Tài liệu TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

CHƯƠNG 4: TÍCH PHÂN 1. Tích phân bất định 2. Tích phân xác định 3. Tích phân suy rộng 4. Ứng dụng hình học của tích phân Tích phân bất định Nguyên hàm: Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trong khỏang (a,b) nếu tại mọi điểm x thuộc (a,b) ta đều có F’(x) = f(x) Từ định nghĩa nguyên hàm ta suy ra: 1. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x)+C cũng là nguyên hàm của hàm f(x) 2. Mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng F(x)+C Định lý: Mọi hàm liên tục trên [a,b] (liên tục x  (a, b) và liên tục trái tại b, liên tục phải tại a) thì có nguyên hàm trên [a,b] Tích phân bất định Định nghĩa tích phân bất định : Nếu hàm F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) thì F(x)+C (C: hằng số) được gọi là tích phân bất định của hàm f(x), kí hiệu  f ( x)dx  F ( x)  C Tính chất:  f ( x)dx  f ( x)  C d f ( x)dx  f ( x)  dx  a. f ( x)dx  a. f ( x)dx   f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx Tích phân bất định Bảng tích phân các hàm cơ bản  1 1 x  dx  tan x  C  x dx   C ,    1 2  cos x  1 1 1  2 dx   cot x  c  x dx  ln x  C sin x x 1 1 x a x  2 2 dx  a arctan a  C  a dx  ln a  C a x  sin xdx   cos x  C  cos xdx  sin x  c 1 1 xa  2 2 dx  2a ln x  a  C a x dx x  sin x  ln tan 2  C dx x   cos x  ln tan  2  4   C   Tích phân bất định Bảng tích phân các hàm cơ bản 1 x  2 2 dx  arcsin a  c a x  1 x2  a2 dx  ln x  x 2  a 2  C 2 2 2 a x x a  x 2 2 a  x dx  arcsin  C  2 a 2 dx shxdx  chx  C   2  thx  C ch x dx  2  cthx  C  chxdx  shx  C sh x Tích phân bất định Phương pháp đổi biến: Định lý: Nếu  f ( x)dx  F ( x)  C Thì:  f ( (t )) (t )dt  F ( (t ))  C Với φ(t) là hàm khả vi Ta kiểm tra lại bằng cách tính đạo hàm vế phải:  F ( (t ))  C   F ( (t )). (t )  f ( (t )). (t ) Ta được hàm dưới dấu tích phân vế trái tức là định lý được chứng minh Định lý trên là cơ sở của 2 cách đổi biến thường gặp sau đây Tích phân bất định Phương pháp đổi biến 1: Đặt x = φ(t), φ(t) là hàm khả vi và có hàm ngược t= φ-1(x) thì ta có  f ( x)dx   f ( (t )) (t )dt Nếu nguyên hàm của f(φ(t))φ’(t) là G(t) thì 1 f ( x ) dx  G ( t )  C  G (  ( x))  C  Ví dụ: Tính tích phân I1   1  x 2 dx Đặt x = sint thì dx  cos tdt  2 1  x  cos t  t  arcsin x và  2 sin2 t  2 x 1  x  I1   cos 2 tdt 1  cos 2t 1 1 arcsin x x 1  x 2  dt  t  sin2t  C   C 2 2 4 2 2 Tích phân bất định Phương pháp đổi biến 2: Đặt u = φ(x), du=φ’(x)dx và giả sử  f ( x)dx   g ( ( x)) ( x)dx với  g ( x)dx  G( x)  C Thì  f ( x)dx  G( ( x))  C dx Ví dụ: Tính I 2   x2  a2 2  x 2 2 2 Ta viết lại : x  a  a  1  2  a   x 1 u  Đặt  du  dx  dx  adu a a 1 adu 1 1 x I2  2  2  arctan u  C  arctan  C a a a a u 1 Tích phân bất định Ví dụ: Tính I3   e x 4  e x dx 2udu Đặt u  4  e  e  u  4  e dx  2udu  dx  2 u 4 2 3 2 2udu 2 2 (e x  4)3  C I3   (u  4)u 2   2u du  u  C  3 3 u 4 dx Ví dụ: Tính I 4   2x  1 du x x Đặt u = 2 +1  du  2 ln 2dx  dx  (u  1)ln 2 1  1 1 1 du    du I4     ln 2 u(u  1) ln 2  u  1 u  1 1 x  I  x ln 2  ln(2  1)  C   ln | u  1 |  ln | u |  C 4 ln 2 ln 2 x x 2 x   Tích phân bất định Phương pháp tích phân từng phần: Định lý: Cho các hàm u(x), v(x) khả vi và u(x), v’(x) có nguyên hàm trên (a,b). Khi ấy hàm u’(x), v(x) cũng có nguyên hàm trên (a,b) và ta có  u( x)v( x)dx  u ( x)v( x)   u ( x)v( x)dx Đẳng thức trên tương đương với:   u( x)v( x)  u ( x)v( x)  dx  u ( x)v( x) Đẳng thức này hiển nhiên đúng theo công thức đạo hàm của tích Ta còn viết CT trên ở dạng  udv  uv   vdu