Luận văn - Báo cáo
Kinh tế thương mại
Công nghệ thông tin
Quản trị mạng
Lập trình
Đồ họa
Web
Hệ thống thông tin
Thương mại điện tử
Lập trình di động
Công nghệ - Môi trường
Y khoa - Dược
Khoa học xã hội
Giáo dục học
Đông phương học
Việt Nam học
Văn hóa - Lịch sử
Xã hội học
Báo chí
Tâm lý học
Văn học - Ngôn ngữ học
Quan hệ quốc tế
Khoa học tự nhiên
Địa lý - Địa chất
Toán học
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Nông - Lâm - Ngư
Cao su - Cà phê - Hồ tiêu
Lâm nghiệp
Nông học
Chăn nuôi
Thú y
Thủy sản
Công nghệ thực phẩm
Báo cáo khoa học
Thạc sĩ - Cao học
Kỹ thuật
Nông - Lâm - Ngư
Kiến trúc - Xây dựng
Luật
Sư phạm
Y dược - Sinh học
Công nghệ thông tin
Khoa học tự nhiên
Khoa học xã hội
Kinh tế
Tiến sĩ
Kinh tế - Quản lý
Kiểm toán
Xuất nhập khẩu
Chứng khoán
Tài chính thuế
Marketing
Bảo hiểm
Định giá - Đấu thầu
Kế toán
Dịch vụ - Du lịch
Bất động sản
Tài chính - Ngân hàng
Quản trị kinh doanh
Lý luận chính trị
Đường lối cách mạng
Kinh tế chính trị
Chủ nghĩa xã hội khoa học
Tư tưởng Hồ Chí Minh
Triết học Mác - Lênin
Kỹ thuật
Hóa dầu
Giao thông - Vận tải
Điện - Điện tử
Viễn thông
Cơ khí - Vật liệu
Kiến trúc - Xây dựng
Mẫu Slide
Văn Bản
Box Hình
Box vòng tròn
Box Chú Giải
Box Thẻ
Box chữ nhật
Box Ghi Chú
Box mũi tên
Hình Vẽ
Hình Khối
Kim Tự Tháp
Mũi Tên
Hình Cầu
Bánh Xe
Biểu Đồ
Thanh
Đường
Hình Tròn
Ma Trận
Tổ Chức
Sơ Đồ
Giai Đoạn
Tiến Trình
Hình Cây
Lắp Hình
Mẫu Slide
Kế Hoạch
Công Việc Phải Làm
Lịch
Sơ Đồ Gantt
Thời Gian
Hình Minh Họa
Kinh Tế
Thiên Nhiên
Đất Nước
Nghệ Thuật
Giáo Dục
Ảnh Vui
Khoa Học
Công Nghệ
Con Người
Văn Hóa
Phân tích
Biểu Tượng
Hình Người
Biểu Tượng
Minh Họa
Hình Động
Hình Nền
Công Nghệ
Khoa Học
Dịch Vụ
Sản Phẩm
Tài Chính
Giáo Dục
Kinh Doanh
Giải Trí
Thiên Nhiên
Con Người
Trừu Tượng
Thể Thao
Tài chính - Ngân hàng
Báo cáo tài chính
Đầu tư Bất động sản
Bảo hiểm
Quỹ đầu tư
Đầu tư chứng khoán
Tài chính doanh nghiệp
Ngân hàng - Tín dụng
Kế toán - Kiểm toán
Công nghệ thông tin
Thủ thuật máy tính
An ninh bảo mật
Phần cứng
Chứng chỉ quốc tế
Tin học văn phòng
Quản trị web
Kỹ thuật lập trình
Quản trị mạng
Thiết kế - Đồ họa
Hệ điều hành
Cơ sở dữ liệu
Giáo án - Bài giảng
Tư liệu khác
Văn mẫu
Văn Tự Sự
Văn Kể Chuyện
Văn Nghị Luận
Văn Miêu Tả
Văn Chứng Minh
Văn Biểu Cảm
Văn Bản Mẫu
Văn Thuyết Minh
Hóa học
Ngữ văn
Vật lý
Toán học
Sinh học
Lịch sử
Cao đẳng - Đại học
Tiểu học
Mầm non - Mẫu giáo
Địa lý
GDCD-GDNGLL
Âm nhạc
Mỹ thuật
Thể dục
Công nghệ
Tin học
Tiếng anh
Giáo dục hướng nghiệp
Sáng kiến kinh nghiệm
Bài giảng điện tử
Giáo án điện tử
Trung học phổ thông
Trung học cơ sở
Mầm non
Tiểu học
Giáo dục - Đào tạo
Luyện thi - Đề thi
Đề thi tuyển dụng
Đề thi dành cho sinh viên
Thi THPT Quốc Gia
Hóa học
Vật lý
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Sinh học
Lịch sử
Địa ly
Công chức - Viên chức
Đề thi lớp 1
Đề thi lớp 2
Đề thi lớp 3
Đề thi lớp 4
Đề thi lớp 5
Đề thi lớp 6
Đề thi lớp 7
Đề thi lớp 8
Đề thi lớp 9
Đề thi lớp 10
Đề thi lớp 11
Đề thi lớp 12
Tuyển sinh lớp 10
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Luyện thi Đại học - Cao đẳng
Địa lý
