Tài liệu Tán xạ đàn hội của các hạt hadron tích điện và giao thoa coilomb hadron

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------- Đỗ Thị Thư TÁN XẠ ĐÀN HỒI CỦA CÁC HẠT HADRON TÍCH ĐIỆN VÀ GIAO THOA COULOMB - HADRON LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Mã số: 60440103 Hà Nội – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------- Đỗ Thị Thư TÁN XẠ ĐÀN HỒI CỦA CÁC HẠT HADRON TÍCH ĐIỆN VÀ GIAO THOA COULOMB - HADRON Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TS Nguyễn Xuân Hãn Hà Nội - 2015 LỜI CẢM ƠN Trước hết, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Khoa Vật Lý đã dạy dỗ, trang bị cho em những kiến thức làm nền tảng, cơ sở cho việc hoàn thành luận văn tốt nghiệp này. Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH. Nguyễn Xuân Hãn người thầy đã tận tình hướng dẫn, giảng bài và giúp đỡ em rất nhiều trong quá trình thực hiện luận văn tốt nghiệp. Em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo cán bộ nhân viên, các anh chị em và bạn hữu trong bộ môn Vật Lý lý thuyết đã khích lệ, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi nhất cho em hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Cuối cùng, em xin được cảm ơn bố mẹ, những người thân và bạn bè đã luôn sát cánh và động viên em cố gắng trong suốt quá trình học tập tại trường. Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn. Hà Nội, 15 tháng 12 năm 2015 Học viên Đỗ Thị Thư MỤC LỤC MỞ ĐẦU ..............................................................................................................................1 Chƣơng 1: PHƢƠNG TRÌNH SCHROEDINGER VÀ PHƢƠNG PHÁP SÓNG RIÊNGPHẦN ......................................................................................................................4 1.1. Tiệm cận của hàm sóng trong trường thế ngoài khi ở xa vô cực................................4 1.2. Pha tán xạ.............................................................................................................7 1.3. Biên độ tán xạ theo phương pháp sóng riêng phần .............................................8 CHƢƠNG 2- TÁN XẠ TRÊN TỔNG HAI TRƢỜNG THẾ NGOÀI ................... 12 2.1. Biên độ tán xạ ............................................................................................................. 12 2.2. Pha tán xạ Coulomb ............................................................................................13 2.3. Pha tán xạ hạt nhân .............................................................................................18 CHƢƠNG 3- GIAO THOA COULOMB- HADRON ..........................................27 3.1. Tán xạ hạt nhân trên trường thế ngoài Gauss .....................................................27 3.2. Giao thoa Gauss- Coulomb ................................................................................35 3.2.a . Giao thoa Coulomb- hadron không có kì dị ở r  0 . ..............................36 3.2.b. Giao thoa Coulomb- hadron không có kì dị tại r  0 và r   ...............41 3.3. Giao thoa Yukawa- Coulomb .............................................................................45 KẾT LUẬN ....................................................................................................................... 