Tài liệu Tích phân hàm lượng giác

  • Số trang: 72 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 73 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 20010 tài liệu

Mô tả:

www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI SỐ TRONG TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC  Dạng 1: Tính tích phân dạng I   f  cos x  .sin x dx đặt t  cos x  dt   sin dx  Bài tập giải mẫu:  2 2 Bài 1: (ĐHTS – 1999) Tính tích phân sau I   sin x cos x 1  cos x  dx 0 Giải: Cách 1: Ta có:  2 2  2  2 0 0 I   sin x cos x 1  cos x  dx   sin x cos x 1  2cos x  cos 2 x  dx    cos x  2cos 2 x  cos 3 x  .sin xdx 0 Đặt t  cos x  dt   sin xdx x  0 t  1  Đổi cận    t  0  x  2 Khi đó 0 1  t 2 2t 3 t 4  1 17 I     t  2t 2  t 3  dt    t  2t 2  t 3  dt       3 4  0 12 2 1 0 Cách 2:  2 2  2  2 0 0 I   sin x cos x 1  cos x  dx   sin x cos x 1  2 cos x  cos 2 x  dx     cos x  2 cos 2 x  cos3 x  .d  cos x  0  cos 2 x 2 cos 3 x cos 4     3 4  2  x 17  2   0 12 Cách 3: sin xdx   dt Đặt t  1  cos x   … bạn đọc tự giải (cách này là dễ nhất) cos x  t  1 Cách 4: du   sin xdx u  cos x  3 Đặt   2 2 1  cos x   d v  sin x 1  cos x dx   1  cos x d 1  co s x       v     3 Khi đó www.MATHVN.com 1 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.MATHVN.com  Gmail: Loinguyen1310@gmail.com   1 12 2 12 3 3 3 I   cos x. 1  cos x  2   sin x 1  cos x  dx    1  cos x  d 1  cos x  3 30 3 30 0  2 1 17 4   1  cos x  2  3 12 12 0  2 Bài 2: Tính tích phân sau I    3 dx sin x Giải: Cách 1: Nhân cả tử và mẫu cho sin x ta được  2 I dx  2  sin x    3  3  2 sin xdx sin xdx  2 sin x  1  cos 2 x 3 Đặt t  cos x  dt   sin xdx   t  0  x  2  Đổi cận   1 x   t  2  3 Khi đó 0 1 2 1 2 1 2 1 2  dt dt 1  1 1  1 dt 1 dt     dt       2 2 2 1  t 1  t 2 t  1 2 0 t 1 1  t   1 1 t 0 0 0 I 2 1 1 1    ln t  1  ln t  1  2  ln 3 2 2 0 Cách 2: x 1 x  2dt 1 Đặt t  tan  dt   tan 2  1 dx  dx  2  dx  2 2 2  t 1 sin x 1 2tdt 1 .  dt 2t 1  t 2 t 1 t2    x  3  t  3 Đổi cận   3  x  t  1   2 www.MATHVN.com 2 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498  2 1 dx  Khi đó I    sin x 3 1 1  t dt   ln t  3 3 1 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 3 1  ln 3. 3   ln 3 2 3 Cách 3: x   d  tan  dx dx dx x 2 1 2 I  dx      ln tan  ln 3 x x x x x 2  2 2  sin x    2 sin cos 2 tan cos tan 3 3 3 2 2 2 2 3 2 3 Cách 4: I  2  2  2  2 dx  sin x    3   3  2  2  2  2 3 3 sin xdx sin xdx 1 1  cos x   1  cos x     d  cos x  2 2 2  1  cos x 1  cos x  sin x  1  cos x  2  2  2 3 3 3 1  1 1 1 1 1 1   d 1  cos x    d 1  cos x    d  cos x      2   1  cos x 1  cos x  2  1  cos x 2  1  cos x   1 1 1   ln 1  cos x 2  ln 1  cos x 2  ln 3  2  2 2 3 3 Cách 