BË GIO DÖC V O TO
TR×ÍNG I HÅC S× PHM H NËI 2
KHOA TON
Ph¤m Thà Dung
TP LÇI V ÙNG DÖNG
KHÂA LUN TÈT NGHIP I HÅC
H Nëi, ng y 10, th¡ng 5, n«m 2018
BË GIO DÖC V O TO
TR×ÍNG I HÅC S× PHM H NËI 2
KHOA TON
Ph¤m Thà Dung
Chuy¶n ng nh: S÷ ph¤m to¡n håc
KHÂA LUN TÈT NGHIP I HÅC
NG×ÍI H×ÎNG DN KHOA HÅC
ThS. Nguy¹n Quèc Tu§n
H Nëi, ng y 10, th¡ng 5, n«m 2018
Möc löc
1 CC KHI NIM CÌ BN CÕA TP LÇI
7
1.1
Tªp affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2
Tªp lçi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3
Ph¦n trong t÷ìng èi v bao âng t÷ìng èi . . . . . .
10
1.4
Bao lçi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.5
Si¶u ph¯ng v c¡c ành l½ t¡ch . . . . . . . . . . . . . .
13
1.6
M°t cüc bi¶n v iºm cüc bi¶n . . . . . . . . . . . . . .
17
2 SÜ BIU DIN CÕA TP LÇI
21
2.1
Sü biºu di¹n cõa tªp lçi . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.2
Cüc cõa tªp lçi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3 TP LÇI A DIN
26
3.1
Kh¡i ni»m tªp lçi a di»n . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.2
M°t cõa mët a di»n . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.3
¿nh v c¤nh cõa khèi a di»n . . . . . . . . . . . . . .
29
3.4
Cüc cõa a di»n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.5
Sü biºu di¹n cõa c¡c khèi a di»n . . . . . . . . . . . .
33
4 BÊ FARKAS V ÙNG DÖNG
i
36
PHM THÀ DUNG
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
4.1
Bê · Farkas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4.2
Ùng döng cõa bê · Farkas v o gi£i to¡n . . . . . . . .
38
4.3
Ùng döng cõa bê · Farkas v o b i to¡n cèt lãi cõa trá
chìi t÷ìng t¡c
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
40
PHM THÀ DUNG
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
LÍI CM ÌN
º ho n th nh khâa ÷ñc b i khâa luªn vîi · t i "Tªp lçi v ùng
döng" tr÷îc h¸t tæi xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc ¸n c¡c th¦y
cæ trong tê Gi£i t½ch, c¡c th¦y cæ gi¡o khoa To¡n Tr÷íng ¤i håc S÷
ph¤m H Nëi 2 ¢ ëng vi¶n gióp tæi trong suèt thíi gian qua.
Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn th¦y gi¡o ThS. Nguy¹n Quèc Tu§n,
ng÷íi ¢ trüc ti¸p h÷îng d¨n, ch¿ b£o v âng gâp nhi·u þ ki¸n quþ
b¡u º tæi câ thº ho n th nh b i khâa luªn n y.
M°c dò ¢ câ nhi·u cè gng nh÷ng do h¤n ch¸ v· thíi gian v ki¸n
thùc cõa b£n th¥n n¶n chc chn · t i n y khæng tr¡nh khäi nhúng
thi¸u sât. V¼ vªy tæi r§t mong nhªn ÷ñc sü c£m thæng v nhúng þ
ki¸n âng gâp cõa th¦y cæ, c¡c b¤n sinh vi¶n º b i khâa luªn cõa tæi
÷ñc ho n thi»n hìn.
Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn!
H Nëi, ng y 10, th¡ng 5, n«m 2018
Sinh vi¶n thüc hi»n
Ph¤m Thà Dung
1
PHM THÀ DUNG
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
LÍI CAM OAN
Tæi xin cam oan khâa luªn n y l k¸t qu£ cõa tæi trong qu¡ tr¼nh
håc tªp v nghi¶n cùu còng vîi sü gióp ï cõa gia ¼nh, b¤n b± c¡c
th¦y cæ trong khoa to¡n, °c bi»t l sü h÷îng d¨n tªn t¼nh cõa th¦y
gi¡o ThS. Nguy¹n Quèc Tu§n. Trong qu¡ tr¼nh l m khâa luªn tæi câ
tham kh£o nhúng t i li»u câ li¶n quan ¢ ÷ñc h» thèng trong möc
t i li»u tham kh£o. Khâa luªn "Tªp lçi v ùng döng" khæng câ tròng
l°p vîi c¡c khâa luªn kh¡c.