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................. 51 PHỤ LỤC .......................................................................................................................... 53 Phụ lục A: Biên độ tán xạ trên trường thế Coulomb .........................................53 Phụ lục B: Hàm Bessel ......................................................................................60 1 . Phương trình và hàm Bessel ........................................................................60 2. Các biểu diễn tích phân của hàm Bessel ......................................................63 3.Các tiệm cận của hàm Bessel ................................................................................ 64 MỞ ĐẦU Trong nhiều bài toán của lý thuyết tán xạ, thế tương tác có thể được chia thành hai số hạng /2/: tương tác điện từ- tương tác Coulomb tầm xa và tương tác mạnh- tương tác hạt nhân tầm ngắn ,ví dụ tương tác hạt nhân của các hạt mang điện, ngoài tương tác hạt nhân U h n  r  còn phải xét thêm tương tác Coulomb U c  r  giữa các hạt va chạm. Bài toán tán xạ của hạt trên tổng hai trường thế (bao gồm trường thế tương tác mạnh và trường thế Coulomb) đầu tiên được Bethe /3/ nghiên cứu bằng phương pháp gần đúng chuẩn cổ điển trong khuôn khổ của cơ học lượng tử phi tương đối tính, còn bài toán tương tự cho trường hợp lý thuyết tương đối tính cũng đã được Soloviov /9/ xem xét bằng phương pháp do Yennie, Frautschi va Suura (YES) phát triển để loại bỏ phân kỳ hồng ngoại trong Điện động lực học lượng tử /10/. Những kết quả mà Bethe tìm ra, được sử dụng rộng rãi để phân tích các số liệu thực nghiệm ở vùng năng lượng cao của tương tác hạt nhân, hay kiểm tra lý thuyết mới như hệ thức tán sắc cho tán xạ pion-nucleon   N . Mục tiêu của Luận văn Thạc sỹ khoa học này là nghiên bài toán tán xạ đàn hồi của các hadron tích điện và giao thoa Coulomb – hadron bằng phương pháp sóng riêng phần /2/.Để tiện lợi cho việc theo dõi, trong bản luận văn tốt nghiệp này chúng tôi đi từ tổng quát đến cụ thể, xét những cái chung rồi đi vào những phần riêng.Khi tham gia vào quá trình tán xạ, các hạt cùng lúc tham gia hai loại tương tác khác nhau: tương tác mạnh- tương tác hạt nhân tầm ngắn và tương tác Coulomb tầm xa, mà hai loại tương tác đó được mô tả bởi thế Coulomb và thế tương tác hạt nhân, biên độ tán xạ toàn phần bằng tổng biên độ Coulomb và biên độ hạt nhân, giữa chúng có độ lệch pha với nhau, mục đích của chúng tôi là khảo sát sự tán xạ trên tổng hai thế Coulomb- hạt nhân, đưa ra công thức chung cho biên độ, pha tán xạ của trường thế riêng rẽ rồi sau đó tính toán độ lệch pha hay còn gọi là giao thoa hai biên độ và so sánh với các kết quả khác, những kết quả tổng quát này được trình bày ở chương 1 và chương 2, chương 3 sẽ cụ thể hóa những luận điểm ở chương 1 và chương 2 bằng việc xét sự tán xạ trên tổng hai trường thế khi dạng của trường thế được cho một cách tường minh, ở luận điểm này sẽ khảo sát bài toán tán xạ trên tổng hai thế tương tác là Gauss- Coulomb và Yakawa- Coulomb và sự giao thoa giữa chúng. Theo định hướng đó, chúng tôi chia luận văn thành các mục đích như sau. Chƣơng 1: phƣơng trình Schrodinger và phƣơng pháp sóng riêng phần. Bài toán tán xạ hạt nhân nhanh quy về việc giải phương