Tài liệu Tài liệu ôn thi môn toán

  • Số trang: 76 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 73 |
  • Lượt tải: 0
dangvantuan

Đã đăng 62069 tài liệu

Mô tả:

Tài liệu ôn thi môn Toán MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC I. BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT SỐ CUNG (GÓC) ĐẶC BIỆT: 5 2   3   0 Cung/góc 3 6 6 3 4 2 4 GTLG  00   300   450   600   900  1200  1350  1500  sin 0 cos 1 tan 0 cot 1 2 3 2 3 3 3 2 2 2 2 3 2 1 2 1 3 1 3 3 II. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC: 1. Công thức cộng: 1 0 0 3 2 1  2 2 2 2  2  3 1 3 3 1  1 2 3 2 3  3   180  0 0 1 0  3 2. Công thức nhân đôi: cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b sin 2a  2sin a cos a cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b cos 2a  cos 2 a  sin 2 a  2 cos 2 a  1  1  2sin 2 a sin(a  b)  sin a cos b  cos a sin b sin(a  b)  sin a cos b  cos a sin b 2 tan a tan 2a  tan a  tan b  1  tan 2 a tan( a  b)  , ( a, b   k ; k  ) 3. Công thức hạ bậc: 1  tan a tan b 2 1  cos 2a 2 tan a cos 2 a  tan 2 a  tan a  tan b  1  tan 2 a 2 tan( a  b)  , ( a, b   k ; k  ) 1  cos 2a 1  tan a tan b 2 sin 2 a  2 4. Công thức biến đổi tích thành tổng: 1 cos a cos b   cos( a  b)  cos( a  b)  2 1 sin a sin b   cos( a  b)  cos(a  b)  2 1 sin a cos b  sin(a  b)  sin(a  b)  2 1 cos a sin b   sin( a  b)  sin( a  b)  2 6. Các hằng đẳng thức lượng giác: sin 2 a  cos 2 a  1 1  1  tan 2 a  ( a   k , k  ) 2 cos a 2 1 1  cot 2 a  (a  k , k  ) b 2  4ac sin 2 a k tan a.cot a  1, ( a  ,k  ) 2 5 Công thức biến đổi tổng thành tích: ab a b cos a  cos b  2 cos .cos 2 2 ab a b cos a  cos b  2sin .sin 2 2 ab a b sin a  sin b  2sin .cos 2 2 ab a b sin a  sin b  2 cos .sin 2 2 sin(a  b) tan a  tan b  cos a cos b sin(a  b) tan a  tan b  cos a cos b Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam -1- Tài liệu ôn thi môn Toán III. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN: Phương trình sin x  a Phương trình cos x  a cos x  a  cos   x    k 2 , (k  )  x    k 2 sin x  a  sin    ,(k  ) cos x  a  x   acr cos a  k 2 , (k  )  x      k 2  x  acr sin a  k 2 sin x  a   ,(k  )  x    acr sin a  k 2  Phương trình cot x  a ( Dk : x  k , k  ) Phương trình tan x  a ( Dk : x   k , k  ) 2 cot x  a  cot   x    k , ( k  ) tan x  a  tan   x    k , (k  ) cot x  a  x  acr cot a  k , (k  ) tan x  a  x  acr tan a  k , (k  ) IV. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP: 1. Phương trình dạng: asinx + bcosx = c. a a b c  a sin x  b cos x  c  sin x  cos x  cos  2 2 2 2 2 2 2 a b a b a b a  b2  ; Trong đó:  c b s in =  sin  x     2 2 2  a b a  b2 2. Phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + ccos2x = d. Phương pháp: + Kiểm tra với cos x = 0 có phải là nghiệm của phương trình không? + Nếu cos x  0 , chia 2 vế của phương trình cho cos2x , ta được: atan2x + btanx + c = d(1 + tan2x) IV. MỘT SỐ CÔNG THỨC HAY DÙNG:      1  sin x  cos x  2 sin  x    2cos  x   sin 3 x  cos3 x  (sin x  cos x) 1  sin 2 x  4 4    2  2 2 2 2 cos 4 x  cos 2 x  sin 2 x  2cos 2 x  1  1  2sin 2 x 1 sin 4 x  cos 4 x  1  sin 2 2 x 2 2  sin x  cos x   1  sin 2 x 4 4 2 sin x  cos x  sin x  cos 2 x 1   sin 3 x  cos3 x  (sin x  cos x) 1  sin 2 x  3 sin 6 x  cos 6 x  1  sin 2 2 x  2  4 BẢNG ĐẠO HÀM  x    .x  ' '  1 1 1    2 x x ' 1 x  2 x   sin x   cos x '  cos x    sin x ' 1 cos 2 x 1 '  cot x    2 sin x  tan x  '  u    .(u) '.u  ' ' u' 1    2 u u ' u' u  2 u    1  sin u   u '.cos u '  cos u   u '.sin u ' u' cos 2u u' '  cot u    2 sin u  tan u  '  Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam -2- Tài liệu ôn thi môn Toán e   e  a   a .ln a  e   e .u '  a   a .ln a.u '  ln x   1x  ln u   uu' x x ' u x ' u x '  log x  ' a 1 x.ln a  log '  u  v   u ' v ' ' u.v   u '.v  v '.u '  k.v   k.u ' u   u  u '.v  v '.u    v2 v ' u ' u ' a ' ax  b cx  d a.d  c.b  y' 2  cx  d  y ' u' u.ln a PHẦN GIẢI TÍCH Chương I: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam -3- Tài liệu ôn thi môn Toán I. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC 3; BẬC 4. 