Tài liệu TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC HAY

  • Số trang: 18 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 123 |
  • Lượt tải: 0
tailieu

Tham gia: 27/02/2016

Mô tả:

TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC HAY
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài 5. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( tiết 2 ) TÍCH PHÂN CHỨA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I. KIẾN THỨC 1. Thuộc các nguyên hàm :  1 a/  sin  ax+b  dx   cos  ax+b   a    c/  cos  ax+b  dx    sin  ax+b  dx   ln c os ax+b      cos  ax+b   b/  1 sin  ax+b   a  d/ cos  ax+b   dx  ln sin  ax+b    sin  ax+b   2. Đối với : I   f ( x)dx  a)Nếu f(x)= R  sin m x; cosn x  thì ta chú ý : - Nếu m lẻ, n chẵn: đặt cosx=t ( Gọi tắt là lẻ sin ) - Nếu n lẻ, m chẵn: đặt sinx=t ( Gọi tắt là lẻ cos ) - Nếu m, n đều lẻ thì: đặt cosx=t hoặc sinx =t đều được ( gọi tắt lẻ sin hoặc lẻ cos ) - Nếu m,n đề chẵn: đặt tanx = t ( gọi tắt là chẵn sinx , cosx ) b)Phải thuộc các công thức lượng giác và các công thức biến đổi lượng giác, các hằng đẳng thức lượng giác, công thức hạ bậc, nhân đôi, nhân ba, tính theo tang góc chia đôi .... 3. Nói chung để tính được một tích phân chứa các hàm số lượng giác, học sinh đòi hỏi phải có một số yếu tố sau: - Biến đổi lượng giác thuần thục - Có kỹ năng khéo léo nhận dạng được cách biến đỏi đưa về dạng đã biết trong nguyên hàm . II. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1. Tính các tích phân sau :  2 a. (ĐH, CĐ Khối A – 2005) I   0 sin 2x  sin x 1  3 cos x dx  b.. ĐH, CĐ Khối B – 2005 . sin 2x cos x dx 1  cos x 0 2 I KQ: 2 ln 2  1 Giải   2  2cos x  1 sinx dx sin 2 x  sin x a. I   dx   1  3cos x 1  3cos x 0 0 2 1  t 2 1 2 cosx= ;s inxdx=- tdt   3 3 Đặt : t  1  3cos x    x  0  t  2; x    t  1   2 2  t 1  2  1 1  2 2 3     2 tdt   2 2t  1 dt  2  1 t 3  t  2  34 Khi đó : I     1 9 t 9  3  3   1 27 2 Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÀI LIỆU THPT HAY    2 2 sin 2 x cos x 2sin x cos 2 x cos 2 x b. I   dx   dx  2 sinxdx 1  cos x 1  cos x c osx+1 0 0 0 2 1   dt=-sinxdx, x=0  t=2;x=  t 1  2  Đặt : t  1  cosx   2  f ( x)dx   t  1 dt   t  2  1  dt    t t   2 1 1 Do đó : I  2 f ( x)dx  2  t  2   dt  2  t 2  2t  ln t   2ln 2  1 2 1 0 2  t 2 1 Ví dụ 2. Tính các tích phân sau  sin 2x 2 I a. ĐH- CĐ Khối A – 2006 . cos x  4sin x 2 0 2 dx KQ: 2 3  cos3x dx sin x  1 0 2 b. CĐ Bến Tre – 2005 . I   KQ: 2  3 ln 2 Giải  sin 2x 2 a. I   dx . Đặt : t  cos2 x  4sin 2 x  t 2  cos 2 x  4sin 2 x cos x  4sin x 2  2tdt   2sin x cos x  8sin x cos x  dx  3sin 2 xdx  sin 2 xdx  tdt  3 Do đó :   x  0  t  1; x    t  2   2 2 0 2  2 Vậy : I   0 2 2 2 tdt 2 2 2 2 f ( x)dx     dt  t  31 t 31 3 1 3  cos3x dx . sin x  1 0 2 b. I   Ta có : cos3x=4cos3 x  3cos