trình Schrodinger dừng trong trường thế cho trước được trình bày ở mục $1.1, hàm sóng của hạt tán xạ trong trường thế ngoài khi ở xa vô cực cũng được nghiên cứu ở đây.Mục $1.2 dành cho việc tìm pha tán xạ bằng việc giải phương trình Schrodinger cho hàm xuyên tâm. Phương pháp sóng riêng phần được áp dụng cho phương trình Schrodinger ở trường ngoài để tìm biên độ tán xạ của hạt. Chƣơng 2: Tán xạ trên tổng hai trƣờng thế ngoài. Các hạt hadron tích điện tham gia cùng lúc hai loại tương tác: tương tác Coulomb là tương tác tầm xa, và tương tác hadron- tương tác mạnh là tương tác tầm gần. Sử dụng biểu thức giải tích cho biên độ tán xạ của hạt ở trường ngoài thu được ở chương 1 sẽ được tổng quát hóa cho bài toán tán xạ trên hai thế ngoài trong mục $2.1.Ta cũng thu được ở đây biểu thức giải tích cho biên độ tán xạ Cuolomb, biên độ tán xạ hạt nhân và biên độ tán xạ hoàn toàn hạt nhân khi tương tác Coulomb được loại bỏ.Pha tán xạ Coulomb được tìm ở mục $2.2, còn pha tán xạ hạt nhân được trình bày ở mục $2.3. Chƣơng 3: giao thoa Coulomb- hadron. Trong chương này chúng ta nghiên cứu sự giao thoa của hai tương tác khác nhau với những thế ngoài hạt nhân cụ thể. Tán xạ hạt nhân trên thế ngoài dạng Gauss được trình bày ở mục $3.1. Ở đây ta thu được biên độ tán xạ hạt nhân (3.26) cho trường hợp tán xạ góc lớn.Sự liên hệ giữa biên độ tán xạ hoàn toàn hạt nhân và biên độ tán xạ hạt nhân có kể tới tương tác Coulomb (3.28) được xem xét ở mục 3.2. Nếu góc tán xạ nhỏ   0 , trong mục $3.2a ta tìm được công thức giao thoa Coulomb- hạt nhân (3.24) mà nó trùng với kết quả của Bethe đã tìm được. Mục $3.2b dành cho việc nghiên cứu biên độ tán xạ hạt nhân kể thêm tương tác Coulomb không có kì dị tại r  0 và không có kì dị cả ở r  0 và r   , ta thu được cong thức giao thoa Coulomb- hạt nhân (3.39) và (3.48). Trong mục $3.3 ta xét quá trình tán xạ trên tổng hai trường thế ngoài Coulomb- hạt nhân. Khác với mục tiêu trên thế tương tác hạt nhân ta sử dụng không phải thế Gauss mà là thế Yakawa, kết quả thu được công thức giao thoa Coulomb- hạt nhân (3.61)- trùng với (3.28). Cuối cùng là kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục liên quan đến luận văn. Biên độ tán xạ cho tương tác Coulomb được tìm bằng cách giải phương trình Schrodinger cho hạt tán xạ trong tọa độ parabolic  ,   ở phụ lục A, một số tính chất về hàm Bessel được trình bày ở phụ lục B. CHƢƠNG I PHƢƠNG TRÌNH SCHROEDINGER VÀ PHƢƠNG PHÁP SÓNG RIÊNG PHẦN Xuất phát từ phương trình Schoedinger cho hạt tán xạ lên trường thế ngoài, sử dụng phương pháp tách biến và phương pháp sóng riêng phần, trong chương này ta tìm pha tán xạ và biên độ tán xạ. Mục 1.1 dành cho việc xem xét dáng điệu tiệm cận của hàm sóng trong trường thế ngoài khi ở xa vô cực bằng phương pháp tách biến cho hai phần: Phần xuyên tâm R(r ) phụ thuộc vào độ lớn r và phần phụ thuộc vào góc Y ( ) của hàm sóng.Trong mục 2.2 ta biểu diễn pha tán xạ  l qua trường thế ngoài V (r ) . Khi r  ta thu được dáng điệu tiệm cận của hàm sóng khi hạt ở xa vô cực. Sử dụng phương pháp sóng riêng phần ta thu được biên độ tán xạ của hạt lên trường thế ngoài. $ 1.1 Tiệm cận của hàm sóng trong trƣờng thế ngoài khi ở xa vô cực. Phương trình Schroedinger dừng cho hạt ở trường ngoài có dạng:  2    k 2   r   V  r   