Học thêm toán – 0968 64 65 97
Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản
CHUYÊN ĐỀ 1: BIẾN ĐỔI PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
Bài 1:
TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Luỹ thừa của một số hữu tỷ:
a) Tính chất:
a n a
.a .a ...
a
a 0 1; a 1 a với a 0
(n N)
n
(n thừa số a)
a m .a n a m n
a m : a n a m n (m, n N, m n)
(m, n N )
n
a
m
n
a
m .n
x. y
m
m
x .y
m
x
xn
; n
y
y
y
0
b) Ví dụ:
a) 3 x5 .5 x 2 15 x 5 2 15 x 7
b) 15m 9 : 3m 7 5m 2
2. Nhân đơn thức với đa thức:
a) Công thức:
A(B + C) = AB + AC ; A(B - C) = AB – AC
b) Ví dụ:
1. 5 x 3x 2 4 x 1 5 x .3x 2 5 x 4 x 5 x .1 15 x 3 20 x 2 5 x
2. 2 3 5
3 60 2 3 . 3 5 . 3 4.15
6 15 2 15
6 15
3. Nhân đa thức với đa thức:
a) Quy tắc:
Nhân một đa thức với một đa thức ta nhân lần lượt từng số hạng của đa thức này với đa thức kia rồi
cộng tổng các tích vừa tìm được.
b) Công thức
(A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD
c) Ví dụ:
1.
x 2 6 x 2 5x 1 x.6 x2 x 5x x.1 2.6 x 2 2. 5 x 2.1
6 x3 5 x 2 x 12 x 2 10 x 2 6 x 3 17 x 2 11x 2
Website: http://thaytoan.net
1
Học thêm toán – 0968 64 65 97
2. (1 -
Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản
x x x x x x x
x )(1 + x x ) = 1 +
= 1 x
x
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Thực hiện phép tính:
a) (3xy - x2 + y)
2 2
xy
3
b) (5x3 - x2)(1 - 5x)
Giải:
a) (3xy - x2 + y)
2 2
2
2
2
x y = 3xy. x2 y + (-x2). x2 y + y. x2 y
3
3
3
3
= 2x3 y2 -
2 4
2
x y + x2 y2
3
3
b) (5x3 - x2)(1 - 5x) = 5x3 - 25x4 - x2 + 5x3
= - 25x4 + 10x3- x2
Bài 2. Tìm x biết:
3x(12x - 4) - 9x(4x - 3) = 30
Giải: 3x(12x - 4) - 9x(4x - 3) = 30
36x2 - 12x - 36x2 + 27x = 30
15x = 30 x = 2
Bài 3. Rút gọn biểu thức:
( 28 12 7 ) 7 + 2 21 =
4.7 . 7 4.3. 7 7 . 7 + 2 21
= 2 7. 7 2 3. 7 7. 7 + 2 21
= 2.7 – 2 21 - 7 + 2 21 = 7
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Tính:
1
1
a) ( x + y)( x + y)
2
2
b) (x -
1
1
y)(x - y)
2
2
Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau (với a 0 ):
a)
3a . 27 a
b)
9 a 2b 4
c)
3a 3 12a
Bài 3. Triển khai và rút gọn các biểu thức sau: (với x, y không âm)
a) ( x 2 )( x 2 x 4 )
b) ( x y )( x 2 y x y )
Bài 2 : TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Chia đa thức cho đơn thức:
* Quy tắc: Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho
đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.
Website: http://thaytoan.net
2
Học thêm toán – 0968 64 65 97
Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản
Ví dụ: (15x2y3 + 12x3 y2 - 10 xy3) : 3xy2 = (15x2y3 : 3xy2) + (12x3 y2 : 3xy2) + (-10xy3 : 3xy2)
= 5xy + 4x2 -
10
y
3
2. Chia đa thức một biến đã sắp xếp.
Ví dụ: Thực hiện phép chia:
1. (6 x 2 13x 5) : (2 x 5)
Giải:
6 x 2 13 x 5
2x 5
- ( 6 x 2 15 x )
3x 1
2 x 5
- ( 2 x 5)
0
2. Sắp xếp đa thức sau theo luỹ thừa giảm dần của biến rồi thực hiện phép chia:
(12 x 2 14 x 3 6 x3 x 4 ) : (1 4 x x 2 )
Giải: Ta có 12 x 2 14 x 3 6 x 3 x 4 x 4 6 x3 12 x 2 14 x 3
và 1 4 x x 2 x 2 4 x 1
x 4 6 x 3 12 x 2 14 x 3
- ( x 4 4 x3 x 2 )
x2 4 x 1
x2 2x 3
2 x 3 11x 2 14 x 3
- ( 2 x3 8 x 2 2 x )
3 x 2 12 x 3
(3 x 2 12 x 3)
0
3. Tính chất cơ bản của phân thức:
a) Định nghĩa phân thức đại số: Phân thức đại số (hay phân thức) có dạng
A
, trong đó A, B là các đa
B
thức và B khác đa thức 0.
