Tài liệu Thuật toán song song giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động

-„I HÅC THI NGUY–N TR ÕNG -„I HÅC S PH„M L– HI—N HŠU THUŠT TON SONG SONG GIƒI B€I TON C…N BŒNG TR–N TŠP -IŠM B‡T -ËNG LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC THI NGUY–N - 2020 TR ÕNG -„I HÅC S PH„M KHOA TON L¶ Hi·n Hªu T26B.228 THUŠT TON SONG SONG GIƒI B€I TON C…N BŒNG TR–N TŠP -IŠM B‡T -ËNG Chuy¶n ng nh: To¡n Gi£i T½ch M¢ sË: 8 46 01 02 LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC C¡n bÎ h˜Óng d¨n khoa hÂc GS.TSKH. NGUY™N XU…N T‡N THI NGUY–N - 2020 LÌi cam oan TÊi xin cam oan Luªn v«n "Thuªt to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t Îng" l cÊng tr¼nh TSKH. Nguy¹n Xu¥n T§n. nghi¶n c˘u khoa hÂc cıa ri¶ng tÊi d˜Ói s¸ h˜Óng d¨n tr¸c ti¸p cıa GS. Ngo i ra, trong luªn v«n tÊi c·n s˚ dˆng mÎt sË k¸t qu£, nhªn x²t cıa mÎt sË t¡c gi£ kh¡c ·u c‚ chÛ th½ch v tr½ch d¨n nguÁn gËc. Trong qu¡ tr¼nh nghi¶n c˘u, tÊi ¢ k¸ th¯a th nh qu£ khoa hÂc cıa c¡c nh khoa hÂc vÓi s¸ tr¥n trÂng v bi¸t Ïn. N¸u ph¡t hi»n b§t k˝ s¸ gian lªn n o tÊi xin ho n to n ch‡u tr¡ch nhi»m v· nÎi dung luªn v«n cıa m¼nh. Th¡i Nguy¶n, th¡ng n«m 2020 T¡c gi£ L¶ Hi·n Hªu X¡c nhªn cıa khoa chuy¶n mÊn X¡c nhªn cıa ng˜Ìi h˜Óng d¨n GS. TSKH Nguy¹n Xu¥n T§n i LÌi c£m Ïn Tr˜Óc khi tr¼nh b y nÎi dung ch½nh cıa luªn v«n, tÊi xin b y t‰ l·ng bi¸t Ïn s¥u sc tÓi GS. TSKH. Nguy¹n Xu¥n T§n ng˜Ìi ¢ tªn t¼nh h˜Óng d¨n, d¤y b£o º tÊi ho n th nh tËt luªn v«n. TÊi cÙng xin b y t‰ l·ng bi¸t Ïn ch¥n th nh tÓi to n thº c¡c th¦y cÊ gi¡o trong khoa To¡n , -¤i hÂc S˜ ph¤m- -¤i hÂc Th¡i Nguy¶n ¢ d¤y b£o, t¤o i·u ki»n thuªn lÒi cho tÊi trong suËt qu¡ tr¼nh hÂc tªp t¤i khoa. Nh¥n d‡p n y tÊi cÙng xin ˜Òc g˚i lÌi c£m Ïn ch¥n th nh tÓi gia ¼nh, b¤n b± ¢ luÊn b¶n tÊi, cÍ vÙ, Îng vi¶n, giÛp Ô tÊi trong suËt qu¡ tr¼nh hÂc tªp v th¸c hi»n luªn v«n tËt nghi»p. Th¡i Nguy¶n, th¡ng n«m 2020 T¡c gi£ L¶ Hi·n Hªu ii Danh mˆc c¡c k˛ hi»u vi¸t tt R Tªp sË th¸c. 2 ThuÎc cıa mÎt ph¦n t˚ Ëi vÓi tªp hÒp. 8x n R H KhÊng gian Euclid th¸c n-chi·u. KhÊng gian Hilbert th¸c. n D¢y hÎi tˆ m¤nh tÓi x. n D¢y hÎi tˆ y¸u tÓi x. x !x kxk = MÂi x. x *x q hx; xi hx; yi Chu©n cıa vectÏ x. T½ch vÊ h˜Óng cıa hai vectÏ x v y. (EP) (SEP) B i to¡n c¥n b¬ng. Tªp nghi»m cıa b i to¡n c¥n b¬ng. (DEP) B i to¡n c¥n b¬ng Ëi ng¨u (SDEP) d(:; :) P C NC (x) domf graf epif Tªp nghi»m cıa b i to¡n c¥n b¬ng Ëi ng¨u. Kho£ng c¡ch gi˙a hai ph¦n t˚ trong khÊng gian Hilbert. nh x¤ chi¸u l¶n mÎt tªp hÒp C. N‚n ph¡p tuy¸n cıa C t¤i x. Mi·n h˙u hi»u cıa h m f. -Á th‡ cıa h m f. Tr¶n Á th‡ cıa h m f. lev f Tªp m˘c d˜Ói cıa f t¤i . lim ak GiÓi h¤n d˜Ói cıa d¢y fakg. GiÓi h¤n tr¶n cıa d¢y fakg. limak inf A Cªn d˜Ói lÓn nh§t cıa tªp sË th¸c A. iii supA Cªn tr¶n nh‰ nh§t cıa tªp sË th¸c A. 0 f (x; y) -¤o h m cıa h m f t¤i x theo h˜Óng y. rf(x) @f(x) C dH (A; B) minH f argminf minC f arg minC f F ixT -¤o h m Fr²chet cıa f t¤i x. D˜Ói vi ph¥n cıa h m f t¤i x. H m ch¿ cıa tªp C. Kho£ng c¡ch Hausdorff gi˙a hai tªp A v B. Gi¡ tr‡ c¸c tiºu cıa h m f tr¶n to n khÊng gian. Tªp c¡c iºm c¸c tiºu cıa h m f tr¶n to n khÊng gian. Gi¡ tr‡ c¸c tiºu cıa h m f tr¶n tªp C. Tªp c¡c iºm c¸c tiºu cıa h m f tr¶n tªp C. Tªp iºm b§t Îng cıa ¡nh x¤ T. iv Mˆc lˆc 1 M ¦u 1 L˛ do chÂn · t i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Mˆc ½ch nghi¶n c˘u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3 -Ëi t˜Òng v ph¤m vi nghi¶n c˘u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 Ph˜Ïng ph¡p nghi¶n c˘u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 D¸ ki¸n k¸t qu£ nghi¶n c˘u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Ch˜Ïng I: Ki¸n th˘c chu©n b‡ 1.1 C¡c kh¡i ni»m cÏ b£n cıa gi£i t½ch lÁi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Tªp lÁi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 1.1.2 Tªp ‚ng, tªp ‚ng y¸u, tªp m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Tªp compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 MÎt sË kh¡i ni»m v· t½nh li¶n tˆc cıa h m sË trong khÊng gian Hilbert . . 8 1.3 D˜Ói vi ph¥n cıa h m sË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 T½nh Ïn i»u cıa h m sË trong khÊng gian Hilbert . . . . . . . . . . . 