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Vật lý
Toán học
Văn học
Ngoại ngữ
Quy chế tuyển sinh
Quy chế tuyển sinh 2015
Khối B
Môn hóa
Môn toán
Môn sinh
Khối A
Môn tiếng Anh A1
Môn hóa
Môn lý
Môn toán
Khối D
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Khối C
Môn địa lý
Môn lịch sử
Môn văn
Mầm non - Mẫu giáo
Lứa tuổi 12 - 24 tháng
Lứa tuổi 3 - 12 tháng
Lứa tuổi 24 - 36 tháng
Mẫu giáo nhỡ
Mẫu giáo bé
Mẫu giáo lớn
Tiểu học
Lớp 5
Lớp 4
Lớp 3
Lớp 2
Lớp 1
Trung học cơ sở
Lớp 9
Tiếng Anh
Tin học
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Toán học
Lịch sử
Công nghệ
Ngữ văn
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lớp 8
Toán học
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Tin học
Công nghệ
Ngữ văn
Lớp 7
Ngữ văn
Âm nhạc
Toán học
Tiếng Anh
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Tin học
Mỹ thuật
Công nghệ
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Vật lý
Lớp 6
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Âm nhạc
Mỹ thuật
Tin học
Ngữ văn
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Công nghệ
Toán học
Trung học phổ thông
Lớp 10
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Tin học
Toán học
Ngữ văn
Công nghệ
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Lớp 12
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Toán học
Vật lý
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Công nghệ
Tiếng Anh
Ngữ văn
Tin học
Lớp 11
Tin học
Ngữ văn
Giáo dục công dân
Vật lý
Địa lý
Công nghệ
Tiếng Anh
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Thể dục
Toán học
Cao đẳng - Đại học
Kỹ thuật - Công nghệ
Hàng không
Điều khiển và tự động hóa
Kỹ thuật hạt nhân
Kỹ thuật nhiệt lạnh
Công nghệ sinh học
Công nghệ thực phẩm
Cơ điện tử
Hóa dầu - Tàu thủy
Điện - Điện tử - Viễn thông
Cơ khí - Luyện kim
Kiến trúc xây dựng
Vật liệu xây dựng
Quy hoạch và khảo sát xây dựng
Kết cấu - Thi công công trình
Công trình giao thông, thủy lợi
Màu sắc kiến trúc
Thiết kế ngoại thất
Thiết kế kiến trúc - Quy hoạch
Kỹ thuật nền móng - Tầng hầm
Văn bản pháp luật - Quy chuẩn xây dựng
Phong thủy
Thiết kế nội thất
Thi công - Nghiệm thu và Thiết bị xây dựng
Sư phạm
Sư phạm sinh
Sư phạm sử
Sư phạm mầm non
Sư phạm tiểu học
Sư phạm ngoại ngữ
Sư phạm địa
Sư phạm văn
Sư phạm hóa
Quản lý giáo dục
Sư phạm toán
Sư phạm vật lý
Công nghệ thông tin
Lập trình trên social network platform
Lập trình ứng dụng di động
Lập trình web
Database
Mã hóa - Giải mã và thuật toán
Lập trình ứng dụng
Ngôn ngữ nhúng và một số ngôn ngữ khác
Mạng căn bản
Chuyên đề mạng không dây
Quản trị mạng Linux
Quản trị mạng Windows
Hệ thống mạng Cisco
Bảo mật
Luật
Luật tài nguyên môi trường
Luật dân sự
Luật doanh nghiệp
Luật thương mại
Luật hình sự - Luật tố tụng hình sự
Khoa học xã hội
Đông phương học
Địa lý học
Nhân học - Tâm lý học
Quan hệ quốc tế
Hành chính - Văn thư
Văn hóa - Lịch sử
Báo chí
Văn học - Ngôn ngữ học
Quản lý đô thị - Đất đai - Công tác xã hội
Giáo dục học
Việt Nam học
Xã hội học
Chuyên ngành kinh tế
Phân tích tài chính doanh nghiệp
Kinh tế công cộng
Kinh tế môi trường