Ví dụ:
6x2 y 2
1
;
5
8x y x + 2
b) Phân thức bằng nhau:
Ví dụ:
A C
B D
nếu AD = BC
x +1
1
vì (x +1)(x - 1) = x2 - 1
2
x 1 x -1
Website: http://thaytoan.net
3
Học thêm toán – 0968 64 65 97
c) Tính chất cơ bản của phân thức:
Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản
A A.M A A:N
=
; =
B B.M B B:N
d) Quy tắc đổi dấu:
A
B
-A
;
-B
A
B
(M 0; N 0; B 0)
A
-A
-B
B
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Các phân thức sau có bằng nhau không?
x x2
x
a)
2
5 x 5 5( x 1)
x 2 8 3x 2 24 x
2 x 1
6x 3
b)
Bài 2. Áp dụng quy tắc đổi dấu để rút gọn phân thức:
45 x(3 x) 45x( x 3)
=
= –3
15 x( x 3)
15 x( x 3)
Bài 3. Tính:
a)
2300
23
b)
63x 3
với x > 0
7x
Giải:
a)
2300
=
23
23.100
23. 100
=
= 100 = 10
23
23
b)
63x 3
=
7x
9.7 x.x 2
3x 7 x
=
7x
7x
= 3x với x > 0
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Rút gọn phân thức:
6x2 y 2
a)
8x y5
10 xy 2 ( x y )
b)
15 xy ( x y ) 2
Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
( x y y x )( x y )
x y với x > 0 và y > 0
xy
b)
x 3 3xy 2 y 2
1
3
2
2
3
x 2 x y xy 2 y
x y
Bài 3: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa:
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.
Website: http://thaytoan.net
4
Học thêm toán – 0968 64 65 97
Ví dụ:
Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản
a) 2x2 + 5x - 3 = (2x - 1).(x + 3)
b) x - 2
x y +5 x
- 10y = [(
=
=(
x )2 – 2 y
x ] + (5 x
- 10y)
x ( x - 2y) + 5( x - 2y)
x - 2y)( x
+ 5)
2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
a) Phương pháp đặt nhân tử chung :
Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó được biểu diễn thành một
tích của nhân tử chung với một đa thức khác.
Công thức:
AB + AC = A(B + C)
Ví dụ:
1. 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2)
2. 3x + 12
x y=3 x ( x
+ 4y)
b) Phương pháp dùng hằng đẳng thức:
Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng đẳng thức đó để
biểu diễn đa thức này thành tích các đa thức.
* Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
(A - B)2 = A2 - 2AB + B2
A2 - B2 = (A + B)(A - B)
(A+B)3= A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
(A - B)3= A3 - 3A2B + 3AB2-B3
A3 + B3 = (A+B) (A2 - AB + B2)
A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)
Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1. x2 – 4x + 4 = x 2
2
2. x 2 9 ( x 3)( x 3)
3. ( x y )2 ( x y ) 2 ( x y ) ( x y ) ( x y ) ( x y ) 2 x.2 y 4 xy
Cách khác: ( x y )2 ( x y )2 x 2 2 xy y 2 ( x 2 2 xy y 2 ) 4 xy
c) Phương pháp nhóm hạng tử:
Nhóm một số hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để có thể đặt được nhân tử chung hoặc
dùng hằng đẳng thức đáng nhớ.
