Tài liệu Tài liệu nguyên hàm tích phân lovebook

Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chủ đề III I. Nguyên hàm và các tính chất cơ bản Vấn đề cần nắm: I. Nguyên hàm và các tính chất cơ bản II. Hai phương pháp cơ bản tìm nguyên hàm III. Khái niệm và tính chất cơ bản tích phân IV. Hai phương pháp cơ bản tính tích phân V. Ứng dụng hình học của tích phân Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hay một nửa khoảng 1. Định nghĩa Cho hàm số f  x  xác định trên K. Hàm số F  x  được gọi là nguyên hàm của hàm số f  x  trên K nếu F '  x   f  x  với mọi x thuộc K. Định lý 1 1. Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì với mỗi hằng số C, hàm G  x   F  x   C cũng là một nguyên hàm của hàm f  x  trên K. 2. Đảo lại nếu F  x  và G  x  là hai nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì tồn tại hằng số C sao cho F  x   G  x   C. Định lý 2 Nếu F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K thì mọi nguyên hàm của f  x  trên K đều có dạng F  x   C , với C là một hằng số. STUDY TIP Từ định nghĩa nguyên hàm ta có được:   f  x  dx   f  x  Người ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.” Từ hai định lý trên ta có - Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì F  x   C , C  là họ tất cả các nguyên hàm của f  x  trên K. Kí hiệu  f  x  dx  F  x   C. Chú ý Biểu thức chính là vi phân của nguyên hàm của 2. Tính chất của nguyên hàm Tính chất 1  f   x  dx  f  x   C. vì Tính chất 2  kf  x  dx  k  f  x  dx Tính chất 3   f  x   g  x dx   f  x  dx   g  x  dx LOVEBOOK.VN | 257 Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng The best or nothing II. Hai phương pháp cơ bản để tìm nguyên hàm 1. Phương pháp đổi biến số Định lí 3 Từ đây ta suy ra hệ quả Cho hàm số u  u  x  có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y  f  u liên có tục sao cho hàm hợp f u  x   xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f thì  f u  x   u '  x  dx  F u  x    C Với u  ax  b,  a  0  ta  f  ax  b  dx 1  F  ax  b   C a Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm   x  1 10 dx . Lời giải STUDY TIP Với phương pháp đổi biến ta cần chú trọng công thức mà suy ra từ định lý như sau: Nếu u  f  x  , khi đó du  f '  x  dx Chú ý Nếu tính nguyên hàm theo biến mới thì sau khi tính nguyên hàm xong, ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u Theo định lý trên thì ta cần viết về dạng Mà u '   x  1 '  1 , do vậy   x  1 10  f u du . dx    x  1 .  x  1 'dx    x  1 d  x  1 10 10  x  1  11 C . 11 Từ ví dụ trên ta có các bước gợi ý để xử lý bài toán tìm nguyên hàm theo phương pháp đổi biến 1. Đặt u  g  x  . 2. Biến đổi x và dx về u và du. 3. Giải bài toán dưới dạng nguyên hàm hàm hợp  f u du , sau đó thay biến x vào nguyên hàm tìm được và kiểm tra lại kết quả. Ta đến với ví dụ 2 Ví dụ 2: Tìm bởi  x 1  x  7 2 dx . Ở bài toán này, ta thấy số mũ 7 khá cao mà lại có biểu thức trong ngoặc phức tạp hơn là x 2 . Do vậy ta sẽ đặt  1  x  để đổi biến, dưới đây là lời giải áp dụng 7 gợi ý các bước trên. Lời giải Đặt u  1  x  du  1  x  'dx  du  dx ta có  x 1  x  2 7   dx   1  u .u7  1 du   u7  2u8  u9 du 2 1  x   2 1  x   1  x  u8 2u9 u10    C  8 9 10 8 9 10 8 9 10  C. 2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần. Chú ý Đẳng thức trong định lý 4 còn được viết dưới dạng Định lý 4 Nếu u và v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì  u  x  v '  x  dx  u  x  .v  x    v  x  u '  x  dx . Nếu nguyên hàm có dạng  p  x  .q  x  dx thì ta có thể nghĩ đến phương pháp nguyên hàm từng phần. Bảng sau gợi ý cách đặt ẩn phụ để tính nguyên hàm  p  x  .q  x  dx. LOVEBOOK.VN| 258 Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Hàm dưới dấu tích phân p  x  là đa thức, q  x  là hàm lượng giác   Cách đặt u  p  x   dv  q  x  dx p  x  là đa thức, q  x   f  e x .e x u  p  x   dv  q  x  dx p  x  là đa thức, q  x   f  ln x  u  q  x   dv  p  x  dx   p  x  là hàm lượng giác, q  x   f e x u  q  x   dv  p  x  dx p  x  là đa thức, q  x   f   ln x  u  p  x   dv  q  x  dx 1 x  p  x  là đa thức, q  x   f  u  x  . u  x  , u  x  là    các hàm lượng giác  sin x,cos x, tan x,cot x  u  p  x   dv  q  