Thị trường tài chính
Thẩm định dự án đầu tư
Đầu tư quốc tế
Tài chính công
Vận tải trong ngoại thương
Giao dịch thương mại quốc tế
Marketing quốc tế
Bảo hiểm
Hải quan
Dịch vụ - Du lịch
Thị trường chứng khoán
Nguyên lý kế toán
Kế toán tài chính
Kế toán ngân hàng thương mại
Kế toán quản trị
Thanh toán quốc tế
Thuế
Lý thuyết kiểm toán
Kiểm toán hành chính sự nghiệp
Quản trị tài chính doanh nghiệp
Kiểm toán phần hành
Y dược
Sản phụ khoa
Da liễu
Hóa dược
Tai - Mũi - Họng
Chẩn đoán hình ảnh
Răng - Hàm - Mặt
Nhãn khoa
Y học công cộng
Gây mê hồi sức
Y học cổ truyền
Tâm thần
Huyết học - Truyền máu
Truyền nhiễm
Vi sinh học
Bào chế
Điều dưỡng
Nội khoa
Nhi khoa
Ngoại khoa
Y học gia đình
Đại cương
Lý thuyết tài chính tiền tệ
Marketing căn bản
Lý thuyết xác suất - thống kê
Toán cao cấp
Triết học
Kinh tế vi mô
Đường lối cách mạng
Pháp luật đại cương
Tư tưởng Hồ Chí Minh
Kinh tế chính trị
Chủ nghĩ xã hội
Toán rời rạc
Kinh tế lượng
Kinh tế vĩ mô
Logic học
Phương pháp học tập và nghiên cứu khoa học
Tin học đại cương
Kỹ thuật - Công nghệ
Y - Dược
Giáo dục hướng nghiệp
Địa lý
GDCD-GDNGLL
Âm nhạc
Mỹ thuật
Thể dục
Công nghệ
Tin học
Tiếng Anh
Lịch sử
Sinh học
Vật lý
Toán học
Luật
Văn học
Hóa học
Ngoại ngữ
Tiếng Nhật - Hàn
Tiếng Nga - Trung - Pháp
Luận văn báo cáo - ngoại ngữ
TOEFL - IELTS - TOEIC
Ngữ pháp tiếng Anh
Anh ngữ phổ thông
Anh văn thương mại
Anh ngữ cho trẻ em
Kỹ năng nghe tiếng Anh
Kỹ năng nói tiếng Anh
Kỹ năng đọc tiếng Anh
Kỹ năng viết tiếng Anh
Chứng chỉ A,B,C
Kiến thức tổng hợp
Kế toán - Kiểm toán
Kế toán
Kiểm toán
Kinh tế - Quản lý
Quản lý nhà nước
Tiêu chuẩn - Qui chuẩn
Quản lý dự án
Quy hoạch đô thị
Kinh doanh - Tiếp thị
Kỹ năng bán hàng
PR - Truyền thông
Tổ chức sự kiện
Internet Marketing
Quản trị kinh doanh
Kế hoạch kinh doanh
Thương mại điện tử
Tiếp thị - Bán hàng
Sách - Truyện đọc
Sách-Ebook
Công nghệ
Văn hóa giải trí
Giáo dục học tập
Y học
Kinh tế
Ngoại ngữ
Ngôn tình
Truyện dài
Truyện văn học
Truyện thiếu nhi
Truyện kiếm hiệp
Truyện cười
Truyện Ma - Kinh dị
Truyện ngắn
Tiểu thuyết
Tự truyện
Văn hóa - Nghệ thuật
Âm nhạc
Ẩm thực
Khéo tay hay làm
Báo chí - Truyền thông
Mỹ thuật
Điêu khắc - Hội họa
Thời trang - Làm đẹp
Sân khấu điện ảnh
Du lịch
Tôn giáo
Chụp ảnh - Quay phim
Kỹ thuật - Công nghệ
Điện - Điện tử
Kỹ thuật viễn thông
Cơ khí chế tạo máy
Tự động hóa
Kiến trúc xây dựng
Hóa học - Dầu khi
Năng lượng
Kỹ năng mềm
Tâm lý - Nghệ thuật sống
Kỹ năng quản lý
Kỹ năng tư duy
Kỹ năng giao tiếp
Kỹ năng thuyết trình
Kỹ năng lãnh đạo
Kỹ năng phỏng vấn
Kỹ năng đàm phán
Kỹ năng tổ chức
Kỹ năng làm việc nhóm
Y tế - Sức khỏe
Y học thường thức
Y học
Sức khỏe - dinh dưỡng
Sức khỏe người lớn tuổi
Sức khỏe giới tính
Sức khỏe phụ nữ
Sức khỏe trẻ em
Khoa học tự nhiên
Toán học
Vật lý
Hóa học - Dầu khi
Sinh học
Môi trường
Khoa học xã hội
Triết học
Văn học
Lịch sử
Địa lý
Biểu mẫu - Văn bản
Đơn từ
Thủ tục hành chính
Hợp đồng
Văn bản
Biểu mẫu
Nông - Lâm - Ngư
Nông nghiệp
Lâm nghiệp
Ngư nghiệp
Thể loại khác
Chưa phân loại
Phật
Văn khấn cổ truyền
Phong Thủy
Đăng ký
Đăng nhập
Luận văn - Báo cáo
Kinh tế thương mại
