Tài liệu Thác triển khai toán tử ngẫu nhiên trong không gian banach khả ly

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Mạnh Cường THÁC TRIỂN TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN TRONG KHÔNG GIAN BANACH KHẢ LY LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Mạnh Cường THÁC TRIỂN TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN TRONG KHÔNG GIAN BANACH KHẢ LY Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 62 46 15 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: HDC: GS.TSKH. ĐẶNG HÙNG THẮNG HDP: PGS.TS. PHAN VIẾT THƯ Hà Nội - 2011 Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Bảng ký hiệu v Mở đầu 7 0 Kiến thức chuẩn bị 12 1 Tính chính quy và sự biểu diễn chuỗi toán tử 1.1 Định nghĩa toán tử ngẫu nhiên và các ví dụ . 1.2 Các tính chất chính quy . . . . . . . . . . . . 1.3 Biểu diễn chuỗi toán tử ngẫu nhiên . . . . . . ngẫu nhiên 22 . . . . . . . 22 . . . . . . . 23 . . . . . . . 34 2 Thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 2.1 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính thác triển được . . . . . . . 2.2 Thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trong không gian có cơ sở Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Miền tác động mở rộng của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Trường hợp ảnh của cơ sở là các biến ngẫu nhiên độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 40 3 Thác triển toán tử ngẫu nhiên bất kỳ 3.1 Phương pháp thác triển theo dãy . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Phương pháp thác triển theo chuỗi . . . . . . . . . . . . . 61 61 72 iii 48 49 55 MỤC LỤC Kết luận và kiến nghị Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . . . . Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 86 86 86 87 Tài liệu tham khảo 88 Chỉ dẫn 91 iv Bảng ký hiệu N Tập các số tự nhiên Z Tập số nguyên Q Tập các số hữu tỷ R Tập các số thực P Độ đo xác suất E Kỳ vọng LX 0 (Ω) Không gian các biến ngẫu nhiên X - giá trị LX p (Ω) Không gian các biến ngẫu nhiên X - giá trị khả tích cấp p C[a, b] Không gian các hàm liên tục trên [a, b] L2 [a, b] Không gian các hàm bình phương khả tích trên [a, b] p-lim Hội tụ theo xác suất P − X Xn hội tụ theo xác suất đến X Xn → F(u) σ-trường sinh bởi biến ngẫu nhiên u F(Φ) σ-trường sinh bởi họ biến ngẫu nhiên {Φx, x ∈ X} h.c.c. Hầu chắc chắn L(X, Y ) Tập các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y . v Mở đầu Trong vài thế kỷ qua, với công lao đóng góp của nhiều thế hệ các nhà toán học, giải tích toán học đã trở thành một lâu đài đồ sộ với những toà nhà tráng lệ: phép tính vi tích phân, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết các toán tử tuyến tính,... Nó cung cấp cho nhiều ngành khoa học, kỹ thuật những công cụ hết sức đắc lực để xử lý và tính toán các mô hình tất định. Tuy nhiên, thế giới chúng ta đang sống là một thế giới ngẫu nhiên. Mọi phần tử trong thế giới đó luôn bị tác động, can thiệp bởi các nhân tố ngẫu nhiên. Phần lớn các hệ động lực, các quá trình