Tài liệu Thế vị logarit có trọng và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THỊ XUÂN THẾ VỊ LOGARIT CÓ TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THỊ XUÂN THẾ VỊ LOGARIT CÓ TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán bộ hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Quang Diệu Thái Nguyên - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kì công trình nào khác. Thái Nguyên, ngày 29 tháng 5 năm 2020 Tác giả luận văn Hoàng Thị Xuân ii LỜI CẢM ƠN Trước hết, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, GS.TSKH Nguyễn Quang Diệu. Em vô cùng biết ơn sự giúp đỡ tận tình, quý báu mà Thầy đã dành cho em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận. Nhờ những ý tưởng mà Thầy đã gợi ý, những tài liệu bổ ích mà Thầy đã cung cấp cùng với sự hướng dẫn, chỉ bảo nhiệt tình của Thầy về công việc nghiên cứu, em đã hoàn thành luận văn của mình. Em xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô khoa Toán trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, trong thời gian qua đã tạo cho chúng em môi trường học tập hết sức thuận lợi và thường xuyên có những lời động viên, nhắc nhở giúp chúng em thực hiện tốt công việc làm khóa luận. Em xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 5 năm 2020 Người thực hiện Hoàng Thị Xuân iii Mục lục Trang bìa phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I 1. Một số kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.Hàm điều hòa dưới trên C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.Năng lượng logarit và năng lượng có trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 I 2. Thế vị logarit có trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.Thế vị có trọng trên C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 2.2.Bất dẳng thức Bernstein-Walsh và tính chất Bernstein-Markov 21 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 iv MỞ ĐẦU Thế vị logarit của một độ đo µ xác định trên tập K ⊂ C được định nghĩa bởi Z Pµ (y) := log K 1 dµ(x). |x − y| Thế vị này dùng để xác định năng lượng logarit của µ và từ đó giúp ta định nghĩa được dung lượng logarit của K. Đây là các khái niệm cổ điển đã được người ta tìm hiểu từ lâu. Trong một công trình gần đây của Thomas Bloom, Norman Levenberg, Vilmos Totik and Franck Wielonsky, người ta đã nghiên cứu các khái niệm thế vị logarit suy rộng, năng lượng logarit suy rộng cùng các ứng dụng của nó. Sự "suy rộng" ở đây được thể hiện là sự xuất hiện của hàm trọng ω trong công thức Z 1 Pµ,ω (y) := log dµ(x), |x − y|ω(x) K với ω > 0 là hàm trọng liên tục xác định trên K. Mục đích của đề tài là trình bày lại một cách hệ thống các tính chất