H Nëi, ng y 10, th¡ng 5, n«m 2018
Sinh vi¶n
Ph¤m Thà Dung
2
PHM THÀ DUNG
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
MÐ U
Tø r§t l¥u, kh¡i ni»m "lçi" ¢ ÷ñc bi¸t ¸n trong mæn h¼nh håc
nh÷: o¤n th¯ng, ÷íng th¯ng, tam gi¡c, h¼nh trán... Ng y nay, tªp
lçi l èi t÷ñng nghi¶n cùu cõa c¡c b i to¡n tèi ÷u ho¡, c¥n b¬ng, b§t
¯ng thùc bi¸n ph¥n. Düa tr¶n c¡c t½nh ch§t, c§u tróc cõa t¥p lçi,
chóng ta ¢ gi£i quy¸t c¡c b i to¡n trong to¡n håc công nh÷ trong
cuëc sèng kh¡ hi»u qu£ v ëc ¡o.
V· m°t h¼nh håc, ta th§y tªp lçi l tªp chùa t§t c£ c¡c ÷íng th¯ng
nèi hai iºm b§t k¼ trong nâ. V· m°t gi£i t½ch, ta th§y tªp lçi câ thº
÷ñc x¡c ành bði h» b§t ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh (húu h¤n ho°c væ
h¤n). Nh÷ vªy, ta th§y c§u tróc tªp lçi gn li·n vîi c§u tróc nghi»m
cõa h» b§t ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh. N«m 1894, Farkas ¢ cæng bè
cæng tr¼nh khoa håc "Nguy¶n l½ Fourier v ùng döng" (A Fourier-f²le
mechanikai elv alkamaz¡sai) b¬ng ti¸ng Hungary, nh÷ng ch÷a ÷ñc
giîi to¡n håc quan t¥m. ¸n n«m 1902, Æng cæng bè ti¸p b i b¡o
nghi¶n cùu v· h» b§t ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh Uber
die Theorie der
Einfachen Ungleichungen b¬ng ti¸ng ùc. Lóc n y, cæng tr¼nh cõa æng
mîi ÷ñc th¸ giîi khoa håc bi¸t ¸n rëng r¢i. K¸t qu£ cõa Farkas ÷ñc
xem nh÷ l c¦u nèi giúa tªp lçi v nghi»m cõa h» b§t ph÷ìng tr¼nh.
Nhªn th§y t¦m quan trång k¸t qu£ cõa Farkas, nhi·u nh to¡n håc
¢ nghi¶n cùu s¥u hìn v· nâ. Tø â, chóng ta ¢ câ nhi·u c¡ch chùng
minh cho k¸t qu£ â nh÷ cõa: C. G. Broyden n«m 1988; A. Dax n«m
1977; V. Chandru, C.Lassez, J. L. Lassez n«m 2004; D. Bartl 2008.
D÷îi sü ëng vi¶n v tªn t¼nh gióp ï cõa th¦y cæ, °c bi»t l th¦y
ThS. Nguy¹n Quèc Tu§n, còng vîi sü am m¶ cõa b£n th¥n, tæi ¢
3
PHM THÀ DUNG
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
m¤nh d¤n nghi¶n cùu · t i
"Tªp lçi v ùng döng" . Düa tr¶n nhúng
k¸t qu£ ¢ câ v c¡c t i li»u tham kh£o câ li¶n quan tîi tªp lçi, nëi
dung cõa khâa luªn ÷ñc tr¼nh b y trong bèn ch÷ìng.
Ch÷ìng 1. C¡c kh¡i ni»m cì b£n cõa tªp lçi. Ch÷ìng n y nghi¶n
cùu v· c¡c kh¡i ni¶m tªp lçi, tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m câ li¶n quan
¸n tªp lçi, si¶u ph¯ng v c¡c ành l½ t¡ch.