trong tự nhiên là các hệ động lực và các quá trình ngẫu nhiên. Thành thử, một nhu cầu tất yếu đặt ra là cần có các mô hình ngẫu nhiên để phản ánh thực tế đúng đắn, sinh động hơn. Giải tích ngẫu nhiên ra đời từ nhu cầu đó. Hầu hết các mô hình ngẫu nhiên đều là sự ngẫu nhiên hoá các mô hình tất định đã biết. Toán tử ngẫu nhiên cũng không nằm ngoài quy luật đó. Cho X, Y là các không gian Banach khả ly, (Ω, F, P) là không gian xác suất cơ sở. Trong giải tích tất định, ta hiểu một ánh xạ f từ X vào Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x ∈ X một và chỉ một phần tử y ∈ Y . Tuy nhiên, nếu có tác động của nhiễu thì ảnh của x qua ánh xạ f chưa chắc đã là phần tử tất định f (x) ∈ Y mà có thể là một giá trị nào đó. Như vậy, thay vì xem f (x) là phần tử tất định của Y ta có thể coi nó là một biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong Y . Khi đó, ánh xạ f được gọi là toán tử ngẫu nhiên (random operator) hay ánh xạ ngẫu nhiên từ X vào Y. Như ta đã trình bày ở trên, toán tử ngẫu nhiên Φ từ E ⊂ X vào Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử tất định x ∈ E một biến ngẫu nhiên Y - giá trị Φx. Tuy nhiên có nhiều bài toán dẫn đến nhu cầu mở rộng miền tác động của toán tử ngẫu nhiên như: • Khi có nhiễu ở đầu vào thì đầu vào không phải là một phần tử tất định mà là một biến ngẫu nhiên E - giá trị. Khi đó, ta cần định nghĩa 7 Mở đầu được sự tác động của Φ lên phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên E. • Khi ta muốn định nghĩa hợp của các toán tử ngẫu nhiên Φ và Ψ từ X vào X theo cách (Ψ ◦ Φ)(x) = Ψ(Φ(x)) thì ta cần định nghĩa ảnh của biến ngẫu nhiên Φ(x) qua toán tử ngẫu nhiên Ψ. • Một bài toán mà ta đã Rrất quen thuộc là bài toán mở rộng tích 1 phân ngẫu nhiên Wiener 0 x(t)dW (ω, t) thành tích phân ngẫu nhiên R1 0 x(t, ω)dW (ω, t) mà hàm lấy tích phân là hàm ngẫu nhiên x(t, ω) thay vì hàm tất định x(t). Tích phân ngẫu nhiên Ito là một dạng mở rộng như vậy. Vậy mục tiêu của ta là thác triển toán tử ngẫu nhiên trên một miền tác động càng rộng càng tốt và vẫn giữ được một số tính chất tốt của ánh xạ Φ. Có thể có nhiều cách định nghĩa ảnh Φu của biến ngẫu nhiên E - giá trị u qua toán tử ngẫu nhiên Φ nhưng trước hết cần thoả mãn các điều kiện sau: • Φu(ω) là biến ngẫu nhiên Y - giá trị. • Nếu toán tử ngẫu nhiên Ψ là bản sao của toán tử ngẫu nhiên Φ thì Φu(ω) = Ψu(ω) h.c.c. Dường như ta có thể định nghĩa Φu bằng phép thế trực tiếp Φu(ω) = Φ (ω, u(ω)) . Tuy nhiên, các ví dụ sau cho thấy không phải lúc nào ta cũng có thể làm được như vậy vì việc thế trực tiếp như vậy sẽ vi phạm các điều kiện vừa nêu. Ví dụ 0.0.1. Lấy Ω = X, F = B(X) và P là một độ đo xác suất không atom. Cho a, b là hai phần tử khác nhau của Y và D là tập không Borel của X. Xét toán tử ngẫu nhiên Φ từ X vào Y xác định bởi   a nếu ω = x ∈ D, Φ(ω, x) =  b nếu ngược lại. Khi đó, với u ∈ LX 0 (Ω) xác định bởi u(ω) = ω ta có {ω : Φ(ω, u(ω)) = a} = {ω : Φ(ω, ω) = a} = D ∈ / F. 8 Mở đầu Vậy Φu(ω) không đo được hay nói khác đi Φu không là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong Y . Trong ví dụ này điều kiện thứ nhất đã không được thoả mãn, tức là Φu không là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong Y . Ví dụ sau cho thấy mặc dù Φu là biến ngẫu nhiên Y - giá trị nhưng nó lại phụ thuộc vào việc chọn bản sao của Φ. Ví dụ 0.0.2. Cho (Ω, A, P) = ([0; 1], B, µ) trong đó µ là độ đo Lebesgue và X = Y = R. Ta xác định hai toán tử ngẫu nhiên Φ và Ψ trên R như sau   x.