Tài liệu Tích phân bội ba và một số ứng dụng của nó trong vật lý

LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới: Ban chủ nhiệm khoa Toán - Lý - Tin, phòng khảo thí và đảm bảo chất lượng, phòng đào tạo đại học, các thầy cô trong tổ bộ môn Giải tích, đặc biệt là cô Phạm Thị Thái, người đã định hướng nghiên cứu, hướng dẫn, cũng như động viên tôi có thêm nghị lực hoàn thành khóa luận này. Nhân dịp này tôi xin cảm ơn tới người thân và các bạn sinh viên lớp K53 ĐHSP Toán. Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ, động viên của thầy cô và bạn bè đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành khóa luận. Sơn la, tháng 5 năm 2016. Người thực hiện Sinh viên: Trương Bá Hiệp 1 Mục lục Mở đầu 4 1 TÍCH PHÂN BỘI BA 7 1.1 Bài toán dẫn tới khái niệm tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Định nghĩa tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Điều kiện khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Tính chất của tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Tích phân bội ba trong hệ tọa độ Descartes . . . . . . . . . . . . 13 1.5.1 Trường hợp miền V là hình hộp chữ nhật [a1 ; b1 ] × [a2 ; b2 ] × [a3 ; b3 ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5.2 1.6 Trường hợp miền V là hình trụ đáy cong . . . . . . . . . 14 Tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu . . . . . . 18 1.6.1 Công thức đổi biến số tổng quát . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6.2 Tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ . . . . . . . . . . . . 20 1.6.3 Tích phân bội ba trong hệ tọa độ cầu . . . . . . . . . . . . 22 2 2 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG VẬT LÝ 25 2.1 Khối lượng vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Trọng tâm vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Mô men quán tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 3 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn khóa luận Tích phân bội ba là một kiến thức quan trọng của Giải tích Toán học. Nó có nhiều ứng dụng trong các môn khoa học tự nhiên, kể cả trong Vật lý. Do vậy, chúng ta nên tìm hiểu sâu hơn các khái niệm, cách tính tích phân bội ba trong các hệ tọa độ và tìm hiểu về một số ứng dụng của nó. Xuất phát từ những lí do trên chúng tôi đã mạnh dạn đi vào tìm hiểu "Tích phân bội ba và một số ứng dụng của nó trong Vật lý". 2. Mục đích, đối tượng, nhiệm vụ, phương pháp nghiên cứu, giới hạn phạm vi nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Khóa luận nghiên cứu đạt được những mục đích sau: - Nghiên cứu tích phân bội ba và cách tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ Đề các, hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu. - Trình bày những ứng dụng cơ bản của tích phân bội ba trong Vật lý. 2.2. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của khóa luận là Tích phân bội ba và một số ứng dụng của nó trong Vật lý. 2.3. Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích như trên, tôi đã đặt nhiệm vụ tìm đọc tài liệu và trình bày lại các vấn đề kiến thức có liên quan một cách có hệ thống và logic. Từ đó trình 4 bày một cách chi tiết về tích phân bội ba và một số ứng dụng của nó trong Vật lý. 2.4. Phương pháp nghiên cứu Do đặt ra nhiệm vụ như trên và do đặc thù bộ môn, tôi chọn phương pháp sưu tầm tài liệu, hỏi ý kiến chuyên gia, giảng viên hướng dẫn. Từ đó hệ thống lại kiến thức theo nội dung của khóa luận. 2.5. Giới hạn phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu là nghiên cứu tích phân bội ba và một số ứng dụng của nó trong Vật lý, cụ thể trong việc: Tính khối lượng vật thể, trọng tâm vật thể, mô men quán tính. 3. Cấu trúc khóa luận Từ mục đích và nhiệm vụ đặt ra bố cục của khóa luận được sắp xếp như sau: Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm hai chương. Chương 1. TÍCH PHÂN BỘI BA Trình bày bài toán dẫn tới tích phân bội ba, định nghĩa tích phân bội ba, một số điều kiện khả tích của tích phân bội ba và cách tính tích phân bội ba trong các hệ tọa độ: Đề các, trụ, cầu. Chương 2. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG VẬT LÝ Trình bày một số ứng dụng của tích phân bội ba trong Vật lý: Dựa vào định nghĩa tích phân bội ba đưa ra công thức tính khối lượng của vật thể, 5 trọng tâm của vật thể, mô men quán tính. Bên cạnh đó có ví dụ minh họa cho những ứng dụng đó. 4. Đóng góp của khóa luận Khóa luận trình bày một cách có hệ thống kiến thức liên quan và chi tiết kiến thức về tích phân bội ba và một số ứng dụng của nó trong Vật lý. Khóa luận là tài liệu tham khảo cho các sinh viên chuyên ngành toán và cũng là tài liệu tham khảo cho sinh viên Khoa Toán – Lý – Tin trường Đại học Tây Bắc tại thư viện của nhà trường. 6 Chương 1 TÍCH PHÂN BỘI BA 1.1 Bài toán dẫn tới khái niệm tích phân bội ba Giả sử ta phải tính khối lượng vật thể V không đồng chất, biết mật độ (khối lượng riêng) tại P( x, y, z) là ρ = ρ ( P) = ρ ( x, y, z) . Ta chia V một cách tùy ý thành n miếng nhỏ không dẫm lên nhau có thể tích là ∆V1 , ∆V2 , · · · , ∆Vn . Trong mỗi miếng thứ i lấy tùy ý một điểm Pi ( xi , yi , zi ) , và gọi đường kính của miếng là di . Ta có khối lượng xấp xỉ của vật thể là n m≈ ∑ ρ ( Pi ) ∆Vi = i =1 n ∑ ρ (xi , yi , zi )∆Vi . i =1 Một cách tự nhiên nếu giới hạn sau tồn tại n lim maxdi →0 = ∑ ρ (xi , yi , zi )∆Vi . i =1 thì đó là khối lượng m của vật thể. 7 Trong thực tế nhiều bài toán dẫn đến việc tìm giới hạn như vậy, nên ta đã dẫn đến định nghĩa toán học của tích phân bội ba. 1.2 Định nghĩa tích phân bội ba Giả sử V ⊂ R3 là một tập đóng, bị chặn và đo được giới nội trong không gian Oxyz, f ( x, y, z) là một hàm xác định trên V. Ta thực hiện