1. Các bước khảo sát hàm số: + Tập xác định: D  . + Tính đạo hàm y ' , giải phương trình y '  0 và tìm các điểm cực trị của hàm số. + Tính các giới hạn lim y ; lim y . x  x  + Lập bảng biến thiên, nhận xét về tính đơn điệu và cực trị của đồ thị hàm số. + Vẽ đồ thị: ( Tìm các điểm đặc biệt, tâm đối xứng của đồ thị, các giao điểm với truc Ox, trục Oy) 2. Các dạng đồ thị: Hàm số bậc 3 Hàm số bậc 4 Có điểm cực đại và cực tiểu Có điểm cực đại và cực tiểu a0 a0 a0 a0 y y y y x x x O O O x O Không có cực trị Không có cực trị a0 y a0 y x O x O a0 y a0 y x O x O 3. Các ví dụ: Hàm số bậc 3 Hàm số bậc 4 Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam -4- Tài liệu ôn thi môn Toán Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y  x3  3x 2  4 . Giải * Tập xác định: D  . * Đạo hàm: y '  3x 2  6 x  3x( x  2) .  x  0  y  4 * Cho y '  0  3x( x  2)  0    x  2  y  0 * Giới hạn: lim y   ; lim y   x  * Bảng biến thiên: x  –2 y’ + 0 0 y  x  Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y  x 4  2 x 2  3 . Giải * Tập xác định: D  . * Đạo hàm: y '  4 x3  4 x  4 x( x 2  1) . * Cho  x  1  y  4 y '  0  4 x( x 2  1)  0    x  0  y  3 * Giới hạn: lim y   ; lim y   x  – 0 0  +  –4 * Bảng biến thiên: x  –1 y’ – 0  0 + 0 –3 1 0 –  +  y –4 * Nhận xét: + Hàm số đồng biến trên ( ; 2) và (0;  ) , nghịch biến trên ( 2; 0) . + Hàm số đạt cực đại tại: x  2  ycd  0 . + Hàm số đạt cực tiểu tại: x  0  yct  4 . *Đồ thị: + Đồ thị nhận điểm I (1; 2) làm tâm đối xứng. + Cho x  1  y  0 . + Cho x  3  y  4 . x  –4 * Nhận xét: + Hàm số đồng biến trên ( 1; 0) và (1; ) , nghịch biến trên (; 1) và (0;1) . + Hàm số đạt cực đại tại: x  0  ycd  3 . + Hàm số đạt cực tiểu tại: x  1  yct  4 . *Đồ thị: + Cho x  2  y  5 . + Cho x  2  y  5 . ax  b  d ; x    cx  d  c Ví dụ Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị x 1 (C) của hàm số: y  . x 1 Giải * Tập xác định: D  \ 1 . II. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC y  Các bước khảo sát  d * Tập xác định: D  \   .  c ad  bc * Tính đạo hàm: y '  . 2  cx  d  * Giới hạn; các đường tiệm cận: Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam -5- Tài liệu ôn thi môn Toán lim  y  ?; lim  y  ?  Tiệm cận đứng: x   x  d c x  lim y  x  d c a a a ; lim y   Tiệm cận ngang: y  . c x c c * Bảng biến thiên: +TH: y '  0 x  y’ +  d / c + a c a c  +TH: y '  0 x  y’ a c  d / c – –  a c  y * Đồ thị: + Tìm các điểm đặc biệt với trục Ox, Oy. y' 0 * Tính đạo hàm: y '   2  x  1 2  0, x  D . * Giới hạn; các đường tiệm cận: x 1 x 1   ; lim   +Ta có: lim x 1 x  1 x 1 x  1  Tiệm cận đứng: x  1 x 1 lim  1  Tiệm cận ngang: y  1 . + x  x  1 * Bảng biến thiên:  1 x  y’ – –  1   y d c  1 y  * Nhận xét: + Hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng (;1)  (1; ) . + Hàm số không có cực trị. * Đồ thị: + Cho x  0  y  1 + Cho y  0  x  1 y' 0 : Chú ý:  a d + Đồ thị nhận điểm I   ;   làm tâm đối  c c xứng. BÀI TẬP Bài tập 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 1. y  x3  3x 2  1 5. y  2 x3  3x 2 9. y   x3  3x 2  1 2. y  x3  3x 2  1 6. y  x3  6 x 2  9 x 10. y   x3  3x  2 Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam -6- Tài liệu ôn thi môn Toán 3. y  x3  3x 2 7. y   x3  3x 2 11. y   x3  3x 2  2 4. y  x3  3x 2  2 8. y  2 x3  3x 2  1 12. y   x3  3x 2  4 Bài tập 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: x4 3 4 2 4 2 y   x2  1. y  x  2 x  1 4. y  2 x  4 x  1 7. 2 2 4 2 4 2 4 2 2. y  2 x  x 5. y  x  2 x  2 8. y   x  4 x 1 3. y   x 4  2 x 2  1 6. y  x 4  2 x 2  1 4 Bài tập 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 2 x  1 2x  3 3x  5 x 1 1. y  4. y  7. y  10. y  2x  2 x2 x2 x 1 3x  2 2x 1 x3 x 1 2. y  5. y  8. y  11. y  x2 x2 x 1 x 1 2x 1 3x  1 2x 1 x2 3. y  6. y  9. y  12. y  x 1 x 1 x2 x 1 x 1 13. y  x2 ------------------------------------ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐÉN KHẢO SÁT HÀM SỐ BÀI TOÁN 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số. Phương pháp Ví dụ + Tìm tập xác định. Ví dụ: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm 1 1 + Tính đạo hàm y '  f '( x ) . Tìm các điểm xi ( số: y  x3  x 2  2 x  2 . 3 2 i = 1,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc Giải không xác định. D  * Tập xác định: . + Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần  x  1 và lập bảng biến thiên. * Đạo hàm: y '  x 2  x  2; y '  0   . x  2 + Nêu kết luận về các khoảng đồng biến  nghịch biến ( Hàm số đồng biến trên khoảng * Bảng biến thiên:  mà f '( x)  0 và ngược lại) x  –1 2 y’ + 0 – 0 +  y  * Kết luận: + Hàm số đồng biến trên các khoảng (; 1) và (2; ) và nghịch biến trên ( 1; 2) . Bài tập: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số: y  x3  3x  1 (TN THPT 2007 – lần 2). BÀI TOÁN 2: Định giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập xác định . 