Mô tả:
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC
ThS. Leâ Hoàng Lónh
TRUNG TÂM GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
17 QUANG TRUNG
Địa chỉ: 17 Quang Trung – Xuân Khánh – Ninh Kiều – Cần Thơ
Điện thoại: 0939.922.727 – 0915.684.278 – (07103)751.929
Cần Thơ 2013
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: (0710)3751.929
Trang 1
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC
ThS. Leâ Hoàng Lónh
Chương 1. Hàm số lượng giác
Chương 2. Tổ hợp – xác suất
Chương 3. Dãy số - cấp số cộng – cấp số nhân
Chương 4. Giới hạn
Chương 5. Đạo hàm
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: (0710)3751.929
Trang 2
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC
ThS. Leâ Hoàng Lónh
Chương 1
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
CÁC BƯỚC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
+ Tìm điều kiện (nếu có) để bài toán có nghĩa
+ Biến đổi để đưa phương trình về một trong các dạng đã biết cách giải
+ Giải phương trình và chọn nghiệm phù hợp
+ Kết luận
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Cung liên kết
a) Cung đối: x và x
cos x cos x
sin x sin x
tan x tan x
cot x cot x
b) Cung bù: ( x) và x
cos x cos x
sin x sin x
tan x tan x
cot x cot x
c) Cung phụ: x và x
2
cos x sin x
2
sin x cos x
2
tan( x) cot x
2
cot x tan x
2
d) Cung hơn kém : ( x) và x
cos x cos x
sin x sin x
tan x tan x
cot x cot x
e) Cung hơn kém
:
2
x và x
2
cos / 2 x sin x
sin / 2 x cos x
tan / 2 x tan x
cot / 2 x cot x
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: (0710)3751.929
Trang 3
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC
ThS. Leâ Hoàng Lónh
2. Công thức lượng giác
Công thức cộng: Cho a và b là 2 góc bất kỳ, ta có
sin(a b) sin a cos b sin b cos a
cos(a b) cos a cos b sin a sin b
tan(a b)
tan a tan b
1 tan a tan b
Công thức nhân đôi
cos 2a cos 2 a sin 2 a 2 cos2 a 1 1 2sin 2 a
s in2a 2sin a cos a
tan2a
2 tan a
; (a k )
2
1 tan a
4
2
Công thức nhân ba
sin 3a 3sin a 4 sin 3 a
cos 3a 4 cos 3 a 3cos a
Công thức hạ bậc
sin 2 a
1 cos 2a
1 cos 2a
1 cos 2a
; cos 2 a
; tan 2 a
2
2
1 cos 2a
Công thức chia đôi
2t
1 t 2
2t
a
Đặt t tan , khi đó sin a
;
cos
a
; tan a
2
2
2
1 t
1 t
1 t 2
Công thức biến đổi tổng thành tích
a b a b
sin a sin b 2 sin
cos
2 2
a b a b
sin a sin b 2 cos
sin
2 2
a b a b
cos a cos b 2 cos
cos
2 2
a b a b
cos a cos b 2sin
sin
2 2
sin(a b)
cos a cos b
sin(b a)
cot a cot b
sin a sin b
tan a tan b
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: (0710)3751.929
Trang 4
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC
ThS. Leâ Hoàng Lónh
Công thức biến đổi tích thành tổng
1
sin a sin b [cos(a b) cos(a b)]
2
1
cos a cos b [cos(a b) cos(a b)]
2
1
sin a cos b [sin(a b) sin(a b)]
2
B. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC QUEN THUỘC
1. Các phương trình lượng giác cơ bản
u v k2
sin u sin v
u v k2
u v k2
cos u cos v
u v k2
tan u tan v u v k , (u, v / 2 k)
cot u cot v u v k , (u, v k)
(u,v là các biểu thức chứa ẩn, k )
2. Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác
Dạng
a sin 2 x b sin x c 0
a cos 2 x b cos x c 0
a tan 2 x b tan x c 0
a cot 2 x b cot x c 0
(với a 0 , a, b, c )
Phương pháp giải
a sin 2 x b sin x c 0 , đặt t sin x , t 1
a cos 2 x b cos x c 0 , đặt t cos x , t 1
a tan 2 x b tan x c 0 , đặt t tan x , đk x / 2 k
a cot 2 x b cot x c 0 , t cot x , đk x k
Khi đó phương trình trở thành phương trình bậc 2 theo biến t, giải tìm t thỏa đk bài toán, suy
ra nghiệm x của phương trình
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: (0710)3751.929
Trang 5
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC
ThS. Leâ Hoàng Lónh
Ví dụ: Giải phương trình cos 2x 5 6 cos x
Giải: cos 2x 5 6 cos x 2 cos 2 x 6 cos x 4 0 (*)
t 1
Đặt t cos x, t 1 . Khi đó (*) trở thành 2t 2 6t 4 0
t 2 (loai)
Với t 1 cos x 1 x 2k
3. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos
Dạng
a sin x b cos x c (với a 2 b 2 0 ) (*)
Phương pháp giải
+ Nếu a 2 b 2 c 2 thì phương trình vô nghiệm
+ Nếu a 2 b 2 c 2 thì phương trình có nghiệm. Khi đó :
Chia 2 vế của (*) cho
a 2 b 2 . Đặt cos
Khi đó (*) trở thành sin(x )
c
a b2
2
a
a 2 b2
;sin
b
a 2 b2
, đây là phương trình cơ bản.