5: u  sin x du  cos xdx  Đặt  …. Bạn đọc tự giải nhé dx   v   cot x dv  sin 2 x  2 Bài 2: (ĐH – A 2005) Tính tích phân sau I   0 sin 2 x  sin x 1  3cos x dx Giải: Cách 1: Ta có: sin 2 x  sin x  sin x  2 cos x  1 . Đặt t  1  3cos x ta được dt  3sin x 2 1  3cos x t 1 2t  1 cos x   2 cos x  1  3 3 x  0 t  2  Đổi cận    t  1  x  2 Khi đó 2 www.MATHVN.com dx  sin x 1  3cos x dx   2dt ; 3 2 3 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 2  4t 2 2  2  2 34  4 I     dt   t 3  t   9 9 9  1 27  27 1 Cách 2: Đặt t  1  3cos x … bạn đọc tự giải Cách 3: u  2 cos x  1 du  2 sin x   Đặt  d 1  3cos x    2 sin x dx   dv  v   3 1  3cos x 1  3cos x 3 1  3cos x  Khi đó    2 42 2 42 I    2 cos x  1 1  3cos x 2   sin x 1  3cos xdx    1  3cos xd 1  3cos x  3 30 3 90 0 2 8   3 27 1  3cos x  3  34 2 27 0 Cách 4: Phân tích 2 1 1  3cos x   1 2 cos x  1 1 3 3 d 1  3cos x   dx   . d 1  3cos x    . 3 1  3cos x 3 1  3cos x 1  3cos x 2 1   1  3cos xd 1  3cos x   d 1  3cos x  9 9 1  3cos x … Đến đây thì quá dễ rùi, bạn đọc tự làm nhé Chú ý: Nếu ta đặt t  cos x thì tích phân ban đầu trở thành tích phân hàm hữu tỷ lại phải đặt lần nữa mất công nên ta lựa chọn cách nào là phù hợp nhất   a. sin 2 x  b sin x a.sin 2 x  bcosx Tổng quát:  dx hoặc  dx ta đặt c  d cos x  t . c  d cos x c  d s inx   sin 2 x  sin x  2 sin 2 x.cos x dx 1  cos x 0 Bài 3: (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau I   Giải: Cách 1:  2  2 sin 2 x.cos x sin x.cos 2 x dx  2  dx 1  cos x 1  cos x 0 0 Ta có I   dt   sin xdx Đặt t  1  cos x   cos x  t  1 www.MATHVN.com 4 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498   t  1 x  Đổi cận  2  t  2  x  0 Khi đó 2 1 2  t  1  t2 1  I  2  dt  2   t  2   dt  2   2t  ln t t 2 2 1 Cách 2:  2  2 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 2 t   2 ln 2  1 1  2 1  cos 2 x   1 sin 2 x.cos x sin x.cos x  d cos x I dx  2  dx  2     1  cos x 1  cos x 1  cos x 0 0 0 2  2    1 cos 2 x    2  1  cos x   ln 1  cos x  2  2ln 2  1  d  cos x    sin x  1  cos x 2    0 0 Chú ý: d  cos x   d 1  cos x  và ta có thể đặt t  cos x  Tổng quát: I    a sin 2 x.cos x dx ta đặt t  b  c.cos x hoặc t  cos x b  c.cos x  2 4sin 3 x dx 1  cos x 0 Bài 4: (Đề 68 IVa) Tính tích phân sau I   Giải: 4 sin 3 x 1  cos x  4 sin 3 x 1  cos x  4sin 3 x Ta có    4 sin x  4 sin x cos x  4 sin x  2 sin 2 x 1  cos x 1  cos x 1  cos x  sin 2 x Cách 1:  2 3 4sin x Khi đó I  I   dx  1  cos x 0  2  0  4sin x  2sin 2 x  dx   cos 2 x  4cos x  2  2 0 Cách 2:  2 0 I  2 0 3 4sin x dx   1  cos x  2  2   2  4sin x  4sin x cos x dx  4  sin xdx  4  cos xd  cos x   4cos x 2  2cos x 2  2 0 0 0 0 Cách 3:  2  2 4 1  cos 2 x  sin x 4sin x I