r  V r  (1.1) 2 U  r  2 E , k 2  p2  2 2   Với E là bình phương xung lượng trong hệ khối tâm và  là khối lượng rút gọn của hệ. Để giải phương trình Schrodinger dừng (1.1) ta đặt tâm tán xạ tại gốc tọa độ, hướng của các dòng hạt tới theo trục Oz. Khi đó nghiệm của phương trình (1.1) có dạng không phụ thuộc tường minh vào góc  . Sử dụng phương pháp tách biến ta biểu diễn nghiệm của phương trình (1.1) dưới dạng:   r  R  r  Y    Thay vào (1.1) ta có: 1   2   1     2   r 2 r  r r   r 2 sin    sin     k  R(r )Y ( )          V (r ) R(r )Y ( ) 2Y R  2 R Rcos Y R  2Y Y 2  2  2  k 2 RY  V (r ) RY 2 r r r r sin   r   Chia cả hai vế cho R r Y   , ta được:   (1.2) 2 R 1  2 R cos Y 1  2Y     k 2  V r  2 2 2 2 rR r R r r Y sin   r Y  Nhân cả hai về với r 2 và thực hiện chuyển vế ta có: 2r dR r 2 d 2 R cos dY 1 d 2Y 2 2 2   k r  V r r      R dr R dr 2 Y sin  d Y d 2 Hai vế của phương trình phụ thuộc hai biến độc lập nhau và chỉ bằng nhau khi bằng một hằng số  nào đó: 2r dR r 2 d 2 R cos dY 1 d 2Y 2 2 2   k r  V r r      R dr R dr 2 Y sin  d Y d 2  dR 2 2r dr  r     d 2R   k 2 r 2  V  r  r 2    R  0 2  dr  2 cos dY d Y   2  Y  0  sin  d d Và ta thu được: d  2 dR  2 2 2 r   k r V r  r    R  0 dr  dr  (1.3) 1 d  dY   sin    Y  0 sin  d  d  (1.4) Ở phương trình thứ hai (1.4) , thực hiện biến đổi biến số, đặt z  cos , ta có: dz   sin  d dY dY dz dY    sin  d dz d dz Vậy: 1 d  dY   sin    Y  0 sin  d  d    d  dY  2   sin    Y  0 dz  dz  d  dY  1  z 2    Y  0   dz  dz  (1.5) Đây là phương trình dạng Legendre ,có nghiệm riêng và trị riêng như sau:  Y    Pl  cos  ,   l  l  1 Nhớ lại rằng phương trình Legendre là phương trình cho bởi: d  dy  1  x2     y  0   dx  dx  (1.6) Nghiệm của nó là các đa thức Legendre, khi   n  n  1 ( n là các số nguyên chạy từ 0   ) thì có dạng: 1 d y  Pn  x   n 2 n! n x 2  1 dx n n ,  n  0,1, 2... Thay giá trị   l  l  1 vào phương trình (1.3) ta thu được phương trình xuyên tâm ứng với số lượng tử quỹ đạo l : d  2 dR  2 2 2 r    p r  V  r  r  l  l  1 R  0 dr  dr  (1.7) Lưu ý rằng hàm sóng   r  phải hữu hạn khi r  0 , do đó hàm xuyên tâm phải thỏa mãn điều kiện biên R  r   Rl  r   Rl  0 .Thay z  pr vào (1.7) ta có: dz  pdr dR dR dz dR  p dr dz dr dz 2 z  d  z 2 dR   2  p   z  l  l  1  V z    R  0 dz  p 2 dz   p  p    p 2 z  d  2 dR   2  Z    Z  l  l  1  V z    R  0 dz  dz   p  p   (1.8) Phương trình (1.8) trùng với phương trình xác định cấc hàm cầu Bessel jl  z  và yl  z  .Nhắc lại, phương trình xác định hàm cầu Bessel là có dạng: d2y dy x  2 x   x 2  n  n  1 y  0 2 dx dx 2 Hai nghiệm độc lập của phương trình này là jl  x  và yl  x  , 3 nghiệm cầu đầu tiên cho jl  x  : j0  x   sin x sin x cos x , f1  x   2  x x x  3  sin x 3cos x j2  x    2  1  x x  x  15 6  sin x  15  cos x j3  x    3      1  x x x  x  x Viết nghiệm dưới dạng tổng quát (Rayleigh’s formulas): n  1 d  sin x jn  x     x     x dx  x n n  1 d  cos x yn  x      x     x dx  x n jn  x   xn khi x  0 1.3.5...  