11 Ch˜Ïng II: Thuªt to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t Îng 15 2.1 B i to¡n c¥n b¬ng v s¸ tÁn t¤i nghi»m . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 GiÓi thi»u b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 17 2.1.2 S¸ tÁn t¤i nghi»m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.3 MÎt sË b i to¡n li¶n quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.4 MÎt sË thuªt to¡n ¢ bi¸t v tËc Î hÎi tˆ cho b i to¡n c¥n b¬ng . . . 23 v 2.2 Thuªt to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t Îng . . . 32 2.2.1 Thuªt to¡n v s¸ hÎi tˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.2 MÎt sË tr˜Ìng hÒp ri¶ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 K¸t luªn 43 T i li»u tham kh£o 44 vi M– -†U 1. L˛ do chÂn · t i. Cho C l mÎt tªp kh¡c rÈng, f : CC ! R l mÎt h m sË th‰a m¢n f(x; x) = 0; 8x 2 C ( ˜Òc gÂi l song h m c¥n b¬ng). B i to¡n: T¼m x 2 C sao cho: f(x ; y) 0; 8y 2 C; (EP ) ˜Òc gÂi l b i to¡n c¥n b¬ng, x ˜Òc gÂi l nghi»m. Tªp nghi»m cıa b i to¡n (EP) ˜Òc k½ hi»u l (SEP). "C¥n b¬ng" l thuªt ng˙ t¯ l¥u ¢ ˜Òc s˚ dˆng rÎng r¢i trong c£ th¸c ti¹n v to¡n hÂc d˜Ói nhi·u h¼nh th˘c, quy mÊ kh¡c nhau. B i to¡n c¥n b¬ng ¢ ˜Òc Nikaido v Isoda n¶u ra t¯ n«m 1955. N«m 1994, b i to¡n ˜Òc Blum v Oettli ph¡t biºu r§t Ïn gi£n nh˜ tr¶n. Trong l¾nh v¸c to¡n hÂc, b i to¡n c¥n b¬ng bao h m nhi·u lÓp b i to¡n li¶n quan nh˜ b i to¡n tËi ˜u, b i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n, b i to¡n iºm y¶n ng¸a, b i to¡n iºm b§t Îng, b i to¡n Nash,... B i to¡n c¥n b¬ng °t ra v§n · quan trÂng c¦n gi£i quy¸t l t¼m i·u ki»n º b i to¡n c‚ nghi»m v x¥y d¸ng thuªt to¡n t¼m nghi»m cıa b i to¡n n y. Kh£o s¡t c¡c i·u ki»n º b i to¡n c‚ nghi»m, ta ph£i °t c¡c i·u ki»n l¶n tªp hÒp C h m sË f. C¡c thuªt to¡n ˜Òc bi¸t hi»n nay cÏ b£n d¸a tr¶n k¾ thuªt t¼m nghi»m cıa b i to¡n tËi ˜u, nh˜ thuªt to¡n chi¸u, thuªt to¡n chi¸u t«ng c˜Ìng, ph˜Ïng ph¡p ¡nh gi¡ ( h m gap), h m ph¤t, ph˜Ïng ph¡p h˜Óng gi£m, ho°c c¡c k¾ thuªt hi»u ch¿nh nh˜ ph˜Ïng ph¡p 1 iºm g¦n k· hay l˛ thuy¸t hi»u ch¿nh Tikhonow. MÎt h˜Óng ti¸p cªn cÏ b£n º gi£i (EP) ˜Òc d¸a tr¶n k¸t qu£ : x l mÎt nghi»m cıa b i to¡n c¥n b¬ng (EP) khi v ch¿ khi n‚ l mÎt nghi»m cıa b i to¡n tËi ˜u min ff(x ; y) : y 2 Cg ; hay l iºm b§t Îng cıa ¡nh x¤ a tr‡ (x) = arg min ff(x; y) : y 2 Cg : -º t¼m hiºu s¥u sc v· b i to¡n n y, tÊi chÂn · t i luªn v«n cao hÂc cıa m¼nh v· thuªt to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t Îng, d˜Ói s¸ h˜Óng d¨n nghi¶m tÛc, tªn t¼nh cıa GS. TSKH. Nguy¹n Xu¥n T§n, vÓi hy vÂng luªn v«n s³ l mÎt tÍng quan tËt v· ph˜Ïng ph¡p gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t Îng chung cıa h h˙a h¤n tr¶n cÏ s cıa gi£i t½ch lÁi, gi£i t½ch h m, v nh˙ng thuªt to¡n ¢ c‚ trong l˛ thuy¸t tËi ˜u. NÎi dung cıa luªn v«n d¸a tr¶n mÎt sË thuªt to¡n ¢ c‚ v hai b i b¡o mÓi ˜Òc cÊng bË cıa Phung M. Duc, Le D. Muu A splitting algorithm for a class of bilevel equilibrium problems involving nonexpansive mappings, Optimization, Vol 65( 2016), pages 1855-1866 v b i b¡o cıa Phung M. Duc, Le D. Muu, Nguyen V. Quy: Solution-existence and algorithms with their convergence rate for strongly pseudomonotone equilibrium problems , Pacific Journal of Optimization, Vol 12 No.4, pages 833-845,2016. 2. Mˆc ½ch nghi¶n c˘u Mˆc ½ch m · t i °t ra l t¼m i·u ki»n º b i to¡n c‚ nghi»m v nghi¶n c˘u thuªt to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t Îng chung cıa mÎt h h˙u h¤n ¡nh x¤ khÊng gi¢n ( b i to¡n c¥n b¬ng c§p 2). 3. -Ëi t˜Òng v ph¤m vi nghi¶n c˘u VÓi c¡c mˆc ½ch °t ra nh˜ tr¶n, trong luªn v«n n y chÛng tÊi x²t i·u ki»n ı º b i to¡n c¥n b¬ng c‚ nghi»m, giÓi thi»u mÎt sË thuªt to¡n ¢ bi¸t v tr¼nh b y thuªt 2 to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t Îng chung cıa mÎt h h˙u h¤n c¡c ¡nh x¤ khÊng gi¢n trong khÊng gian Hilbert. X¥y d¸ng thuªt to¡n t¼m nghi»m cıa b i to¡n. 4. Ph˜Ïng ph¡p nghi¶n c˘u Thu thªp t i li»u v· b i to¡n c¥n b¬ng ¢ cÊng bË tr¶n c¡c t¤p ch½ v s¡ch gi¡o khoa, s¡ch chuy¶n kh£o, x¥y d¸ng thuªt to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t Îng d¸a tr¶n thuªt to¡n gi£i b i to¡n tËi ˜u li¶n quan. 5. D¸ ki¸n k¸t qu£ nghi¶n c˘u Luªn v«n l mÎt tÍng quan v· b i to¡n c¥n b¬ng v mÎt sË k¸t qu£ cıa thuªt to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t