Mô tả:
TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC HAY
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Bài 5. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( tiết 2 )
TÍCH PHÂN CHỨA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. KIẾN THỨC
1. Thuộc các nguyên hàm :
1
a/ sin ax+b dx cos ax+b
a
c/
cos ax+b dx
sin ax+b
dx
ln
c
os
ax+b
cos ax+b
b/
1
sin ax+b
a
d/
cos ax+b
dx ln sin ax+b
sin ax+b
2. Đối với : I f ( x)dx
a)Nếu f(x)= R sin m x; cosn x thì ta chú ý :
- Nếu m lẻ, n chẵn: đặt cosx=t ( Gọi tắt là lẻ sin )
- Nếu n lẻ, m chẵn: đặt sinx=t ( Gọi tắt là lẻ cos )
- Nếu m, n đều lẻ thì: đặt cosx=t hoặc sinx =t đều được ( gọi tắt lẻ sin hoặc lẻ cos )
- Nếu m,n đề chẵn: đặt tanx = t ( gọi tắt là chẵn sinx , cosx )
b)Phải thuộc các công thức lượng giác và các công thức biến đổi lượng giác, các hằng
đẳng thức lượng giác, công thức hạ bậc, nhân đôi, nhân ba, tính theo tang góc chia đôi
....
3. Nói chung để tính được một tích phân chứa các hàm số lượng giác, học sinh đòi hỏi
phải có một số yếu tố sau:
- Biến đổi lượng giác thuần thục
- Có kỹ năng khéo léo nhận dạng được cách biến đỏi đưa về dạng đã biết trong nguyên
hàm .
II. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau :
2
a. (ĐH, CĐ Khối A – 2005) I
0
sin 2x sin x
1 3 cos x
dx
b.. ĐH, CĐ Khối B – 2005 .
sin 2x cos x
dx
1
cos
x
0
2
I
KQ: 2 ln 2 1
Giải
2
2cos x 1 sinx dx
sin 2 x sin x
a. I
dx
1 3cos x
1 3cos x
0
0
2
1
t 2 1
2
cosx=
;s inxdx=- tdt
3
3
Đặt : t 1 3cos x
x 0 t 2; x t 1
2
2
t 1
2
1
1
2
2
3
2 tdt 2 2t 1 dt 2 1 t 3 t 2 34
Khi đó : I
1 9
t
9 3
3
1 27
2
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218
TÀI LIỆU THPT HAY
2
2
sin 2 x cos x
2sin x cos 2 x
cos 2 x
b. I
dx
dx 2
sinxdx
1
cos
x
1
cos
x
c
osx+1
0
0
0
2
1
dt=-sinxdx,
x=0
t=2;x=
t 1
2
Đặt : t 1 cosx
2
f ( x)dx t 1 dt t 2 1 dt
t
t
2
1
1
Do đó : I 2 f ( x)dx 2 t 2 dt 2 t 2 2t ln t 2ln 2 1
2
1
0
2
t
2
1
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau
sin 2x
2
I
a. ĐH- CĐ Khối A – 2006 .
cos x 4sin x
2
0
2
dx
KQ:
2
3
cos3x
dx
sin x 1
0
2
b. CĐ Bến Tre – 2005 . I
KQ: 2 3 ln 2
Giải
sin 2x
2
a. I
dx . Đặt : t cos2 x 4sin 2 x t 2 cos 2 x 4sin 2 x
cos x 4sin x
2
2tdt 2sin x cos x 8sin x cos x dx 3sin 2 xdx sin 2 xdx tdt
3
Do đó :
x 0 t 1; x t 2
2
2
0
2
2
Vậy : I
0
2
2
2 tdt 2
2 2 2
f ( x)dx
dt t
31 t
31
3 1 3
cos3x
dx .
sin x 1
0
2
b. I
Ta có : cos3x=4cos3 x 3cos x 4cos 2 x 3 cosx= 4-4sin 2 x 3 cosx= 1-4sin 2 x cosx
1 4sin x cosxdx 1
cos3x
Cho nên : f ( x)dx
dx
1+sinx
1 sinx
dt=cosxdx,x=0 t=1;x= 2 t 2
Đặt : t 1 s inx
1 4 t 12
dt 8 4t 3 dt
f
(
x
)
dx
t
t
2
2
3
Vậy : I f ( x)dx 8 4t dt 8t 2t 2 3ln t 2 3ln 2
2
2
0
1
t
TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1
Page 2
TÀI LIỆU THPT HAY
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau
2
a. CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005 . I
0
2
I
b. CĐ Y Tế – 2006 .
