Tài liệu Tài liệu hướng dẫn tự học môn hình học 10

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 CHƯƠNG I. VECTƠ ----- oOo -----  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1. Đoạn thẳng, đường thẳng và tia: B x A A d Cho hai điểm A, B ta có một đoạn thẳng duy nhất, kí hiệu: AB hoặc BA. (Giới hạn hai đầu) 2. Trọng tâm tam giác: Tia Ax (Giới hạn một đầu) Đường thẳng d (Không giới hạn - dài vô tận) A Trọng tâm G của tam giác là giao điểm ba đường b c 2 trung tuyến, và AG  AM . 3 G a B C M 3. Ñöôøng trung bình cuûa tam giaùc: A Ñöôøng trung bình trong tam giaùc song song vaø 1 baèng caïnh ñaùy. 2 N M C B 4. Hình bình haønh: Cho hình bình haønh ABCD. Ta coù: AB // DC vaø AB = DC BC // AD vaø BC = AD AC vaø BD caét nhau taïi trung ñieåm O cuûa moãi ñöôøng. Khi ñoù O goïi laø taâm cuûa hình bình haønh. B C O A D  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- 1 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 §1. CÁC ĐỊNH NGHĨA 1. Khái niệm vectơ: Cho đoạn thẳng AB. Nếu ta chọn điểm A làm điểm đầu, điểm B làm điểm cuối thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B. Khi đó ta nói AB là một đoạn thẳng có hướng. Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. B  Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu là: AB A  Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của một vectơ thì vectơ     được kí hiệu là: a , b , x , y ,... gọi là các vectơ tự do. a x  Từ hai điểm phân biệt ta có bao nhiêu vectơ? Nhận xét sự khác nhau giữa đoạn thẳng và vectơ? 2. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó. giaùcuû a vectô AB B A Định nghĩa: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Hai vectô cuø ng phöông, cuø ng höôù ng B A C D Q R F P S E Hai vectô cuø ng phöông, ngöôïc höôù ng  Nhận xét:  Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.  Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ AB và AC cùng phương.  Khẳng định: "Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ AB và BC cùng hướng" đúng hay sai? vì sao? 3. Hai vectơ bằng nhau:  Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài vectơ AB được kí hiệu là AB . Vậy: AB  AB  BA  Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị.  Hãy nhận xét về hướng và độ dài của hai vectơ B AB và DC trong hình vẽ sau: C ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. .............................................................................................................................. A .............................................................................................................................. D      Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài, kí hiệu a  b . 2 ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10  Hãy dựng vectơ OA bằng vectơ  a. a O   * Chú ý: Khi cho trước vectơ a và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho OA  a . 4. Vectơ - không:  Vectơ đặc biệt có điểm đầu và điểm cuối đều là A (điểm đầu và điểm cuối trùng nhau), được kí hiệu là: AA và gọi là vectơ - không.  Vectơ - không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.  Độ dài vectơ - không: AA = 0, nên mọi vectơ - không đều bằng nhau.   Vectơ - không được kí hiệu: 0 .  Ghi chú: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- 3 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 BÀI TẬP RÈN LUYỆN     Bài 1: Cho ba vectơ a, b , c đều khác vectơ 0 . Các khẳng định sau đúng hay sai?      a) Nếu hai vectơ a, b cùng phương với c thì a và b cùng phương.      b) Nếu a, b cùng ngược hướng với c thì a và b cùng hướng. Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD, BC.  a) Có bao nhiêu vectơ khác vectơ 0 có điểm đầu và điểm cuối là một trong số các điểm A, B, C, D, O, M, N. b) Chỉ ra hai vectơ có điểm đầu, điểm cuối lấy trong số các điểm A, B, C, D, O, M, N mà: i/ cùng phương với AB ; ii/ cùng hướng AB ; iii/ ngược hướng với AB . c) Chỉ ra các vectơ bằng vectơ MO , OB . Bài 3: Chỉ ra các vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng và các vectơ bằng nhau trong hình sau: x w a y b u v z Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi AB = DC . Bài 5: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O.  a) Tìm các vectơ khác 0 và cùng phương với OA ; b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB . Bài 6: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm BC, CA, AB. Chứng minh EF = CD . Bài 7: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Điểm I là giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN. Chứng minh AM  NC , DK  NI . 