2n  1 n   sin  x   2   jn  x   khi x   x n   cos  x   2   yn  x    khi x   x Vậy áp dụng những kết quả này cho (1.8), dạng tiệm cận của các hàm cầu Bessel khi z  pr   là: l   jl  z   z 1 sin  z   2  l   yl  z    z 1cos  z   2  (1.9) Suy ra nghiệm của phương trình cho chuyển động tự do (1.8) khi không có mặt trường thế V  r  là các hàm cầu Bessel jl  z  và yl  z  .Vậy nghiệm của (1.8)- hàm xuyên tâm R  r   Rl  r  khi ở xa vô cực r   có dạng: l 1  r  Rl  r   Rl  r    Al  pr  sin  pr  2    pr  1 =  pr  1  Al l   Al2  Bl2  sin  pr    2 2 2   Al  Bl  l  Al2  Bl2  cos l sin  pr  2     =  pr  Cl sin  pr  1 l  1     Bl  pr  cos  pr   2   l   l  2  l  cos  pr  2 2 2  Al  Bl Bl l     sin  l cos  pr  2           (1.10) Trong đó Al  Cl cos l và Bl  Cl sin  l còn  l được gọi là pha tán xạ.Lưu ý rằng, trong tán xạ đàn hồi ( là tán xạ mà trạng thái bên trong và thành phần của các hạt va chạm không thay đổi) biên độ tán xạ của hạt sẽ chỉ được xác định thông qua độ dịch chuyển pha (còn gọi là độ dịch pha hay pha tán xạ). $ 1.2. Pha tán xạ. Để xác định chặt chẽ hơn sự phụ thuộc của các pha tán xạ  l thông qua trường thế ngoài Vr và số lượng tử quỹ đạo l , ngoài phương trình (1.7) được viết dưới dạng:  d 2 l  2 l  l  1  p   V  r   l  0, l  0, l  0   0 2 2 dr r   (1.11) Ta còn xét thêm một phương trình khác tương ứng với (1.1) gọi là phương trình cho hạt chuyển động tự do: d 2 gl  2 l  l  1   p   gl  0, gl  0   0 dr 2  r2  (1.12) Với: l  r   prR  r  Cl l    sin  pr    l  2   l   gl  r   krjl  r   sin  pr   2  (1.13) (1.14) Nhân gl  r  với phương trình (1.11) và l  r  với phương trình (1.12) rồi trừ hai vế cho nhau ta được:  gl d 2 l d 2 gl    V  r   l  r  gl  r  l dr 2 dr 2  dg  d  d l gl  l l   V  r  l  r  gl  r   dr  dr dr   d  l  p sin  pr   dr  2  l   p cos  pr  2   (1.15) l      cos  pr    l  2    l     sin  pr    l  2    d   p sin  l   V  r  l  r  gl  r  dr (1.16) 1 p V  r  l  r  gl  r  dr p 0 (1.17)  sin  l   đây chính là công thức Born thể hiện mối liên hệ giữa độ dịch pha và trường thế V  r  của hệ, tuy nhiên không phải lúc nào ta cũng tính được tích phân trên một cách dễ dàng, sử dụng (1.13), (1.14) ta có dạng tiệm cận của hàm sóng tại vô cực là:      1   r  R r Y    l 0 Cl l  r  Pl  cos   pr     1 l    C sin  pr    l  Pl  cos   l 0 l pr 2   (1.18) Hàm sóng biểu diễn dưới dạng một chuỗi số vô tận các sóng riêng phần và phương pháp này gọi là phương pháp sóng riêng phần nhiều khi phương pháp này không thuận lợi trong các tính toán thực tế vì phải xét đến tất cả các giá trị của số lượng tử quỹ đạo l . $ 1.3. Biên độ tán xạ theo phƣơng pháp sóng riêng phần Như đã nói ở trên, ta xét bài toán các hạt tới song song với trục Oz, khi đó dòng các hạt này sẽ tương đương các sóng phẳng đơn sắc có dạng   r toi  eikz , trong đó   r  là nghiệm của (1.1), chúng bị tán với thế V  r  tại gốc tọa độ. Ta giả thiết trường thế ngoài này chỉ khác  không trên một miền hữu hạn r  a nào đấy, gọi là miền tác dụng của lực. Như vậy khi ở khoảng cách lớn chuyển động của các hạt bị thay đổi quỹ đạo và nó tương ứng với các sóng cầu phân kỳ có biên độ thay đổi theo góc tán xạ. Nói tóm lại, ở khoảng cách rất lớn với tâm miền tác dụng, hàm sóng được mô tả bằng tổng của các sóng phẳng đơn sắc và sóng cầu phân kỳ phản xạ:    r  eikz  f  p,  eikr r (1.19) Với k là xung lượng của hạt trong hệ tọa độ khối tâm và đại lượng f  p,  được gọi là biên độ sóng phân kỳ hay biên độ tán xạ của hạt. Mặt khác ta có hàm sóng thu được khi giải phương trình Schroedinger (1.18):    r  1 l    C sin  pr    l  Pl  cos   l 0 l kr 2   Ta sẽ biểu diễn nghiệm trên dưới dạng mũ và sau đó so sánh với (1.19) để thu được tán xạ, ta có:    r     1  i kr l /2 l   i kr l /2 l  C e e  Pl  cos   l 0 l 2ikr 1  C  l 0 l 2ikr  i  e l i l  eikr   i  eil eikr Pl  cos  l (1.20)  Sử dụng tính chất trực giao của đa thức Legendre:  l ,m 1  P  x  P  x  dx  l m (1.21) 1 l 2 1 do đó mọi hàm bất kì có thể khai triển vào chuỗi đa thức Legendre: f  x   l 0 al Pl  x   suy ra: eikz  eikr cos  l 0 hl  r  Pl  cos   (1.22) hệ số hl  r  được xác định bằng cách nhân cả hai vế của (1.22) với Pl  cos  sau đó lấy tích phân theo cos từ  1,1 , ta có: 1 1 1 1 ikr  e Pl  cos d cos   d cos l 0 hl  r  Pl  cos Pl  cos   Và sử dụng (1.21) suy ra: 1 hr  r  2l  1 ikz  e Pl  cos  d cos  1  hr  r   2 1 e Pl  cos  d cos 1 l 2 1 ikz 1 1 1 ikrx  2l  1 ikrx 2l  1  eikrx e '   e P x dx  P x  P x dx l   l   1 ikr l    2 1 2  ikr 1   Pl   x    1 Pl  x  l Do Pl 1  1; Pl  1   1 l Nên ta có: 1 1 ikrx  2l  1  eikrx e  Pl  x    Pl '  x  dx  2  ikr ikr  1 1     2l  1 r  eikr   1 eikr l 2ikr (1.23) Vậy ta nhận được: e ikr l  eikr   1 eikr    l 0  2l  1  Pl  cos  2ikr    ta tiếp tục biểu diễn: (1.24) f   eikr eikr    l 0 g r  x  Pl  cos  r r (1.25) Thay (1.24), (1.25) vào (1.19) ta thu được:    r  1  l 2igl  2l  1 eikr   2l  1 1 eikr  Pl  cos    2ikr  (1.26) đồng nhất hàm sóng trong (1.20) với (1.26) ta có: l i l  2ikgl  2l  1  Cl  1 e  l  l  i l   2l  1 1  Cl  i  e Cl  i l  2l  1 eil   2l  1 2il e 1 g l  2ik   (1.27)  ta thu được biểu thức cuối cùng của hàm sóng và biên độ tán xạ:    r  1 l  l i   i e l sin  kr    l  Pl  cos   l 0 kr 2   f  k ,    (1.28)  1   2l  1 e2il  1 Pl  cos   l 0 2ik (1.29) Việc ứng dụng phương pháp sóng riêng phần đặc biệt tiện lợi trong trường hợp khi các  lực tương tác xác định qua trường thế ngoài V  r  có bán kính hữu hạn r  a ( các lực hạt nhân, các lực tác dụng giữa các nguyên tử trung hòa… là các lực thế). Trong trường hợp đó chỉ có các sóng riêng phần với giá trị nhỏ tham gia vào tán xạ của các hạt với năng lượng nhỏ. Khi ở khoảng cách lớn hơn bán kính tác dụng r  a , hạt ở trạng trong trạng thái có số lượng tử chỉ chịu tác dụng của lực li tâm h 2l  l  1 2 r 2 khoảng cách thỏa mãn bất đẳng thức . Do đó, các hạt về cơ bản sẽ chuyển động tại những h 2l  l  1 2 r 2 chuyển động tương đối, và khoảng cách rol   h2 k 2  E , trong đó E là năng lượng của 2 l  l  1 k là khoảng cách tới gần cực đại. Với giá trị r  rol xác suất tìm thấy hạt nhỏ dần theo hàm mũ. Khi bán kính tác dụng nhỏ hơn rất nhiều so với rol thì các sóng riêng phần hầu như không rơi vào miền tác dụng của V  r  và không tham gia tán xạ. CHƢƠNG II TÁN XẠ TRÊN TỔNG HAI TRƢỜNG THẾ NGOÀI Tổng quát hóa các kết quả thu được từ chương 1, chương này ta xem xét các biên độ tán xạ và pha tán xạ khi trường thế ngoài là tổng hai thế ngoài với tính chất khác nhau.Để thuận tiện cho việc theo dõi từ đây về sau ta sẽ kí hiệu biên độ tán xạ hoàn toàn Coulomb ( tương tác hoàn toản điện từ) fcoulomb  p,  là fC  p,  , biên độ tán xạ hoàn toàn hạt nhân f Nuclear  p,  (đã loại bỏ hoàn toàn ảnh hưởng của tương tác Coulomb tầm xa, chỉ tính cho tương tác mạnh) là fC  p,  , biên độ tán xạ hạt nhân trong trường hợp có sự góp mặt của tương tác Coulomb tầm xa f nuclear Coulomb  p,  kí hiệu f NC  p,  , mà nó xuất hiện khi có sự giao thoa. Các pha tán xạ hoàn