Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Tập lồi và ứng dụng...

Tài liệu Tập lồi và ứng dụng

.PDF
50
353
131

Mô tả:

BË GIO DÖC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M H€ NËI 2 KHOA TON Ph¤m Thà Dung TŠP LÇI V€ ÙNG DÖNG KHÂA LUŠN TÈT NGHI›P „I HÅC H  Nëi, ng y 10, th¡ng 5, n«m 2018 BË GIO DÖC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M H€ NËI 2 KHOA TON Ph¤m Thà Dung Chuy¶n ng nh: S÷ ph¤m to¡n håc KHÂA LUŠN TÈT NGHI›P „I HÅC NG×ÍI H×ÎNG DˆN KHOA HÅC ThS. Nguy¹n Quèc Tu§n H  Nëi, ng y 10, th¡ng 5, n«m 2018 Möc löc 1 CC KHI NI›M CÌ BƒN CÕA TŠP LÇI 7 1.1 Tªp affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Tªp lçi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Ph¦n trong t÷ìng èi v  bao âng t÷ìng èi . . . . . . 10 1.4 Bao lçi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Si¶u ph¯ng v  c¡c ành l½ t¡ch . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6 M°t cüc bi¶n v  iºm cüc bi¶n . . . . . . . . . . . . . . 17 2 SÜ BIšU DI™N CÕA TŠP LÇI 21 2.1 Sü biºu di¹n cõa tªp lçi . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Cüc cõa tªp lçi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 TŠP LÇI A DI›N 26 3.1 Kh¡i ni»m tªp lçi a di»n . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 M°t cõa mët a di»n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3 ¿nh v  c¤nh cõa khèi a di»n . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4 Cüc cõa a di»n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.5 Sü biºu di¹n cõa c¡c khèi a di»n . . . . . . . . . . . . 33 4 BÊ — FARKAS V€ ÙNG DÖNG i 36 PH„M THÀ DUNG Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc 4.1 Bê · Farkas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.2 Ùng döng cõa bê · Farkas v o gi£i to¡n . . . . . . . . 38 4.3 Ùng döng cõa bê · Farkas v o b i to¡n cèt lãi cõa trá chìi t÷ìng t¡c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii 40 PH„M THÀ DUNG Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc LÍI CƒM ÌN º ho n th nh khâa ÷ñc b i khâa luªn vîi · t i "Tªp lçi v  ùng döng" tr÷îc h¸t tæi xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n c¡c th¦y cæ trong tê Gi£i t½ch, c¡c th¦y cæ gi¡o khoa To¡n Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H  Nëi 2 ¢ ëng vi¶n gióp tæi trong suèt thíi gian qua. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn th¦y gi¡o ThS. Nguy¹n Quèc Tu§n, ng÷íi ¢ trüc ti¸p h÷îng d¨n, ch¿ b£o v  âng gâp nhi·u þ ki¸n quþ b¡u º tæi câ thº ho n th nh b i khâa luªn n y. M°c dò ¢ câ nhi·u cè g­ng nh÷ng do h¤n ch¸ v· thíi gian v  ki¸n thùc cõa b£n th¥n n¶n ch­c ch­n · t i n y khæng tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât. V¼ vªy tæi r§t mong nhªn ÷ñc sü c£m thæng v  nhúng þ ki¸n âng gâp cõa th¦y cæ, c¡c b¤n sinh vi¶n º b i khâa luªn cõa tæi ÷ñc ho n thi»n hìn. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn! H  Nëi, ng y 10, th¡ng 5, n«m 2018 Sinh vi¶n thüc hi»n Ph¤m Thà Dung 1 PH„M THÀ DUNG Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc LÍI CAM OAN Tæi xin cam oan khâa luªn n y l  k¸t qu£ cõa tæi trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu còng vîi sü gióp ï cõa gia ¼nh, b¤n b± c¡c th¦y cæ trong khoa to¡n, °c bi»t l  sü h÷îng d¨n tªn t¼nh cõa th¦y gi¡o ThS. Nguy¹n Quèc Tu§n. Trong qu¡ tr¼nh l m khâa luªn tæi câ tham kh£o nhúng t i li»u câ li¶n quan ¢ ÷ñc h» thèng trong möc t i li»u tham kh£o. Khâa luªn "Tªp lçi v  ùng döng" khæng câ tròng l°p vîi c¡c khâa luªn kh¡c. H  Nëi, ng y 10, th¡ng 5, n«m 2018 Sinh vi¶n Ph¤m Thà Dung 2 PH„M THÀ DUNG Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc MÐ †U Tø r§t l¥u, kh¡i ni»m "lçi" ¢ ÷ñc bi¸t ¸n trong mæn h¼nh håc nh÷: o¤n th¯ng, ÷íng th¯ng, tam gi¡c, h¼nh trán... Ng y nay, tªp lçi l  èi t÷ñng nghi¶n cùu cõa c¡c b i to¡n tèi ÷u ho¡, c¥n b¬ng, b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n. Düa tr¶n c¡c t½nh ch§t, c§u tróc cõa t¥p lçi, chóng ta ¢ gi£i quy¸t c¡c b i to¡n trong to¡n håc công nh÷ trong cuëc sèng kh¡ hi»u qu£ v  ëc ¡o. V· m°t h¼nh håc, ta th§y tªp lçi l  tªp chùa t§t c£ c¡c ÷íng th¯ng nèi hai iºm b§t k¼ trong nâ. V· m°t gi£i t½ch, ta th§y tªp lçi câ thº ÷ñc x¡c ành bði h» b§t ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh (húu h¤n ho°c væ h¤n). Nh÷ vªy, ta th§y c§u tróc tªp lçi g­n li·n vîi c§u tróc nghi»m cõa h» b§t ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh. N«m 1894, Farkas ¢ cæng bè cæng tr¼nh khoa håc "Nguy¶n l½ Fourier v  ùng döng" (A Fourier-f²le mechanikai elv alkamaz¡sai) b¬ng ti¸ng Hungary, nh÷ng ch÷a ÷ñc giîi to¡n håc quan t¥m. ¸n n«m 1902, Æng cæng bè ti¸p b i b¡o  nghi¶n cùu v· h» b§t ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh  Uber die Theorie der Einfachen Ungleichungen b¬ng ti¸ng ùc. Lóc n y, cæng tr¼nh cõa æng mîi ÷ñc th¸ giîi khoa håc bi¸t ¸n rëng r¢i. K¸t qu£ cõa Farkas ÷ñc xem nh÷ l  c¦u nèi giúa tªp lçi v  nghi»m cõa h» b§t ph÷ìng tr¼nh. Nhªn th§y t¦m quan trång k¸t qu£ cõa Farkas, nhi·u nh  to¡n håc ¢ nghi¶n cùu s¥u hìn v· nâ. Tø â, chóng ta ¢ câ nhi·u c¡ch chùng minh cho k¸t qu£ â nh÷ cõa: C. G. Broyden n«m 1988; A. Dax n«m 1977; V. Chandru, C.Lassez, J. L. Lassez n«m 2004; D. Bartl 2008. D÷îi sü ëng vi¶n v  tªn t¼nh gióp ï cõa th¦y cæ, °c bi»t l  th¦y ThS. Nguy¹n Quèc Tu§n, còng vîi sü am m¶ cõa b£n th¥n, tæi ¢ 3 PH„M THÀ DUNG Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc m¤nh d¤n nghi¶n cùu · t i "Tªp lçi v  ùng döng" . Düa tr¶n nhúng k¸t qu£ ¢ câ v  c¡c t i li»u tham kh£o câ li¶n quan tîi tªp lçi, nëi dung cõa khâa luªn ÷ñc tr¼nh b y trong bèn ch÷ìng. Ch÷ìng 1. C¡c kh¡i ni»m cì b£n cõa tªp lçi. Ch÷ìng n y nghi¶n cùu v· c¡c kh¡i ni¶m tªp lçi, tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m câ li¶n quan ¸n tªp lçi, si¶u ph¯ng v  c¡c ành l½ t¡ch. Ch÷ìng 2. Sü biºu di¹n cõa tªp lçi. Trong ch÷ìng n y, chóng tæi nghi¶n cùu v· c§u tróc h¼nh håc v  sü biºu di¹n cõa tªp lçi v  li»t k¶ mët sè kh¡i ni»m cì b£n v· khæng gian ph¯ng, cüc cõa tªp lçi. Ch÷ìng 3. Tªp lçi a di»n. Ch÷ìng n y nghi¶n cùu v· tªp lçi a di»n nh÷: mët sè kh¡i ni»m cì b£n; t½nh ch§t cõa tªp lçi a di»n, tø â l m rã v· tªp lçi a di»n. Ch÷ìng 4. Bê · Farkas v  ùng döng. Chóng tæi n¶u l¤i c¡ch chùng minh cõa bê · Farkas "Cho A ∈ Rm×n v  b ∈ Rm . Gi£ sû F = {x ∈ Rn+ : Ax = b} v  G = {y ∈ Rm : yA ≥ 0, yb ≤ 0}. Khi â, F 6= ∅ n¸u v  ch¿ n¸u G = ∅". Cuèi còng, t¡c gi£ n¶u ùng döng bê · Farkas º x²t h» b§t ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m khæng ¥m hay khæng v  ùng döng trong b i to¡n cèt lãi trá chìi t÷ìng t¡c. M°c dò khâa luªn ho n th nh vîi sü cè g­ng cõa b£n th¥n, song do thíi gian câ h¤n v  ¥y công l  v§n · mîi èi vîi b£n th¥n tæi, n¶n trong qu¡ tr¼nh in §n khâa luªn khæng tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât. Tæi k½nh mong nhªn ÷ñc þ ki¸n âng gâp cõa c¡c th¦y cæ v  c¡c b¤n º khâa luªn ÷ñc ho n thi»n hìn. Cuèi còng, tæi xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y, cæ trong khoa To¡n tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H  Nëi 2, °c bi»t l  th¦y ThS. Nguy¹n Quèc 4 PH„M THÀ DUNG Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Tu§n ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n v  t¤o i·u ki»n º tæi ho n th nh khâa luªn. 5 PH„M THÀ DUNG Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Kþ hi»u to¡n håc R Tªp t§t c£ c¡ sè thüc. Rn Tªp t§t c£ c¡c vector câ n chi·u. h·, ·i T½ch væ h÷îng giúa c¡c ph¦n tû. cl C Bao âng cõa C . int C Ph¦n trong cõa C . conv E Bao lçi cõa E . cone E Nân sinh bði tªp E . ri C Ph¦n trong t÷ìng èi cõa tªp C . aff D Bao affine cõa tªp D. 6 Ch÷ìng 1 CC KHI NI›M CÌ BƒN CÕA TŠP LÇI 1.1 Tªp