4 ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 §2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ 1. Tổng của hai vectơ:   Định nghĩa: Cho hai vectơ a và b . Lấy   một điểm A tùy ý, vẽ AB  a và BC = b .  Vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a    và b . Ta kí hiệu tổng hai vectơ a và b là   a b . Vậy:   AC  a  b a b 2. Quy tắc hình bình hành: B C Nếu ABCD là hình bình hành thì: AB  AD  AC A D 3. Tính chất của phép cộng các vectơ:    Với ba vectơ a, b , c tùy ý ta có:     a  b  b  a (tính chất giao hoán)       (a  b )  c  a  (b  c ) (tính chất kết hợp)      a  0  0  a  a (tính chất của vectơ - không) 4. Hiệu của hai vectơ:  Hãy nhận xét về hướng và độ dài của hai vectơ AB và CD trong hình bình hành ABCD: B C ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. .............................................................................................................................. A D   a) Vectô ñoái: Cho vectô a . Vectô coù cuøng ñoä daøi vaø ngöôïc höôùng vôùi a ñöôïc goïi laø vectô   ñoái cuûa vectô a , kí hieäu laø - a . B * Chuù yù:  Vectô ñoái cuûa vectô AB laø BA , nghóa laø A  AB  BA    Vectô ñoái cuûa vectô 0 laø vectô 0 . Ví duï: Cho tam giaùc ABC, goïi D, E, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa BC, AC, AB. Tìm ít nhaát ba caëp vectô ñoái nhau? Giaûi: A ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. E F .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. B D C ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- 5 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ:   Cho hai vectơ a và b . Ta gọi hiệu của hai       vectơ a và b là vectơ a  (b ) , kí hiệu a  b . Vậy:     a  b  a  (b ) * Chú ý: Phép toán tìm hiệu hai vectơ còn gọi là phép trừ vectơ. c) Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta có: a b O AB  BC  AC AB  AC  CB Ví dụ: Chứng minh rằng với bốn điểm bất kì A, B, C, D ta luôn có AB  CD  AD  CB . Giải: ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. 5. Trung ñieåm ñoaïn thaúng vaø troïng taâm tam giaùc:   Ñieåm I laø trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng AB khi vaø chæ khi IA  IB  0 .   Ñieåm G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC khi vaø chæ khi GA  GB  GC  0 .  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. 6 ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kì ta luôn có  a) AB  BC  CD  DA  0 ; b) AB  AD  CB  CD . Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng a) CO  OB  BA ; b) AB  BC  DB ; c) DA  DB  OD  OC ; d) DA  DB  DC  0 . Bài 3: Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng MA  MC  MB  MD . Bài 4: Cho sáu điểm M, N, P, Q, R, S bất kì. Chứng minh rằng: MP  NQ  RS  MS  NP  RQ . Bài 5: Cho tam giác đều ABC, cạnh a. Tính độ dài các vectơ AB  BC , AB  AC , AB  AC , AB  BC . Bài 6: Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng  minh rằng RJ  IQ  PS  0 . Bài 7: Chứng minh rằng AB  CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau. Bài 8: Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB. Vẽ các vectơ MA  MB và MA  MB .    Bài 9: Cho a, b là hai vectơ khác 0 . Khi nào có đẳng thức         a) a  b  a  b ; b) a  b  a  b .     Bài 10: Cho a  b  0 . So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ a và b . Bài 11: Cho ba lực F1  MA , F2  MB và F3  MC cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Biết cường độ của F1 , F2 đều là 100N và góc AMB bằng 600. Tìm cường độ và hướng của lực F3 . ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- 7 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 §3. TÍCH CỦA VETƠ VỚI MỘT SỐ 1. Định nghĩa:     Cho số k  0 và vectơ a  0 . Tích của vectơ a với số k là một vectơ, kí hiệu là k a , cùng hướng với    a nếu k > 0, ngược hướng với a nếu k < 0 và có độ dài bằng k a . Ta còn gọi tích của vectơ với một số là tích của một số với một vectơ.     Quy ước: 0. a = 0 , k. 0 = 0 . 2. Tính chất:   Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số h và k, ta có:         k( a  b ) = ka  kb  (h + k) a  ha  ka        h(k a ) = (hk) a 1. a = a , (-1). a = - a .  