Ch÷ìng 2. Sü biºu di¹n cõa tªp lçi. Trong ch÷ìng n y, chóng tæi
nghi¶n cùu v· c§u tróc h¼nh håc v sü biºu di¹n cõa tªp lçi v li»t k¶
mët sè kh¡i ni»m cì b£n v· khæng gian ph¯ng, cüc cõa tªp lçi.
Ch÷ìng 3. Tªp lçi a di»n. Ch÷ìng n y nghi¶n cùu v· tªp lçi a
di»n nh÷: mët sè kh¡i ni»m cì b£n; t½nh ch§t cõa tªp lçi a di»n, tø
â l m rã v· tªp lçi a di»n.
Ch÷ìng 4. Bê · Farkas v ùng döng. Chóng tæi n¶u l¤i c¡ch chùng
minh cõa bê · Farkas "Cho A ∈ Rm×n v b ∈ Rm . Gi£ sû F = {x ∈
Rn+ : Ax = b} v G = {y ∈ Rm : yA ≥ 0, yb ≤ 0}. Khi â, F 6= ∅ n¸u
v ch¿ n¸u G = ∅". Cuèi còng, t¡c gi£ n¶u ùng döng bê · Farkas º
x²t h» b§t ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m khæng ¥m hay khæng v ùng döng
trong b i to¡n cèt lãi trá chìi t÷ìng t¡c.
M°c dò khâa luªn ho n th nh vîi sü cè gng cõa b£n th¥n, song
do thíi gian câ h¤n v ¥y công l v§n · mîi èi vîi b£n th¥n tæi,
n¶n trong qu¡ tr¼nh in §n khâa luªn khæng tr¡nh khäi nhúng thi¸u
sât. Tæi k½nh mong nhªn ÷ñc þ ki¸n âng gâp cõa c¡c th¦y cæ v c¡c
b¤n º khâa luªn ÷ñc ho n thi»n hìn.
Cuèi còng, tæi xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y, cæ trong khoa To¡n
tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H Nëi 2, °c bi»t l th¦y ThS. Nguy¹n Quèc
4
PHM THÀ DUNG
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
Tu§n ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n v t¤o i·u ki»n º tæi ho n th nh khâa
luªn.
5
PHM THÀ DUNG
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
Kþ hi»u to¡n håc
R
Tªp t§t c£ c¡ sè thüc.
Rn
Tªp t§t c£ c¡c vector câ n chi·u.
h·, ·i
T½ch væ h÷îng giúa c¡c ph¦n tû.
cl C
Bao âng cõa C .
int C
Ph¦n trong cõa C .
conv E
Bao lçi cõa E .
cone E
Nân sinh bði tªp E .
ri C
Ph¦n trong t÷ìng èi cõa tªp C .
aff D
Bao affine cõa tªp D.
6
Ch֓ng 1
CC KHI NIM CÌ BN CÕA
TP LÇI
1.1 Tªp affine
Cho hai iºm a, b ∈ Rn . Tªp t§t c£ x ∈ Rn câ d¤ng
x = (1 − λ)α + λb = a + λ(b − a), λ ∈ R
÷ñc gåi l ÷íng th¯ng qua a v b.
Mët tªp M cõa Rn chùa måi ÷íng th¯ng qua hai iºm b§t k¼ cõa
nâ, th¼ M ÷ñc gåi l mët tªp affine, hay (1 − λ)α + λb ∈ M vîi måi
a, b ∈ M v λ ∈ R. Mët tªp affine chùa gèc tåa ë l khæng gian con
cõa Rn .
Mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa tªp affine:
N¸u M l tªp affine th¼ a + M = {a + x : x ∈ M } công l tªp affine
vîi måi a ∈ Rn ;
Giao cõa mët hå b§t k¼ c¡c tªp affine công l mët tªp affine;
N¸u x1 , . . . , xk thuëc tªp affine M th¼ måi tê hñp affine cõa c¡c
7
PHM THÀ DUNG
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
iºm n y công thuëc M , ngh¾a l
xi ∈ M (i = 1, . . . , k), λ1 + · · · + λk = 1 ⇒ λ1 x1 + · · · + λk xk ∈ M.