Ví dụ: Giải phương trình s in3x 3 cos 3x 2
Giải: a 2 b 2 2 2 (c 2) nên phương trình đã cho có nghiệm, chia hai vế của phương
trình cho 2 ta được
1
3
2
s in3x
cos 3x
cos sin 3x sin cos 3x sin
2
2
2
3
3
4
2
3x 2k
x k
3
4
36
3
sin 3x sin
3
5
2
4
k
3x 2k x
3
4
36
3
4. Phương trình đối xứng đối với sin và cos
Dạng
a(sin x cos x) b sin x cos x c 0 (1)
hoặc a(sin x cos x) bsin x cos x c 0 (2)
Phương pháp giải
- Đối với (1), đặt t sin x cos x 2 sin(x ) , đk t 2 .
4
Khi đó sin x cos x
t 2 1
t 2 1
và (1) trở thành at b
c 0 bt 2 2at (2c b) 0 ,
2
2
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: (0710)3751.929
Trang 6
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC
ThS. Leâ Hoàng Lónh
Giải ra tìm t (lưu ý đk của t) sau đó tìm nghiệm x của phương trình từ t 2 sin(x )
4
- Đối với (2), đặt t sin x cos x 2 sin(x ) , đk t 2 .
4
1 t 2
1 t 2
và (2) trở thành at b
c 0 bt 2 2at (2c b) 0 ,
2
2
Giải ra tìm t (lưu ý đk của t) sau đó tìm nghiệm x của phương trình từ t 2 sin(x ) .
4
Khi đó sin x cos x
Ví dụ: Giải phương trình sin x cos x 2 6 sin x cos x
1 t 2
Giải: Đặt t sin x cos x 2 sin(x ) , đk t 2 , sin x cos x
.
4
2
Khi đó phương trình đã cho trở thành
t 6(1 t 2 ) 6t 2 t 6 0 t1
6
6
, t2
3
2
thỏa điều kiện t 2 .
Với t1
6
6
3
2 sin(x )
sin(x )
3
4
3
4
3
x arcsin 3 k2
x arcsin 3 k2
4
3
3
4
x arcsin 3 k2 x arcsin 3 5 k2
4
3
3
4
Với t1
6
6
3
2 sin(x )
sin(x )
2
4
2
4
2
x k2
x k2
4
3
12
5
x k2
x k2
4
3
12
5. Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sin và cos
Dạng
a sin 2 x b sin x cos x c cos 2 x d (*)
Phương pháp giải
+ Nếu cos x 0 là nghiệm của (*) thì ta có nghiệm x
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
k .
2
ÑT: (0710)3751.929
Trang 7
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC
+ Nếu cos x 0 x
ThS. Leâ Hoàng Lónh
k , khi đó chia 2 vế cho cos2 x ta được
2
(a d) tan 2 x b tan x (c d) 0
Giải phương trình bậc hai theo tham số tanx
Ví dụ: Giải phương trình 4sin 2 x 3 3 s in2x 2 cos 2 x 4
Giải:
+ Khi x
cos x 0
, ta có VP 4 VT , suy ra x k là nghiệm.
k 2
sin x 1
2
2
+ Khi x
k chia 2 vế cho cos2 x ta được
2
4 tan 2 x 6 3 tan x 2 4(1 tan 2 x) 6 3 tan x 6
tan x
Kết luận x
3
tan x tan x k
3
6
6
k hoặc x k .
6
2
6. Phương trình chứa căn thức (dạng cơ bản)
Phương pháp giải
Để giải được phương trình lượng giác chứa căn thức (dạng cơ bản) ta cần phải nắm được một
số tính chất sau :
A, A 0
1) A 2 A
A, A 0
2) A B A B 0
B 0
3) A B
A B2
A 0
4) A B C B 0
A B 2 AB C
Chú ý : Đối với những dạng 3 A 3 B C, 4 A 4 B C ta thường dùng phương pháp
chuyển về hệ đại số (xem bài tập 4 cuối bài giảng).
