕt vÒ tÝch ph©n ngÉu nhiªn cña c¸c hμm ngÉu nhiªn kh¶ ®o¸n ®èi víi mét semimartingale ®· ®−îc nhiÒu t¸c gi¶ ë Mü vμ Ph¸p quan t©m (xem [5, 20] vμ c¸c th− môc ë ®ã); lý thuyÕt vÒ tÝch ph©n ngÉu nhiªn ®èi víi c¸c qu¸ tr×nh Brown ph©n thø ®−îc mét sè t¸c gi¶ quan t©m v× nh÷ng dông míi cña nã trong to¸n tμi chÝnh (xem [31]). Ch−¬ng 2 cã tiªu ®Ò "TÝch ph©n ngÉu nhiªn Ito v« h¹n chiÒu vμ c«ng thøc Ito". Ch−¬ng nμy dμnh cho viÖc x©y dùng tÝch ph©n Ito cña hμm ngÉu nhiªn gi¸ trÞ to¸n tö ®èi víi ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Gauss, x©y dùng mét qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn v« h¹n chiÒu Xt, kiÓu Ito rÊt tæng qu¸t vμ thiÕt lËp c«ng thøc Ito t−¬ng øng. Gi¶ sö X, Y lμ c¸c kh«ng gian Banach. Cho tr−íc Z lμ ®é ®o ngÉu nhiªn Gauss ®èi xøng X-gi¸ trÞ víi ®é ®o covariance Q (®−îc ®Þnh nghÜa bëi §.H.Th¾ng trong [41]). Chóng t«i ®Þnh nghÜa qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn Xt Y -gi¸ 7 trÞ cã d¹ng  Xt = X0 +  t a(s, ω) ds+ 0 0 t  b(s, ω)·dQs + 0 t c(s, ω)·dZs, (0 ≤ t ≤ T ) vμ gäi ®ã lμ qu¸ tr×nh Ito Y -gi¸ trÞ ®èi víi ®é ®o ngÉu nhiªn Z. §Ó ®Þnh nghÜa ®−îc qu¸ tr×nh nμy chóng t«i ®· ph¶i x©y dùng kh¸i niÖm tÝch ph©n ngÉu nhiªn cña mét hμm ngÉu nhiªn L(X, Y )-gi¸ trÞ ®èi víi ®é ®o Z. KÕt qu¶ quan träng trong ch−¬ng nμy lμ viÖc chøng minh c«ng thøc Ito v« h¹n chiÒu (§Þnh lý 2.3.2). §Ó chuÈn bÞ cho viÖc thiÕt lËp c«ng thøc nμy, luËn ¸n ®· sö dông c«ng cô tÝch tensor ®Ó lμm râ t¸c ®éng cña mét to¸n tö song tuyÕn tÝnh lªn mét to¸n tö h¹ch vμ nghiªn cøu biÕn ph©n toμn ph−¬ng cña ®é ®o Z. C«ng thøc biÕn ph©n toμn ph−¬ng nμy viÕt mét c¸ch h×nh thøc cã d¹ng  dZ = dQ. dZ ⊗ Trong tr−êng hîp Z lμ ®é ®o Wiener X-gi¸ trÞ vμ c¸c kh«ng gian X, Y lμ h÷u h¹n chiÒu ta thu ®−îc c«ng thøc Ito h÷u h¹n chiÒu (HÖ qu¶ 2.3.4). Chó ý r»ng c«ng thøc nμy còng lμ míi v× cho tíi nay ng−êi ta míi xÐt tr−êng hîp c«ng thøc Ito h÷u h¹n chiÒu víi qu¸ tr×nh Wiener nhiÒu chiÒu víi c¸c thμnh phÇn ®éc lËp (tøc lμ víi ®é ®o ngÉu nhiªn Wiener víi ®é ®o covariance Q d¹ng dQ = R dt, trong ®ã R lμ ma trËn ®¬n vÞ). Trong gi¶i tÝch cæ ®iÓn (kh«ng ngÉu nhiªn) ta ®· biÕt tÝch ph©n lμ mét lo¹i to¸n tö tuyÕn tÝnh ®Æc biÖt vμ rÊt quan träng. Lý thuyÕt to¸n tö tuyÕn tÝnh (tÊt ®Þnh) ®· ®−îc ph¸t triÓn thμnh mét lý thuyÕt ®å sé trong gi¶i tÝch hμm vμ ®· ®−îc ¸p dông rÊt hiÖu qu¶ ®Ó nghiªn cøu trong lý thuyÕt ph−¬ng tr×nh vi ph©n vμ ph−¬ng tr×nh ®¹o hμm riªng. T−¬ng tù nh− vËy, tÝch ph©n ngÉu nhiªn lμ mét lo¹i to¸n tö ngÉu nhiªn ®Æc biÖt vμ rÊt quan träng. Mét to¸n tö ngÉu nhiªn A tõ X vμo Y lμ mét phÐp t−¬ng øng mçi x ∈ X mét biÕn ngÉu nhiªn Ax