dx   dx 1  cos x 1  cos x 0 0 3  dt  sin xdx Đặt t  1  cos x   cos x  t  1 www.MATHVN.com 5 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.MATHVN.com Gmail: Loinguyen1310@gmail.com   t  1 x  Đổi cận  2  t  2  x  0 2 1 4 1   t  1  2 2  Khi đó I     dt    4t  8  dt   2t 2  8t   2 1 t 2 1 Chú ý: Có thể đặt t  cos x Cách 4:  dt dx   x 2t  Đặt t  tan  sin x  2 1 t2   1  t2 cos x   1 t2  Chú ý: Nếu ta phân tích theo hướng sau 4sin 3 x 4sin x (1  cos x )(1  cos x )   4sin x  2sin 2 x … lại có mấy cách khác, bạn đọc tự làm và khám 1  cos x 1  cos x phá nhé!  2 4 cos3 x Tương tự I   dx  2 1  sin x 0  12 Bài 5: Tính tích phân sau I   tan 4 xdx 0 Giải: Cách 1:  12 Ta có:  12 sin 4 x  tan 4 xdx   cos 4 x dx 0 0 Đặt t  cos 4 x  dt  4sin 4 xdx  sin 4 xdx   dt 4 x  0 t  1   Đổi cận    1  x  12 t  2  12  12 1 2 1 1 sin 4 x 1 dt 1 dt 1 1 Khi đó I   tan 4 xdx   dx       ln t 1  ln 2. cos 4 x 41 t 41 t 4 4 0 0 2 2 Cách 2: www.MATHVN.com 6 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498  12 I  12  tan 4 xdx   0 0 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com   sin 4 x 1 12 d  cos 4 x  1 1 dx      ln cos 4 x 12  ln 2 cos 4 x 4 0 cos 4 x 4 4 0  2 cos 3 x dx  1  sin x Bài 6: Tính tích phân sau I   4 Giải:  2 3  2  2 2 1  sin x  cos xdx  2 cos x cos x dx   cos xdx    1  sin x  1  sin x  1  sin x I 4 4  2  1  sin x  cos xdx  4 4 Đến đây ta đặt t  1  sin x Hoặc  1 1 3 2 2   I    cos x  cos x sin x dx   cos xdx   sin 2 xdx   sin x  sin 2 x  2  2 4 4     4 4 4 4  2  2  2 Bài tập tự giải có hướng dẫn:  2 3sin x  4 cos x  3 dx   ln 3 2 2 6 0 3sin x  4 cos x Bài 1: (ĐHTL – 2000) Tính tích phân: I   HD:  2  2 sin x cos x Tách làm hai tích phân I  3 dx  4 dx kết hợp với công thức 2 2  2 2 3sin x  4cos x 3sin x  4 cos x 0 0 sin 2 x  cos2 x  1 ta sẽ được kết quả  2 3cos x  4sin x dx 2 2 0 3sin x  4 cos x Cách khác: Sử dụng tích phân liên kết là J    3 Bài 2: (DBĐH – A 2005) Tính tích phân sau I   sin 2 x.tan xdx  ln 2  0 3 8 HD: Ta có sin 2 x. tan x  1  cos 2 x  sin x và đặt t  cos x cos x  2 sin 3 x dx  1  3ln 2 1  cos x 0 Bài 3: (ĐHQG HCM – B 1997) Tính tích phân sau I   HD: www.MATHVN.com 7 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498  2  Gmail: Loinguyen1310@gmail.com  2 2 sin x 4 cos 2 x  1  dx và đặt t  1  cos x sin 3 x 3sin x  4sin 3 x Ta có I   dx   dx   1  cos x 1  cos x 1  cos x 0 0 0  2 sin 3 x  dx   1 2 2 0 1  cos x Bài 4: (ĐHQGHN – A 1997) Tính tích phân sau I   HD: sin 3 x 1  cos2 x Ta có  sin x và đặt t  cos x 1  cos2 x 1  cos 2 x  2 Bài 5: Tính tích phân sau I   sin x x 0 sin x  2 cos x.cos 2 2 dx  ln 2 2 HD: Ta có sin 2 x  2 cos x.cos 2 x  sin 2 x  cos x 1  cos x   1  