sin x cos x
1 sin 2x
4
sin xdx
sin 2 x 2 cos x.cos 2
dx
x
2
KQ: ln 2
Giải
2
2
2
sin xdx
s inx
a. I
2
dx ln 1 cosx 2 ln 2
x 0 sin x cos x. 1 cosx 0 1+cosx
0 sin 2 x 2 cos x.cos 2
0
2
2
b. I
4
sin xdx
sin x cosx
1 sin 2x
2
dx
4
2
sin x cosx
sin x cosx
dx
s inx+cosx
dx
s inx+cosx
2
1
4
Vì : sinx+cosx= 2 sin x ; x x 3 sin x 0
4 4
2
2
4
4
4
Do đó : sinx+cosx sinx+cosx
Mặt khác : d sinx+cosx cosx-sinx dx
2
Cho nên : I
4
d s inx+cosx
1
ln s inx+cosx 2 ln1 ln 2 ln 2
sinx+cosx
2
4
Ví dụ 4. Tính các tích phân sau
cos 2x
2
a. CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006 . I
0
sin x cos x 3
3
dx
KQ:
1
32
KQ:
1
ln 3
4
b. CĐ KTKT Đông Du – 2006 .
cos 2x
dx
1 2sin 2x
0
4
I
Giải
2
a. I
0
cos 2x
sin x cos x 3
Cho nên : f ( x)dx
3
dx . Vì : cos 2 x cos2 x sin 2 x cosx+sinx cosx-sinx
cos2x
dx
3
sinx-cosx+3
cosx-sinx cosx+sinx dx
3
sinx-cosx+3
dt= cosx+sinx dx; x 0 t 2, x 2 t 4
Đặt : t s inx-cosx+3
f ( x)dx t 3 dt 1 3 1 dt
2
t3
t3
t
TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Page 3
TÀI LIỆU THPT HAY
Vậy : I f ( x)dx
1
1
1 314 1
3 3 dt 2
2
t
t
t 4 t 2 32
2
4
2
0
1
dt 4cos 2 xdx cos2xdx= dt
cos 2x
4
dx . Đặt : t 1 2sin 2 x
b. I
1 2sin 2x
0
x 0 t 1; x t 3
4
4
3
3 1
cos2x
1 dt 1
dx ln t ln 3
1 2sin 2x
41 t 4
1 4
0
4
Vậy : I
Ví dụ 5. Tính các tích phân sau :
4sin3 x
dx
1 cos x
0
2
I
a. CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006 .
KQ: 2
6
sin 3x sin3 3x
dx
b. CĐ Bến Tre – 2006 . I
1 cos3x
0
Giải
2 1 cos2 x
2
4sin3 x
1
2
dx 4
s inxdx=4 1 cosx s inxdx=4. 1 cosx 2 2
a. I
1 cos x
1 cosx
2
0
0
0
0
2
6
sin 3x sin3 3x
dx .
b. I
1 cos3x
0
Ta có : sin 3x sin3 3x sin 3x 1 sin 2 3x sin 3x.cos 2 3x .
1
dt=-3sin3xdx
sin3xdx=dt
3
Đặt : t 1 cos3x
x 0 t 2; x t 1
6
Vậy :
6
0
1 t 1
1
1
1 1
f ( x)dx
dt t 2 dt t 2 2t ln t
32 t
31
t
3 2
1
2
2
1 1
2
1 ln 2
6 3
Ví dụ 6. Tính các tích phân sau
2 3
a. I =
3
sin 3 x sin x
cot gx dx
sin x
2
c. I =
x)
b. I =
4
dx
sin( x)
2
4
2
sin(
2
sin x dx
4
4
4
d. I = cos 2 x( sin x cos x)dx
0
0
Giải
TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Page 4
TÀI LIỆU THPT HAY
a. I =
2 3
3
1
s inx 3 1
sin x sin x
sin 2 x
cot gx dx
cot xdx
sin x
s inx
2
3
3
2
2
1
3
2
3 1
cot xdx cot x cot xdx
2
sin x
3
3
sin(
x)
2
cosx-sinx
4
b. I =
dx
dx
sin( x)
cosx+sinx
2
2
4
2
d cosx+sinx
ln cosx+sinx 2 0
cosx+sinx
2
2
2
2
2
2
1 cos2x
1
1 cos4x
dx 1 2cos 2x
dx
2
4
2
0
0
4
sin x dx
c. I =
0
2
2
1
1
1
3
3 1
3
cos2x+ cos4x dx x sin 2x sin 4x 2
2
8
4
32
8
0 16
08
2
4
4
1
d. I = cos 2 x( sin x cos x)dx . Vì : sin 4 x cos 4 x 1 sin 2 2 x
2
0
Cho nên :
2
12
1
1
1
I 1 sin 2 2 x cos2xdx= cos2xdx- sin 2 2 x cos 2 xdx sin 2 x 2 sin 3 2 x 2 0
2
20
2
3
0
0
0
0
2
Ví dụ 7. Tính các tích phân sau
2
a. I = sin 5 xdx
4
b. I =
sin
6
2
3
0
3
c. I = tg 2 x cot g 2 x 2dx
6
1
2
x cot gx
dx
d. I = ( cos x 3 sin x )dx
0
Giải
TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Page 5
TÀI LIỆU THPT HAY
2
2
0
0
a. I = sin 5 xdx 1 cos 2 x
2
2
sinxdx=- 1 2cos 2 x cos 4 x d cosx
0
2 3
1 5
2
cosx+ cos x cos x 2
3
5
0 15
4
b. I =
6
1
sin 2 x cot gx
dx .