một phép phân hoạch T tùy ý, chia V ra thành hữu hạn các tập con V1 , V2 , · · · , Vn sao cho chúng không có điểm trong chung và có thể tích tương ứng ∆V1 , ∆V2 , · · · , ∆Vn . Trong mỗi một tập con đóng, ta lấy một điểm tùy ý Pi ∈ Vi và lập tổng tích phân n σn ( f , T, Pi ) = ∑ f ( Pi )∆Vi . (1.1) i =1 Gọi λ( T ) là đường kính lớn nhất của các tập con Vi đó λ( T ) = max sup P0 P00 . (1.2) i =1,n P0 ,P00 ∈Vi Nếu khi các phép phân hoạch T nhỏ dần vô hạn sao cho đường kính lớn nhất của các tập con đó dần về không (λ( T ) → 0), mà tổng σn ( f , T, Pi ) dần tới một giới hạn I ∈ R duy nhất, không phụ thuộc vào các phép phân hoạch T, cũng như không phụ thuộc vào cách chọn các điểm Pi ∈ Vi , thì I được gọi là tích phân ba lớp của hàm f ( x, y, z) lấy trên miền V, được ký hiệu là ZZZ f ( x, y, z)dV, V 8 trong đó f là hàm số dưới dấu tích phân, dV là yếu tố thể tích, tức là n ∑ f ( Pi )∆Vi = I = lim ZZZ λ( T )→0 i =1 f ( x, y, z)dV. V Khi đó hàm f ( x, y, z) gọi là khả tích trên V. 1.3 Điều kiện khả tích Giả sử f ( x, y, z) là hàm bị chặn trên V. Với phép phân hoạch T cho trước, đặt Mi = f ( x, y, z), sup mi = ( x,y,z)∈Vi inf ( x,y,z)∈Vi f ( x, y, z). Khi đó n S( f , T ) = n ∑ Mi ∆Vi , s( f , T ) = i =1 ∑ mi ∆Vi i =1 lần lượt được gọi là tổng Đác bu trên và Đác bu dưới của hàm f ( x, y, z) ứng với phép phân hoạch T. Ta có n s( f , T ) ≤ ∑ f ( Pi )∆Vi ≤ S( f , T ). i =1 Định lý 1.3.1 Hàm f ( x, y, z) khả tích trên V khi và chỉ khi lim (S( f , T ) − s( f , T )) = 0. λ( T )→0 Định lý 1.3.2 Nếu hàm số f ( x, y, z) liên tục trên miền đóng, bị chặn và đo được V thì nó khả tích trên đó. 9 Định lý 1.3.3 Nếu hàm f ( x, y, z) xác định, bị chặn trong miền đóng, đo được V và chỉ gián đoạn tại hữu hạn mặt nằm trong V, có diện tích bằng không thì nó khả tích trên miền đó. 1.4 Tính chất của tích phân bội ba Chia miền V bởi ba họ mặt phẳng song song với các mặt phẳng tọa độ, khi đó dV = dxdydz và ZZZ f ( x, y, z)dV = V ZZZ f ( x, y, z)dxdydz. (1.3) V Định lý 1.4.1 Nếu f ( x, y, z) ≡ 1 trên V thì RRR dxdydz = V (V ), V (V ) là thể tích V của V. Định lý 1.4.2 Nếu chia miền V thành hai miền V1 và V2 bởi mặt phẳng song song với một mặt phẳng tọa độ nào đó, thì ZZZ V f ( x, y, z)dxdydz = ZZZ f ( x, y, z)dxdydz + V1 ZZZ f ( x, y, z)dxdydz. (1.4) V2 Chứng minh. D là hình chiếu của miền V = {( x, y, z) ∈ R3 : a ≤ x ≤ b, ρ1 ( x ) ≤ y ≤ ρ2 ( x ), ψ1 ( x, y) ≤ z ≤ ψ2 ( x, y)} trên mặt phẳng (Oxy) giới hạn bởi các đường y = ρ1 ( x ); y = ρ2 ( x ); x = a; x = b. Một mặt phẳng song song với Oy,Oz có phương trình x − c = 0 hay x = c( a < c < b), 10 chia miền V thành hai miền V1 , V2 ta có IV = = Zb " ρZ2 ( x) a ρ1 ( x ) Zb Ψ2Z( x,y) ! # f ( x, y, z)dz dy dx Ψ1 ( x,y) Φ( x )dx a = Zc Φ( x )dx + a = Zc " ρZ2 ( x) a ρ1 ( x ) Zb Φ( x )dx c Ψ2Z( x,y) ! # f ( x, y, z)dz dy dx + Zb " ρZ2 ( x) c ρ1 ( x ) Ψ1 ( x,y) Ψ2Z( x,y) ! # f ( x, y, z)dz dy dx. Ψ1 ( x,y) Vậy IV = IV1 + IV2 . Định lý 1.4.3 Nếu các hàm f ( x, y, z), g( x, y, z) liên tục trên V thì hàm f ( x, y, z) + g( x, y, z)} khả tích trên V và ZZZ h i f ( x, y, z) + g( x, y, z) dxdydz V = ZZZ f ( x, y, z)dxdydz + V ZZZ g( x, y, z)dxdydz. (1.5) V Chứng minh. Giả sử F ( x, y, z) và G ( x, y, z) lần lượt là nguyên hàm của hàm f ( x, y, z) và g( x, y, z) ( Cố định ( x, y) ∈ D là hình chiếu của V trên Oxy). Ta ước lượng tích phân trong tích phân bội ba  IV =   D  ψ2Z( x,y) ZZ  [ f ( x, y, z) + g ( x, y, z)] dzdxdy ψ1 ( x,y) ψ2 ( x,y)   [ F ( x, y, z) + G ( x, y, z)]  dxdy   = ZZ D ψ1 ( x,y) 11 = ZZ ZZ [ F (ψ2 ( x, y)) − F (ψ1 ( x, y))]dxdy + D [ G (ψ2 ( x, y)) − G (ψ1 ( x, y))]dxdy D  ψ2 ( x,y)  ψ2 ( x,y)  ZZ ZZ   dxdy  G ( x, y, z)  dxdy +  F ( x, y, z)  =    ψ1 ( x,y) D = ZZZ f ( x, y, z) dxdydz + ψ1 ( x,y) D ZZZ g ( x, y, z) dxdydz. V V Định lý 1.4.4 Nếu f khả tích trên V và k là hằng số thì hàm k f cũng khả tích trên V và ZZZ k. f ( x, y, z) dxdydz = k ZZZ V f ( x, y, z) dxdydz, (1.6) V k là hằng số. Định lý 1.4.5 Nếu f , g khả tích trên V và f ( x, y, z) 6 g ( x, y, z) ; ∀ ( x, y, z) ∈ V thì ZZZ f ( x, y, z) dxdydz 6 V ZZZ g ( x, y, z) dxdydz. (1.7) V Định lý 1.4.6 Nếu m và M ứng với giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số f ( x, y, z) trong miền V, thì ta có mV (V ) ≤ ZZZ f ( x, y, z)dxdydz ≤ MV (V ). V V (V ) là thể tích của miền V. Chứng minh. Thật vậy, ta có m ≤ f ( x, y, z) ≤ M, ∀( x, y, z) ∈ V. 12 (1.8) Dựa vào định lý (1.4.1) và định lý (1.4.5) ta có ZZZ mdxdydz ≤ V ZZZ f ( x, y, z)dxdydz ≤ V ⇔ mV (V ) ≤ ZZZ ZZZ Mdxdydz V f ( x, y, z)dxdydz ≤ MV (V ). V Định lý 1.4.7 (Định lý trung bình) Tích phân bội ba của hàm số liên tục f ( x, y, z) theo miền V, bằng thể tích V (V ) của nó với giá trị hàm số tại điểm P nào đó của V, nghĩa là ZZZ f ( x, y, z)dxdydz = f ( P)V (V ). V Chứng minh. Từ định lý (1.4.6), ta có m≤ 1 IV ≤ M. V (V ) 1 IV bao hàm giữa các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f ( x, y, z) V (V ) 1 trong miền V. Do f ( x, y, z) liên tục trên V nên nó lấy giá trị bằng IV tại V (V ) Số một điểm P nào đó của miền V, nghĩa là 1 IV = f ( P ) ⇔ IV = f ( P ) V ( V ) . V (V ) 1.5 1.5.1 Tích phân bội ba trong hệ tọa độ Descartes Trường hợp miền V là hình hộp chữ nhật [a1 ; b1 ] × [a2 ; b2 ] × [a3 ; b3 ] Định lý 1.5.1 (Fubini) Giả sử f ( x, y, z) là một hàm khả tích trong hình hộp chữ nhật V = [ a1 ; b1 ] × [ a2 ; b2 ] × [ a3 ; b3 ]. 