Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo dục - Đào tạo Trung học phổ thông Lớp 11 Tài liệu phụ đạo học sinh lớp 11 chủ đề giới hạn của dãy số...

Tài liệu Tài liệu phụ đạo học sinh lớp 11 chủ đề giới hạn của dãy số

.DOC
17
568
112

Mô tả:

CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp: 1) Tính giới hạn của dãy số.  Vận dụng một số giới hạn đặc biệt:  Vận dụng nội dung định lý liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực 2) Vận dụng công thức tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.  Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội thỏa mãn  Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn B) Bài tập: 1) Tính giới hạn của dãy số Bài 1: Tính các giới hạn sau: Bài 2: Tính các giới hạn: Bài 3: Tính các giới hạn sau: Bài 4: Cho dãy số xác định bởi . Biết có giới hạn hữu hạn khi . Hãy tìm giới hạn đó. 2) Vận dụng công thức tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Bài 1:Tính tổng Bài 2: Tìm dạng khai triển của cấp số nhân lùi vô hạn , biết tổng của nó bằng Bài 3: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số hữu tỉ: 1 và . (chu kì ). CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp: 1) Tính giới hạn của hàm số:  Vận dụng một số giới hạn đặc biệt:  Vận dụng một số qui tắc về giới hạn vô cực: a) Qui tắc tìm giới hạn của tích �>0 �<0 b) Qui tắc tìm giới hạn của thương Dấu của Tùy ý �>0 �<0 0 * Chú ý: Một số kiến thức hỗ trợ: a) Nếu ( có hai nghiệm phân biệt thì b) Trong quá trình giải đôi lúc chúng ta gặp phải một số dạng vô định: . Chúng ta phải khử dạng vô định bằng cách nhân và chia cho lượng liên hợp hoặc phân tích thành nhân tử đa thức… B) Bài tập: 1) Tính các giới hạn sau: 2) Tính các giới hạn sau: 2 3) Tính các giới hạn 4) Tính các giới hạn một bên và giới hạn (nếu có) của: Định 5) Tính các giới hạn sau: để có giới hạn tại 1 6) Tính các giới hạn sau: 3 CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ LIÊN TỤC A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp: 1) Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm sau đây:  B1: Tính : Chúng ta thường thực hiện thuật toán Nếu là giới hạn hữu hạn tồn tại thì thực hiện B2. Ngược lại kết luận hàm số không liên tục tại  B2: Tính  B3: Kiểm tra . Nếu tồn tại thì thực hiện B3. Ngược lại kết luận hàm số không liên tục tại Nếu đúng kết luận hàm số liên tục tại . Ngược lại kết luận hàm số không liên tục tại 2) Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định: - Chia từng khoảng hợp lý để xét tính liên tục. - Kiểm tra tính liên tục tại những điểm đầu mối. - Tổng hợp kết quả và kết luận. 3) Nội dung định lý 3 và mệnh đề tương đương:  Định lý 3: Nếu hàm số liên tục trên đoạn và thì tồn tại ít nhất một điểm  sao cho Mệnh đề tương đương: Cho hàm số đó phương trình liên tục trên đoạn có ít nhất một nghiệm trong khoảng và . Khi . B) Bài tập: 1) Hàm số liên tục: Bài 1: Cho các hàm số và . Với mỗi hàm số, hãy xác định các khoảng trên đó hàm số liên tục. Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm a) b) c) 4 đã chỉ ra: d) e) Bài 3: Phải chọn bằng bao nhiêu để các hàm số sau đây liên tục tại điểm chỉ ra: a) b) c) Bài 4: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của nó: a) b) 2) Sử dụng định lý 3 Bài 1: Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: . Bài 2: Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số Bài 3: Sử dụng định lý 3 để chứng minh phương trình có nghiệm: a) Chứng minh rằng phương trình: có ba nghiệm trên đoạn . b) Chứng minh rằng phương trình: có ba nghiệm phân biệt. c) Chứng minh rằng các phương trình sau có ít nhất một nghiệm: i) ii) d) Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi i) ii) iii) 5 CHỦ ĐỀ: ĐẠO HÀM A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp: * Nhận dạng và sử dụng đúng các công thức để tính đạo hàm của hàm số: 1 3 2 4 5 6 7 8 9 11 10 12 13 14 15 16 17 18 * Phương trình