1) Cho hình bình hành MACB, gọi I là giao điểm của AB và MC. Nhận xét gì về mối quan hệ giữa A MA  MB với MI . C I M B  2) Cho G là trọng tâm tam giác ABC. Dựa vào đẳng thức GA  GB  GC  0 , chứng minh MA  MB  MC  3MG . 3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác: a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có: MA  MB  2MI . b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có: MA  MB  MC  3MG Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng AB  2 AC  AD  3 AC . Giải: ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. 4. Ñieàu kieän ñeå hai vectô cuøng phöông:       Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå hai vectô a vaø b ( b  0 ) cuøng phöông laø coù moät soá k ñeå a =  kb .  Ba ñieåm phaân bieät A, B, C thaúng haøng khi vaø chæ khi coù soá k khaùc 0 ñeå AB  k AC . 5. Phaân tích moät vectô theo hai vectô khoâng cuøng phöông:   Cho hai vectô a vaø b khoâng cuøng phöông.  Khi ñoù moïi vectô x ñeàu phaân tích ñöôïc moät   caùch duy nhaát theo hai vectô a vaø b , nghóa laø coù duy nhaát caëp soá h, k sao cho    x  ha  kb A' C x A a O b B B' Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh   BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Đặt u  AE , v  AF . Hãy phân tích các vectơ   AI , AG, DE , DC theo hai vectơ u , v . 8 ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 Giải: ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... ..................................................................................................................  Ví dụ 2: Cho 4 điểm A, B, C, M thỏa mãn MA  2MB  3MC  0 . Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng. Giải: ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... ..................................................................................................................  Ghi chú: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- 9 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng: AB  AC  AD  2 AC . Bài 2: Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng:  a) 2 DA  DB  DC  0 ; b) 2OA  OB  OC  4OD , với O là một điểm túy ý. Bài 3: Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng: 2MN  AC  BD  BC  AD Bài 4: Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vectơ AB, BC , CA theo hai   vectơ u  AK , v  BM . Bài 5: Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho MB  3MC . Hãy phân   tích vectơ AM theo hai vectơ u  AB và v  AC .  Bài 6: Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho: 3KA  2 KB  0 .  Bài 7: Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho MA  MB  2MC  0 . Bài 8: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm. Bài 9: Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần 3 lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng MD  ME  MF  MO . 2 10 ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 §4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 1. Trục và độ dài đại số trên trục:  Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc  và một vectơ đơn vị e .  Kí hiệu: (O; e ). O e M    Cho điểm M nằm trên trục (O; e ). Khi đó có duy nhất một số k sao cho OM = k e . Ta gọi số k đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho.    Cho hai điểm A, B nằm trên trục (O; e ). Khi đó có duy nhất số a sao cho AB = a e . Ta gọi số a đó là độ dài đại số của vectơ AB đối với hệ trục đã cho và kí hiệu a = AB .   * Nhận xét: Nếu AB cùng hướng e thì AB = AB, còn nếu AB ngược hướng e thì AB = -AB. Độ dài đại số của vectơ OM chính là tọa độ điểm M.   Nếu hai điểm A và B trên trục (O; e ) có tọa độ lần lượt là a và b thì AB = b - a. Ví dụ: Trên trục cho các điểm A, B, M, N lần lượt có tọa độ là -4; 3; 5; -2. a) Hãy biểu diễn các điểm đó trên trục số; b) Hãy xác định độ dài đại số của các vectơ AB , AM , MN . Giải: ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. 2. Heä truïc toïa ñoä: a) Ñònh nghóa:     Heä truïc toïa ñoä (O; i , j ) goàm hai truïc (O; i ) vaø (O; j ) vuoâng goùc vôùi nhau.  Ñieåm goác O chung cuûa hai truïc goïi laø goác toïa ñoä.   Truïc (O; i ) ñöôïc goïi laø truïc hoaønh vaø kí hieäu Ox   Truïc (O; j ) ñöôïc goïi laø truïc tung vaø kí hieäu Oy.      