x  dx Ví dụ 3: Thầy Điệp Châu cho bài toán “ Tìm  sin x cos xdx ” thì ba bạn Huyền, Lê và Hằng có ba cách giải khác nhau như sau Bạn Huyền giải bằng phương pháp đổi biến số như sau: “Đặt u  sin x , ta có: du  cos xdx Vậy  sin x.cos xdx   udu u2 sin 2 x  C  C ” 2 2 Bạn Lê giải bằng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần như sau: “Đặt u  cos x, v '  sin x . Ta có u'   sin x, v   cos x . Công thức nguyên hàm từng phần cho ta 2  sin x cos xdx   cos x   sin x cos xdx Giả sử F là một nguyên hàm của sin x.cos x . Theo đẳng thức trên ta có F  x    cos 2 x  F  x   C . Bạn Minh Hằng chưa học đến hai phương pháp trên nên làm như sau: “  sin x.cos xdx  sin 2x cos 2x dx   C 2 4 .” cos 2 x C  . 2 2 cos 2 x Điều này chứng tỏ  là một nguyên 2 hàm của sin x.cos x. Suy ra F  x    Vậy  sin x.cos xdx   STUDY TIP Bài toán củng cố về định lý 1 đã nêu ở trên, và củng cố các cách giải nguyên hàm cơ bản. cos2 x  C .” 2 Kết luận nào sau đây là đúng? A. Bạn Hằng giải đúng, bạn Lê và Huyền giải sai. B. Bạn Lê sai, Huyền và Hằng đúng. C. Ba bạn đều giải sai. D. Ba bạn đều giải đúng. Đáp án D. Nhận xét: Sau khi soát kĩ cả ba lời giải, ta thấy ba lời giải trên đều không sai ở bước nào cả, tuy nhiên, tại sao đến cuối cùng đáp án lại khác nhau? Ta xem giải thích ở lời giải sau LOVEBOOK.VN | 259 Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng The best or nothing Lời giải cos 2 x sin 2 x cos 2 x và  đều là ; 2 2 4 nguyên hàm của sin x.cos x do chúng chỉ khác nhau về một hằng số. Thật vậy Cả ba đáp số đều đúng, tức là cả ba hàm số sin 2 x  cos 2 x  1    ; 2 2  2    2 2 sin 2 x  cos 2 x  2 sin x  1  2 sin x 1    .  2 4  4 4  3. Bảng một số nguyên hàm mở rộng  ax  b    ax  b  dx  a    1 1  dx  C ,   1 ax  b m 1 a 2 a 2   tan  ax  b dx   a ln cos  ax  b   C 1 dx  e ax b  C a ax b dx  1  sin  ax  b dx   a cos  ax  b   C 1  ax  b  a ln ax  b  C e  cos  ax  b dx  a sin  ax  b   C 1 1 maxb  C ,  m  0  a ln m  cot  ax  b dx  a ln sin  ax  b   C 1 dx 1 x  arctan  C 2 a a x  sin  ax  b    a cot  ax  b   C dx 1 ax  ln C 2 2a a  x x x dx x a 2 2 dx   dx 1 a  x2  a2   C  x x2  a2 a ln x  b  ln  ax  b  dx   x  a  ln  ax  b   x  C e ax  a sin bx  b cos bx  a2  b2 dx 1 xa  ln C 2 2a xa a 1 2 dx ax  e sin bxdx  2  cos  ax  b   a tan  ax  b   C  ln x  x2  a2  C  1 2 C LOVEBOOK.VN| 260 a 2  x 2 dx  dx x a2  x 2 a2 x  arcsin  C 2 2 a 1  sin  ax  b   a ln tan ax  e cos bxdx  ax  b C 2 e ax  a cos bx  b sin bx  a 2  b2 C Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB III. Các dạng toán về nguyên hàm Dạng 1: Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x  trên D  . Các bài toán ở dạng 1 thì chỉ yêu cầu độc giả nhớ bảng công thức nguyên hàm cơ bản thường gặp. Chú ý với các nguyên hàm hàm hợp để áp dụng đúng công thức! Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   cos3x. A.  cos 3xdx  3 sin 3x  C. STUDY TIP  cos ax  b  dx  sin  ax  b   C. C.  cos 3xdx   B. sin 3x  C. 3  cos 3xdx  sin 3x  C. 3 D.  cos 3xdx  sin 3x  C. Đáp án B Lời giải a Ta có  cos3xdx  1 sin 3x d  sin 3x   C .  3 3 Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   dx 1 A.  5x  2  5 ln 5x  2  C. C.  5x  2  5 ln 5x  2  C. dx Đáp án A.Lời giải Ta có 1 . 5x  2 dx 1 B.     ln 5x  2   C. 5x  2 2 dx D.   ln 5x  2  C. 5x  2 1 d  5x  2  1  ln 5 x  2  C . 5x  2 5  f  x  dx   5x  2  5  dx Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   7 x . A.  7 x dx  7 x ln 7  C. B.  7 x dx  7x  C. ln 7 C.  7 x dx  7 x 1  C. D.  7 x dx  7 x 1  C. x1 Đáp án B. Lời giải Ta có  7 x dx   7 x    d 7   d 7 x x 7 x .ln 7  ln 7 7x  C. ln 7 Ví dụ 4: Nguyên hàm của hàm số f  x   A. F  x    C. F  x   1 3  x  1 1 3  x  1 3 3  1  x  5 là B. F  x    C. 1 4  x  1 x 4  C. D. F  x   1 4  x  1  C. 4 1 4  x  1 4  1 3  x  1 3  C. Đáp án D Lời giải Đặt u  x  1 thì u  1 . LOVEBOOK.VN | 261 Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng Khi đó  x 1  x  5 dx   The best or nothing  1 u1 1  du    4  5  du   u4 du   u5 du 5 u u  u 1 1 1 1   . 3  . 4  C. 3 u 4 u Thay u  x  1 ta được  x  x  1 5 dx  1 4  x  1 4  1 3  x  1 3 C Ví dụ 5: Nguyên hàm của hàm số x.ln x là x 2 .ln x x2 .ln x x2 A. B. C  C 2 2 4 x2 .ln x x 2 x2 C. D.  