13 Giả sử với mỗi ( x, y) ∈ [ a1 ; b1 ] × [ a2 ; b2 ] tồn tại tích phân đơn Zb3 H ( x, y) = f ( x, y, z)dz a3 thì khi đó tồn tại tích phân lặp  ZZ H ( x, y)dxdy = ZZ 3   f ( x, y, z)dz dxdy, a3 D xy D xy Zb trong đó D xy = [ a1 ; b1 ] × [ a2 ; b2 ] và ta có ZZZ f ( x, y, z)dxdydz = H ( x, y)dxdy = D xy V 1.5.2 ZZ ZZ dxdy D xy Zb3 f ( x, y, z)dz. (1.9) a3 Trường hợp miền V là hình trụ đáy cong Ta xét hình trụ đáy cong V có mặt bên tạo bởi các đường sinh song song với một trục tọa độ, chẳng hạn trục Oz. Hình chiếu của V xuống mặt phẳng Oxy là một miền phẳng D xy , không nhất thiết là mặt tròn. Đáy dưới của hình trụ là mặt cong S1 có phương trình z = z1 ( x, y). Đáy trên của hình trụ là mặt cong S2 có phương trình z = z2 ( x, y). Ta nhúng hình trụ nói trên vào một hình hộp chữ nhật lớn hơn Ω = [ a1 ; b1 ] × [ a2 ; b2 ] × [ a3 ; b3 ], có các cạnh song song với các trục tọa độ. Khi đó đặt       f ( x, y, z) khi ( x, y, z) ∈ V, ∗ f ( x, y, z) =     khi ( x, y, z) ∈ Ω\V, 0 thì ta dễ thấy ZZZ f ( x, y, z)dxdydz = ZZZ Ω V 14 f ∗ ( x, y, z)dxdydz và ta có định lý sau đây Định lý 1.5.2 Giả sử V là miền trụ cong trong không gian R3 được xác định bởi n o V = ( x, y, z) ∈ R3 | ( x, y) ∈ D xy , z1 ( x, y) ≤ z ≤ z2 ( x, y) , trong đó D xy là một miền phẳng hình chiếu của miền trụ V nêu trên xuống mặt phẳng Oxy, z = z1 ( x, y), z = z2 ( x, y) là các hàm liên tục trong D xy biểu thị lần lượt phương trình mặt cong S1 giới hạn bên dưới và S2 giới hạn bên trên hình trụ. Giả sử f ( x, y, z) là hàm khả tích trong V và với mọi ( x, y) ∈ D xy tồn tại tích phân z2Z( x,y) H ( x, y) = f ( x, y, z)dz z1 ( x,y) thì khi đó tồn tại tích phân lặp  z2Z( x,y) ZZ   D xy   f ( x, y, z)dz dxdy = ZZ dxdy D xy z1 ( x,y) z2Z( x,y) f ( x, y, z)dz z1 ( x,y) và ta có ZZZ f ( x, y, z)dxdydz = ZZ dxdy D xy V z2Z( x,y) f ( x, y, z)dz. z1 ( x,y) Nếu D xy = {( x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, y1 ( x ≤ y ≤ y2 ( x ))} là miền sao cho các đường thẳng song song với Oy, nếu cắt D thì chỉ cắt biên của D xy tại hai điểm thì khi đó tiếp tục tính tích phân hai lớp còn lại, ta có ZZZ f ( x, y, z)dxdydz = Zb dx a V yZ2 ( x ) y1 ( x ) dy z2Z( x,y) f ( x, y, z)dz. (1.10) z1 ( x,y) Ví dụ 1.5.3 Cho miền Ω giới hạn bởi các mặt x = 0; y = 1; z = 0; x + y + 2z = 2. a) Ta viết tích phân bội ba I = RRR f ( x, y, z)dxdydz. Ω 15 Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là miền D1 = {( x, y) : 0 6 x 6 2; 0 6 y 6 2 − x } . Giới hạn trên của Ω : z = 1 − x y − . 2 2 Giới hạn dưới của Ω : z = 0. Vậy I= Z2 dx 0 y 1− 2x − 2 2Z− x dy 0 b) Ta viết tích phân bội ba I = RRR Z f ( x, y, z)dz. 0 f ( x, y, z)dxdzdy. Ω Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxz là miền xo D2 = ( x, z) : 0 6 x 6 2; 0 6 z 6 1 − . 2 n Giới hạn trên của Ω : y = 0 − x − 2z. Giới hạn dưới của Ω : y = 0. Vậy I= Z2 1− 2x dy 0 c) Ta viết tích phân bội ba I = Z dz 0 RRR 0−Zx −2z f ( x, y, z)dy. 0 f ( x, y, z)dydzdx. Ω Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oyz là miền yo D3 = (y, z) : 0 6 y 6 2; 0 6 z 6 1 − . 2 n Giới hạn trên của Ω : x = 2 − y − 2z. Giới hạn dưới của Ω : x = 0. 