affine Cho hai iºm a, b ∈ Rn . Tªp t§t c£ x ∈ Rn câ d¤ng x = (1 − λ)α + λb = a + λ(b − a), λ ∈ R ÷ñc gåi l  ÷íng th¯ng qua a v  b. Mët tªp M cõa Rn chùa måi ÷íng th¯ng qua hai iºm b§t k¼ cõa nâ, th¼ M ÷ñc gåi l  mët tªp affine, hay (1 − λ)α + λb ∈ M vîi måi a, b ∈ M v  λ ∈ R. Mët tªp affine chùa gèc tåa ë l  khæng gian con cõa Rn . Mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa tªp affine: N¸u M l  tªp affine th¼ a + M = {a + x : x ∈ M } công l  tªp affine vîi måi a ∈ Rn ; Giao cõa mët hå b§t k¼ c¡c tªp affine công l  mët tªp affine; N¸u x1 , . . . , xk thuëc tªp affine M th¼ måi tê hñp affine cõa c¡c 7 PH„M THÀ DUNG Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc iºm n y công thuëc M , ngh¾a l  xi ∈ M (i = 1, . . . , k), λ1 + · · · + λk = 1 ⇒ λ1 x1 + · · · + λk xk ∈ M. Mët tªp affine b§t k¼ câ d¤ng M = {x : Ax = b} vîi A ∈ Rm×n v  b ∈ Rn . Ng÷ñc l¤i, måi tªp câ d¤ng tr¶n ·u l  tªp affine. ành ngh¾a 1.1. Bao affine cõa mët tªp D l  giao cõa t§t c£ c¡c tªp affine chùa D. K½ hi»u aff D. â l  tªp affine nhä nh§t chùa D. Tø c¡c t½nh ch§t cõa tªp affine suy ra x ∈ aff D ⇔ x ∈ k X i i λi x , x ∈ D, i=1 k X λi = 1. i=1 1.2 Tªp lçi Cho hai iºm a, b ∈ Rn , tªp hñp t§t c£ c¡c iºm x = (1 − λ)a + λb vîi 0 ≤ λ ≤ 1 ÷ñc gåi l  o¤n th¯ng giúa a v  b. K½ hi»u [a,b]. ành ngh¾a 1.2. Mët tªp C ⊂ Rn ÷ñc gåi l  lçi n¸u nâ chùa måi o¤n th¯ng i qua hai iºm b§t k¼ n¬m trong nâ. Nâi c¡ch kh¡c, C l  lçi n¸u vîi måi x, y ∈ C v  λ ∈ [0, 1] ta câ λx + (1 − λ)y ∈ C . H¼nh 1.1: H¼nh b¶n tr¡i l  tªp lçi, h¼nh b¶n ph£i khæng ph£i l  tªp lçi. 8 PH„M THÀ DUNG Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Mët sè v½ dö v· tªp lçi: M°t ph¯ng trong R3 câ ph÷ìng tr¼nh C1 = {(x1 , x2 , x3 )} ∈ R3 : 4x1 + 2x2 + 5x3 = 4}, l  mët tªp lçi; H¼nh trán b¡n k½nh 1 vîi t¥m (0,0) câ ph÷ìng tr¼nh C2 = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : x21 + x22 ≤ 1} l  mët tªp lçi; Mët si¶u ph¯ng ÷ñc ành ngh¾a C3 = {x ∈ Rn : p.x = α} vîi α ∈ R, p ∈ Rn . K½ hi»u (p, α), l  mët tªp lçi; Nûa khæng gian câ ph÷ìng tr¼nh C4 = {x ∈ Rn : p.x ≤ α} vîi α ∈ R v  p ∈ Rn , l  mët tªp lçi. M»nh · 1.1. N¸u C1 v  C2 l  hai tªp lçi, α ∈ R th¼ C1 ∩C2, C1 +C2, αC1 l  c¡c tªp lçi. Chùng minh. Gi£ sû x, y ∈ C , z = λx + (1 − λ)y vîi λ ∈ [0, 1]. Ta câ x, y ∈ C1 v  C1 l  tªp lçi th¼ z ∈ C1 , t÷ìng tü z ∈ C2 . Vªy z ∈ C1 ∩ C2 . L§y a = x + y, b = u + v vîi x, u ∈ C1 , y, v ∈ C2 , ta câ (1 − λ)a + λb =(1 − λ)(x + y) + λ(u + v) =[(1 − λ)x + λu] + [(1 − λ)y + λv] ∈ C1 + C2 ∀λ ∈ [0, 1]. Vªy C1 + C2 l  mët tªp lçi. Chùng minh