Công nghệ thông tin
Quản trị mạng
Lập trình
Đồ họa
Web
Hệ thống thông tin
Thương mại điện tử
Lập trình di động
Công nghệ - Môi trường
Y khoa - Dược
Khoa học xã hội
Giáo dục học
Đông phương học
Việt Nam học
Văn hóa - Lịch sử
Xã hội học
Báo chí
Tâm lý học
Văn học - Ngôn ngữ học
Quan hệ quốc tế
Khoa học tự nhiên
Địa lý - Địa chất
Toán học
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Nông - Lâm - Ngư
Cao su - Cà phê - Hồ tiêu
Lâm nghiệp
Nông học
Chăn nuôi
Thú y
Thủy sản
Công nghệ thực phẩm
Báo cáo khoa học
Thạc sĩ - Cao học
Kỹ thuật
Nông - Lâm - Ngư
Kiến trúc - Xây dựng
Luật
Sư phạm
Y dược - Sinh học
Công nghệ thông tin
Khoa học tự nhiên
Khoa học xã hội
Kinh tế
Tiến sĩ
Kinh tế - Quản lý
Kiểm toán
Xuất nhập khẩu
Chứng khoán
Tài chính thuế
Marketing
Bảo hiểm
Định giá - Đấu thầu
Kế toán
Dịch vụ - Du lịch
Bất động sản
Tài chính - Ngân hàng
Quản trị kinh doanh
Lý luận chính trị
Đường lối cách mạng
Kinh tế chính trị
Chủ nghĩa xã hội khoa học
Tư tưởng Hồ Chí Minh
Triết học Mác - Lênin
Kỹ thuật
Hóa dầu
Giao thông - Vận tải
Điện - Điện tử
Viễn thông
Cơ khí - Vật liệu
Kiến trúc - Xây dựng
Mẫu Slide
Văn Bản
Box Hình
Box vòng tròn
Box Chú Giải
Box Thẻ
Box chữ nhật
Box Ghi Chú
Box mũi tên
Hình Vẽ
Hình Khối
Kim Tự Tháp
Mũi Tên
Hình Cầu
Bánh Xe
Biểu Đồ
Thanh
Đường
Hình Tròn
Ma Trận
Tổ Chức
Sơ Đồ
Giai Đoạn
Tiến Trình
Hình Cây
Lắp Hình
Mẫu Slide
Kế Hoạch
Công Việc Phải Làm
Lịch
Sơ Đồ Gantt
Thời Gian
Hình Minh Họa
Kinh Tế
Thiên Nhiên
Đất Nước
Nghệ Thuật
Giáo Dục
Ảnh Vui
Khoa Học
Công Nghệ
Con Người
Văn Hóa
Phân tích
Biểu Tượng
Hình Người
Biểu Tượng
Minh Họa
Hình Động
Hình Nền
Công Nghệ
Khoa Học
Dịch Vụ
Sản Phẩm
Tài Chính
Giáo Dục
Kinh Doanh
Giải Trí
Thiên Nhiên
Con Người
Trừu Tượng
Thể Thao
Tài chính - Ngân hàng
Báo cáo tài chính
Đầu tư Bất động sản
Bảo hiểm
Quỹ đầu tư
Đầu tư chứng khoán
Tài chính doanh nghiệp
Ngân hàng - Tín dụng
Kế toán - Kiểm toán
Công nghệ thông tin
Thủ thuật máy tính
An ninh bảo mật
Phần cứng
Chứng chỉ quốc tế
Tin học văn phòng
Quản trị web
Kỹ thuật lập trình
Quản trị mạng
Thiết kế - Đồ họa
Hệ điều hành
Cơ sở dữ liệu
Giáo án - Bài giảng
Tư liệu khác
Văn mẫu
Văn Tự Sự
Văn Kể Chuyện
Văn Nghị Luận
Văn Miêu Tả
Văn Chứng Minh
Văn Biểu Cảm
Văn Bản Mẫu
Văn Thuyết Minh
Hóa học
Ngữ văn
Vật lý
Toán học
Sinh học
Lịch sử
Cao đẳng - Đại học
Tiểu học
Mầm non - Mẫu giáo
Địa lý
GDCD-GDNGLL
Âm nhạc
Mỹ thuật
Thể dục
Công nghệ
Tin học
Tiếng anh
Giáo dục hướng nghiệp
Sáng kiến kinh nghiệm
Bài giảng điện tử
Giáo án điện tử
Trung học phổ thông
Trung học cơ sở
Mầm non
Tiểu học
Giáo dục - Đào tạo
Luyện thi - Đề thi
Đề thi tuyển dụng
Đề thi dành cho sinh viên
Thi THPT Quốc Gia
Hóa học
Vật lý
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Sinh học
Lịch sử
Địa ly
Công chức - Viên chức
Đề thi lớp 1
Đề thi lớp 2
Đề thi lớp 3
Đề thi lớp 4
Đề thi lớp 5
Đề thi lớp 6
Đề thi lớp 7
Đề thi lớp 8
Đề thi lớp 9
Đề thi lớp 10
Đề thi lớp 11
Đề thi lớp 12
Tuyển sinh lớp 10
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Luyện thi Đại học - Cao đẳng
Địa lý
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Vật lý