Îng. -· t i luªn v«n ˜Òc chia th nh 2 ch˜Ïng: Ch˜Ïng 1. -˜a ra mÎt sË ki¸n th˘c chu©n b‡ v· khÊng gian Hilbert v c¡c t½nh ch§t cıa tªp hÒp con, c¡c h m sË, t½nh li¶n tˆc, t½nh Ïn i»u cıa h m sË tr¶n khÊng gian Hilbert. Ch˜Ïng 2. GiÓi thi»u b i to¡n c¥n b¬ng v ˜a ra mÎt sË i·u ki»n ı v· s¸ tÁn t¤i nghi»m, giÓi thi»u mÎt sË thuªt to¡n ¢ bi¸t º t¼m nghi»m , tr¼nh b y thuªt to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t Îng. 3 CH ÌNG I: KI˜N THŸC CHU‰N BÀ -º ch˘ng minh s¸ tÁn t¤i nghi»m cıa b i to¡n c¥n b¬ng, ta ph£i nghi¶n c˘u c¡c t½nh ch§t cıa tªp C v h m f. Ta ph£i trang b‡ tr¶n khÊng gian ch˘a C, hai c§u trÛc tÊpÊ v ¤i sË, t¯ ‚ t¼m ra c¡c t½nh ch§t cıa tªp C h m f º £m b£o b i to¡n c‚ nghi»m. Ta bt ¦u b¬ng ch˜Ïng: Ki¸n th˘c chu©n b‡ º nhc l¤i c¡c ki¸n th˘c cÏ b£n cıa gi£i t½ch h m, gi£i t½ch lÁi. C¡c k¸t qu£ cıa luªn v«n ˜Òc tr¼nh b y trong khÊng gian Hilbert, m°c dÚ chÛng v¨n c·n Ûng trong c¡c khÊng gian tÍng qu¡t hÏn. Tr˜Óc h¸t, ta nhc l¤i c¡c ki¸n th˘c cÏ b£n v mÎt sË bÍ ·, ‡nh l˛ c¦n thi¸t ˜Òc s˚ dˆng trong ch˘ng minh s¸ tÁn t¤i nghi»m cÙng nh˜ s¸ hÎi tˆ cıa thuªt to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t Îng trong c¡c ch˜Ïng sau. MÎt sË kh¡i ni»m cÏ b£n trong ch˜Ïng n y ˜Òc l§y t¯ t i li»u [1]. 1.1 MÎt sË kh¡i ni»m v· tªp hÒp trong khÊng gian Hilbert 1.1.1 Tªp lÁi Ta bi¸t r¬ng mÎt khÊng gian Hilbert l mÎt khÊng gian tuy¸n t½nh tr¶n ‚ ˜Òc x¡c ‡nh mÎt h m song tuy¸n t½nh h:; :i (˜Òc gÂi l t½ch vÊ h˜Óng) th‰a m¢n: hx; xi 0 vÓi mÂi x 2 H: 4 Cho H l mÎt khÊng gian Hilbert th¸c vÓi t½ch vÊ h˜Óng h:; :i. Chu©n v kho£ng c¡ch li¶n k¸t vÓi t½ch vÊ h˜Óng ‚ k˛ hi»u l k:k v d (:; :), ˜Òc x¡c ‡nh : q 8x; y 2 H : kxk = hx; xi v d(x; y) = kx y j: Ta th§y r¬ng tr¶n khÊng gian Hilbert c‚ hai c§u trÛc tÊpÊ v ¤i sË, ta c‚ thº s˚ dˆng hai c§u trÛc n y º ˜a ra c¡c kh¡i ni»m mÓi v· tªp hÒp trong khÊng gian Hilbert. Trong khÊng gian Hilbert, ta c‚ kh¡i ni»m ˜Ìng th¯ng. Cho hai iºm a; b 2 H. -˜Ìng th¯ng i qua hai iºm a v b c‚ d¤ng fx 2 H : x = a + (1 )b; 2 Rg : Tªp [a; b] = fx 2 H : x = a + (1 )b; 2 [0; 1]g ˜Òc gÂi l o¤n th¯ng