t÷ìng tü ta câ αC l  tªp lçi. 9 PH„M THÀ DUNG Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Mët tªp M ∈ Rn ÷ñc gåi l  mët nân n¸u x ∈ M, λ > 0 ⇒ λx ∈ M. Gèc O câ thº thuëc ho°c khæng thuëc M . Mët nân khæng chùa ÷íng th¯ng n o ÷ñc gåi l  nân nhån, trong tr÷íng hñp n y O ÷ñc gåi l  ¿nh cõa nân M v  nân a + M câ ¿nh l  a. M»nh · 1.2. Mët M ∈ Rn l  mët nân lçi n¸u v  ch¿ n¸u λM ⊂ M ∀λ > 0 (1.1) M + M ⊂ M. (1.2) Chùng minh. Ta chùng minh theo chi·u thuªn, tø ành ngh¾a cõa mët nân ta d¹ d ng chùng minh ÷ñc (1.1). Hìn núa vîi x, y ∈ M ta câ 1 2 (x + y) ∈ M tø (1.1) th¼ x + y ∈ M . Vªy M + M ⊂ M . Chùng minh ng÷ñc l¤i, n¸u ta câ (1.1) v  (1.2) th¼ M l  mët nân. Thªt vªy, vîi b§t k¼ x, y ∈ M, λ ∈ [0, 1] ta câ (1 − λ)x ∈ M, λy ∈ M th¼ (1 − λ)x + λy ∈ M . Vªy M l  tªp lçi. 1.3 Ph¦n trong t÷ìng èi v  bao âng t÷ìng èi Trong ph¦n n y, chóng tæi nghi¶n cùu tr¶n Rn l  khæng gian thüc n pPn 2 chi·u còng vîi chu©n Euclidean kxk = i=1 |xi | v  t½ch væ h÷îng hx, yi = x1 y1 + · · · + xn yn 10 PH„M THÀ DUNG Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc vîi x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn . H¼nh c¦u mð t¥m a b¡n k½nh r l  tªp hñp B = {x ∈ Rn | kx − ak < r}. H¼nh c¦u âng t¥m a b¡n k½nh r l  tªp hñp B = {x ∈ Rn | kx − ak ≤ r}. Bao âng cõa cõa tªp C l  giao cõa t§t c£ c¡c tªp âng chùa C , k½ hi»u l  cl C . Ph¦n trong cõa tªp C l  hñp cu£ t§t c£ c¡c tªp mð chùa trong C , k½ hi»u l  int C . Nhªn x²t 1.1. iºm a ∈ cl C n¸u v  ch¿ n¸u måi h¼nh c¦u t¥m a chùa ½t nh§t mët iºm cõa C . iºm a ∈ int C n¸u v  ch¿ n¸u tçn t¤i h¼nh c¦u t¥m a n¬m ho n to n trong C . ành ngh¾a 1.3. iºm x câ d¤ng x= k X i=1 i i n λi x , x ∈ R , k X λi = 1, λi ≥ 0, ∀i = 1, 2, ..., n i=1 ÷ñc gåi l  mët tê hñp lçi cõa c¡c iºm {x1 , . . . , xk }. ành lþ 1.1. N¸u tªp C ∈ Rn l  tªp lçi th¼ chùa t§t c£ c¡c tê hñp tuy¸n t½nh lçi c¡c ph¦n tû cõa nâ. Chùng minh. Ta chùng minh ành l½ tr¶n theo ph÷ìng ph¡p quy n¤p. Thªt vªy, vîi m = 2 th¼ ành l½ l  hiºn nhi¶n v¼ C l  tªp lçi. Gi£ sû ành l½ óng vîi m = k − 1 ≥ 2 v  cho x = λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λk xk l  tê hñp lçi cõa k iºm xi (i = 1, 2, . . . , k) b§t k¼ thuëc C . Trong c¡c sè 11 PH„M THÀ DUNG Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc λi (i = 1, . . . , k) ph£i câ ½t nh§t mët sè kh¡c 1, ch¯ng h¤n λ1 6= 1. Khi â x =λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λk xk 1 =λ1 x + (1 − λ1 ) k X i=2 ta câ y = Pk λi i i=2 1−λ1 x λi xi . 