Toán học
Văn học
Ngoại ngữ
Quy chế tuyển sinh
Quy chế tuyển sinh 2015
Khối B
Môn hóa
Môn toán
Môn sinh
Khối A
Môn tiếng Anh A1
Môn hóa
Môn lý
Môn toán
Khối D
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Khối C
Môn địa lý
Môn lịch sử
Môn văn
Mầm non - Mẫu giáo
Lứa tuổi 12 - 24 tháng
Lứa tuổi 3 - 12 tháng
Lứa tuổi 24 - 36 tháng
Mẫu giáo nhỡ
Mẫu giáo bé
Mẫu giáo lớn
Tiểu học
Lớp 5
Lớp 4
Lớp 3
Lớp 2
Lớp 1
Trung học cơ sở
Lớp 9
Tiếng Anh
Tin học
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Toán học
Lịch sử
Công nghệ
Ngữ văn
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lớp 8
Toán học
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Tin học
Công nghệ
Ngữ văn
Lớp 7
Ngữ văn
Âm nhạc
Toán học
Tiếng Anh
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Tin học
Mỹ thuật
Công nghệ
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Vật lý
Lớp 6
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Âm nhạc
Mỹ thuật
Tin học
Ngữ văn
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Công nghệ
Toán học
Trung học phổ thông
Lớp 10
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Tin học
Toán học
Ngữ văn
Công nghệ
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Lớp 12
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Toán học
Vật lý
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Công nghệ
Tiếng Anh
Ngữ văn
Tin học
Lớp 11
Tin học
Ngữ văn
Giáo dục công dân
Vật lý
Địa lý
Công nghệ
Tiếng Anh
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Thể dục
Toán học
Cao đẳng - Đại học
Kỹ thuật - Công nghệ
Hàng không
Điều khiển và tự động hóa
Kỹ thuật hạt nhân
Kỹ thuật nhiệt lạnh
Công nghệ sinh học
Công nghệ thực phẩm
Cơ điện tử
Hóa dầu - Tàu thủy
Điện - Điện tử - Viễn thông
Cơ khí - Luyện kim
Kiến trúc xây dựng
Vật liệu xây dựng
Quy hoạch và khảo sát xây dựng
Kết cấu - Thi công công trình
Công trình giao thông, thủy lợi
Màu sắc kiến trúc
Thiết kế ngoại thất
Thiết kế kiến trúc - Quy hoạch
Kỹ thuật nền móng - Tầng hầm
Văn bản pháp luật - Quy chuẩn xây dựng
Phong thủy
Thiết kế nội thất
Thi công - Nghiệm thu và Thiết bị xây dựng
Sư phạm
Sư phạm sinh
Sư phạm sử
Sư phạm mầm non
Sư phạm tiểu học
Sư phạm ngoại ngữ
Sư phạm địa
Sư phạm văn
Sư phạm hóa
Quản lý giáo dục
Sư phạm toán
Sư phạm vật lý
Công nghệ thông tin
Lập trình trên social network platform
Lập trình ứng dụng di động
Lập trình web
Database
Mã hóa - Giải mã và thuật toán
Lập trình ứng dụng
Ngôn ngữ nhúng và một số ngôn ngữ khác
Mạng căn bản
Chuyên đề mạng không dây
Quản trị mạng Linux
Quản trị mạng Windows
Hệ thống mạng Cisco
Bảo mật
Luật
Luật tài nguyên môi trường
Luật dân sự
Luật doanh nghiệp
Luật thương mại
Luật hình sự - Luật tố tụng hình sự
Khoa học xã hội
Đông phương học
Địa lý học
Nhân học - Tâm lý học
Quan hệ quốc tế
Hành chính - Văn thư
Văn hóa - Lịch sử
Báo chí
Văn học - Ngôn ngữ học
Quản lý đô thị - Đất đai - Công tác xã hội
Giáo dục học
Việt Nam học
Xã hội học
Chuyên ngành kinh tế
Phân tích tài chính doanh nghiệp
Kinh tế công cộng
Kinh tế môi trường
Thị trường tài chính
Thẩm định dự án đầu tư
Đầu tư quốc tế