Caùc vectô i vaø j laø caùc vectô ñôn vò treân Ox vaø Oy vaø i  j = 1.   Heä truïc toïa ñoä (O; i , j ) coøn ñöôïc goïi laø Oxy. truïc tung (Oy) y y 2i truïc hoaø nh (Ox) j O i x 1 -1 1 O 2 x * Chuù yù: Khi trong maët phaúng ñaõ cho moät heä truïc toïa ñoä Oxy, goïi maët phaúng toïa ñoä Oxy hay maët phaúng Oxy. b) Toïa ñoä cuûa vectô:    Ñoái vôùi heä truïc toïa ñoä (O; i , j ), moïi vectô u ñeàu ñöôïc bieåu dieãn y) laø caëp soá duy nhaát.   Khi ñoù: caëp soá (x; y) ñöôïc goïi laø toïa ñoä cuûa vectô u , kí hieäu laø: u ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- maët phaúng ñoù laø    u = x i +y j vôùi (x;  = (x; y) hay u (x; y). 11 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10     Nhö vaäy: u = (x; y)  u = x i + y j * Nhaän xeùt: Hai vectô baèng nhau khi vaø chæ khi chuùng coù hoaønh ñoä baèng nhau vaø tung ñoä baèng nhau.  x  x'     Neáu u  ( x; y ) , u '  ( x' ; y ' ) thì u  u '    y  y' c) Toïa ñoä cuûa moät ñieåm: Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy, toïa ñoä cuûa vectô OM ñöôïc goïi laø toïa ñoä cuûa ñieåm M.  Caëp soá (x; y) laø toïa ñoä cuûa ñieåm M khi vaø chæ khi OM = (x; y). Ta vieát: M(x; y) hoaëc M = (x; y). Hoaønh ñoä cuûa ñieåm M coøn ñöôïc kí hieäu xM, tung ñoä ñieåm M coøn ñöôïc kí hieäu yM. y  Goïi M1, M2 laàn löôït laø hình chieáu cuûa M treân Ox, Oy. Khi ñoù, neáu M(x; y) thì x = OM 1 M (x; y) M2 y = OM 2 j O Ví duï 1: Xaùc ñònh toïa ñoä caùc ñieåm A, B, C, D, E, F treân hình veõ. Giaûi: x M1 i y E 6 5 A 4 ......................................................................................................................... 3 2 ......................................................................................................................... D C ......................................................................................................................... 1 1 -6 -5 -4 -3 -2 2 3 4 5 6 4 5 6 O -1 ......................................................................................................................... x -1 -2 ......................................................................................................................... -3 F -4 B -5 -6 Ví dụ 2: y 6 5 Biểu diễn các điểm sau đây trên hệ trục tọa độ Oxy: M(-2; 3), N(0; -4), P(3; 0), Q(-5; 6), I(-4; -2) 4 3 2 1 1 -6 -5 -4 -3 -2 O -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng: 12 ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- 2 3 x Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 Với hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) thì: AB = (xB - xA; yB - yA) Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(2; 5), B(1; 2) và C(4; 1). Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Giải: ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... ..................................................................................................................      3. Toïa ñoä cuûa caùc vectô u  v , u  v , ku :   Cho u = (u1; u2) vaø v = (v1 ; v2). Khi ñoù:       u  v = (u1 + v1; u2 + v2);  u  v = (u1 - v1; u2 - v2);  k a = (kx; ky) vôùi k  R;        Ví duï 1: Cho a  (1;2) , b  (3;4) , c  (5;1) . Tìm toïa ñoä vectô u  2a  b  c . Giaûi: ............................................................................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................................................................      Ví dụ 2: Cho a  (1;1), b  (2;1) . Hãy phân tích vectơ c  (4;1) theo a và b . Giải: ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... ..................................................................................................................     * Chuù yù: Vectô u =(u1; u2) cuøng phöông vôùi vectô v =(v1; v2) vôùi v  0 khi vaø chæ khi toàn taïi  u1  kv1   soá thöïc k khaùc 0 sao cho u  kv hay  . u 2  kv2    Ví duï 1: Cho u =(2; -5). Tìm x bieát raèng b = (6; x) cuøng phöông vôùi u . Giaûi: ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. Ví duï 2: Cho ba ñieåm A(-2; -1), B(3; 3 ), C(2; 1). Haõy chöùng minh ba ñieåm A, B, C thaúng haøng. 2 Hai vectô AB vaø AC cuøng höôùng hay ngöôïc höôùng? Giaûi: ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- 13 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. 