1
1
2tdt 2 dx 2 dx 2tdt
sin x
sin x
Đặt : t cot x t 2 cot x
x t 3; x t 1
6
4
1
3
2tdt
3
Vậy : I
2 dt 2t
2
t
1
1
3
3
3
6
6
3 1
3
t anx-cotx 2 dx t anx-cotx dx
c. I = tg 2 x cot g 2 x 2dx
Vì : tanx-cotx=
6
sinx cosx sin 2 x cos 2 x
cos2x
2
2 cot 2 x
cosx sinx
s inxcosx
sin2x
t anx-cotx<0;x ;
3 3
6 4
Cho nên : x ; 2 x ; 2 cot 2 x ;
6 3
3 3
3 3
t anx-cotx>0;x ;
4 3
4
3
4
6
4
6
Vậy : I t anx-cotx dx t anx-cotx dx
3
cos2x
cos2x
1
dx
dx
sin2x
2
sin2x
4
ln sin 2 x 4 12 ln sin 2 x 3 ln 2
6
4
2
d. I = ( 3 cos x 3 sin x )dx (1)
0
Đặt : x
2
t dx dt , x 0 t
TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
2
;x
2
t 0
Page 6
TÀI LIỆU THPT HAY
2
Do đó : I 3 cos t 3 sin t dt
2
2
0
0
3
2
sin t 3 cost dt
3
sin x 3 cosx dx
2
0
2
Lấy (1) +(2) vế với vế : 2I 0 I 0
Ví dụ 8 . Tính các tích phân sau
3
4
cos6 x
4 dx (NNI-2001)
sin x
2
cos2x
a. tan 4 xdx (Y-HN-2000) b.
dx (NT-2000) c.
sinx+cosx+2
0
4
4
sin 2 x
0 cos6 x dx ( GTVT-2000)e.
2
4
d.
1 2sin 2 x
0 1 sin 2 x dx (KB-03)
4
sin 2 x
0 4 cos2 x dx
f.
Giải
2
sin 4 x 1 cos x
1
1
a. tan xdx . Ta có : f ( x) tan x 4
2
1
4
4
cos x
cos x
cos x
cos2 x
2
3
4
4
4
Do đó : I f ( x)dx
1
1
dx
3
2
1 dx 1 tan 2 x
2 tan x x
4
2
2
cos x
cos x
cos x
4
4
4
3
3
4
3
1
4
2
3
t anx+ tan 3 x 2 3 2 2 3 2 3 2
3
12
3
12 3 12
4
* Chú ý : Ta còn có cách phân tích khác :
f ( x) tan 4 x tan 2 x tan 2 x 1 1 tan 2 x 1 tan 2 x tan 2 x tan 2 x 1 tan 2 x tan 2 x 1 1
3
3
3
4
4
4
4
3
dx
dx
2
2
2
2
Vậy : I tan x 1 tan x tan x 1 1 dx tan x. 2 2 dx
cos x
cos x
1
2
1
3 1
I tan 3 x t anx+x 3 3 3 1
3 3
4 3 12
3
3
4
4
b.
cos2x
sinx+cosx+2 dx .