C C 2 4 4 Đáp án B Lời giải STUDY TIP Ở đây xuất hiện tích của x.ln x nên ta áp dụng nguyên hàm từng phần.  1 ln x  u  x dx  du Ta có  x.ln xdx . Đặt  2 dv  xdx  v  x  2 Theo phương pháp nguyên hàm từng phần ta có  x.ln xdx   udv  uv   vdu   x2 x2 1 .ln x   . dx 2 2 x x2 .ln x x x 2 .ln x x 2   dx    C. 2 2 2 4 Dạng 2: Chứng minh F  x  là một nguyên hàm của hàm f  x  trên D  .   Ví dụ 1: Cho F  x   ln ln  ln x  . Hỏi F  x  là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? Chú ý Sai lầm thường gặp là không biết cách đạo hàm hàm hợp. Ở đây ta cần đạo hàm như sau: với lần lượt như thế ta sẽ ra được kết quả như bên. A. f  x   1 x.ln  ln x  B. f  x   C. f  x   1 ln x.ln  ln x  D. f  x    1 ln ln  ln x   1 x.ln x.ln  ln x  Đáp án D. Lời giải Để tìm F  x  là nguyên hàm của hàm số nào trong số 4 hàm số trên, ta sẽ đi đạo hàm F  x  từ đó suy ra f  x  . 1 1 1   . ln ln x    . Ta có F   x   ln ln  ln x     ln x    ln  ln x    ln  ln x  ln x    1 1 1 1 . .   f  x . ln  ln x  ln x x x.ln x.ln  ln x  1 x3 1 Ví dụ 2: Cho F  x   .ln  . Hỏi F  x  là nguyên hàm của hàm số nào 6 x  3 12 dưới đây? A. f  x   1 x 9 1 x C. f  x   2  12 x 9 2 LOVEBOOK.VN| 262 B. f  x   1 x9 1 x D. f  x   2  12 x 9 Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Đáp án A. Lời giải STUDY TIP Công thức cần nhớ: dx 1 ax  a 2  x2  2a ln a  x  C x dx 1 xa  ln C  a 2 2a x  a 2  1 x3 1  1 1 1      .ln x  3  .ln x  3   Cách 1: Ta có F   x    .ln x  3 12   6 6 12  6 1 1 1 1 1 6 1  .  .  . 2  2 2 6 x3 6 x3 6 x 3 x 9 Cách 2: Thực chất đây là công thức nguyên hàm mà tôi đã giới thiệu ở bảng nguyên hàm phía trên (dòng số 6 trong bảng). 1 Áp dụng công thức trên ta có ngay f  x   2 x 9 Dạng 3: Xác định nguyên hàm của một hàm số với điều kiện ràng buộc. Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   sin x  cos x thỏa mãn   F    2. 2 A. F  x   cos x  sin x  3 B. F  x    cos x  sin x  3 C. F  x    cos x  sin x  1 D. F  x    cos x  sin x  1 Đáp án D. Lời giải Với các bài toán đơn giản như ở ví dụ 1, ta chỉ đi tìm nguyên hàm như thông thường, sau đó dùng điều kiện ràng buộc có sẵn để tìm hằng số C. Ta có F  x    f  x  dx    sin x  cos x  dx  sin x  cos x  C .    Do F    2 nên sin  cos  C  2  1  C  2  C  1 . 2 2 2 Vậy hàm số cần tìm là F  x   sin x  cos x  1 . Ví dụ 2: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x   3  5sin x và f  0   10. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f  x   3x  5cos x  5 B. f  x   3x  5cos x  2 C. f  x   3x  5cos x  2 D. f  x   3x  5cos x  15 Đáp án A. Lời giải Ta có f  x    f   x  dx    3  5sin x  dx  3x  5cos x  C . Do f  0   10 nên 3.0  5cos0  C  10  C  5 . Vậy f  x   3x  5cos x  5 . Ví dụ 3: Cho F  x   x2 là một nguyên hàm của hàm số f  x  e 2 x . Tìm nguyên hàm của hàm số f   x  e 2 x ?  f  x e C.  f   x  e A. 2x  x2  2x  C 2x  2x2  2x  C  f  x e D.  f   x  e B. 2x 2x  x2  x  C  2 x2  2 x  C Đáp án D. Lời giải LOVEBOOK.VN | 263 Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng The best or nothing  f  x  dx  F  x   F  x   f  x  . Cách 1: Sử dụng tính chất của nguyên hàm STUDY TIP Rõ ràng trong bài toán này, việc sử dụng công thức nguyên hàm từng phần sẽ mang lại kết quả nhanh hơn. Do  f   x  e 2xdx có sự xuất hiện của tích hai phần tử, nếu sử dụng nguyên hàm từng phần sẽ xuất hiện  vdu  2 f  x e dx uv  f  x  e kết hợp dữ Suy ra f   x    f  x e  2 x  .e    2x  f  x   e2x dx  F  x   f  x  e 2 x  F   x   x 2     2  4x  e e  e  2x  2 x. e 2 x 2x  f  x e 2x 2 2x  2 2x 2x 2  4x . e2x dx   Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:  u  x  v  x  dx  u  x  .v  x    v  x  .u  x  dx . 2x kiện đề bài sẽ có ngay đáp án. 2x 2  4x 2 x .e dx    2  4 x  dx  2 x  2 x 2  C . e2x Cách 2: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần. Vậy 2x ngay và Từ giả thiết, ta có Ta có  e 2 x . f   x  dx  e 2 x . f  x    f  x  .2e 2 xdx  f  x  e 2 x  2  f  x  e 2 xdx .  f  x e Từ giả thiết: Vậy  f  x e 2x 2x    2x . dx  F  x   x 2  f  x  e 2 x  F   x   x 2 dx  2 x  2 x2  C . Ví dụ 4: Cho F  x    x  1 e x là một nguyên hàm của hàm số f  x  e 2 x . Tìm nguyên hàm của hàm số f   x  e 2 x .  