nËi hai iºm a v b. Cho u 2 Hn f0g v 2 R. MÎt si¶u ph¯ng vÓi v²c-tÏ ph¡p tuy¸n u trong H l tªp c‚ d¤ng fx 2 H : hx; ui = g : MÈi si¶u ph¯ng chia khÊng gian th nh hai n˚a, c¡c tªp fx 2 H : hx; ui g v fx 2 H : hx; ui < g ; l¦n l˜Òt ˜Òc gÂi l n˚a khÊng gian ‚ng v n˚a khÊng gian m vÓi v²c-tÏ ph¡p tuy¸n ngo i u: D˜Ói ¥y c‚ c¡c kh¡i ni»m cıa gi£i t½ch lÁi. Trong ph¦n n y ta ·u gi£ s˚ C l tªp con lÁi, ‚ng, kh¡c rÈng cıa khÊng gian Hilbert H. -‡nh ngh¾a 1.1.1. MÎt tªp con C cıa H ˜Òc gÂi l lÁi n¸u vÓi mÂi x; y 2 C, [x; y] C, t˘c l x + (1 )y 2 C; 8 2 [0; 1] : 5 V½ dˆ: H¼nh tr·n, h¼nh tam gi¡c,... -‡nh ngh¾a 1.1.2. Cho u 2 H. Kho£ng c¡ch t¯ x ¸n C, k˛ hi»u l dC (x), ˜Òc x¡c ‡nh : dC (x) = inf fd(x; y) : y 2 Cg = inf fkx yk : y 2 Cg : N¸u c‚ iºm p 2 C sao cho kx pk = dC (x) th¼ p ˜Òc gÂi l mÎt h¼nh chi¸u cıa x tr¶n C. N¸u mÂi iºm trong H ·u c‚ duy nh§t mÎt h¼nh chi¸u tr¶n C, C ˜Òc gÂi l tªp Chebyshev. Trong tr˜Ìng hÒp n y, quy tc ˘ng vÓi mÈi iºm trong H mÎt h¼nh chi¸u duy nh§t cıa n‚ tr¶n C cho ta mÎt to¡n t˚ gÂi l to¡n t˚ chi¸u tr¶n C, ˜Òc k˛ hi»u l PC : Ta c‚ mÎt k¸t qu£ cÏ b£n cho h¼nh chi¸u cıa mÎt iºm tr¶n mÎt tªp lÁi ‚ng kh¡c rÈng sau ( xem ch˘ng minh trong [1]). -‡nh l˛ 1.1.1. Tªp C l mÎt tªp Chebyshev v vÓi mÂi x v p trong H; n¸u: p = Pc(x) , p 2 C v (8y 2 C) hx p; y pi 0 : -‡nh ngh¾a 1.1.3. N‚n ph¡p tuy¸n cıa C t¤i x, k˛ hi»u NC x, ˜Òc x¡c ‡nh l bi n¸u x 2= C: ;; NC x = i fu 2 H jhu; y 8 2 g 0; y C ; x n¸u x 2 C; 1.1.2 Tªp ‚ng, tªp ‚ng y¸u, tªp m -‡nh ngh¾a 1.1.4. MÎt d¢y fxng trong H ˜Òc gÂi l (i) hÎi tˆ m¤nh ¸n iºm x n¸u lim kxk k!1 xk = 0, k˛ hi»u l xn ! x; (ii) hÎi tˆ y¸u ¸n iºm x n¸u vÓi mÂi u 2 H, hxn x; ui ! 0 khi n ! 1, k˛ hi»u l xn * x: -‡nh ngh¾a 1.1.5. Tªp A H ˜Òc gÂi l tªp ‚ng n¸u mÂi d¢y fxng A hÎi tˆ ¸n x th¼ x 2 A. 6 -‡nh ngh¾a 1.1.6. Tªp A H ˜Òc gÂi l tªp ‚ng y¸u n¸u fxngn 0 hÎi tˆ y¸u ¸n x th¼ x 2 A: -‡nh ngh¾a 1.1.7. Tªp A fxngn H ˜Òc gÂi l tªp compact n¸u mÂi d¢y 0 A ·u c‚ d¢y con x nj j 0 hÎi tˆ tÓi x 2 A: -‡nh ngh¾a 1.1.8. Tªp B H ˜Òc gÂi l tªp m n¸u HnB l tªp - ‚ng. BÍ · 1.1.1. Cho fx g n n0 v fu g n n0 l c¡c d¢y trong H, x v u l c¡c - iºm trong H. Gi£ s˚ xn * x, un ! u khi n ! 1. Khi ‚ hxn; uni ! hx; ui khi n ! 1: BÍ · 1.1.2. Cho fx g ‚ c‚ mÎt d¢y con fx g n n 0 n n0 l mÎt d¢y b‡ ch°n trong H. Khi - hÎi tˆ y¸u. 1.1.3 Tªp compact -‡nh ngh¾a 1.1.9. Cho c¡c khÊng gian metric (X; d) (i) MÎt h fGi : i 2 Ig c¡c tªp con cıa X ˜Òc gÂi l mÎt phı m cıa tªp A X n¸u A S Gi i2I N¸u I l tªp h˙u h¤n th¼ ta n‚i phı l h˙u h¤n. N¸u mÂi G il tªp m th¼ ta n‚i phı l phı m . (ii) Tªp A X ˜Ïc gÂi l tªp compact n¸u mÈi phı m cıa A ta luÊn c‚ thº l§y ra ˜Òc mÎt phı h˙u h¤n. (iii) Tªp A ˜Òc gÂi l compact t˜Ïng Ëi n¸u A l tªp compact. V½ dˆ: Tªp h˙u h¤n l mÎt tªp compact. -‡nh ngh¾a 1.1.10. Cho A ˜Òc gÂi l compact t˜Ïng Ëi n¸u bao ‚ng A l tªp compact. -‡nh ngh¾a 1.1.11. MÎt khÊng gian tÊpÊ X ˜Òc gÂi l ¸m ˜Òc n¸u X c‚ mÎt d¢y fxng trÚ mªt trong X, t˘c l bao ‚ng cıa fxng b¬ng X. 7 -‡nh ngh¾a 1.1.12. MÎt khÊng gian tÊpÊ X ˜Òc gÂi l compact ‡a ph˜Ïng n¸u vÓi mÂi x 2 X c‚ mÎt l¥n cªn U cıa x th‰a m¢n U l mÎt khÊng gian con compact cıa X. MÂi khÊng gian compact ‡a ph˜Ïng l khÊng gian Tychonoff. -‡nh l˛ 1.1.2.(-‡nh l˛ Weierstrass) Trong khÊng gian metric X, c¡c m»nh · sau t˜Ïng ˜Ïng: (i) Tªp A X l compact. (ii) T¯ mÈi d¢y fxng A c‚ thº l§y ra mÎt d¢y con hÎi tˆ v· ph¦n t˚ thuÎc A: 1.2 MÎt sË kh¡i ni»m v· t½nh li¶n tˆc cıa h m sË trong khÊng gian Hilbert Cho C l mÎt tªp con kh¡c rÈng cıa H v h m f : C ! [ Mi·n h˙u hi»u (mi·n x¡c ‡nh) cıa f l tªp ; +1]. domf = fx 2 Cjf(x) < +1g ; Á th‡ cıa f l tªp: graf = f(x; ) 2 C Rjf(x) = g ; tr¶n Á th‡ cıa f l tªp epif = f(x; ) 2 C Rjjf(x) g: Tªp m˘c d˜Ói cıa f t¤i 2 R l tªp lev f = fx 2 C jf(x) H m f ˜Òc gÂi l ch½nh th˜Ìng n¸u g: 2= f(C) v domf 6= : -‡nh ngh¾a 1.2.1. MÎt h m f : C ! [ ; +1] ˜Òc gÂi l lÁi tr¶n C n¸u tr¶n Á th‡ cıa n‚ l mÎt tªp lÁi. 8 -‡nh ngh¾a 1.2.2. Cho 6= C n )y] < n lÁi. h m lÁi ch°t tr¶n C n¸u (i) H m f : R ! R [ f+1g ˜Òc gÂi l f [ x + (1 R f(x) + (1 )f(y); 8x; y 2 C; 8 n 2 (0; 1): h m lÁi m¤nh tr¶n C vÓi h» sË (ii) H m f : R ! R [ f+1g ˜Òc gÂi l > 0, n¸u 8x; y 2 C; 8 2 (0; 1) ta c‚: f [ x + (1 )y] < f(x) + (1 )f(y) (iii) H m f ˜Òc gÂi l h m l„m tr¶n C n¸u -‡nh ngh¾a 1.2.3. MÎt h m f gÂi l 1 (1 )kx yk2: 2 f l h m lÁi tr¶n C: n+1 ‚ng, n¸u epif l mÎt tªp ‚ng trong R : -‡nh ngh¾a 1.2.4. H m f : C ! R [ f+1g ˜Òc gÂi l n˚a li¶n tˆc n d˜Ói ( n˚a li¶n tˆc d˜Ói y¸u ) t¤i iºm x 2 C n¸u vÓi mÂi d¢y fx g C n limf(x ): n n limf(x )): x ! x ) f(x) n (x * x ) f(x) H m f ˜Òc gÂi l n˚a li¶n tˆc d˜Ói ( n˚a li¶n tˆc d˜Ói y¸u) tr¶n C n¸u n‚ n˚a li¶n tˆc d˜Ói (n˚a li¶n tˆc d˜Ói y¸u) t¤i mÂi iºm trong C: H m f ˜Òc gÂi l n˚a li¶n tˆc tr¶n ( n˚a li¶n tˆc tr¶n y¸u ) t¤i iºm x 2 C n n¸u vÓi mÂi d¢y fx g C, n limf(x ): n n limf(x )): x ! x ) f(x) n (x * x ) f(x) H m f ˜Òc gÂi l n˚a li¶n tˆc tr¶n ( n˚a li¶n tˆc tr¶n y¸u ) tr¶n C n¸u n‚ n˚a li¶n tˆc tr¶n ( n˚a li¶n tˆc tr¶n y¸u) t¤i mÂi iºm trong C. H m f ˜Òc gÂi l li¶n tˆc ( li¶n tˆc y¸u ) t¤i iºm x n¸u n‚ Áng thÌi n˚a li¶n tˆc tr¶n ( n˚a li¶n tˆc tr¶n y¸u ) v n˚a li¶n tˆc d˜Ói ( n˚a li¶n tˆc d˜Ói y¸u ) t¤i ‚. H m 9 f ˜Òc gÂi l li¶n tˆc ( li¶n tˆc y¸u) tr¶n C n¸u n‚ li¶n tˆc ( li¶n tˆc y¸u ) t¤i mÂi iºm trong C. H m f ˜Òc gÂi l b¡n li¶n tˆc tr¶n tr¶n C n¸u vÓi mÂi x; y 2 C v 2 [0; + 1], h m sË ( ) = f [ x + (1 )y] l n˚a li¶n tˆc tr¶n t¤i 0 : 1.3 D˜Ói vi ph¥n cıa h m sË N¸u h m f x¡c ‡nh tr¶n C th¼ ta c‚ thº th¡c triºn l¶n to n khÊng gian b¬ng c¡ch °t f(x); x 2 C; F (x) = +1; x 2= C: Do ‚, d˜Ói ¥y ta c‚ thº x²t vÓi h m x¡c ‡nh tr¶n to n khÊng gian. Ta nhc l¤i kh¡i ni»m ¤o h m theo h˜Óng. -‡nh ngh¾a 1.3.1. Cho f : H ! R [ f+1g h m ch½nh th˜Ìng, x 2 domf l v y 2 H. Ta gÂi ¤o h m theo h˜Óng cıa h m f t¤i x l ¤i l˜Òng f(x + x) f(x) 0 f (x; y) = lim : #0 n¸u giÓi h¤n n y tÁn t¤i. 0 N¸u h m f c‚ ¤o h m t¤i x theo mÂi h˜Óng v f (x; :) l mÎt ¡nh x¤ tuy¸n t½nh li¶n tˆc tr¶n H th¼ f ˜Òc gÂi l kh£ vi G¥teaux t¤i x, v theo biºu di¹n Riesz-Fr²chet, tÁn t¤i duy nh§t mÎt v²c-tÏ rf(x) 2 H sao cho: 0 (8y 2 H)f (x; y) = hy; rf(x)i : N¸u c‚ lim f(x + y) 06=y!0 f(x) h y; r(x)i kyk = 0; ta n‚i f l kh£ vi Fr²chet t¤i x, v rf(x) ˜Òc gÂi l ¤o h m Fr²chet cıa f t¤i x. MÎt h m c‚ thº khÊng kh£ vi t¤i mÎt iºm, ta c‚ thº ˜a ra kh¡i ni»m g¦n vÓi kh¡i ni»m kh£ vi nh˜ sau: -‡nh ngh¾a 1.3.2. Cho f : H ! R [ f+1g l 10 h m ch½nh th˜Ìng.