x   4cos 2 x  3 cosx=  4-4sin 2 x  3 cosx= 1-4sin 2 x  cosx 1  4sin x  cosxdx 1 cos3x Cho nên : f ( x)dx  dx   1+sinx 1  sinx   dt=cosxdx,x=0  t=1;x= 2  t  2 Đặt : t  1  s inx   1  4  t  12     dt   8  4t  3  dt f ( x ) dx     t t   2  2 3 Vậy : I   f ( x)dx    8  4t   dt  8t  2t 2  3ln t   2  3ln 2 2 2 0 1  t TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1 Page 2 TÀI LIỆU THPT HAY Ví dụ 3. Tính các tích phân sau  2 a. CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005 . I   0  2 I b. CĐ Y Tế – 2006 . sin x  cos x 1  sin 2x  4 sin xdx sin 2 x  2 cos x.cos 2 dx x 2 KQ: ln 2 Giải   2 2   2 sin xdx s inx a. I    2  dx   ln 1  cosx 2  ln 2 x 0 sin x  cos x. 1  cosx  0 1+cosx 0 sin 2 x  2 cos x.cos 2 0 2  2 b. I    4 sin xdx sin x  cosx 1  sin 2x  2 dx    4  2 sin x  cosx sin x  cosx dx  s inx+cosx dx    s inx+cosx  2    1 4     Vì : sinx+cosx= 2 sin  x   ;  x    x   3  sin  x    0 4 4 2 2 4 4 4   Do đó : sinx+cosx  sinx+cosx Mặt khác : d  sinx+cosx    cosx-sinx  dx  2 Cho nên : I     4  d  s inx+cosx  1   ln s inx+cosx 2   ln1  ln 2   ln 2  sinx+cosx 2 4 Ví dụ 4. Tính các tích phân sau  cos 2x 2 a. CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006 . I   0  sin x  cos x  3 3 dx KQ: 1 32 KQ: 1 ln 3 4  b. CĐ KTKT Đông Du – 2006 . cos 2x dx 1  2sin 2x 0 4 I Giải  2 a. I   0 cos 2x  sin x  cos x  3 Cho nên : f ( x)dx  3 dx . Vì : cos 2 x  cos2 x  sin 2 x   cosx+sinx  cosx-sinx  cos2x dx  3  sinx-cosx+3  cosx-sinx  cosx+sinx dx  3   sinx-cosx+3   dt=  cosx+sinx  dx; x  0  t  2, x  2  t  4 Đặt : t  s inx-cosx+3    f ( x)dx  t  3 dt   1  3 1  dt 2 t3 t3  t  TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Page 3 TÀI LIỆU THPT HAY  Vậy : I   f ( x)dx    1 1  1 314 1  3 3  dt     2   2 t t   t 4 t  2 32 2 4 2 0 1  dt  4cos 2 xdx  cos2xdx= dt  cos 2x  4 dx . Đặt : t  1  2sin 2 x   b. I   1  2sin 2x 0  x  0  t  1; x    t  3   4  4  3 3 1 cos2x 1 dt 1 dx    ln t  ln 3 1  2sin 2x 41 t 4 1 4 0 4 Vậy : I   Ví dụ 5. Tính các tích phân sau :  4sin3 x dx 1  cos x 0 2 I a. CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006 . KQ: 2  6 sin 3x  sin3 3x dx b. CĐ Bến Tre – 2006 . I   1  cos3x 0 Giải     2 1  cos2 x 2 4sin3 x 1 2 dx  4  s inxdx=4  1  cosx  s inxdx=4. 1  cosx  2  2 a. I   1  cos x 1  cosx 2 0 0 0 0 2    6 sin 3x  sin3 3x dx . b. I   1  cos3x 0 Ta có : sin 3x  sin3 3x  sin 3x 1  sin 2 3x   sin 3x.cos 2 3x . 