tiếp tuyến :  Tìm phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại tiếp điểm . Trong đó hệ số góc của tiếp tuyến là  Tìm phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc . Tìm tiếp điểm là: . bằng phương trình rồi dùng công thức tiếp tuyến tại tiếp điểm * Định nghĩa đạo hàm bậc hai: Giả sử hàm số có đạo hàm . Nếu cũng có đạo hàm thì ta gọi đạo hàm của nó là đạo hàm cấp hai của và kí hiệu là B) Bài tập: Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) b) c) d) e) f) g) h) Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) b) c) d) 6 Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) b) c) d) e) f) g) h) Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị a) Tại điểm có hoành độ . b) Song song với đường thẳng: . c) Vuông góc với đường thẳng: Bài 5: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: . a) b) c) d) e) f) Bài 6: Tìm đạo hàm của hàm số tại điểm đã chỉ ra: a) b) c) 7 HÌNH HỌC 11 TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS&THPT NGUYỄN TRI PHƯƠNG LƯU HÀNH NỘI BỘ CHỦ ĐỀ: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp: 1) Chứng minh đẳng thức vectơ: a) Sử dụng qui tắc ba điểm, qui tắc hình bình hành, qui tắc hình hộp để biến đổi vế này thành vế kia và ngược lại. 8 b) Sử dụng các tính chất của phép toán về vectơ và các tính chất hình học của hình đã cho. 2) Chứng minh ba vectơ đồng phẳng a) Dựa vào định nghĩa: Chứng tỏ các vectơ có giá song song với một mặt phẳng. b) Ba vectơ đồng phẳng có cặp số hai vectơ không cùng phương. B) Bài tập: 1) Chứng minh đẳng thức vectơ: Bài 1: Cho hình hộp duy nhất sao cho . Chứng minh rằng Bài 2: Cho hình chóp trong đó và là . có đáy là hình chữ nhật . Chứng minh rằng: . Bài 3: Cho hình lập phương và cạnh . Gọi và theo thứ tự là tâm của hai hình vuông . a) Hãy biểu diễn các vectơ phương đã cho. theo các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lập b) Chứng minh . Bài 4: Trong không gian cho điểm và bốn điểm rằng điều kiện cần và đủ để bốn điểm Bài 5: Cho hình hộp phân biệt và không thẳng hàng. Chứng minh tạo thành một hình bình hành là : có và lần lượt là trung điểm các cạnh . và . Gọi lần lượt là tâm đối xứng của các hình bình hành a) Chứng minh rằng . b) Chứng minh hai tam giác và 2) Chứng minh ba vectơ đồng phẳng: Bài 1: Cho tứ diện cho . Trên cạnh có trọng tâm trùng nhau. lấy điểm sao cho . Chứng minh rằng ba vectơ Bài 2: Cho hình hộp lấy điểm . Gọi là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành . Gọi ta lần lượt lấy các điểm và . Chứng minh rằng ba vectơ lần lượt là trung điểm của các cạnh sao cho: sao và và là đồng phẳng. . Trên các cạnh và . Chứng minh rằng ba vectơ đồng phẳng. Bài 4: Trong không gian cho hai hình bình hành. minh rằng các vectơ và trên cạnh đồng phẳng. giao điểm hai đường chéo của hình bình hành Bài 3: Cho tứ diện . đồng phẳng. 9 và chỉ có chung nhau một điểm . Chứng CHỦ ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN VÀ ỨNG DỤNG A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp: 1) Ứng dụng của tích vô hướng: a) Muốn tính độ dài của đoạn thẳng công thức: hoặc tính khoảng cách giữa hai điểm và ta dựa vào . b) Tính góc giữa hai vectơ và ta dựa vào công thức: . c) Chứng minh hai đường thẳng và vuông góc với nhau ta cần chứng minh 2) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau: - Cần khai thác các tính chất về quan hệ vuông góc đã biết trong hình học phẳng. - Sử dụng trực tiếp định nghĩa góc của hai đường thẳng trong không gian. - Muốn chứng minh hai đường thẳng và vuông góc với nhau ta có thể chứng minh . . 