Ví dụ:
1. x2 – 2xy + 5x – 10y = (x2 – 2xy) + (5x – 10y) = x(x – 2y) + 5(x – 2y) = (x – 2y)(x + 5)
Website: http://thaytoan.net
5
Học thêm toán – 0968 64 65 97
2. x - 3
x
+
Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản
x y – 3y = (x - 3 x )
x( x
=
+(
x y – 3y)
- 3) + y(
x
- 3)= (
x - 3)( x
+ y)
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 14x2 – 21xy2 + 28x2 y2 = 7x(2x - 3y2 + 4xy2)
b) 2(x + 3) – x(x + 3)
c) x2 + 4x – y2 + 4 = (x + 2)2 - y2 = (x + 2 - y)(x + 2 + y)
Bài 2: Giải phương trình sau :
2(x + 3) – x(x + 3) = 0
x 3 0
x 3
x 3 2 x 0
2 x 0 x 2
Vậy nghiệm của phương trình là x1 = -3: x2 = 2
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
x
a) 10(
x)
- y) – 8y(y -
b) 2
x y + 3z + 6y +
xy
Bài 2: Giải các phương trình sau :
x( x
a) 5
- 2010) -
x
b) x3 - 13 x = 0
+ 2010 = 0
Bài 4: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
d. Phương pháp tách một hạng tử: (trường hợp đặc biệt của tam thức bậc 2 có nghiệm)
b1b2 ac
Tam thức bậc hai có dạng: ax + bx + c = ax + b1x + b2x + c ( a 0 ) nếu
b1 b2 b
2
2
Ví dụ:
a) 2x2 - 3x + 1 = 2x2 - 2x - x +1
= 2x(x - 1) - (x - 1)
= (x - 1)(2x - 1)
b) y 3 y 2 y y 2 y 2
y 1
y 2 y 1
y
y 1 2
e. Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử:
Ví dụ:
Website: http://thaytoan.net
6
Học thêm toán – 0968 64 65 97
a) y4 + 64 = y4 + 16y2 + 64 - 16y2
Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản
= (y2 + 8)2 - (4y)2
= (y2 + 8 - 4y)(y2 + 8 + 4y)
b) x2 + 4 = x2 + 4x + 4 - 4x = (x + 2)2 - 4x
= (x + 2)2 - 2 x
2
= x2 x 2 x2 x 2
g. Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp:
Ví dụ:
a)
a3 - a2b - ab2 + b3 = a2(a - b) - b2(a - b)
= (a - b) (a2 - b2)
= (a - b) (a - b) (a + b)
= (a - b)2(a + b)
b) 27 x 3 y a 3b3 y y 27 x 3 a 3b 3
3
y (3x)3 ab
y 3x ab 9 x 2 3xab a 2b2
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a)
8x3 + 4x2 - y3 - y2 = (8x3 - y3) + (4x2 - y2)
3
2 x y 3 4 x 2 y 2
2
2 x y 2 x 2 xy y 2 2 x y 2 x y
2 x y 4 x 2 2 xy y 2 2 x y
b) x2 + 5x - 6 = x2 + 6x - x - 6
= x(x + 6) - (x + 6)
= (x + 6)(x - 1)
c) a4 + 16 = a4 + 8a2 + 16 - 8a2
= (a2 + 4)2 - ( 8 a)2
= (a2 + 4 + 8 a)( a2 + 4 -
8 a)
Bài 2: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử:
a) (x5 + x3 + x2 + 1):(x3 + 1)
b) (x2 - 5x + 6):(x - 3)
Giải:
a) Vì x5 + x3 + x2 + 1= x3(x2 + 1) + x2 + 1 = (x2 + 1)(x3 + 1)
Website: http://thaytoan.net
7
Học thêm toán – 0968 64 65 97
nên (x5 + x3 + x2 + 1):(x3 + 1)
Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản
= (x2 + 1)(x3 + 1):(x3 + 1)
= (x2 + 1)
b) Vì x2 - 5x + 6 = x2 - 3x - 2x + 6
= x(x - 3) - 2(x - 3) = (x - 3)(x - 2)
nên (x2 - 5x + 6):(x - 3) = (x - 3)(x - 2): (x - 3) = (x - 2)
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Rút gọn các phân thức sau:
x 2 +xy-y2
a)
2x 2 -3xy+y 2
2x 2 -3x+1
b)
x 2 +x-2
Bài 2: Phân tích thành nhân tử (với a, b, x, y là các số không âm)
a) xy y x x 1
b)
a 3 b3 a 2b ab 2
Bài 5. QUY ĐỒNG MẪU NHIỀU PHÂN THỨC
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Quy tắc quy đồng mẫu nhiều phân số:
Bước 1: Tìm một bội chung của các mẫu (thường là BCNN) để làm mẫu chung.
Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu)
Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.
Ví dụ: Quy đồng mẫu các phân số sau:
5
7
và
12 30
* Bước 1: Tìm BCNN (12;30) = 60
* Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu:
60:12=5
60:30=2
* Bước 3: Nhân tử và mẫu của phân số với thừa số phụ tương ứng.