Mët tªp affine b§t k¼ câ d¤ng M = {x : Ax = b} vîi A ∈ Rm×n v
b ∈ Rn . Ng÷ñc l¤i, måi tªp câ d¤ng tr¶n ·u l tªp affine.
ành ngh¾a 1.1. Bao affine cõa mët tªp D l giao cõa t§t c£ c¡c tªp
affine chùa D. K½ hi»u aff D. â l tªp affine nhä nh§t chùa D.
Tø c¡c t½nh ch§t cõa tªp affine suy ra
x ∈ aff D ⇔ x ∈
k
X
i
i
λi x , x ∈ D,
i=1
k
X
λi = 1.
i=1
1.2 Tªp lçi
Cho hai iºm a, b ∈ Rn , tªp hñp t§t c£ c¡c iºm x = (1 − λ)a + λb
vîi 0 ≤ λ ≤ 1 ÷ñc gåi l o¤n th¯ng giúa a v b. K½ hi»u [a,b].
ành ngh¾a 1.2. Mët tªp C ⊂ Rn ÷ñc gåi l lçi n¸u nâ chùa måi
o¤n th¯ng i qua hai iºm b§t k¼ n¬m trong nâ. Nâi c¡ch kh¡c, C l
lçi n¸u vîi måi x, y ∈ C v λ ∈ [0, 1] ta câ λx + (1 − λ)y ∈ C .
H¼nh 1.1: H¼nh b¶n tr¡i l tªp lçi, h¼nh b¶n ph£i khæng ph£i l tªp lçi.
8
PHM THÀ DUNG
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
Mët sè v½ dö v· tªp lçi:
M°t ph¯ng trong R3 câ ph÷ìng tr¼nh
C1 = {(x1 , x2 , x3 )} ∈ R3 : 4x1 + 2x2 + 5x3 = 4},
l mët tªp lçi;
H¼nh trán b¡n k½nh 1 vîi t¥m (0,0) câ ph÷ìng tr¼nh
C2 = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : x21 + x22 ≤ 1}
l mët tªp lçi;
Mët si¶u ph¯ng ÷ñc ành ngh¾a
C3 = {x ∈ Rn : p.x = α} vîi α ∈ R, p ∈ Rn .
K½ hi»u (p, α), l mët tªp lçi;
Nûa khæng gian câ ph÷ìng tr¼nh
C4 = {x ∈ Rn : p.x ≤ α} vîi α ∈ R v p ∈ Rn ,
l mët tªp lçi.
M»nh · 1.1. N¸u C1 v C2 l hai tªp lçi, α ∈ R th¼ C1 ∩C2, C1 +C2,
αC1
l c¡c tªp lçi.
Chùng minh. Gi£ sû x, y ∈ C , z = λx + (1 − λ)y vîi λ ∈ [0, 1]. Ta câ
x, y ∈ C1 v C1 l tªp lçi th¼ z ∈ C1 , t÷ìng tü z ∈ C2 . Vªy z ∈ C1 ∩ C2 .
L§y a = x + y, b = u + v vîi x, u ∈ C1 , y, v ∈ C2 , ta câ
(1 − λ)a + λb =(1 − λ)(x + y) + λ(u + v)
=[(1 − λ)x + λu] + [(1 − λ)y + λv]
∈ C1 + C2
∀λ ∈ [0, 1].
Vªy C1 + C2 l mët tªp lçi. Chùng minh t÷ìng tü ta câ αC l tªp
lçi.
9
PHM THÀ DUNG
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
Mët tªp M ∈ Rn ÷ñc gåi l mët nân n¸u
x ∈ M, λ > 0 ⇒ λx ∈ M.
Gèc O câ thº thuëc ho°c khæng thuëc M . Mët nân khæng chùa ÷íng
th¯ng n o ÷ñc gåi l nân nhån, trong tr÷íng hñp n y O ÷ñc gåi l
¿nh cõa nân M v nân a + M câ ¿nh l a.
M»nh · 1.2. Mët M ∈ Rn l mët nân lçi n¸u v ch¿ n¸u
λM ⊂ M ∀λ > 0
(1.1)
M + M ⊂ M.