1  dt=-3sin3xdx  sin3xdx=dt  3 Đặt : t  1  cos3x    x  0  t  2; x    t  1  6  Vậy : 6  0 1  t  1 1  1 1 1 f ( x)dx    dt    t  2   dt   t 2  2t  ln t 32 t 31 t 3 2 1 2 2 1 1 2  1    ln 2 6 3  Ví dụ 6. Tính các tích phân sau  2 3 a. I =   3 sin 3 x  sin x cot gx dx sin x  2 c. I =   x) b. I = 4 dx    sin(   x) 2 4  2 sin(  2  sin x dx 4 4 4 d. I =  cos 2 x( sin x  cos x)dx 0 0 Giải TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Page 4 TÀI LIỆU THPT HAY a. I =  2 3   3 1   s inx 3 1   sin x  sin x sin 2 x   cot gx dx   cot xdx sin x s inx   2 3 3  2  2 1   3 2   3 1   cot xdx    cot x cot xdx 2 sin x     3 3   sin(  x) 2 cosx-sinx 4 b. I = dx  dx     sin(   x)  cosx+sinx  2 2 4  2  d  cosx+sinx     ln cosx+sinx 2  0   cosx+sinx   2 2  2  2  2 2 1  cos2x  1  1  cos4x   dx   1  2cos 2x   dx 2 4 2   0 0  4  sin x dx    c. I = 0  2  2  1 1 1 3 3 1  3      cos2x+ cos4x  dx   x  sin 2x  sin 4x  2  2 8 4 32  8  0 16 08  2 4 4 1 d. I =  cos 2 x( sin x  cos x)dx . Vì : sin 4 x  cos 4 x  1  sin 2 2 x 2 0 Cho nên :      2 12 1 1  1  I   1  sin 2 2 x  cos2xdx=  cos2xdx-  sin 2 2 x cos 2 xdx  sin 2 x 2  sin 3 2 x 2  0 2 20 2 3  0 0 0 0 2 Ví dụ 7. Tính các tích phân sau  2 a. I =  sin 5 xdx  4 b. I =   sin 6  2 3 0  3 c. I =  tg 2 x  cot g 2 x  2dx  6 1 2 x cot gx dx d. I =  ( cos x  3 sin x )dx 0 Giải TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Page 5 TÀI LIỆU THPT HAY  2  2 0 0  a. I =  sin 5 xdx   1  cos 2 x  2  2 sinxdx=-  1  2cos 2 x  cos 4 x  d  cosx  0  2 3 1 5  2    cosx+ cos x  cos x  2  3 5   0 15  4 b. I =   6 1 sin 2 x cot gx dx . 1 1  2tdt   2 dx  2 dx  2tdt  sin x sin x Đặt : t  cot x  t 2  cot x    x    t  3; x    t  1  6 4 1 3 2tdt 3 Vậy : I     2  dt  2t 2 t 1 1 3   3  3  6  6  3 1  3  t anx-cotx 2 dx   t anx-cotx dx c. I =  tg 2 x  cot g 2 x  2dx   Vì : tanx-cotx=  6 sinx cosx sin 2 x  cos 2 x cos2x    2  2 cot 2 x cosx sinx s inxcosx sin2x     t anx-cotx<0;x   ;        3 3 6 4 Cho nên : x   ;   2 x   ; 2   cot 2 x    ;     6 3 3 3     3 3   t anx-cotx>0;x   ;  4 3     4 3 4    6 4 6 Vậy : I     t anx-cotx  dx    t anx-cotx  dx      3 cos2x cos2x 1 dx   dx  sin2x 2  sin2x 4   ln sin 2 x  4  12  ln sin 2 x  3  ln 2 6 4  2 d. I =  ( 3 cos x  3 sin x )dx (1) 0 Đặt : x   2  t  dx   dt , x  0  t  TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC  2 ;x   2 t 0 Page 6 TÀI LIỆU THPT HAY  2     Do đó : I    3 cos   t   3 sin  t    dt    2   2   0 0   3  2 sin t  3 cost dt    3  sin x  3 cosx dx 2 0 2 Lấy (1) +(2) vế với vế : 2I  0  I  0 Ví dụ 8 . Tính các tích phân sau    3 4 cos6 x  4 dx (NNI-2001)  sin x 2 cos2x a.  tan 4 xdx (Y-HN-2000) b.  dx (NT-2000) c. sinx+cosx+2    0 4 4   sin 2 x 0 cos6 x dx ( GTVT-2000)e. 2 4 d.  1  2sin 2 x 0 1  sin 2 x dx (KB-03) 4 sin 2 x 0 4  cos2 x dx f. Giải  2 sin 4 x 1  cos x  1 1 a.  tan xdx . Ta có : f ( x)  tan x  4   2 1 4 4 cos x cos x cos x cos2 x  2 3 4 4 4     Do đó : I   f ( x)dx    1 1 dx  3 2  1 dx   1  tan 2 x    2 tan x  x  4 2 2  cos x  cos x   cos x  4 4 4 3 3  4 3  1    4    2    3    t anx+ tan 3 x    2 3  2     2 3     2 3  2     3 12   3  12  3 12    4 * Chú ý : Ta còn có cách phân tích khác : f ( x)  tan 4 x  tan 2 x  tan 2 x  1 1  tan 2 x 1  tan 2 x   tan 2 x  tan 2 x 1  tan 2 x    tan 2 x  1  1    3 3 3      4 4 4 4 3 dx dx 2 2 2 2   Vậy : I    tan x 1  tan x    tan x  1  1 dx   tan x. 2   2   dx cos x cos x    1  2  1  3 1 I   tan 3 x  t anx+x    3 3  3      1     3  3 4  3 12 3   3 4  4 b. cos2x  sinx+cosx+2 dx . 