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: (0710)3751.929
Trang 8
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC
ThS. Leâ Hoàng Lónh
Ví dụ : Giải phương trình 1 cos x sin x 0
sin x 0
1 cos x sin x 0 1 cos x sin x
1 cos x 1 cos 2 x
sin x 0
sin x 0
sin x 1 x k2
cos x 0 sin x 1
2
cos x 1
x k2
cos x 1 cos x 1
7. Phương trình chứa giá trị tuyệt đối
Phương pháp giải
Để giải được phương trình lượng giác chứa giá trị tuyệt đối ta cần phải nắm được một số tính
chất sau :
1) A B A B A 2 B2
B 0
B 0
2) A B
2
A B A B2
A 0
3) A B A B
B 0
A 0
4) A B A B
B 0
Ví dụ : Giải phương trình cos
x
x
1 3 sin
2
2
Giải :
x
3
1 3 sin x 0
sin
x
x
2
2
3
cos 1 3 sin
x
x
x
2
2
2
2
4 sin 2 x 2 3 sin x 0
cos 1 2 3 sin 3sin
2
2
2
2
2
x
sin 0 x k2, k .
2
C. MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Phương pháp 1. Dùng các công thức biến đổi lượng giác đưa một phương trình lượng giác
về một trong các dạng phương trình quen thuộc.
Ví dụ : giải phương trình 6sin x 2 cos 3 x
+ Điều kiện cos 2x 0 x
5s in4x.cos x
2 cos 2x
k
4
2
+ Phương trình đã cho tương đương với
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: (0710)3751.929
Trang 9
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC
ThS. Leâ Hoàng Lónh
6sin x 2 cos 3 x 5s in2x.cos x 6sin x 2 cos3 x 10s inx.cos2 x
sin x
s inx.cos 2 x
6
2 10
6 tan x(1 tan 2 x) 2 10 tan x
3
3
cos x
cos x
3
6 tan x 4 tan x 2 0
Giải ra ta được tan x 1 x
k (loại).
4
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Phương pháp 2. Đưa phương trình đã cho về phương trình tích
A1 (x).A 2 (x)....A n (x) 0
để chuyển về giải tuyển các phương trình quen thuộc.
Ví dụ : giải phương trình cos x cos 2x cos 3x 0
Ta có
cos x cos 2x cos 3x 0 2 cos 2x cos x cos 2x 0 cos 2x(2 cos x 1) 0
k
x
2x
k
cos 2x 0
2
4
2
;k
2cos x 1
2
2
x k2 x k2
3
3
Vậy nghiệm của phương trình x
k
2
; x k2 , k .
4
2
3
Phương pháp 3. Sử dụng tính bị chặn của hàm số hay dùng bất đẳng thức,...để đánh giá hai
vế của phương trình rồi rút ra nghiệm.
Ví dụ : giải phương trình sin 3 x cos 3 x 2 sin 4 x
1 sin x 1 sin 3 x sin 2 x
Ta có
3
sin 3 x cos 3 x 1
2
1 cos x 1 cos x cos x
Mặt khác 0 sin 4 x 1 2 sin 4 x 1
sin 4 x 1
sin 3 x sin 2 x
sin x 1 x k2
Vậy phương trình đã cho tương đương với 3
cos x cos 2 x
cos x 0
2
3
3
sin x cos x 1
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: (0710)3751.929
Trang 10
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC
ThS. Leâ Hoàng Lónh
D. PHẦN BÀI TẬP
Dạng 1. Phương trình cơ bản
Bài 1. Giải phương trình
1) cos x sin x 2 sin x
2) cos x sin x 2 cos x
3) sin x cos x 2 cos 3x
4) sin x cos x 2 s in5x
Bài 2. Giải phương trình
1
1) cos 4 x sin 4 x (3 cos 6x)
4
2) cos 6 x sin 6 x cos 2 2x
1
16
3) 6(cos6 x sin6 x) 5(cos4 x sin4 x)
4) cos 2 (x / 4) sin 2 x 1 / 2
Bài 3. Giải phương trình
1) cos x.cos 3x cos 5x.cos 7x
1
2) sin x.cos 2x s in2x.cos 3x s in5x
2
3) 2cos2 2x cos 2x 4sin 2 2x cos 2 x
4) 4cos3 2x 6sin 2 x 3
5) cos x cos 2x s in3x (1/ 4) s in2x
6) s in2x sin x cos 5x cos 2x
1 cos x
2
7) cos10x 2 cos 2 4x 6cos 3x cos x cos x 8cos x cos3 3x
Bài 4. Giải phương trình
1) cos3 x sin x sin 3 x cos x 2 / 8
2) cos3 x cos 3x sin 3 x s in3x 2 / 4
3) sin 3 x cos 3x cos 3 x s in3x 3 / 4
4) cos3 x cos3x sin3 x sin3x cos3 4x 1/ 4
Bài 5. Giải các phương trình
1) cos x sin 2x 0
3
2) cos x cos x 1
3
3
3) tan 2x. tan x 1
4) sin 2 x sin 2 x.tan 2 x 3
5) 5cos2 x sin 2 x 4
6)
7) cos4 2x sin 3x sin 4 2x
8) tan x 1 tan x
4
9) sin 3 x cos x
1
cos 3 x sin x
4
11) cos7x - sin5x =
3 ( cos5x - sin7x)
13) cos x cos 2x cos 4x
2
16
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
3 sin x cos x
1
cos x
10) sin 4 x cos 4 x cos 4x
12) sin 2 5x cos 2 3x 1
14) sin sin x 1
ÑT: (0710)3751.929
Trang 11
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC
15)
cos 2 x
sin 2 x
1 sin x 1 cos x
ThS. Leâ Hoàng Lónh
16)
1
1
2
cos x sin 2x sin 4x
Bài 6. Cho phương trình tan cos x cot sin x
1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.