3) Dùng tích vô hướng để tính góc của hai đường thẳng trong không gian: Muốn tính góc ta có thể sử dụng công thức : . Đặc biệt nếu ta có B) Bài tập: 1) Ứng dụng của tích vô hướng: Bài 1: Cho hình lập phương , và từ đó suy ra góc . cạnh . Gọi là tâm của hình vuông điểm sao cho: điểm và là một . Hãy tính khoảng cách giữa hai theo . Bài 2: Trong không gian cho hai vectơ rằng và và tạo với nhau một góc . Hãy tìm và biết . Bài 3: Cho tứ diện có hai mặt a) Chứng minh rằng b) Gọi và và và là hai tam giác đều. vuông góc với nhau. lần lượt là trung điểm của các cạnh . Chứng minh rằng tứ giác là hình chữ nhật. Bài 4: Cho tứ diện . Gọi là trọng tâm của tam giác . Chứng minh rằng . 2) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau: Bài 1: Cho hai vectơ và đều khác vectơ . Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi Bài 2: Cho tứ diện đều đường thẳng cạnh . Gọi vuông góc với đường thẳng và là hai vectơ chỉ phương của hai . là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . 10 . Chứng minh Bài 3: Cho hình lập phương có cạnh bằng . Trên cách cạnh các điểm và sao cho vuông góc với nhau. Bài 4: Cho tứ giác . Gọi với ta lần lượt lấy . Chứng minh rằng hai đường thẳng lần lượt là trung điểm của các cạnh . Chứng minh rằng Bài 5: Cho tứ diện và và và có . . Trong đó . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Chứng minh rằng và vuông góc với nhau. 3) Dùng tích vô hướng tính góc của hai đường thẳng trong không gian: Bài 1: Cho hình lập phương . a) Tính góc giữa hai đường thẳng b) Chứng minh cạnh . Tính góc giữa hai đường thẳng Bài 3: Cho hình chóp tam giác và và và có . và . Tính góc giữa . Bài 4: Cho hình chóp thẳng . . Bài 2: Cho tứ diện đều hai vectơ và có và . Tính góc giữa hai đường . Bài 5: Cho hình hộp hộp thoi). Chứng minh có tất cả các cạnh đều bằng nhau (hình hộp như vậy được gọi là hình . Bài 6: Cho hình hộp thoi Chứng minh tứ giác có tất cả các cạnh bằng và . là hình vuông. CHỦ ĐỀ: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp: 1) Chứng minh đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng Cơ sở của phương pháp này là phải chứng minh đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng đồng quy trong mặt d phẳng . Cách viết: a  2) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng bằng trục đường tròn: Cơ sở của phương pháp là vận dụng định nghĩa trục đường tròn: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tại tâm của nó bằng hai bước cơ bản sau đây:  B1: Tìm một điểm ở đỉnh cách đều các đỉnh đa giác như sau: ; Tìm điểm cách đều các đỉnh đa giác  B2: Nối hai điểm đó thành trục của đường tròn. Nó là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 11 ở a' . chứa được đường tròn B) Bài tập: 1) Chứng minh đường thẳng . vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng Bài 1: Cho hình chóp có đáy là tứ giác lồi. Biết hai tam giác và tam giác có đáy là hình bình hành tâm và Bài 3: Cho hình chóp có đáy là hình thoi. Giả sử Bài 4: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật. Gọi tại . Chứng minh rằng và . Chứng . . Chứng minh rằng của các tam giác có đáy và tam giác Bài 6: Cho tứ diện có Chứng minh và là trung điểm là hình chữ nhật và . Chứng minh . và giả sử . Gọi là đường cao . là trực tâm các tam giác và . Giả sử rằng . đồng qui. Bài 7: Cho tứ diện có Chứng minh: a) đồng qui. b) . Chứng minh . Bài 5: Cho hình chóp . Gọi và lần lượt là trực tâm các tam giác và . . c) . 2) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng bằng trục đường tròn. Bài 1: Cho hình vuông cạnh . Vẽ cùng về một phía các đoạn sao cho . Chứng minh Bài 2: Cho hình chóp trung điểm vuông góc với . có và . Gọi là . Chứng minh rằng: a) Tam giác vuông. b) Bài 3: Cho hình chóp rằng . Với Bài 4: Cho hình chóp rằng vuông . Bài 2: Cho hình chóp minh . đáy là hình thoi có là trọng tâm tam giác có và . Chứng minh . và . Gọi là trung điểm . Chứng minh . CHỦ ĐỀ: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI ĐƯỜNG THẲNG A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp: 1) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau bằng cách chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia. 12 Cơ sở của phương pháp là chứng minh đường thẳng góc với đường thẳng là