cos x và đặt t  1  cos x 2  2 cos 2 x  dx   1 1  cos x 2 0 Bài 6: (ĐHNN І – B 1998) Tính tích phân: I    6 sin 3 x  sin 3 3 x 1 1 dx    ln 2 1  cos 3 x 6 3 0 Bài 7: Tính tích phân: I   HD: Phân tích sin 3x  sin 3 3x  sin 3x 1  sin 2 3 x   sin 3x.cos 3x và đặt t  1  cos 3 x  2 Bài 8: (ĐHDB – 2004) Tính tích phân sau: I   ecos x sin 2 xdx  2 0 HD: Sử dụng công thức nhân đôi sin 2 x  2 sin x cos x và đặt t  cos x  4 1 Bài 9: (ĐHDB – 2005) Tính tích phân sau: I    tan x  esin x cos x dx  ln 2  e 2 1 0 HD: Tách ra thành tổng hai tích phân đơn giản  2 Bài 10: (ĐH – D 2005) Tính tích phân sau: I    esin x  cos x  cos xdx  e  0  1 4 HD: Tách ra thành tổng hai tích phân đơn giản  2 Bài 11: (TN – 2005) Tính tích phân sau: I   0 www.MATHVN.com sin 2 x dx 4  cos 2 x 8 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498  3 Bài 12: Tính tích phân sau: I   2sin 2 x  sin x 6 cos x  2 0 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com dx HD: Đặt t  6 cos x  2 hoặc t  6 cos x  2  4  4 1  cos 2 x  sin x  4sin x Bài 13: (HVKTQS – 1996) Tính tích phân sau: I   dx  4  dx 4 1  cos 4 x 0 1  cos x 0 HD: Đặt t  cos x  2 cos x Bài 14: Tính tích phân sau: I   1  cos 2 x 0 dx  3  4 HD: Phân tích 1  cos 2 x  2  sin 2 x từ đó đặt t  sin x  2 sin 4 x 3 dx  2  6 ln 2 4 0 1  cos x Bài 15: Tính tích phân sau I   HD: Phân tích sin 4 x 2sin 2 x cos 2 x  và đặt t  3  cos 2 x hoặc t  cos 2 x 2 1  cos 2 x 1  cos x 1 2 b Dạng 2: Tính tích phân dạng I   f sin x .cos xdx đặt u  sin x  du  cos xdx a Để tính tích phân dạng  a.sin 2 x  b.sin x c  d .cos x dx ta đổi biến bằng cách đặt t  c  d .cos x Bài tập giải mẫu:  4 1  2sin 2 x Bài 1: (ĐH – B 2003) Tính tích phân sau I   dx 1  sin 2 x 0 Giải: Cách 1:  4 Ta có I  2 1  2sin x  4 cos 2 x  1  sin 2 x dx   1  sin 2 x dx 0 0 Đặt 1  sin 2 x  t  cos 2 xdx  www.MATHVN.com dt 2 9 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com   t  2 x  Đổi cận  4  t  1  x  0 2 2 1 1 dt 1 Khi đó I    ln t  ln 2 1 2 21 t 2 Hoặc đặt sin 2x  t Cách 2:  4  4  '  cos 2x 1 1  sin 2 x  1 4 d (1  sin 2 x ) 1 1 I dx   dx    ln 1  sin2 x  4  ln 2 1  sin 2 x 2 0 1  sin 2 x  2 0 1  sin 2 x 2 2 0 0 Cách 3: 2 Biến đối 1 – 2 sin 2 x   cos x  sin x  cos x – sin x  và 1  sin 2 x   cos x  sin x   4  4  4  d  cos x  sin x  1  2sin x cos x  sin x 1 I dx   dx    ln cos x  sin x 4  ln 2 1  sin 2 x cos x  sin x cos x  sin x 2 0 0 0 0 Hoặc đặt t  sin x  cos x 2  3 Bài 2: Tính tích phân sau I 2   0 cos x 2  cos 2 x dx Giải: Đặt t  sin x  dt  cos xdx t  0 x  0   Đổi cận    3 x  t   3  2  3 Khi đó I 2   0 cos x 2  cos 2 x 3 2 dx   0 dt 3  2t 2  1 2 3 2  0 dt 3 2 t 2 3 3 cos u  dt   sin udu 2 2   t  0 u    2 Đổi