5
5.5 25
12 12.5 60
7
7.2 14
30 30.2 60
2. Quy đồng mẫu nhiều phân thức:
Muốn quy đồng mẫu nhiều phân thức ta có thể làm như sau:
- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung.
- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.
- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.
Ví dụ: Quy đồng mẫu thức của
3x
x3
và 2
2x 4
x 4
* Bước 1: Tìm MTC.
Website: http://thaytoan.net
8
Học thêm toán – 0968 64 65 97
- Phân tích các mẫu thành nhân tử.
Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản
2x +4 = 2(x + 2)
x2 - 4 = (x - 2) (x + 2)
- MTC là: 2(x - 2) (x + 2)
* Bước 2: Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu.
+) 2(x - 2) (x + 2): 2(x + 2) = (x - 2)
+) 2(x - 2)(x + 2): (x2 - 4) = 2
* Bước 3 : Nhân cả tử và mẫu của phân thức với nhân tử phụ tương ứng.
3x x 2
3x
3x
2 x 4 2( x 2) 2 x 2 x 2
2 x 3
x3
x3
2
x 4 ( x 2)( x 2) 2 x 2 x 2
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Quy đồng mẫu các phân thức sau:
5
3
và 2
2x 6
x 9
MTC: 2(x - 3)(x + 3)
5
5
5( x 3)
2 x 6 2( x 3) 2( x 3)( x 3)
3
3
3.2
6
x 9 ( x 3)( x 3) 2( x 3)( x 3) 2( x 3)( x 3)
2
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Quy đồng mẫu các phân thức sau (có thể áp dụng quy tắc đổi dấu với một phân thức để tìm MTC
thuận tiện hơn).
4 x 2 3x 5
a)
;
x3 1
b)
1 2x
x2 x 1
10
;
x2
5
2x 4
Bài 6. QUY ĐỒNG MẪU NHIỀU PHÂN THỨC
I. Luyện tập:
Bài 1: Quy đồng mẫu phân thức sau:
2x
x
và
x 2 8x 16
3x 2 12 x
Phân tích các mẫu:
x2 - 8x + 16 = (x - 4)2
3x2 - 12x = 3x(x - 4)
MTC: 3x(x - 4)2
Website: http://thaytoan.net
9
Học thêm toán – 0968 64 65 97
Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản
2
2x
2x
2x.3x
6x
2
2
x 8x 16 ( x 4)
3x ( x 4)
3x (x 4) 2
2
x
x
x ( x 4)
3x 12 x 3x ( x 4) 3x (x 4) 2
2
Bài 2: Rút gọn biểu thức :
1
1
2 3 2 3
Giải: MTC : (2+ 3 )(2- 3 )
Quy đồng:
2 32 3 4
1
1
=
4
43
1
2 3 2 3
Bài 3: Giải phương trình:
x2 1
2
x 2 x x x 2
Giải: ĐKXĐ: x 0;x 2
x2 1
2
x 2 2x x 2 2 x 2 x 0
x 2 x x x 2
x 0 kTM®K
x x 1 0
.Vậy phương trình có tập nghiệm S = 1
x
1
TM®K
II. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài1: Quy đồng mẫu các phân thức sau:
a)
x y x y
;
;
x y x y
b)
Bài 2: Chứng minh đẳng thức :
1
1
;
;
xy xy
3
2
3
6
6 2
4
2
3
2
6
Bài 7: PHÉP CỘNG, PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Cộng hai phân thức cùng mẫu:
* Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu
thức.