2. Tìm tất cả các nghiệm thuộc đoạn 3; của phương trình.
Bài 7. Cho phương trình sin6 x + cos6x = m.
1. Xác định m để phương trình có nghiệm.
2. Xác định m để phương trình có đúng 2 nghiệm trong khoảng 0;
Bài 8. Giải và biện luận phương trình 2m 1 cos 2x 2m sin 2 x 3m 2 0
Dạng 2. Phương trình với một hàm số của một cung
Bài 1. Giải phương trình
1) cos 2x 3sin x 2 0
2) 4sin 4 x 12cos 2 x 7
3) 6sin 2 x 2sin 2 2x 3
4) 6 tan x t an2x
5) 3(tan x cot x) 2(2 s in2x)
6) cot 4 x cos3 2x 1
Bài 2. Giải phương trình
1) s in3x 2 cos 2x 2 0
2) s in3x sin x 1 0
3) cos3 x cos 2x 4cos x 1 0
4) cos 3x 2 cos 2x 2 0
5) cos4 x cos 2x 2sin 6 x 0
6) 3cos6 2x sin 4 2x cos 4x 0
Bài 3. Giải phương trình
1) 3cos x cos 2x cos 3x 2 sin x s in2x
2) s in3x cos 2x 1 2 sin x cos 2x
3) 2sin x s in3x (3 2 1) cos 2x 3 0
4) 8sin 2 x sin( / 3 x) sin( / 3 x) 1
5) 8 cos 2 x cos(x 2 / 3) cos(x / 3) 1
6) 4 cos 2 (x / 4)sin 6x 2 sin 6x 1
7) sin x cos 2x 1 / 4
8) 4 cos x 2 cos 2x cos 4x 1 0
9) cos 2x cos x(2 tan 2 x 1) 2
Bài 4. Giải phương trình
1) 3cos x 4s in x
6
6
3cos x 4s in x 1
2) tan 2 x
1 cos x
cos x
s in3x cos 3x
sin 2 2x
sin x cos x
3) (sin x cos x ) 2 5 cos( / 6 x)
4)
1
5) 2 cos 2x 8 cos x 7
cos x
cot 2 x tan 2 x
6)
16(1 cos 4x)
cos 2x
7) 3cos 4x 2cos2 3x 1
8) s in2x tan x 2
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: (0710)3751.929
Trang 12
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC
9) s in2x 2cos 2 x tan x 3
ThS. Leâ Hoàng Lónh
10) t an2x cot x 8cos2 x
Bài 5: Giải các phương trình lượng giác sau
1) 2cos 2 x 5sin x 4 0
3
3
2) cos 2x 4 cos x
3) sin 4 x cos 4 x cos 2x
4) cos 4 x sin 4 x sin 2x
5
0
2
x
x
sin 4 2 sin x 1
2
2
5) 2 2 cos 2 3x 2 2 cos 3x 1 0
6) cos 4
7) 4 sin 6 x cos 6 x cos 2x 0
2
8) 2 tan x 3cot x 4
9) cos 4 x sin 2 x
1
4
11) 2 tan x cot x 2sin 2x
10) 4cot 2x
1
sin 2x
1
2
cos 2 x sin 2 x
sin 6 x cos6 x
12) sin 8 x cos 8 x
17
cos 2 2x
16
13) 4 cos x cos 4x 1 2 cos 2x
14) 4sin 5 x cos x 4 cos5 x sin x cos 2 4x 1
15) cos 4x cos 2 3x cos 2 x 1
16) sin 3x cos 2x 1 2 sin x cos 2x
Bài 6: Cho phương trình sin 3x m cos 2x (m 1) sin x m 0
1) Giải phương trình khi m = 2.