0
Ta có : f ( x)
sinx+cosx+9
4
4
cos x sin x cosx-sinx cosx+sinx
2
cos2x
3
2
sinx+cosx+9
3
sinx+cosx+9
3
cosx+sinx cosx-sinx dx 1
3
0 sinx+cosx+2
Do đó : I f ( x)dx
0
TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Page 7
TÀI LIỆU THPT HAY
cosx+sinx=t-2.x=0 t=3;x= 4 t 2 2,
Đặt : t s inx+cosx+2
dt cosx-sinx dx f ( x)dx t 2 dt 1 2 1 dt
2
t3
t3
t
Vậy :
1
1
1
1
1 1 22
1 1 2 1 2
I 2 2 3 dt 2
2
t
t
t t 3
3
2 2 2 2 3 9 3 2 2
sin t cost sin t cost dt sin t cost cost sin t dt f ( x)
sin t cost+9
sin t cost+9
2 2
2
cos6 x
4 dx
sin x
2
c.
4
2
cos6 x 1 sin x 1 3sin 2 x 3sin 4 x sin 6 x
1
1
Ta có : f ( x) 4
4 3 2 3 sin 2 x
4
4
sin x
sin x
sin x
sin x
sin x
3
Vậy : I 1 cot 2 x
2
2
dx
dx
1 cos2x
3
3
dx
dx
2
2
sin x sin x
2
4
2
2
4
4
4
1
1
5 23
1
cot 3 x 3cot x 3x x sin 2 x 2
2
4
8 12
3
4
4
sin x
1 cos x
1
1
1
dx
1
2
dx
dx
dx
dx
0 cos6 x 0 cos6 x
0 cos6 x cos4 x 0 cos4 x cos2 x 0 1 tan x cos2 x
4
d.
2
2
4
4
4
4
4
4
1
1
2
2
4
1 tan 2 x
dx
1
tan
x
dx
1
2
tan
x
tan
x
d
tan
x
1 tan 2 x d t anx
2
2
cos x
cos x
0
0
0
0
4
2
2
1
1
1
8
1
t anx+ tan 3 x tan 5 x t anx- tan 3 x 4 tan 3 x tan 5 x 4
3
5
3
5
0 3
0 15
2
2
2
d 7 cos2x
sin 2 x
sin 2 x
2sin 2 x
3
dx
dx
dx
ln 7 cos2x 2 ln
e.
2
1 cos2x
4 cos x
7 cos2x
7 cos2x
4
0
0 4
0
0
0
2
2
1 2sin x
cos2 x
1 4 d 1 sin 2 x 1
1
dx
dx
ln 1 sin 2 x 4 ln 2
f.
1 sin 2 x
1 sin 2 x
2 0 1 sin 2 x
2
2
0
0
0
4
2
4
TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Page 8
TÀI LIỆU THPT HAY
Ví dụ 9. Tính các tích phân sau :
2
2
a. sin 3 x cos 4 xdx
b.
0
sin 3x
1 2cos3x dx
0
6
sin 2 x
cos 2 x
c. I
dx J
dx K
0 s inx+ 3cosx
0 s inx+ 3cosx
6
5
3
cos2x
dx
3 s inx
cosx-
3
2
Giải
a. sin 3 x cos4 xdx 1 cos2 x cos4 x.sinxdx cos6 x cos 4 x d cosx
2
2
2
0
0
0
1
2
1
cos 7 x cos5 x 2
5
7
0 35
2
2
sin 3x
1 3sin 3x
1 2 d 1 2 cos 3x
1
1
dx
dx
ln 1 2 cos 3x 2 ln 3
b.
1 2cos3x
6 0 1 2 cos 3x
6 0 1 2 cos 3 x
6
6
0
0
sin x cos x
1
1
16
1
dx
dx
dx
201
20
3
0 s inx+ 3cosx
sin x
s inx+
cosx
3
2
2
x
d tan
1
1
1
1
2 6
.