Tài chính công
Vận tải trong ngoại thương
Giao dịch thương mại quốc tế
Marketing quốc tế
Bảo hiểm
Hải quan
Dịch vụ - Du lịch
Thị trường chứng khoán
Nguyên lý kế toán
Kế toán tài chính
Kế toán ngân hàng thương mại
Kế toán quản trị
Thanh toán quốc tế
Thuế
Lý thuyết kiểm toán
Kiểm toán hành chính sự nghiệp
Quản trị tài chính doanh nghiệp
Kiểm toán phần hành
Y dược
Sản phụ khoa
Da liễu
Hóa dược
Tai - Mũi - Họng
Chẩn đoán hình ảnh
Răng - Hàm - Mặt
Nhãn khoa
Y học công cộng
Gây mê hồi sức
Y học cổ truyền
Tâm thần
Huyết học - Truyền máu
Truyền nhiễm
Vi sinh học
Bào chế
Điều dưỡng
Nội khoa
Nhi khoa
Ngoại khoa
Y học gia đình
Đại cương
Lý thuyết tài chính tiền tệ
Marketing căn bản
Lý thuyết xác suất - thống kê
Toán cao cấp
Triết học
Kinh tế vi mô
Đường lối cách mạng
Pháp luật đại cương
Tư tưởng Hồ Chí Minh
Kinh tế chính trị
Chủ nghĩ xã hội
Toán rời rạc
Kinh tế lượng
Kinh tế vĩ mô
Logic học
Phương pháp học tập và nghiên cứu khoa học
Tin học đại cương
Kỹ thuật - Công nghệ
Y - Dược
Giáo dục hướng nghiệp
Địa lý
GDCD-GDNGLL
Âm nhạc
Mỹ thuật
Thể dục
Công nghệ
Tin học
Tiếng Anh
Lịch sử
Sinh học
Vật lý
Toán học
Luật
Văn học
Hóa học
Ngoại ngữ
Tiếng Nhật - Hàn
Tiếng Nga - Trung - Pháp
Luận văn báo cáo - ngoại ngữ
TOEFL - IELTS - TOEIC
Ngữ pháp tiếng Anh
Anh ngữ phổ thông
Anh văn thương mại
Anh ngữ cho trẻ em
Kỹ năng nghe tiếng Anh
Kỹ năng nói tiếng Anh
Kỹ năng đọc tiếng Anh
Kỹ năng viết tiếng Anh
Chứng chỉ A,B,C
Kiến thức tổng hợp
Kế toán - Kiểm toán
Kế toán
Kiểm toán
Kinh tế - Quản lý
Quản lý nhà nước
Tiêu chuẩn - Qui chuẩn
Quản lý dự án
Quy hoạch đô thị
Kinh doanh - Tiếp thị
Kỹ năng bán hàng
PR - Truyền thông
Tổ chức sự kiện
Internet Marketing
Quản trị kinh doanh
Kế hoạch kinh doanh
Thương mại điện tử
Tiếp thị - Bán hàng
Sách - Truyện đọc
Sách-Ebook
Công nghệ
Văn hóa giải trí
Giáo dục học tập
Y học
Kinh tế
Ngoại ngữ
Ngôn tình
Truyện dài
Truyện văn học
Truyện thiếu nhi
Truyện kiếm hiệp
Truyện cười
Truyện Ma - Kinh dị
Truyện ngắn
Tiểu thuyết
Tự truyện
Văn hóa - Nghệ thuật
Âm nhạc
Ẩm thực
Khéo tay hay làm
Báo chí - Truyền thông
Mỹ thuật
Điêu khắc - Hội họa
Thời trang - Làm đẹp
Sân khấu điện ảnh
Du lịch
Tôn giáo
Chụp ảnh - Quay phim
Kỹ thuật - Công nghệ
Điện - Điện tử
Kỹ thuật viễn thông
Cơ khí chế tạo máy
Tự động hóa
Kiến trúc xây dựng
Hóa học - Dầu khi
Năng lượng
Kỹ năng mềm
Tâm lý - Nghệ thuật sống
Kỹ năng quản lý
Kỹ năng tư duy
Kỹ năng giao tiếp
Kỹ năng thuyết trình
Kỹ năng lãnh đạo
Kỹ năng phỏng vấn
Kỹ năng đàm phán
Kỹ năng tổ chức
Kỹ năng làm việc nhóm
Y tế - Sức khỏe
Y học thường thức
Y học
Sức khỏe - dinh dưỡng
Sức khỏe người lớn tuổi
Sức khỏe giới tính
Sức khỏe phụ nữ
Sức khỏe trẻ em
Khoa học tự nhiên
Toán học
Vật lý
Hóa học - Dầu khi
Sinh học
Môi trường
Khoa học xã hội
Triết học
Văn học
Lịch sử
Địa lý
Biểu mẫu - Văn bản
Đơn từ
Thủ tục hành chính
Hợp đồng
Văn bản
Biểu mẫu
Nông - Lâm - Ngư
Nông nghiệp
Lâm nghiệp
Ngư nghiệp
Thể loại khác
Chưa phân loại
Phật
Văn khấn cổ truyền
Phong Thủy
Trang chủ
Giáo dục - Đào tạo
Toán học
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán toàn tập lớp 12...