0 Ta có : f ( x)   sinx+cosx+9    4 4  cos x  sin x    cosx-sinx  cosx+sinx   2 cos2x 3 2  sinx+cosx+9  3  sinx+cosx+9  3  cosx+sinx   cosx-sinx dx 1   3    0   sinx+cosx+2    Do đó : I   f ( x)dx    0 TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Page 7 TÀI LIỆU THPT HAY   cosx+sinx=t-2.x=0  t=3;x= 4  t  2  2, Đặt : t  s inx+cosx+2   dt   cosx-sinx  dx  f ( x)dx  t  2 dt   1  2 1  dt 2  t3 t3  t Vậy :   1 1 1 1  1 1  22      1  1   2  1 2 I    2  2 3  dt     2      2   t t   t t  3 3   2 2 2 2   3 9 3 2 2    sin t  cost  sin t  cost dt   sin t  cost  cost  sin t dt  f ( x)        sin t  cost+9   sin t  cost+9  2 2     2  cos6 x  4 dx  sin x 2 c. 4 2 cos6 x 1  sin x  1  3sin 2 x  3sin 4 x  sin 6 x 1 1 Ta có : f ( x)  4    4  3 2  3  sin 2 x 4 4 sin x sin x sin x sin x sin x 3   Vậy : I   1  cot 2 x  2    2 dx dx  1  cos2x   3  3 dx    dx 2 2    sin x  sin x  2   4 2 2 4 4 4  1 1 5 23  1     cot 3 x  3cot x  3x  x  sin 2 x  2   2 4 8 12  3  4      4 sin x 1  cos x 1  1 1 dx  1 2 dx  dx   dx  dx  0 cos6 x 0 cos6 x 0  cos6 x cos4 x  0 cos4 x cos2 x 0 1  tan x  cos2 x 4 d. 2 2 4  4 4    4 4 4 1 1 2 2 4   1  tan 2 x  dx  1  tan x dx  1  2 tan x  tan x d tan x     1  tan 2 x  d  t anx      2 2   cos x cos x 0 0 0 0 4 2   2 1 1 1 8   1    t anx+ tan 3 x  tan 5 x  t anx- tan 3 x  4   tan 3 x  tan 5 x  4  3 5 3 5   0 3  0 15      2 2 2 d  7  cos2x  sin 2 x sin 2 x 2sin 2 x 3 dx  dx  dx     ln 7  cos2x 2  ln e.  2    1  cos2x 4  cos x 7  cos2x 7  cos2x 4 0 0 4 0 0 0 2 2     1  2sin x cos2 x 1 4 d 1  sin 2 x  1 1 dx   dx    ln 1  sin 2 x 4  ln 2 f.  1  sin 2 x 1  sin 2 x 2 0 1  sin 2 x 2 2 0 0 0 4 2 4 TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Page 8 TÀI LIỆU THPT HAY Ví dụ 9. Tính các tích phân sau :   2 2 a.  sin 3 x cos 4 xdx b. 0 sin 3x  1  2cos3x dx 0   6 sin 2 x cos 2 x c. I   dx  J   dx  K  0 s inx+ 3cosx 0 s inx+ 3cosx 6 5  3 cos2x dx 3 s inx  cosx- 3 2 Giải    a.  sin 3 x cos4 xdx   1  cos2 x  cos4 x.sinxdx    cos6 x  cos 4 x  d  cosx  2 2 2 0 0 0  1 2 1    cos 7 x  cos5 x  2  5 7  0 35   2 2   sin 3x 1 3sin 3x 1 2 d 1  2 cos 3x  1 1 dx    dx       ln 1  2 cos 3x  2  ln 3 b.  1  2cos3x 6 0 1  2 cos 3x 6 0 1  2 cos 3 x 6 6 0 0    sin x  cos x 1 1 16 1 dx   dx   dx  201 20  3 0 s inx+ 3cosx sin  x   s inx+ cosx 3  2 2   x   d  tan     1 1 1 1  2 6    .   