2) Xác định m để phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng 0; 2
Dạng 3. Phương trình đối xứng
Bài 1. Giải phương trình
1) s in2x 12(sin x cos x) 12 0
2) 1 s in2x cos x sin x
3) cos 2x 5 2(2 cos x)(sin x cos x)
4) sin 3 x sin x cos x cos 3 x 1
5) sin 3 x cos 3 x 1
6) s in3x cos 3x 1 s in2x
7) (1 cos x)(1 sin x) 2
8)
9) tan x 2 sin x 1 0
10) cos x
1
1
2 2
cos x sin x
1
1
10
sin x
cos x
sin x
3
Bài 2. Giải phương trình
1) 2(tan 2 x cot 2 x) 5(tan x cot x) 6 0
2)
1
tan 2 x 5(tan x cot x) 7 0
2
sin x
3) tan x tan 2 x cot x cot 2 x 2
4)
1
cot 2 x 4(tan x cot x) 0
cos 2 x
5) tan x tan 2 x tan 3 x cot x cot 2 x cot 3 x 6
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: (0710)3751.929
Trang 13
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC
ThS. Leâ Hoàng Lónh
Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau
1) 2 sin x cos x sin 2x 1 0
2) sin x cos x 6 sin x cos x 1
3) sin 2x 2 sin x 1
4
4) tan x 2 2 sin x 1
5) sin 3 x cos 3 x 1
6) 1 sin x 1 cos x 2
7) 2sin x tan x cot x
4
8) sin x cos x sin x cos x 1 0
3
4
9) sin x cos x 3sin 2x 1 0
10) cos3 x sin 3 x cos 2x
3
11) sin3 x cos3 x 2 sin x cos x 3sin 2x 0 12) sin x cos x 1 sin x cos x
13) sin x cosx 2 tan x cot x
1
1
0 14) 1 sin 2x sin x cos x cos 2x
sin x cosx
Bài 4: Cho phương trình cos3 x sin 3 x m . Xác định m để phương trình có nghiệm.
Bài 5: Giải các phương trình lượng giác sau:
1) 3 tan x cot x 2 tan 2 x cot 2 x 2 0
2) tan 7 x cot 7 x tan x cot x
4
3) tan x tan2 x tan3 x cot x cot 2 x cot3 x 6 4) 9 tan x cot x 48 tan 2 x cot 2 x 96
5) 3 tan x cot x tan 2 x cot 2 x 6
4
6) 3 tan x cot x 8 tan 2 x cot 2 x 21
Bài 6: Cho phương trình tan 2 x cot 2 x 2 m 2 tan x cot x m m 2 . Xác định m để
phương trình có nghiệm.
Dạng 4. Phương trình đẳng cấp với sin, cos
Bài 1. Giải phương trình
1) 6sin x 2cos 3 x 5s in2x cos x
2) 4cos3 x sin x cos x 0
3) 4cos x sin 2 x cos x sin x
4) 3sin x s in3x 2 cos x
5) 4 cos x cos 2x cos x 3 sin x
6) sin 3 x cos 3 x sin x cos x
7) cos3 x 4sin 3 x cos x sin 2 x sin x 0
8) 4sin 3 x 3cos 3 x 3s in x cos x sin 2 x 0
Bài 2. Giải phương trình
1) sin 3 (x / 4) 2 sin x
3) 2(sin x 3 cos x)
3
1
cos x sin x
2) 8sin x
3
1
cos x sin x
4) (t an3x 2) cos x sin x
Bài 3. Giải các phương trình lượng giác sau
1)
3 sin x cos x 2 0
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
2) 3sin x 1 4 sin 3 x 3 cos 3x
ÑT: (0710)3751.929
Trang 14
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC
ThS. Leâ Hoàng Lónh
3) sin 4 x cos 4 x 1
4
4) 2 cos4 x sin 4 x 3 sin 4x 2
5) 2sin 2x 2 sin 4x 0
6) 3sin 2x 2 cos 2x 3
7) 3cos x 2 3 sin x
9
2
8) 4 cos 3x 3sin 3x 5 0
9) sin x cos x sin 2 x cos 2x
10) tan x 3cot x 4 sin x 3 cos x
11) 2sin 3x 3 cos 7x sin 7x 0
12) cos 5x sin 3x 3 cos 3x sin 5x
13) 2sin x cos x 1 cos x sin 2 x
14) 1 cos x sin 3x cos 3x sin 2x sin x
15) 3sin x 1 4 sin 3 x 3 cos 3x
16)
Bài 4. Cho phương trình
3 sin x cos x 2cos x 2
3
3m sin x 2m 1 cos x 3m 1
1) Giải phương trình khi m = 1.