cận  3  t  u    2  4 Khi đó Đặt t  www.MATHVN.com 10 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 I 1 2 3 2 dt  3 2 t 2 0  3 sin udu 2  2 1  2  4 3 1  cos 2 u   2   2  4 1 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 1  du  2 2  4  u  4 2  4 Chú ý: 3 cos u thì bài toán sẽ nhanh hơn 2 Ta có thể dùng một bước đặt là sin x  Bài 3: Tính tích phân sau I   cos 3 x dx sin x Giải: 3 cos 3 x 4 cos x  3cos x I dx   dx   sin x sin x  4 cos 2 x  3 sin x  2 .cos xdx   0 4 1  sin 2 x   3 sin x .d  sin x   1  1 2     4 sin x  d  sin x   4. sin x  ln  sin x   C sin x  2  Hoặc đặt t  sin x  2 2 Bài 4: Tính tích phân sau I   esin x sin 2 xdx 0 Giải: Đặt t  sin 2 x  dt  sin 2 xdx x  0 t  0  Đổi cận    t  1  x  2  2 1 sin 2 x Khi đó I   e sin 2 xdx   et dt  et 0  2 Hoặc I   e 0 0 sin 2 x  2 sin 2 x sin 2 xdx   e 1  e  1. 0 sin 2 x d  sin x   e 2 0  2  e 1 0 Bài tập tự giải và có hướng dẫn  2 Bài 1: (Bộ đề 96) Tính tích phân sau I   0 cos x 2  cos 2 x dx HD: Ta có 2  cos 2 x  3  2sin 2 x và đặt t  sin x Bài 2: (CĐ Kĩ thuật Cao Thắng – 2006) Tính tích phân sau www.MATHVN.com 11 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498  2 3 I   sin 2 x 1  sin 2 x  dx  0 www.MATHVN.com Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 15 4 HD: 3 3 Ta có sin 2 x 1  sin 2 x   2sin x 1  sin 2 x  cos x và đặt t  sin x  4 x  Bài 3: Tính tích phân sau I   1  tan x.tan  sin xdx 2 0 HD: x x x 2sin cos sin x 2 2. 2 .sin x  sin x .sin 2 x  1  cos x .sin x và đặt t  cos x Ta có tan x. tan .sin x  x 2 cos x cos x 2 cos x cos 2 2  1 Đs: I  1    ln 2 2 4 2  2 Bài 4: (ĐHĐN – 1998) Tính tích phân sau I   0 cos x 1  cos 2 x dx   4 HD: Phân tích 1  cos2 x  1  1  sin 2 x  2  sin 2 x và đặt t  2  sin 2 x hoặc t  2  sin 2 x  2 Bài 5: (ĐHBKHN – 1998) Tính tích phân: I   cos 2 x  sin 4 x  cos 4 x  .dx  0 0 HD: 1 Phân tích sin 4 x  cos 4 x  1  sin 2 2 x và đặt t  sin 2 x 2  2 Bài 6: (TN – KHP 2005) Tính tích phân sau: I   0 sin 2 x 4 dx  ln 2 3 4  cos x  2 sin x cos 3 x dx 2 0 1  cos x Bài 7: (ĐH BCVT – 1997) Tính tích phân sau: I    6 Bài 8: (CĐSP HCM – 1997) Tính tích phân sau: I   0  2 Bài 9: (CĐHQ – 1999) Tính tích phân sau I   0 cos xdx 10  ln 2 9 6  5sin x  sin x cos x 7  cos 2 x dx   6 2  2 cos xdx 2 0 11  7sin x  cos x Bài 10: (CĐHQ HCM – 1999) Tính tích phân sau I   www.MATHVN.com 12 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498  2 Bài 9: Tính tích phân I   6 1  cos3 x .sin x.cos 5 xdx  0 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 12 91 HD: t  6 1  cos3 x  cos3 x  1  t 6 . Hoặc t  1  cos3 x b Dạng 3: Tính tích phân dạng I   a  sin 2 x  sin 2 x  du  sin 2 xdx f   2  sin 2 xdx đặt u   2   cos x  du  sin 2 xdx   cos x  Bài tập giải mẫu:  2 sin 2 x dx 2 0 1  cos x Bài 1: Tính tích phân sau I   Giải: Đặt t  1  cos2 x  dt   sin 2 xdx  sin 2 xdx   dt x  0 t  2  Đổi cận    t  1  x  2  2 1 2 2 sin 2 x dt dt dx     ln t  ln 2. 