16 Vậy I= y Z2 dy dz 2−Zy−2z 0 0 Ví dụ 1.5.4 Tính tích phân 1Z− 2 RRR f ( x, y, z)dx. 0 xydV, T được giới hạn bởi các mặt phẳng x = T 0, x = 1, y = 2, y = 4, z = 5, z = 8. Ta có I= Z1 dx 0 Z4 dy 2 RRR Ví dụ 1.5.5 Tính I = Ω Z8 xydz = 5 Z1 xdx 0 Z4 ydy 2 Z8 zdz = 5 117 . 2 xdxdydz, trong đó Ω là miền giới hạn bởi các mặt z = x2 + y2 ; z = 4; x = 0; y = 0. Hình chiếu của miền Ω xuống mặt phẳng Oxy là n D = ( x, y) : 0 6 x 6 2; 0 6 y 6 1 hình tròn. 4 p 4− x2 o . Mặt trên của Ω : z = 4. Mặt dưới của Ω : z = x2 + y2 . Vậy I= Z2 √ dx 0 = Z2 dy 0 = Z2 dx 0 =  R2 0 Z4− x2 dy 0 √ Z4− x2 Z4 xdz x 2 + y2  z =4   ( xz)  2 0 √ Z4− x2 dy z = x + y2  4x − x3 − xy2 dy 0 y= 3  xy  4xy − x3 y −  3  √ 4− x 2 dx = y =0 17
3 2 R2 65 x 4 − x2 2 dx = . 30 15 Ví dụ 1.5.6 Tính RRR V z≤ p 1− x2 1 zdxdydz, V là miền xác định bởi 0 ≤ x ≤ , x ≤ y ≤ 2x, 0 ≤ 4 − y2 . Ta có ZZZ zdxdydz = 1 Z4 √ dx = 1 Z4 0 1− x 2 − y2 Z dy x 0 V Z2x zdz 0 1 dx = 2 Z2x 2 1−x −y 1 2 1 = 2 Z4  1 2 Z4  1 2  =  dy x 1 Z4  2 y − yx2 − y=2x  dx    y3  0 3 y= x 1 0  8 1 2x − 2x3 − x3 − x + x3 + x3 dx 3 3 1 = = 1.6 0  x− 10 3 1 x dx = 3 2 1 5 1 − . 32 6 256  =   41 1 2 5 4  x − x   2 6 0 43 . 3072 Tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu 1.6.1  Công thức đổi biến số tổng quát Xét tích phân bội ba ZZZ f ( x, y, z) dxdydz, V 18 trong đó hàm số f ( x, y, z) liên tục trên V. Ta muốn tính tích phân trong hệ tọa độ mới (u, v, w), qua phép đổi biến       x = x (u, v, w),      (u, v, w) ∈ V 0 (1.11) y = y u, v, w , ( )          z = z (u, v, w), Giả sử rằng: 1.V 0 là miền trong không gian O0 uvw, các hàm x (u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w) là những hàm khả vi liên tục trong V 0 . 2. Các công thức (1.11) xác định một song ánh từ miền V 0 lên miền V của không gian Oxyz. 3. Định thức Jacobi       D ( x, y, z) J= =  D (u, v, w)     ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z ∂u  ∂x ∂x  ∂v ∂w  ∂y ∂y  6= 0  ∂v ∂w   ∂z ∂z   ∂v ∂w trong V 0 . Khi đó ta có công thức ZZZ f ( x, y, z) dxdydz V = ZZZ V0    D ( x, y, z)    dudvdw f [ x (u, v, w) , y (u, v, w) , z (u, v, w)]  D (u, v, w)  19 (1.12) 1.6.2 Tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ Hệ tọa độ trụ Toạ độ trụ của điểm M ( x, y, z) trong không gian còn có thể biểu diễn (r, ϕ, z), với (r, ϕ) là toạ độ cực của hình chiếu của M xuống mặt phẳng Oxy. Ta luôn có r > 0; 0 6 ϕ < 2π; −∞ < z < +∞. Mối liên hệ giữa toạ độ Descartes và toạ độ trụ: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z. Đổi biến trong hệ tọa độ trụ Đặt       x = r cos ϕ      y = r sin ϕ, r ≥ 0; 0 ≤ ϕ ≤ 2π.          z = z Định thức Jacobi của phép đổi biến là      cosϕ −rsinϕ 0         cosϕ −rsinϕ    J =  sinϕ rcosϕ 0  =        sinϕ rcosϕ   0 1  0 (1.13)      = r,    J 6= 0, r 6= 0. Theo công thức đổi biến (1.12), ta có ZZZ V f ( x, y, z)dxdydz = ZZZ V0 20 f (rcosϕ,rsinϕ, z)rdrdϕdz. (1.14)