1. Định lí về dấu của tam thức bậc 2: Cho tam thức bậc 2: f ( x)  ax 2  bx  c (a  0) có   b 2  4ac . Khi đó: Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam -7- Tài liệu ôn thi môn Toán - Nếu   0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x  . - Nếu   0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x  - Nếu   0 , giả sử f(x) có 2 nghiệm x1 , x2 ( x1  x2 ) ta có bảng xét dấu: x f(x)  x2 x1 cùng dấu a 0 trái dấu a 0 2. Định giá trị của m: Đối với hàm bậc 3 y  ax3  bx 2  cx  d (a  0) + Tập xác định: D  . + Đạo hàm: y '  3ax 2  2bx  c + y đồng biến trên D  y '  0 , x  D + y nghịch biến trên D  y '  0 , x  D a  0 a  0     0   0 Ví dụ: Định m để hàm số: 1 y  x 3  mx 2  (m  6) x  (2m  1) 3 đồng biến trên tập xác định. Giải * Tập xác định: D  . * Đạo hàm: y '  x 2  2mx  m  6 Ta có:  '  m2  1.(m  6)  m2  m  6 * Để hàm số đồng biến trên tập xác định thì: 1  a  0 a    0   2  m  3 3    0 m 2  m  6  0  trừ tại x   b . 2a  cùng dấu a ax  b  d ; x    cx  d  c a.d  b.c  d . \   .Đạo hàm: y '  2  c  cx  d  Đối với hàm nhất biến: y  +TXĐ: D  + y đồng biến trên từng khoảng D  y '  0 , x  D  a.d  b.c  0 + y nghịch biến trên từng khoảng D  y '  0 , x  D  a.d  b.c  0 Ví dụ: Định m để hàm số: y  (2m  1) x  3 . xm đồng biến trên tập xác định. Giải * Tập xác định: D  \ m . * Ta có: y '  (2m  1)m  3  x  m 2  2m 2  m  3  x  m 2 . * Để hàm số đồng biến trên tập xác định thì:  m  1 2 y '  0  2m  m  3  0   m  3 2  BÀI TẬP 3 2 1. Cho hàm số: y  x  (m  2) x  (m  1) x  2 (1) . Định m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó. 2. Cho hàm số: y  2 x3  3x 2  2mx  1 (1) . Định m để hàm số (1) đ.biến trên tập xác định của nó. 1 3. Cho hàm số: y  (m 2  1) x3  (m  1) x 2  2 x  1 (1) . Định m để hàm số (1) đồng biến trên tập 3 xác định của nó. BÀI TOÁN 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [a;b] . Cho hàm số y  f ( x) xác định trên đoạn  a; b Phương pháp * Tính đạo hàm y '. * Giải pt: y '  0 , tìm các nghiệm x1 , x2 ...  (a; b) . Ví dụ Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y  x3  3x 2  2 trên đoạn  1;1 Giải * Đạo hàm: y '  3x  6 x  3x( x  2) 2 Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam -8- Tài liệu ôn thi môn Toán * Tính các giá trị y (a); y ( x1 ); y ( x2 )... y (b) * Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số ở trên. Khi đó: max y  M min y  m a;b a;b x  0 (N ) * Cho y '  0  3x( x  2)  0    x  2 ( L) * Ta có: y (1)  4; y (0)  2; y (1)  0 * Vậy: max y  4 đạt được tại x  1 1;1 min y  0 đạt được tại x  1  1;1 BÀI TẬP 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  x3  3x 2  1 trên đoạn  0; 2 (TN THPT 2007) 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  x 4  2 x 2  1 trên đoạn  0; 2 (TN THPT 2008 – lần 1) 3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  2 x3  6 x 2  1 trên đoạn  1;1 (TN THPT 2008 – lần 2) 1 4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  x 3  2 x 2  3 x  7 trên đoạn  0; 2 3 5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  x 2  ln(1  2x) trên đoạn  2;0 (TN THPT 2009) 6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  (3  x)e x trên đoạn  3;3 7. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  x  e2x trên đoạn  1;0 8. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  x 2  3  x ln x trên đoạn 1; 2 (TN THPT 2013) x  m2  m 9. Tìm các giá trị của tham số m để GTNN của hàm số f ( x)  trên đoạn x 1 0;1 bằng 2 . (TN THPT 2012). 10. Tìm GTLN, GTNN của hàm số f ( x)  x 2  2 x  5 trên đoạn  0;3 (TN BT năm 2012). 9 11. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  x  trên đoạn  1; 2 (TN Bổ túc 2013) x2 Giải: 1. + Đạo hàm: y '  3x 2  6 x  3x( x  2) x  0 (N ) + Cho y '  0  3x( x  2)  0   x  2 (N ) + Ta có: y (0)  1; y (2)  3 Vậy: max y  2 đạt được tại x  0 0;2 min y  3 đạt được tại x  2 0;2 2. + Đạo hàm: y '  4 x  4 x  4 x( x  1) x  0 (N ) 2 + Cho y '  0  4 x( x  1)  0   x  1 ( N )  x  1( L) + Ta có: y (0)  1; y (1)  0; y (2)  9 Vậy: max y  9 đạt được tại x  2 3 0;2 2 3. + Đạo hàm: y '  6 x 2  12 x  6 x( x  2) x  0 (N ) + Cho y '  0  6 x( x  2)  0    x  2 ( L) + Ta có: y (1)  7; y (0)  1; y (1)  3 Vậy: max y  1 đạt được tại x  0  1;1 min y  7 đạt được tại x  1 1;1 4. + Đạo hàm: y '  x 2  4 x  3 x  1 (N ) + Cho y '  0  x 2  4 x  3  0    x  3 ( L) 17 19 ; y (2)  + Ta có: y (0)  7; y (1)  3 3 17 Vậy: max y  đạt được tại x  1 3 0;2 Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam -9- Tài liệu ôn thi môn Toán min y  1 đạt được tại x  0 0;2 min y  7 đạt được tại x  0 0;2 BÀI TOÁN 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Phương trình tiếp tuyến (PTTT) của đồ thị hàm số y  f ( x) có đồ thị (C) tại điểm M 0 ( x0 ; y0 ) (C ) và có hệ số góc k  f '( x0 ) là: y  y0  k ( x  x0 )  f '( x0 )( x  x0 ) Các dạng toán thường gặp: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị của ham số (C). 1). Tại điểm có hoành độ x0 ( tung độ y0 ) cho trước. * Cách giải: + Thay x0 vào đồ thị (C) và rút ra y0  M ( x0 ; y0 ) + Thay y0 vào đồ thị (C) và rút ra x0  M ( x0 ; y0 ) * Lưu ý: + Tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung. Ta có: x0  0  y0 + Tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành. Ta có: y0  0  x0 2). Có hệ số góc k cho trước: * Phương pháp: Giải pt: f '( x)  k tìm nghiệm x0 … từ đó rút ra y0 . 3). Biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d): y  ax  b . * Phương pháp: Vì tiếp tuyến // d  k  a , từ pt: f '( x)  a ta tìm x0 , rồi thay x0 vào đồ thị của hàm số để rút ra y0 . 4). Biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng (d): y  ax  b . 1 * Phương pháp: Vì tiếp tuyến vuông góc với d nên k .a  1  k   , từ pt: a 1 f '( x)   ta tìm x0 , rồi thay x0 vào đồ thị của hàm số để rút ra a y0 . x 1 Ví dụ 1:Cho hàm số y  , gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết PTTT với đồ thị (C). x2 1. Tại điểm có hoành độ bằng –1. 2. Tại điểm có tung độ bằng 2. 3. Tại giao điẻm của đồ thị với trục hoành. 4. Tại giao điẻm của đồ thị với trục tung. Giải ' 3  x  1  1.2  1.(1) Ta có: y '      2 ( x  2) ( x  2) 2  x2 1  1 3  2 . Hệ số góc: k  y '(1)  3 1. Theo y/cầu b.toán, ta có: x0  1  y0  1  2 (1  2) 2 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  2  3( x  1) hay y  3 x  1 . 3 1 x 1 2. Theo y/cầu bài toán, ta có: y0  2  2  0  x0  5 . Hệ số góc: k  y '(5)  2  x0  2 (5  2) 3 1 x 11 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  2  ( x  5) hay y   . 3 3 3 Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam - 10 - Tài liệu ôn thi môn Toán 3 1 x0  1  x0  1 . Hệ số góc: k  y '(1)  2  3 x0  2 (1  2) 1 x 1 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  ( x  1) hay y   . 3 3 3 0 1 1 3 3   . Hệ số góc: k  y '(0)   4. Theo y/cầu b.toán, ta có: x0  0  y0  2 02 2 (0  2) 4 1 3 3 1 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y   ( x  0) hay y  x  . 2 4 4 2 2x Ví dụ 2: Cho hàm số y  , gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ x 1 thị (C). 1. Tại điểm có hệ số góc bằng –2. 1 2. Biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d): y   x . 2 9 3. Biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng (d): y  x  1 . 2 Giải 2 * Ta có: y '  . ( x  1) 2  x0  0 2  2  ( x0  1) 2  1   1. Theo yêu cầu bài toán, ta có: k  y '( x0 )  2  2 ( x0  1)  x0  2 + Với x0  0  y0  0 . Suy ra PTTT cần tìm là: y  0  2( x  0) hay y  2 x + Với x0  2  y0  4 . Suy ra PTTT cần tìm là: y  4  2( x  2) hay y  2 x  8 1 1 2. Vì tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d): y   x nên hệ số góc: k  y '( x0 )   2 2  x0  1 1 2 1    ( x0  1) 2  4   Ta có: y '( x0 )    2 2 ( x0  1) 2  x0  3 x 1 1 + Với x0  1  y0  1 . Suy ra PTTT cần tìm là: y  1   ( x  1) hay y    2 2 2 1 x 9 + Với x0  3  y0  3 . Suy ra PTTT cần tìm là: y  3   ( x  3) hay y    2 2 2 9 2 3. Vì tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng (d): y  x  1 nên hệ số góc: k  y '( x0 )   2 9  x0  2 2 2 2    ( x0  1) 2  9   Ta có: k  y '( x0 )    2 9 ( x0  1) 9  x0  4 4 4 2 2 8 + Với x0  2  y0  . Suy ra PTTT cần tìm là: y    ( x  2) hay y   x  3 3 9 9 9 2 2 32 + Với x0  3  y0  3 . Suy ra PTTT cần tìm là: y  3   ( x  3) hay y   x  9 9 9 BÀI TẬP 2x  3 1. Viết PTTT với đồ thị hàm số y  tại điểm có hoành độ x0  3 (TN THPT 2006). x 1 2. Cho hàm số y  x 4  2 x 2  1 có đồ thị (C).Viết PTTT với (C) tại điểm cực đại (TN THPT 2007). 