Tài liệu Tập thặng dư julia của ánh xạ newton

  • Số trang: 50 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 79 |
  • Lượt tải: 0
nhattuvisu

Đã đăng 27125 tài liệu

Mô tả:

®¹i häc th¸i nguyªn Tr-êng ®¹i häc khoa häc HOÀNG THỊ THƠM TẬP THẶNG DƯ JULIA CỦA ÁNH XẠ NEWTON LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC th¸i nguyªn - n¨m 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ®¹i häc th¸i nguyªn Tr-êng ®¹i häc KHOA HäC HOÀNG THỊ THƠM [ TẬP THẶNG DƯ JULIA CỦA ÁNH XẠ NEWTON LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Tạ Duy Phượng Thái Nguyên, 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ———————o0o——————– HOÀNG THỊ THƠM TẬP THẶNG DƯ JULIA CỦA ÁNH XẠ NEWTON LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Mã số: Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Tạ Duy Phượng THÁI NGUYÊN, 2014 Lời nói đầu Sự tồn tại của các tập thặng dư Julia của các hàm phân thức bậc tối thiểu bằng 2 là một bài toán thú vị trong lý thuyết lặp các hàm phân thức. Makienko đã giả thuyết rằng một hàm phân thức có bậc tối thiểu là 2 không có tập thặng dư Julia khi và chỉ khi tập Fatou của nó có một thành phần hoàn toàn bất biến hoặc chỉ chứa hai thành phần. Nhưng cho tới nay mới chỉ có một số kết quả riêng lẻ trả lời cho câu hỏi này. Thí dụ, mới chỉ biết rằng giả thuyết đúng cho lớp các hàm phân thức có tập Julia liên thông địa phương. Ánh xạ Newton tạo ra dãy lặp của các hàm phân thức và do đó có thể nghiên cứu tập Julia của ánh xạ này như một ví dụ của hàm phân thức. Với mong muốn tìm hiểu một vấn đề thời sự và thú vị của giải tích phức và toán ứng dụng, tôi chọn: Tập thặng dư Julia của ánh xạ Newton làm đề tài luận văn cao học. Luận văn sẽ trình bày tổng quan về Tập thặng dư Julia của ánh xạ phân thức và ánh xạ Newton. Nội dung của luận văn được chia thành 3 chương. Chương 1: Nhắc lại một số lý thuyết liên quan như số phức, hàm phân thức, hàm giải tích, ánh xạ Newton của đa thức,... Chương 2: Luận văn trình bày khái niệm cơ bản về tập Julia, tập Fatou, một số tính chất quan trọng của tập Julia và tập Fatou, nêu khái niệm về tập thặng dư Julia của ánh xạ phân thức, của ánh xạ Newton,... Chương 3: Luận văn trình bày về giả thuyết Smale, tính hữu hiệu của phương pháp Newton và chứng minh một số định lý quan trọng trong chương này. Hi vọng luận văn sẽ được các bạn sinh viên và học viên cao học tham khảo khi nghiên cứu lý thuyết ánh xạ lặp Newton và giả thuyết Smale. i Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Tạ Duy Phượng. Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong nhà trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán ứng dụng đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Tạ Duy Phượng, người luôn chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi có thêm nhiều kiến thức, khả năng nghiên cứu, tài liệu trong suốt quá trình thực hiện luận văn này. Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo điều kiện để tôi hoàn thành luận văn này. Thái Nguyên, tháng 4 - 2014 Người viết Luận văn Hoàng Thị Thơm ii Mục lục Lời nói đầu 1 Một số kiến thức chuẩn 1.1 Số phức . . . . . . . . 1.2 Đa thức phức . . . . 1.3 Hàm phân thức . . . 1.4 Liên hợp . . . . . . . 1.5 Hàm giải tích . . . . 