2) Xác định m để phương trình có nghiệm.
Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
1) y
cos x sin x 1
sin x 2 cos x 4
1 3sin x 2 cos x
3) y
2 sin x cos x
2) y
cos 3x sin 3x 1
cos 3x 2
sin x cos x cos 2 x
4) y
sin x cos x 1
Dạng 5. Phương trình chứa căn thức
Bài 1. Giải phương trình
1) 1 s in2x 2 cos 2x 0
2)
3 sin x cos x 2 2 cos 2x
sin 2 x 2sin x 2 2 sin x 1
3)
3 s in2x 2 cos 2 x 2 2 cos 2x
4)
5)
sin x cos x 1
6) sin 2 x 2 sin x 2
7) 1 sin x 1 sin x 2 cos x
9)
1 cos x 1 cos x
4sin x
cos x
8) 1 sin x 1 sin x 1 cos x
10)
1 s in2x 1 s in2x
4 cos x
sin x
11) sin x(1 cot x) cos x(1 tan x) 2 sin x cos x
Bài 2. Giải phương trình
1) sin x cos x 2s in2x 1
2) cos 2 x tan x 1 cos 2x
3) cos3 x 1 2 3 2 cos x 1
4) 8 cos3 x 1 3 3 6 cos x 1
5) sin x 2 sin 2 x sin x 2 sin 2 x 3
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: (0710)3751.929
Trang 15
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC
ThS. Leâ Hoàng Lónh
Dạng 6. Phương trình chứa trị tuyệt đối
Bài 1. Giải phương trình
1) cos x s in3x 0
2) 2 cos x sin x 1
3) 3cos x 2 sin x 2
4) cos 3x 1 3 s in3x
5) s in3x 1 3 cos 3x
6) 1 2 sin x cos x 0
7) 1 s in2x cos x sin x
8) 2 2 sin x cos x sin x cos x 0
Bài 2. Giải phương trình
1) 3cos 2 x 2 sin x 2 0
2) sin x cos x 4 s in2x 1
3) sin x cos x sin x cos x 1
4) sin x cos x sin x cos x 2
5) cos 4 x sin 4 x cos x sin x
Dạng 7. Phương trình đưa về dạng tích
Bài 1. Giải phương trình
1) cos3 x sin 3 x sin x cos x
2) cos3 x sin 3 x cos 2x
3) cos x 3 sin x cos 3x 0
4)
3 s in2x cos 5x cos 9x
5) cos x cos 2x s in3x 0
6)
3 cos x sin x s in3x
7) sin x sin2x sin3x cos x cos2x cos3x 8) 1 sin x cos x sin2x cos 2x 0
9) 5sin x 6 s in2x 5sin3x s in4x 0
Bài 2. Giải phương trình
1) sin 2 x sin 2 2x sin 2 3x 1/ 2
2) sin 2 3x sin 2 2x sin 2 x 0
3) sin 2 2x cos 2 8x cos10x / 2
4) sin 3 x cos 3 x 2(sin 5 x cos 5 x)
5) sin 6 x cos 6 x 2(sin 8 x cos 8 x)
6) t an2x cot x 8cos2 x
7) cos x cos 4x cos 2x cos 3x 0
8) 4s in2x 3cos 2x 3(4sin x 1)
Bài 3. Giải phương trình
1) 1 sin x cos 2x sin x cos 2x
2) 3sin x 2 cos 2x 2 3 tan x
3) 2(tan x sin x) 3(cot x cos x) 5 0
4) 3(cot x cos x) 5(tan x sin x) 2
5) 9 sin x 6 cos x 3s in2x cos 2x 8
6) cos2 x cos x sin 3 x 0
7) sin 3 x cos 3 x sin x cos x
8) 2s in2x cos 2x 7 sin x 2 cos x 4
Bài 4. Giải phương trình
1)
3
7 cot x 3 2 cot x 3
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
2) 4 10 8 cos 2 x 4 8sin 2 x 1 1
ÑT: (0710)3751.929
Trang 16
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC
ThS. Leâ Hoàng Lónh
3) 3 1 cos 2x 3 1 cos 2x 2
5)
3
4)
4
1
1
cos x 4 cos x 1
2
2
2 cot x cot x 1 1
Bài 5. Giải phương trình
1) cos2x cos8x cos4x 1
2) sinx 2cosx cos2x 2sinxcosx 0
3) sin2x cos2x 3sinx cosx 2
4) sin 3 x 2cosx 2 sin 2 x 0
5) 3sinx 2cosx 2 3tanx
6)
3
s in2x 2 cos 2 x 6 cos x 0
2
7) 2sin2x cos2x 7sinx 2cosx 4