ω nếu x 6= ω, Φ(ω, x) =  1 nếu x = ω. Ψ(ω, x) = xω ∀ω ∈ Ω ∀x ∈ X. Rõ ràng là Φ và Ψ là các bản sao của nhau. Xét biến ngẫu nhiên u(ω) cho bởi u(ω) = ω ∀ω ∈ Ω. Ta có Φu(ω) = Φ (ω, u(ω)) = 1; Ψu(ω) = Ψ (ω, u(ω)) = ω 2 . Do đó Φu(ω) 6= Ψu(ω) ∀ω 6= 1. Như vậy, bằng phép thế trực tiếp ta không thể định nghĩa được Φu một cách đúng đắn. Bài toán đặt ra là bằng cách nào đó hãy định nghĩa sự tác động của toán tử ngẫu nhiên Φ lên biến ngẫu nhiên u nhận giá trị trên E sao cho Φ vẫn giữ được một số tính chất tốt. Bài toán thác triển toán tử ngẫu nhiên đã được các tác giả Đặng Hùng Thắng, Nguyễn Thịnh nghiên cứu và đã đạt được một số kết quả cho trường hợp toán tử ngẫu nhiên tuyến tính được công bố trong [15]. Trong luận án này ngoài các tính chất chính quy, sự biểu diễn chuỗi của toán tử ngẫu nhiên, chúng tôi sẽ trình bày chi tiết hơn các phương pháp thác triển toán tử ngẫu nhiên (không nhất thiết tuyến tính). Ngoài phần mở đầu và phần kiến thức chuẩn bị (chương 0), luận án gồm ba chương chính. Chương 1: Trình bày về toán tử ngẫu nhiên, các tính chất chính quy của toán tử ngẫu nhiên, quan hệ giữa các tính chất chính quy cũng như 9 Mở đầu một số điều kiện cần, đủ để có các tính chất chính quy đó. Các kết quả này đã được Nguyễn Thịnh trình bày trong luận án tiến sĩ của mình (xem [8]). Ngoài ra, chương này còn trình bày về sự biểu diễn chuỗi của toán tử ngẫu nhiên. Các kết quả này là mới và được đăng trong bài báo [3] (xem Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án). Chương 2: Trình bày về một số kết quả trong việc thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính, tức toán tử ngẫu nhiên có tính chất tuyến tính ngẫu nhiên và liên tục ngẫu nhiên, từ X vào Y trong hai trường hợp. Chương 2 gồm hai phần: Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính thác triển được và Thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trong không gian có cơ sở Schauder. Các kết quả trong phần đầu đã được các tác giả Đặng Hùng Thắng và Nguyễn Thịnh công bố trong [15]. Trong phần thứ hai, chúng tôi xét toán ∞ P tử ngẫu nhiên Φ có khai triển chuỗi dạng Φx = (x, e∗n )Φen trong đó n=1 e = (en ) là cơ sở Schauder của X và (e∗n ) là cơ sở liên hợp của (en ). Khi đó chúng tôi định nghĩa một biến ngẫu nhiên u nhận giá trị trên X thuộc ∞ P (u, e∗n )Φen hội tụ trong LY0 (Ω) miền tác động mở rộng của Φ nếu chuỗi n=1 và tổng tương ứng được gọi là ảnh của u qua Φ. Chúng tôi đã tìm được một số điều kiện đủ để một biến ngẫu nhiên u thuộc miền tác động mở rộng của Φ, các điều kiện cần và đủ để có thể thác triển toán tử ngẫu nhiên Φ lên toàn bộ không gian