sử dụng định nghĩa: (với bản:  tùy ý trong ) qua hai bước cơ d B1: Quan sát và quản lý giả thiết tìm mp đường thẳng  vuông chứa a  cần chứng minh vuông góc với . B2: Chứng minh 2) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc nhau bằng định lý ba đường vuông góc. Cơ sở của phương pháp là vận dụng định lý ba đường vuông góc: Cho đường thẳng nằm trong mặt phẳng và là đường thẳng không thuộc với . Gọi đồng thời không vuông góc là hình chiếu vuông góc của trên . Khi đó vuông góc với khi và chỉ khi vuông góc với Do đó phương pháp gồm 2 bước thực hành:  B1: Xác định đường vuông góc với mặt phẳng từ đó tìm đường xiên d và hình chiếu d’  B2: Đường thẳng a là đường thẳng thuộc mặt phẳng d d'  a  Nếu  Nếu B) Bài tập: 1) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau bằng cách chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia. Bài 1: Cho tứ diện có và . Chứng minh . Bài 2: Cho hình chóp có đáy là hình thoi và . Chứng minh Bài 3: Chứng minh rằng hai cạnh đối bất kì của tứ diện đều thì vuông góc với nhau. Bài 4: Cho tứ diện có và . Gọi là đường cao tam giác minh tam giác . . Chứng vuông. Bài 5: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng và . Gọi là đường cao của tam giác a) Chứng minh tam giác vuông. b) Tính diện tích tam giác Bài 6: Cho hình chóp là trực tâm của tam giác a) Chứng minh . có đáy phẳng a) b) tại và . Gọi . . b) Tính diện tích tam giác Bài 7: Cho tứ diện là hình vuông cạnh . có ba cạnh đôi một vuông góc với nhau. Kẻ . Chứng minh: và là trực tâm của tam giác . . 13 vuông góc với mặt c) . Bài 8: Cho hình chóp có là nửa lục giác đều và . Một mặt phẳng qua vuông góc với tại cắt tại . Chứng minh tứ giác nội tiếp được 2) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng định lý ba đường vuông góc. Bài 1: Cho hình chóp có và là hình chữ nhật. Chứng minh bốn mặt bên đều là những tam giác vuông. Bài 2: Tứ diện rằng có và là trực tâm tam giác Bài 3: Cho cắt . Gọi và là hình chiếu của xuống . là hai đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chữ nhật tại và . Chứng minh rằng Bài 4: Trong hình chóp Bài 5: Cho tứ diện có và . Một mặt phẳng qua là hình chữ nhật. đáy là hình chữ nhật thứ tự là đường cao các tam giác . Chứng minh . Gọi . Chứng minh là đường cao hình chóp và thẳng hàng. là tam giác đều cạnh , các mặt và hợp với các góc bằng nhau và bằng . a) Chứng minh rằng : Hình chiếu của lên là tâm đường tròn nội tiếp tam giác . b) Tính tổng diện tích 4 mặt bên của tứ diện CHỦ ĐỀ: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp: 1) Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Cơ sở của phương pháp này là sử dụng điều kiện cần và đủ: Chứng minh mặt phẳng thứ nhất chứa một đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng thứ hai qua hai bước cơ bản:  B1: Quản lý các giả thiết để tìm ra đường thẳng (có tính ưu việt cho bài toán) và d . a  M  B2: Chứng minh 2) Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng bằng . Cơ sở của phương pháp này là sử dụng định nghĩa chứng minh hai mặt phẳng vuông góc như sau: Chứng minh góc của hai mặt phẳng đó bằng .  b  = 90 d  B) Bài tập: Bài 1: Cho hình chóp có Bài 2: Cho hình chóp a) . b) . Bài 3: Cho hình chóp lên có và và tam giác và có đáy là hình chữ nhật . Chứng minh rằng: 14 a 0 M vuông tại . Chứng minh . là hình vuông. Chứng minh rằng: và . Gọi và là hình chiếu của a) . b) . Bài 4: Cho tứ diện và có và tam giác . Chứng minh rằng và vuông cân tại . Gọi và là trung điểm . CHỦ ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC. A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp: Dùng tất cả các kiến thức đã học về hình học không gian đã học để giải quyết các dạng toán. B) Bài tập: Bài 1: Cho hình hộp có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minh và . Khi nào mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng Bài 2: Cho hình lập phương cạnh . a) Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng b) Tính đường chéo Bài 3: Cho tứ diện vuông góc với mặt phẳng và b) Trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng vuông góc với tại của đoạn và . . Chứng minh . vẽ vuông góc với cắt vuông tại tại và . Tính độ dài . , có , . a) Chứng minh mặt phẳng mặt phẳng , có cạnh . có đáy là hình thang vuông có cạnh và . vẽ c) Tính độ dài đoạn b) Gọi . tạo thành tam giác vuông cân đỉnh a) Chứng minh mặt phẳng Bài 4: Hình chóp và mặt phẳng của hình lập phương đã cho. có ba đỉnh d) Từ trung điểm ? vuông góc với mặt phẳng , mặt phẳng vuông góc với . Hãy xác định và xác định . là mặt phẳng chứa định thiết diện của hình chóp và vuông góc với mặt phẳng với . CHỦ ĐỀ: KHOẢNG CÁCH A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp: 1) Tìm khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng  Dạng 1: Trong mặt phẳng xác định bởi điểm có cho trước. và đường thẳng ta vẽ tại . Ta . Ta có thể sử dụng các kết quả của hình học phẳng để tính độ dài đoạn .  Dạng 2: Trong không gian dựng mặt phẳng , ta có . Sau đó tính độ dài 2) Tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 15 đi qua . và vuông góc với cắt tại Cơ sở của phương pháp cần thực hiện 2 bước cơ bản sau:  B1: Xác định đoạn vuông góc chung với bằng cách dựng một mặt phẳng qua và M theo giao tuyến . Dựng   B2: được tính bằng các định lý hình học sơ cấp. Ghi chú: Sau này có thể tìm tích (hay diện tích) vật thể.  B2: H bằng công thức hay thể 3) Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. a) Trường hợp 1: Cơ sở của phương pháp để tìm đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là sử dụng định nghĩa đường vuông góc chung qua hai bước cơ bản sau:  B1: Chọn ; và chéo nhau. Sau đó chứng minh: d  a A đoạn vuông góc chung và B là đoạn vuông góc chung. Tính b . b) Trường hợp 2: Cơ sở của phương pháp là sử dụng định lý: Độ dài đường vuông góc chung là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng thứ I đến một mặt phẳng chứa đường thẳng thứ II và song song với đường thẳng thứ I qua ba bước cơ bản sau:  B1: Trong mặt phẳng đã chứa dựng và .  B2: Do mặt phẳng xác định mặt phẳng nên dựng trong mặt phẳng  đoạn , Đoạn vuông góc chung và a) Chứng minh đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng có tam giác B' a' vuông góc với đáy à . . . vuông cân ( ), và . Tính Bài 3: Cho tam giác a) Chứng minh cạnh . Cạnh là trung điểm của đoạn b) Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và ở cùng về một phía. Lấy B là các độ dài đường vuông góc . Gọi là trung điểm của cạnh là điểm thỏa   B) Bài tập: 1) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Bài 1: Hình chóp có đáy là hình vuông tâm Bài 2: Cho hình chóp a b . B3: Kết luận đường vuông góc chung là Ghi chú: chung. A' A . và trên và . 16 sao cho và cùng vuông góc với mặt phẳng . . Gọi b) Tính 2) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Bài 1: Cho hình chóp đáy là tam giác vuông tại Tính và . Biết thêm . . Bài 2: Cho hình chóp có gọi là trung điểm của Bài 3: Cho tứ diện và . Tính . Lấy điểm còn nằm trên trung tuyến b) Xác định . Bài 4: Cho hình chóp có a) Tính và . có a) Chứng minh sao cho . Dựng của tam giác và tam giác . . đều cạnh . . b) Giả sử . Tính Bài 5: Cho hình chóp khi biết . có và . Tính . 3) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Bài 1: Cho tứ diện đều cạnh . Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của Bài 2: Cho hình chóp chung của và có và đáy và là hình chữ nhật. Dựng đoạn vuông góc . Bài 3: Cho hình chóp đáy là hình thang vuông tại và vuông góc chung của các cặp đường thẳng: a) và . b) và . c) và . . Khi và . . Hãy dựng và tính độ dài đường Bài 4: Cho hình lăng trụ biết các mặt bên đều là những hình vuông cạnh a) Hình lăng trụ ấy có đặc điểm gì? b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của và . 17
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan