Vò c«ng ®oµn
bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
tr−êng ®¹i häc b¸ch khoa hµ néi
---------------------------------------
luËn v¨n th¹c sÜ khoa häc
c«ng nghÖ th«ng tin
ngµnh : c«ng nghÖ th«ng tin
TËp mê lo¹i hai
vµ suy diÔn víi tËp mê lo¹i hai
Vò c«ng ®oµn
2006 - 2008
Hµ Néi
2008
Hµ Néi 2008
Môc lôc
Môc lôc............................................................................................................ 1
Danh môc h×nh vÏ............................................................................................ 3
Më ®Çu............................................................................................................. 5
Ch−¬ng 1. C¬ b¶n vÒ tËp mê ........................................................................... 7
1.1. TËp mê.................................................................................................. 7
1.2. C¸c phÐp to¸n tËp hîp trªn tËp mê ....................................................... 8
1.3. Quan hÖ mê ........................................................................................ 10
1.3.1. Quan hÖ mê trªn cïng kh«ng gian .............................................. 10
1.3.2. Quan hÖ mê vµ phÐp hîp thµnh trªn c¸c kh«ng gian kh¸c nhau. 13
1.4. C¬ b¶n vÒ suy diÔn mê ....................................................................... 14
1.5. Nguyªn lý më réng ............................................................................ 17
1.6. KÕt luËn ch−¬ng ................................................................................. 18
Ch−¬ng 2. tËp mê lo¹i hai ............................................................................. 19
2.1. Giíi thiÖu chung................................................................................. 19
2.2. Hµm thuéc lo¹i hai ............................................................................. 19
2.2.1. Kh¸i niÖm tËp mê lo¹i hai ........................................................... 19
2.2.2. §Þnh nghÜa tËp mê lo¹i hai vµ c¸c kh¸i niÖm.............................. 19
2.2.3. Hµm thuéc trªn vµ hµm thuéc d−íi ............................................ 26
2.3. TËp mê lo¹i hai nhóng........................................................................ 27
2.4. C¸c phÐp to¸n trªn tËp mê lo¹i hai..................................................... 30
2.4.1. Hîp cña c¸c tËp mê lo¹i hai ........................................................ 30
2.4.2. Giao cña c¸c tËp mê lo¹i hai ....................................................... 32
2.4.3. PhÇn bï cña mét tËp mê lo¹i hai ................................................. 33
2.5. KÕt luËn ch−¬ng ................................................................................. 36
Ch−¬ng 3. Suy diÔn víi tËp mê lo¹i hai ........................................................ 37
3.1. Quan hÖ mê lo¹i hai vµ phÐp hîp thµnh ............................................. 37
3.1.1. Kh¸i niÖm chung ......................................................................... 37
3.1.2. Quan hÖ mê lo¹i hai vµ phÐp hîp thµnh trªn cïng mét kh«ng gian
............................................................................................................... 38
3.1.3. Quan hÖ mê lo¹i hai vµ phÐp hîp thµnh trªn c¸c kh«ng gian kh¸c
nhau ....................................................................................................... 41
3.1.4. PhÐp hîp thµnh cña mét tËp mê lo¹i hai vµ mét quan hÖ mê lo¹i
hai .......................................................................................................... 42
3.2. TÝch §ª-c¸c cña c¸c tËp mê lo¹i hai .................................................. 43
3.3. C¸c d¹ng luËt mê................................................................................ 45
3.4. Mét sè ph−¬ng ph¸p suy diÔn mê lo¹i hai ......................................... 46
3.4.1. Suy diÔn mê dùa vµo phÐp hîp thµnh.......................................... 46
3.4.2. Suy diÔn mê dùa trªn sù t−¬ng tù cña c¸c tËp mê....................... 48
3.5. NhËn xÐt ............................................................................................. 57
1
Ch−¬ng 4. HÖ logic mê lo¹i hai kho¶ng........................................................ 59
4.1. §Þnh nghÜa.......................................................................................... 59
4.2. Hµm thuéc trªn vµ hµm thuéc d−íi cña tËp mê lo¹i hai kho¶ng........ 60
4.3. PhÐp to¸n hîp vµ giao cña tËp mê lo¹i hai kho¶ng ............................ 62
4.4. Suy diÔn víi tËp mê lo¹i hai kho¶ng .................................................. 63
4.5. Gi¶m lo¹i vµ khö mê .......................................................................... 68