3. Theo y/cầu bài toán, ta có: y0  0  0  Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam - 11 - Tài liệu ôn thi môn Toán 3. Cho HS y  2008). 4. Cho HS y  3x  2 có đồ thị (C).Viết PTTT với (C) tại điểm có tung độ bằng –2 .(TN THPT x 1 2x 1 có đồ thị (C). Viết PTTT với (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng –5 x2 (TN THPT 2009). 1 3 5. Cho HS y  x 4  3 x 2  có đồ thị (C).Viết PTTT với (C) tại điểm hoành độ bằng 2. 4 2 2x  3 6. Cho HS y  có đồ thị (C). Viết PTTT với (C), biết tiếp tuyến đó song song voái 1 x đường thẳng y   x  3 . BÀI TOÁN 5: Dùng đồ thị (C): y = f(x) biện luận theo m số nghiệm của phương trình f(x;m) =0 . * Phương pháp: + Biến đôi và đưa phương trình về dạng: f ( x )  f (m) (1). (C ) + Đặt: y  f ( x) y  f ( m) (d ) : là đường thẳng song song với trục Ox. + Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của (C) và (d). Dựa vào đồ thị, ta có: Hàm số bậc ba: y  ax3  bx 2  cx  d Hàm số bậc bốn: y  ax 4  bx 2  c Đồ thị Biện luận Đồ thị Biện luận y * m  yct  (1) vô nghiệm  m  ycd *  (1) có 1 * m  yct  (1) có 2 nghiệm  m  yct * yct  m  ycd  (1) có 4 nghiệm. nghiệm  m  ycd x *  (1) có 2 O * m  ycd  (1) có 3 nghiệm  m  yct * m  ycd  (1) có 2 nhiệm nghiệm. * yct  m  ycd  (1) có 3 nghiệm. Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của 3 (C) của hàm số: y  x  3x . Dựa vào đồ thị hàm số: y  x 4  2 x 2  1 . Dựa vào đồ thị (C), hãy (C), hãy biện luận theo m số nghiệm của biện luận theo m số nghiệm của phương trình: phương trình: x4  2x2  m  1  0 . x3  3x  1  m  0 . Giải Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm Giải Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của số: (Học sinh tự làm) hàm số: (Học sinh tự làm) * Đồ thị: * Đồ thị: Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam - 12 - Tài liệu ôn thi môn Toán y=m–1 y=m–2 *Ptrình: x 4  2 x 2  m  1  0  x 4  2 x 2  1  m  2 (1) * Số nghiệm của Pt (1) bằng số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y  m  2 . Dựa vào đồ thị (C), ta có: + Nếu m  2  2 thì phương trình (1) vô nghiệm. + Nếu m  2  2  m  0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm. + Nếu 2  m  2  1  0  m  1 thì phương trình (1) có 4 nghiệm. + Nếu m  2  1  m  1 thì phương trình (1) có 3 nghiệm. + Nếu m  2  1  m  1 thì phương trình (1) có 2 nghiệm. *Ptrình: x  3x  1  m  0  x  3x  m  1 (1) * Số nghiệm của Pt (1) bằng số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y  m  1 . Dựa vào đồ thị (C), ta có: m  1  2 m  3 + Nếu  thì phương  m  1   2 m   1   trình (1) có 1 nghiệm. m  1  2 m  3 + Nếu  thì phương  m  1  2 m  1 trình (1) có 2 nghiệm. + Nếu 2  m 1  2  1  m  3 thì phương trình (1) có 3 nghiệm. Chú ý: Phương trên chỉ áp dụng cho trường hợp hàm số bậc ba hoặc bậc bốn có cả điểm cực đại và cực tiểu. Ví dụ: Cho hàm số: y   x3  3x 2  2 , gọi đồ thị Ví dụ: Cho hàm số: y   1 x 4  2 x 2 , gọi đồ 4 của hàm số là (C). thị của hàm số là (C). 1).Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của 1).Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. hàm số. 2). Tìm các giá trị của tham số m để phương 3 2 trình x  3x  m  3  0 có 3 nghiệm phân biệt. 2). Tìm các giá trị của tham số m để phương 1 Giải trình  x 4  2 x 2  2m  1  0 có 4 nghiệm 4 1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của phân biệt. hàm số: (Học sinh tự làm) Giải * Đồ thị: 1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: (Học sinh tự làm) * Đồ thị: 3 3 2). Tìm các gí trị của m để …… x3  3x 2  m  3  0   x3  3x 2  2  m  1 (1) 2). Tìm các gí trị của m để …… * Số nghiệm của Pt (1) bằng số giao điểm của đồ * Số nghiệm của Pt (1) bằng số giao điểm của Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam - 13 - Tài liệu ôn thi môn Toán đồ thị (C) với đường thẳng y  2m  1 . Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì: 1 5 0  2m  1  4   m  2 2 BÀI TẬP Bài 1. Cho hàm số y  2 x3  3x 2  1 có đồ thị (C). Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình 2 x3  3x 2  1  m ( TN THPT năm 2008 – lần 1). Bài 2. Cho hàm số y  x3  6 x 2  9 x  1 có đồ thị (C). Tìm giá trị m để phương trình x 3  6 x 2  9 x  m  0 có 3 nghiệm phân biệt. Bài 3. Cho hàm số y   x 4  2 x 2 có đồ thị (C). Tìm giá trị m để phương trình x 4  2 x 2  m  2  0 có 4 nghiệm phân biệt. thị (C) với đường thẳng y  m  1 . Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì: 2  m 1  2  3  m  1 BÀI TOÁN 6: Định m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu ( Đối với HS bâc ba y  ax3  bx 2  cx  d ) Phương pháp Ví dụ: 2 * Dấu của y’ là dấu của: 3ax  2bx  c  0 . Ví dụ: Định m để hàm số y  x3  (m  1) x 2  x  2 * Hàm số có cực đại, cực tiểu y '  0 có 2 nghiệm có cực đại, cực tiểu. Giải a  0 2 phân biệt:  Tính đạo hàm: y '  3x  2(m  1) x  1  y '  0 Ta có:  '  (m  1)2  3.1  m2  2m  2 Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì: m  1  3 a  1  0    2  m  1  3   '  m  2m  2  0 BÀI TẬP 1 1). Cho hàm số y  x3  (m  1) x 2  (3m 2  4m  1) x  m . Xác định m để : 3 a. Hàm số có cực đại và cực tiểu (Đáp số: 0  m  1 ) b. Hàm số luôn đồng biến trên . (Đáp số: m  0 hoặc m  1 ) 3 2 2). Cho hàm số y  (m  2) x  3x  mx  5 . Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu. 2). Cho hàm số y  mx3  3x 2  (2m  2) x  2 . Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu. 4). Cho hàm số y  x 4  2(m  1) x 2  m . Xác định m để hàm số có 3 cực trị.. 5). Cho hàm số: f ( x)  x  2 x 2  12 . Giải bất phương trình: f '( x)  0 . (TN THPT 2010) BÀI TOÁN 7: Định m để hàm số nhận điểm x0 làm điểm cực đại (cực tiểu). Phương pháp Ví dụ:  y '( x0 )  0 Ví dụ: Định m để hàm số *Điểm x0 là điểm cực đại   m y  x 3  (m  1) x 2  (3m 2  4m) x  m  9 nhận điểm  y ''( x0 )  0 3  y '( x0 )  0 x  1 làm điểm cực đại. *Điểm x0 là điểm cực tiểu   0  y ''( x0 )  0 Giải 2 Ta có: y '  mx  2(m  1) x  3m2  4m Để hàm số nhận điểm x0  1 làm điểm cực đại thì: Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam - 14 - Tài liệu ôn thi môn Toán 2  m  1 m    3m  m  2  0   y '(1)  0 2 3   m  3  y ''(1)  0 4m  2  0 m  1  2  BÀI TẬP 3 2 1). Cho hàm số y  x  (m  3) x  mx  5 . Xác định các giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại x0  2 1 2). Cho hàm số y  x3  mx 2  (m 2  m  1) x  1 . Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại x0  1 3 3). Cho hàm số y  x3  3mx 2  (m2  1) x  2 . Xác định các giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại x0  2 2 4). Xác định giá trị của tham số m để hàm số y  x3  2 x 2  mx  1 đạt cực tiểu tại x  1 . (TN 2011) BÀI TOÁN 8: Chứng minh hàm số y = f(x,m) luôn có cực trị với mọi giá trị của tham số m Phương pháp Ví dụ *Chứng tỏ f’(x,m) luôn có nghiệm và đổi Ví dụ: Chứng minh rằng đồ thị hàm số: dấu khi x đi qua các nghiệm đó. y  x3  mx 2  2 x  1 luôn có một điểm cực đại và một điểm + Với hàm số bậc ba, chứng tỏ y’ = 0 cực tiểu với mọi giá trị của m. có  y '  0 m . Giải + Tập xác định: D  . + Với hàm số bậc bốn, tùy theo yêu cầu của bài toán để tìm giá trị của m sao cho + Đạo hàm : y '  3x 2  2mx  2 y’ = 0 có 1 nghiệm ( hoặc có ba nghiệm). + Ta có:  '  m2  3.(2)  m2  6  0, m  . Suy ra, y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu (có thể lập bảng xét dấu với 2 nghiệm x1 ; x2 ) khi x đi qua hai nghiệm đó. * Vậy, hàm số đã cho luôn có một điểm cực đại và một cực tiểu với mọi m. ĐỀ THI TN THPT CÁC NĂM (PHẦN KHẢO SÁT HÀM SỐ). Bài 1: (Đề thi TN THPT 2003)  x 2  4x  5 Cho hàm số y  x2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho  x 2  (m  4) x  m 2  4m  5 2. Xác định m để đồ thị hàm số y  có các tiệm cận trùng với xm2 các tiệm cận tương ứng của hàm số ở trên. Bài 2: (Đề thi TNBT 2004) Cho hàm số y  x 3  3mx 2  4m 3 có đồ thị (Cm); (m là tham số). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C1) khi m = 1. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C1) tại điểm có hoành độ x  1. 3. Xác định m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị (Cm) đối xứng nhau qua đường thẳng y  x. Bài 3. (Đề thi TNTHPT 2004) 1 Cho hàm số y  x 3  x 2 có đồ thị (C). 3 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C). Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam - 15 - Tài liệu ôn thi môn Toán 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua điểm A(3;0) 3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường thẳng y  0 , x  0 , x  3 quay quanh trục Ox. Bài 4: (Đề thi TNTHPT 2005) 2x  1 Cho hàm số y  có đồ thị (C). x 1 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C). 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và đồ thị (C) 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(1;3) Bài 5: (Đề thi TNTHPT phân ban 2006) Cho hàm số y   x 3  3x 2 có đồ thị (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C). 