Mô tả:
CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp:
1) Tính giới hạn của dãy số.
Vận dụng một số giới hạn đặc biệt:
Vận dụng nội dung định lý liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực
2) Vận dụng công thức tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội thỏa mãn
Công thức tính tổng
của cấp số nhân lùi vô hạn
B) Bài tập:
1) Tính giới hạn của dãy số
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
Bài 2: Tính các giới hạn:
Bài 3: Tính các giới hạn sau:
Bài 4: Cho dãy số
xác định bởi
. Biết
có giới hạn hữu hạn khi
. Hãy tìm giới hạn đó.
2) Vận dụng công thức tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Bài 1:Tính tổng
Bài 2: Tìm dạng khai triển của cấp số nhân lùi vô hạn
, biết tổng của nó bằng
Bài 3: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số hữu tỉ:
1
và
.
(chu kì
).
CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp:
1) Tính giới hạn của hàm số:
Vận dụng một số giới hạn đặc biệt:
Vận dụng một số qui tắc về giới hạn vô cực:
a) Qui tắc tìm giới hạn của tích
�>0
�<0
b) Qui tắc tìm giới hạn của thương
Dấu của
Tùy ý
�>0
�<0
0
* Chú ý: Một số kiến thức hỗ trợ:
a) Nếu
(
có hai nghiệm phân biệt
thì
b) Trong quá trình giải đôi lúc chúng ta gặp phải một số dạng vô định:
. Chúng ta
phải khử dạng vô định bằng cách nhân và chia cho lượng liên hợp hoặc phân tích thành nhân tử đa
thức…
B) Bài tập:
1) Tính các giới hạn sau:
2) Tính các giới hạn sau:
2
3) Tính các giới hạn
4) Tính các giới hạn một bên và giới hạn (nếu có) của:
Định
5) Tính các giới hạn sau:
để
có giới hạn tại 1
6) Tính các giới hạn sau:
3
CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ LIÊN TỤC
A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp:
1) Xét tính liên tục của hàm số
tại một điểm
sau đây:
B1: Tính
: Chúng ta thường thực hiện thuật toán
Nếu là giới hạn hữu hạn tồn tại thì thực hiện B2. Ngược lại kết luận hàm số không liên tục tại
B2: Tính
B3: Kiểm tra
. Nếu
tồn tại thì thực hiện B3. Ngược lại kết luận hàm số không liên tục tại
Nếu
đúng kết luận hàm số liên tục tại . Ngược lại kết luận hàm số không liên tục tại
2) Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định:
- Chia từng khoảng hợp lý để xét tính liên tục.
- Kiểm tra tính liên tục tại những điểm đầu mối.
- Tổng hợp kết quả và kết luận.
3) Nội dung định lý 3 và mệnh đề tương đương:
Định lý 3: Nếu hàm số
liên tục trên đoạn
và
thì tồn tại ít nhất
một điểm
sao cho
Mệnh đề tương đương: Cho hàm số
đó phương trình
liên tục trên đoạn
có ít nhất một nghiệm trong khoảng
và
. Khi
.
B) Bài tập:
1) Hàm số liên tục:
Bài 1: Cho các hàm số
và
. Với mỗi hàm số, hãy xác định các khoảng
trên đó hàm số liên tục.
Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm
a)
b)
c)
4
đã chỉ ra:
d)
e)
Bài 3: Phải chọn
bằng bao nhiêu để các hàm số sau đây liên tục tại điểm
chỉ ra:
a)
b)
c)
Bài 4: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của nó:
a)
b)
2) Sử dụng định lý 3
Bài 1: Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm:
.