4.6. ThiÕt kÕ hÖ logic mê lo¹i hai kho¶ng b»ng ph−¬ng ph¸p lan truyÒn
ng−îc BP (Back-Propagation) ................................................................... 70
4.7. øng dông cña hÖ logic mê lo¹i hai kho¶ng ........................................ 76
4.8. KÕt luËn ch−¬ng ................................................................................. 79
KÕt luËn ......................................................................................................... 80
Tµi liÖu tham kh¶o......................................................................................... 81
2
Danh môc h×nh vÏ
H×nh 1-1: C¸c hµm ®é thuéc cho xe néi ®Þa vµ xe ngo¹i nhËp dùa trªn tû lÖ
phÇn tr¨m c¸c thµnh phÇn s¶n xuÊt trong n−íc …………………………… 7
H×nh 1-2: C¸c hµm thuéc: (a) µ A (x) vµ µ B (x) , (b) µ A∪ B (x) , (c) µ A∩ B (x) ,
(d) µ B (x) …………………………………………………………………… 9
H×nh 1-3: ®å thÞ hµm thuéc cña quan hÖ mê µ c (| x − y |) ………………… 11
H×nh 1-4 ………………………………………………………………… 16
H×nh 2-1: (a) hµm thuéc lo¹i mét, (b) vÕt mê hµm thuéc lo¹i mét, (c) FOU
…………………………………………………………………………… 20
H×nh 2-2: VÝ dô vÒ hµm thuéc lo¹i hai ………………………………… 21
H×nh 2-3: (a): mét tËp mê lo¹i hai Gaussian. (b): hµm thuéc thø cÊp
Gaussian t¹i x = 4 ……………………………………………………… 23
H×nh 2-4 ……………………………………………………………… 24
H×nh 2-5: FOU d¹ng tam giac ………………………………………… 25
H×nh 2-6: FOU cña hµm thuéc s¬ cÊp Gaussian víi tham sè gi¸ trÞ trung
b×nh m kh«ng ch¾c ch¾n ……………………………………………… 26
H×nh 2-7: FOU cña hµm thuéc s¬ cÊp Gaussian víi tham sè ®é lÖch chuÈn δ
kh«ng ch¾c ch¾n ………………………………………………………… 26
H×nh 2-8: VÝ dô vÒ mét tËp lo¹i mét nhóng (®−êng ®øt t« ®Ëm) trong mét tËp
mê lo¹i hai……………………………………………………………… 28
H×nh 2-9: Mét tËp mê lo¹i hai nhóng vµ mét tËp mê lo¹i mét nhóng ®−îc
g¾n víi hµm thuéc lo¹i hai ®−îc biÓu diÔn trong H×nh 2-2………………. 29
H×nh 3-1: HÖ logic mê lo¹i hai ………………………………………… 37
H×nh 4-1: VÝ dô vÒ hµm thuéc cña mét tËp mê lo¹i 2 kho¶ng trong kh«ng
gian rêi r¹c. MiÒn t« ®en trong mÆt ph¼ng x-u lµ FOU ………………….. 60
H×nh 4-2: (a) minh ho¹ cho vÝ dô 4-1, (b) minh ho¹ cho vÝ dô 4-2 ……….62
l
H×nh 4-3: X¸c ®Þnh f l vµ f . (a) sö dông minimum t-norm. (b) sö dông
product t-norm. ………………………………………………………… …67
H×nh 4-4: X¸c ®Þnh µ B~ ( y ) . (a) sö dông minimum t-norm. (b) sö dông
l
product t-norm …………………………………………………………......67
3
H×nh 4-5: X¸c ®Þnh
µ
~
B
( y ) . (a) sö dông minimum t-norm. (b) sö dông
product t-norm …………………………………………………………….68
H×nh 4-6: Minh ho¹ cho tËp mê lo¹i 2 kho¶ng ®¬n trÞ cã hai luËt. (a) FOU
~
~
~
~
cña F11 vµ F21 trong luËt 1. (b) FOU cña F12 vµ F22 trong luËt 2 …………..73
H×nh 4-7: Gi¸ trÞ trung b×nh vµ ®é lÖch chuÈn cña RMSEs1, RMSEns1,
RMSEs2 . (a) gi¸ trÞ trung b×nh, (b) ®é lÖch chuÈn ……………………… . 78
4
Më ®Çu
Lý thuyÕt tËp mê lo¹i hai ®−îc Zadeh ®−a ra tõ n¨m 1975. TËp mê lo¹i hai
ngµy cµng ®−îc kh¼ng ®Þnh vÞ trÝ −u viÖt cña m×nh trong viÖc c¶i thiÖn vµ
n©ng cao chÊt l−îng xö lý th«ng tin so víi nhiÒu ph−¬ng ph¸p truyÒn thèng
kh¸c. Ngµy nay, Logic mê ®−îc øng dông trong thùc tiÔn ®Æc biÖt lµ trong
lÜnh vùc dù b¸o, khai ph¸ tri thøc, ®iÒu khiÓn mê…
Tuy nhiªn, viÖc tÝnh to¸n vµ xö lý th«ng tin dùa trªn tËp mê lo¹i hai nãi
chung cã ®é phøc t¹p rÊt lín, ®iÒu nµy ®· ¶nh h−ëng kh«ng nhá tíi kh¶ n¨ng
øng dông cña tËp mê lo¹i hai vµo gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n thùc tÕ. ChÝnh v×
vËy, nh÷ng n¨m trë l¹i ®©y, lý thuyÕt tËp mê lo¹i hai nhËn ®−îc rÊt nhiÒu sù
quan t©m nghiªn cøu cña nhiÒu nhµ khoa häc. Mét trong nh÷ng h−íng
nghiªn cøu ®ã lµ t×m ra c¸c ph−¬ng ph¸p lµm gi¶m ®é phøc t¹p tÝnh to¸n
trong c¸c hÖ logic mê lo¹i hai.
Suy diÔn víi tËp mê lo¹i hai lµ mét kh©u quan träng trong hÖ logic mê lo¹i
hai. Ph−¬ng ph¸p suy diÔn quyÕt ®Þnh rÊt lín tíi chÊt l−îng vµ ®é phøc t¹p
tÝnh to¸n cña toµn hÖ. Víi môc ®Ých t×m hiÓu nghiªn cøu vÒ tËp mê lo¹i 2,
®−îc sù h−íng dÉn cña PGS.TS. TrÇn §×nh Khang – Khoa CNTT - §¹i Häc
B¸ch Khoa Hµ Néi, t«i lùa chän ®Ò tµi “TËp mê lo¹i hai vµ suy diÔn víi tËp
mê lo¹i hai”. §Ò tµi thùc hiÖn t×m hiÓu nghiªn cøu nh÷ng vÊn ®Ò c¬ b¶n ®èi
víi tËp mê lo¹i hai, mét sè ph−¬ng ph¸p suy diÔn ®èi víi tËp mê lo¹i hai
tæng qu¸t vµ tËp mê lo¹i hai kho¶ng.
§Ò tµi ®−îc chia thµnh c¸c phÇn sau:
Ch−¬ng 1. C¬ b¶n vÒ tËp mê: Ch−¬ng nµy tr×nh bµy c¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n
vÒ tËp mê nãi chung lµm c¬ së ®Ó t×m hiÓu, nghiªn cøu c¸c ®Æc tr−ng cña tËp
mê lo¹i hai.
Ch−¬ng 2. TËp mê lo¹i hai: TËp mê lo¹i hai lµ sù ph¸t triÓn vµ më réng
cña tËp mê lo¹i mét nh»m kh¾c phôc nh÷ng nh−îc ®iÓm cña tËp mê lo¹i mét.
Ch−¬ng nµy tr×nh bµy nh÷ng kh¸i niÖm vµ nh÷ng ®Æc tr−ng c¬ b¶n cña tËp
mê lo¹i hai. C¸c phÐp to¸n tËp hîp trªn tËp mê lo¹i hai còng ®−îc tr×nh bµy ë
®©y, c¸c phÐp to¸n nµy lµ c«ng cô kh«ng thÓ thiÕu ®Ó thùc hiÖn c¸c phÐp suy
diÔn mê.