Tích phân bất định Ví dụ: Tính I5   arcsin xdx Đặt u=arcsinx, dv=dx I 5   udv  uv   vdu  arcsin x. x   xd (arcsin x ) 1 d (1  x 2 )  x arcsin x   x dx  x arcsin x   2 1  x2 1  x2 1  x arcsin x  1  x 2  C Ví dụ: Tính I 6   x ln xdx Đặt x 2 dx  1 dx 3  dv, u  ln x 3 x3 x3 x3 x2 1 x3 ln x x3 I 6  ln x   d (ln x )  ln x   . dx   C 3 9 3 3 3 3 x 2 Tích phân bất định Ví dụ: Tìm công thức truy hồi cho tích phân dx In   2 ( x  a 2 )n 1 x 1 In   2 dx  2   xd 2 2 n 2 n (x  a ) (x  a ) ( x  a 2 )n x 2nxdx  2 x 2 2 n (x  a ) ( x  a 2 )n 1 x (x  a )  a  2  2n  dx 2 n 2 2 n 1 (x  a ) (x  a ) 2 Vậy: 2 2  1  x I n 1   (2n  1) I n  2 2 2 n 2na  ( x  a )  Tích phân bất định  dx 1  x In   2  I n 1   (2n  1) I n  , n  1,2,.. 2 n 2 2 2 n (x  a ) 2na  ( x  a )  dx 1 x Với n=1: I1    arctan  C 2 2 a a x a dx 1  x 1 x Với n=2: I 2   ( x 2  a 2 )2  2a 2  x 2  a 2  a arctan a   C   Tích phân bất định 1. Tích phân phân thức đơn giản lọai 1: b M d  x  a M 1 M b  k dx  x   k k k a a b 1  k (ax  b) a x   a   1 k C 2. Tích phân phân thức đơn giản lọai 2: với ax2+bx+c là tam thức bậc 2 không có nghiệm thực Mx  N dx  2 k (ax  bx  c) Thêm bới để tử số thành đạo hàm của mẫu số cộng 1 hằng số M (2ax  b)dx    2 k  2a ( ax  bx  c ) Mb (N  )dx a  2 b b c b  a x  x 2   2  a a 4a  4a  k 2 2 k Tích phân bất định M (2ax  b)dx    2 k  2a ( ax  bx  c ) Đặt Mb (N  )dx a  2 b b  c b  a  x  x  2    2  a 4a  a 4a   2 k b 4ac  b u  x  ,a  2a 4a 2 k 2 cho tích phân thứ 2 Ta đựơc tổng của 2 tp cơ bản dạng du du  k , 2 2 k u (u  a ) 2 Tích phân bất định 2x  3 dx Ví dụ: Tính I 7   2 2 ( x  x  1) Tách tử số thành tổng đạo hàm của mẫu số và 1 hằng số rồi chia hàm thành tổng 2 hàm với hàm thứ 2 có mẫu số đã tách thành tổng bình phương của 1 nhị thức và hằng số 1 2d ( x  ) (2 x  1)dx 2 I7   2   2 2 ( x  x  1)  1 2 3 2  (x  )  ( )  2 2   1 1 2x 1 2 2x 1   2  2.   arctan C 2 3  2( x  x  1) 3 3  x  x 1 Tích phân bất định Pn ( x) Tích phân hàm hữu tỉ: f ( x)  Qm ( x) Trường hợp 1: n ≥ m Ta chia đa thức : Pn ( x)  Qm ( x).Tk ( x)  Rl ( x), l  m Và được: Pn ( x) Rl ( x)  f ( x)dx   Q ( x) dx   Tk ( x)dx   Q ( x) dx m m Khi đó, hàm hữu tỉ cần tính tích phân là phân thức thực sự tức là bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số. Ta chuyển sang trường hợp 2. Tích phân bất định Trường hợp 2: n < m Bước 1: Giả sử Qm ( x)  (a1x  b1)l1 ...(ar x  br )lr (c1x 2  d1x  e1)k1 ...(cs x 2  d s x  es ) ks Trong đó l1+l2+…+lr+k1+k2+…+ks=m và các tam thức bậc 2 dạng - cx2+dx+e - không có nghiệm thực Bước 2: Ta giả sử hàm f(x) là tổng các phân thức đơn M jx  N j giản dạng Mi , li (ai x  bi ) (c j x 2  d j x  e j )k j Bước 3: Đồng nhất hệ số 2 vế để xác định cụ thể các hệ số M, N, a, b, c, d, e Bước 4: Tính các tp các hàm đơn giản, cộng lại ta được tp cần tính Tích phân bất định 2x  3 Ví dụ: Tính I8   3 dx 2 x  5x  6 x 2x  3 a b c Giả sử :    3 2 x  5x  6 x x x  2 x  3  2 x  3  a( x  2)( x  3)  bx( x  3)  cx( x  2) Ta chọn các giá trị đặc biệt x  2 : 1  2b  b  1 x  0 : 3  6a  a  1 2 2 x  3: 3  3c  c  1 dx dx dx I8     2x 2( x  2) x 3 1 1  ln x  ln x  2  ln x  3  C 2 2 Tích phân bất định x3  x  1 Ví dụ: Tính I 9   dx 2 x  5x  4 22 x  19   I9    x  5  2  dx x  5x  4   aaa bbb 22xx19 19 Giả sử: 22   1)(xxx4) 4) ( (xx1)( 4) xxx111 xxx444 Cho x = -1, bỏ (x+1) ở mẫu số của VT và giữ hệ số của 1/(x+1) ở VP, ta được a = - 1 Cho x = -4, bỏ (x+4) ở mẫu số của VT và giữ hệ số c của 1/(x+4) ở VP, ta được b=23 1 23 I9   ( x  5)dx   dx   dx x 1 x4 2 x   5 x  ln x  1  23ln x  4  C 2