các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên X. Ngoài ra chúng tôi còn đưa ra một số kết quả trong trường hợp đặc biệt khi các biến ngẫu nhiên Φei , i = 1, 2, ... độc lập. Các kết quả của phần này là mới và đã được công bố trong bài báo [1] (xem Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án). Chương 3: Trình bày các kết quả thác triển toán tử ngẫu nhiên bất kỳ. Trong chương này, chúng tôi đã đưa ra hai thủ tục chính để có thể thác triển một toán tử ngẫu nhiên bất kỳ là phương pháp thác triển theo dãy và phương pháp thác triển theo chuỗi ngẫu nhiên. Các kết quả này là mới và đã được công bố trong bài báo [2] (xem Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án). Theo phương pháp thác triển toán tử ngẫu nhiên theo dãy, đầu tiên ta định nghĩa tác động của Φ lên các biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị trên E ⊂ X sau đó nhờ vào việc xấp xỉ biến ngẫu nhiên E-giá trị u bởi dãy biến ngẫu nhiên rời rạc un ta có thể định nghĩa ảnh của u qua toán tử ngẫu nhiên Φ. Phần này chính là sự mở rộng các kết quả trong chương 2, mục 2.1. Theo cách này, chúng tôi tìm được một số điều kiện đủ để biến ngẫu nhiên u thuộc miền tác động của Φ theo kiểu thác triển dãy cũng 10 Mở đầu như tìm được một số điều kiện cần, đủ để có thể thác triển ánh xạ Φ lên toàn bộ không gian các biến ngẫu nhiên E-giá trị. Với phương pháp thác triển toán tử ngẫu nhiên theo chuỗi, chúng tôi ∞ P xét các toán tử ngẫu nhiên có khai triển chuỗi dạng Φx = αn fn x trong n=1 đó αn là các biến ngẫu nhiên thực (tương ứng biến ngẫu nhiên Y -giá trị) và fn là ánh xạ đo được từ E ⊂ X vào Y (tương ứng đo được từ E ⊂ X vào R). Như vậy, khi Φ là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính và X là không gian Banach có cơ sở Schauder thì Φ có khai triển chuỗi dạng này. Biến ngẫu nhiên u nhận giá trị trên E thuộc miền tác động của toán tử ngẫu nhiên ∞ P Φ nếu chuỗi αn fn u hội tụ trong LY0 (Ω). Chúng tôi cũng tìm được một n=1 số điều kiện đủ để u thuộc miền tác động mở rộng của Φ cũng như một số điều kiện cần, đủ để có thể thác triển toán tử ngẫu nhiên Φ lên toàn bộ không gian các biến ngẫu nhiên E-giá trị. Đây chính là sự mở rộng các kết quả của chương 2, phần 2.2. Trong một số trường hợp đặc biệt, chúng tôi cũng nghiên cứu về mối quan hệ giữa hai kiểu thác triển trên. Hà Nội, ngày 31 tháng 5 năm 2010 Nghiên cứu sinh Trần Mạnh Cường 11 Chương 0 Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày một số kiến thức cần thiết chuẩn bị cho các chương tiếp theo để người đọc dễ theo dõi. 1. F-không gian và không gian Fréchet.(xem [35]) Trong giải tích hàm, một F-không gian là không gian véc tơ V trên trường số thực R hoặc phức C với metric d : V × V → R thoả mãn các điều kiện sau: • Phép nhân vô hướng liên tục đối với d và metric chuẩn tắc trên R hoặc C. • Phép cộng trên V liên tục đối với d. • Metric là bất biến với phép tịnh tiến, tức là d(x + a, y + a) = d(x, y) ∀x, y, a ∈ V. • Không gian metric (V, d) đủ. Một F - không gian lồi địa phương được gọi là không gian Fréchet. Có thể định nghĩa không gian Fréchet theo cách sau: Không gian véc tơ tô pô X là không gian Fréchet nếu nó thoả mãn các điều kiện sau • X là không gian đủ, • X là không gian Hausdorff, • Tôpô trên X có thể sinh bởi họ nửa chuẩn k.kk , k = 0, 1, 2, ... nghĩa là U ⊂ X là tập mở khi và chỉ khi với mọi u ∈ U tồn tại K ≥ 0 và  > 0 sao cho {v : ku − vkk <  ∀k ≤ K} ⊂ U. 12 Chương 0. Kiến thức chuẩn bị Dãy (xn ) ⊂ X hội tụ đến X trong không gian Fréchet xác định bởi họ nửa chuẩn nếu và chỉ nếu xn → x đối với mỗi nửa chuẩn. Các ví dụ về F -không gian và không gian Fréchet. 1. Không gian Banach là không gian Fréchet vì chuẩn sinh ra metric bất biến dịch chuyển. 2. Không gian C ∞ [0, 1] là không gian Fréchet với họ nửa chuẩn kf kk = sup{|f (k) (x)| : x ∈ [0, 1]}, k = 0, 1, ... (k) Trong không gian này fn → f khi và chỉ khi với mọi k ≥ 0 dãy {fn } hội tụ đều đến f (k) . 3. Không gian Lp là F - không gian với mọi p > 0. Với p ≥ 1 nó lồi địa phương nên nó là không gian Fréchet thậm chí là không gian Banach. Như vậy, F-không gian là sự tổng quát hoá của không gian Banach. Các công cụ quan trọng của giải tích hàm dựa trên định lý phân loại Baire vẫn đúng cho F-không gian như định lý đồ thị đóng, định lý ánh xạ mở, nguyên lý bị chặn đều,... Sự khác nhau chủ yếu của không gian Fréchet với không gian Banach là nếu X, Y là các không gian Fréchet thì L(X, Y ) không là không gian Fréchet. Trong F-không gian ta xác định ánh xạ k.k từ X vào R+ bằng cách kxk = d(x, 0) thì nó thoả mãn 1. kxk = 0 khi và chỉ x = 0, 2. kaxk = kxk với mọi a : |a| = 1, 3. kx + yk ≤ kxk + kyk, 4. ka0 xk → 0 nếu a0 → 0, 5. kaxn k → 0 nếu xn → 0, 6. kan xn k → 0 nếu an → 0, xn → 0. Trong các điều kiện 4., 5., 6. thì tôpô đang xét là tô pô sinh bởi metric bất biến dịch chuyển d. k.k được gọi là F-chuẩn. 2. Metric trên không gian các biến ngẫu nhiên.(xem [17]) Cho (Ω, F, P) là không gian xác suất cơ sở. Ký hiệu LE 0 (Ω) là không gian tất cả 13 Chương 0. Kiến thức chuẩn bị các biến ngẫu nhiên E - giá trị, LE p (Ω) là không gian các biến ngẫu nhiên E - giá trị khả tích cấp p với 0 < p ≤ ∞. Với 0 ≤ p < 1 thì LE p (Ω) là F-không gian (không gian tuyến tính metric đầy đủ và metric là bất biến dịch chuyển) với metric được xác định bởi • Nếu p = 0:   kXk kXk0 = E . 1 + kXk • Nếu 0 < p < 1: kXkp = EkXkp . Với 1 ≤ p ≤ ∞ thì LE p (Ω) là không gian Banach với chuẩn được xác định như sau • Nếu 1 ≤ p < ∞: kXkp = E (kXkp )1/p . • Nếu p = ∞: kXk∞ = esssupω kX(ω)k. Chú ý rằng sự hội tụ theo k.k0 trên không gian LE 0 (Ω) tương đương với sự hội tụ theo xác suất. 3. Không gian Banach p-trơn đều, q-lồi đều (xem [38]). Không gian Banach X được gọi là p-trơn đều (1 < p ≤ 2) nếu tồn tại hằng số Kp > 0 sao cho với mọi x, y ∈ X ta có 1 (kx + ykp + kx − ykp ) ≤ kxkp + Kp kykp . 2 Không gian Banach X được gọi là q-lồi đều (2 ≤ q < ∞) nếu tồn tại hằng số Kq > 0 sao cho với mọi x, y ∈ X ta có 1 (kx + ykq + kx − ykq ) ≥ kxkq + Kq kykq . 2 Người ta chứng minh được rằng • X là p-trơn đều khi và chỉ khi ρ(t) ≤ Cp tp , trong đó ρ(t) là mô đun trơn xác định bởi ρ(t) = 1 sup{kx + tyk + kx − tyk − 2 : kxk = kyk = 1}. 