5
Ch−¬ng 3. Mét sè ph−¬ng ph¸p suy diÔn trªn tËp mê lo¹i hai: Ch−¬ng
nµy tr×nh bµy mét sè ph−¬ng ph¸p suy diÔn víi tËp mê lo¹i hai. Hai ph−¬ng
ph¸p suy diÔn ®−îc tr×nh bµy ë ®©y ®ã lµ ph−¬ng ph¸p suy diÔn dùa trªn
phÐp hîp thµnh vµ ph−¬ng ph¸p suy diÔn dùa trªn ®é t−¬ng tù. Tõ ®ã ®−a ra
nh÷ng ph©n tÝch ®¸nh gi¸, ®©y lµ mét c¬ së quan träng ®Ó lùa chän ph−¬ng
ph¸p suy diÔn phï hîp khi thiÕt kÕ vµ x©y dùng c¸c øng dông logic mê.
Ch−¬ng 4: TËp mê lo¹i hai kho¶ng: TËp mê lo¹i hai tæng qu¸t béc lé
mét sè nh−îc ®iÓm nh− ®é phøc t¹p tÝnh to¸n lín. Do cã cÊu tróc ®Æc biÖt
nªn viÖc tÝnh to¸n vµ suy diÔn trªn tËp mê lo¹i hai kho¶ng cã ®é phøc t¹p
nhá h¬n rÊt nhiÒu lÇn so víi tËp mê lo¹i hai tæng qu¸t. ChÝnh v× vËy, tËp mê
lo¹i hai kho¶ng th−êng ®−îc øng dông trong c¸c hÖ logic mê. Ch−¬ng nµy
tr×nh bµy nh÷ng ®Æc tr−ng c¬ b¶n cña tËp mê lo¹i hai kho¶ng vµ ph−¬ng ph¸p
suy diÔn trªn tËp mê lo¹i hai kho¶ng.
6
Ch−¬ng 1. C¬ b¶n vÒ tËp mê
1.1. TËp mê
§Þnh nghÜa 1-1:
TËp mê F x¸c ®Þnh trong kh«ng gian X ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau:
F = {(x,
µ
F
µ
F
µ
(x) )| x ∈ X} víi
®−îc gäi lµ hµm thuéc cña tËp mê F vµ
µ
F
F
(x) ∈ [0, 1]
(1-1)
(x) lµ gi¸ trÞ ®é thuéc cña x
∈ X vµo F.
§Ó thuËn tiªn cho viÖc biÓu diÔn, ng−êi ta ký hiÖu tËp mê F :
F=
∫µ
F
( x) / x , khi X liªn tôc
(1- 2)
X
ë ®©y, c¸c kÝ hiÖu
∫
F=
∑ µ
vµ
∑
X
F
( x) / x , khi X rêi r¹c
(1-3)
kh«ng ph¶i lµ phÐp tÝch ph©n vµ tæng ®¹i sè
mµ lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c phÇn tö x ∈ X kÕt hîp víi gi¸ trÞ ®é thuéc
µ F (x) t−¬ng øng cña chóng.
µ
(x)
1
µ
F
µ
(x)
D
(x)
0.5
0
25
50
75
100
x
H×nh 1-1. C¸c hµm ®é thuéc cho xe néi ®Þa vµ xe ngo¹i nhËp dùa
trªn tû lÖ phÇn tr¨m c¸c thµnh phÇn s¶n xuÊt trong n−íc
7
VÝ dô 1-1:
H×nh 1-1 m« t¶ viÖc ph©n lo¹i tËp c¸c « t« thµnh hai tËp néi ®Þa (D) vµ
ngo¹i nhËp (F) theo tû lÖ phÇn tr¨m c¸c linh kiÖn ®−îc s¶n xuÊt trong n−íc.
ë ®©y, F vµ D lµ c¸c tËp mê cã c¸c hµm thuéc t−¬ng øng lµ
µ
F
(x) vµ
µ
D
(x) ;
x lµ tû lÖ phÇn tr¨m c¸c linh kiÖn s¶n xuÊt trong n−íc. Mét chiÕc « t« ®−îc
coi lµ néi ®Þa nÕu cã µ D (x) > µ F (x) , ng−îc l¹i nã ®−îc coi lµ xe ngo¹i nhËp.
Th«ng th−êng, ®å thÞ sö dông ®Ó m« t¶ cho c¸c hµm thuéc cña mét tËp mê
cã d¹ng h×nh tam gi¸c, h×nh thang, Gaussian .v.v. C¸c hµm thuéc th−êng
®−îc lùa chän mét c¸ch tïy ý trªn c¬ së kinh nghiÖm cña ng−êi sö dông vÒ
lÜnh vùc liªn quan hoÆc ph−¬ng ph¸p tÝnh to¸n tèi −u mµ hä lùa chän.
1.2. C¸c phÐp to¸n tËp hîp trªn tËp mê
Trong lý thuyÕt tËp mê, c¸c phÐp to¸n tËp hîp ®−îc ®Þnh nghÜa th«ng qua
c¸c hµm thuéc cña chóng.
Gi¶ sö A vµ B lµ hai tËp mê x¸c ®Þnh trªn kh«ng gian X ®−îc ®Æc tr−ng
bëi c¸c hµm thuéc t−¬ng øng lµ µ A (x) vµ µ B (x) .