Do :   x    x  x  x  sin  x   2sin    cos  x+  tan    2cos 2    tan    3 6  2 6  2 6 2 6 2 6   x    d  tan      6 1 1 1 x   2 6  1   ln tan    6  ln 3  ln 3 (1) Vậy : I   20 2 4 x  2 6 0 2 tan    2 6 6 c. Ta có : I  J   2 2 6      6 sin x  3cosx sin x  3cosx sin x  3cos x dx   dx sinx+ 3cosx 0 sinx+ 3cosx 0 6 - Mặt khác : I  3J   2  2  Do đó : I  3J    s inx- 3cosx  dx   cosx- 3 s inx  6  1  3 (2) 6 0 0  3 3 1 1   I  ln 3  I  J  ln 3  16 4 4  Từ (1) và (2) ta có hệ :   3  I  3J  1  3  J  1 ln 3  3  1   16 4     Để tính K ta đặt t  x  3  dt  dx  x  3 ; t  0.x  5  t  2 2 3 6 TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Page 9 TÀI LIỆU THPT HAY   6 cos  2t+3  0     cos  t+3   3 sin  t+3  2 2   Vậy : K   cos2t 1 3 1 dt  I  J  ln 3  8 2 0 sint+ 3cost 6 dt    Ví dụ 10. Tính các tích phân sau .   4 2 1 0 1  sin 2 x dx ( CĐ-99) a. b. 0   10 10 4 4  sin x  cos x  sin x cos x  dx (SPII-2000) d. 2 c. dx  2  s inx+cosx (ĐH-LN-2000) 0 3 1 dx (MĐC-2000)   s inxsin  x+  6 6    Giải    4 4 4 1 1 dx   dx   a.  2 1  sin 2 x 0 0  s inx+cosx  0  1   dx  tan  x   4  1  4   2 cos 2  x   0 4   2 b. dx  2  s inx+cosx . 0 x 2 Đặt : t  tan  dt  1 1 x 2 cos 2 2 1 x 2dt  dx  1  tan 2  dx;  dx  ; x  0  t  0, x   t  1 2 2 2 1 t 2 1 1 1 2 2dt 2dt Vậy : I   . dt   2    2 2 2 2t 1  t 1  t  t  2t  3 0  t  12  2 0 0 2  1 t2 1 t2  1 2 du; t  0  tan u  ; t  1  tan u  2 dt  2 2 cos u 2  Đặt : t  1  2 tan u   2dt 2 2  f (t )dt   du  2du 2 2  cos 2u 2 1  tan u t  1  2      u2   u 2 Vậy : I   2du  2u 2  2  u2  u1   2  arxtan  arctan 2  u1 2 u1     sin 2 c. 10 x  cos10 x  sin 4 x cos 4 x  dx 0 Ta có : sin10 x  cos10 x  sin 4 x cos4 x sin 2 x  cos2 x    cos4 x  sin 4 x  cos6 x  sin 6 x    cos2 x  sin 2 x  cos2 x  sin 2 x  cos4 x  sin 4 x  cos2 x sin 2 x  1 1  cos4x 1  cos8x 15 1 1  1   cos2 2 x 1  sin 2 2 x   cos2 2 x  sin 2 4 x     cos4x+ cos8x 16 2 32 32 2 32  4     2 1 15  1 1 15  15 1   sin 4 x 2  sin 8 x 2  Vậy : I     cos4x+ cos8x  dx  32 2 32 32 2 8 32.8 64  0 0 0 TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Page 10 TÀI LIỆU THPT HAY  3 d. 1 dx .   s inxsin  x+  6 6           1 Ta có :  x    x   sin  x    x   sin  x   cosx-sinxco  x   = *  6 6 6 2        1 sin  x   cosx-sinxco  x   1 6 6  2 Do đó : f ( x)  2 2        s inxsin  x+  s inxsin  x+  s inxsin  x+   6  6  6         cos  x+  cos  x+   3 3  cosx cosx 6 6        I   f ( x)dx  2    dx  2  ln s inx  ln sin  x+     sinx    6    sinx  sin  x   sin  x     6 6 6 6      s inx 3 1 2 3 3 I  2 ln  ln  ln .  2 ln 2 2 3 2    sin  x+  6 6  6  6  3  6 * Chú ý : Ta còn có cách khác f(x)= 1 1      3  sin 2 x 1 s inxsin  x+  s inx  s inx+ cosx   6 2  2    3 3 Vậy : I    2 1 dx    2 3  cot x sin x  6 6 2d   3  cot x 3  cot x   2 3  cot x     2ln 3  cot x 3   2ln 3 2 6 Ví dụ 11. Tính các tích phân sau   sinxcos3 x a.  dx (HVBCVT-99) 1  cos 2 x 0 2 2 b.  cos2 x cos2 2 xdx ( HVNHTPHCM-98) 0   4 c. 4 sin 4 x 0 cos6 x  sin 6 x dx (ĐHNT-01) d. dx  cos x 4 (ĐHTM-95) 0 Giải:   sinxcos3 x 1 2 cos 2 x a.  dx   (sin 2 x)dx 1  cos2 x 2 0 1  cos2 x 0 2 1 dt  2sin x cos xdx   sin 2 xdx  Đặt : t  1  cos x   2  cos x  t  1; x  0  t  2; x  2  t  1 1 2 2 ln 2  1 1  t  1 1 1  1 Vậy : I    dt       1 dt   ln t  t   1 22 t 2 1t  2 2 2 TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Page 11 TÀI LIỆU THPT HAY  2 b.  cos2 x cos2 2 xdx . 0 1  cos2x 1  cos4x 1 .  1  cos2x+cos4x+cos4x.cos2x  2 2 4 1 1 1 1  1 3  1  cos2x+cos4x+  cos6x+cos2x     cos2x+ cos4x+ cos6x 4 2 4 8  4 8 Ta có : f ( x)  cos 2 x cos 2 2 x    1 3 1 1 1 3 1 1  Vậy : I     cos2x+ cos4x+ cos6x  dx   x  sin 2 x  sin 4 x  sin 6 x  2  4 8 4 8 16 16 48  4  0 8 0 2  4 sin 4 x  cos x  sin x dx . Vì : d  sin x  cos x    6sin c. 6 6 0 6 6 5 x cos x  6cos5 x sin x  dx  6sin x cos x sin 4 x  cos 4 x   d  sin 6 x  cos6 x   3sin 2 x  sin 2 x  cos2 x  sin 2 x  cos2 x  dx  3sin 2 x cos 2 xdx 3 2   sin 4 xdx  sin 4 xdx   d  sin 6 x  cos 6 x  2 3    6 6 sin 4 x 2 4 d  sin x  cos x  2 4 6 6 dx      ln  sin x  cos x  4  ln 2 Vậy :  6 6 6 6 cos x  sin x 3 0  sin x  cos x  3 3 0 0 4     4 4 dx 1 dx 1 4    1  tan 2 x  d  t anx    t anx+ tan 3 x  4  d.  4   2  2  cos x 0 cos x cos x 0 3   0 3 0 4 Ví dụ 12. Tính các tích phân sau .   4 a.  sin11 xdx ( HVQHQT-96) b.  sin 2 x cos4 xdx (NNI-96) 0 0   4 c.  cos2 x cos 4 xdx (NNI-98 ) d.  1  cos2x dx (ĐHTL-97 ) 0 0 Giải:  a.  sin11 xdx 0 Ta có : sin11 x  sin10 x.sinx= 1-cos2 x  sinx= 1-5cos2 x  10cos3 x 10cos 4 x  5cos5 x  cos6 x  sinx 5  Cho nên : I   1-5cos2 x  10cos3 x  10cos4 x  5cos5 x  cos6 x  s inxdx 0 5 5 5 1   118   cos7 x  cos6 x  2cos5 x  cos4 x  cos3 x  cosx   6 2 3 21 7 0 TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Page 12 TÀI LIỆU THPT HAY  4 b.  sin 2 x cos4 xdx 0 Hạ bậc :  1  cos2x  1  cos2x  1 2 sin x cos x      1  cos2x  1  2cos 2 x  cos 2 x  2 2 8    1  1  2 cos 2 x  cos 2 2 x  cos2x-2cos 2 2 x  cos 3 2 x  8 1 1 1+cos4x  1+cos4x    1  cos2x-cos2 2 x  cos3 2 x   1  cos2x cos2x   8 8 2 2   1 1 cos6x+cos2x   1  cos2x-cos4x+cos4x.cos2x   1  cos2x-cos4x+  16 16  2  1  2  3cos 2 x  cos6x-cos4x  32 2 2 4   1 1 3 1 1  sin 6 x  sin 4 x  4  Vậy I    2  3cos 2 x  cos6x-cos4x  dx   x  sin 2 x  32 64 32.6 32.4  32  0 0 4  2    2 d.  1  cos2x dx   2cos xdx  2  cosx dx  2   cosxdx   cosxdx   0 0 0 0   2       2  s inx 2  s inx    2 1  1  2 2  0 2      III. MỘT SỐ CHÚ Ý QUAN TRỌNG 1. Trong phương pháp đổi biến số dạng 2. * Sử dụng công thức : b  0 b f ( x)dx   f (b  x)dx 0 Chứng minh : x  0  t  b x  b  t  0  Đặt : b-x=t , suy ra x=b-t và dx=-dt ,    Do đó : b 0 b b 0 b 0 0  f ( x)dx   f (b  t )(dt )   f (b  t )dt   f (b  x)dx . Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số Ví dụ : Tính các tích phân sau   2 a. 2 4sin xdx 5cos x  4sin x 0   s inx+cosx      s inx+cosx  3 4 c.  log 2 1  t anx  dx 0 TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC b. 3 dx 0 sin 6 x d.  6 dx sin x  cos6 x 0 2 Page 13 TÀI LIỆU THPT HAY  1 sin 4 x cos x f.  3 dx sin x  cos3 x 0 2 e.  x 1  x  dx n m 0 Giải:  2 a. I   0 4sin xdx  s inx+cosx  .(1) . Đặt : 3    dt  dx, x  0  t  2 ; x  2  t  0       4sin   t  t   x  x  t   4 cos t 2  2 2  f ( x)dx  dt    dt  f (t )dt 3  3 cost+sint          sin  2  t   cos  2  t         Nhưng tích phân không phụ thuộc vào biến số , cho nên :  0 2  0 I   f (t )dt   4cosx  sinx+cosx  3  2 dx 2  2 Lấy (1) +(2) vế với vế ta có : 2 I   4  s inx+cosx  0   s inx+cosx  3  2 dx  I  2  0 1  s inx+cosx  2 dx  1    I  2 dx  tan  x   2  2  4  0 2 cos 2  x  0   4  2  2 b. I   0 5cos x  4sin x  s inx+cosx  3 dx . Tương tự như ví dụ a/ ta có kết quả sau :  2 I  0  5cos x  4sin x  s inx+cosx  3 0 dx    5sin t  4 cos t   cost+sint  3 2 dt   0 5sin x  4cosx  s inx+cosx  3 dx  2 2  2 Vậy : 2 I   0   s inx+cosx  2  1 1  1  dx   dx  tan  x   2  1  I   2 4 2  0 2 cos 2  x  0   4  2 1  4 c.  log 2 1  t anx  dx . Đặt : 0    dx  dt , x  0  t  ; x   t  0  4 4    t   x  x  t   4 4  f ( x)dx  log 2 1  t anx  dx  log 2 1  tan    t    dt    4   TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Page 14 TÀI LIỆU THPT HAY Hay: f (t )  log 2 1   1  tan t  2  dt   log 2 2  log 2 t   dt   log 2 1  tan t  1  tan t   4 4 0 0 0  Vậy : I   f (t )dt   dt   log 2 tdt  2 I  t 4   0 4  4 I  8  sin 6 x dx (1) 6 6 sin x  c os x 0 2 d. I      sin 6   t  2 cos6 x 2  d  t   6    6      0 cos6 x  sin 6 x dx  I (2)  sin   t   cos   t  2 2  2     2 2 cos6 x  sin 6 x   dx   dx  x 2   I  Cộng (1) và (2) ta có : 2 I   6 6 cos x  sin x 2 4 0 0 0 0 1 e.  x m 1  x  dx . Đặt : t=1-x suy ra x=1-t . Khi x=0,t=1;x=1,t=0; dt=-dx n 0 0 1 1 0 0 Do đó : I   1  t  t n (dt )   t n (1  t )m dt   x n (1  x)m dx m 1 MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN  2 1.  2 4 4sin x 0 1  cosx dx 2.  sinxcos3 x 3.  dx 2 1  c os x 0  x  s inx dx ( HVNHTPHCM-2000 ) cos 2 x 3 2 5.  x5 1  x (XD-98 ) 0  1 cosx+2sinx  4cos x  3sin x dx 4.  0  x sin x 0  2  cos x dx   3 6 dx (ĐHKT-97 ) 6. 2 ( AN-97 ) 0 1  s inx  8.  ln   dx ( CĐSPKT-2000 )  1+cosx  0 4 2 sinx+2cosx 7.  dx ( CĐSPHN-2000) 3sin x  cosx 0   x sin x dx (ĐHYDTPHCM-2000 ) 9.  9  4cos 2 x 0  * Dạng : I    sin 4 x cos x 10.  3 dx sin x  cos3 x 0 2 asinx+bcosx+c dx a 's inx+b'cosx+c' Cách giải : TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Page 15 TÀI LIỆU THPT HAY  Ta phân tích : asinx+bcosx+c   a 's inx+b'cosx+c' dx  A  B  a ' cosx-b'sinx  C  a 's inx+b'cosx+c' a 's inx+b'cosx+c' - Sau đó : Quy đồng mẫu số - Đồng nhất hai tử số , để tìm A,B,C . - Tính I :  B  a ' cosx-b'sinx   C I   A  a 's inx+b'cosx+c' a 's inx+b'cosx+c'     