2 14 Chương 0. Kiến thức chuẩn bị • X là q-lồi đều khi và chỉ khi δ() ≥ Cq q , với  ∈ (0, 2] trong đó δ() là mô đun lồi của X xác định bởi δ() = inf{1 − kx + yk : kxk = kyk = 1, kx − yk ≥ }. 2 Các không gian Lp , lp với 1 < p < ∞ là min(p, 2)-trơn đều, max(p, 2)-lồi đều. Trong không gian p-trơn đều ta hay sử dụng kết quả sau: Định lý 0.0.3. Giả sử 1 < p ≤ 2, X là không gian Banach. Khi đó các khẳng định sau là tương đương 1. X là p - trơn tức là X đẳng cấu với không gian p-trơn đều. 2. Tồn tại hằng số Cp > 0 sao cho với mỗi martingale X-giá trị (Sn , An , n ∈ N) ta có bất đẳng thức " sup EkSn kp ≤ Cp EkS0 kp + n ∞ X # EkSn − Sn−1 kp . n=1 Bất đẳng thức trong khẳng định 2. được gọi là bất đẳng thức AssoadPisier. 4. Phân bố có điều kiện chính quy.(xem [3]) Cho không gian xác suất cơ sở (Ω, F, P), với E ∈ F và A là σ-trường con của F thì xác suất có điều kiện P (E|A) = E(1E |A) có các tính chất • 0 ≤ P(E|A) ≤ 1 h.c.c. • Nếu (En ) là dãy tập hợp đôi một rời nhau thì X P(∪En |A)(ω) = P(En |A)(ω) h.c.c. n 15 Chương 0. Kiến thức chuẩn bị Tuy nhiên tập bỏ qua trong tính chất thứ hai phụ thuộc vào dãy (En ) cho nên không thể khẳng định rằng với mọi ω, mọi dãy (En ) các tập đôi một rời nhau thì X P(En |A)(ω). P(∪En |A)(ω) = n Từ đó ta có định nghĩa sau về xác suất có điều kiện chính quy. Định nghĩa 0.0.4. Hàm tập Q(E, ω) : F × Ω → R được gọi là xác suất có điều kiện chính quy với điều kiện A nếu 1. Với mỗi E ∈ F ta có Q(E, ω) = P(E|A)(ω) h.c.c. 2. Với mỗi ω cố định hàm tập E 7→ Q(E, ω) là một độ đo xác suất trên F. Xác suất có điều kiện chính quy không nhất thiết tồn tại với mỗi A. Nếu tồn tại xác suất có điều kiện chính quy với điều kiện A thì kỳ vọng có điều kiện E(X|A) chính là kỳ vọng thông thường đối với độ đo xác suất Q(E, ω) đối với mỗi ω tức là Z E(X|A)(ω) = X(ω1 )dQ(ω1 , ω). Định nghĩa 0.0.5. Cho biến ngẫu nhiên X. 1. Phân bố của X với điều kiện A đã cho là µX (., A) xác định bởi µX (B|A) = P(X −1 (B)|A) = P(X ∈ B|A). 2. Hàm tập q(B, ω) : B × Ω → R được gọi là phân bố có điều kiện chính quy của X với điều kiện A nếu a. Với mỗi B q(B, ω) = µX (B, A)(ω) h.c.c. 16 Chương 0. Kiến thức chuẩn bị b. Với mỗi ω cố định, hàm tập B 7→ q(B, ω) là một độ đo xác suất trên B. Phân bố có điều kiện chính quy của X với điều kiện A luôn tồn tại. Cho hai biến ngẫu nhiên X, Y . Giả sử q(B, ω) là phân bố có điều kiện chính quy của X với điều kiện A(Y ). Khi đó theo định nghĩa q(B, ω) = P{X ∈ B|A(Y )} và do đó q(B, ω) là A(Y )-đo được. Thành thử tồn tại hàm q(B, y) : B × R → R sao cho hàm y 7→ q(B, y) đo được và q(B, ω) = q(B, Y (ω)). Định lý 0.0.6. Cho hai biến ngẫu nhiên X, Y . Khi đó tồn tại hàm q(B, y) : B × Y (Ω) → R có các tính chất sau: 1. Với mỗi B ∈ B cố định hàm y 7→ q(B, y) đo được. 2. Với mỗi y ∈ Y (Ω) hàm tập B 7→ q(B, y) là một độ đo xác suất trên B. 3. Với mọi tập Borel B, C ⊂ R Z P(X ∈ B, Y ∈ C) = q(B, y)dµY (y). C Hàm q(B, y) gọi là phân bố có điều kiện của X với điều kiện Y = y. 5. Quá trình ngẫu nhiên Gauss. (xem [23])Biến ngẫu nhiên thực X ∈ LR 2 (Ω), kỳ vọng 0 là Gauss nếu hàm đặc trưng có dạng  2 2 σ t , ∀t ∈ R, E exp{itX} = exp − 2 trong đó σ = kXk2 = (EX 2 )1/2 . Khi σ = 1 thì X là Gauss chuẩn tắc. 17 Chương 0. Kiến thức chuẩn bị N Véc tơ ngẫu nhiên X = (X1 , ...., XN ) ∈ LR 2 (Ω) là Gauss nếu với mọi N P α1 , ..., αN ∈ R thì biến ngẫu nhiên αi Xi là Gauss. i=1 Một tính chất quan trọng của phân bố Gauss là bất biến đối với phép quay tức là nếu g = (g1 , ...., gN ) có phân bố Gauss chuẩn tắc trên RN thì U g cũng có phân bố Gauss chuẩn tắc trong RN trong PN đó U là ma trận trực N giao R . Do đó, nếu (αi ) là dãy số thực thì i=1 αi gi có phân bố như Pcủa N 2 1/2 g1 ( 1 α i ) . Biến ngẫu nhiên Radon X nhận giá trị trong không gian Banach B là Gauss nếu với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên B thì f (X) là biến ngẫu nhiên Gauss thực. P Quá trình (Xt , t ∈ T ) là Gauss nếu mọi tổ hợp tuyến tính hữu hạn i αi Xti , αi ∈ R, ti ∈ T là Gauss. 6. Quá trình ngẫu nhiên ổn định. (xem [23]) Đây là quá trình ngẫu nhiên tổng quát hoá quá trình ngẫu nhiên Gauss. Biến ngẫu nhiên thực X là p-ổn định nếu hàm đặc trưng có dạng  p p σ t , ∀t ∈ R, E exp{itX} = exp − 2 trong đó 0 < p ≤ 2 là chỉ số còn σ ≥ 0 là tham số chỉ phụ thuộc vào p và X. Nếu σ = 1 thì X là p-ổn định chuẩn tắc. Ký hiệu (θi ) là dãy p-ổn định chuẩn tắc. Véc tơ ngẫu nhiên X = (X1 , ..., XNP ) nhận giá trị trong RN là p-ổn định nếu mọi tổ hợp tuyến tính hữu hạn N i=1 αi Xi là biến ngẫu nhiên thực p-ổn định với αi ∈ R. Quá trình ngẫu nhiên (Xt , t ∈ T ) là p-ổn định nếu với mọi t1 , ...., tN ∈ T thì véc tơ ngẫu nhiên hữu hạn chiều (Xt1 , ...., XtN ) là p-ổn định. Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong không gian Banach B là p-ổn định nếu f (X) là biến ngẫu nhiên thực p-ổn định với mọi f ∈ B 0 . Khi p = 2 thì X chính là Gauss. Phân bố ổn định có một tính chất quan trọng sau đây: Nếu X là p-ổn N P định và Xi là bản sao độc lập của X thì αi Xi có cùng phân bố với i=1 N 1/p P |αi |p trong đó α1 , ..., αN ∈ R. i=1 7. Định lý Ito-Nisio. (xem [31]) Định lý 0.0.7. Cho X1 , X2 , .... là dãy biến ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị 18 Chương 0. Kiến thức chuẩn bị trên không gian metric tuyến tính khả ly E. Các khẳng định sau là tương đương ∞ P (i) Xi hội tụ h.c.c. i=1 (ii) ∞ P Xi hội tụ theo xác suất. i=1 (iii) Các phân bố L(Sn ), n = 1, 2, ... hội tụ yếu. Hơn nữa, nếu thêm giả thiết các biến ngẫu nhiên X1 , X2 , .... đối xứng thì các điều kiện (i)-(iii) tương đương với mỗi điều kiện sau: (iv) Dãy phân bố {L(Sn ), n = 1, 2, ...} compact tương đối. (v) Tồn tại biến ngẫu nhiên S nhận giá trị trong E và họ D ⊂ E 0 các ∞ P điểm tách của E sao cho với mỗi x0 ∈ D thì chuỗi x0 (Xi ) hội tụ i=1 0 h.c.c. tới x (S). (vi) Tồn tại độ đo µ trên E và một họ tuyến tính D ⊂ F các điểm tách ∞ P 0 x0 (Xi ) hội tụ h.c.c. tới của E sao cho với mỗi x ∈ D thì chuỗi i=1 x0 (µ). Chú ý rằng tập các hàm S : D → C được gọi là tập tách cho D nếu với mọi x, y ∈ D, x 6= y tồn tại f ∈ S sao cho f (x) 6= f (y). 8. Cơ sở Schauder. (xem [29]) Mọi không gian Hilbert khả ly có cơ sở trực giao. Thủ tục Gram-Schmidt cho phép ta xây dựng một cơ sở trực giao. Cơ sở Schauder là một mở rộng về cơ sở trong không gian Banach. Định nghĩa 0.0.8. Dãy (en , n = 1, 2, ...) của không gian Banach X vô hạn chiều được gọi là cơ sở của X nếu với mỗi x ∈ X tồn tại dãy vô hướng (an ) sao cho x= ∞ X an e n , n=1 trong đó chuỗi hội tụ theo chuẩn trong X. 19 Chương 0. Kiến thức chuẩn bị Nếu X có cơ sở (en ) thì bao đóng tuyến tính [en ] là X và do đó X khả ly. Vậy chỉ có không gian Banach khả ly mới có thể có cơ sở Schauder. Chú ý rằng cơ sở này khác với cơ sở Hamel (hay cơ sở của không gian véc tơ): Cơ sở Hamel (ei , i ∈ I) của X là tập hợp các véc tơ độc lập tuyến tính trong X sao cho với mỗi x ∈ X có thể biểu diễn là một tổ hợp tuyến tính hữu hạn của (ei ). Nếu (ei , i ∈ I) là cơ sở Hamel của không gian vô hạn chiều thì (ei , i ∈ I) là không đếm được vì vậy khi nói đến cơ sở của không gian Banach vô hạn chiều ta chỉ nói đến cơ sở Schauder. Nếu (en ) là cơ sở của X thì ánh xạ x 7→ an là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X và họ ánh xạ tuyến tính liên tục an = e∗n (x) được gọi là cơ sở liên hợp của (en ). 9. Tích phân Bochner. (xem [30]) Tích phân Bochner là sự mở rộng của tích phân Lebesgue cho hàm nhận giá trị trong không gian Banach. Cho (X, σ, µ) là không gian đo, B là không gian Banach. Với hàm đơn giản n X S(x) = 1Ei (x)bi i=1 thì Z S(x)dµ = X n X µ(Ei )bi . i=1 Hàm đo được f : X → B là khả tích Bochner nếu tồn tại dãy hàm đơn giản Sn sao cho Z lim kf − Sn kB dµ = 0, n→∞ trong đó tích phân ở vế trái là tích phân Lebesgue. Trong trường hợp này tích phân Bochner của f là Z Z f dµ = lim Sn dµ. n→∞ X X Các tính chất của tích phân Bochner: • Nếu (X, σ, µ) là không gian đo hữu hạn thì f : X → B khả tích Bochner khi và chỉ khi Z kf kB dµ < ∞. X 20 Chương 0. Kiến thức chuẩn bị • Nếu fn : X → B là dãy hàm đo được, hội tụ hầu khắp nơi tới f và kfn (x)kB ≤ g(x) với hầu hết x ∈ X, g ∈ L1 (µ) thì Z kf − fn kB dµ → 0 X và Z Z fn dµ → f dµ ∀E ∈ σ. E E • Nếu f khả tích Bochner thì có bất đẳng thức Z Z k f dµkB ≤ kf kB dµ, ∀E ∈ σ. E E 10. Martingale và hiệu martingale. (xem [5]) Cho (Ω, A, P) là không gian xác suất và dãy σ-trường con không giảm (An ) của A. • Dãy X = (Xn , An , n ∈ N) được gọi là martingale đối với (An , n ∈ N) nếu (i) (Xn , An , n ∈ N) là dãy tương thích tức là Xn là An -đo được với mỗi n. (ii) E(|Xn |) < ∞ với mọi n ∈ N. (iii) Với m ≤ n, m, n ∈ N thì E(Xn |Am ) = Xm , P − hầu chắc chắn. • Dãy (ξn , An , n ∈ N) được gọi là hiệu martingale đối với (An , n ∈ N) nếu (i) (ξn , An , n ∈ N) là dãy tương thích. (ii) E(|ξn |) < ∞ với mọi n ∈ N. (iii) E(ξn+1 |An ) = 0, P − hầu chắc chắn. Rõ ràng, nếu X = (Xn , An , n ∈ N) là martingale thì (ξn , An , n ∈ N) là hiệu martingale, trong đó ξ0 = X0 , ξn = ∆Xn = Xn − Xn−1 , n = 1, 2, ... Ngược lại, nếu (ξn , An , n ∈ N) là hiệu martingale thì X = (Xn , An , n ∈ N) là martingale, trong đó X0 = ξ0 , Xn = ξ0 + ... + ξn . 21