Do :
x
x
x
x
sin x 2sin cos x+ tan 2cos 2
tan
3
6
2 6
2 6
2 6
2 6
x
d tan
6
1
1
1
x
2 6 1
ln tan 6 ln 3 ln 3 (1)
Vậy : I
20
2
4
x
2 6 0 2
tan
2 6
6
c. Ta có : I J
2
2
6
6 sin x 3cosx sin x 3cosx
sin x 3cos x
dx
dx
sinx+ 3cosx
0 sinx+ 3cosx
0
6
- Mặt khác : I 3J
2
2
Do đó : I 3J s inx- 3cosx dx cosx- 3 s inx 6 1 3 (2)
6
0
0
3
3 1
1
I ln 3
I
J
ln
3
16
4
4
Từ (1) và (2) ta có hệ :
3
I 3J 1 3
J 1 ln 3 3 1
16
4
Để tính K ta đặt t x 3 dt dx x 3 ; t 0.x 5 t
2
2
3
6
TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Page 9
TÀI LIỆU THPT HAY
6
cos 2t+3
0
cos t+3 3 sin t+3
2
2
Vậy : K
cos2t
1
3 1
dt I J ln 3
8
2
0 sint+ 3cost
6
dt
Ví dụ 10. Tính các tích phân sau .
4
2
1
0 1 sin 2 x dx ( CĐ-99)
a.
b.
0
10
10
4
4
sin x cos x sin x cos x dx (SPII-2000) d.
2
c.
dx
2 s inx+cosx (ĐH-LN-2000)
0
3
1
dx (MĐC-2000)
s inxsin x+
6
6
Giải
4
4
4
1
1
dx
dx
a.
2
1 sin 2 x
0
0 s inx+cosx
0
1
dx tan x 4 1
4
2 cos 2 x
0
4
2
b.
dx
2 s inx+cosx
.
0
x
2
Đặt : t tan dt
1
1
x
2 cos 2
2
1
x
2dt
dx 1 tan 2 dx; dx
; x 0 t 0, x t 1
2
2
2
1 t
2
1
1
1
2
2dt
2dt
Vậy : I
.
dt 2
2
2
2
2t
1 t 1 t
t 2t 3 0 t 12 2
0
0
2
1 t2 1 t2
1
2
du; t 0 tan u
; t 1 tan u 2
dt 2
2
cos u
2
Đặt : t 1 2 tan u
2dt
2
2
f (t )dt
du 2du
2
2
cos 2u
2
1
tan
u
t
1
2
u2
u
2
Vậy : I 2du 2u 2 2 u2 u1 2 arxtan arctan 2
u1
2
u1
sin
2
c.
10
x cos10 x sin 4 x cos 4 x dx
0
Ta có : sin10 x cos10 x sin 4 x cos4 x sin 2 x cos2 x cos4 x sin 4 x cos6 x sin 6 x
cos2 x sin 2 x cos2 x sin 2 x cos4 x sin 4 x cos2 x sin 2 x
1
1 cos4x 1 cos8x 15 1
1
1
cos2 2 x 1 sin 2 2 x cos2 2 x sin 2 4 x
cos4x+ cos8x
16
2
32
32 2
32
4
2
1
15 1
1
15
15 1
sin 4 x 2
sin 8 x 2
Vậy : I cos4x+ cos8x dx
32 2
32
32 2 8
32.8
64
0
0
0
TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Page 10
TÀI LIỆU THPT HAY
3
d.
1
dx .
s inxsin x+
6
6
1
Ta có : x x sin x x sin x cosx-sinxco x = *
6
6
6 2
1
sin x cosx-sinxco x
1
6
6
2
Do đó : f ( x)
2
2
s inxsin x+
s inxsin x+
s inxsin x+
6
6
6
cos x+
cos x+
3
3
cosx
cosx
6
6
I f ( x)dx 2
dx 2 ln s inx ln sin x+
sinx
6
sinx
sin x
sin x
6
6
6
6
s inx
3
1 2
3
3
I 2 ln
ln
ln .
2 ln
2
2 3
2
sin x+
6 6
6
6
3
6
* Chú ý : Ta còn có cách khác
f(x)=
1
1
3
sin 2 x
1
s inxsin x+ s inx
s inx+ cosx
6
2
2
3
3
Vậy : I
2
1
dx
2
3 cot x sin x
6
6
2d
3 cot x
3 cot x
2
3 cot x
2ln
3 cot x
3
2ln
3
2
6
Ví dụ 11. Tính các tích phân sau
sinxcos3 x
a.
dx (HVBCVT-99)
1 cos 2 x
0
2
2
b. cos2 x cos2 2 xdx ( HVNHTPHCM-98)
0
4
c.
4
sin 4 x
0 cos6 x sin 6 x dx (ĐHNT-01)
d.
dx
cos x
4
(ĐHTM-95)
0
Giải:
sinxcos3 x
1 2 cos 2 x
a.
dx
(sin 2 x)dx
1 cos2 x
2 0 1 cos2 x
0
2
1
dt 2sin x cos xdx sin 2 xdx
Đặt : t 1 cos x 2
cos x t 1; x 0 t 2; x 2 t 1
1
2
2 ln 2 1
1 t 1
1 1
1
Vậy : I
dt
1 dt ln t t
1
22 t
2 1t
2
2
2
TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Page 11
TÀI LIỆU THPT HAY
2
b. cos2 x cos2 2 xdx .