2 Tập 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 3 Bài 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 i bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . thặng dư Julia của ánh xạ Newton Tập Julia và tập Fatou . . . . . . . . . . . . . Hàm phân thức hyperbolic . . . . . . . . . . . Tập thặng dư Julia của hàm phân thức . . . Tập thặng dư Julia của ánh xạ Newton . . . Điểm gai của hàm phân thức với đường cong Julia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sierpinski của tập . . . . . . . . . . . toán Smale về tính hữu hiệu của phương pháp Newton Tính hữu hiệu của phương pháp Newton . . . . . . . . . . . . . Giả thuyết giá trị trung bình của Smale . . . . . . . . . . . . . Đa thức được chuẩn hoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 Tính chính xác đánh giá S (P ) cho đa thức bậc 4 . . . . . . . . 0 3.5.1 Tính toán bằng máy tính cho cận của S (P ) khi d = 4 . 0 3.5.2 Những khó khăn khi đánh giá SP cho đa thức bậc 4 . Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 3 4 5 . . . . 9 9 14 15 16 . 19 . . . . . . . 22 22 24 26 28 42 42 43 49 iii Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, em nhắc lại một số lý thuyết liên quan như số phức, hàm phân thức, hàm giải tích, tính khả vi của hàm phức, ánh xạ Newton của đa thức,... 1.1 Số phức √ Một số phức z có dạng a + ib với a, b ∈ R (tập hợp số thực) và i = −1. Tập tất cả các số phức được ký hiệu là C. Biểu diễn lượng giác trong hệ toạ độ của √ số phức z = a + ib là z = |z|eiθ = |z|(cos θ + i sin θ) với |z| = a2 + b2 được gọi là modun của z và khi a 6= 0, θ = arctan b được gọi là argument của z . a Giả sử u = ρ1 eiθ1 = ρ1 (cos θ1 + i sin θ1 ) và v = ρ2 eiθ2 = ρ2 (cos θ2 + i sin θ2 ) là hai số phức trong biểu diễn toạ độ cực. Khi đó, biểu diễn toạ độ cực của tích của u.v là  uv = ρ1 ρ2 ei(θ1 +θ2 ) = ρ1 ρ2 cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 ) , biểu diễn toạ độ cực của tổng z = u + v là z = u + v = ρ1 eiθ1 + ρ2 eiθ2 = (ρ1 cos θ1 + ρ2 cos θ2 ) + i(ρ1 sin θ1 + ρ2 sin θ2 ) = |u + v|(cos θ + i sin θ); trong đó |z| = |u + v| = = = p (ρ1 cos θ1 + ρ2 cos θ2 )2 + (ρ1 sin θ1 + ρ2 sin θ2 )2 q ρ21 (cos2 θ1 + sin2 θ1 ) + ρ22 (cos2 θ2 + sin2 θ2 ) + 2ρ1 ρ2 (cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2 ) q ρ21 + ρ22 + 2ρ1 ρ2 cos(θ1 − θ2 ); 1 Luận văn tốt nghiệp Tập thặng dư Julia của ánh xạ Newton cos θ = a ρ1 cos θ1 + ρ2 cos θ2 =p ; |z| ρ21 + ρ22 + 2ρ1 ρ2 cos(θ1 − θ2 ) sin θ = b ρ1 sin θ1 + ρ2 sin θ2 =p . |z| ρ21 + ρ22 + 2ρ1 ρ2 cos(θ1 − θ2 ) 1.2 Đa thức phức Định nghĩa 1.2.1. Một đa thức phức (hay đa thức với hệ số phức) P (z) có bậc n (ký hiệu là deg(P )) là đa thức có dạng P (z) = an z n + an−1 z n−1 + ... + a1 z + a0 với ai là các số phức, i = 0, n, an 6= 0. Nhận xét (a) Nếu n = 0 thì P là hàm hằng, (b) Nếu n = 1 thì P được gọi là đa thức bậc nhất, (c) Nếu n ≥ 2 thì P được gọi chung là đa thức phức. Định nghĩa 1.2.2. (Nghiệm của đa thức phức) Giả sử P là một đa thức phức. Một điểm ξ ∈ C được gọi là nghiệm (hoặc không điểm) của P nếu P (ξ) = 0. Định nghĩa 1.2.3. (Điểm tới hạn và giá trị tới hạn) Cho P là một đa thức có 0 bậc tối thiểu là hai, điểm ξ ∈ C được gọi là điểm tới hạn của P nếu P (ξ) = 0. Giá trị ω = P (ξ) với ξ là điểm tới hạn của P , được gọi là giá trị tới hạn của P . Định nghĩa 1.2.4. (Đa thức phức monic) Một đa thức P được gọi là monic nếu hệ số cao nhất của P là 1, tức là P = z n + an−1 z n−1 + ... + a1 z + a0 . Đa thức monic có dạng là P (z) = d Q (z − zi ) với zi (i = 1, n) là nghiệm của P . i=0 1.3 Hàm phân thức Định nghĩa 1.3.1. (Hàm phân thức) Một hàm phân thức (hay ánh xạ phân thức) R : C −→ C là một hàm có dạng R(z) = P (z) , với P (z), Q(z) là những đa Q(z) thức khác 0. Ở đây, C = C ∪ {∞} (cũng được kí hiệu là C∞ ) là mặt phẳng phức suy rộng, có tương ứng 1 − 1 với một hình cầu tiếp xúc với mặt phẳng phức tại điểm A. Hoàng Thị Thơm 2 Cao học toán K6C ĐHKH-ĐHTN Luận văn tốt nghiệp Tập thặng dư Julia của ánh xạ Newton 0 