Tài liệu Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán toàn tập lớp 12
.PDF
108
1804
50
dangvantuan
Báo vi phạm
Tải xuống
50
Đang tải nội dung...
Xem thêm (5 trang)
Tải về
Mô tả:
PhÇn thø nhÊt : C¸c Chuyªn §Ò PHƯƠNG TRÌNH HÀM Nguyễn Hoàng Ngải Tổ trưởng tổ Toán THPT Chuyên Thái Bình Một trong những chuyên đề rất quan trọng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi học sinh giỏi toán quốc gia, khu vực và quốc tế, đó là phương trình hàm, bất phương trình hàm. Có rất nhiều tài liệu viết về chuyên đề này. Qua một số năm bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi học sinh giỏi toán quốc gia và qua một số kì tập huấn hè tại Đại học khoa học tự nhiên – Đại học quốc gia Hà Nội, chúng tôi rút ra một số kinh nghiệm dạy về chuyên đề này và trao đổi với các đồng nghiệp. Phần I: NHẮC LẠI NHỮNG KHÁI NIÊM CƠ BẢN 1. Nguyên lý Archimede Hệ quả: ∀x ∈ ⇒ ∃!k ∈ : k ≤ x < k + 1 . Số k như thế gọi là phần nguyên của x, kí hiệu [x] Vậy : [ x ] ≤ x < [ x ] + 1 2. Tính trù mật Tập hợp A ⊂ x
0, ∃a ∈ A : α − ε < a α = sup A ⇔ ⎨ ⎧a ≥ β , ∀a ∈ A ⎩∀ε > 0, ∃a ∈ A : β + ε > a β = infA ⇔ ⎨ 4. Hàm sơ cấp ¾ Hàm số sơ cấp cơ bản là các hàm lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lượng giác, hàm số lượng giác ngược. ¾ Hàm số sơ cấp là những hàm được tạo thành bởi hữu hạn các phép toán số học ( +, - , x, : ), phép toán lấy hàm hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản. 5. Hàm cộng tính, nhân tính trên một tập hợp Hàm số f(x) được gọi là cộng tính trên tập xác định D nếu với mọi x, y ∈ D thì x + y ∈ D và f(x + y) = f(x) + f(y). Hàm số f(x) được gọi là nhân tính trên tập xác định D nếu với mọi x, y ∈ D thì x . y ∈ D và f(x . y) = f(x) . f(y). Nếu với mọi x, y ∈ D mà x+y ∈ D , x – y ∈ D và f( x – y) = f(x) – f(y) thì f(x) cũng gọi là một hàm cộng tính trên D. Hàm f(x) = ( là hàm nhân tính. 6. Hàm đơn điệu • Hàm số f(x) gọi là tăng trên (a, b) nếu : Với mọi x1 , x2 ∈ (a, b), x1 ≤ x2 ⇒ f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) • Hàm số f(x) gọi là giảm trên (a, b) nếu : Với mọi x1 , x2 ∈ (a, b), x1 ≤ x2 ⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) Phần II. CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG Phương pháp 1: Hệ số bất định. Tạp chí toán học trong nhà trường, số 8 – 2004 trang 62 – 66 (bản tiếng Nga) Nguyên tắc chung: 9 Dựa vào điều kiện bài toán, xác định được dạng của f(x), thường là f(x) = ax + b hoặc f(x) = ax2+ bx + c 9 Đồng nhất hệ số để tìm f(x) 9 Chứng minh rằng mọi hệ số khác của f(x) đều không thỏa mãn điều kiện bài toán. Phương pháp dồn biến → sao cho: Bài 1: Tìm f: ( x − y ) f ( x + y ) − ( x + y ) f ( x − y ) = 4 xy.