(1.2)
Chùng minh. Ta chùng minh theo chi·u thuªn, tø ành ngh¾a cõa mët
nân ta d¹ d ng chùng minh ÷ñc (1.1). Hìn núa vîi x, y ∈ M ta câ
1
2 (x
+ y) ∈ M tø (1.1) th¼ x + y ∈ M . Vªy M + M ⊂ M .
Chùng minh ng÷ñc l¤i, n¸u ta câ (1.1) v (1.2) th¼ M l mët nân.
Thªt vªy, vîi b§t k¼ x, y ∈ M, λ ∈ [0, 1] ta câ (1 − λ)x ∈ M, λy ∈ M
th¼ (1 − λ)x + λy ∈ M . Vªy M l tªp lçi.
1.3 Ph¦n trong t÷ìng èi v bao âng t÷ìng èi
Trong ph¦n n y, chóng tæi nghi¶n cùu tr¶n Rn l khæng gian thüc n
pPn
2
chi·u còng vîi chu©n Euclidean kxk =
i=1 |xi | v t½ch væ h÷îng
hx, yi = x1 y1 + · · · + xn yn
10
PHM THÀ DUNG
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
vîi x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn . H¼nh c¦u mð t¥m a
b¡n k½nh r l tªp hñp
B = {x ∈ Rn | kx − ak < r}.
H¼nh c¦u âng t¥m a b¡n k½nh r l tªp hñp
B = {x ∈ Rn | kx − ak ≤ r}.
Bao âng cõa cõa tªp C l giao cõa t§t c£ c¡c tªp âng chùa C , k½
hi»u l cl C . Ph¦n trong cõa tªp C l hñp cu£ t§t c£ c¡c tªp mð chùa
trong C , k½ hi»u l int C .
Nhªn x²t 1.1. iºm a ∈ cl C n¸u v ch¿ n¸u måi h¼nh c¦u t¥m a
chùa ½t nh§t mët iºm cõa C . iºm a ∈ int C n¸u v ch¿ n¸u tçn t¤i
h¼nh c¦u t¥m a n¬m ho n to n trong C .
ành ngh¾a 1.3. iºm x câ d¤ng
x=
k
X
i=1
i
i
n
λi x , x ∈ R ,
k
X
λi = 1, λi ≥ 0, ∀i = 1, 2, ..., n
i=1
÷ñc gåi l mët tê hñp lçi cõa c¡c iºm {x1 , . . . , xk }.
ành lþ 1.1. N¸u tªp C ∈ Rn l tªp lçi th¼ chùa t§t c£ c¡c tê hñp
tuy¸n t½nh lçi c¡c ph¦n tû cõa nâ.
Chùng minh. Ta chùng minh ành l½ tr¶n theo ph÷ìng ph¡p quy n¤p.
Thªt vªy, vîi m = 2 th¼ ành l½ l hiºn nhi¶n v¼ C l tªp lçi. Gi£ sû
ành l½ óng vîi m = k − 1 ≥ 2 v cho x = λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λk xk l
tê hñp lçi cõa k iºm xi (i = 1, 2, . . . , k) b§t k¼ thuëc C . Trong c¡c sè
11
PHM THÀ DUNG
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
λi (i = 1, . . . , k) ph£i câ ½t nh§t mët sè kh¡c 1, ch¯ng h¤n λ1 6= 1. Khi
â
x =λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λk xk
1
=λ1 x + (1 − λ1 )
k
X
i=2
ta câ y =
Pk
λi
i
i=2 1−λ1 x
λi
xi .
1 − λ1
l tê hñp lçi cõa k−1 iºm thuëc C , do â y ∈ C
(theo gi£ thi¸t quy n¤p). ¯ng thùc x = λ1 x1 +(1−λ1 )y (0 ≤ λ1 < 1)
chùng tä r¬ng x l tê hñp lçi cõa hai iºm thuëc tªp lçi C , n¶n x ∈ C ,
do â ành l½ công óng vîi m = k . Vªy ành l½ óng vîi måi m.
1.4 Bao lçi
Cho tªp E ∈ Rn giao cõa t§t c£ c¡c tªp lçi chùa E ÷ñc gåi l bao
lçi cõa E . K½ hi»u conv E .