Khi ấy, điểm ∞ của mặt phẳng phức tương ứng với điểm A xuyên tâm đối với A. Do đó, C cũng được gọi là hình cầu phức. Định nghĩa 1.3.2. (Bậc của hàm phân thức) Bậc của hàm phân thức R được ký hiệu là deg(R) và được định nghĩa là deg(R) = max{deg(P ), deg(Q)}. với deg(P ), deg(Q) là bậc của đa thức P và Q. Định nghĩa 1.3.3. (Điểm cực của hàm phân thức) Cho R là hàm phân thức P (z) , với P (z), Q(z) là những đa thức khác 0. Một điểm z0 ∈ C Q(z) được gọi là điểm cực cô lập của R nếu z0 là không điểm của Q và tồn tại lân cận U (z0 ), trong đó Q(z) 6= 0, ∀z 6= z0 . có dạng R(z) = Cho R1 và R2 là hai hàm phân thức. Khi đó, bậc của đa thức tích R1 .R2 bằng deg(R1 ) × deg(R2 ). Cho ϕ là một hàm phân thức có dạng ϕ(z) = az + b với ad − bc 6= 0. Khi ấy, ϕ cz + d là một hàm phân thức bậc 1 và ϕ được gọi là ánh xạ Mobius hoặc phép biến đổi song tuyến tính. Ánh xạ Mobius là ánh xạ 1 − 1 của mặt cầu phức lên chính nó. Do đó, hàm ngược của ϕ tồn tại và được ký hiệu là ϕ−1 . Hợp của hai ánh xạ Mobius là ánh xạ Mobius. Thật vậy, az + b , cz + d ϕ(z) = ψ(t) = a1 t + b 1 , c1 + d 1 Suy ra, ϕ(ψ(t)) = ϕ(z) = t+b1 +b a ac11t+d 1 t+b1 c ac11t+d +d 1 (aa1 + bc1 )t + ab1 + bd1 (ca1 + dc1 )t + cb1 + dd1 At + B = . Ct + D = a + b, a 6= 0, a, b ∈ C. Khi đó, T biến z a. Một đường thẳng qua 0 lên một đường thẳng qua b, Định lí 1.3.4. Cho T (z) = b. Một đường thẳng không đi qua 0 lên một đường tròn đi qua b, c. Một đường tròn qua 0 lên một đường tròn không đi qua b, d. Một đường tròn không đi qua 0 lên một đường tròn không đi qua b. Hoàng Thị Thơm 3 Cao học toán K6C ĐHKH-ĐHTN Luận văn tốt nghiệp Tập thặng dư Julia của ánh xạ Newton Định lí 1.3.5. Cho T (z) = az + b, a 6= 0, a, b ∈ C. Khi đó, T biến a. Một đường thẳng lên một đường thẳng, b. Một đường tròn lên một đường tròn. Hai định lí trên chỉ ra cho chúng ta tính chất quan trọng của ánh xạ Mobius. Định lí 1.3.6. Một ánh xạ Mobius biến đường tròn và đường thẳng thành đường tròn và đường thẳng. az + b là ánh xạ Mobius. Khi đó, T = T3 ◦ T2 ◦ T1 với cz + d  1 ad a T1 (z) = cz + d, T2 (z) = , T3 (z) = b − z + . Sử dụng các Định lí 1.3.4, Định z c c lí 1.3.5 suy ra điều phải chứng minh. Chứng minh. Cho T (z) = Định lí trên không đúng khi ánh xạ không phải là ánh xạ Mobius. 1.4 Liên hợp Định nghĩa 1.4.1. (Liên hợp-Conjugation, xem [5] trang 36) Cho R và S là hai ánh xạ phân thức, R và S được gọi là liên hợp đôi một (hoặc R và S là liên hợp) nếu tồn tại một ánh xạ Mobius ϕ thoả mãn ϕ ◦ R = S ◦ ϕ. Định nghĩa 1.4.2. (Điểm bất động) Cho R : C −→ C là một ánh xạ , ξ ∈ C là một điểm bất động của R nếu R(ξ) = ξ . Ví dụ 1.4.3. a. Xét P (z) = z 2 − z + 1. Khi đó P (z) = z ⇔ z 2 − z + 1 = z . Suy ra z = 1 là điểm bất động của P. b. Xét P (z) = z 2 − 3z + 2. Khi đó P (z) = z ⇔ z 2 − 3z + 2 = z ⇔ (z − 2)2 = 2 √ √ ⇔ z = 2 ± 2. Vậy P có hai điểm bất động là z = 2 ± 2. Định lí 1.4.4. Cho R và S là hai ánh xạ phân thức. Giả sử, R và S là liên hợp sao cho: ϕ ◦ R = S ◦ ϕ. Khi đó, ξ ∈ C là một điểm bất động của S nếu và chỉ nếu ϕ−1 (ξ) là điểm bất động của R. Chứng minh. Giả sử, hai ánh xạ phân thức R và S là liên hợp đôi một. Và ξ ∈ C là một điểm bất động của S , tức là S(ξ) = ξ . Vì ϕ ◦ R = S ◦ ϕ nên R = ϕ−1 ◦ S ◦ ϕ. Vậy R(ϕ−1 (ξ)) = ϕ−1 ◦ S ◦ ϕ(ϕ−1 (ξ)) = ϕ−1 ◦ S(ξ) = ϕ−1 (ξ) Suy ra, ϕ−1 (ξ) là một điểm bất động của R. Hoàng Thị Thơm 4 Cao học toán K6C ĐHKH-ĐHTN Luận văn tốt nghiệp Tập thặng dư Julia của ánh xạ Newton Ví dụ 1.4.5. Cho R là ánh  xạ phân thức với R(∞) = ∞ (nghĩa là ∞ là điểm 1 1 hay ϕ−1 (z) = . Khi đó, S = ϕ−1 ◦ R ◦ ϕ là một bất động của R) và ϕ(z) = z z ánh xạ phân thức liên hợp từ R và có một điểm bất động là 0. Định lí 1.4.6. (Xem [5] trang 37) Một hàm phân thức R không là hằng số là liên hợp với đa thức nếu và chỉ nếu có một điểm ω ∈ C với R−1 (ω) = {ω}. 