Bài 2: Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số
Bài 3: Sử dụng định lý 3 để chứng minh phương trình có nghiệm:
a) Chứng minh rằng phương trình:
có ba nghiệm trên đoạn
.
b) Chứng minh rằng phương trình:
có ba nghiệm phân biệt.
c) Chứng minh rằng các phương trình sau có ít nhất một nghiệm:
i)
ii)
d) Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi
i)
ii)
iii)
5
CHỦ ĐỀ: ĐẠO HÀM
A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp:
* Nhận dạng và sử dụng đúng các công thức để tính đạo hàm của hàm số:
1
3
2
4
5
6
7
8
9
11
10
12
13
14
15
16
17
18
* Phương trình tiếp tuyến :
Tìm phương trình tiếp tuyến với đồ thị
tại tiếp điểm
. Trong đó hệ số góc của tiếp tuyến là
Tìm phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc . Tìm tiếp điểm
là:
.
bằng phương trình
rồi dùng công thức tiếp tuyến tại tiếp điểm
* Định nghĩa đạo hàm bậc hai:
Giả sử hàm số
có đạo hàm
. Nếu
cũng có đạo hàm thì ta gọi đạo hàm của nó là đạo hàm
cấp hai của
và kí hiệu là
B) Bài tập:
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
b)
c)
d)
6
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
a) Tại điểm có hoành độ
.
b) Song song với đường thẳng:
.
c) Vuông góc với đường thẳng:
Bài 5: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Bài 6: Tìm đạo hàm của hàm số tại điểm đã chỉ ra:
a)
b)
c)
7
HÌNH HỌC 11
TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS&THPT NGUYỄN TRI PHƯƠNG
LƯU HÀNH NỘI BỘ
CHỦ ĐỀ: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp:
1) Chứng minh đẳng thức vectơ:
a) Sử dụng qui tắc ba điểm, qui tắc hình bình hành, qui tắc hình hộp để biến đổi vế này thành vế kia
và ngược lại.
8
b) Sử dụng các tính chất của phép toán về vectơ và các tính chất hình học của hình đã cho.
2) Chứng minh ba vectơ
đồng phẳng
a) Dựa vào định nghĩa: Chứng tỏ các vectơ
có giá song song với một mặt phẳng.
b) Ba vectơ
đồng phẳng
có cặp số
hai vectơ không cùng phương.
B) Bài tập:
1) Chứng minh đẳng thức vectơ:
Bài 1: Cho hình hộp
duy nhất sao cho
. Chứng minh rằng
Bài 2: Cho hình chóp
trong đó
và
là
.
có đáy là hình chữ nhật
. Chứng minh rằng:
.
Bài 3: Cho hình lập phương
và
cạnh . Gọi
và
theo thứ tự là tâm của hai hình vuông
.
a) Hãy biểu diễn các vectơ
phương đã cho.
theo các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lập
b) Chứng minh
.
Bài 4: Trong không gian cho điểm
và bốn điểm
rằng điều kiện cần và đủ để bốn điểm
Bài 5: Cho hình hộp
phân biệt và không thẳng hàng. Chứng minh
tạo thành một hình bình hành là :
có
và
lần lượt là trung điểm các cạnh
.
và
. Gọi
lần lượt là tâm đối xứng của các hình bình hành
a) Chứng minh rằng
.
b) Chứng minh hai tam giác
và
2) Chứng minh ba vectơ đồng phẳng:
Bài 1: Cho tứ diện
cho
. Trên cạnh
có trọng tâm trùng nhau.
lấy điểm
sao cho
. Chứng minh rằng ba vectơ
Bài 2: Cho hình hộp
lấy điểm
. Gọi là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành
. Gọi
ta lần lượt lấy các điểm
và
. Chứng minh rằng ba vectơ
lần lượt là trung điểm của các cạnh
sao cho:
sao
và
và
là
đồng phẳng.
. Trên các cạnh
và
. Chứng minh rằng ba vectơ
đồng phẳng.
Bài 4: Trong không gian cho hai hình bình hành.
minh rằng các vectơ
và trên cạnh
đồng phẳng.
giao điểm hai đường chéo của hình bình hành
Bài 3: Cho tứ diện
.
đồng phẳng.