của thế vị logarit có trọng, đặc biệt là ứng dụng vào nghiên cứu các bất đẳng thức Bernstein - Walsh và Bernstein - Markov vào đánh giá chuẩn các đa thức một biến thông qua hàm cực trị có trọng. Đề tài trình bày lại một số kết quả cơ bản của bài báo [2] của Thomas Bloom, Norman Levenberg, Vilmos Totik and Franck Wielonsky. Nội dung chính là các tính chất của thế vị logarit có trọng cùng với ứng dụng của nó vào vấn đề xấp xỉ đa thức và đánh giá độ tăng của đa thức. 1 Chúng tôi dự kiến đạt được một số kết quả về điều kiện đủ để một độ đo thỏa mãn tính chất Bernstein - Markov và một điều kiện của tập compact K cùng với một trọng ω trên đó để thế vị logarit có trọng Pµ,ω < ∞ với một độ đo xác xuất µ nào đó trên K. Các kết quả này sẽ dùng để đặc trưng tập cực trong C. 2 Chương 1 Một số kiến thức cơ sở Ta trình bày tóm tắt một số kiến thức chuẩn bị sẽ được dùng về sau. Những kiến thức này được lấy ra trong tài liệu [1]. 1.1. Hàm điều hòa dưới trên C Định nghĩa 1.1.1. Giả sử X là không gian tôpô. Hàm u : X → [−∞, +∞) gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mỗi α ∈ R tập Xα = {x ∈ X : u(x) < α} là mở trong X. Hàm v : X → [−∞, +∞) gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu −v là nửa liên tục trên trên X. Chúng ta có thể dễ thấy định nghĩa trên tương đương với định nghĩa mang tính địa phương sau. Giả sử u : X → (−∞, +∞]. Ta nói hàm u là nửa liên tục trên tại x0 ∈ X nếu ∀ε > 0 tồn tại lân cận Ux0 của x0 trong X sao cho ∀x ∈ Ux0 ta có: u(x) < u(x0 ) + ε nếu u(x0 ) 6= −∞ 1 u(x) < − nếu u(x0 ) 6= −∞. ε Hàm u gọi là nửa liên tục trên X nếu u nửa liên tục trên tại mọi x0 ∈ X. Mặt khác nếu ta cho định nghĩa sau. Giả sử E ⊂ X và u : E → [−∞, +∞) là hàm trên E. Giả sử x0 ∈ E. Ta định nghĩa lim sup u(x) = inf{sup{u(y) : y ∈ V }} x→x0 , x∈E 3 ở đó inf lấy trên các V chạy qua các lân cận của x0 . Khi đó có thể thấy rằng hàm u : E → [−∞, +∞) là nửa liên tục trên tại x0 ∈ X nếu lim sup u(x) ≤ u(x0 ). x→x0 Ta có kết quả sau Định lý 1.1.2. Giả sử u là hàm nửa liên tục trên trên không gian tôpô X và K b X là tập compact. Khi đó u đạt cực đại trên K. Chứng minh. Các tập {x ∈ X : u(x) < n} với n ≥ 1 tạo nên phủ mở của K. Do đó có phủ con hữu hạn phủ K. Vậy u bị chặn trên trên K. Giả sử M = sup{u(x) : x ∈ K}. Khi đó các tập mở {x ∈ X : u(x) < M − n1 } không thể phủ K. Vậy có x0 ∈ K sao cho u(x0 ) ≥ M − 1 n với mọi n. Vậy u(x0 ) = M , và định lý được chứng minh. Tiếp theo ta cần định lý xấp xỉ sau đối với các hàm nửa liên tục trên. Định lý 1.1.3. Giả sử u là hàm nửa liên tục trên và bị chặn trên trên không gian metric (X, d). Khi đó tồn tại dãy giảm các hàm liên tục Φn : X → R với lim Φn (x) = u(x), ∀x ∈ X. n→∞ Định nghĩa 1.1.4. Giả sử Ω là tập mở trong C. Hàm u : Ω → [−∞, +∞) gọi là điều hòa dưới trên Ω nếu nó nửa liên tục trên trên Ω, u 6≡ −∞ trên bất một thành phần liên thông của Ω và thỏa mãn bất đẳng thức dưới trung bình trên Ω, nghĩa là với mọi w ∈ Ω tồn tại % > 0 sao cho mọi o ≤ r < % ta có 1 u(w) ≤ 2π Z 2π u(w + reit )dt. 0 Ta kí hiệu tập các hàm điều hòa dưới trên Ω là SH(Ω). Sau đây là ví dụ đáng chú ý về hàm điều hòa dưới 4 (1.1) Mệnh đề 1.1.5. Nếu f : Ω → C là hàm chỉnh hình trên Ω thì log |f | là hàm điều hòa dưới. Mệnh đề 1.1.6. Giả sử u, v là các hàm điều hòa dưới trên tập mở Ω trong C. Khi đó: (i) max(u, v) là hàm điều hòa dưới trên Ω. (ii) Tập các hàm điều hòa dưới trên Ω là một nón, nghĩa là nếu u, v ∈ SH(Ω) và α, β > 0 thì αu + βv cũng thuộc SH(Ω). Bây giờ ta đi đến nguyên lí cực đại của các hàm điều hòa dưới nói rằng giá trị cực đại của hàm đa điều hòa dưới trên tập mở chỉ đạt trên biên của tập mở đó. Định lý 1.1.7. Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên miền bị chặn Ω trên C. Khi đó: (i) Nếu u đạt cực đại toàn thể tại một điểm trên Ω thì u là hằng số trên Ω. (ii) Nếu lim supz→ζ u(z) ≤ 0 đối với mọi ζ ∈ ∂Ω thì u ≤ 0 trên Ω. Kết quả sau cho một điều kiện khi nào một hàm lớp C 2 là điều hòa dưới. Định lý 1.1.8. Giả sử u ∈ C 2 (Ω). Khi đó u là điều hòa dưới trên Ω khi và chỉ khi 4u ≥ 0 trên Ω, ở đó ∂ 2u ∂ 2u 4u = 2 + 2 ∂x ∂y là Laplace của u. Kết quả sau đây rất có lợi khi cần dán hai hàm điều hòa dưới để cho ta hàm điều hòa dưới. 5 Định lý 1.1.9. Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên tập mở Ω1 và v là hàm điều hòa dưới trên tập mở Ω2 ⊂ Ω1 . Giả thiết lim sup v(z) ≤ u(ζ), đối với mọi ζ ∈ Ω1 ∩ ∂Ω2 . z→ζ Khi đó ũ xác định trên Ω1 :   max(u, v) trên Ω 2 ũ = u trên Ω1 \Ω2 là điều hòa dưới trên Ω1 . Định lý 1.1.10. Giả sử {un } là dãy giảm các hàm điều hòa dưới trên tập mở Ω trên C và u = limn→∞ un . Khi đó u là điều hòa dưới trên Ω. Định lý 1.1.11. Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên miền Ω. Khi đó u khả tích địa phương trên Ω, nghĩa là với mọi K b Ω ta có Z |u|dV < +∞. K Hệ quả 1.1.12. Giả sử u là hàm đa điều hòa dưới trên miền Ω ⊂ C sao cho u 6≡ −∞ trên Ω. Khi đó tập E = {z ∈ Ω; u(z) = −∞} có độ đo Lebesgue bằng 0. Tiếp sau đây ta có định lý xấp xỉ cơ bản sau. Đó là kết quả nói rằng với mọi hàm điều hòa dưới trên tập mở Ω ⊂ C có thể xấp xỉ bởi một dãy hàm điều hòa dưới trơn. Ta nhắc lại khái niệm tích chập của hai hàm khả tích địa phương. Định nghĩa 1.1.13. Giả sử Ω là tập mở của C. với mỗi r > 0 đặt Ωr = {z ∈ Ω : d(z, ∂Ω) > r}. Giả sử u : Ω → [−∞, +∞) là hàm khả tích địa phương trên Ω và giả sử φ : C → R là hàm khả tích với suppφ ⊂ 4(0, r). Khi đó ta xác định được 6 tích chập u ∗ φ(z) : Ωr → R theo công thức Z Z u ∗ φ(z) = u(z − w)φ(w)dV (w) = u(w)φ(z − w)dV (w). C C Ta có nếu φ là hàm trơn thì u ∗ φ cũng là hàm trơn. Ta có kết quả sau. Định lý 1.1.14. Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên tập mở Ω ⊂ C với u 6≡ −∞. Giả sử χ : Rn → R là hàm cho bởi:  1 2  ke− 1−||x|| Nếu ||x|| < 1 (1.2) χ(x) = 0 Nếu ||x|| ≥ 1 pPn n 2 ở đó ||x|| = i=1 xi , x = (x1 , . . . , xn ) ∈ R và k > 0 là hằng số được chọn sao cho: Z χ(x)dV = 1 Rn ở đó dV là độ đo Lebesgue trên Rn . Với n = 2, R2 ' C. Với mỗi r > 0 đặt χr (z) = 1 z χ( ) (z ∈ C). r2 r Khi đó u ∗ χr là hàm điều hòa dưới trơn trên Ωr và u ∗ χr & u trên Ω khi r & 0. Ta có hệ quả sau Hệ quả 1.1.15. Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên tập mở Ω ⊂ C và D là miền compact tương đối trong Ω. Khi đó tồn tại dãy hàm điều hòa dưới {un } trơn trên D giảm tới u trên D. Định lý 1.1.16. Giả sử f : Ω1 → Ω2 là ánh xạ chỉnh hình giữa hai tập mở trong C. nếu u là hàm điều hòa dưới trên Ω2 thì u ◦ f là điều hòa dưới trên Ω1 . Ta có kết quả sau 7 Định lý 1.1.17. Giả sử u, v là các hàm điều hòa dưới trên tập mở Ω ⊂ C sao cho u = v (tương ứng u ≥ v) hầu khắp nơi trên Ω. Khi đó u = v (tương ứng u ≥ v) trên Ω. 1.2. Năng lượng logarit và năng lượng có trọng Cho µ là độ đo Borel chính quy xác định trên tập compact K ⊂ C. Ta định nghĩa thế vị của độ đo µ là Z Iµ (z) := log |z − w|dµ(w), z ∈ C. K Tính chất cơ bản của µ được mô tả trong kết quả sau. Định lý 1.2.1. Hàm số Iµ thỏa mãn các tính chất sau đây: (a) Iµ là hàm điều hòa dưới trên C; (b) Iµ là hàm điều hòa trên C\K; (c) Iµ thỏa mãn ràng buộc về độ tăng sau đây: Iµ = µ(K) log |z| + O(|z|−1 ) khi |z| → ∞. Kết quả trên được chứng minh dựa vào các tính chất của hàm điều hòa dưới đã nói ở phía trước. Mối liên hệ giữa tập đa cực và thế vị logarit còn được thể hiện trong kết quả sau: Mệnh đề 1.2.2. Cho µ là độ đo Borel chính quy trên tập compact k ⊂ C. Giả sử I(µ) > −∞. khi đó với mọi tập cực E ⊂ C ta có µ(E) = 0. 8 Chương 2 Thế vị logarit có trọng Những kiến thức trong chương này được lấy ra trong tài liệu [2] và [3]. 2.1. Thế vị có trọng trên C Trong phần này, chúng tôi phát biểu và chứng minh các kết quả, kể cả sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của độ đo năng lượng có trọng tối thiểu, trong một đơn vị tổng quát. Nhớ lại tập E ⊂ C là tập cực nếu tồn tại u 6≡ −∞ được xác định và điều hòa dưới trên lân cận của E với E ⊂ {u = −∞}. Chúng ta sử dụng thuật ngữ tính chất đúng hầu khắp nơi trên tập S ⊂ C nếu nó đúng trên S \P với P là một tập cực. Trong [2], cho tập compact, không cực K ⊂ C, một hàm giá trị thực Q trên K được gọi là chấp nhận được nếu Q là nửa liên tục dưới và {z ∈ K : Q(z) < ∞} là tập không cực. Ta viết Q ∈ A(K) và định nghĩa w(z) := e−Q(z) . Nếu K là đóng nhưng không bị chặn thì đòi hỏi rằng lim inf [Q(z) − |z|→∞,z∈K 1 log(1 + |z|2 )] = ∞. 