2   t 1 t 1 0 1  cos x 2 Khi đó I   Hoặc  2  2  d 1  cos 2 x  sin 2 x 2 I dx      ln 1  cos x 2  ln 2 2 2 1  cos x 1  cos x 0 0 0  4 sin 4 x dx 2 0 1  cos x Bài 2: (HVNH TPHCM – D 2000) Tính tích phân sau I   Giải:  4 Ta có:  4 sin 4 x  1  cos 0 2 x dx   0 2sin 2 x cos 2 x dx 1  cos 2 x 2 Đặt t  1  cos x  dt  2sin x cos xdx   sin 2 xdx và cos 2 x  t  1  cos 2 x  2 cos 2 x  1  2  t  1  1  2t  3 x  0 t  2   Đổi cận    3  x  4 t  2 Khi đó www.MATHVN.com 13 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 3 2 I 2  2t  3 dt 2 t Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 3 2 2 2 6 6 4      4  dt    4  dt   4t  6 ln t  3  2  6 ln t t 3 3 2 2 2 Cách khác:  4  4  4  4 2 1  cos x   3 sin 4 x 2sin 2 x cos 2 x 2cos x  1 2 I dx  dx   2 d 1  cos x   2 d 1  cos 2 x    2  2  2  2 1  cos x 1  cos x 0 1  cos x 0 0 1  cos x 0  4  4 2 2  4  8 sin xd  sin x   6   4sin x  6ln 1  cos x 4  2  6ln 2 3 1  cos x 0 0 0 sin 4 x 2sin 2 x.cos 2 x sin 2 x.cos 2 x Hoặc phân tích  4 và đặt t  3  cos 2 x 2 1  cos 2 x 3  cos 2 x 1  cos x 1 2 d 1  cos 2 x   2  2  2 3 Bài 3: Tính tích phân sau I   sin 2 x 1  sin 2 x  dx 0 Giải: Đặt t  1  sin 2 x  dt  2sin x cos xdx  sin 2 xdx x  0 t  1  Đổi cận    t  2  x  2  2 2 t4 2 1 15 Khi đó I   sin 2 x 1  sin x  dx   t dt   4  41 4 4 0 1 Cách khác: 3 2  2 3 I   sin 2 x 1  sin x  dx  2 0 3  2 1  sin x   2 3  1  sin x  d 1  sin x  2 2 0  2 Bài 4: (ĐH – A 2006) Tính tích phân sau: I   0 4 sin 2 x 2 4 2  15 2 4 0 dx cos x  4sin x HD: Cách 1: Phương pháp phân tích kết hợp biến đổi số  2 I   2 sin 2 x 2 2 dx   sin 2 x 2 dx 1  sin x  4sin x 1  3sin x 0 dt Đặt t  1  3sin 2 x   sin 2 xdx 3 0 www.MATHVN.com 14 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.MATHVN.com Gmail: Loinguyen1310@gmail.com   t  4 x  Đổi cận  2  t  1  x  0 4 4 1 4 2 1 dt 1  2 2 Khi đó I     t dt  t  31 t 31 3 1 3 Hoặc đặt t  1  3sin 2 x Chú ý: Không cần biến đổi mà có thể đặt luôn t  cos 2 x  4 sin 2 x hoặc t  cos 2 x  4sin 2 x Cách 2:  2 I  2 sin 2 x  2 dx  2 1  sin x  4 sin x  2 2 2  1  3sin x 2  3 3 0 Cách 3: 0   0  12 dx   1  3sin 2 x 30 1  3sin 2 x sin 2 x    1 2  d 1  3sin 2 x    2 Ta có I   2 sin 2 x  dx   sin 2 x 1  cos 2 x 1  cos 2 x 5  3cos 2 x 0 0 4 2 2 2 5  3cos 2 x 5  3cos 2 x Và đặt t  hoặc t  2 2  2 Tổng quát: Để tính I = sin x cos xdx  2 a cos2 x  b 2 sin 2 x 0 Ta đặt: u = 2 dx với a, b  0 2 a cos x  b 2 sin 2 x  2 Bài 5: Tính tích phân sau I   0 sin x cos xdx 4cos 2 x  9sin 2 x HD : Đặt u = 4 cos 2 x  9 sin 2 x  u2 = 4cos 2 x  9 sin 2 x  udu  5sin x cos xdx Khi đó 3 I   2 1 udu 1 .  u 5 u 5 3 2  1 5  Bài 6: (ĐHTCKTHN - 95) Tính tích phân sau I  2  0 sin x.cos x b2 cos 2 x  c 2 sin 2 x dx HD: www.MATHVN.com 15 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498  1 Nếu b 2  c 2  b  c thì I  2b 2 2 1  sin 2 xdx  2 b Gmail: Loinguyen1310@gmail.com ; 0 2 2 2 2 Nếu b  c  b  c thì đặt t  b cos x  c sin 2 c x . Khi đó dt  2  b 2  sin x.cos x.dx b 2 cos 2 x  c 2 sin 2 x 1 bc và tính được I   2 sin x cos x Bài 7: Tính tích phân sau I   a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x 0 dx Giải: Cách 1:  2  2 sin x cos x Ta có I   sin x cos x dx   a 2 cos 2 x  b 2 sin 2 x 0  2 a 2 1  sin 2 x   b 2 sin 2 x 0 dx   0 sin x cos x  b2  a2  sin 2 x  a 2 dx 2tdt  2  b 2  a 2  sin x cos xdx  Đặt t   b 2  a 2  sin 2 x  a 2  t 2   b 2  a 2  sin 2 x  a 2   tdt sin x cos xdx  2 b  a2    x  t  b Đổi cận  2   x  0 t  a b b ba tdt 1 1  2 .t  2  2 2 2 b a ab a b a a t b  a  Khi đó I   2 Cách 2: Đặt t  a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x  dt  2( b 2  a 2 ) sin x cos xdx x  0  t  a2  Đổi cận   2 x   t  b  2 Nếu a  b  2 Khi đó I   0 sin x.cos x a 2 .sin x  b 2 .cos x dx  1 2 b2  a 2 b2  a2 dt 1  2 t 2 t b a b2  a2 ab 2 b a 2  1 ab Nếu a  b  2 Khi đó I   0  2 sin x.cos x 2 2 2 2 a .sin x  b .cos x  2  2 sin x.cos xdx 1 1 1  sin 2 xdx   cos 2 x   a 2a 0 4a 2a 0 0 dx   Bài tập tự giải có hướng dẫn: www.MATHVN.com 16 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com  4 sin 4 x 4 dx  ln 2 6 3 0 sin x  cos x Bài 1: (ĐHNT – 2001) Tính tích phân sau I   6 HD: sin 4 x 2sin 2 x cos 2 x 3  và đặt t  sin 2 x hoặc t  1  sin 2 2 x 6 3 4 sin x  cos x 1  sin 2 2 x 4   14 1 1 3 2 4  3 2  Hoặc I   d  1  sin 2 x    ln 1  sin 2 x 4  ln 2 3 30 4 3 4 3  1  sin 2 2 x  0 4 Phân tích 6  4 Bài 2: Tính tích phân sau: I   0 e tan x dx cos 2 x HD: Đặt t  tan x 3 8 Bài 3: (Đề 104) Tính tích phân sau: I   sin  8 3 8 Cách 2: Phân tích I  4   8 Cách 3: Đặt t  tan 2 dx  x cos 2 x 3 8  1   cos  8 2 x  1  dx  4 sin 2 x  dx sin 2 2 x x 2  Dạng 4: Tính tích phân dạng I   f  tan x   1 1 dx đặt u  tan x  du  dx  1  tan 2 x  dx 2 cos x cos 2 x    Hoặc: I   f  tan x  1  tan 2 x dx đặt u  tan x  du   1 dx cos 2 x Bài tập giải mẫu:  4 dx 1  tan x 0 Bài 1: Tính tích phân sau I   Giải: Đặt t  tan x  dt  1 dt dt dx  1  tan 2 x  dx  dx   2 2 cos x 1  tan x 1  t 2 www.MATHVN.com 17 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com x  0 t  0  Đổi cận    t  1  x  4 1  dt 1 t 1  1 1 dt 1 1 tdt 1 1 dt   Khi đó I     dt       2 2 1  t  2 1  t 2   2 01 t 2 0 t2  1 2 0 t2 1 0 1  t  1  t  0         1 J1 J2 J3 1 Tính: J1  1 ln 2 1 dt 1  ln t  1   2 0 t 1 2 0 2 2 1 1 1 ln 2 1 tdt 1 d  t  1 1 Tính: J 2   2   2  ln t 2  1  2 0 t 1 4 0 t 1 4 0 4  4 1 Tính: J 3  Vậy I  1 dt 1    du  (với t  tan u )  2 2 0 t 1 2 0 8 ln 2 ln 2   ln 2     2 4 8 8 4 Cách 2: 1 cos x 1  cos x  sin x    cos x  sin x    . 1  tan x sin x  cos x 2 sin x  cos x    14 1 4 d  sin x  cos x  1  1 Khi đó I   dx     x  ln sin x  cos x  4   ln 2 20 2 0 sin x  cos x 2 8 4 0 Phân tích Hoặc: Sử dụng đồng nhất thức cos x  A  cos x  sin x   B  cos x  sin x  đồng nhất hai vế tìm A và B  4 Bài 2: Tính tích phân I  sin 2 x  cos x  tan 4   4 2 x  2 tan x  5  dx Giải:  4 Phân tích I   4 2 sin x  cos x  tan 4 2   4 Đặt t  tan x  dt  x  2 tan x  5  dx    tan   4 tan 2 x 2 x  2 tan x  5  .cos 2 x dx 1 dx cos 2 x    x  4 t  1 Đổi cận   t  1 x     4 Khi đó www.MATHVN.com 18 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com  2t  2  t2 dt 1 t 2  2t  5 dt  1 dt  1 t 2  2t  5dt  31  t  12  4 1 I www.MATHVN.com 1   t  ln t 2  2t  5 1 Tính I1  1 1  1  3 I 1 1  2  5 ln 2  3I1 dt   t  1 2 1 4 Đặt t  1  2 tan u  dt  2  tan 2 u  1 du 0 1 0 1  Khi đó I1   du  du  u    2 2  2  8  4  tan u  1   4 4 4 3 Vậy I  2  5 ln 2  8 0 2  tan 2 u  1  4 1 dx 4 cos x 0 Bài 3: Tính tích phân sau I   Giải: Cách 1:  4  4 1 1 1 dx   . dx 4 2 2 cos x cos x cos x 0 0 1 Đặt t  tan x  dt  dx cos 2 x x  0 t  0  Đổi cận    t  1  x  4 Ta có I    4 Khi đó I   0 1  t3  1 4 1 2 dx  1  t dt  0    t  3  0  3. cos 4 x Cách 2:  4  4 1 1 I dx   1  tan 2 x  dx  4 cos 2 x 0 cos x 0  4   tan 3 x  4 0 1  tan x  d  tan x    tan x  x  4  3 0 2 Cách 3: 1 sin 2 x  cos 2 x sin 2 x 1 tan 2 x 1      4 4 4 2 2 cos x cos x cos x cos x cos x cos2 x … đến đây thì quá dễ rùi phải không Cách 4: Phân tích www.MATHVN.com 19 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 1  u  cos 2 x Đặt  … Mời bạn đọc tự làm, dễ thôi mà dv  1 dx  cos 2 x Hoặc : Đặt t  tan x  4 Bài 4: Tính tích phân sau I   tan 6 xdx 0 Giải: Cách 1: Đặt t  tan x  dt   tan 2 x  1 dx  dx  dt 1 t2 x  0 t  0  Đổi cận    t  1  x  4 Khi đó  4  1 1 6 1 4 t 5 t 3  t dt 1  13   I   tan 6 xdx   2   t4  t2  1 2 dt     t    du    15 4 t 1 5 3 0 0 0 0 t 1 0 Cách 2: Phân tích tan 6 x   tan 6 x  tan 4 x    tan 4 x  tan 2 x    tan 2 x  1  1  tan 4 x  tan 2 x  1  tan 2 x  tan 2 x  1   tan 2 x  1  1   tan 4 x  tan 2 x  1 1 1 cos 2 x Khi đó  4   4  tan 5 x tan 3 x  1 13  4 2 I    tan x  tan x  1 dx   dx     tan x  x  4   2 3 cos x  5  0 15 4 0 0  4 Bài 5: Tính tích phân sau I   tan 3 xdx 0 Giải: t  tan x  dt  1  tan 2 x  dx  1  t 2  dt  dx  dt t 1 2 x  0 t  0  Đổi cận    t  1  x  4 Khi đó www.MATHVN.com 20
- Xem thêm -