A C AC
B B
B
Ví dụ: Tính:
a)
b)
x2
4x 4 x 2 4x 4 x 2
3 x 6 3x 6
3x 6
3
x2
2. x 2
2 2. x 2
2. x 2
x 2 2 2 .x 2
2 .x 2
x 2 x 2
2 x 2
2
2
2. Cộng hai phân thức không cùng mẫu:
Website: http://thaytoan.net
10
Học thêm toán – 0968 64 65 97
Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản
* Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân
thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
Ví dụ:
y 12
6
+ 2
6 y 36
y 6y
MTC: 6y(y - 6)
y 12
y 12
6
6
6.6
+ 2
=
+
= (y -12)y +
6 y 36
y ( y 6)
y 6 y 6( y 6)
6y(y-6) 6 y( y 6)
y 2 12 y 36
( y 6) 2
y6
=
=
=
6 y ( y 6)
6 y ( y 6)
6y
*Chú ý: Phép cộng phân thức có các tính chất sau:
- Tính chất giao hoán:
A C C A
B D D B
- Tính chất kết hợp: A C E A C E
B D F B D F
3. Phép trừ các phân thức đại số:
*Quy tắc: Muốn trừ phân thức
A
C
A
C
cho phân thức
, ta cộng
với phân thức đối của
B
D
B
D
A C
A C
=
+
B D
B D
Ví dụ:
a)
x 1
x 1
x3
( x 3)
- 2
+
2
2
x 1 x x
( x 1) x ( x 1)
( x 1)
( x 1)( x 1)
x3
( x 3) x
+
+
( x 1)( x 1) x ( x 1)
x ( x 1)( x 1) x( x 1)( x 1)
( x 3) x ( x 1)2
x 1
1
x( x 1)( x 1)
x( x 2 1) x ( x 1)
b)
3x
x2
( 3 x) x 2
+
x2
( 3 x)
x2
3x
( 3 x)( 3 x) x 2 x 2
+
x 2 3 x
( x 2)( 3 x)
2
2
7 2x2
3 x ( x 4)
( x 2)( 3 x )
( x 2)( 3 x)
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Thực hiện phép tính sau:
2x 2 x
x 1 2 x2
+
+
x 1
1 x
x 1
Website: http://thaytoan.net
11
Học thêm toán – 0968 64 65 97
=
Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản
2
2 x
2x x x 1 2 x
+
x 1
x 1
x 1
x 1
2
2
( x 1)
x 1
2
x 1
Bài 2: Rút gọn biểu thức
x 1
2 x
( x 1)( x 2) 2 x ( x 2)
x4
x 2
x 2
P
x 2 x x 2 2x 4 x
3x x 2
x4
x4
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Tính:
1
1
x x 1
Bài 2: Cho biểu thức: P
x 1
2 x
25 x
4x
x 2
x 2
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của P khi x = 1.
Bài 8: PHÉP NHÂN, CHIA CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Phép nhân các phân thức đại số:
Ví dụ:
a)
b)
A C A.C
.
(B; D ≠ 0)
B D B.D
x 1 x 1 ( x 1)( x 1)
x2 1
.
2
x 2 x 2 ( x 2)( x 2) x 4
3 x x 3 ( 3 x )( x 3) x 2 3
.
2
x 1 1 x
( x 1)(1 x)
x 1
2. Phép chia các phân thức đại số:
Ví dụ:
a)
A C A D
: .
( B, C , D 0)
B D B C
7 x x 1 7 x x 2 7 x
:
.
x 2 x 2 x 2 x 1 x 1
(x -2, x -1)
x 2 2 x 2 2 .x
x2 2
( x 1)
(x 2)
b) 2
:
.
x 1
x( x 1) x( x 2 )
x x
x2
(x 1, x - 2 )
3. Biến đổi biểu thức hữu tỉ:
- Biểu thức hữu tỉ là biểu thức có chứa các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức đại số.
- Biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức là sử dụng các quy tắc cộng, trừ
nhân, chia các phân thức đại số để biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức .
Website: http://thaytoan.net
12
Học thêm toán – 0968 64 65 97
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản
Bài 1: Thực hiện phép tính:
7 x 2 14 x 4 7 x 2 x 2 y
( 7 x 2) x 2 y
x
:
.
2
3
2
3
3
3 xy
x y
3 xy 14 x 4 3 xy (14 x 4) 6 y
Bài 2: Rút gọn biểu thức:
=
=
x
x 3 x
Q =
1 x (đ/k:....)
1
x
1
x
x (1 x ) x (1 x ) 3 x
1 x
1 x
3 x 3 3(1 x )
3
1 x
1 x
1 x
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
x
A=
x 2
Bài 1: Rút gọn biểu thức:
x2
.
x 2 4 x
x
x 1 x 2 x 3
:
.