9
và
chỉ có chung nhau một điểm . Chứng
CHỦ ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG
GIAN VÀ ỨNG DỤNG
A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp:
1) Ứng dụng của tích vô hướng:
a) Muốn tính độ dài của đoạn thẳng
công thức:
hoặc tính khoảng cách giữa hai điểm
và
ta dựa vào
.
b) Tính góc giữa hai vectơ
và
ta dựa vào công thức:
.
c) Chứng minh hai đường thẳng
và
vuông góc với nhau ta cần chứng minh
2) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau:
- Cần khai thác các tính chất về quan hệ vuông góc đã biết trong hình học phẳng.
- Sử dụng trực tiếp định nghĩa góc của hai đường thẳng trong không gian.
- Muốn chứng minh hai đường thẳng
và
vuông góc với nhau ta có thể chứng minh
.
.
3) Dùng tích vô hướng để tính góc của hai đường thẳng trong không gian:
Muốn tính góc
ta có thể sử dụng công thức :
. Đặc biệt nếu
ta có
B) Bài tập:
1) Ứng dụng của tích vô hướng:
Bài 1: Cho hình lập phương
, và từ đó suy ra góc
.
cạnh . Gọi
là tâm của hình vuông
điểm sao cho:
điểm
và
là một
. Hãy tính khoảng cách giữa hai
theo .
Bài 2: Trong không gian cho hai vectơ
rằng
và
và
tạo với nhau một góc
. Hãy tìm
và
biết
.
Bài 3: Cho tứ diện
có hai mặt
a) Chứng minh rằng
b) Gọi
và
và
và
là hai tam giác đều.
vuông góc với nhau.
lần lượt là trung điểm của các cạnh
. Chứng minh rằng tứ giác
là hình chữ nhật.
Bài 4: Cho tứ diện
. Gọi
là trọng tâm của tam giác
. Chứng minh rằng
.
2) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau:
Bài 1: Cho hai vectơ
và
đều khác vectơ . Chứng minh rằng
đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi
Bài 2: Cho tứ diện đều
đường thẳng
cạnh . Gọi
vuông góc với đường thẳng
và
là hai vectơ chỉ phương của hai
.
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
.
10
. Chứng minh
Bài 3: Cho hình lập phương
có cạnh bằng . Trên cách cạnh
các điểm và sao cho
vuông góc với nhau.
Bài 4: Cho tứ giác
. Gọi
với
ta lần lượt lấy
. Chứng minh rằng hai đường thẳng
lần lượt là trung điểm của các cạnh
. Chứng minh rằng
Bài 5: Cho tứ diện
và
và
và có
.
. Trong đó
. Gọi
và
lần lượt là trung điểm của
và
. Chứng minh rằng
và
vuông góc với nhau.
3) Dùng tích vô hướng tính góc của hai đường thẳng trong không gian:
Bài 1: Cho hình lập phương
.
a) Tính góc giữa hai đường thẳng
b) Chứng minh
cạnh . Tính góc giữa hai đường thẳng
Bài 3: Cho hình chóp tam giác
và
và
và
có
.
và
. Tính góc giữa
.
Bài 4: Cho hình chóp
thẳng
.
.
Bài 2: Cho tứ diện đều
hai vectơ
và
có
và
. Tính góc giữa hai đường
.
Bài 5: Cho hình hộp
hộp thoi). Chứng minh
có tất cả các cạnh đều bằng nhau (hình hộp như vậy được gọi là hình
.
Bài 6: Cho hình hộp thoi
Chứng minh tứ giác
có tất cả các cạnh bằng
và
.
là hình vuông.
CHỦ ĐỀ: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp:
1) Chứng minh đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng
Cơ sở của phương pháp này là phải chứng minh đường thẳng
vuông góc với hai đường thẳng
đồng quy trong mặt
d
phẳng
.