1.5 Hàm giải tích Hàm f : C −→ C biến mỗi điểm z ∈ C thành điểm f (z) ∈ C được gọi là hàm phức. Định nghĩa 1.5.1. Điểm z = a được gọi là điểm cực của hàm phức f (z) nếu lim f (z) = ∞. z−→a Định nghĩa 1.5.2. (Tính khả vi của hàm phức- C khả vi) Một hàm phức f xác định trong lân cận của điểm z0 được gọi là khả vi tại z0 nếu tồn tại giới hạn: f (z0 + h) − f (z0 ) . h h−→0 lim Khi đó, ta nói rằng hàm f có đạo hàm theo biến phức tại điểm z0 và kí hiệu là 0 f (z0 ) hay df (z0 ). dz Ta có 0 f (z0 ) = df f (z0 + h) − f (z0 ) (z0 ) = lim . dz h h−→0 Dưới đây là điều kiện để hàm biến phức khả vi tại một điểm. Xét hàm phức f (x) = u(x) + iv(x) trong đó u(z) = u(x, y), v(z) = v(x, y) nhận giá trị thực, nghĩa là u : C −→ R, v : C −→ C. Nếu hàm f có đạo hàm thì ∂f ∂u ∂v = +i , ∂x ∂x ∂x ∂f ∂u ∂v = +i . ∂y ∂y ∂y Định lí 1.5.3. (Công thức Cauchy − Riemann) Nếu f (z) = u(z) + iv(z) là khả vi tại z , khi và chỉ khi fx , fy là tồn tại và thoả mãn công thức Cauchy − Riemann: fy = ifx , Hoặc, tương đương Hoàng Thị Thơm 5 Cao học toán K6C ĐHKH-ĐHTN Luận văn tốt nghiệp Tập thặng dư Julia của ánh xạ Newton ∂v ∂u = , ∂x ∂y ∂u ∂v =− . ∂y ∂x Định nghĩa 1.5.4. (Hàm giải tích-Analytic functions) Hàm f được gọi là giải tích tại z nếu f khả vi trong một lân cận của z . Tương tự, f là giải tích trên tập Ω ⊂ C nếu f là khả vi tại mọi điểm thuộc tập mở chứa Ω. Định lí 1.5.5. (Nguyên lí giá trị cực đại) Cho một hàm giải tích khác hằng số trong miền xác định Ω không có các điểm trong cực đại: nếu z ∈ Ω và δ > 0, thì tồn tạ n 0 o 0 ω ∈ ∆(z, δ) ∩ Ω với ∆(z, δ) = z ∈ C : |z = z | < δ , thì |f (w)| > |f (z)|. Định nghĩa 1.5.6. (Hàm chỉnh hình-Heromorphic funtion) Cho D là tập mở khác rỗng trong C. Hàm f được gọi là chỉnh hình tại điểm z0 ∈ D nếu tồn tại một lân cận mở U của z0 nằm trong D sao cho hàm f khả vi tại mọi điểm trong U. Hàm số f : D −→ C được gọi là chỉnh hình trên D nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc D. Định nghĩa 1.5.7. (Hàm phân hình-Meromorphic function, xem [2] trang 388) Hàm đơn trị f : C −→ C được gọi là hàm phân hình trong miền xác định Ω nếu f là giải tích tại mọi điểm ngoại trừ điểm cực cô lập của Ω. Định nghĩa 1.5.8. (Điểm kì dị của hàm biến phức-Sigular point of a complex funtion) Điểm kì dị của hàm biến phức là điểm mà tại đó hàm không giải tích. Kì dị dạng cực điểm là điểm kì dị mà hàm số có giới hạn ∞, hay f (z) −→ ∞ khi z −→ z0 . Định nghĩa 1.5.9. (Hàm nguyên-Entire functions) Một hàm f (z) là giải tích trên toàn bộ mặt phẳng phức C được gọi là hàm nguyên. Định nghĩa 1.5.10. (Ánh xạ bảo giác-Conformal mapping) Cho w = f (z) là hàm phức được xác định trên miền D. Cho z0 là một điểm thuộc miền D. Hàm f (z) được gọi là ánh xạ bảo giác tại điểm z0 nếu góc của hai đường cong trơn định hướng C1 và C2 qua z0 bằng với góc của ảnh của hai đướng cong đó và hướng của góc không thay đổi. Hoàng Thị Thơm 6 Cao học toán K6C ĐHKH-ĐHTN Luận văn tốt nghiệp Tập thặng dư Julia của ánh xạ Newton Ánh xạ w = f (z) được gọi là ánh xạ bảo giác trên miền D nếu f (z) bảo giác tại mọi điểm thuộc D. Ánh xạ bảo giác là ánh xạ bảo toàn góc giữa hai đường cong trơn tuỳ ý theo đúng hướng quay của góc. Kí hiệu đĩa mở đơn vị ∆ = {z ∈ C : |z| < 1} Định nghĩa 1.5.11. (Hàm đơn diệp-Univalent functions) Một hàm f được gọi là đơn diệp (hoặc liên thông) trên miền xác định Ω nếu nó là giải tích và là 1 − 1 trên Ω. Ví dụ 1.5.12. f : C −→ C với f (z) = az + b, a 6= 0 là