x 2 x 3 x 1
Bài 2: Tính:
Bài 9: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
A A 0
a, A 2 A
A A 0
c,
A
A
B
B
b,
d, A 2B A B
A 0,B 0
A 0,B 0
A.B A. B
B 0
Ví dụ:
a) Rút gọn biểu thức:
2 8
b) Rút gọn và tính giá trị biểu thức:
50 2 2 2 5 2 8 2
1 10a 25a 2 4a , tại a =
2
1 10a 25a 2 4a (1 5a)2 4a
1 5a 4a
Thay a =
2 vào biểu thức trên ta được:
1 5 2 4 2 2 1
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Rút gọn
20 45 75 180 2 5 3 5 5 5 6 5 2 5
a
1 1
2
Bài 2: Cho biểu thức: A
:
a 1 a a a 1 a 1
Website: http://thaytoan.net
13
Học thêm toán – 0968 64 65 97
a) Tìm điều kiện để A xác định và rút gọn A
Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản
b) Tìm a để A > 0
Giải: a) Điều kiện A xác định: a 0; a 1
a
1
1
2
Ta có: A
:
a ( a 1) a 1 ( a 1)( a 1)
a 1
a. a 1
b) A > 0
a 1 2
:
a ( a 1) ( a 1)( a 1)
a 1
a ( a 1)
.
a 1
a 1
a 1
a
a 1
0 a 1 0 a 1
a
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Rút gọn: B
3
2
3 1
3 1
a
b
1
:
a2 b2
a2 b2 a a2 b2
a
Bài 2: Cho biểu thức: Q
a) Rút gọn Q.
b) Tìm giá trị của Q khi a = 3b
2 x 2 x
4x
x 3
Bài 3: Cho biểu thức P
:
2 x 2 x x 4 2 x x
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị của x để P > 0, P < 0.
c) Tìm giá trị của x sao cho P 1 .
Bài 10: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC
CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
a) A B A 2B
A 0, B 0 ;
A
1
B B
AB 0,B 0
b)
c)
d)
AB
A
A B
B
B
A B A2B
A 0, B 0 ;
B 0 ;
C A B
C
AB
A B
A 0, B 0, A B .
C A B
C
AB
A B
A 0, B 0, A B
Ví dụ: Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1 biết:
Website: http://thaytoan.net
14
Học thêm toán – 0968 64 65 97
Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản
1
a 1
1
với a 0, a 1
M
:
a 1 a 2 a 1
a a
Giải:
1
a 1
1
M
:
a 1 a 2 a 1
a a
1 a
a 1
:
2
a ( a 1) ( a 1)
a 1
1
1
a
a
Suy ra M 1
1
a
1 (Vì a 0, a 1 ). Vậy M < 1
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Rút gọn biểu thức: 5 5 5 5
5
5
5
5
Giải:
5
5
5 5
5
5
5 5
5
5
2
2
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
3
20
5 5 5 5 5 5 5
x2 x
x
Bài 2: Cho biểu thức: P=
4 x
4
x 1
x 1
.
x 1
x 1
a) Tìm điều kiện xác định của P? Rút gọn P?
b) Tìm giá trị của x để P = 0
Giải:
a) Điều kiện: x 0; x 1
x2 x
x
P
4 x
4
x3 x
.
4 x
x x 1
x 1
x 1
x 2 x. x x
.
.
x
1
x
1
4
x
x 1 x 1 .
x 1
x 1 x 1
2
x 1
x 1 x 1
2
x 1
x x 1 x 1 2 x 2
.
x 1
4 x
x 1
2 x
x 0
b) Để P = 0 x x 1 0
x 1
Các giá trị này không thỏa mãn điều kiện, do đó không có giá trị nào của x để P = 0.
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Website: http://thaytoan.net
15
Học thêm toán – 0968 64 65 97
Bài 1: Rút gọn biểu thức: 5 5 5
5 5
5
Bài 2: Cho biểu thức Q =
Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản
5
5
1 x x
1 x
a) Tìm điều kiện xác định Q?
b) Rút gọn Q.
c) Tìm x để Q = 1.
6x 1 x 2 36
6x 1
2
Bài 3: Cho phân thức P = 2
;
.
2
x 6x x 6x 12x 12
a) Tìm điều kiện xác định của P?
b) Rút gọn P.
c)Tính giá trị của P tại x 9 4 5 .