dx dx  Ax+Bln a 's inx+b'cosx+c'  C        a 's inx+b'cosx+c' VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ . Tính các tích phân sau :   2 4 s inx-cosx+1 a.  dx ( Bộ đề ) s inx+2cosx+3 0 b. cosx+2sinx  4cos x  3sin x dx ( XD-98 ) 0  2 c. sinx+7cosx+6 0 4sin x  3cos x  5 dx d.  2 4 cos x  3sin x  1 dx  0 4 sin x  3cos x  5 Giải:  2 a. s inx-cosx+1  s inx+2cosx+3 dx . Ta có : 0 f ( x)  B  cosx-2sinx  s inx-cosx+1 C  A  s inx+2cosx+3 s inx+2cosx+3 s inx+2cosx+3 1 Quy đồng mẫu số và đồng nhất hệ số hai tử số : 1  A   5  A  2B  1  A  2 B  s inx+  2A+B cosx+3A+C   3   f ( x)   2 A  B  1   B   . Thay vào (1) s inx+2cosx+3 5 3 A  C  1   4  C  5      3 2 d  s inx+2cosx+3 4 2 1  3 4  1 I      dx     dx    ln s inx+2cosx+3 2  J 5 5 0 s inx+2cosx+3 5 0 s inx+2cosx+3 10 5 5 0 0  3 4 4 I    ln  J  2  10 5 5 5 2 - Tính tích phân J : 1 dx   ; x  0  t  0, x   t  1 dt  2 x 2 cos 2  1 x  2dt 2 Đặt : t  tan   . (3) J  2 1 2dt 2dt 2  t  1  2   0 f ( x)dx    2t 1 t2 1  t 2 t 2  2t  3 2 3  1 t2 1 t2 TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Page 16 TÀI LIỆU THPT HAY  du 2 .t  0  tan u   u1; t  1  tan u  2  u2 dt  2 2 cos u 2  Tính (3) : Đặt : t  1  2 tan u   1 2du 2  du  f (t )dt  2 2 c os u 2  cos 2u   2 u2 2 2  3 4 4 2  tan u1  Vậy : j=  du   u2  u1   I  I    ln   u2  u1   2 2 2 10 5 5 5 2 u  tan u  2  2  B  3cos x  4sin x  cosx+2sinx C  A   1 4cos x  3sin x 4cos x  3sin x 4cos x  3sin x 0 2 1 Giống như phàn a. Ta có : A  ; B   ;C=0 5 5   4  2 1  3cos x  4sin x   1  1 4 2 2  Vậy : I      dx   x  ln 4 cos x  3sin x  4   ln 5 5 4 cos x  3sin x  5 7 5  0 10 5 0 4 b. cosx+2sinx  4cos x  3sin x dx; f ( x)  Học sinh tự áp dụng hai phần giải trên để tự luyện . BÀI TẬP   2 3 1.   sin 3 x  s inx cot x dx sin 3 x 3cosx  4sin x dx 2 2 x 2 2.  3sin x  4cos 0 3     cos x  sin x  dx 3. 5 1  sin 2 x sin x dx sin 2 x 2 2 5 4. 0   6   4 5. 2 sinx-cosx dx 1  sin 2 x  0  2 sinxcosx  a cos x  b sin x 2 0  2 2 2 dx  a, b  0  3 8.  tan 6 xdx 0 ln  s inx   cos2 x dx 0  cos4x.cos2x.sin2xdx 10.  6  2   sin  x   4  dx . (KB-08) 12.  sin 2 x  2 1  s inx+cosx  0  6 4 tan x dx . ( KA-08) cos2x 0 11.  4     cos x  1 cos xdx 2 13. 3 x cos 3xdx 2 3 9. 4   7.  15sin 6. 2 2 4 . (KA-09 ) 0 TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 14.  0 x sin x   x  1 cosx dx . (KA-2011 ) x sin x  cosx Page 17 TÀI LIỆU THPT HAY   1  x sin x 15.  dx . (KB-2011) 2 c os x 0 3 2 16. 0  sin 2 x cos 2 x  4sin 2 x dx . (KA-06)  x sin 2 x 0 sin 2 x cos2 x dx . CĐST-05) 3 17.  sin 2004 x 0 sin 2004 x  cos2004 x dx .( CĐSPHN-05) 2 18.   sin 3x  sin3 x 19.  dx . ( CĐHY-06) 1  c os3x 0 3 6 20. dx . CĐSPHN-06)   s inxsin  x+  6  3    21.  sin 2 x 1  sin2 x  dx . ( CĐKT-06) 2 3 0 TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Page 18
- Xem thêm -