8)
sin 3x sin 5x
3
5
9) 2cos2x 8cosx 7
1
cos x
5
10) cos8 x sin8 x 2 cos10 x sin10 x cos2x
4
11) 1 sinx cos3x cosx sin2x cos2x
12) 1 sinx cosx sin2x cos2x 0
13) sin 2 x tanx 1 3sinx cosx sinx 3
14) 2sin3x
15) cos3 x cos 2 x 2sinx 2 0
16) cos2x 2cos3 x sinx 0
17) tanx – sin2x cos2x 2(2cosx
1
1
2cos3x
sin x
cos x
1
) 0 18) sin2x 1 2cosx cos2x
cos x
Bài 6. Giải các phương trình lượng giác sau
1) sinx sin2x sin3x cosx cos 2x cos3x
2) sin 2 x sin 2 2x sin 2 3x sin 2 4x
3) sin 2 x sin 2 2x sin 2 3x sin 2 4x 2
4) cos 2 x cos 2 2x cos 2 3x
5) sin5x.cos6x sinx sin7x.cos4x
1
6) sin x sin x
3
3
2
1
7) sin x cos x
4
12
2
8) cosx. cos4x cos5x 0
9) sin6x.sin2x sin5x.sin3x
10) 2 sinx.sin3x 2 cos 2x
3
2
Bài 7. Giải các phương trình lượng giác sau
1) sin 2 x sin 2 3x cos 2 2x cos 2 4x
2) cos2 x cos2 2x cos 2 3x cos 2 4x 3 / 2
3) sin 2 x sin 2 3x 3 cos 2 2x 0
5x
9x
4) cos3x sin7x 2sin 2 ( ) 2cos 2
4 2
2
5) sin 2 4x sin 2 3x cos 2 2x cos 2 x
6) sin 2 4x cos 2 6x sin(10, 5 10x)
7) cos4 x 5sin 4 x 1
8) 4sin 3 x 1 3 3cos3x
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: (0710)3751.929
Trang 17
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC
ThS. Leâ Hoàng Lónh
Dạng 8 : Đặt ẩn phụ
Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau
1) tan 2x 2 tan x sin 2x 0
5
3
3) 3 sin x cos x
3 sin x cos x 3
2) cos x 2 cos 2 x cos x 2 cos 2 x 3
4) cos 2 x 2 2 cos x 2
Dạng 9 : Phương pháp đối lập
Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau
1) sin 3 x cos 4 x 1
2) sin 2010 x cos 2010 x 1
3) 3cos2 x 1 sin 2 7x
5) sin 3 x cos 3 x 2 sin 2 2x
4) sin 3x.cos 4x 1
6) cos 2x.cos 5x 1
Dạng 10 : Phương pháp tổng bình phương
Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau
1) cos 2x cos 6x 4 3sin x 4sin 3 x 1 0
2)
3) 2sin 2x cos 2x 2 2 sin x 4 0
4) cos2x 3sin2x 4sin2 x 2sinx 4 2 3cosx
3 sin 2x 2sin 2 x 4 cos x 6 0
Dạng 11. Phương trình có chứa tham số
Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau :
1)
a2
sin 2 x a 2 2
1 tan 2 x
cos 2x
2) s in2x 2 2a(sin x cos x) 1 4a 0
sin 2 2x
m 0
4
3) s in2x 2 2a(sin x cos x) 1 6a 2 0
4) sin 4 x cos4 x cos 2x
5) sin 4 x cos 4 x sin 2x m 0
6) s in2x 4(cos x sin x) m 0
7) sin x 2(m 1) cos x 2m 3 0
Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau :
2) m cot x
1) 1 sin x 1 sin x k cos x
cos 2 x sin 2 x
cos 6 x sin 6 x
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1. Giải các phương trình sau
1) (cos 2x cos 4x) 2 6 2 s in3x
2) 1 sin x cos x 0
1
3) ( 1 cos x cos x ) cos 2x s in4x
2
4) s in3x 2 cos 2x 2 0
5) 3(cot x cos x) 5(tan x sin x) 2
3
6) 1 s in 3 2x cos 3 2x s in4x
2
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: (0710)3751.929
Trang 18
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC
7)
ThS. Leâ Hoàng Lónh
s in2x
2 cos x 0
1 sin x
8) 2cos3 x s in3x
s in5x