nhËn gi¸ trÞ trong Y . PhÐp t−¬ng øng nμy tho¶ m·n ®iÒu kiÖn tuyÕn tÝnh vμ liªn tôc theo mét nghÜa x¸c suÊt nμo ®ã. Nh− vËy kh¸i niÖm to¸n tö ngÉu 8 nhiªn lμ mét sù më réng "ngÉu nhiªn" (hay sù ngÉu nhiªn ho¸) mét c¸ch rÊt tù nhiªn cña kh¸i niÖm to¸n tö tuyÕn tÝnh tÊt ®Þnh. To¸n tö ngÉu nhiªn gi÷a c¸c kh«ng gian Hilbert ®−îc nghiªn cøu hÖ thèng ®Çu tiªn bëi Skorokhod [30] vμ ®−îc ph¸t triÓn bëi §.H.Th¾ng [33, 34, 35, 37, 39]. Theo sù hiÓu biÕt cña chóng t«i th× lý thuyÕt vÒ to¸n tö ngÉu nhiªn míi ®ang ë giai ®o¹n ®Çu cña sù ph¸t triÓn vμ cßn nhiÒu vÊn ®Ò bá ngá. NÕu nh− lý thuyÕt to¸n tö tuyÕn tÝnh (tÊt ®Þnh) ®· trë thμnh mét l©u ®μi ®å sé, hoμnh tr¸ng trong gi¶i tÝch, cã rÊt nhiÒu øng dông trong to¸n häc còng nh− thùc tiÔn th× cã c¬ së ®Ó hy väng vμ tin t−ëng r»ng trong t−¬ng lai lý thuyÕt to¸n tö ngÉu nhiªn còng sÏ cã mét h×nh hμi, vÞ trÝ xøng ®¸ng vμ tÇm quan träng lín lao trong gi¶i tÝch ngÉu nhiªn. Ch−¬ng 3 cã tiªu ®Ò "To¸n tö ngÉu nhiªn gi÷a c¸c kh«ng gian Banach". Trong ch−¬ng nμy chóng t«i dμnh sù quan t©m cho líp c¸c to¸n tö ngÉu nhiªn bÞ chÆn. §ã lμ mét líp con cña líp c¸c to¸n tö ngÉu nhiªn bÞ chÆn nh−ng l¹i lμ sù më réng rÊt gÇn gòi c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh tÊt ®Þnh. Chóng t«i ®· thiÕt lËp c¸c ®iÒu kiÖn ®Ó mét to¸n tö ngÉu nhiªn lμ bÞ chÆn. Mét trong nh÷ng kÕt qu¶ chÝnh kh¸ thó vÞ trong ch−¬ng nμy lμ chØ ra r»ng nguyªn lý bÞ chÆn ®Òu (§Þnh lý Banach-Steinhaus) cho hä c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh tÊt ®Þnh vÉn ®óng cho hä c¸c to¸n tö ngÉu nhiªn (bÞ chÆn theo x¸c suÊt) nh−ng ®· kh«ng cßn ®óng cho hä c¸c to¸n tö ngÉu nhiªn bÞ chÆn (bÞ chÆn h.c.c.) (xem vÝ dô 3.3.3 cña luËn ¸n). NÕu nh×n tÝch ph©n Wiener nh− mét to¸n tö ngÉu nhiªn th× tÝch ph©n Ito, tÝch ph©n Ogawa, tÝch ph©n Stratonovich vμ tÝch ph©n Skorokhod ®Òu cã thÓ xem nh− lμ mét cè g¾ng ®Ó th¸c triÓn miÒn x¸c ®Þnh cña tÝch ph©n Wiener tõ tËp c¸c hμm tÊt ®Þnh b×nh ph−¬ng kh¶ tÝch lªn mét líp nμo ®ã c¸c hμm ngÉu nhiªn cã quü ®¹o b×nh ph−¬ng kh¶ tÝch. Chóng t«i ®−a ra mét kiÓu th¸c triÓn vμ chøng minh ®−îc r»ng mét to¸n tö ngÉu nhiªn bÞ chÆn tõ X sang Y (vμ chØ cã nã) míi cã thÓ th¸c triÓn miÒn x¸c ®Þnh cña nã lªn toμn bé c¸c biÕn ngÉu nhiªn nhËn gi¸ trÞ trong X ®ång thêi b¶o toμn c¸c tÝnh chÊt tuyÕn tÝnh vμ liªn tôc cña nã (§Þnh lý 3.4.5). Mét hÖ qu¶ thó vÞ cña ®Þnh lý nμy lμ: kh«ng thÓ 9 th¸c triÓn miÒn x¸c ®Þnh cña tÝch ph©n Wiener tõ tËp c¸c hμm tÊt ®Þnh b×nh ph−¬ng kh¶ tÝch lªn tÊt c¶ c¸c hμm ngÉu nhiªn cã quü ®¹o b×nh ph−¬ng kh¶ tÝch. Líp c¸c to¸n tö ngÉu nhiªn bÞ chÆn lμ mét líp ®Æc biÖt cña líp to¸n tö ngÉu nhiªn, nã ®−îc nghiªn cøu trong Ch−¬ng 3 kh¸ hÖ thèng. Mét vÊn ®Ò ®−îc ®Æt ra mét c¸ch tù nhiªn lμ nghiªn cøu c¸c lo¹i to¸n tö ngÉu nhiªn tæng qu¸t h¬n. Trong qu¸ tr×nh nghiªn cøu hoμn thμnh luËn ¸n, ngoμi nh÷ng kÕt qu¶ ®· c«ng bè, chóng t«i còng t×m ra mét sè kÕt qu¶ thó vÞ kh¸c vÒ to¸n tö ngÉu nhiªn tæng qu¸t (kh«ng nhÊt thiÕt bÞ chÆn). Nh−ng nh÷ng kÕt qu¶ ®ã nãi chung kh¸ rêi r¹c, ch−a thμnh mét hÖ thèng hoμn chØnh vμ m¹ch l¹c nªn chóng t«i chØ míi tr×nh bμy ë nh÷ng buæi seminar nhá. PhÇn phô lôc nhá cuèi luËn ¸n cã tiªu ®Ò "VÒ c¸c nghiªn cøu tiÕp theo". Trong phÇn nμy, chóng t«i nªu ra mét sè vÊn ®Ò mμ chóng t«i ch−a gi¶i quyÕt hoμn chØnh vμ kÌm theo mét sè kÕt qu¶ ®· ®¹t ®−îc. Chóng t«i sÏ dμnh nh÷ng vÊn ®Ò ®ã cho nghiªn cøu sau luËn ¸n. C¸c kÕt qu¶ chñ yÕu cña luËn ¸n ®· ®−îc b¸o c¸o trong c¸c héi nghÞ: 1. Héi nghÞ Khoa häc cña tr−êng §«ng vÒ X¸c suÊt-Thèng kª, Vinh (2003), 2. Héi nghÞ nghiªn cøu Khoa häc Tr−êng §¹i häc Khoa häc Tù nhiªn (2004), 3. Héi nghÞ Toμn quèc vÒ X¸c suÊt Thèng kª t¹i Ba V× (2005). Vμ ®· ®−îc c«ng bè trong c¸c t¹p chÝ 1. Proceedings of the International Conference Abstract and Applied Analysis World Scientific (2004), 2. Kyushu J.Math (2004), 3. Vietnam J. Math 38:2(2005). 10 Ch−¬ng 1 §é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Gauss vμ tÝch ph©n ngÉu nhiªn Wiener v« h¹n chiÒu ViÖc nghiªn cøu tÝch ph©n ngÉu nhiªn Ito cho hμm ngÉu nhiªn nhËn gi¸ trÞ to¸n tö ®èi víi ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Gauss nhËn gi¸ trÞ trong kh«ng gian Banach mμ chóng t«i ®Ò cËp ®Õn trong ch−¬ng 2 cã thÓ xem nh− lμ sù më réng v« h¹n chiÒu cho tÝch ph©n Ito, do ®ã nã cÇn sù hç trî tõ rÊt nhiÒu c¸c kÕt qu¶ kh¸ trõu t−îng trong kh«ng gian Banach. MÆt kh¸c ®©y còng lμ viÖc më réng viÖc lÊy tÝch ph©n hμm tÊt ®Þnh ®èi víi ®é ®o ngÉu nhiªn Gauss (tÝch ph©n Wiener v« h¹n chiÒu) ®−îc xÐt trong [41, §.H.Th¾ng] cho lÊy tÝch ph©n cho c¸c hμm ngÉu nhiªn ®èi víi ®é ®o ngÉu nhiªn Gauss. Nh− lμ mét sù chuÈn bÞ, ch−¬ng nμy nh»m môc ®Ých tãm t¾t s¬ l−îc c¸c kiÕn thøc vμ c¸c kÕt qu¶ liªn quan mμ chóng sÏ ®−îc sö dông sau nμy, nh− lμ: ®é ®o vÐc t¬, tÝch ph©n ®èi víi ®é ®o vÐc t¬, ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn vμ tÝch ph©n ngÉu nhiªn cña hμm tÊt ®Þnh ®èi víi ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Gauss. §Æc biÖt chóng t«i tr×nh bμy kü vÒ ®é ®o ngÉu nhiªn Gauss vμ tÝch ph©n Wiener v« h¹n chiÒu (tÝch ph©n cña hμm tÊt ®Þnh ®èi víi ®é ®o ngÉu nhiªn Gauss). C¸c kiÕn thøc vÒ to¸n tö h¹ch, tÝch tensor cña 2 kh«ng gian Banach, h×nh häc trong kh«ng gian Banach, ®é ®o vÐc t¬ Gauss trªn kh«ng gian Banach sÏ ®−îc giíi thiÖu 11 trong phÇn phô lôc sau luËn ¸n. 1.1 BiÕn ngÉu nhiªn nhËn gi¸ trÞ trong kh«ng gian Banach C¸c kiÕn thøc trong phÇn nμy ng−êi ®äc cã thÓ t×m ®äc kü h¬n trong [43]. Gi¶ sö T lμ mét kh«ng gian kh¸c rçng bÊt kú. Hä c¸c tËp con Σ cña T ®−îc gäi lμ mét tr−êng (hay ®¹i sè) c¸c tËp con cña T nÕu nã chøa tËp rçng, ®ãng ®èi víi phÐp lÊy hîp vμ giao h÷u h¹n vμ ®ãng ®èi víi phÐp lÊy phÇn bï. Σ ®−îc gäi lμ mét σ-tr−êng (hay σ-®¹i sè) c¸c tËp con cña T nÕu nã lμ mét tr−êng vμ ®ãng ®èi víi phÐp lÊy hîp vμ giao ®Õm ®−îc vμ phÐp lÊy phÇn bï. Trong tr−êng hîp nμy cÆp (T, Σ) ®−îc gäi lμ kh«ng gian ®o ®−îc. Cho (T, Σ) vμ (X, B) lμ c¸c kh«ng gian ®o ®−îc. Mét ¸nh x¹ ξ : T → X ®−îc gäi lμ (Σ, B)-®o ®−îc hay ®¬n gi¶n lμ ®o ®−îc nÕu nghÞch ¶nh ξ −1(B) ∈ Σ víi mçi B ∈ B. NÕu X lμ kh«ng gian t«p« th× σ-tr−êng nhá nhÊt chøa tÊt c¶ c¸c tËp më cña X ®−îc gäi lμ σ-tr−êng Borel vμ ®−îc ký hiÖu lμ B(X). C¸c tËp B ∈ B(X) ®−îc gäi lμ c¸c tËp Borel. NÕu ¸nh x¹ ξ : T → X lμ (Σ, B(X))-®o ®−îc th× ta cßn gäi lμ ξ lμ ®o ®−îc Borel hay ®¬n gi¶n lμ ®o ®−îc. Cho (T, Σ) lμ mét kh«ng gian ®o ®−îc, X lμ mét kh«ng gian metric. Mét hμm ξ : T → X ®−îc gäi lμ ®¬n gi¶n (t−¬ng øng bËc thang) nÕu ξ(T ) lμ h÷u h¹n (t−¬ng øng ®Õm ®−îc) vμ ξ −1(x) ∈ Σ víi mäi x ∈ X. Râ rμng hμm ®¬n gi¶n vμ hμm bËc thang th× ®o ®−îc. ξ : T → X ®−îc gäi lμ ®o ®−îc m¹nh nÕu nã lμ giíi h¹n ®iÓm cña mét d·y hμm ®¬n gi¶n vμ ξ ®−îc gäi lμ ®o ®−îc yÕu nÕu víi mäi x∗ ∈ X th× x∗ (ξ) : T → R lμ hμm ®o ®−îc m¹nh. MÖnh ®Ò sau ®©y cho ta mèi liªn hÖ gi÷a ®o ®−îc, ®o ®−îc m¹nh, ®o ®−îc yÕu. MÖnh ®Ò 1.1.1. Víi ¸nh x¹ ξ : T → X, nh÷ng ph¸t biÓu sau t−¬ng ®−¬ng 12 1. ξ ®o ®−îc m¹nh. 2. ξ ®o ®−îc vμ miÒn gi¸ trÞ cña nã kh¶ ly. 3. ξ lμ giíi h¹n ®Òu cña mét d·y hμm bËc thang. 4. ξ lμ giíi h¹n ®iÓm cña mét d·y hμm ®¬n gi¶n. Gi¶ sö (Ω, F) lμ mét kh«ng gian ®o ®−îc. Mét hμm céng tÝnh ®Õm ®−îc μ : F → [0, +∞) ®−îc gäi lμ ®é ®o (kh«ng ©m) trªn F (nhiÒu lóc ta nãi μ lμ ®é ®o trªn (Ω, F), hay ®¬n gi¶n lμ ®é ®o trªn Ω). μ ®−îc gäi lμ ®é ®o x¸c suÊt nÕu μ(Ω) = 1, ®−îc gäi lμ ®é ®o h÷u h¹n nÕu μ(Ω) < ∞ vμ ®−îc gäi lμ ®é ®o σ-h÷u h¹n nÕu Ω cã ph©n ho¹ch Ω = ∪∞ n=1 An , An ∈ F, tho¶ m·n μ(An ) < ∞ víi mäi n ∈ N. NÕu μ lμ ®é ®o trªn (Ω, F) th× bé ba (Ω, F, μ) ®−îc gäi lμ mét kh«ng gian ®o. NÕu μ lμ ®é ®o x¸c suÊt th× bé ba (Ω, F, μ) ®−îc gäi lμ mét kh«ng gian x¸c suÊt. §é ®o x¸c suÊt trªn kh«ng gian x¸c suÊt ta th−êng ký hiÖu lμ P. Tõ nay trë ®i nÕu kh«ng cã g× thay ®æi ta sÏ lu«n ngÇm ®Þnh kh«ng gian x¸c suÊt c¬ së lμ (Ω, F, P). Gi¶ sö X lμ mét kh«ng gian Banach. Mét ¸nh x¹ ξ : Ω → X ®−îc gäi lμ biÕn ngÉu nhiªn X-gi¸ trÞ (hay