Tài liệu Tải xuống (1)

ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN THPT NĂM 2015 TRƯỜNG THPT SƠN TÂY —————— Môn thi : Toán chuyên Ngày thi: 25 tháng 5 năm 2015 Thời gian làm bài thi : 150 phút Câu I (2 điểm): 1) Cho x  8 2 7  8 2 7 28 2) Chứng minh : 1 2 1  1 3 2  . Tính giá trị của biểu thức A  1 2 x 25  2 x 5  2015 1 4 3  ...  1 2015 2014 2 Câu II (2 điểm): 1) Giải phương trình : x 2  x 1  x  x 2 1  x 2  x  2 2) Tìm m để phương trình  x 2  4 x  3 x 2  4 x 1 m  m  0 có 4 nghiệm phân biệt . Câu III (1 điểm): Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1 ta có phần nguyên của 2  3  n là một số lẻ . Câu IV (4 điểm): 1) Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi C là trung điểm của AO. Đường thẳng qua C và vuông góc với AB tại C cắt đường tròn tại M và N . Gọi K là điểm thuộc cung nhỏ MB, H là giao điểm của AK và MN. a) Tính AH. AK theo R. b) Tìm vị trí của điểm K trên cung nhỏ MB sao cho MK + KN + KB đạt giá trị lớn nhất 2) Cho 10 điểm phân biệt không có ba điểm nào thẳng hàng và nằm trong một tam giác đều có cạnh là 2cm . Chứng minh rằng luôn tìm được 3 điểm trong 10 điểm đã cho sao cho 3 điểm này là ba đỉnh của một tam giác có diện tích không quá 3 cm 2 và có ít nhất 3 một góc nhỏ hơn hoặc bằng 450. Câu V (1điểm) : Cho các số a, b, c  -1 và thỏa mãn: a 2  b 2  c 2  9 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A  a 3  b3  c 3 --------------------Hết---------------------(Giám thị không giải thích gì thêm) Họ tên thí sinh : ......................................................Số báo danh :............................................. Chữ ký của giám thị số 1 ...................... Chữ ký của giám thị số 2.................... Đáp án - Đề thi thử toán chuyên – 2015 Câu Ý Câu I 1) Nội dung Ta có 8  2 7    7  1 ;8  2 7    7 1 ; 28  2 7 do đó x = 1 2 2 từ đó suy ra A = 1 2) Ta có : 0,5 0,5 1 1 0 2 k 1  k k 1 2 k  1  k 1  k  2 1  k  1 k  k 1  k k  1. k   1)   k 1  k    2  1 1   , với mỗi k  N*.    k k  1  1   2 2015  Từ đó suy ra S < 2 1 Câu II Điểm 0,5 0,5  x 2  x 1  0 x 2  x 1  x  x 2 1  x 2  x  2 (1) . ĐK  .   x  x 2 1  0  Áp dụng bất Cô -si ta có : 0,25 0,5 x 2  x 1  1 x  x 2 1 1  x 1 2 2 2 Từ đó suy ra : x 1  x 2  x  2   x 1  0  x  1 . x 2  x 1  x  x 2  1   Thử lại x = 1 vào phương trình thỏa mãn .Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. 2) Phương trình tương đương  x  22 1  x  22  3  m  m  0     2 Đặt t   x  2 ( t  0 ) ta có : t 2  4  mt  3  2m  0 2 0,25 0,5 Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm dương 0,5    m  42  4 3  2m  0  3 phân biệt   P  3  2m  0  m  2  S  m  4  0  Câu III Đặt x1  2  3, x2  2  3 . Khi đó x1, x2 là nghiệm của phương trình : 0,5 x 2  4 x  1  0 . Đặt S n  x1n  x2n . Chứng tỏ S n 2  4 S n1  Sn  n  N*. Từ S1  4; S 2   x1  x2   2 x1 x2  14 , từ đó chứng tỏ Sn là số nguyên dương chẵn với mọi n . 2 Câu IV n Từ 0 < x2 <1 nên 2  3    x1n   S n 1 là số lẻ   1) a) Chứng tỏ AHC đồng dạng với ABK Từ đó suy ra AH. AK = AC. AB = R2. 0,5 1 M K I H A O C N B b) Tính MN  MB  BN  R 3 .Suy ra tam giác BMN đều . Trên đoạn KN 1 lấy điểm I sao cho KI = KB khi đó ta có KIB đều  IB = KB và  MKB = NIB  KM = IN  KM+KN +KB = 2 KN lớn nhất  KN là đường kính suy ra K là điểm chính giữa cung nhỏ MB. 2) Lấy tâm của tam giác đều chia tam giác này thành 3 phần có diện tích là 3 cm 2 . 3 1 Có 10 điểm đặt vào 3 phần nên theo nguyên lí Đi-rích -lê, tồn tại 4 điểm cùng thuộc một phần . Đặt tên 4 điểm đó là A, B, C , D . - Trường hợp 1 : Nếu điểm này là 4 đỉnh của một tứ giác lồi . Tổng các góc của tứ giác đó bằng 3600 và có 8 góc nên tồn tại một góc không vượt quá 3600 : 8 = 450 .   450 . Giả sử là BAC A D 0,5 B Khi đó  ABC thỏa mãn yêu cầu bài toán C Câu V - Trường hợp 2. Nếu 4 điểm này không là 4 đỉnh của một tứ giác lồi . D Giả sử điểm A không nằm ngoài tam giác BCD   CAD   DAB   3600 , Khi đó BAC A nên tồn tại một góc trong ba góc B ở tổng đó không nhỏ hơn 1200.   1200  BCA   ABC   600 , Giả sử BAC ;  do đó có một góc trong hai góc BCA ABC C 0 nhỏ hơn hay bằng 30 . Từ đó ta có đpcm . 2 Do a  1a  2  0 ,  a  -1 từ đó ta có a3  4  3a 2  a  -1 (1) 0,5 0,5 0,5 Tương tự b3  4  3b 2 (2)  b  -1 và c3  4  3c 2 (3) c  -1 Cộng các vế của (1) , (2) và (3) và kết hợp a 2  b 2  c 2  9 ta có A  15 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (a; b; c) = (-1; 2; 2) hoặc (a; b; c) = (2; -1; 2) hoặc (a; b; c) = (2; 2; -1) . Từ đó KL .minA = 15 ---Hết --- Lời giải : a) Chứng tở M K I H A O C N B