4. Toïa ñoä trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng. Toïa ñoä cuûa troïng taâm tam giaùc:   Cho A(xA; yA), B(xB; yB), gọi I(xI; yI) là trung điểm AB. Từ đăng thức IA  IB  0 , hãy tìm tọa độ điểm I?  Cho đoạn thẳng AB có A(xA; yA), B(xB; yB). Khi đó tọa độ trung điểm I(xI; yI) của AB được tính theo y  yB x  xB công thức: xI  A , yI  A . 2 2  Cho A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC), gọi G(xG; yG) là trọng tâm tam giác ABC. Hãy phân tích vectơ OG theo ba vectơ OA, OB, OC . Từ đó hãy tính tọa độ của G theo tọa độ của A, B, C.  Cho tam giác ABC có A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC). Khi đó tọa độ trọng tâm G(xG; yG) được tính x  x B  xC y  y B  yC theo công thức xG  A , yG  A . 3 3 Ví dụ: Cho tam giác ABC có ba đỉnh A(2; 3), B(6; 7), C(1; 2). Tìm tọa độ trung điểm I của cạnh AB và trọng tâm G của tam giác ABC. Giải: ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... ..................................................................................................................  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. 14 ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. BÀI TẬP RÈN LUYỆN  Bài 1: Trên trục (O; e ) cho các điểm A, B, M, N có tọa độ lần lượt là -1; 2; 3; -2. a) Hãy vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho trên trục; b) Tính độ dài đại số của AB và MN . Từ đó suy ra hai vectơ AB và MN ngược hướng. Bài 2: Tìm tọa độ của các vectơ sau:           a) a  2i ; b) b  3 j ; c) c  3i  4 j ; d) d  0,2i  3 j . Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có A(-1; -2), B(3; 2), C(4; -1). Tìm tọa độ đỉnh D.      Bài 4: Cho a =(2; -2), b =(1; 4). Hãy phân tích vectơ c =(5; 0) theo hai vectơ a và b . Bài 5: Các điểm A'(-4; 1), B'(2; 4) và C'(2; -2) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA và AB của tam giác ABC. Tính tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ABC và A'B'C' trùng nhau. CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- 15 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 * ÔN TẬP CHƯƠNG I * ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... 16 ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Hãy chỉ ra các vectơ bằng AB có điểm đầu và điểm cuối là O hoặc các đỉnh của lục giác. Bài 2: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính: a) AB AC ; b) AB AC . Bài 3: Cho sáu điểm M, N, P, Q, R, S bất kì. Chứng minh rằng: MP  NQ  RS MS  NP  RQ . Bài 4: Chứng minh rằng nếu G và G' lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và A'B'C' thì ta có đẳng thức: 3GG'  AA'  BB'  CC' .    Bài 5: Cho a = (2; 1), b = (3; -4), c = (-7; 2).     a) Tìm tọa độ của vectơ u  3a  2b  4c ;      b) Tìm tọa độ vectơ x sao cho x  a  b  c ;    c) Tìm các số k và h sao cho c  ka  hb .      1   Bài 6: Cho u  i  5 j , v  mi  4 j . Tìm m để u và v cùng phương. 2 Bài 7: Cho tam giác OAB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Tìm các số m, n sao cho: a) OM  mOA  nOB; b) AN  mOA  nOB ; c) MN  mOA  nOB ; d) MB  mOA nOB . CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................ ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- 17 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 CHƯƠNG II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG ----- oOo -----  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1. Các điểm đặc biệt trong tam giác: A A A ha b c A b c G H R hc b c O I hb B a C a B r C B C M C B a Trọng tâm G của tam giác là Trực tâm H của tam giác Tâm O đường tròn ngoại Tâm I của đường tròn nội giao điểm ba đường trung ABC là giao điểm ba tiếp ABC là giao điểm tiếp ABC là giao điểm ba 2 đường cao. tuyến, và AG  AM . ba đường trung trực. đường phân giác trong. 