vÐc t¬ ngÉu nhiªn) nÕu ξ lμ ®o ®−îc m¹nh (σ-tr−êng trªn X lμ B(X)). Gi¶ sö (ξn), ξ lμ c¸c biÕn ngÉu nhiªn X-gi¸ trÞ. ξn ®−îc gäi lμ héi tô theo x¸c P suÊt tíi ξ vμ ký hiÖu lμ ξn → ξ nÕu   lim P ξn − ξ >  = 0 víi mäi  > 0. n→∞ h.c.c. ξn ®−îc gäi lμ héi tô hÇu ch¾c ch¾n (h.c.c.) tíi ξ vμ ký hiÖu lμ ξn → ξ hay ξn → ξ (h.c.c) nÕu tån t¹i mét tËp A ∈ F sao cho P(A) = 1 vμ víi mäi ω ∈ Ω th× ξn (ω) → ξ(ω). 13 Hai biÕn ngÉu nhiªn ξ vμ η ®−îc gäi lμ b»ng nhau h.c.c. vμ ký hiÖu lμ ξ = η h.c.c. nÕu P{ξ = η} = 1. Quan hÖ b»ng nhau h.c.c. trong kh«ng gian c¸c biÕn ngÉu nhiªn X-gi¸ trÞ lμ mét quan hÖ t−¬ng ®−¬ng, tËp c¸c líp t−¬ng X X ®−¬ng ®−îc ký hiÖu lμ LX 0 (Ω, F, P) hay ®¬n gi¶n lμ L0 (Ω). L0 (Ω) lμ mét kh«ng gian Frechet víi chuÈn Frechet cña ξ ∈ LX 0 (Ω) ®−îc x¸c ®Þnh lμ  ξ(ω) ξ0 = dP(ω) Ω 1 + ξ(ω) vμ LX 0 (Ω) lμ mét kh«ng gian vÐc t¬ t« p« víi mét c¬ së ®Þa ph−¬ng lμ hä c¸c tËp cã d¹ng V,δ = {ξ ∈ LX 0 (Ω) : P{ξ > } < δ}, , δ > 0. P Ta cã ξn → ξ khi vμ chØ khi ξn − ξ0 → 0. X Ký hiÖu LX p (Ω, F, P) (hay Lp (Ω)) (p ≥ 1) lμ tËp tÊt c¶ c¸c biÕn ngÉu nhiªn  (Ω) sao cho ξ(ω)p dP(ω) < ∞, lóc ®ã LX ξ ∈ LX 0 p (Ω) lμ kh«ng gian Banach víi chuÈn lμ ξp = 1.2  ξ(ω) dP(ω) p 1/p , ξ ∈ LX p (Ω). §é ®o vÐc t¬ vμ tÝch ph©n cña hμm nhËn gi¸ trÞ to¸n tö ®èi víi ®é ®o vÐc t¬ C¸c kiÕn thøc trong phÇn nμy ng−êi ®äc cã thÓ t×m ®äc kü h¬n trong [9, 10]. 1.2.1 §é ®o vÐc t¬ Gi¶ sö Σ lμ mét tr−êng c¸c tËp con cña tËp T . 14 §Þnh nghÜa 1.2.1. Mét hμm F tõ Σ vμo mét kh«ng gian Banach X ®−îc gäi lμ ®é ®o vÐc t¬ céng tÝnh h÷u h¹n hay ®¬n gi¶n lμ ®é ®o vÐc t¬ nÕu nã tho¶ m·n F (E1 ∪ E2 ) = F (E1) + F (E2 ) víi mäi E1 , E2 lμ c¸c tËp rêi nhau trong Σ. H¬n n÷a nÕu F (∪∞ n=1 En ) = ∞  F (En ) trong chuÈn cña X n=1 víi mäi Ei lμ c¸c tËp rêi nhau trong Σ tho¶ m·n ∪∞ n=1 En ∈ Σ th× F ®−îc gäi lμ ®é ®o vÐc t¬ céng tÝnh ®Õm ®−îc. §Þnh nghÜa 1.2.2. Gi¶ sö F : Σ → X lμ mét ®é ®o vÐc t¬. BiÕn ph©n cña F lμ mét hμm kh«ng ©m |F | x¸c ®Þnh trªn Σ sao cho víi mçi E ∈ Σ th× |F |(E) = sup n  F (Ei ), i=1 trong ®ã {Ei}ni=1 ∈ Σ lμ mét ph©n ho¹ch cña E vμ supremum lÊy trªn tÊt c¶ c¸c ph©n ho¹ch h÷u h¹n cã thÓ cña E. NÕu |F |(T ) < ∞ th× F ®−îc gäi lμ ®é ®o víi biÕn ph©n giíi néi MÖnh ®Ò 1.2.3. Mét ®é ®o vÐc t¬ víi biÕn ph©n giíi néi lμ céng tÝnh ®Õm ®−îc khi vμ chØ khi biÕn ph©n cña nã lμ céng tÝnh ®Õm ®−îc §Þnh lý 1.2.4 (Pettis). Gi¶ sö Σ lμ mét σ-tr−êng, F : Σ → X lμ mét ®é ®o vÐc t¬ céng tÝnh ®Õm ®−îc vμ μ lμ ®é ®o kh«ng ©m h÷u h¹n trªn Σ. Lóc ®ã F lμ μ-liªn tôc, tøc lμ lim F (E) = 0 μ(E)→0 khi vμ chØ khi gi¸ trÞ cña F trªn nh÷ng tËp cã ®é ®o μ b»ng 0 th× b»ng 0. 