2. Dựa vào đò thị (C), biện luận theo m nghiệm của phương trình  x 3  3 x 2  m  0 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành. Bài 6: (Đề thi TNTHPT không phân ban 2006) Cho hàm số y  x 3  6 x 2  9 x có đồ thị (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C). 2. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị (C). 3. Với giá trị nào của tham số m, đường thẳng y  x  m 2  m đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai diểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C). Bài 7: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2006) Cho hàm số y  x 3  3x 2 có đồ thị (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C). 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và các đường thẳng x  2 , x  1 . Bài 8: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2007) 3x  4 Cho hàm số y  có đồ thị (C). 2x  3 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm M (1;7) . Bài 9: (Đề thi TNTHPT không phân ban 2007) 2 Cho hàm số y  x  1  có đồ thị (H). 2x  1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (H) tại điểm A(0;3) . Bài 10: (Đề thi TNTHPT phân ban 2007) Cho hàm số y  x 4  2 x 2  1 , gọi đồ thị của hàm số là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số . 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm cực đại của (C). Bài 11: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2007) lần 2. Cho hàm số y  x 3  3x  2 có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm A( 2;4) Bài 12: (Đề thi TNTHPT phân ban 2007) lần 2. x 1 Cho hàm số y  , gọi đồ thị của hàm số là (C). x2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam - 16 - Tài liệu ôn thi môn Toán 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. Bài 13: (Đề thi TNTHPT không phân ban 2007) lần 2. Cho hàm số y   x 3  3x  2 có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm uốn của (C). Bài 14: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2008). Cho hàm số y  x 3  3x 2  1 có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x  3 . Bài 15: (Đề thi TNTHPT không phân ban 2008) Cho hàm số y  x 4  2x 2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x  2 . Bài 16: (Đề thi TNTHPT phân ban 2008) Cho hàm số y  2 x 3  3x 2  1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình 2 x 3  3 x 2  1  m Bài 17: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2008) lần 2. 2x  1 Cho hàm số y  , gọi đồ thị của hàm số là (C). x 1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A( 2;3) Bài 18: (Đề thi TNTHPT phân ban 2008) lần 2. 3x  2 Cho hàm số y  , gọi đồ thị của hàm số là (C). x 1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng –2 Bài 19: (Đề thi TNTHPT không phân ban 2008) lần 2. Cho hàm số y  x 3  3x 2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. 2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x 3  3x 2  m  0 có ba nghiệm phân biệt. Bài 20: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2009) Cho hàm số y  x 3  3x 2  4 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. 2. Tìm tọa độ các giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y  4 . Bài 21: (Đề thi TN THPT 2009) 2x  1 Cho hàm số y  , gọi đồ thị của hàm số là (C). x2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng –5 Bài 22: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2010) 3x  1 Cho hàm số y  x2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x  1. Bài 23: (Đề thi TN THPT 2010) Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam - 17 - Tài liệu ôn thi môn Toán Cho hàm số y  1 3 3 2 x  x 5 4 2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho 2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x 3  6 x 2  m  0 có ba nghiệm phân biệt. Bài 24: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2011) Cho hàm số y  2 x 3  6 x  3 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung. Bài 25: (Đề thi TN THPT 2011) 2x  1 Cho hàm số y  2x  1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho 2. Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y  x  2 . Bài 26: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2012) 2x 1 Cho hàm số y  x 1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 5. Bài 27: (Đề thi TN THPT 2012) 1 Cho hàm số y  f ( x)  x 4  2 x 2 4 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0. biết f ''( x 0 )  1 Bài 28: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2013) Cho hàm số y  2 x3  3x 2  1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 2. Bài 29: (Đề thi TN THPT 2013) Cho hàm số y  x3  3x  1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến đó bằng 9. --------------------------------------------------------------------------------------Hết Chương I---------------------------------- Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam - 18 - Tài liệu ôn thi môn Toán Chương II: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARITH 1. Lũy thừa với số mũ nguyên: (a  0; m , n  ) * a 0  1(a  0) * a m .a n  a m n * ( a m ) n  a m.n * (a.b) m  a m .bm m 1 am am a mn *a  n * n a *   m a a b b 2. Căn bậc n: * Định nghĩa: Cho số thực b và số nguyên dương * Tính chất: ( a, b  0 ; m , n  ) n2 n a na n  a . n b  n ab Số a được gọi là căn bậc n của số b, nếu : a n  b n b b n * Kí hiệu: a  b m n m n a  n am a .  n. m a + Nếu n lẻ, và b : tồn tại duy nhất n b m + Nếu n chẳn:  b < 0 : không tồn tại căn bạc n của b. n m n.m m n a  a a a b=0: n 0 0  b > 0 : tồn tại 2 căn bạc n của b là: n b ; n b 3. Lũy thừa với với số mũ thực: ( a  0;  ,   )  Nếu a  1 thì a  a      a .a   a    a.b   a .b Nếu 0  a  1 thì a  a        a a a    a       a b b n   a     a . 4. lôgarith. a. Định ngĩa: Cho a, b > 0 , a  0 , ta có: loga b    a  b b. Công thức: Cho a  0; a  1, M , N  0. log a ( M .N )  log a M  log a N log a 1  0 M log a  log a M  log a N log a a  1 N loga bM  M loga b loga a M  M 1 log a b  log a b a log M  M  1 log a b  logb a a c. Công thức đổi cơ số: Cho a, b, c  0; a  1, c  1 . Ta luôn có: log a b  log c b log c a d. So sánh lôgarit: Cho a  0; a  1 : log a M  log a N  M  N + Nếu a  1 + Nếu 0  a  1 : log a M  log a N  M  N n  1 e. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên: Số e  lim 1    2, 718281828459045 x   n Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam - 19 - Tài liệu ôn thi môn Toán * Lôgarit tự nhiên: log e x  ln x * Lôgarit thập phân: log10 x  log x  lg x 5. Giải PT, BPT mũ và Lôgarit. Phương trình mũ a. Phương trình mũ cơ bản: a x  b , ( a  0, a  1) Dạng: Phương trình lôgarit a. Phương trình lôgarit cơ bản: log a x  b , ( a  0, a  1) Dạng: + với b > 0, ta có: a x  b  x  loga b + với b < 0, suy ra: phương trình vô nghiệm b. Phương pháp giải PT mũ thường gặp: + Đưa về cùng cơ số. + Đặt ẩn phụ (t  a x , t  0) + Lôgarit hóa. Ta có: loga x  b  x  ab b. Phương pháp giải PT lôgarit thường gặp: + Đưa về cùng cơ số. + Đặt ẩn phụ (không cần đặt điều kiện cho ẩn phụ) + Mũ hóa. * Chú ý: Cần nắm thật vững hai phương pháp (pp đưa về cùng cơ số và pp đặt ẩn phụ để giải PT, BTP mũ và lôgarit). Còn pp thứ 3 tương đối khó,chỉ nên tham khảo thêm. 6. Một số phương trình (Bất phương trình) mũ và lôgarit thường gặp: a. Các dạng cơ bản: a  0; a  1 0  a 1 a 1 * Phương trình mũ: * Bất phương trình mũ: * Bất phương trình mũ: f ( x) f ( x) g ( x) g ( x) a a a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x) a a  f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x) * Phương trình lôgarit: * Bất phương trình lôgarit: *Bất phương trình lôgarit:  g ( x)  0  f ( x)  0 log a f ( x)  log a g ( x)    log a f ( x)  log a g ( x)   g ( x)  0  f ( x)  g ( x) log a f ( x)  log a g ( x)  f ( x)  g ( x)   f ( x)  0   f ( x)  g ( x) b. Vận dụng: Dạng toán Dạng 1: Phương trình mũ bậc 2. x m.a 2 x  n.a  p  0 (1). Phương pháp: + Đặt t  a x , (t  0). Ta được pt: m.t 2  n.t  p  0 + Giải pthương trình trên tìm nghiệm t (đk: t > 0) + Giải phương trình: t  a x  x  loga t . + Kết luận nghiệm của phương trình (1). Dạng x m.a x  n.a  p  0 hay : m.a x  Phương pháp: n  p0 ax Ví dụ Ví dụ: Giải phương trình: 32 x +1  4.3x  1  0 Giải: 2 x +1 x Ta có: 3  4.3  1  0  3.32 x  4.3x  1  0 Đặt: t  3x (t  0) , ta được phương trình: t  1 2 3.t  4.t  1  0   1 t   3 x + Với t  1  3  1  x  log3 1  0 1 1 1 + Với t   3x   x  log 3  1 3 3 3 Vậy PT đã cho có 2 nghiệm: x = 0; x = –1. 2: Ví dụ: Giải phương trình: 6 x  61 x  5  0 . Giải: 6 Ta có: 6 x  61 x  5  0  6 x  x  5  0 6 Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam - 20 -
- Xem thêm -