§Þnh nghÜa 1-2:
Hîp cña hai tËp mê A vµ B, ký hiÖu A∪ B , cã hµm thuéc ®−îc ®Þnh nghÜa:
µ
A∪ B
(x) = max[ µ (x) , µ (x) ]
A
(1-4)
B
§Þnh nghÜa 1-3:
Giao cña hai tËp mê A vµ B, ký hiÖu A∩ B , cã hµm thuéc ®−îc ®Þnh nghÜa:
(1-5)
(x) = min[
(x) ,
(x) ]
µ
µ
A∩ B
µ
A
B
PhÇn bï cña tËp mê A, ký hiÖu A vµ hµm thuéc ®−îc ®Þnh nghÜa:
µ
A
(x) = 1 -
µ
A
(x)
(1-6)
XÐt vÝ dô sau:
VÝ dô 1-2: Cho hai tËp mê A vµ B cã hµm thuéc ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau:
µ
0, nÕu 0 ≤ x ≤ 0.5
⎧
(x) = ⎨
−2
A
⎩1 /[1 + ( x − 0.5) ], nÕu 0.5 ≤ x ≤ 1
8
(1-7)
µ
B
(x) =
1
,0≤ x≤ 1
1 + ( x − 0.707) 4
µ
H×nh 1-2 d−íi ®©y m« t¶ c¸c hµm thuéc
µ
A
A
(x) ,
(1-8)
µ
B
(x) ,
µ
A∪ B
(x) ,
µ
A∩ B
(x) ,
(x)
1
µ
B
µ
(x)
A
(x)
µ
1
x
0.5 0.707
µ
A∩ B
(x)
x
0.5 0.707
(a)
1
A∪ B
(b)
1
(x)
µ
B
x
0.5 0.707
µ
(x)
B
(x)
x
0.5 0.707
(c)
(d)
H×nh 1-2: C¸c hµm thuéc: (a)
(b)
µ
A∪ B
(x) , (c)
µ
A∩ B
µ
A
(x) vµ
(x) , (d)
µ
B
µ
B
(x) ,
(x)
VÝ dô nµy cho thÊy phÐp hîp, giao cña mét tËp mê víi phÇn bï cña nã cã
kÕt qu¶ kh¸c so víi trong tËp râ. Bëi v×, râ rµng A ∪ A ≠ X vµ A ∩ A ≠ φ .
Ngoµi viÖc sö dông c¸c phÐp to¸n maximum vµ minimum, ng−êi ta cßn cã
thÓ ®Þnh nghÜa c¸c phÐp hîp vµ phÐp giao kh¸c cho tËp mê.
Ch¼ng h¹n, Zadeh ®Þnh nghÜa hai phÐp to¸n hîp vµ giao cho tËp mê nh−
sau:
9
1. PhÐp hîp:
µ
2. PhÐp giao:
µ
A∪ B
(x) = µ (x) +
A∩ B
A
µ
B
(x) -
µ
A
( x) µ ( x)
(1-9)
B
(x) = µ ( x) µ ( x)
A
(1-10)
B
Sau ®ã, Klir vµ Yuan ®Þnh nghÜa hai phÐp to¸n t-conorm cho phÐp hîp vµ
t-norm cho phÐp giao sö dông cho tËp mê:
PhÐp to¸n t-conorm (cßn gäi lµ s-norms) ®−îc sö dông cho phÐp hîp, ®−îc
ký hiÖu lµ ⊕ . Maximum vµ phÐp tæng ®¹i sè lµ phÐp to¸n t-conorm. D−íi
®©y lµ hai vÝ dô vÒ t-conorm:
x ⊕ y = min(1, x+y)
(1-11)
⎧ x nÕu y = 0
x ⊕ y = ⎪⎨ y nÕu x = 0
⎪1 nÕu ng−îc l¹i
⎩
(1-12)
PhÐp t-norm ®−îc sö dông cho phÐp giao, ®−îc ký hiÖu lµ ∗ . Minimun vµ
hµm ®¹i sè lµ t-norm. D−íi ®©y lµ hai vÝ dô vÒ t-norm.
x ∗ y=max(0, x+y-1)
(1-13)
⎧ x nÕu y = 1
x ∗ y = ⎪⎨ y nÕu x = 1
⎪0 nÕu ng−îc l¹i
⎩
(1-14)
ViÖc ®Þnh nghÜa c¸c t-conom, t-norm vµ phÐp lÊy phÇn bï kh¸c nhau sö
dông trong lý thuyÕt tËp mê cung cÊp cho chóng ta mét sù lùa chän phong
phó h¬n khi x©y dùng hÖ logic mê.
1.3. Quan hÖ mê
Quan hÖ mê thÓ hiÖn ®é thuéc cña sù xuÊt hiÖn hoÆc kh«ng xuÊt hiÖn cña
sù kÕt hîp, sù ¶nh h−ëng hoÆc tÝnh chÊt liªn kÕt gi÷a c¸c phÇn tö cña hai hay
nhiÒu tËp mê.
1.3.1. Quan hÖ mê trªn cïng kh«ng gian
§Þnh nghÜa 1-4: Gäi U vµ V lµ hai kh«ng gian nÒn. Quan hÖ mê, R(U,V)
lµ mét tËp mê trong kh«ng gian cña tÝch §ª-c¸c U × V. TËp mê nµy lµ tËp con
cña U × V vµ ®−îc ®Æc tr−ng bëi hµm thuéc µ R ( x, y ) , víi x ∈ U vµ y ∈ V .
R(U,V) = {((x,y), µ R ( x, y ) )| (x,y) ∈ U × V }, víi
10
µ
R
( x, y ) ∈ [0,1]
(1-15)
VÝ dô 1-3: Gi¶ sö U vµ V lµ hai tËp c¸c sè thùc. XÐt quan hÖ mê “môc
tiªu x lµ gÇn víi môc tiªu y”. Hµm thuéc cña quan hÖ mê nµy ®−îc x¸c ®Þnh
nh− sau:
µ c (| x − y |) ≡ max{(5− | x − y |) / 5,0}
(1-16)
Hµm thuéc cña quan hÖ nµy ®−îc diÔn t¶ trong H×nh 1-3. Chó ý r»ng
kho¶ng c¸ch gi÷a hai môc tiªu x vµ y ®−îc x¸c ®Þnh bëi |x-y|, ®−îc hiÓu nh−
lµ mét biÕn phô thuéc.
µ c (| x − y |)
1
|x-y|
5
H×nh 1-3: §å thÞ hµm thuéc cña quan hÖ mê µ c (| x − y |)
V× c¸c quan hÖ mê lµ c¸c tËp mê trong kh«ng gian §ª-c¸c nªn lý thuyÕt
tËp hîp vµ c¸c phÐp to¸n sè häc cã thÓ ®−îc ®Þnh nghÜa vµ sö dông ®èi víi
c¸c quan hÖ mê nµy bëi viÖc sö dông c¸c phÐp to¸n hîp, giao, lÊy phÇn bï
mµ chóng ta ®· ®Þnh nghÜa ë c¸c phÇn tr−íc. Gi¶ sö R(U,V) vµ S(U,V) viÕt
t¾t lµ R vµ S lµ hai quan hÖ mê trong cïng kh«ng gian tÝch §ª-c¸c UxV. C¸c
phÐp hîp vµ giao cña hai quan hÖ nµy víi c¸c thµnh phÇn cña nã ®−îc ®Þnh
nghÜa:
µ R ∩ S ( x , y ) = µ R ( x, y ) ∗ µ S ( x, y )
(1-17)
µ R ∪ S ( x , y ) = µ R ( x , y ) ⊕ µ S ( x, y )
(1-18)
ë ®©y, ∗ lµ c¸c t-norm vµ ⊕ lµ c¸c t-conorm.
VÝ dô 1-4: Xem xÐt møc ®é phï hîp cña hai quan hÖ mê sau ®©y: “u gÇn
víi v” vµ “u nhá h¬n v”; vµ quan hÖ mê “u gÇn v” hoÆc “u nhá h¬n v”. TÊt
c¶ c¸c quan hÖ nµy cïng kh«ng gian tÝch §ª-c¸c UxV. §Ó ®¬n gi¶n, chóng ta
gi¶ sö r»ng U={u1, u2} = {2, 12} vµ V ={v1, v2, v3} = {1, 7, 13}. Chóng ta sÏ
tÝnh to¸n gi¸ trÞ ®é thuéc cña c¸c thµnh phÇn trong phÐp hîp vµ giao cña hai
quan hÖ nµy. Hµm thuéc cho c¸c quan hÖ mê “gÇn” vµ “nhá” ký hiÖu lµ
11
µ c (u, v) vµ µ s (u, v) . C¸c sè trong µ c (u, v) vµ µ s (u, v) ®−îc chän ®Ó phï hîp víi
kh¸i niÖm sù so s¸nh hai sè trong U vµ V.
u1
u2
µ c (u, v) ≡
v1
v2
v3
⎛ 0.9
⎜⎜
⎝ 0.1
0.4
0.4
0.1⎞
⎟
0.9 ⎟⎠
v1
v2
v3
⎛0
⎜⎜
⎝0
0.6 1 ⎞
⎟
0 0.3 ⎟⎠
u
µ s (u , v) ≡ 1
u2
(1-19)
(1-20)
Gi¶ sö dïng minimum t-norm ( ∧ ) vµ maximum t-conorm ( ∨ ) cho c¸c
phÐp hîp vµ giao khi ®ã:
µ c∪ s (u i , v j ) = µ c (u i , v j ) ∨ µ s (u i , v j )
(1-21)
µ c∩ s (u i , v j ) = µ c (u i , v j ) ∧ µ s (u i , v j )
(1-22)
vµ
ë ®©y, i = 1, 2 vµ j = 1, 2, 3. Sö dông c¸c c«ng thøc (1-21) vµ (1-22), ta cã:
µ c∪s (u, v) ≡
u1
u2
µ c∩s (u, v) ≡
u1
u2
v1
v2
v3
⎛ 0.9
⎜⎜
⎝ 0.1
0.6
0.4
1 ⎞
⎟
0.9 ⎟⎠
v1
v2
v3
⎛0
⎜⎜
⎝0
0.4
0
0.1 ⎞
⎟
0.3 ⎟⎠
(1-23)
(1-24)
Tõ (1-23) vµ (1-24) chóng ta thÊy r»ng “u gÇn v” hoÆc “u nhá h¬n v”
phï hîp h¬n nhiÒu so víi “u gÇn v” vµ “u nhá h¬n v” bëi v× gi¸ trÞ ®é thuéc
µ c∪s (u, v) t−¬ng ®èi lín, trong khi ®ã gi¸ trÞ ®é thuéc µ c∩ s (u, v) t−¬ng ®èi nhá.
12
1.3.2. Quan hÖ mê vµ phÐp hîp thµnh trªn c¸c kh«ng gian kh¸c nhau
§Þnh nghÜa 1-5:
Gi¶ sö R(U,V) lµ mét quan hÖ mê trªn kh«ng gian tÝch §ª-c¸c U × V vµ
S(V,W) lµ mét quan hÖ mê trªn kh«ng gian tÝch §ª-c¸c V × W cã c¸c hµm
thuéc t−¬ng øng lµ µ R ( x, y ) vµ µ S ( y, z ) víi µ R ( x, y ) ∈ [0,1] , µ S ( y, z ) ∈ [0,1].
PhÐp hîp thµnh gi÷a quan hÖ mê R vµ S ký hiÖu lµ R o S, lµ mét quan hÖ mê
cã hµm thuéc µ Ro S ( x, z ) ®−îc ®Þnh nghÜa:
µ
Ro S
( x, z ) = supy ∈ V[ µ (x,y) ∗
R
µ
S
(y,z)]
(1-25)
ë ®©y to¸n tö supremum chÝnh lµ hµm maximum vµ to¸n tö ∗ lµ mét tnorm, ch¼ng h¹n nh− hµm minimum. Nh− vËy, sup-star ë ®©y ®−îc hiÓu nh−
c¸c sup-min vµ sup-product t−¬ng ®−¬ng víi c¸c max-min vµ max-product.
VÝ dô 1-5: Gi¶ sö c lµ mét quan hÖ mê “u gÇn v” trªn kh«ng gian tÝch §ªc¸c U × V, ë ®©y U={u1, u2} vµ V={v1,v2,v3}, víi c¸c gi¸ trÞ ®−îc cho nh−
sau: U={2,12}, V={1,7,13}; gi¸ trÞ ®é thuéc cña quan hÖ mê nµy ®−îc cho
bëi (1-19). Vµ mb mét quan hÖ mê “v lín h¬n nhiÒu w” trªn kh«ng gian
V × W, ë ®©y W={w1, w2}={4.8}, gi¸ trÞ ®é thuéc µ mb (v, w) ®−îc cho trong
(1-26) d−íi ®©y:
w1
v1 ⎛ 0
µ mb (v, w) = v2 ⎜⎜ 0.6
v3 ⎜⎝ 1
w2
0 ⎞
⎟
0 ⎟
0.7 ⎟⎠
(1-26)
Ph¸t biÓu “u gÇn v” vµ “v lín h¬n nhiÒu w” thÓ hiÖn phÐp hîp thµnh gi÷a
hai quan hÖ mê c vµ mb nã lµ mét tËp mê cã hµm thuéc µ comb (u, w) ®−îc x¸c
®Þnh theo (1-25) vµ minimun-tnorm nh− sau:
µ
c o mb
(u i , w j ) = [ µ (u i , v1 ) ∧ µ (v1 , w j ) ] ∨ [ µ (u i , v 2 ) ∧ µ (v 2 , w j ) ]
c
mb
c
∨ [ µ (u i , v3 ) ∧ µ (v3 , w j ) ]
c
mb
(1-27)
mb
víi i = 1,2 ; j = 1,2,3; ∧ thÓ hiÖn minimum vµ ∨ thÓ hiÖn maximum.
Ch¼ng h¹n:
13
µ
c o mb
(u1 , w1 ) = [ µ (u1 , v1 ) ∧ µ (v1 , w1 ) ] ∨ [ µ (u1 , v 2 ) ∧ µ (v 2 , w1 ) ]
c
mb
c
mb
(1-28)
∨ [ µ (u1 , v3 ) ∧ µ (v3 , w1 ) ]
c
mb
= [0.9 ∧ 0] ∨ [0.4 ∧ 0.6] ∨ [0.1 ∧ 1]
= 0 ∨ 0.4 ∨ 0.1 = 0.4
TÝnh to¸n t−¬ng tù cho c¸c phÇn tö cßn l¹i chóng ta cã ma trËn ®é thuéc
cña c¸c thµnh phÇn cña quan hÖ mê µ comb (u, w) nh− sau:
µ
c o mb
(u , w) = u1
u2
w1
⎛ 0.4
⎜⎜
⎝ 0.9
w2
0.1
0.7
(1-29)
⎞
⎟⎟
⎠
Chó ý:
Trong tr−êng hîp V = U, khi ®ã hµm thuéc
µ
R
µ
R
(x,y) trë thµnh
µ
R
(x) hoÆc
(y), vÝ dô quan hÖ mê “y lµ mét sè trung b×nh vµ y nhá h¬n z”. v× V=U,
khi ®ã phÐp hîp thµnh sup-star trong (1-25) trë thµnh:
supy ∈ V[ µ R (x,y) ∗ µ S (y,z)] = supx ∈ U[ µ R (x) ∗ µ S (x,z)]
(1-30)
®©y chØ lµ hµm cña mét biÕn ®Çu ra z. Nh− vËy, chóng ta cã thÓ ®¬n gi¶n
ký hiÖu µ Ro S ( x, z ) thµnh µ Ro S (z ) , vµ ta cã
µ
Ro S
(z ) = supx ∈ U[ µ (x) ∗
R
µ
S
(x,z)]
(1-31)
1.4. C¬ b¶n vÒ suy diÔn mê
LuËt mê lµ mét thµnh phÇn chÝnh trong hÖ logic mê. Trong Logic mê c¸c
luËt th−êng ®−îc ph¸t biÓu d−íi d¹ng mÖnh ®Ò if – then (nÕu – th×):
If x is A, then y is B, víi x ∈ X vµ y ∈ Y
(nÕu x lµ A th× y lµ B, víi x ∈ X vµ y ∈ Y)
MÖnh ®Ò trªn lµ mét quy t¾c thÓ hiÖn mèi quan hÖ gi÷a hai tËp mê A vµ B,
hµm thuéc cña mèi quan hÖ nµy ký hiÖu lµ µ A→ B ( x, y ) , víi µ A→ B (x,y) ∈ [0,1].
ë ®©y,
µ
A→ B
(x,y) x¸c ®Þnh ®é thuéc cña mèi quan hÖ gi÷a x vµ y trong
kh«ng gian tÝch §ª-c¸c X × Y.
14
Hµm thuéc cña mèi quan hÖ mê gi÷a hai tËp mê A vµ B cã thÓ ®−îc x¸c
®Þnh theo c¸c C«ng thøc (1-32) – (1-34) d−íi ®©y:
µ
A→ B
µ
A→ B
µ
A→ B
( x, y ) = 1- min[ µ (x) , 1 -
µ
A
( x, y ) = max[1-
µ
A
(x) ,
µ
B
B
( y) ]
( y) ]
( x, y ) =1- µ (x) (1- µ ( y ) )
A
(1-32)
(1-33)
(1-34)
B
Trong Logic mê, luËt Modus Ponen ®−îc tæng qu¸t hãa nh− sau:
Gi¶ thiÕt: x lµ A*
PhÐp kÐo theo: NÕu x lµ A th× y lµ B
KÕt luËn: y lµ B*
Trong ®ã A*, A, B*, B lµ c¸c tËp mê.
Tõ d¹ng thøc Modus Ponen tæng qu¸t cña luËt chóng ta thÊy cã sù kh¸c
nhau ë tªn gäi cña gi¶ thiÕt (A vµ A*) vµ kÕt luËn (B vµ B*). §iÒu nµy nãi lªn
r»ng, trong logic mê, tËp mê gi¶ thiÕt A* kh«ng ph¶i lóc nµo còng trïng víi
tËp mê gi¶ thiÕt A cña luËt if-then. Vµ tËp mê kÕt luËn B* kh«ng ph¶i lu«n
trïng víi kÕt luËn B cña luËt if-then.
Trong logic râ, mét luËt chØ ®−îc ®èt ch¸y nÕu vµ chØ nÕu gi¶ thiÕt trïng
víi vÕ tr¸i cña luËt vµ kÕt qu¶ chÝnh lµ vÕ ph¶i cña luËt. Trong logic mê, luËt
®−îc ®èt ch¸y víi mét ®é thuéc kh¸c 0 cña sù t−¬ng tù gi÷a gi¶ thiÕt vµ vÕ
tr¸i cña luËt; vµ kÕt qu¶ lµ mét ®é thuéc kh¸c 0 cña sù t−¬ng tù gi÷a kÕt luËn
vµ vÕ ph¶i cña luËt.
LuËt mê d¹ng Modus Ponen tæng qu¸t lµ mét kÕt cÊu mê; ë ®©y, quan hÖ
mê thø nhÊt lµ mét tËp mê ®¬n thuÇn A*. Do vËy, sö dông (1-31), µ B ( y )
*
nhËn ®−îc tõ phÐp hîp thµnh sup-star nh− sau:
µ
B*
( y) =
sup
x∈ X
[ µ * ( x) ∗ µ
A
A→ B
( x, y )]
(1-35)
§Ó hiÓu râ h¬n vÒ (1-35), chóng ta sÏ xem xÐt vÝ dô sau ®©y. Trong vÝ dô
nµy, chóng ta gi¶ sö r»ng tËp mê A* lµ mét tËp mê ®¬n trÞ (singleton), cßn
gäi lµ bé mê hãa ®¬n trÞ.
⎧1
víi x = x '
=
(
x
)
µ A* ⎨0 víi x ≠ x ' vµ ∀ x∈ X
⎩
15
(1-36)
Víi bé mê hãa ®¬n trÞ, (1-35) trë thµnh:
µ
=
B*
( y) =
sup
x∈ X
sup
[µ
x∈ X
A→ B
[ µ * ( x) ∗ µ
A
( x ' , y ),0] =
A→ B
µ
( x, y )]
A→ B
( x' , y)
(1-37)
Nh− vËy, víi bé mê hãa ®¬n trÞ viÖc tÝnh to¸n supermum dÔ dµng h¬n, bëi
v× µ A ( x) chØ kh¸c kh«ng t¹i mét ®iÓm duy nhÊt, x’.
*
VÝ dô 1-6: Sö dông (1-32) cho
µ
B*
µ
A→ B
( x, y ) , khi ®ã (1-37) trë thµnh
( y ) = 1- min[ µ ( x ' ) , 1 A
µ
B
( y) ]
§å thÞ minh häa kÕt qu¶ phÐp hîp thµnh ®−îc ®−a ra trong H×nh 1-4.
µ B ( y) ®−îc thÓ hiÖn trong h×nh (a); chóng ta tÝnh to¸n 1- µ B ( y) vµ ®−îc thÓ
µ
chóng ta x¸c ®Þnh ®−îc min[ µ
hiÖn trong h×nh (b); ®é thuéc
A
A
( x ' ) còng ®−îc ®−a ra trong h×nh (b), sau ®ã
(x' ) , 1 -
µ
h×nh (b). Chó ý r»ng, gi¸ trÞ ®é thuéc
µ
A
B
( y ) ], còng ®−îc thÓ hiÖn trong
( x ' ) trong h×nh (b) ®−îc chän mét
µ ( x ) ∈ [0,1]. Cuèi cïng, chóng ta
1- min[ µ ( x ) , 1 - µ ( y ) ] vµ ®−îc thÓ hiÖn trong h×nh (c).
'
c¸ch tïy ý víi
x¸c ®Þnh ®−îc
A
'
A
µ
B
B
1 - min[ µ ( x ' ) ,
( y)
1− µ
1
µ
1
A
1-
( y)
µ
B
( y) ]
1
(x' )
min[ µ ( x ' ) ,
1-
µ
A
B
( y) ]
y
y
(a)
B
A
(b)
y
(c)
H×nh 1-4
16
1.5. Nguyªn lý më réng
C«ng cô ®Ó tÝnh to¸n c¸c phÐp hîp, giao vµ phÇn bï cña mét tËp mê lo¹i
hai lµ nguyªn lý më réng cña Zadeh (1975); Dubois vµ Prade (1980). Sau
®©y lµ nguyªn lý më réng tæng qu¸t.
TÝch §ª-c¸c cña r tËp râ bÊt kú X1, X2, …, Xr , ký hiÖu X1 × X2 × … × Xr lµ
mét tËp râ cña tËp tÊt c¶ c¸c bé r phÇn tö ®−îc ®¸nh chØ sè (x1, x2, …, xr) víi
xi ∈ Xi , i = 1 ..r
X = X1 × X2 × … × Xr = {(x1, x2, …, xr) | x1 ∈ X1, …, xr ∈ Xr}
Gäi f lµ mét ¸nh x¹ tõ kh«ng gian X vµo kh«ng gian Y, khi ®ã:
y = f(x1, x2, …, xr) ∈ Y
TiÕp theo, gi¶ sö A1, A2, …Ar lÇn l−ît lµ c¸c tËp mê lo¹i mét trong X1, X2,
…Xr. Khi ®ã, nguyªn lý më réng cho phÐp chóng ta ¸nh x¹ r tËp mê lo¹i mét
A1, A2, …Ar thµnh mét tËp mê lo¹i mét B ®−îc x¸c ®Þnh trªn Y qua mét hµm
f nh− sau, B = f(A1, A2, …Ar) víi:
⎧sup min{µ ( x ), µ ( x ), ..., µ ( x )}
r
1
2
A1
A2
Ar
⎪⎪
−1
y
(
,
,
..
)
∈
(
)
x1 x 2 x r f
µ B ( y) = ⎨
−1
⎪
0 if f ( y ) = φ
⎪⎩
(1-38)
ë ®©y f-1(y) ký hiÖu tËp tÊt c¶ c¸c ®iÓm x1 ∈ X1, …, xr ∈ Xr tháa m·n:
y = f(x1, x2, …, xr)
§Ó tÝnh to¸n (1-38), tr−íc tiªn chóng ta x¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ x1, x2, ..xr tháa
m·n y = f(x1, x2, …, xr), sau ®ã tÝnh to¸n c¸c gi¸ trÞ µ A ( x1 ) , …, µ A ( x r ) vµ
1
x¸c ®Þnh min{ µ A ( x1 ) , …,
1
µ
Ar
( x1 ) }. NÕu cã nhiÒu h¬n mét bé sè (x1, …, xr)
cho cïng mét gi¸ trÞ y = f(x1, x2, …, xr), khi ®ã
lín nhÊt cña c¸c min( µ A ( x1 ) , …,
1
r
µ
Ar
µ
B
( y ) ®−îc x¸c ®Þnh lµ gi¸ trÞ
( x r ) ) øng víi mçi bé sè.
Trong ®Þnh nghÜa nguyªn lý më réng cña m×nh, Zadeh sö dông minimum
t-norm vµ maximum t-conrm. Ngoai ra, Mizumoto, Tanaka vµ Dubois cßn sö
dông c¸c t-norm vµ t-conorm. Khi sö dông mét t-norm kh¸c thay cho
minimum trong (1-38), chóng ta sÏ thay thÕ thµnh phÇn sup-min bëi sup-star.
Mét c¸ch tæng qu¸t, tËp mê lo¹i mét B ®−îc x¸c ®Þnh tõ r tËp mê lo¹i mét
A1, A2, …Ar lÇn l−ît x¸c ®Þnh trªn X1, X2, …Xr qua hµm f ®−îc ®Þnh nghÜa:
17
B = f(A1, A2, …Ar) =
∫
x1∈ X 1
...∫
xr ∈ X r
µ
A1
( x1 ) ∗ ... ∗ µ ( x r ) / f ( x1 ,.., x r )
Ar
(1-39)
cho tr−êng hîp Xi , i =1 ..r lµ kh«ng gian liªn tôc
vµ
B = f(A1, A2, …Ar) =
∑
x1∈X 1
...∑ x ∈X
r
r
µ
A1
( x1 ) ∗ ... ∗ µ ( x r ) / f ( x1 ,.., x r ))
Ar
(1-40)
cho tr−êng hîp Xi , i =1 ..r lµ kh«ng gian rêi r¹c
VÝ dô nÕu f(x1, x2) = x1x2/(x1+x2) khi ®ã:
B = f(A1, A2) =
∫
x1∈ X 1
∫
x2 ∈ X 2
µ
A1
( x1 ) ∗ µ ( x r ) /
A2
x1 x 2
x1 + x 2
1.6. KÕt luËn ch−¬ng
Trong ch−¬ng nµy ®· tr×nh bµy s¬ l−îc vÒ kh¸i niÖm tËp mê, c¸c phÐp to¸n
tËp hîp trªn tËp mê bao gåm c¸c phÐp to¸n hîp, giao, lÊy phÇn bï. Ngoµi ra,
cßn giíi thiÖu vÒ quan hÖ mê vµ c¬ b¶n vÒ suy diÔn mê.
TËp mê trong ch−¬ng nµy cã ®é thuéc cña mçi phÇn tö trong kh«ng gian
nÒn lµ mét sè thùc thuéc ®o¹n [0, 1], do ®ã ®−îc gäi lµ tËp mê lo¹i mét ®Ó
ph©n biÖt víi kh¸i niÖm tËp mê lo¹i hai ®−îc ®−a ra ë ch−¬ng tiÕp theo.
18
Ch−¬ng 2. tËp mê lo¹i hai
2.1. Giíi thiÖu chung
Trong Ch−¬ng mét ®· ®Ò cËp nh÷ng vÊn ®Ò c¬ b¶n nhÊt cña lý thuyÕt tËp
mê. Tuy nhiªn, lý thuyÕt tËp mê th«ng th−êng (tËp mê lo¹i mét) tiÒm Èn
nh÷ng m©u thuÉn nhÊt ®Þnh. §ã lµ ®Ó ph¸t triÓn bÊt cø hÖ logic mê nµo,
ng−êi thiÕt kÕ ph¶i x©y dùng hµm thuéc cho c¸c tËp mê sö dông trong hÖ,
hay lµ ph¶i m« t¶ sù kh«ng ch¾c ch¾n b»ng c¸c hµm thuéc râ rµng, ch¾c
ch¾n. §iÒu ®ã cã nghÜa lµ viÖc biÓu diÔn sù kh«ng ch¾c ch¾n l¹i sö dông c¸c
®é thuéc mµ b¶n th©n chóng lµ c¸c sè thùc chÝnh x¸c.
N¨m 1975, Zadeh giíi thiÖu kh¸i niÖm tËp mê lo¹i hai nh»m gi¶i quyÕt
vÊn ®Ò trªn. §ã lµ thay v× ®é thuéc lµ mét sè thùc nh− víi tËp mê th«ng
th−êng, víi tËp mê lo¹i hai, ®é thuéc lµ mét tËp mê lo¹i mét trªn ®o¹n [0, 1].
TËp mê lo¹i hai th−êng ®−îc sö dông trong nh÷ng tr−êng hîp khã x¸c ®Þnh
chÝnh x¸c gi¸ trÞ ®é thuéc cña c¸c phÇn tö trong kh«ng gian nÒn. Trong
ch−¬ng nµy sÏ ®Ò cËp ®Õn kh¸i niÖm tËp mê lo¹i hai, c¸c phÐp to¸n vµ c¸c
tÝnh chÊt trªn nã.
2.2. Hµm thuéc lo¹i hai
2.2.1. Kh¸i niÖm tËp mê lo¹i hai
§èi víi tËp mê lo¹i mét, ®é thuéc cña c¸c phÇn tö lµ c¸c gi¸ trÞ sè thùc
trong kho¶ng [0, 1]. Trong tr−êng hîp chóng ta kh«ng thÓ x¸c ®Þnh ®−îc gi¸
trÞ ®é thuéc cña c¸c phÇn tö, khi ®ã chóng ta cã sö dông c¸c tËp mê lo¹i mét
®Ò biÓu diÔn gi¸ trÞ ®é thuéc ®ã. Më réng tËp mê lo¹i mét b»ng c¸ch cho
phÐp c¸c ®é thuéc lµ c¸c tËp mê lo¹i mét trong kho¶ng [0, 1] ta ®−îc kh¸i
niÖm tËp mê lo¹i hai. Mét trong nh÷ng −u ®iÓm cña tËp mê lo¹i hai so víi
tËp mê lo¹i mét ®ã lµ nã cho phÐp biÓu diÔn c¸c gi¸ trÞ ®é thuéc b»ng c¸c gi¸
trÞ mê, c¸c gi¸ trÞ ng«n ng÷ chø kh«ng ph¶i lµ c¸c gi¸ trÞ sè hoµn toµn chÝnh
x¸c.
2.2.2. §Þnh nghÜa tËp mê lo¹i hai vµ c¸c kh¸i niÖm
H×nh 2-1 (a) biÓu diÔn hµm thuéc cña mét tËp mê lo¹i mét. DÞch chuyÓn
c¸c ®iÓm trªn ®å thÞ nµy sang ph¶i vµ sang tr¸i mét ®o¹n kh«ng nhÊt thiÕt
b»ng nhau, vÕt mê ®−îc t¹o ra nh− H×nh 2-1 (b). T¹i mét gi¸ trÞ cô thÓ cña x
gäi lµ x’, gi¸ trÞ hµm thuéc kh«ng cßn lµ mét gi¸ trÞ ®¬n n÷a, mµ lµ mét tËp
19
- Xem thêm -