0
1 cos2x 1 cos4x 1
.
1 cos2x+cos4x+cos4x.cos2x
2
2
4
1
1
1
1
1 3
1 cos2x+cos4x+ cos6x+cos2x cos2x+ cos4x+ cos6x
4
2
4
8
4 8
Ta có : f ( x) cos 2 x cos 2 2 x
1 3
1
1
1
3
1
1
Vậy : I cos2x+ cos4x+ cos6x dx x sin 2 x sin 4 x sin 6 x 2
4 8
4
8
16
16
48
4
0 8
0
2
4
sin 4 x
cos x sin x dx .
Vì : d sin x cos x 6sin
c.
6
6
0
6
6
5
x cos x 6cos5 x sin x dx 6sin x cos x sin 4 x cos 4 x
d sin 6 x cos6 x 3sin 2 x sin 2 x cos2 x sin 2 x cos2 x dx 3sin 2 x cos 2 xdx
3
2
sin 4 xdx sin 4 xdx d sin 6 x cos 6 x
2
3
6
6
sin 4 x
2 4 d sin x cos x
2
4
6
6
dx
ln sin x cos x 4 ln 2
Vậy : 6
6
6
6
cos x sin x
3 0 sin x cos x
3
3
0
0
4
4
4
dx
1
dx
1
4
1 tan 2 x d t anx t anx+ tan 3 x 4
d. 4 2
2
cos x 0 cos x cos x 0
3
0 3
0
4
Ví dụ 12. Tính các tích phân sau .
4
a. sin11 xdx ( HVQHQT-96)
b. sin 2 x cos4 xdx (NNI-96)
0
0
4
c. cos2 x cos 4 xdx (NNI-98 )
d.
1 cos2x dx (ĐHTL-97 )
0
0
Giải:
a. sin11 xdx
0
Ta có :
sin11 x sin10 x.sinx= 1-cos2 x sinx= 1-5cos2 x 10cos3 x 10cos 4 x 5cos5 x cos6 x sinx
5
Cho nên : I 1-5cos2 x 10cos3 x 10cos4 x 5cos5 x cos6 x s inxdx
0
5
5
5
1
118
cos7 x cos6 x 2cos5 x cos4 x cos3 x cosx
6
2
3
21
7
0
TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Page 12
TÀI LIỆU THPT HAY
4
b. sin 2 x cos4 xdx
0
Hạ bậc :
1 cos2x 1 cos2x 1
2
sin x cos x
1 cos2x 1 2cos 2 x cos 2 x
2
2
8
1
1 2 cos 2 x cos 2 2 x cos2x-2cos 2 2 x cos 3 2 x
8
1
1
1+cos4x
1+cos4x
1 cos2x-cos2 2 x cos3 2 x 1 cos2x cos2x
8
8
2
2
1
1
cos6x+cos2x
1 cos2x-cos4x+cos4x.cos2x 1 cos2x-cos4x+
16
16
2
1
2 3cos 2 x cos6x-cos4x
32
2
2
4
1
1
3
1
1
sin 6 x
sin 4 x 4
Vậy I 2 3cos 2 x cos6x-cos4x dx x sin 2 x
32
64
32.6
32.4
32
0
0
4
2
2
d. 1 cos2x dx 2cos xdx 2 cosx dx 2 cosxdx cosxdx
0
0
0
0
2
2 s inx 2 s inx 2 1 1 2 2
0
2
III. MỘT SỐ CHÚ Ý QUAN TRỌNG
1. Trong phương pháp đổi biến số dạng 2.
* Sử dụng công thức :
b
0
b
f ( x)dx f (b x)dx
0
Chứng minh :
x 0 t b
x b t 0
Đặt : b-x=t , suy ra x=b-t và dx=-dt ,
Do đó :
b
0
b
b
0
b
0
0
f ( x)dx f (b t )(dt ) f (b t )dt f (b x)dx . Vì tích phân không phụ
thuộc vào biến số
Ví dụ : Tính các tích phân sau
2
a.
2
4sin xdx
5cos x 4sin x
0
s inx+cosx
s inx+cosx
3
4
c. log 2 1 t anx dx
0
TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
b.