15 1.2.2 TÝch ph©n Bochner Cho (T, Σ, μ) lμ mét kh«ng gian ®o h÷u h¹n. NÕu f : T → X lμ mét hμm ®¬n gi¶n cã d¹ng f= n  xi1Ei , i=1 trong ®ã Ei lμ c¸c tËp rêi nhau trong Σ, xi ∈ X, th× víi E ∈ Σ ta ®Þnh nghÜa  f dμ = E n  xi μ(Ei ∩ E). i=1 §Þnh nghÜa 1.2.5. Mét hμm μ-®o ®−îc f : T → X ®−îc gäi lμ kh¶ tÝch Bochner nÕu tån t¹i mét d·y hμm ®¬n gi¶n (fn ) sao cho  lim fn − f  dμ = 0. n T Trong tr−êng hîp nμy, víi mäi E ∈ Σ sÏ tån t¹i giíi h¹n limn (1.1)  E fn dμ, giíi h¹n nμy kh«ng phô thuéc vμo c¸ch chän d·y ®¬n gi¶n (fn ) (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (1.1)) vμ ta ®Æt   f dμ = lim E n fn dμ. E §Þnh lý sau ®©y cho ta mét ®Æc tr−ng cña hμm kh¶ tÝch Bochner. §Þnh lý 1.2.6. Mét hμm f : Σ → X lμ kh¶ tÝch Bochner nÕu vμ chØ nÕu  f  dμ < ∞. 1.2.3 TÝch ph©n cña mét hμm nhËn gi¸ trÞ to¸n tö ®èi víi mét ®é ®o vÐc t¬ Gi¶ sö (T, Σ) lμ mét kh«ng gian ®o, F : Σ → X lμ mét ®é ®o vÐc t¬ céng tÝnh ®Õm ®−îc víi biÕn ph©n |F | h÷u h¹n, do ®ã theo MÖnh ®Ò 1.2.3 ta nhËn 16 ®−îc kh«ng gian ®o h÷u h¹n (T, Σ, |F |). NÕu f : T → L(X, Y ) lμ mét hμm ®¬n gi¶n cã d¹ng f= n  hi 1Ei , (1.2) i=1 trong ®ã Ei lμ c¸c tËp rêi nhau trong Σ, hi ∈ L(X, Y ), th× víi E ∈ Σ ta ®Þnh nghÜa  f dF = E n  hi(F (Ei ∩ E)). i=1 Chó ý r»ng trong c«ng thøc trªn th× hi(F (Ei ∩ E)) lμ gi¸ trÞ cña hμm hi ∈ L(X, Y ) t¹i ®iÓm F (Ei ∩ E) ∈ X. §Þnh nghÜa 1.2.7. Mét hμm |F |-®o ®−îc f : T → L(X, Y ) ®−îc gäi lμ F -kh¶ tÝch nÕu tån t¹i mét d·y hμm ®¬n gi¶n L(X, Y )-gi¸ trÞ (fn ) sao cho  (1.3) lim fn − f  d|F | = 0. n T Ta chøng minh ®−îc r»ng víi d·y (fn ) nh− trong §Þnh nghÜa 1.2.7 vμ víi  mäi E ∈ Σ th× sÏ tån t¹i giíi h¹n limn E fn dF vμ giíi h¹n nμy kh«ng phô thuéc vμo c¸ch chän d·y ®¬n gi¶n (fn) (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (1.3)). Lóc ®ã ta  ®Æt giíi h¹n nμy lμ E f dF . §Þnh lý 1.2.8. Gi¶ sö F : Σ → X lμ mét ®é ®o vÐc t¬ vμ f : T → L(X, Y ) lμ mét hμm |F |-®o ®−îc. Lóc ®ã ta cã 3 mÖnh ®Ò sau ®©y t−¬ng ®−¬ng. 1. f lμ F kh¶ tÝch. 2. f lμ |F | kh¶ tÝch (theo nghÜa Bochner). 3. |f | lμ |F | kh¶ tÝch. 17 1.3 §é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn vμ tÝch ph©n ngÉu nhiªn cña hμm tÊt ®Þnh ®èi víi ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn §Þnh nghÜa 1.3.1. • Mét hμm F : Σ → LX 0 (Ω, F, P) ®−îc gäi lμ mét ®é ®o ngÉu nhiªn ®èi xøng X-gi¸ trÞ nÕu 1. Víi mçi d·y (An) c¸c tËp rêi nhau trong Σ th× c¸c biÕn ngÉu nhiªn F (A1), F (A2), . . ., F (An) lμ ®éc lËp vμ ®èi xøng; 2. Víi mçi d·y (An) c¸c tËp rêi nhau trong Σ th× F ∞  An = n=1 ∞  F (An ) h.c.c. n=1 • §é ®o kh«ng ©m μ trªn Σ ®−îc gäi lμ ®é ®o ®iÒu khiÓn cña F nÕu tho¶ m·n μ(A) = 0 dÉn ®Õn F (A) = 0 vμ ®−îc ký hiÖu lμ F μ. Tõ ®©y chóng ta chØ xÐt ®Õn ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn ®èi xøng cã ®é ®o ®iÒu khiÓn. • Mét hä {Fs , s ∈ S} c¸c ®é ®o ngÉu nhiªn ®−îc gäi lμ σ-céng tÝnh ®Òu nÕu mçi d·y (An) c¸c tËp rêi nhau cña Σ th× p − lim n ∞  Fs (Am) = 0 ®Òu theo s ∈ S. m=n ViÖc ®Þnh nghÜa tÝch ph©n cña mét hμm tÊt ®Þnh thùc ®èi víi ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn ®èi xøng ®−îc thùc hiÖn theo tr×nh tù nh− sau. n  αi1Ai , víi (Ai) •NÕu f lμ mét hμm thùc ®¬n gi¶n trªn T cã d¹ng f = i=1 lμ c¸c tËp rêi nhau trong Σ, lóc ®ã ta ®Þnh nghÜa tÝch ph©n cña f ®èi víi F lμ  n  f dF = αi F (Ai ∩ A). A i=1 18 •Mét hμm thùc f x¸c ®Þnh trªn T ®−îc gäi lμ kh¶ tÝch ®èi víi F nÕu tån t¹i d·y hμm ®¬n gi¶n (fn) sao cho 1. fn → f (μ-h.c.c)  2. Víi mçi A ∈ Σ th× d·y { fn dF } héi tô theo x¸c suÊt. A •NÕu f lμ F -kh¶ tÝch th× ta ®Æt   f dF = p − lim fn dF n A   A f dF := f dF T §Ó chøng minh tÝnh ®óng ®¾n cña ®Þnh nghÜa trªn ta cÇn ph¶i chøng minh  r»ng tÝch ph©n f dF kh«ng phô thuéc vμo c¸ch chän d·y xÊp xØ (fn ). §Ó chøng minh ®iÒu nμy ta sö dông ®Þnh lý quan träng sau. §Þnh lý 1.3.2 (NgÉu nhiªn ho¸ cña ®Þnh lý Vitaly-Hahn-Saks). Cho (Fn) lμ mét d·y ®é ®o ngÉu nhiªn X-gi¸ trÞ vμ chóng cã cïng mét ®é ®o ®iÒu khiÓn μ. Ngoμi ra víi mçi A ∈ Σ th× tån t¹i p − lim Fn (A). Khi ®ã ta cã c¸c kh¼ng ®Þnh sau. 1. (Fn ) lμ μ-liªn tôc ®Òu. 2. Hμm F : Σ → LX 0 (Ω) x¸c ®Þnh bëi F (A) = p − lim Fn (A) n lμ ®é ®o ngÉu nhiªn ®èi xøng X-gi¸ trÞ víi ®é ®o ®iÒu khiÓn μ. NhËn xÐt. Hoμn toμn t−¬ng tù ta còng ®Þnh nghÜa ®−îc tÝch ph©n cña mét hμm ®o ®−îc X-gi¸ trÞ ®èi víi ®é ®o ngÉu nhiªn ®èi xøng thùc. C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n lo¹i nμy ng−êi ®äc cã thÓ t×m xem trong [41]. 19 1.4 §é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Gauss Mét ®é ®o ngÉu nhiªn ®èi xøng X-gi¸ trÞ Z ®−îc gäi lμ Gauss nÕu víi mçi A ∈ Σ th× Z(A) lμ biÕn ngÉu nhiªn cã ph©n bè Gauss ®èi xøng. ∞ n  Chó ý r»ng nÕu d·y (Ai) ∈ Σ rêi nhau vμ A = Ai th× Z(Ai) héi tô i=1 i=1 h.c.c. tíi Z(A) khi n → ∞, nh−ng (Z(Ai)), Z(A) lμ c¸c biÕn ngÉu nhiªn n  Gauss ®éc lËp nªn Z(Ai) còng héi tô tíi Z(A) trong L2X (Ω) khi n → ∞. i=1 §Þnh nghÜa 1.4.1. Gi¶ sö Z lμ ®é ®o ngÉu nhiªn ®èi xøng Gauss X-gi¸ trÞ. Hμm tËp Q x¸c ®Þnh trªn Σ ®−îc gäi lμ ®é ®o ®Æc tr−ng (®é ®o covariance) cña Z nÕu Q(A) lμ to¸n tö covariance cña Z(A). Tr−íc khi ®−a ra c¸c tÝnh chÊt ®Æc tr−ng cña ®é ®o Q, ta sÏ lμm quen víi c¸c kh¸i niÖm vμ tÝnh chÊt c¬ b¶n cña mét lo¹i tÝch v« h−íng cña 2 biÕn ngÉu nhiªn thuéc LX 2 (Ω), to¸n tö h¹ch vμ to¸n tö covariance. Trong Ch−¬ng 1 ta ®· nªu ®Þnh nghÜa cña kh«ng gian