2 (2.1) Giả sử K ⊂ C là tập đóng, không cực, và f : K → C là liên tục. Cho K compact, lớp có trọng chấp nhận được Q trên K thỏa mãn mục đích của chúng ta; với tập không bị chặn K, chúng ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 2.1.1. Ta gọi một hàm nửa liên tục dưới Q trên một tập đóng, không bị chặn K ⊂ C với {z ∈ K : Q(z) < ∞} không cực f - chấp 9 nhận được với K nếu ψ(z) := Q(x) − 1 log[(1 + |z|2 )(1 + |f (z)|2 )] 2 thỏa mãn lim|z|→∞,z∈K ψ(z) = ∞. Suy ra ψ(z) ≥ c = c(Q) > −∞ với mọi z ∈ K; cũng từ 1 + |f (z)|2 ≥ 1, ta có ψ(z) ≤ Q(z) − 12 log(1 + |z|2 ) vậy nên Q là chấp nhận được trên nguyên lý thế vị trong [2]. Giả thiết sự phát triển của Q phụ thuộc nhiều vào f . Ta nói Q là mạnh chấp nhận được trên K nếu tồn tại σ > 0 sao cho (1 − σ)Q là chấp nhận được trên K. Ta cũng nhớ lại sự định nghĩa của năng lượng logarit của µ. Z Z 1 I(µ) := dµ(x)dµ(y) log |x − y| K K R 1 trong đó pµ (y) := K log |x−y| dµ(x) là thế vị logarit của µ. Cho tập compact K ⊂ C, dung lượng logarit của K là cap(K) := exp[− inf{I(µ) : µ ∈ M (K)}]. (2.2) Vấn đề nguyên lý thế vị có trọng chúng ta nghiên cứu là làm giảm thiểu năng lượng có trọng EfQ (µ) Q Z Z = E (µ) := log K K 1 dµ(x)dµ(y) |x − y||f (x) − f (y)|w(x)w(y) (2.3) trên µ ∈ M(K), tập độ đo xác suất trên K. do đó w = e−Q . Chú ý rằng tích phân kép ở (2.3) được xác định và khác −∞. Thật vậy, cho k(x, y) := − log(|x − y||f (x) − f (y)|w(x)w(y)). Sử dụng bất đẳng thức |u − v| ≤ p 1 + |u|2 (2.4) p 1 + |v|2 , ta có log |x − y| + log |f (x) − f (y)| 1 1 1 1 ≤ log(1 + |x|2 + log(1 + |y|2 ) + log(1 + |f (x)|2 + log(1 + |f (y)|2 . 2 2 2 2 10 Do đó theo Định nghĩa 2.1.1, ta có k(x, y) ≥ ψ(x) + ψ(y) ≥ 2c trong K × K, (2.5) và tích phân của tích phân kép là bị chặn dưới bởi 2c. Cho tập Borel E ⊂ C, cap(E) có thể được xác định là exp[−inf I(µ)] trong đó cận dưới đúng là độ đo Borel sác xuất với giá compact trong E. Năng lượng logarit có trọng của µ tương ứng với Q là Z Z 1 dµ(x)dµ(y). I Q (µ) := log |x − y|w(x)w(y) K K (2.6) Từ 1 + |f (x)|2 ≥ 1, tích phân kép ở (2.6) là được xác định và khác −∞. R Khi I(µ) 6= −∞ hoặc Qdµ < ∞, ta có thể viết lại I Q (µ) như sau Z Q Qdµ. I (µ) = I(µ) + 2 K Từ đó ta có 1 log dµ(x)dµ(y) |f (x) − f (y)| K K Z Z 1 = log df∗ µ(a)df∗ µ(b) |a − b| f (K) f (K) Z = pf∗ µ (b)df∗ µ(b) f (K) Z = pf∗ µ (f (z))dµ(z). Z Z I(f∗ µ) = K Khi I Q (µ) 6= +∞ hoặc I(f ∗ µ) 6= −∞, năng lượng E Q (µ) có thể viết lại như sau E Q (µ) = I Q (µ) + I(f∗ µ). Mệnh đề 2.1.2. Cho K ⊂ C là đóng và cho Q là f - chấp nhận được trên K. Giả sử tồn tại ν ∈ M(K) với E Q (ν) < ∞. Cho Vw := inf {E Q (µ), µ ∈ M(K)}. Khi đó ta có các khẳng định sau: 1. Vw là hữu hạn. 11 2. Với KM := {z : Q(z) ≤ M }, ta có với M đủ lớn, M < ∞, Vw = inf{E Q (µ), µ ∈ M (KM )}. 3. Ta có sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của µK,Q giảm đến mức tối thiểu E Q . độ đo µK,Q có giá compact và năng lượng logarit I(µK,Q ), I(f∗ µK,Q ) là hữu hạn. 4. Các bất đẳng thức dạng Frostman luôn đúng: pµK,Q (z) + pf∗ µK,Q (f (z)) + Q(z) ≥ Fw q.e. trong K, (2.7) pµK,Q (z) + pf∗ µK,Q (f (z)) + Q(z) ≤ Fw trong supp(µK,Q ), (2.8) trong đó Fw := I(µK,Q ) + I(f∗ µK,Q ) + R Qd(µK,Q = Vw − R Qd(µK,Q . 5. Nếu một độ đo µ ∈ M(K) với giá compact và E Q (µ) < ∞ thỏa mãn pµ (z) + pf∗ µ (f (z)) + Q(z) ≥ C q.e. trên K, (2.9) pµ (z) + pf∗ µ (f (z)) + Q(z) ≤ C trong supp(µ), (2.10) với hằng số C, khi đó µ = µK,Q . Chứng minh. Với (1), ta có Vw < ∞ theo giả thiết. Bất đẳng thức −∞ < Vw được suy ra từ tích phân kép trong (2.3) là bị chặn dưới bởi 2c. Chứng minh ý (2). Trước tiên, cho M đủ lớn, k(x, y) > Vw + 1 nếu (x, y) ∈ / KM × KM . Từ đó suy ra E Q (µ) = Vw chỉ tồn tại với độ đo có giá trong KM . Tiếp theo ta chứng minh (3). Từ (2), có một dãy {µn } ⊂ M(KM ) với E Q (µn ) → Vw khi n → ∞. Tập KM là tập compact, do đó theo định lý Helly, ta có một dãy các độ đo hội tụ yếu tới độ đo xác suất µ có giá trên KM ; và dễ thấy rằng µ := µK,Q thỏa mãn E Q (µ) = Vw . Với năng lượng logarit của µK,Q , ta có 12 I(µK,Q ) > −∞ vì µK,Q có giá compart. Vì f là liên tục và f∗ µK,Q có giá của nó trong f (KM ), nên ta cũng có I(f∗ µK,Q ) > −∞. Lại có Q bị chặn dưới nên ta có thể viết I(µK,Q ) như sau I(µK,Q ) = Vw − I(f∗ µK,Q ) − 2 Z QdµK,Q . K Vì I(µK,Q ) < ∞ nên I(f∗ µK,Q ) < ∞. Tính duy nhất được suy ra từ µ → I(µ) là lồi chặt và µ → I(f∗ µ) là lồi trên tập con hữu hạn của M(K). Để chính xác, cho µ1 và µ2 là hai độ đo với năng lượng hữu hạn và µ1 (K) = µ2 (K), ta có I(µ1 − µ2 ) ≥ 0 và I(µ1 − µ2 ) = 0 nếu và chỉ nếu µ1 = µ2 . Nếu µ̄ ∈ M(K) là một độ đo khác với giá trị cực tiểu E Q thì theo chứng minh của (2), ta có µ̄ ∈ M(KM ). Do đó I(µ̄), I(f∗ µ̄) > −∞. Suy ra I(µ̄), I(f∗ µ̄) < ∞. Ta có 1 1 1 1 E Q ( (µK,Q +µ))+I( (µK,Q −µ))+I(f∗ ( (µK,Q −µ)) = [E Q (µK,Q )+E Q (µ)] = Vw . 