f  x e C.  f   x  e A. 2x 2x dx   4  2 x  e x  C  f  x e D.  f   x  e dx   2  x  e x  C 2x x e C 2 2x dx   x  2  e x  C 2x B. dx  Đáp án C. Lời giải  f  x  dx  F  x   F  x   f  x  .  Từ giả thiết, ta có  f  x  e dx  F  x   f  x  e  F   x    x  1 e   xe Cách 1: Sử dụng tính chất của nguyên hàm 2x  f  x  xe x e  x 2 Suy ra f   x    2x x x . ex  x  .e    e  x. e x x e  x 2 x  x.e x e  x 2  e x 1  x  e  x 2  1 x . ex 1  x 2x .e dx   1  x  e xdx . x e u  1  x du  dx   Đặt   x x dv  e dx  v  e  Vậy  f  x e 2x dx     1  x  e xdx  1  x  e x   e xdx  1  x  e x  e x  C   2  x  e x  C . Cách 2: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần. Ta có  e 2 x . f   x  dx  e 2 x . f  x    f  x  .2e 2 xdx  f  x  e 2 x  2  f  x  e 2 xdx .  f  x  e dx  F  x    x  1 e   f  x  e  F   x    x  1 e   xe . Vậy  f   x  e dx  xe  2  x  1 e  C   2  x  e 2x Từ giả thiết: 2x x x 2x LOVEBOOK.VN| 264 x x x x C. x Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Dạng 4: Tìm giá trị của tham số để F  x  là một nguyên hàm của f  x  .   Ví dụ 1: Tìm a; b; c; d để F  x   ax 3  bx 2  cx  d e x là một nguyên hàm của   f  x   2x3  9x2  2x  5 e x . Với các bài toán dạng này ta chỉ cần tìm đạo hàm của F  x   F  x  A. a  3; b  3; c  7; d  13 B. a  2; b  3; c  8; d  13 C. a  2; b  3; c  8; d  13 D. a  3; b  3; c  8; d  15 Đáp án B    Lời giải  sau đó cho F  x   f  x  Ta có F   x   3ax 2  2bx  c e x  ax 3  bx 2  cx  d e x và sau đó sử dụng hệ số bất định để tìm giá trị của tham số.   ax 3   3a  b  x 2   2b  c  x   c  d   e x a  2 a  2    3a  b  9 b  3 F   x   f  x  , x    2b  c  2 c  8 c  d  5 d  13 LOVEBOOK.VN | 265 Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng The best or nothing IV. Bổ sung một số vấn đề về nguyên hàm Nguyên hàm của các dạng hàm số đặc biệt Phần này đưa ra cách tìm nguyên hàm bằng cách biến đổi hàm số đã cho thành đạo hàm của một hàm số, từ đó tìm được nguyên hàm của hàm số đó. Dạng 1: Nguyên hàm của các hàm số dạng tích, thương. Cho hai hàm số u  u  x  và v  v  x  có đạo hàm liên tục trên K. Lúc này ta có bảng sau: Dạng Tổng Cấu trúc hàm số Nguyên hàm f  x   u  v   u  v  F  x  u  v Hiệu f  x   u  v   u  v  F  x  u  v Tích f  x   uv  uv   uv  F  x   uv Thương f  x  uv  uv   u    v2 v F  x  u v Ví dụ 1: Nguyên hàm của hàm số f  x   A. C.  f  x dx  x  ln  e  f  x dx    1 C x  1 là 1  ex B.  f  x dx  ln e x  1  C  C ln e x  1 x   f  x dx  x ln  e D. x  1 C Đáp án A. Lời giải Thay vì đi tìm nguyên hàm của hàm số theo cách truyền thống, ta có thể giải bài toán bằng bảng ở trên như sau:  1  ex  ex 1  ex 1 ex  f  x   1  x   x   ln e x  1 x x x x 1 e 1 e 1 e 1 e   x  ln e x  1   f  x dx  x  ln e x  1  C         f  x  dx  ln C.  f  x  dx  ln x  C 1 3 x  1 C ln 2 x x     Ví dụ 2: Nguyên hàm của hàm số f  x   A.  1  ln x  2  1 là ln x B.  f  x  dx  ln D.  1 3  1 C ln 2 x x x f  x  dx  C ln x Đáp án D. Ta có f  x   1  ln x    f  x  dx  2 Lời giải   1 1  ln x   x  .ln x    x  .  ln x    x       2 ln x  ln x 2  ln x  ln x   x C ln x   Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   x.ln ex 2 với x  0. A. F  x   ex2 .ln  ex   C C. F  x   x2 .ln x  C LOVEBOOK.VN| 266 B. F  x   x2 .ln  ex   C D. F  x   x ln x  C Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Đáp án C Lời giải Ta có   1  f  x   x.  ln e  2 ln x   x 1  2 ln x   x2 .   2x  ln x  x 2 .  ln x   x 2 .ln x x   x 2 ln x  F  x   x 2 .ln x  C   Dạng 2: Các dạng nguyên hàm đơn giản chứa hàm e x . Bảng nhận dạng nguyên hàm và đạo hàm của hàm số chứa e x . Đặc trưng Nguyên hàm F  x   u  x  .e Hàm số (đạo hàm) x F   x   u  x   u  x   e x  f  x  ex F  x   u  x  .e  x F   x   u  x   u  x   e  x  f  x  eaxb F  x   u  x  e axb F   x   u  x   au  x   e ax  b  f  x  v x e v x F  x  u  x e   v x F   x   u  x   v   x  u  x   e    f  x  e x   Ví dụ 1: Nguyên hàm của hàm số f  x   5x 2  13x  9 e x là  C. F  x    5x  A. F  x   5x 2  6 e x  C 2    B. F  x   e x x 2  1  5x  C   D. F  x   5x  3x  6 e x  C  3x e  C x 2 Đáp án D. Lời giải    Ta có f  x   10 x  3  5x 2  3x  6 e x   5x 2  3x  6  5x 2  3x  6  e x         Từ bảng nhận dạng nguyên hàm phía trên  F  x   5x 2  3x  6 e x  C là nguyên