3
dx
0
sin 6 x
d. 6
dx
sin x cos6 x
0
2
Page 13
TÀI LIỆU THPT HAY
1
sin 4 x cos x
f. 3
dx
sin x cos3 x
0
2
e. x 1 x dx
n
m
0
Giải:
2
a. I
0
4sin xdx
s inx+cosx
.(1) . Đặt :
3
dt dx, x 0 t 2 ; x 2 t 0
4sin t
t x x t
4 cos t
2
2
2
f ( x)dx
dt
dt f (t )dt
3
3
cost+sint
sin 2 t cos 2 t
Nhưng tích phân không phụ thuộc vào biến số , cho nên :
0
2
0
I f (t )dt
4cosx
sinx+cosx
3
2
dx
2
2
Lấy (1) +(2) vế với vế ta có : 2 I
4 s inx+cosx
0
s inx+cosx
3
2
dx I 2
0
1
s inx+cosx
2
dx
1
I 2
dx tan x 2 2
4
0 2 cos 2 x
0
4
2
2
b. I
0
5cos x 4sin x
s inx+cosx
3
dx . Tương tự như ví dụ a/ ta có kết quả sau :
2
I
0
5cos x 4sin x
s inx+cosx
3
0
dx
5sin t 4 cos t
cost+sint
3
2
dt
0
5sin x 4cosx
s inx+cosx
3
dx
2
2
2
Vậy : 2 I
0
s inx+cosx
2
1
1
1
dx
dx tan x 2 1 I
2
4
2
0 2 cos 2 x
0
4
2
1
4
c. log 2 1 t anx dx . Đặt :
0
dx dt , x 0 t ; x t 0
4
4
t x x t
4
4
f ( x)dx log 2 1 t anx dx log 2 1 tan t dt
4
TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Page 14
TÀI LIỆU THPT HAY
Hay: f (t ) log 2 1
1 tan t
2
dt log 2 2 log 2 t
dt log 2
1 tan t
1 tan t
4
4
0
0
0
Vậy : I f (t )dt dt log 2 tdt 2 I t 4
0
4
4
I
8
sin 6 x
dx (1)
6
6
sin
x
c
os
x
0
2
d. I
sin 6 t
2
cos6 x
2
d
t
6 6 0 cos6 x sin 6 x dx I (2)
sin t cos t
2
2
2
2
2
cos6 x sin 6 x
dx dx x 2 I
Cộng (1) và (2) ta có : 2 I 6
6
cos x sin x
2
4
0
0
0
0
1
e. x m 1 x dx . Đặt : t=1-x suy ra x=1-t . Khi x=0,t=1;x=1,t=0; dt=-dx
n
0
0
1
1
0
0
Do đó : I 1 t t n (dt ) t n (1 t )m dt x n (1 x)m dx
m
1
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2
1.
2
4
4sin x
0 1 cosx dx
2.
sinxcos3 x
3.
dx
2
1
c
os
x
0
x s inx
dx ( HVNHTPHCM-2000 )
cos 2 x
3
2
5. x5 1 x
(XD-98 )
0
1
cosx+2sinx
4cos x 3sin x dx
4.
0
x sin x
0
2 cos x dx
3 6
dx (ĐHKT-97 )
6.
2
( AN-97 )
0
1 s inx
8. ln
dx ( CĐSPKT-2000 )
1+cosx
0
4
2
sinx+2cosx
7.
dx ( CĐSPHN-2000)
3sin x cosx
0
x sin x
dx (ĐHYDTPHCM-2000 )
9.
9 4cos 2 x
0
* Dạng : I
sin 4 x cos x
10. 3
dx
sin x cos3 x
0
2
asinx+bcosx+c
dx
a 's inx+b'cosx+c'
Cách giải :
TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Page 15
TÀI LIỆU THPT HAY
Ta phân tích :
asinx+bcosx+c
a 's inx+b'cosx+c'
dx A
B a ' cosx-b'sinx
C
a 's inx+b'cosx+c' a 's inx+b'cosx+c'
- Sau đó : Quy đồng mẫu số
- Đồng nhất hai tử số , để tìm A,B,C .
- Tính I :
B a ' cosx-b'sinx
C
I A
a 's inx+b'cosx+c' a 's inx+b'cosx+c'
dx
dx
Ax+Bln
a
's
inx+b'cosx+c'
C
a 's inx+b'cosx+c'
VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ . Tính các tích phân sau :
2
4
s inx-cosx+1
a.
dx ( Bộ đề )
s
inx+2cosx+3
0
b.
cosx+2sinx
4cos x 3sin x dx
( XD-98 )
0
2
c.
sinx+7cosx+6
0 4sin x 3cos x 5 dx
d.