toàn Coulomb, pha tán xạ hạt nhân có ảnh hưởng tương tác Coulomb và pha tán xạ hoàn toàn hạt nhân ( pha tán xạ khi có ảnh hưởng tương tác Coulomb bị loại bỏ) vẫn sẽ giữ kí hiệu như cũ, lần lượt là  l ,  l và l . $ 2.1. Biên độ tán xạ. Biên độ tán xạ trên một trường thế ngoài (1.29) như ta đã thu được ở chương 1, có dạng: ftoi  k ,     1   2l  1 e2il  1 Pl  cos   l 0 2ik (2.1) Lưu ý, hai thế ngoài ở đây được xem một cách “ bình đẳng”, nên biên độ tán xạ nhận được rõ ràng, bằng cách thay pha tán xạ trong (2.1)  l   l   l , ở đây  l được gọi là pha tán xạ hạt nhân.Tương ứng với điều đó, sự thay đổi biên độ tán xạ (2.1) bây giờ sẽ là: f  k ,     1   2l  1 e2i l l   1 Pl  cos   l 0 2ik (2.2) Lưu ý: e 2i  l  l       1  e2i l e2il  e2i l  e2i l  1  e2i l e2il  1  e2i l  1 Vì pha tán xạ có khả năng “ cộng tính” như trên, khi đó biên độ tán xạ được biểu diễn dưới dạng tổng hai biên độ khác nhau như bên dưới: f  k ,   1   2l  1 e2i l l   1 Pl  cos    l 0 2ik  fC  k ,   f NC  k ,  (2.3) Trong đó, biên độ tán xạ hoàn toàn Coulonb và hạt nhân Coulomb biểu diễn theo chuỗi vô tận theo l các sóng riêng phần: fC  k ,     2p   1   2l  1 e2i l  1 Pl  cos   l 0 2ik  sin   2       exp  2i  0   ln  sin    2      (2.4) còn biên độ tán xạ hạt nhân ( có tính đến tương tác Coulomb) là: f NC  k ,     1   2l  1 e2il  1 Pl  cos   l 0 2ik (2.5) Trong luận văn này biên độ tán xạ được tính sau đó nó sẽ được so sánh với biên độ tán xạ khi không có tương tác Coulomb: f NC  k ,     1   2l  1 e2il  1 Pl  cos   l 0 2ik (2.5a) Ở đó đại lượng l gọi là pha tán xạ hoàn toàn lên thế hạt nhân. Ảnh hưởng của thế giới ngoài Coulomb lên các giá trị R e f N  k ,  và Im f N  k ,  cũng như công thức cho tiết diện tán xạ vi phân cùng với giao thoa giữa phần Coulomb và phần hạt nhân của biên độ sẽ được nghiên cứu ở phần sau của luận văn, mà trong trường hợp tán xạ góc nhỏ sẽ trùng với kết quả của Bethe. $ 2.2. Pha tán xạ Coulomb Bây giờ ta tìm pha tán xạ Coulomb, khi xét bài toán tán xạ trên thế Coulomb cổ điển: Vcoulomb  r   2 p r (2.6) Như đã nói ở trên, tích phân (1.17) không phải khi nào cũng có thể tính toán một cách đơn giản chính xác cho mọi trường thế ngoài, do việc lấy cận tích phân là tùy tiện. Ở đây ta sẽ thu nhận l được  Coulomb bằng cách giải phương trình (1.7) theo một cách giải khác cho riêng thế Coulomb. Xuất phát từ phương trình đầu tiên trong (1.11- 1.12) với thế V  r  là thế Coulomb  p  k  : d 2 l  2 l  l  1 2k  k    l  0 dr 2  r2 r  (2.7) Ta dùng phép biến đổi hàm số: l  r    2kr  eikr F  2ikr  l 1 (2.8) đặt   2ikr , thì ta có: l 1 l'   2k   l  1 lr l 1eikr F  r l ikeikr F  r l eikr r' F'  l 1 l''   2k   l  1 lr l 1eikr F  r l ikeikr F  r l eikr r' F'  ik  l  1 r l eikr F  r l 1ikeikr F  r l 1eikr pr' F'   eikr r l 1 r'' F'   r'  F''  pr' F'  l  1 r l eikr 2   r' F' r l 1ikeikr   l    l''   2k   l  1  F  ikF  r' F'  r l eikr r l 1  ik  l  1 F  ikrF  r r' F'  r l eikr    eikr r l r r'' F  r r' 2  F''  r' F'  l  1 r l eikr  r' F' ikrr l eikr    2k  l 1  l  r l eikr  l  1  F  ikF  r' F'  r   ik  l  1 F  ikrF  r r' F'     r r'' F'  r  r'  F''  r' F'  l  1  r' F' ikr   2 thay vào phương trình vi phân (2.7) ta có:  l  l  1 F  ik  l  1 F   l  1 r' F'  ik  l  1 F   r ikikrF  ikr r' F'  r r'' F'  r  r'  F'' 2 l  l  1 2k     