2 2 2 2 Tổng 1 1 I( (µK,Q − µ)) + I(f∗ ( (µK,Q − µ)) ≥ 0 2 2 là đẳng thức nếu và chỉ nếu µK,Q = µ. Do đó ta có điều phải chứng minh. Tiếp theo ta sẽ chứng minh bất đẳng thức thứ nhất của (4). Cho µ ∈ M(K) với giá compact và xét độ đo µ̃ = tµ + (1 − t)µK,Q , t ∈ [0, 1]. Bất đẳng thức E Q (µK,Q ) ≤ E Q (µ̃) có thể viết lại như sau E Q µK,Q ≤ t2 (I(µ) + I(f∗ µ)) + (1 − t)2 (I(µK,Q ) + I(f∗ µK,Q )) Z + 2t(1 − t)(I(µ, µK,Q ) + I(f∗ µ, f∗ µK,Q )) + 2 Qd(tµ + (1 − t)µK,Q ), trong đó với hai độ đo µ và ν, ta biểu thị I(µ, ν) bởi Z Z I(µ, ν) = − log |x − y|dµ(x)dν(y). Vế phải của bất đẳng thức được xác định từ giả thiết rằng µ có giá compact. Suy ra tất cả các hạng tử trong tổng là lớn hơn −∞. Cho t tiến 13 dần tới 0 ta thu được Z Fw = I(µK,Q ) + I(f∗ µK,Q ) + QdµK,Q Z ≤ I(µ, µK,Q ) + I(f∗ µ, f∗ µK,Q ) + Qdµ. (2.11) Xuất phát từ sự mâu thuẫn, giả sử rằng tồn tại một tập con compact không cực K của K sao cho ∀z ∈ K, pµK,Q (z) + pf∗ µK,Q (f (z)) + Q(z) < Fw . Tích phân bất đẳng thức này đối với độ đo xác suất µ có giá trong K, ta thu được Z I(µ, µK,Q ) + I(f∗ µ, f∗ µK,Q ) + Qdµ < Fw , mâu thuẫn với (2.11). Bất đẳng thức thứ hai của (4) cũng mâu thuẫn. Thật vậy, giả sử ∃x0 ∈ supp(µK,Q ), pµK,Q (x0 ) + pf∗ µK,Q (f (x0 )) + Q(x0 ) > Fw . Bởi tính nửa liên tục dưới, bất đẳng thức thỏa mãn trong một lân cận Vx0 của x0 . Hơn nữa, µK,Q (Vx0 ) > 0 vì x0 ∈ supp(µK,Q ). Sử dụng bất đẳng thứ nhất (2.7) trên supp(µK,Q )\Vx0 và µK,Q (E) = 0 với E là tập cực (Vì µK,Q có năng lượng logarit hữu hạn I(µK,Q )), ta thu được Z Fw = (pµK,Q (z) + pf∗ µK,Q (f (z)) + Q(z))dµK,Q (z) > Fw µK,Q (Vx0 ) + Fw µK,Q (supp(µK,Q )\Vx0 ) = Fw . Điều này là mâu thuẫn Cuối cùng, ta chứng minh (5). Ta viết µK,Q = µ + (µK,Q − µ). Khi đó E Q (µ) ≥ E Q (µK,Q ) = E Q (µ) + I(µK,Q − µ) + I(f∗ (µK,Q − µ)) + 2R 14 với Z Z R := [ − log |x − y|dµ(y) + Q(x)]d(µK,Q − µ)(x) KZ KZ − log |f (x) − f (y)|dµ(y)d(µK,Q − µ)(x) K K Z Z = (pµ (x) + Q(x))d(µK,Q − µ)(x) + pf∗ µ(f (x))d(µK,Q − µ)(x) K K Z = (pµ (x) + pf∗ µ (f (x)) + Q(x))d(µK,Q − µ)(x). K Chú ý rằng mâu thuẫn ở trên đã được chứng minh. Thật vậy, giả sử R E Q (µ) < ∞ và µ có giá compact, các số E Q (µ), I Q (µ), I(f∗ µ), I(µ), Qdµ và I(µ, µK,Q là hữu hạn. Sử dụng bất đẳng thức (2.9) và (2.10), ta suy ra Z Z R≥C dµK,Q − C dµ = 0. K K Lại có I(µK,Q − µ) + I(f∗ (µK,Q − µ)) ≥ 0 là đẳng thức nếu và chỉ nếu µK,Q = µ. Do đó E Q (µ) ≥ E Q (µK,Q ) ≥ E Q (µ). Vậy nên đẳng thức đúng hầu khắp nơi và E Q (µ) = E Q (µK,Q ), từ đó suy ra µ = µK,Q Điều kiện tồn tại ν ∈ M(K) với E Q (ν) < ∞ là không hiển nhiên. Ví dụ, nếu f là hàm hằng, khi đó tất cả các độ đo tầm thường ν có I(f∗ ν) = ∞. Ta đưa ra một điều kiện đủ trên f đảm bảo giả thiết của Mệnh đề 2.1.2. Mệnh đề 2.1.3. Nếu f : K → C là liên tục và   ) (  f (z ) − f (z )   1 2  Σ := z ∈ K : Q(z) < ∞ và lim inf  >0 (z1 ,z2 )→(z,z)  z1 − z2  z1 ,z2 ∈K, z1 6=z2 là không cực, khi đó tồn tại ν ∈ M(K) với E Q (ν) < ∞. Chứng minh. Cho D := {(z, z) : z ∈ K}. Định nghĩa    f (z ) − f (z )   1 2  φ(z1 , z2 ) :=  ;  z1 − z2  15