hàm đơn diệp, ánh xạ mobius g : C \ (d/c) −→ C với g(z) = az + b ; ∀a, b, c, d ∈ C thoả mãn cz + d ad − bc 6= 0 là hàm đơn diệp. Định nghĩa 1.5.13. Ký hiệu S là tập hợp của hàm đơn diệp trong đĩa mở đơn 0 vị ∆ = {z ∈ C : |z| < 1} sao cho f (0) = 0 và f (0) = 1. Hoàng Thị Thơm 7 Cao học toán K6C ĐHKH-ĐHTN Chương 2 Tập thặng dư Julia của ánh xạ Newton Trong chương này, trình bày khái niệm cơ bản về tập Julia, tập Fatou, một số tính chất quan trọng của tập Julia và tập Fatou, nêu khái niệm về tập thặng dư Julia của ánh xạ phân thức, của ánh xạ Newton,... 2.1 Tập Julia và tập Fatou Định nghĩa 2.1.1. (Tính liên tục đồng bậc-Equicontinuity of a family of function, xem [7] trang 11) Cho X là một không gian metric với metric d. Một họ các hàm {fi : X −→ X | i ∈ I} (I là tập chỉ số bất kỳ) được gọi là họ các hàm liên tục đồng bậc nếu:  ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho: d(x1 , x2 ) < δ kéo theo d fi (x1 ), fi (x2 ) < ε, ∀i ∈ I . Định nghĩa 2.1.2. (Tính chuẩn tắc của tập các hàm-Normality of a family, xem [7] trang 12) Cho U là một tập con mở của C và F = {fi : i ∈ I} (I là tập chỉ số bất kỳ) họ các hàm được xác định trên U và nhận giá trị trong C . Họ F được gọi là họ chuẩn tắc nếu mọi dãy {fn } chứa một dãy con {fnj } hội tụ đều trên các tập con compact của U . Định lí 2.1.3. (Sự tương đương giữa liên tục đồng bậc và điều kiện chuẩn tắc, xem [7] trang 12) Một họ {fi : U −→ C | i ∈ I} (I là tập chỉ số bất kỳ) của hàm phân hình là họ chuẩn tắc nếu và chỉ nếu nó là họ liên tục đồng bậc trên mọi tập con compact của U . Dưới đây, ta sẽ trình bày định nghĩa tập Fatou và tập Julia của hàm phân thức, thực chất hai định nghĩa tương đương theo Định lý 2.1.3. Định nghĩa 2.1.4 và Định nghĩa 2.1.5 dưới đây thường được sử dụng như là định nghĩa hình thức của tập Fatou và Julia. 8 Luận văn tốt nghiệp Tập thặng dư Julia của ánh xạ Newton Định nghĩa 2.1.4. (Điểm Fatou) Cho R là một hàm phân thức có bậc tối thiểu là 2. Một điểm z ∈ C được gọi là điểm Fatou của R nếu tồn tại lân cận U của z trong C sao cho họ các phép lặp {Rn |U } của R là họ chuẩn tắc. Ta có thể giải thích kĩ hơn khái niệm điểm Fatou như sau: Cho R : C −→ C Theo định nghĩa: R2 (z) = R(R(z)),..., Rn (z) = R(Rn−1 (z)). Nếu ký hiệu fn (z) = Rn (z) thì ta có một họ hàm fn = Rn trên U . Điểm z ∈ C là điểm Fatou nếu tồn tại lân cận U (z) sao cho họ {fn } = {Rn } chứa một dãy con hội tụ {fnj } = {Rnj } trên U . Định nghĩa 2.1.5. (Tập Fatou và tập Julia, xem [4] trang 50) Cho R là hàm phân thức khác hằng số. Tập tất cả các điểm Fatou được gọi là tập Fatou, tập Fatou của R ký hiệu là F (R). Tập Julia của R là phần bù của tập Fatou trong C, tập Julia của R ký hiệu là J(R). Dưới đây là một vài tính chất của tập Fatou và tập Julia. Định lí 2.1.6. (Xem [7] trang 50) Cho R là một hàm phân thức có bậc tối thiểu là 2. Khi đó: a. Hoặc F (R) = ∅. Khi ấy, J(R) = C. Hoặc F (R) 6= ∅. Khi ấy, F (R) là tập mở và J(R) là tập compact có phần trong khác rỗng. b. Với mọi số nguyên p, F (Rp ) = F (R) và J(Rp ) = J(R). c. F (R) = F (S) và J(R) = J(S) nếu và chỉ nếu S = ϕ−1 ◦ R ◦ ϕ, trong đó ϕ là ánh xạ Mobius. d. F (R) và J(R) là hoàn toàn bất biến dưới tác động của R, có nghĩa là chúng bất biến tiến và bất biến lùi dưới tác động của R.   (i) Bất biến tiến: R F (R) = F (R) và R J(R) = J(R),   (ii) Bất biến lùi: R−1 F (R) = F (R) và R−1 J(R) = J(R). e. J(R) là tập khác rỗng. f. J(R) là tập không có điểm cô lập và do đó không đếm được. Chú ý 2.1.7. Mệnh đề (e) không đúng nếu R là hàm phân thức có bậc 1. Trong thuật toán lặp, tất cả các hàm phân thức được xét có bậc tối thiểu là 2. Một hình cầu phức có thể bị chia bởi J(R) thành một số thành phần liên thông, khi đó tập Fatou có thể sẽ chứa nhiều thành phần liên thông. Hoàng Thị Thơm 9 Cao học toán K6C ĐHKH-ĐHTN Luận văn tốt nghiệp Tập thặng dư Julia của ánh xạ Newton Để cho gọn, ta nói thành phần Fatou nghĩa là một thành phần liên thông của tập Fatou F (R). Số thành phần Fatou của hàm phân thức chỉ có thể là 0, 1, 2 hoặc ∞ (xem [6] trang 94). Thêm vào đó, số thành phần Fatou hoàn toàn bất biến của hàm phân thức chỉ có thể tối đa là 2 (xem [6] trang 94). Từ định nghĩa của tập Julia, biên của thành phần Fatou là tập con của tập Julia. Một định lý quan trọng trong lí thuyết lặp của hàm phân thức là công thức Riemann − Hurwitz , cho ta quan hệ về tính liên thông của thành phần Fatou với số các điểm tới hạn và bậc của hàm phân thức trên thành phần Fatou. Để hiểu công thức, chúng ta cần đưa ra định nghĩa của tính liên thông của một tập. Định nghĩa 2.1.8. (Số liên thông-Connectivity, xem [4] trang 80) Cho D là một miền trong C. Số liên thông của D là số thành phần của ∂D và D được gọi là liên thông đơn giản nếu mọi đường cong đóng trong D có thể co (trong D) về một điểm của D. Ví dụ 2.1.9. a) Đĩa mở ∆(0, 1) là liên thông đơn giản bởi vì biên của nó là đường tròn và do đó số liên thông của đĩa mở là 1. b) Số liên thông của hình khuyên A = {r < |z| < 1} với 0 < r < 1 là 2 bởi vì biên của hình khuyên gồm đường tròn đơn vị, bán kính 1 và đường tròn {z ∈ C : |z| = r}, bán kính r. Do đó, số thành phần liên thông của biên hình khuyên là 2. Ta nói, R là ánh xạ k -lớp chính thường (k-fold proper maps) nếu mỗi giá trị của R nhận chính xác k lần, với k là một số hữu hạn nào đó. Định lí 2.1.10. (Công thức Riemann − Hurwitz) Cho R là một hàm phân thức có bậc tối thiểu là 2 với tập Fatou khác rỗng. Giả sử U, V ⊂ F (R) là hai thành phần Fatou với số liên thông hữu hạn m và n tương ứng. Giả sử R là một ánh xạ chính thường k -lớp có r điểm tới hạn trên U , tính cả bội, khi ấy ta có công thức Riemann − Hurwitz m − 2 = k(n − 2) + r. Định lí 2.1.11. (Xem [4] trang 81) Cho R là một hàm phân thức có bậc tối thiểu là 2. Tập Julia J(R) là liên thông nếu và chỉ nếu mỗi một thành phần của F (R) là liên thông đơn giản. Định nghĩa 2.1.12. (Xem [5] trang 176) Cho Ω là một thành phần Fatou của hàm phân thức R có bậc tối thiểu là 2. Ω được gọi là tuần hoàn với chu kỳ n nếu Rn (Ω) = Ω và tuần hoàn cuối cùng (Eventually periodic) nếu tồn tại một số Hoàng Thị Thơm 10 Cao học toán K6C ĐHKH-ĐHTN Luận văn tốt nghiệp Tập thặng dư Julia của ánh xạ Newton nguyên dương m sao cho Rm (Ω) là một thành phần Fatou tuần hoàn của R. Nếu tập Rn (Ω) với n ≥ 0 là rời nhau đôi một, thì Ω được gọi là thành phần Fatou di động (Wander Fatou component). Chú ý 2.1.13. Nếu Ω là thành phần Fatou của hàm phân thức với chu kỳ 1, thì Ω cũng được gọi là thành phần Fatou bất biến tiến của hàm phân thức. Sullivan [9] đã chỉ ra rằng, hàm phân thức không có thành phần Fatou di động. Nói cách khác, mọi thành phần Fatou của hàm phân thức là tuần hoàn cuối cùng. Định lí 2.1.14. (Xem [5] trang 176) Mọi thành phần của tập Fatou của hàm phân thức là tuần hoàn cuối cùng. Cho R là hàm phân thức có bậc tối thiểu là 2 và chọn điểm z0 ∈ C. Nếu tồn tại số nguyên dương p sao cho Rp (z0 ) = z0 , thì z0 được gọi là điểm tuần hoàn của R với chu kỳ p. Đặc biệt, nếu p = 1 tức là R(z0 ) = z0 , thì z0 được là điểm bất động của R. Định nghĩa 2.1.15. (Phân loại điểm bất động, xem [5] trang 99) Cho R là hàm phân thức có bậc tối thiểu là 2 và cho ξ ∈ C là điểm bất động của R. Khi đó, ξ là: 0 a. Siêu hấp dẫn (superattracting) nếu R (ξ) = 0 ; 0 b. Hút (attracting) nếu 0 < |R (ξ)| < 1; 0 c. Đẩy (repelling) nếu |R (ξ)| > 1; 0 d. Không phân biệt hữu tỉ (rationally indifferent) nếu R (ξ) là căn đơn vị; 0 0 e. Không phân biệt vô tỉ (irratinally indifferent) nếu |R (ξ)| = 1, nhưng R (ξ) không là căn đơn vị. Định lí 2.1.16. (Xem [5] trang 70) Cho R là một hàm phân thức có bậc tối thiểu là 2. Khi đó, J(R) là chứa trong bao đóng của tập các điểm tuần hoàn của R. Chỉ có 5 loại thành phần Fatou bất biến tiến của hàm phân thức. Định lí 2.1.17. (Phân loại của thành phần Fatou bất biến tiến của hàm phân thức, xem [3] trang 161) Một thành phần bất biến tiến Ω của tập Fatou là: (a) Một thành phần hút (an attracting) (hoặc vũng hút trực tiếp-an immediate attracting basins) nếu nó chứa một điểm hút cố định ξ của R; (b) Một thành phần siêu hút (a super-attracting) hoặc vũng siêu hút trực tiếp (an immediate super-attracting basins) nếu nó chứa một điểm siêu hút cố định ξ của R; (c) Một thành phần parabolic (hoặc miền Leau) nếu có một điểm cố định không Hoàng Thị Thơm 11 Cao học toán K6C ĐHKH-ĐHTN Luận văn tốt nghiệp Tập thặng dư Julia của ánh xạ Newton phân biệt hữu tỷ ξ của R trên biên của Ω, và Rn −→ ξ trên Ω; (d) Một đĩa Siegel nếu R : Ω −→ Ω là giải tích liên hợp với một phép quay Euclid của hình cầu đơn vị lên chính nó (tức là tồn tại ánh xạ giải tích hai chiều ϕ : ∆ −→ Ω sao cho ϕ(R(z)) = eiθ ϕ(z)); (e) Một vành Herman nếu R : Ω −→ Ω là giải tích liên hợp từ phép quay Euclid của hình khuyên lên chính nó (nghĩa là tồn tại một ánh xạ φ : A −→ Ω sao cho ϕ(R(z)) = eiθ ϕ(z) với A = r < |z| < 1, 0 < r < 1). Không còn khả năng nào khác. Định nghĩa 2.1.18. (Xích của thành phần Fatou) Cho R là hàm phân thức có bậc tối thiểu là 2. Nếu các thành phần Fatou F0 , F1 , ..., Fp−1 của R thoả mãn Fi+1 = R(Fi ) với i = 0, 1, ..., p − 2 và F0 = R(Fp−1 ), thì F0 , F1 , ..., Fp−1 được gọi là xích (cycle) của thành phần Fatou của R và chu kỳ của xích là p. Như đã biết rằng, với bất kỳ hàm phân thức R có bậc tối thiểu là 2 ta có: F (R) = F (Rm ) và J(R) = J(Rm ) với mọi số nguyên dương m (Định lí 2.1.6(b)). Nếu F0 , F1 , ..., Fp−1 là xích của thành phần Fatou của R, thì với mọi Fi với i = 0, ..., p − 1 là thành phần Fatou bất biến tiến của Rp . Nếu mỗi Fi là thành phần Fatou co (siêu hấp dẫn, parabolic) của Rp , thì xích được gọi là xích co (siêu hấp dẫn, parabolic) của R. Tương tự, nếu Fi là đĩa Siegel (vành Herman) của Rp , thì xích được gọi là xích của đĩa Siegel của R (của vành Herman). Thật ra, nếu F0 , F1 , ..., Fp−1 là xích của thành phần Fatou của R, thì mọi Fi phải là dạng tương ứng của thành phần Fatou bất biến tiến của Rp . Định lí 2.1.19. (Xem [7] trang 15) Cho R là hàm phân thức có bậc d ≥ 2. Giả sử: na = số xích của thành phần Fatou siêu hấp dẫn; np = số xích của thành phần parabolic; ni = số xích vô tỉ không phân biệt; nH = số xích của vành Herman; Khi đó, na + np + ni + 2nH ≤ 2d − 2. Hơn nữa nH < d − 1. Hoàng Thị Thơm 12 Cao học toán K6C ĐHKH-ĐHTN Luận văn tốt nghiệp 2.2 Tập thặng dư Julia của ánh xạ Newton Hàm phân thức hyperbolic Định nghĩa 2.2.1. (Hàm phân thức hyperbolic) Một hàm phân thức R có bậc tối thiểu là 2 là hyperbolic (trên J(R)) nếu mọi điểm tới hạn của R có một quỹ đạo tiến mà nó hội tụ tới một xích co của R. Định nghĩa 2.2.2. (Hàm phân thức subhyperbolic) Một hàm phân thức R có bậc tối thiểu là 2 là subhyperbolic nếu mọi điểm tới hạn của R có môt quỹ đạo tiến, mà nó là hữu hạn hoặc hội tụ đến xích co của R. Từ đây ta có định lí tương đương về các hàm phân thức hyperbolic. Định lí 2.2.3. Cho R là một hàm phân thức có bậc