l  1 r' F'  ikr r' F'   rF  k 2   0 r2 r   r'  2ik ; r''  0  l  l  1 F  ik  l  1 F  2ik  l  1 F'  ik  l  1 F  k 2 rF   r 2ikikrF'   2ik  rF''  2ik  l  1 F'  2ikikrF'   2  k 2 rF  l  l  1 F  2k F  0 r giản ước những số hạng triệt tiêu nhau trong phương trình trên, ta còn lại: ik  l  1 F  2ik  l  1 F'  ik  l  1 F  ik  F'   2ik  rF'' 2 2ik  l  1 F'  2ikikrF'  2k F  0  ik  l  1  ik  l  1  2k  F   2ik  rF'' 2  2ik  l  1  2ik  l  1  ik   ik   F'  0  2ik  l  1  2i 2 k  F  2ik  F''  4ik  l  1  2ik   F'  0 chia hai vế cho 2ik ta có:   l  1  i  F   F''  2  l  1    F'  0   F''   2l  2    F'   l  1  i  F  0 thay: F''   d 2 F ' dF ta có phương trình vi phân sau: ; F  d2 d d 2F dF   2l  2      l  1  i  F  0 2 d d (2.9) Đây là một phương trình Kummer, mà nó có dạng: d 2F dF z 2  b  z   aF  0 dz dz (2.10) Theo đó (1.5) có nghiệm là hàm siêu bội suy biến F  a, b, z  . Vậy nghiệm của (2.9) là hàm siêu bội suy biến F  l  1  i , 2l  2, 2ik  , sai khác nhau một hằng số mà ta sẽ chuẩn hóa nó ở phần sau. Mặt khác, ta có gần đúng trong khoảng cách lớn của hàm siêu bội suy biến khi z   : F  a, b, z   ei a   b   a   b  z a b z  ez  a  a suy ra: F  l  1  i , 2l  2, 2ikr   ei l 1i    2l  2   l 1i  2ikr      l  1  i  (2.11)    2l  2  2ikr  l 1 i e  2ikr    l  1  i  (2.12) thay (2.12) vào (2.8) ta có: l   2kr  eikr F  2ikr    2kr  eikr F  l  1  i , 2l  2, 2ikr  l 1 l 1   2l  2  l 1  l 1 i   2kr  eikr ei l 1i   2ikr      l  1  i     2l  2  2ikr  l 1i  e  2ikr     l  1  i    i l 1i    2l  2  ikr  l 1  i  e  e  i   2ikr    l  1  i      2l  2  ikr i  l 1  e  2ikr   i     l  1  i   (2.13) thay:  i   l 1  i l 1; 2ikr  e  i  ln 2 kr 2 ta có: l  i l 1   2l  2     exp i  l  1  i   ikr     l  1  i   2  i ln 2kr    l  1  i     exp ikr   i ln 2kr    l  1  i  2   Do ta chọn hàm  l với sai khác một hệ số mà ta cho nó vào trong hệ số Cl ở (1.10) và sau đó chuẩn hóa một lần, vì vậy trong các tính toán về sau ta bỏ đi hệ số của  l và chỉ giữ lại dạng đơn nhất. Ta có: l  e  i   l 1  kr  ln 2 kr    l  1  i  i kr  ln 2 kr e   l  1  i  (2.15) đặt: l    l  1  i  1   l  1  i  ln hay e2i l  2i   l  1  i    l  1  i  thay vào (2.15) ta có: l  e  i   l 1 kr  ln 2 kr  e2i l e  i  kr  ln 2 kr (2.16) e i   l 1  kr  ln 2 kr e e   l  e ei l i kr  ln 2 kr e ei l    i  l 1 i  2  l 1 kr  ln 2 kr  2 e i  l 1i l 2 Bỏ qua hệ số e    ei l i kr  ln 2 kr e ei l  i i  i2 l 1 kr  ln 2 kr  i l 1 i kr  ln 2 kr   e2 e l e le       i  l 1 i l 2 ta có được:     i  kr  l   l 1 ln 2 kr  2   e    i  kr  l   l 1 ln 2 kr  2   l     cos  kr   l     ln 2kr  2 2     l   cos    kr    ln 2kr   l   2  2  l    sin  kr    ln 2kr   l  2   (2.17) Lưu ý, đối với trường Coulomb hàm xuyên tâm có thêm một thành phần   ln 2kr  phụ thuộc tọa độ trong (2.17) là do đóng góp của thế Coulomb và sẽ triệt tiêu tại khoảng cách lớn. Vậy pha Coulomb cho bởi hệ thức bên dưới: l  1   l  1  i  ln 2i   l  1  i  Nếu xét bài toán tổng quát của hai trường thế ngoài V r   2 p   r  r (2.18) Thay (2.18) vào (1.17), với các pha tán xạ nhỏ, ta có thể coi pha tán xạ bằng tổng hai pha riêng rẽ theo thế Coulomb và thế hạt nhân: sin  l   l    1  2     r   l  r  gl  r  dr   k 0 r    C   NC (2.19) Khi đó thu được pha tán xạ lên tổng hai thế, thế Coulomb và thế hạt nhân: l   ln 2kr  C   NC Có thể viết lại: (2.20)