H¼nh 1.2: Bao lçi cõa mët t¥p.
ành lþ 1.2. Bao lçi cõa mët tªp E ⊂ Rn l tªp hìp t§t c£ c¡c tê
hñp lçi c¡c ph¦n tû cõa nâ.
12
PHM THÀ DUNG
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
Chùng minh. Cho C
l tªp t§t c£ c¡c tê hñp lçi cõa E , hiºn nhi¶n
C ⊂ conv E . Ta c¦n ch¿ ra r¬ng C l mët tªp lçi th¼ E ⊂ C . N¸u
P
P
x = i∈I λi ai , y = j=J µj bj vîi ai , bj ∈ E v 0 ≤ α ≤ 1, th¼ ta ÷ìc
P
P
(1 − α)x + αy = i∈I (1 − α)λi ai + j=J αµj bj . V¼
X
i∈I
(1 − α)λi +
X
αµj =(1 − α)
j=J
X
λi + α
i∈I
X
µj
j=J
=(1 − α) + α = 1
do â (1 − α)x + αy ∈ C n¶n C l tªp lçi. Vªy vîi b§t k¼ x ∈ conv E
câ thº biºu di¹n qua húu h¤n tê hñp lçi c¡c iºm cõa nâ.
1.5 Si¶u ph¯ng v c¡c ành l½ t¡ch
ành ngh¾a 1.4. Cho S1 v S2 l hai tªp kh¡c réng trong Rn. Mët
si¶u ph¯ng H = {x : px = α} ÷ñc gåi l t¡ch S1 v S2 n¸u px ≥ α
vîi méi x ∈ S1 v px ≤ α vîi méi x ∈ S2 . Si¶u ph¯ng H gåi l t¡ch
ch°t S1 , S2 n¸u px > α vîi måi x ∈ S1 v px < α vîi måi x ∈ S2 .
H¼nh 1.3: H¼nh b¶n tr¡i l t¡ch nh÷ng khæng ch°t, h¼nh b¶n ph£i l t¡ch ch°t.
ành lþ 1.3. N¸u cho tªp lçi âng C trong Rn v z ∈ Rn l mët iºm
sao cho z ∈/ C , th¼ tçn t¤i mët si¶u ph¯ng t¡ch ch°t z v C .
13
PHM THÀ DUNG
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
L§y mët iºm z ∈
/ C v iºm y ∈ C g¦n z nh§t. Sau â l§y mët
si¶u ph¯ng i qua iºm giúa z v y vuæng gâc vîi vector z − y . Th¼
si¶u ph¯ng â s³ t¡ch z v C .
H¼nh 1.4: H¼nh thº hi»n ành l½ t¡ch.
Chùng minh. ành l½ l hiºn nhi¶n n¸u C = ∅. Gi£ sû C 6= ∅, z ∈/ C .
V¼ z ∈
/ C , C l tªp âng v lçi th¼ tçn t¤i mët iºm y ∈ C sao cho
kz − yk nhä nh§t. B¥y gií tªp p = z − y v α = 21 [kzk2 − kyk2 ]. Chóng
ta ch¿ ra pz > α v pz < α vîi måi x ∈ C . X²t
1
1
pz − α = (z − y)z − [kzk2 − kyk2 ] = [k(z − y)k2 ] > 0.
2
2
M°t kh¡c py < py + 21 kpk2 = (z − y)y + 12 [k(z − y)k2 ] > 0 = α. Ph£n
chùng, gi£ sû tçn taà x ∈ C sao cho px ≥ α > py , do â p(x − y) > 0.
Vîi δ =
2p(x−y)
k(x−y)k2
> 0, chån 1 ≥ λ > 0 v λ < δ nh÷ vªy λ tçn t¤i bði
v¼ b§t ph÷ìng tr¼nh tr¶n tçn t¤i. ành ngh¾a w = λx + (1 − λ)y , v¼ C
14
PHM THÀ DUNG
Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc
l tªp lçi n¶n w ∈ C .
k(z − w)k2 =k(z − y) + λ(y − x)k2
=kp − λ(x − y)k2
=kpk2 − 2λ(x − y)p + λ2 k(x − y)k2
- Xem thêm -