Cách viết:
a
2) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng bằng trục đường tròn:
Cơ sở của phương pháp là vận dụng định nghĩa trục đường
tròn: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường
tròn tại tâm của nó bằng hai bước cơ bản sau đây:
B1: Tìm một điểm ở đỉnh cách đều các đỉnh đa giác
như sau:
; Tìm điểm
cách đều các đỉnh đa giác
B2: Nối hai điểm
đó thành trục của đường
tròn. Nó là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
11
ở
a'
.
chứa được đường tròn
B) Bài tập:
1) Chứng minh đường thẳng
.
vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng
Bài 1: Cho hình chóp
có đáy
là tứ giác lồi. Biết hai tam giác
và tam giác
có đáy
là hình bình hành tâm
và
Bài 3: Cho hình chóp
có đáy
là hình thoi. Giả sử
Bài 4: Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật. Gọi
tại . Chứng minh rằng
và
. Chứng
.
. Chứng minh rằng
của các tam giác
có đáy
và tam giác
Bài 6: Cho tứ diện
có
Chứng minh
và
là trung điểm
là hình chữ nhật và
. Chứng minh
.
và giả sử
. Gọi
là đường cao
.
là trực tâm các tam giác
và
. Giả sử rằng
.
đồng qui.
Bài 7: Cho tứ diện
có
Chứng minh:
a)
đồng qui.
b)
. Chứng minh
.
Bài 5: Cho hình chóp
. Gọi
và
lần lượt là trực tâm các tam giác
và
.
.
c)
.
2) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng bằng trục đường tròn.
Bài 1: Cho hình vuông
cạnh . Vẽ cùng về một phía
các đoạn
sao cho
. Chứng minh
Bài 2: Cho hình chóp
trung điểm
vuông góc với
.
có
và
. Gọi là
. Chứng minh rằng:
a) Tam giác
vuông.
b)
Bài 3: Cho hình chóp
rằng
. Với
Bài 4: Cho hình chóp
rằng
vuông
.
Bài 2: Cho hình chóp
minh
.
đáy
là hình thoi có
là trọng tâm tam giác
có
và
. Chứng minh
.
và
. Gọi là trung điểm
. Chứng minh
.
CHỦ ĐỀ: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI ĐƯỜNG THẲNG
A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp:
1) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau bằng cách chứng minh đường thẳng này vuông
góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia.
12
Cơ sở của phương pháp là chứng minh đường thẳng
góc với đường thẳng
là sử dụng định nghĩa:
(với
bản:
tùy ý trong
) qua hai bước cơ
d
B1: Quan sát và quản lý giả thiết tìm mp
đường thẳng
vuông
chứa
a
cần chứng minh vuông góc với .
B2: Chứng minh
2) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc nhau bằng định lý ba đường vuông góc.
Cơ sở của phương pháp là vận dụng định lý ba đường vuông
góc: Cho đường thẳng nằm trong mặt phẳng
và là
đường thẳng không thuộc
với
. Gọi
đồng thời không vuông góc
là hình chiếu vuông góc của
trên
. Khi
đó vuông góc với khi và chỉ khi vuông góc với Do
đó phương pháp gồm 2 bước thực hành:
B1: Xác định đường vuông góc với mặt phẳng
từ
đó tìm đường xiên d và hình chiếu d’
B2: Đường thẳng a là đường thẳng thuộc mặt phẳng
d
d'
a
Nếu
Nếu
B) Bài tập:
1) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau bằng cách chứng minh đường thẳng này vuông
góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia.
Bài 1: Cho tứ diện
có
và
. Chứng minh
.
Bài 2: Cho hình chóp
có đáy
là hình thoi và
. Chứng minh
Bài 3: Chứng minh rằng hai cạnh đối bất kì của tứ diện đều thì vuông góc với nhau.
Bài 4: Cho tứ diện
có
và
. Gọi
là đường cao tam giác
minh tam giác
.
. Chứng
vuông.
Bài 5: Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
và
. Gọi
là đường cao của tam giác
a) Chứng minh tam giác
vuông.
b) Tính diện tích tam giác
Bài 6: Cho hình chóp
là trực tâm của tam giác
a) Chứng minh
.
có đáy
phẳng
a)
b)
tại
và
. Gọi
.
.
b) Tính diện tích tam giác
Bài 7: Cho tứ diện
là hình vuông cạnh
.
có ba cạnh
đôi một vuông góc với nhau. Kẻ
. Chứng minh:
và
là trực tâm của tam giác
.