LUYỆN TẬP
Câu 1: Rút gọn các phân thức sau:
y 2 3y xy 3x y y 3 x y 3 y 3 x y y 3
y 2 3y xy 3x
a)
x2 y2
x y x y
x y x y
x y x y x y
2 x2 2x 4
2 x2 4 x 8
2
b)
3
2
x 8
x 2 x 2 x 4 x 2
x 1
x 1 1
x
Câu 2 : Cho biểu thức: P
2
x 1 2 x
x 1
2
a). Tìm điều kiện xác định của P? Rút gọn P.
b) Tìm x để
P
2
x
Giải:
a) Điều kiện: x 0 : x 1
2
x 1
x 1 1
x
P
2
x 1
x 1
2 x
2
x 1
x 1 x 1
x 1
2
2
2 2x
4 x
2
2
4 x 1 x 4 x 1 x
1 x
x
1 x 2 x 1 x 4x
b) Để
1
P
1 x
1
2
2 x . Kết hợp với điều kiện ta được: 0 x
2
3
3
x
x
Câu 3: Giải phương trình:
14
1
1
x 3
x 9
2
Website: http://thaytoan.net
16
Học thêm toán – 0968 64 65 97
Giải: Ta có phương trình
Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản
14
1
14
1
1
1
x 3
x 3
x 9
x 3 x 3
2
ĐKXĐ: x ≠ 3 .
14
1
1
14 x 3 x 3 x 3
x 3
x 3 x 3
14 x 2 9 x 3
x 2 x 20 0
81 9
1 9
1 9
x1
4; x 2
5 ,
2
2
= 1 + 4.20 = 81 > 0,
x1 = 4; x2 = -5 đều thoả mãn ĐKXĐ
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 4; x2 = -5.
KIỂM TRA
ĐỀ SỐ 1
Câu 1: Rút gọn các phân thức sau:
x 2 4x 3 3
a) 2
x 5x 6
Câu 2: Tính:
4 4x 2 9y 2 12xy
b)
2x 2 3y
c)
xy 4y 2xy 4y
x 2 y3
x 2 y3
2 1
3 1
:
2 1
42 3
Câu 3: Cho biểu thức
A
x
1
x
x
x 1
x
x 1
a) Tìm điều kiện xác định của A? Rút gọn A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =
3
4
c) Tìm x để A < 8.
ĐỀ SỐ 2
1
Câu 1: Tính:
2 5
2
Câu 2: Giải phương trình:
1
2 5
x
Câu 3: Cho biểu thức: A 1
2
4
2 x 0 (1)
2 x
a 3 a a 2
a 3
9a
:
a 9 a 3 2 a a a 6
a) Rút gon A.
b) Tìm các số nguyên của a để A là số nguyên.
Website: http://thaytoan.net
17
Học thêm toán – 0968 64 65 97
Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản
CHUYÊN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH
PHẦN I: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
Bài 13: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN VÀ CÁCH GIẢI
I. Kiến thức cơ bản:
1. Định nghĩa:
Phương trình dạng ax+b=0, với a và b là hai số đã cho và a0, được gọi là phương trình bậc
nhất một ẩn.
Ví dụ:
5x + 8 = 0: là phương trình bậc nhất một ẩn, trong đó a = 5; b = 8
-2x + 4 = 0: là phương trình bậc nhất một ẩn, trong đó a = -2; b= 4
-7x – 3 = 0: là phương trình bậc nhất một ẩn, trong đó a = -7; b = -3
2. Hai quy tắc biến đổi phương trình:
a) Quy tắc chuyển vế:
Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
Ví dụ 1: Cho phương trình: x – 2 = 0, chuyển hạng tử -2 từ vế trái sang vế phải và đổi dấu thành +2
ta được x = 2
2
2
Ví dụ 2: Cho phương trình:
+ x = 0, chuyển hạng tử từ vế trái sang vế phải và đổi dấu thành
3
3
2
2
- ta được x = 3
3
b) Quy tắc nhân với một số:
Trong một phương trình ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.
1
Ví dụ 3: Cho phương trình: x = 3, nhân hai vế của phương trình với 2 ta được: x = 6
2
Trong một phương trình ta có thể chia cả hai vế cho cùng một số khác 0.
2
Ví dụ 4: Cho phương trình 3x = -2, chia hai vế của phương trình cho 3 ta được: x =
3
c) Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn
Từ một phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân, ta luôn nhận được một
phương trình mới tương đương phương trình đã cho.
Ví dụ 5: Giải phương trình:
3x – 6 = 0
Giải: 3x – 6 = 0 3x = 6 (Chuyển -6 sang vế phải và đổi dấu)
(Chia hai vế cho 3)
x=2
Vậy phương trình có tập nghiệm S={2}
II. Bài tập vận dụng.
Bài 1: Chỉ ra phương trình nào là phương trình bậc nhất trong các phương trình sau:
a) 2 – x = 0;
b) 8x – 3 = 0;
c) 0x – 3 = 0 ;
d) 3x – 2 = 3.
Bài 2: Giải phương trình: a) 3 -
1
x =0
2
b) x + 8 = 0
c) -4x + 2 = 4
Giải:
Website: http://thaytoan.net
18
Học thêm toán – 0968 64 65 97
Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản
1
1
1
a) 3 - x = 0 - x = -3 (-2).(- ) x = (-2).(-3) x = 6.
2
2
2
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {6}
b) x + 8 = 0 x = -8
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-8}
2
1
c) -4x + 2 = 4 -4x = 4 - 2 -4x = 2 x = x
4
2
1
Vậy phương trình có tập nghiệm S = { }
2
III. Bài tập đề nghị
Bài 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn:
a) 4x – 20 = 0
b) 5y = 0
c) 12 + 7x = 0
d) x2 - x = 0
e) 0x - 2 = 0
f) 2x – x + 10 = 0
Bài 2: Giải các phương trình sau:
1
a) x 3 0
2
c) x + 2=3
b) 1 + x = 0
d) 3x + 2x - 5 = 0
Bài 14: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG ax + b = 0
I. Kiến thức cơ bản
Các bước chủ yếu để giải phương trình đưa được về dạng ax + b = 0:
- Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu (nếu có).
- Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc (nếu có).
- Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia.
- Thu gọn và giải phương trình nhận được.
Ví dụ 1: Giải phương trình: x – 2 = 4 - x
Giải: Ta có: x - 2 = 4 - x x + x = 4 + 2 2x = 6 x = 3
Phương trình có tập nghiệm S = {3}
Ví dụ 2: Giải phương trình:
8 – (x – 6) = 12 - 3x
Giải:
- Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc:
8 – x + 6 = 12 – 3x
- Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế và chuyển các hằng số sang vế kia
- x + 3x = 12 – 8 – 6
- Thu gọn và giải phương trình vừa tìm được:
2x = -2 x = -1
Phương trình có tập nghiệm : S = {-1}
Ví dụ 3:
Giải phương trình:
5x 2 7 3x
x
6
4
Giải:
- Qui đồng mẫu hai vế của phương trình:
5x 2 7 3x
x
6
4
Website: http://thaytoan.net
19
Học thêm toán – 0968 64 65 97
Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản
- Nhân hai vế của phương trình với mẫu chung để khử mẫu:
12x - 10x + 4 = 21 - 9x
- Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế và chuyển các hạng tử tự do sang vế kia:
12x – 10x + 9x = 21 – 4
- Thu gọn và giải phương trình vừa tìm được:
17
11x = 17 x =
11
17
Phương trình có tập nghiệm S
11
Ví dụ 4:
Giải phương trình: x+ 2 x -3 = 0
Giải:
- Đặt nhân tử chung: x + 2 x -3 = 0 (1+ 2 ) x -3 = 0
- Hệ số a = 1+ 2 ; b = -3
3
- Ta có: (1+ 2 ) x -3 = 0 (1+ 2 ) x = 3 x=
1 2
3
Phương trình có tập nghiệm: S =
1 2
II. Bài tập áp dụng.
Bài 1: Giải phương trình: 3x – 2 = 2x - 3
Giải:
3x – 2 = 2x – 3 3x – 2x = 2 – 3 x = -1
Phương trình có tập nghiệm S = {-1}
Bài 2: Giải phương trình: 4 – 2t + 12 + 5t = t + 24 - 3t
Giải:
4 – 2t + 12 + 5t = t + 24 - 3t
8
-2t + 5t – t + 3t = 24 – 4 – 12 5t = 8 t =
5
8
Phương trình có tập nghiệm S={ }
5
Bài 3: Giải phương trình: (x - 1) – (2x -1) = 9 - x
Giải: (x - 1) – (2x -1) = 9 - x
x - 1 - 2x + 1 = 9 – x
x – 2x + x = 9 – 1 + 1
0x = 9 (Không có giá trị nào của x thoả mãn phương trình)
Vậy phương trình vô nghiệm hay tập nghiệm của phương trình là: S =
Bài 4: Giải phương trình: x - 2 = x – 2
Giải: x - 2 = x – 2 x – x = - 2 + 2 0x = 0
Phương với mọi x R
x 2x 1 x
Bài 5: Giải phương trình:
x
4
3
6
Giải:
Website: http://thaytoan.net
20
- Xem thêm -
.PDF 
138 
2375 
96 