hàm của hàm số đã cho. e x  x.e x .ln x . x B. F  x   e x .ln x  C Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   A. F  x   e x .ln 2x  C C. F  x   e  x .ln x  C D. F  x   e x .ln x  C Đáp án B. Lời giải x 1  e  x.e .ln x  1  x ln x  e     ln x  e x   ln x   ln x  e x Ta có f  x   x x   x  x x  F  x   e x .ln x  C là nguyên hàm của hàm số đã cho.  1 1 Ví dụ 3: Nguyên hàm của hàm số f  x     2   e  x là x  x x x e e ex A. F  x    C B. F  x   2  C C. F  x   C x x x Tương tự với hai nhận dạng còn lại, quý độc giả có thể áp dụng vào các bài toán phức tạp hơn. D. F  x   ex C x2 Đáp án A. Lời giải    1 1  1  1 ex Ta có f  x     2   e  x      e  x  F  x    C là nguyên hàm  x  x  x x  x   của hàm số đã cho. LOVEBOOK.VN | 267 Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng The best or nothing Nguyên hàm một số hàm lượng giác a. Dạng  sin m x.cosn xdx trong đó m , n là các số tự nhiên. Trường hợp 1: Trong hai số m, n có ít nhất một số lẻ. Lũy thừa của cos x là số lẻ, n  2k  1 thì đổi biến u  sin x  sin m   Lũy thừa của sin x là số lẻ, m  2k  1 thì đổi biến u  cos x  k  k x.cosn xdx   sinm x cos2 x cos xdx sinm x.cosn xdx   cosn x sin 2 x sin xdx   k   sin m x 1  sin 2 x .  sin x  dx    um 1  u2     cosn x. 1  cos 2 x  du k     cos x dx k k   1  u2 .undu Ví dụ 1: Tìm  sin 5 x.cos2 xdx . Lời giải Vì lũy thừa của sin x là số lẻ nên ta đổi biến u  cos x  du   cos x  dx .  sin 5   2 x.cos2 xdx    1  cos 2 x .cos 2 x.  cos x  dx    1  u2  .u du    2u 2 2 4   u2  u6 du  2u5 u3 u7   C 5 3 7 2 cos5 x cos3 x cos7 x   C. 5 3 7 Trường hợp 2: Cả hai số m, n đều là số chẵn: Ta sử dụng công thức hạ bậc để  giảm một nửa số mũ của sin x; cos x , để làm bài toán trở nên đơn giản hơn. b. Dạng  sin mx.cos nxdx ,  sin mx.sin nxdx ,  cos mx.cos nxdx. Ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng trong lượng giác. c. Dạng tan m x  cosn x dx trong đó m , n là các số nguyên. Lũy thừa của cos x là số nguyên Lũy thừa của tan x là số nguyên dương chẵn, n  2k thì ta đổi biến u  tan x dương lẻ, m  2k  1 thì ta đổi biến tan m x tan m x 1 d x   cosn x  cos2 k2 x . cos2 x dx  2 . tan x  'dx k 1  m 2  sin x , do đó cos2 x k k 1   um . 1  u2 LOVEBOOK.VN| 268 Khi đó u '  1 cos x tan m x tan 2 k x tan x d x   cosn x  cosn1 x . cos x dx tan m x  cos x    tan x. 1  tan x  u  .d  tan x  k 1 du  1   1  2 cos x  . sin x dx   n 1 cos x cos 2 x   k   u2  1 un1 .du Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm a. tan 6 x  cos4 x dx b. tan 5 x  cos7 x dx . Lời giải a. Do lũy thừa của cos x là số nguyên dương chẵn nên đặt u  tan x . Từ công thức tổng quát đã chứng minh ở trên ta có   1 tan 6 x u9 u7 tan9 x tan7 x 6 2 d x  u . 1  u d u    C   C .  cos4 x  9 7 9 7 1 b. Do lũy thừa của tan x là một số lẻ nên ta đặt u  , do vậy, từ công thức cos x tổng quát chứng minh ở trên ta có 2 tan 5 x u11 2u9 u7 2 6 d x  u  1 . u d u    C  cos7 x  11 9 7 1 2 1    C. 11 9 11cos x 9 cos x 7 cos7 x   Đổi biến lượng giác Khi nguyên hàm, tích phân của các hàm số mà biểu thức của nó có chứa các dạng x 2  a 2 , x 2  a 2 , a 2  x 2 , thì ta có cách biến đổi lượng giác như sau: Biểu thức có chứa Đổi biến x2  a2    x  a tan t , t    ;   2 2 Hoặc x  a cot t , t   0;  x2  a2 x Hoặc x     , t    ;  \0 sin t  2 2 a  , t  0;   \   cos t 2 a    x  a sin t , t    ;   2 2 a2  x2 Hoặc x  a cos t , t  0;  ax  ax x  a cos 2t ax ax  x  a b  x   x  a   b  a  sin2 t , t  0;   2 Nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ Cho hàm số y  f  x  có dạng f  x   STUDY TIP   Kí hiệu deg P  x  là bậc của đa thức P  x  . P  x Q  x trong đó P và Q là các đa thức, và P không chia hết cho Q. Hàm f  x  được gọi là hàm phân thức hữu tỉ thực sự nếu deg  P   deg Q . Trong các bài toán tìm nguyên hàm và tích phân của hàm phân thức hữu tỉ, nếu f  x  chưa phải là hàm phân thức hữu tỉ thực sự thì ta thực hiện chia tử thức cho mẫu thức để được LOVEBOOK.VN | 269 Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng f  x  P  x Q  x  S  x  The best or nothing R  x Q  x  S  x  h  x , Khi đó, h  x  sẽ là hàm phân thức hữu tỉ thực sự. Định lý: Một phân thức thực sự luôn phân tích được thành tổng các phân thức đơn giản hơn. Đó là các biểu thức có dạng 1 1 ax  b ax  b ; ; 2 ; k x  a  x  a  x  px  q x 2  px  q   k là các hàm số có thế tìm nguyên hàm một cách dễ dàng. Để tách được phân thức ta dùng phương pháp hệ số bất định. a. Trường hợp phương trình Q  x   0 không có nghiệm phức và các nghiệm đều là nghiệm đơn. Q  x    a1 x  b1  a2 x  b2  ...  