2
4 cos x 3sin x 1
dx
0 4 sin x 3cos x 5
Giải:
2
a.
s inx-cosx+1
s inx+2cosx+3 dx . Ta có :
0
f ( x)
B cosx-2sinx
s inx-cosx+1
C
A
s inx+2cosx+3
s inx+2cosx+3 s inx+2cosx+3
1
Quy đồng mẫu số và đồng nhất hệ số hai tử số :
1
A 5
A 2B 1
A 2 B s inx+ 2A+B cosx+3A+C
3
f ( x)
2 A B 1 B . Thay vào (1)
s inx+2cosx+3
5
3 A C 1
4
C 5
3 2 d s inx+2cosx+3 4 2
1
3
4
1
I dx
dx ln s inx+2cosx+3 2 J
5
5 0 s inx+2cosx+3
5 0 s inx+2cosx+3
10 5
5
0
0
3 4 4
I ln J 2
10 5 5 5
2
- Tính tích phân J :
1 dx
; x 0 t 0, x t 1
dt 2
x
2
cos 2
1
x
2dt
2
Đặt : t tan
. (3)
J
2
1
2dt
2dt
2
t
1
2
0
f ( x)dx
2t
1 t2
1 t 2 t 2 2t 3
2
3
1 t2
1 t2
TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Page 16
TÀI LIỆU THPT HAY
du
2
.t 0 tan u
u1; t 1 tan u 2 u2
dt 2
2
cos u
2
Tính (3) : Đặt : t 1 2 tan u
1
2du
2
du
f (t )dt
2
2
c
os
u
2
cos 2u
2
u2
2
2
3 4 4 2
tan u1
Vậy : j=
du
u2 u1 I I ln
u2 u1
2
2
2
10 5 5 5 2
u
tan u 2
2
B 3cos x 4sin x
cosx+2sinx
C
A
1
4cos x 3sin x
4cos x 3sin x
4cos x 3sin x
0
2
1
Giống như phàn a. Ta có : A ; B ;C=0
5
5
4
2 1 3cos x 4sin x
1
1 4 2
2
Vậy : I
dx x ln 4 cos x 3sin x 4 ln
5 5 4 cos x 3sin x
5
7
5
0 10 5
0
4
b.
cosx+2sinx
4cos x 3sin x dx;
f ( x)
Học sinh tự áp dụng hai phần giải trên để tự luyện .
BÀI TẬP
2 3
1.
sin 3 x s inx cot x
dx
sin 3 x
3cosx 4sin x
dx
2
2
x
2
2.
3sin x 4cos
0
3
cos x sin x dx
3.
5
1 sin 2 x sin x
dx
sin 2 x
2
2
5
4.
0
6
4
5.
2
sinx-cosx
dx
1 sin 2 x
0
2
sinxcosx
a cos x b sin x
2
0
2
2
2
dx
a, b 0
3
8. tan 6 xdx
0
ln s inx
cos2 x dx
0
cos4x.cos2x.sin2xdx
10.
6
2
sin x
4
dx . (KB-08)
12.
sin 2 x 2 1 s inx+cosx
0
6
4
tan x
dx . ( KA-08)
cos2x
0
11.
4
cos x 1 cos xdx
2
13.
3 x cos 3xdx
2
3
9.
4
7.
15sin
6.
2
2
4
. (KA-09 )
0
TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
14.
0
x sin x x 1 cosx
dx . (KA-2011 )
x sin x cosx
Page 17
TÀI LIỆU THPT HAY
1 x sin x
15.
dx . (KB-2011)
2
c
os
x
0
3
2
16.
0
sin 2 x
cos 2 x 4sin 2 x
dx . (KA-06)
x sin 2 x
0 sin 2 x cos2 x dx . CĐST-05)
3
17.
sin 2004 x
0 sin 2004 x cos2004 x dx .( CĐSPHN-05)
2
18.
sin 3x sin3 x
19.
dx . ( CĐHY-06)
1
c
os3x
0
3
6
20.
dx
. CĐSPHN-06)
s inxsin x+
6
3
21. sin 2 x 1 sin2 x dx . ( CĐKT-06)
2
3
0
TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Page 18
- Xem thêm -
.PDF 
18 
145 
70 