h¹ch N (X, Y ), b©y giê ta quan t©m ®Õn kh«ng gian h¹ch N (X , X). Ta nh¾c l¹i r»ng to¸n tö T ∈ L(X , X) ®−îc gäi lμ to¸n tö h¹ch nÕu tån t¹i 2 d·y {xn } ∈ X  vμ {yn } ∈ X sao cho ∞  xn  yn < ∞ vμ Ta = n=1 ∞  a, xn yn ∀a ∈ X . (1.4) n=1 NÕu T lμ to¸n tö h¹ch th× ta ®Þnh nghÜa chuÈn h¹ch cña T nh− sau: T nuc := inf ∞  xn  yn. n=1 Trong ®ã infimum ®−îc lÊy trªn tÊt c¶ c¸c d·y (xn ) ∈ X , (yn ) ∈ X tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (1.4). TËp c¸c to¸n tö h¹ch thuéc L(X , X) víi chuÈn h¹ch lËp thμnh mét kh«ng 20 gian Banach vμ ta kÝ hiÖu lμ N (X , X).  T ∈ L(X , X) ®−îc gäi lμ kh«ng ©m nÕu T a, a ≥ 0 víi mäi a ∈ X  vμ tËp c¸c to¸n tö thuéc L(X , X) kh«ng ©m ®−îc kÝ hiÖu lμ L+(X , X). TËp hîp c¸c to¸n tö h¹ch N (X , X) kh«ng ©m ®−îc kÝ hiÖu lμ N + (X , X).  Víi ξ, η ∈ LX 2 (Ω) ta ®Þnh nghÜa tÝch v« h−íng [ξ, η] ∈ L(X , X) nh− sau:   [ξ, η](a) = ξ(ω) η(ω), a dP(ω) ∀a ∈ X . (1.5) Ω trong ®ã tÝch ph©n (1.5) lμ tÝch ph©n Bochner. §Þnh lý 1.4.2. Cho ξ, η lμ 2 biÕn ngÉu nhiªn thuéc LX 2 (Ω). Ta cã c¸c kh¼ng ®Þnh sau: 1. [ξ, η] lμ to¸n tö h¹ch trong kh«ng gian h¹ch N (X , X) vμ [ξ, η]nuc ≤ ξL2 ηL2 . (1.6) 2. [ξ, η] = [η, ξ]∗ , [ξ, η1 + η2 ] = [ξ, η1] + [ξ, η2], [ξ1 + ξ2, η] = [ξ1, η] + [ξ2 , η], [t ξ, η] = t[ξ, η] ∀t ∈ R, 3. [ξ, ξ] ∈ L+(X , X) vμ [ξ, ξ]nuc  ξ2L2 . 4. NÕu X lμ kh«ng gian Banach lo¹i 2 th× tån t¹i mét h»ng sè C chØ phô thuéc vμo kh«ng gian X sao cho ξ2L2  C[ξ, ξ]nuc, víi ξ lμ biÕn ngÉu nhiªn Gauss. 5. NÕu limn ξn = ξ vμ limn ηn = η trong L2X (Ω) th× lim[ξn , ηn ] = [ξ, η] trong N (X , X). n 21 Ta gäi [ξ, ξ] lμ to¸n tö covariance cña biÕn ngÉu nhiªn X-gi¸ trÞ ξ ∈ L2X (Ω). Do ®ã nÕu Q lμ ®é ®o covariance cña ®é ®o ngÉu nhiªn Gaussian ®èi xøng X-gi¸ trÞ, Z, th× Q(A) = [Z(A), Z(A)]. Tõ §Þnh lý 1.4.2 ta cã ngay ®Þnh lý sau. §Þnh lý 1.4.3. NÕu X lμ kh«ng gian Banach lo¹i 2 th× tån t¹i mét h»ng sè C chØ phô thuéc vμo kh«ng gian X sao cho víi mçi ®é ®o ngÉu nhiªn Gauss ®èi xøng X-gi¸ trÞ Z ta cã EZ(A)2  CQ(A)  C|Q|(A) trong ®ã Q lμ ®é ®o covariance vμ |Q| lμ biÕn ph©n cña ®é ®o vÐc t¬ Q. §Æt G(X) lμ tËp tÊt c¶ c¸c to¸n tö covariance cña biÕn ngÉu nhiªn ®èi xøng Gauss X-gi¸ trÞ. Theo ®Þnh lý 1.4.2 th× G(X) ⊆ N +(X , X). H¬n n÷a ta cã ®¼ng thøc G(X) = N +(X , X) ®óng khi vμ chØ khi X lμ kh«ng gian lo¹i 2. §Þnh lý 1.4.4. §é ®o ®Æc tr−ng Q cña ®é ®o ngÉu nhiªn ®èi xøng Gauss Z cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y: 1. [Z(A), Z(B)] = Q(AB) víi mäi A, B ∈ Σ, 2. Q lμ σ-céng tÝnh trong chuÈn h¹ch , 3. Q lμ kh«ng ©m theo nghÜa : víi mäi d·y (Ak )nk=1 ∈ Σ vμ (ak )nk=1 ∈ X  th× ta cã n n    Q(AiAj )ai, aj ≥ 0. i=1 j=1 22