.
13
vuông góc với mặt
c)
.
Bài 8: Cho hình chóp
có
là nửa lục giác đều và
. Một mặt phẳng qua
vuông góc với
tại cắt
tại
. Chứng minh tứ giác
nội tiếp được
2) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng định lý ba đường vuông góc.
Bài 1: Cho hình chóp
có
và
là hình chữ nhật. Chứng minh bốn mặt bên
đều là những tam giác vuông.
Bài 2: Tứ diện
rằng
có
và
là trực tâm tam giác
Bài 3: Cho
cắt
. Gọi
và
là hình chiếu của
xuống
.
là hai đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chữ nhật
tại
và . Chứng minh rằng
Bài 4: Trong hình chóp
Bài 5: Cho tứ diện
có
và
. Một mặt phẳng
qua
là hình chữ nhật.
đáy là hình chữ nhật
thứ tự là đường cao các tam giác
. Chứng minh
. Gọi
. Chứng minh
là đường cao hình chóp và
thẳng hàng.
là tam giác đều cạnh , các mặt
và
hợp với
các góc bằng nhau và bằng .
a) Chứng minh rằng : Hình chiếu
của
lên
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
.
b) Tính tổng diện tích 4 mặt bên của tứ diện
CHỦ ĐỀ: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp:
1) Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
Cơ sở của phương pháp này là sử dụng điều kiện cần và đủ:
Chứng minh mặt phẳng thứ nhất chứa một đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng thứ hai qua hai bước cơ bản:
B1: Quản lý các giả thiết để tìm ra đường thẳng (có
tính ưu việt cho bài toán) và
d
.
a
M
B2: Chứng minh
2) Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng bằng
.
Cơ sở của phương pháp này là sử dụng định nghĩa chứng
minh hai mặt phẳng vuông góc như sau: Chứng minh góc
của hai mặt phẳng đó bằng
.
b
= 90
d
B) Bài tập:
Bài 1: Cho hình chóp
có
Bài 2: Cho hình chóp
a)
.
b)
.
Bài 3: Cho hình chóp
lên
có
và
và tam giác
và
có đáy là hình chữ nhật
. Chứng minh rằng:
14
a
0
M
vuông tại . Chứng minh
.
là hình vuông. Chứng minh rằng:
và
. Gọi
và
là hình chiếu của
a)
.
b)
.
Bài 4: Cho tứ diện
và
có
và tam giác
. Chứng minh rằng
và
vuông cân tại . Gọi và là trung điểm
.
CHỦ ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG
GÓC.
A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp:
Dùng tất cả các kiến thức đã học về hình học không gian đã học để giải quyết các dạng toán.
B) Bài tập:
Bài 1: Cho hình hộp
có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minh
và
. Khi nào mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng
Bài 2: Cho hình lập phương
cạnh .
a) Chứng minh rằng đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng
b) Tính đường chéo
Bài 3: Cho tứ diện
vuông góc với mặt phẳng
và
b) Trong mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng
vuông góc với
tại
của đoạn
và
.
. Chứng minh
.
vẽ
vuông góc với
cắt
vuông tại
tại
và
. Tính độ dài
.
, có
,
.
a) Chứng minh mặt phẳng
mặt phẳng
, có cạnh
.
có đáy là hình thang vuông
có cạnh
và
.
vẽ
c) Tính độ dài đoạn
b) Gọi
.
tạo thành tam giác vuông cân đỉnh
a) Chứng minh mặt phẳng
Bài 4: Hình chóp
và mặt phẳng
của hình lập phương đã cho.
có ba đỉnh
d) Từ trung điểm
?
vuông góc với mặt phẳng
, mặt phẳng
vuông góc với
. Hãy xác định
và xác định
.
là mặt phẳng chứa
định thiết diện của hình chóp
và vuông góc với mặt phẳng
với
.