3 2. Tam giác vuông ABC vuông tại A:  Hệ thức lượng: A A B  B C AC AB BC BC AC AB AC AB 2 2  Định lí Pitago: BC = AB + AC2 1  Diện tích: S = AB.AC 2 3. Các công thức đặc biệt: H C M  Nghịch đảo đường cao bình phương:  Độ dài đường trung tuyến AM =  Công thức khác: AB.AC = AH.BC 3 4  Độ dài đường chéo hình vuông: l = cạnh  2 4. Diện tích các hình đặc biệt khác:  Diện tích tam giác đều: S = (cạnh)2  1 1 1   2 2 AH AB AC 2 1 BC 2 BA2 = BH.BC  Chiều cao tam giác đều: h = cạnh  3 2 1 (chép dài  chéo ngắn) 2 1  Hình thang: S = (đáy lớn + đáy bé)  chiều cao 2  Hình bình hành: S = đáy  chiều cao  Hình vuông: S = cạnh  cạnh  Hình thoi: S =  Hình chữ nhật: S = dài  rộng  Hình tròn: S = R2 5. Hai tam giác đồng dạng và định lí Talet: B A N A CA2 = CH.CB C M M N P  ABC ∽MNP nếu chúng có hai góc tương ứng bằng nhau. AB MN   Nếu ABC ∽MNPthì AC MP C B AM AN MN   AB AC BC §1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 00 ĐẾN 1800 18 ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 1. Định nghĩa: y Nửa đường tròn đơn vị: Nửa đường tròn tâm O nằm phía trên trục hoành bán kính R = 1 được gọi là nửa đường tròn đơn vị. 1 x R=1 O -1 1  Nếu cho trước một góc nhọn  thì ta có thể xác định một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho góc xOM bằng . Giả sử điểm M có tọa độ (x0; y0). Hãy chứng tỏ rằng sin = y0, cos = x0, tan = Với mỗi góc  (00    1800) ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho góc xOM bằng và giả sử điểm M có tọa độ M(x0; y0). Khi đó ta định nghĩa:  sin của góc  là x0, kí hiệu sin = y0;  côsin của góc  là x0, kí hiệu cos = x0; y y  tang của góc  là 0 (x0 ≠ 0), kí hiệu tan = 0 ; x0 x0 x x  côtang của góc  là 0 (y0 ≠ 0), kí hiệu cot = 0 . y0 y0 y0 x , cot = 0 x0 y0 y 1 M y0  x0 -1 x R=1 O 1 Caùc soá sin, cos, tan, cot được gọi là các giá trị lượng giác của góc .  Nhắc lại mối quan hệ giữa tọa độ của điểm M(x0; y0) và độ dài đại số của các vectơ OH vaø OK trong hình vẽ sau: .................................................................................................................... y .................................................................................................................... K y 0 M (x0;y0) .................................................................................................................... H x0 x O Ví duï: Tìm caùc giaù trò löôïng giaùc cuûa goùc 1350. Giaûi: y ........................................................................................................................ M ....................................................................................................................... y0 ...................................................................................................................... 1350 ...................................................................................................................... x0 x O * Chú ý:  Nếu  là góc tù thì cos, tancot   tan chỉ xác định khi  ≠ 900, cot chỉ xác định khi  ≠ 00 và  ≠ 1800. 2. Tính chất: y 0 sin(108 cos(1080 tan(1080 cot(1080 - - N M y0  -x0 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt:  00 Giá trị 300 450 ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- O 600 x0 x 900 19 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 lượng giác 0 1 0  1 2 3 2 1 3 3 2 2 2 2 3 2 1 2 1 3  1 1 3 0 1 0 Ví duï: Tìm caùc giaù trò löôïng giaùc cuûa caùc goùc 1200 vaø 1500. Giaûi: ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. 4. Goùc giöõa hai vectô:   Ñònh nghóa: Cho hai vectô a vaø b ñeàu khaùc vectô    0 . Töø moät ñieåm O baát kì ta veõ OA  a vaø OB  b . Goùc AOB vôùi soá ño töø 00 ñeán 1800 ñöôïc goïi laø   goùc giöõa hai vectô a vaø b . Ta kí hieäu goùc giöõa hai     vectô a vaø b laø (a, b) .     Neáu (a, b) = 900 thì ta noùi raèng a vaø b vuoâng     goùc vôùi nhau, kí hieäu laø a  b hoaëc b  a .     * Chuù yù: Töø ñònh nghóa ta coù (a, b) = (b, a) A b a a B b O Ví duï: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A vaø coù goùc B = 500. Tính caùc goùc ( BA, BC ), ( AB, BC ), ( CA,CB ), ( AC, BC ), ( AC,CB), ( AC, BA). Giaûi: ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. ..................................................................................................................... .................................................................................................................. 5. Söû duïng maùy tính boû tuùi ñeå tính giaù trò löôïng giaùc cuûa moät goùc:  Tính caùc giaù trò löôïng giaùc cuûa goùc : Ấn MODE khi màn hình xuất hiện "Độ" Deg Rad Gra 1 2 3 ấn 1 để chọn đơn vị đo góc là "độ". "Radian" Để tính sin, cos, tan của một góc  ấn sin, cos hay tan  ấn góc . Ví dụ: Tính sin của góc  = 63052'41'' ta thực hiện: Ấn sin  ấn 63  ấn o'''  ấn 52 ấn o'''  ấn 41 ấn o'''  ấn = ta được kết quả  0.897859012 0 * Chú ý: 1 = 60', 1' = 60''. 20 ----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----