ak xk  bk  (Số nhân tử chính bằng bậc của đa thức Q  x  ). Trong trường hợp này, g có thể biểu diễn dưới dạng g  x  R  x Q  x  A1 a1 x  b1  A2 a2 x  b2  ...  Ak ak x  bk Sau khi biểu diễn được g  x  về dạng này, bài toán trở thành bài toán cơ bản. Ví dụ 3: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   A. F  x   4ln x  2  ln x 1 C x2 B. F  x   4ln x  2  ln x 1 C x2 C. F  x   4ln x  2  ln D. F  x   4ln x  2  ln 4x  3 là x  3x  2 2 x2 C x 1 x2 C x 1 Phân tích Đáp án B. Ta có 4x  3 4x  3 A B Ax  2 A  Bx  B     . x  3x  2  x  2  x  1 x  1 x  2  x  1 x  2  2 Khi đó  A  B x  2 A  B  4x  3 , đồng nhất hệ số thì ta được A  B  4  A  1   2 A  B  3 B  5 Kiểm tra khả năng vận dụng từ ví dụ 3 Tìm x 2  2x  1 dx 3  3x 2  2x  2x Lời giải Ta có x 2  1 4x  3 5  dx      dx   ln x  1  5.ln x  2  C  3x  2  x 1 x  2   4.ln x  2  ln x2 x 1  C  4.ln x  2  ln C. x 1 x2 LOVEBOOK.VN| 270 Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Đáp số bài tập kiểm tra khả năng vận dụng: x 2  2x  1 1 1 1  2x3  3x2  2x dx  2 .ln x  10 .ln 2x  1  10 .ln x  2  C b. Trường hợp Q  x   0 không có nghiệm phức, nhưng có nghiệm thực là nghiệm bội. Nếu phương trình Q  x   0 có các nghiệm thực a1 ; a2 ; ...; an trong đó a1 là nghiệm bội k thì ta phân tích g  x   g  x  A1  A2 x  a  x  a  1 R  x  ...  2 1 về dạng Q  x Ak x  a  k  1 B1 x  a2  B2 x  a3  ...  Bn1 x  an Trên đây là phần lý thuyết khá phức tạp, ta đến với bài tập ví dụ đơn giản sau: Ví dụ 4: Nguyên hàm của hàm số f  x   2x 1  x  3 A. F  x   2 1  C x  1  x  12 B. F  x   C. F  x   1 1  C 1  x 4  1  x 4 D. F  x   là 2 1  C x  1  x  12 1 1  C 1  x 4  1  x 4 Phân tích Nhận thấy x  1 là nghiệm bội ba của phương trình  x  1  0 , do đó ta biến 3  2x đổi  A x2  2x  1  B 1  x   C A B C     3 1  x  1  x 2  1  x 3 1  x  1  x  Ax   2 A  B  x  A  B  C  1  x  3 2 3 A  0  Từ đây ta có 2 A  B  2  A  B  C  0  A  0   B  2 C  2  Lời giải Kiểm tra khả năng vận dụng từ ví dụ 4 Tìm  x 4  2x 2  4x  1 x3  x2  x  1 Ta có  2 2 1 2   d x    1 x 3   1  x 2 1  x 3  dx  x  1  x  1 2  C          2x Đáp số bài tập kiểm tra khả năng vận dụng ví dụ 4 dx  x 4  2x 2  4x  1 x3  x2  x  1 dx  x2 2  x  ln x  1  ln x  1  C. 2 x1 TỔNG QUÁT: Việc tính nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ thực sự được đưa về các dạng nguyên hàm sau: A dx  A.ln x  a  C , k  1 xa A A 1 dx   . C. 2.  k k  1  x  a  k 1  x  a 1.  LOVEBOOK.VN | 271 Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Bài tập rèn luyện kỹ năng Câu 1: Tìm nguyên hàm I    2 x  1 e  x dx. Câu 8: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x    2 x  3  . 2 A. I    2 x  1 e  x  C B. I    2 x  1 e  x  C C. I    2 x  3  e  x  C D. I    2 x  3  e  x  C A. x  x  1 4x2  1 ln 2 x  1  C 8 4 x  x  1 4x2  1 ln 2 x  1  C B. I  8 4 x  x  1 4x2  1 ln 2 x  1  C C. I  8 4 x  x  1 4x2  1 ln 2 x  1  C D. I  8 4 Câu 3: Tìm nguyên hàm I    x  1 sin 2 xdx. B. I  C. I  D. I  2 1  2 x  cos 2 x  sin 2 x D. C . B. e 2017 x  C D. 4  biết F    3. cos 2 3 x 9 4 3 A. F  x   tan 3x  3 3 B. F  x   4tan3x  3 3 4 3 C. F  x   tan 3x  3 3 4 3 D. F  x    tan 3x  3 3 Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x x . C.  f  x  dx  2 x 2 1 LOVEBOOK.VN| 272 2 2 x x x x  C B.  f  x  dx  5 x x  C D.  f  x  dx  2 2 3 x x x Câu 11: Tìm nguyên hàm 1 2017 x e C 2017 Câu 6: Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số  f  x  dx  5 x 1  f  x  dx  e  e  C B.  f  x  dx  e  e  C C.  f  x  dx  e  e  C D.  f  x  dx   e  e  C x 2017 x A. 1 x C   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx C.   f  x  .g  x   dx   f  x  dx. g  x  dx D.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx Câu 5: Nguyên hàm của hàm số f  x   e là: f  x   f  x  dx   3 cos 3x  3 sin 3x  C A. B. C. 2017.e 2017 x  C 3 Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   e x  e  x . Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau? A.  k. f  x  dx  k. f  x  dx với k là hằng số 1 2017 x e C 2017  2x  3 dx  C  f  x  dx  cos 3x  sin 3x  C B.  f  x  dx  cos 3 x  sin 3x  C 1 C.  f  x  dx   cos 3x  sin 3x  C 3 4 Câu 4: Cho f  x  , g  x  là các hàm số liên tục trên A. 3 A. C 4  2  2x  cos 2x  sin 2 x  f  x C C 2 Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số: f  x   3sin 3 x  cos 3 x. D. 1  2 x  cos 2 x  sin 2 x  C 2  2  2x  cos 2x  sin 2 x C 3 B. A. I  3 3  f  x  dx   2x  3  2x  3 C.  f  x  dx  6 Câu 2: Tìm nguyên hàm I   x ln  2 x  1 dx. A. I   f  x  2x  3 dx  x C x C F x của hàm số f  x   3x  4 , biết F  0   8. A. F  x   1 38 3x  4  3 3 2 16 B. F  x    3x  4  3x  4  3 3 2 56 C. F  x    3x  4  3x  4  9 9 2 8 D. F  x    3x  4  3x  4  3 3 1 dx. Câu 12: Tìm nguyên hàm I   4  x2 1 x2 1 x2 A. I  ln B. I  ln C C 2 x2 2 x2 1 x2 C. I  ln C 4 x2 1 x2 D. I  ln C 4 x2 Câu 13: Cho hàm số f  x   1 . Gọi F  x  là một 2x  3 nguyên hàm của f  x  . Chọn phương án sai. A. F  x   C. F  x   ln 2x  3 2  10 B. F  x   ln  2 x  3  4 2  5 D. F  x   ln 4x  6 4 ln x  2 3 2  10 1 Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng The best or nothing Câu 14: Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x  x  x 1 C. 2 x 1 2 .e x . D.  f  x  dx  A. F  x   x2  1.e x  C C. F  x   2x x2  1.e 2 x  C Câu 15: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x    f  x  dx  x  13 ln x  2  C B.  f  x  dx  ln x  2  C C.  f  x  dx  3 x  13 ln x  2  C D.  f  x  dx  3 x  7 ln x  2  C 3x  7 . x2 A. B.  f  x  dx  ln C.  f  x  dx  3 ln e  e Câu 4  x 3  x 2  x  6 ln x  1  C. 4  x 3  x 2  x  6 ln x  1  C. Câu 17: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   B. C.  f  x  dx  1 x2  1  1 . ln C 2 x2  1  1  f  x  dx  ln x2  1  1 x2  1  1  f  x  dx  2 . ln 1 x 1 1 2 x2  1  1 C 1 1  x2  1 . ln C  2 1  x2  1 Câu 18: Tìm nguyên hàm của hàm số 1 f  x  . x 1  x 1 A. B.  2 2   f  x  dx   x  1 3   x  1 3   C    3 3   f  x  dx   x  1 2   x  1 2   C   1 ex ex  3 1 e 3 x . C x x  f  x  dx  6 ln e  e 20: Biết F  x  là một 1 x x   3  C    3  C  nguyên hàm của hàm số  f  x   sin 3 x. cos x và F  0    . Tìm F   . 2  A. F    . 2  1 B. F      . 2 4    1 C. F     . 2 4  D. F    . 2 Câu 21: Biết F  x  là nguyên hàm của f  x   4 x và 1 x x2  1 F 1  1 . Khi đó giá trị F  2  bằng: ln 2 7 8 9 A. B. C. . . . ln 2 ln 2 ln 2 Câu 22: Nguyên hàm của hàm số D. 3 . ln 2  ex  f  x  ex  2   là: cos 2 x   C f  x  dx  D.   C  1 ex ln x C 3 e 3  D. x4  5 Câu 16: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   . x1 1 1 1 A.  f  x  dx  x4  x3  x 2  x  6 ln x  1  C. 4 3 2 1 1 1 B.  f  x  dx  x4  x3  x 2  x  6 ln x  1  C. 4 3 2 A. 3 2 3 3  1 2  x 1 2 C x  1       3  f  x  dx  A. D. F  x   x2  1.e  x  C  f  x  dx  x D.  f  x  dx  x 2 3 Câu 19: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   B. F  x    x2  1.e x  C C.  1  f  x  dx  3  x  1   x  1 A. F  x   2 e x  cot x  C. B. F  x   2 e x  tan x  C. C. F  x   2 e x  tan x  C. D. F  x   2e x  tan x. Câu 23: Tìm nguyên hàm F  x     x  sin x  dx biết F  0   19 . A. F  x   1 2 x  cos x  20 . 2 B. F  x   x 2  cos x  20 . C. F  x   x 2  cos x  20 D. F  x   1 2 x  cos x  20 . 2 LOVEBOOK.VN | 273 Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Hướng dẫn giải chi tiết Câu 1: Đáp án A Câu 10: Đáp án A Câu 11: Đáp án C Đặt u  2 x  1  du  2dx; 1 F  x    3x  4dx    3x  4  2 dx  e  x dx  dv  v  e  x Lúc này ta có   2 x  1 e dx    2x  1 .e   2e dx    2 x  1 .e  2e  C    2 x  1 e  C x x x x x x Câu 2: Đáp án C Đặt u  ln  2 x  1  du  2 x2 dx; dv  xdx  v  2x  1 2 Khi đó  x ln  2x  1 dx  x2 x2 2 . ln  2 x  1   . dx 2 2 2x  1 2 2 .  3x  4  3x  4  C 9 56 Mà F  0   8  C  , ta chọn C. 9 Câu 12: Đáp án D Ta có  a  2  x x .ln 2 x  1   dx 2 2x  1  x 1  x2 1 .ln 2x  1      dx  2 4 4  2x  1  2     x2 x 1  x2 .ln 2 x  1     .ln  2 x  1   C 2  4 4 8  x  x  1 4 x2  1 .ln 2 x  1  C . 