1 − λ1 l  tê hñp lçi cõa k−1 iºm thuëc C , do â y ∈ C (theo gi£ thi¸t quy n¤p). ¯ng thùc x = λ1 x1 +(1−λ1 )y (0 ≤ λ1 < 1) chùng tä r¬ng x l  tê hñp lçi cõa hai iºm thuëc tªp lçi C , n¶n x ∈ C , do â ành l½ công óng vîi m = k . Vªy ành l½ óng vîi måi m. 1.4 Bao lçi Cho tªp E ∈ Rn giao cõa t§t c£ c¡c tªp lçi chùa E ÷ñc gåi l  bao lçi cõa E . K½ hi»u conv E . H¼nh 1.2: Bao lçi cõa mët t¥p. ành lþ 1.2. Bao lçi cõa mët tªp E ⊂ Rn l  tªp hìp t§t c£ c¡c tê hñp lçi c¡c ph¦n tû cõa nâ. 12 PH„M THÀ DUNG Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Chùng minh. Cho C l  tªp t§t c£ c¡c tê hñp lçi cõa E , hiºn nhi¶n C ⊂ conv E . Ta c¦n ch¿ ra r¬ng C l  mët tªp lçi th¼ E ⊂ C . N¸u P P x = i∈I λi ai , y = j=J µj bj vîi ai , bj ∈ E v  0 ≤ α ≤ 1, th¼ ta ÷ìc P P (1 − α)x + αy = i∈I (1 − α)λi ai + j=J αµj bj . V¼ X i∈I (1 − α)λi + X αµj =(1 − α) j=J X λi + α i∈I X µj j=J =(1 − α) + α = 1 do â (1 − α)x + αy ∈ C n¶n C l  tªp lçi. Vªy vîi b§t k¼ x ∈ conv E câ thº biºu di¹n qua húu h¤n tê hñp lçi c¡c iºm cõa nâ. 1.5 Si¶u ph¯ng v  c¡c ành l½ t¡ch ành ngh¾a 1.4. Cho S1 v  S2 l  hai tªp kh¡c réng trong Rn. Mët si¶u ph¯ng H = {x : px = α} ÷ñc gåi l  t¡ch S1 v  S2 n¸u px ≥ α vîi méi x ∈ S1 v  px ≤ α vîi méi x ∈ S2 . Si¶u ph¯ng H gåi l  t¡ch ch°t S1 , S2 n¸u px > α vîi måi x ∈ S1 v  px < α vîi måi x ∈ S2 . H¼nh 1.3: H¼nh b¶n tr¡i l  t¡ch nh÷ng khæng ch°t, h¼nh b¶n ph£i l  t¡ch ch°t. ành lþ 1.3. N¸u cho tªp lçi âng C trong Rn v  z ∈ Rn l  mët iºm sao cho z ∈/ C , th¼ tçn t¤i mët si¶u ph¯ng t¡ch ch°t z v  C . 13 PH„M THÀ DUNG Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc L§y mët iºm z ∈ / C v  iºm y ∈ C g¦n z nh§t. Sau â l§y mët si¶u ph¯ng i qua iºm giúa z v  y vuæng gâc vîi vector z − y . Th¼ si¶u ph¯ng â s³ t¡ch z v  C . H¼nh 1.4: H¼nh thº hi»n ành l½ t¡ch. Chùng minh. ành l½ l  hiºn nhi¶n n¸u C = ∅. Gi£ sû C 6= ∅, z ∈/ C . V¼ z ∈ / C , C l  tªp âng v  lçi th¼ tçn t¤i mët iºm y ∈ C sao cho kz − yk nhä nh§t. B¥y gií tªp p = z − y v  α = 21 [kzk2 − kyk2 ]. Chóng ta ch¿ ra pz > α v  pz < α vîi måi x ∈ C . X²t 1 1 pz − α = (z − y)z − [kzk2 − kyk2 ] = [k(z − y)k2 ] > 0. 2 2 M°t kh¡c py < py + 21 kpk2 = (z − y)y + 12 [k(z − y)k2 ] > 0 = α. Ph£n chùng, gi£ sû tçn taà x ∈ C sao cho px ≥ α > py , do â p(x − y) > 0. Vîi δ = 2p(x−y) k(x−y)k2 > 0, chån 1 ≥ λ > 0 v  λ < δ nh÷ vªy λ tçn t¤i bði v¼ b§t ph÷ìng tr¼nh tr¶n tçn t¤i. ành ngh¾a w = λx + (1 − λ)y , v¼ C 14 PH„M THÀ DUNG Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc l  tªp lçi n¶n w ∈ C . k(z − w)k2 =k(z − y) + λ(y − x)k2 =kp − λ(x − y)k2 =kpk2 − 2λ(x − y)p + λ2 k(x − y)k2 - Xem thêm -

Tài liệu liên quan