tối thiểu là 2. Giả sử ∞∈ / J(R), khi đó các điều sau là tương đương: (a) R là hyperbolic trên J(R); 0 (b) Tồn tại α > 0 và β > 1 sao cho |(Rn ) | ≥ αβ n trên J(R) với ∀n > 1; 0 (c) Tồn tại m > 1 sao cho |(Rm ) | > 1 trên J(R), nghĩa là Rm là mở rộng trên J(R) với metric Euclid tương ứng. Nếu R là một hàm hyperbolic hoặc subhyperbolic có bậc tối thiểu là 2 và J(R) là liên thông, thì J(R) là liên thông địa phương (locally connected). Trên thực tế, tính liên thông địa phương là một tính chất của tôpô. Định nghĩa 2.2.4. (Định nghĩa tôpô của liên thông địa phương) Một không gian tôpô là liên thông địa phương tại điểm x nếu mọi lân cận của x chứa một lân cận mở liên thông. Nó được gọi là liên thông địa phương nếu nó là liên thông địa phương tại mọi điểm. Tập Julia của hàm phân thức có thể xem như là một không gian tôpô. 2.3 Tập thặng dư Julia của hàm phân thức Cho F là một thành phần Fatou của hàm phân thức có bậc tối thiểu là 2. Theo định nghĩa, tập Julia là phần bù của tập Fatou trong C. Biên của F , kí hiệu là ∂F , phải là tập con của J(R), nghĩa là ∂F ⊂ J(R). Cho D1 , D2 , ..., Dm là tất cả các thành phần Fatou tuần hoàn của R. Coi ∂Di , m S với mọi i = 1, m như là tập con của J(R), ta có: ∂Di ⊂ J(R). i=1 Thành phần Fatou F sẽ là thành phần tuần hoàn cuối cùng được ánh xạ lên tối thiểu một Di với i = 1, m (theo Định lí 2.1.4). Mặt khác do J(R) là tập đóng của tất cả các điểm tuần hoàn của R (Định lí 2.1.16), nên có vô hạn các điểm tuần Hoàng Thị Thơm 13 Cao học toán K6C ĐHKH-ĐHTN Luận văn tốt nghiệp Tập thặng dư Julia của ánh xạ Newton hoàn trên ∂F và chúng ta có thể tuỳ ý chọn một điểm tuần hoàn ξ ∈ ∂F , thí m m S S dụ với chu kỳ p. Bây giờ, Rn (F ) ⊂ Di , với mọi n đủ lớn, và khi đó ξ ∈ Di i=1 i=1 Rjp (ξ) và ξ = ∈ ∂F với mọi số nguyên dương j . Khi đó, ∂F là tập con của m S ∂Di . Hợp của các giá trị biên của tất cả các thành phần Fatou của R phải là i=1 m S ∂Di ⊂ J(R). Thật vậy, nếu J(R) 6= i=1 m S ∂Di , thì tập thặng dư Julia của R là i=1 khác rỗng. Định nghĩa 2.3.1. Cho R là một hàm phân thức có bậc tối thiểu là 2. Tập thặng dư Julia (hoặc tập các điểm gai của tập Julia-the sets of buried points of the Julia set), ký hiệu là Jr (R), là tập các điểm trong J(R) không nằm trên của mọi thành phần F (R). Định nghĩa 2.3.2. Cho R là hàm phân thức có bậc tối thiểu là 2. Thành phần của J(R) được gọi là thành phần gai (a buried component) nếu tất cả các phần tử của nó đều là điểm gai. Định lí 2.3.3. (Xem [7] trang 17) Cho R là hàm phân thức có bậc tối thiểu là 2. Nếu {Di }m i=1 là tập tất cả các thành phần Fatou tuần hoàn của R, thì Jr (R) = ∅ m S nếu và chỉ nếu J(R) = ∂Di . i=1 Cho F là một thành phần Fatou hoàn toàn bất biến của hàm phân thức có bậc tối thiểu là 2. Khi đó, J(R) = ∂F và do đó Jr (R) = ∅. Định lí 2.3.4. (Xem [7] trang 17) Cho R là một hàm phân thức có bậc tối thiểu là 2. Giả sử, J(R) là không liên thông. Nếu không tồn tại thành phần hoàn toàn bất biến của F (R),thì Jr (R) là khác rỗng. Giả thuyết Makienko (Xem [3] trang 17) Cho f là hàm phân thức với deg(f ) ≥ 2. Khi đó, Jr (f ) là rỗng nếu và chỉ nếu F (f ) là thành phần hoàn toàn bất biến hoặc chỉ gồm 2 thành phần. Định lí 2.3.5. ( Xem [7], trang 17) Cho R là hàm phân thức có bậc tối thiểu là 2. Giả sử J(R) là liên thông địa phương. Khi đó Jr (R) là rỗng nếu và chỉ nếu F (R) có thành phần hoàn toàn bất biến hoặc gồm duy nhất 2 thành phần. 2.4 Tập thặng dư Julia của ánh xạ Newton Định lí 2.4.1. Hàm f là hàm phân thức với deg(f ) ≥ 2. Tập J(R) là liên thông nếu f có duy nhất điểm đẩy. Hoàng Thị Thơm 14 Cao học toán K6C ĐHKH-ĐHTN
- Xem thêm -