8 4 Câu 3: Đáp án D  I    x  1 sin 2 xdx. Đặt x  1  u  dx  du ; 1 sin 2xdx  dv  v   . cos 2x 2   x  1 1 Khi đó I  . cos 2x   cos 2xdx 2 2 1  x cos 2 x   1   .sin 2x  C 2 4 Câu 4: Đáp án C Câu 5: Đáp án D 1 Ta có  e 2017 x dx  e 2017 x  C 2017 Câu 6: Đáp án A 4 4 Ta có F  x    dx  . tan 3x  C 2 3 cos 3x  4  3 Mà F    3  . tan  C  3  C   3 3 3 9 Câu 7: Đáp án A 3 5 2 2 2  x xdx   x 2 dx  5 .x 2  C  5 x x  C. Câu 8: Đáp án C 3 1 Ta có  f  x dx  2x  3   C  3.2 Câu 9: Đáp án C 3 1   3 sin 3x  cos 3x  dx  3 .   cos 3x   3 . sin 3x  C LOVEBOOK.VN| 274 3 2 .  3x  4  2  C 9 2 1 1 1  1 1  dx   dx     dx  2 2a  a  x a  x  x  a  x  a  x  1 xa .ln C 2a xa Áp dụng vào bài ta chọn D. Câu 13: Đáp án B 1 1 1 Ta có F  x    dx   . .d  2 x  3  2x  3 2  2x  3  ln 2x  3 C 2 Từ đây ta thấy A đúng. Với B ta thấy ln 4 x  6  10  ln 2  ln 2 x  3 4 Câu 14: Đáp án A Ta có f  x   4 x2  x  1 x 1 2 .e x    x    x2  1  e x   2   x  1  x  2  10  F  x  , B sai.  1  x x 1 2 .e x    x2  1  x2  1  e x   F  x   x 2  1.e x  C (áp dụng bảng ở lí thuyết). Câu 15: Đáp án C Ta có  f  x  dx   3  x  2   13 3x  7 dx   dx x2 x2 d  x  2  13   3  dx   3dx  13 x2 x2   3x  13 ln x  2  C. Câu 16: Đáp án B   x4  1  6 x4  5 dx   dx Ta có  x1 x1  6     x  1 x2  1  dx x  1         x3  x2  x  1 dx  6  d  x  1 x1 1 4 1 3 1 2  x  x  x  x  6 ln x  1  C. 4 3 2 Câu 17: Đáp án A Ta có Chủ đề 3: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng 1 x  x2  1 d  xdx dx   x2  1 x2   x2 x2  1  d   x2  1 x2  1  2  The best or nothing  F  x    f  x dx   sin 3 x. cos x.dx 2 1 d x 1 2  x2 . x2  1   sin3 x.d  sin x    1 x2  1  1  . ln C 2 x2  1  1 1 1 ua (Áp dụng công thức  2  . ln C ) 2 2a ua u a du dx x 1  x 1       3 3  1   x  1 2   x  1 2   C 3  x  1  x  1 dx  Câu 19: Đáp án A e x 3  e x dx e x e x 3  x 1  x 1     d ex e x e x 3  1 1 1  1 ex x  d e  ln C 3   e x e x  3  3 ex  3 Câu 20: Đáp án C    3 3  1 2 .   x  1 2   x  1 2   C 2 3  1 2 dx  x  1  x  1 dx x 1  x 1   1 x .4  C  F  x  ln 4 1 4 1 1 Mà F 1   C  C  . ln 2 ln 4 ln 2 ln 2 1 2 1 16 1 7 Do đó F  2   . .4     ln 4 ln 2 2 ln 2 ln 2 ln 2 Câu 22: Đáp án C Ta có Ta có Ta có  1  F    2 4 Câu 21: Đáp án A Câu 18: Đáp án D  1 sin4 x  C 4 1 F  0     C    F  x   sin4 x   4 4 x dx   ex  F  x    f  x  dx   e x  2   dx cos 2 x   dx  2  e x dx    2 e x  tan x  C. 2 cos x Câu 23: Đáp án D x2  cos x  C 2 x2 F  0   19  C  20  F  x    cos x  20 2 F  x     x  sin x dx  LOVEBOOK.VN | 275 Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB V. Khái niệm và các tính chất cơ bản của tích phân 1. Định nghĩa Cho hàm số f  x  là hàm số liên tục trên đoạn a; b . Gỉa sử F  x  là một b Ta gọi  là dấu tích nguyên hàm của f  x  trên đoạn a; b . a phân, a là cận dưới, b là Hiệu số F  b   F  a  được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định cận trên, f  x  dx là biểu trên đoạn  a; b ) của hàm số f  x  , kí hiệu là thức dưới dấu tích phân và f  x  là hàm số dưới b  f  x  dx. a dấu tích phân. b Vậy b  f  x  dx  F  x  a  F  b   F  a  . a Chú ý 2. Nhận xét 1. Định nghĩa tích phân b a. Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi  f  x  dx hay a b  f  t  dt. Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a , b mà không phụ a chỉ được áp dụng khi biết một nguyên hàm thuộc vào biến số x hay t. của b. Ý nghĩa hình học của tích phân. Nếu hàm số f  x  liên tục và không âm trên đoạn 2. Tích phân trên đoạn a; b , thì tích phân là b  f  x  dx là diện tích S của hình thang cong a giới hạn bởi đồ thị f  x  , trục Ox và hai đường thẳng x  a; x  b. Vậy một số, còn nguyên hàm là một (họ) hàm số (nó còn được gọi là tích phân không xác định). 3. b S   f  x  dx. a không phụ 3. Các tính chất của tích phân thuộc vào chữ viết biến số trong dấu tích phân, mà chỉ phụ thuộc vào hàm số Tính chất 1 b b a a  kf  x  dx  k  f  x  dx với k là hằng số. f và đoạn Tính chất 2 Ta quy ước  f  x  dx  0; a b a a b b b b a a a   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx a Tính chất 3  f  x  dx    f  x  dx c  a b b c a f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx với a  c  b. Định lý 1 y A -x Cho f là hàm số xác định trên K và a là một điểm cố định thuộc K. Xét hàm O x x A số G  x  xác định trên K bởi công thức x G  x    f  t  dt. a Hàm số chẵn Hình 3.1 Khi đó G là một nguyên hàm của f. Định lý 2 Tích phân của hàm lẻ và hàm chẵn trên LOVEBOOK.VN| 276 .