CHỦ ĐỀ: KHOẢNG CÁCH
A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp:
1) Tìm khoảng cách từ một điểm
đến đường thẳng
Dạng 1: Trong mặt phẳng xác định bởi điểm
có
cho trước.
và đường thẳng
ta vẽ
tại
. Ta
. Ta có thể sử dụng các kết quả của hình học phẳng để tính độ dài đoạn
.
Dạng 2: Trong không gian dựng mặt phẳng
, ta có
. Sau đó tính độ dài
2) Tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
15
đi qua
.
và
vuông góc với
cắt
tại
Cơ sở của phương pháp cần thực hiện 2 bước cơ bản sau:
B1: Xác định đoạn vuông góc chung
với
bằng cách dựng một mặt phẳng
qua
và
M
theo giao tuyến . Dựng
B2:
được tính bằng các định lý
hình học sơ cấp.
Ghi chú: Sau này có thể tìm
tích (hay diện tích) vật thể.
B2:
H
bằng công thức hay thể
3) Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
a) Trường hợp 1:
Cơ sở của phương pháp để tìm đoạn vuông góc chung của
hai đường thẳng chéo nhau
là sử dụng định nghĩa đường
vuông góc chung qua hai bước cơ bản sau:
B1: Chọn
; và chéo nhau. Sau đó
chứng minh:
d
a
A
đoạn vuông góc chung
và
B
là đoạn vuông góc chung. Tính
b
.
b) Trường hợp 2:
Cơ sở của phương pháp là sử dụng định lý: Độ dài đường
vuông góc chung là khoảng cách từ một điểm trên đường
thẳng thứ I đến một mặt phẳng chứa đường thẳng thứ II và
song song với đường thẳng thứ I qua ba bước cơ bản sau:
B1: Trong mặt phẳng
đã chứa dựng
và
.
B2: Do mặt phẳng
xác định mặt phẳng
nên dựng trong mặt phẳng
đoạn
,
Đoạn vuông
góc chung
và
a) Chứng minh đường thẳng
và
vuông góc với mặt phẳng
có tam giác
B'
a'
vuông góc với đáy à
.
.
.
vuông cân (
),
và
. Tính
Bài 3: Cho tam giác
a) Chứng minh
cạnh . Cạnh
là trung điểm của đoạn
b) Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
và ở cùng về một phía. Lấy
B
là các độ dài đường vuông góc
. Gọi là trung điểm của cạnh
là điểm thỏa
B) Bài tập:
1) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Bài 1: Hình chóp
có đáy
là hình vuông tâm
Bài 2: Cho hình chóp
a
b
.
B3: Kết luận đường vuông góc chung là
Ghi chú:
chung.
A'
A
.
và
trên
và
.
16
sao cho
và
cùng vuông góc với mặt phẳng
.
. Gọi
b) Tính
2) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Bài 1: Cho hình chóp
đáy là tam giác vuông tại
Tính
và
. Biết thêm
.
.
Bài 2: Cho hình chóp
có
gọi là trung điểm của
Bài 3: Cho tứ diện
và
. Tính
. Lấy điểm
còn
nằm trên trung tuyến
b) Xác định
.
Bài 4: Cho hình chóp
có
a) Tính
và
.
có
a) Chứng minh
sao cho
. Dựng
của tam giác
và tam giác
.
.
đều cạnh .
.
b) Giả sử
. Tính
Bài 5: Cho hình chóp
khi biết
.
có
và
. Tính
.
3) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Bài 1: Cho tứ diện đều
cạnh . Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của
Bài 2: Cho hình chóp
chung của
và
có
và đáy
và
là hình chữ nhật. Dựng đoạn vuông góc
.
Bài 3: Cho hình chóp
đáy
là hình thang vuông tại
và
vuông góc chung của các cặp đường thẳng:
a)
và
.
b)
và
.
c)
và
.
. Khi
và .
. Hãy dựng và tính độ dài đường
Bài 4: Cho hình lăng trụ
biết các mặt bên đều là những hình vuông cạnh
a) Hình lăng trụ ấy có đặc điểm gì?
b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của
và
.
17
- Xem thêm -