1
5sin x
9) cos 7x 3 sin 7x 2
10)
11) cot x tan x sin x cos x
12) 9 sin x 6 cos x 3s in2x cos 2x 8
13)
sin x sin x sin 2 x cos x 1
1
1
14) 2 2 sin x
4 sin x cos x
Bài 2. giải các phương trình sau
1) (1 tan x)(1 s in2x) 1 tan x
2) 4 cos 2 x cos 3x 6 cos x 2(1 cos 2x)
3) sin 6 x cos6 x 1
4) cos 2x cos
5)
s in 4 2x cos 4 2x
cos 4 4x
tan x.tan x
4
4
6)
3x
2 0
4
2(sin x cos x) tan x cot x
7) sin3 x sin3 2x sin33x (sinx sin2x sin3x)3
8) s in 3 2x cos 6x sin 6x cos3 2x
9) (cos 4x cos 2x) 2 5 s in3x
10)
5 cos x cos 2x 2 sin x 0
11) cos2 x cos 2 2x 1
12)
1 cos 2x
2(cos x 1/ 2)
sin x
13)
3 sin x cos x
1
cos x
3
8
14) (1 cos x)(1 sin x) 2
15) 3 4 cos 2 x sin x(2sin x 1)
16)
sin 2 x 2
sin 2 x 4 cos 2
x
2
tan 2
x
2
Bài 3. Giải các phương trình sau
1) 3cos 4x 2cos2 3x 1
2) 13cos x cos2x cos3x 2sin xsin2x
3) tanx cotx 2 sin2x cos2x
4) cos3 x sin x 3sin 2 x cos x 0
5) sin 2 x s in 2 2x s in 2 3x
7)
3
2
6) cos4 x sin 2 x cos 2x
5 sin(3 / 2 x)
6 tan x
sin x
1 tan 2 x
9) tan x sin2x cos2x 2(2cosx
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
8) cos x cos 2x cos 4x cos 8x
1
)0
cosx
1
16
10) s in3x cos 2x 1 sin x cos 2x
ÑT: (0710)3751.929
Trang 19
TAØI LIEÄU TOAÙN 11 - ÑAÏI SOÁ + HÌNH HOÏC
ThS. Leâ Hoàng Lónh
Bài 4. Giải các phương trình sau
1) 1 sin x cos x tan x 0
3)
2) cos x cos 4x cos 2x cos 3x 0
s in 2 2x cos 4 2x 1
0
sin x cos x
5) 2 tan x cot 2x 2 s in2x
4)
1
s in2x
7) s in2x 2 sin(x / 4) 1
9) 1 cot 2x
1 cos 2x
s in 2 2x
11) sin 3 x cos x
cos x 2sin x cos x
3
2 cos 2 x sin x 1
6) sin 3 x cos 3 x 2(sin 5 x cos 5 x)
8) sin 2 x cos 2 2x cos 2 3x
10) (1 sin x)2 cos x
1
cos3 x sin x
4
13) s in 2 3x s in 2 2x sin 2 x 0
12) 2(cot 2x cot 3x) t an2x cot 3x
14) s in4x cos 4x 1 4(sin x cos x)
Bài 5. Giải các phương trình sau
1) cos2x 3sin2x 3sin x cos x 4 0
3) 2 cos x 2 tan
x
2
4)
5) 4sin 3 x 1 3sin x 3 cos 3x
7) cos 6 x sin 6 x
2) sin 6 x cos6 x cos 4x
13
cos 2 2x
8
1
s in3x s in2x sin x 0
3
6) 2sin x cot x 2 s in2x 1
8) 1 3 tan x 2 s in2x
sin 4 x cos 4 x 1
9)
(tan x cot x)
s in2x
2
10) 4cos 3 x 3 2 s in2x 8cos x
11) sin x cos x 2 sin x 2 cos x 2
12) 1 cos3 x sin 3 x s in2x
13) tan x 3cot x (4 sin x 3 cos x)
14) 4 3 sin x cos x cos 2x sin 8x
Bài 6. Giải các phương trình sau
1) sin 2 x s in 2 2x s in 2 3x
3)
5)
3
2
3 s in2x 2 c 2os x 2 2 2 cos 2x
3(sin x tan x)
2 cos x
tan x sin x
5
2) sin8 x cos8 x 2(sin10 x cos10 x) cos2x
4
4) 4cos 3 x 3 2 s in2x 8cos x
6) sin 4 x cos7 x 1
7) sin 3 x cos 3 x 2 sin 4 x
8) cos 3x 2 cos2 3x 2(1 s in 2 2x)
9) tan x t an2x s in3x cos 2x
10) 3sin x | cos x | 2 0
11) s in2x(cot x t an2x) 4 cos 2 x
12) 2 2(sin x cos x) cos x 3 cos 2x
13) sin 3 x cos 3 x s in2x sin x cos x
14) cos4 x cos 2x 2sin 6 x 0
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: (0710)3751.929
Trang 20
- Xem thêm -
.PDF 
87 
654 
140 