( x 2 − y 2 ), ∀x, y ∈ Giải: u+v ⎧ x= ⎧u = x + y ⎪⎪ 2 Đặt ⇒⎨ ⎨ ⎩v = x − y ⎪y = u − v ⎪⎩ 2 2 ⇒ vf (u ) − uf (v) = (u 2 − v 2 )uv f (u ) 2 f (v) 2 ⇒ −u = − v , ∀u, v ≠ 0 u v Cho v = 1 ta có: f (u ) f (1) 2 − u2 = − 1 , ∀u ≠ 0 u 1 ⇒ f (u ) = u 3 + au, ∀u ≠ 0 (a = f(1) – 1) Cho x = y = 0 ta có 2f(0) = 0 do đó f(0) = 0 Kết luận f ( x) = x3 + ax, ∀x ∈ 1 ⎛ x −1 ⎞ Bài 2: f ( x − 1) − 3 f ⎜ ⎟ = 1 − 2 x, ∀x ≠ 2 ⎝ 1− 2x ⎠ Giải : x −1 y 1− y = y −1 ⇒ x = ⇒ x −1 = Đặt : 1 − 2x 2 y −1 2 y −1 ⎛ 1− y ⎞ 1 −1 , ∀y ≠ ⇒ f⎜ ⎟ − 3 f ( y − 1) = 2 y −1 2 ⎝ 2 y −1 ⎠ 1 −1 ⎛ x −1 ⎞ , ∀x ≠ ⇒ f⎜ ⎟ − 3 f ( x − 1) = 2x −1 2 ⎝ 1− 2x ⎠ ⎧ 1 ⎛ x −1 ⎞ ⎪ f ( x − 1) − 3 f ⎜ 1 − 2 x ⎟ = 1 − 2 x, ∀x ≠ 2 ⎪ ⎝ ⎠ ⇒⎨ ⎪⇒ f ⎛ x − 1 ⎞ − 3 f ( x − 1) = −1 , ∀x ≠ 1 ⎜ ⎟ ⎪⎩ 2x −1 2 ⎝ 1− 2x ⎠ 3 ⇒ −8 f ( x − 1) = 1 − 2 x + 1− 2x 1⎛ 3 ⎞ 1 ⇒ f ( x − 1) = ⎜ −1 + 2 x + ⎟ , ∀x ≠ 8⎝ 2x −1 ⎠ 2 1⎛ 3 ⎞ 1 ⇒ f ( x) = ⎜ 1 + 2 x + ⎟ , ∀x ≠ 8⎝ 2x +1 ⎠ 2 Ví dụ 1: Đa thức f(x) xác định với ∀x ∈ và thỏa mãn điều kiện: 2 f ( x) + f (1 − x) = x 2 , ∀x ∈ (1) . Tìm f(x) Giải: Ta nhận thấy vế trái của biểu thức dưới dấu f là bậc nhất : x, 1 – x vế phải là bậc hai x2. Vậy f(x) phải có dạng: f(x) = ax2 + bx + c Khi đó (1) trở thành: 2(ax2 + bx + c) + a(1 – x)2 + b(1 – x) + c = x2 ∀x ∈ do đó: 3ax2 + (b – 2a)x + a + b + 3c = x2, ∀x ∈ Đồng nhất các hệ số, ta thu được: 1 ⎧ a = ⎪ 3 ⎧3a = 1 ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⇔ ⎨b = ⎨b − 2a = 0 3 ⎪a + b + 3c = 0 ⎪ ⎩ 1 ⎪ ⎪c = − 3 ⎩ 3 1 f ( x) = ( x 2 + 2 x − 1) 3 Thử lại ta thấy hiển nhiên f(x) thỏa mãn điều kiện bài toán. Công việc còn lại ta phải chứng minh mọi hàm số khác f(x) sẽ không thỏa mãn điều kiện bài toán. Thật vậy giả sử còn hàm số g(x) khác f(x) thỏa mãn điều kiện bài toán. Do f(x) không trùng với g(x) nên ∃x0 ∈ : g ( x0 ) ≠ f ( x0 ) . Do g(x) thỏa mãn điều kiện bài toán nên: 2 g ( x) + g (1 − x) = x 2 , ∀x ∈ Thay x bởi x0 ta được: 2 g ( x0 ) + g (1 − x0 ) = x0 2 Vậy Thay x bởi 1 –x0 ta được 2 g (1 − x0 ) + g ( x0 ) = (1 − x0 ) 2 1 Từ hai hệ thức này ta được: g ( x0 ) = ( x0 2 + 2 x0 − 1) = f ( x0 ) 3 Điều này mâu thuẫn với g ( x0 ) ≠ f ( x0 ) 1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là f ( x) = ( x 2 + 2 x − 1) 3 Ví dụ 2: Hàm số y = f(x) xác định , liên tục với ∀x ∈ và thỏa mãn điều kiện: f(f(x)) = f(x) + x , ∀x ∈ Hãy tìm hai hàm số như thế. (Bài này đăng trên tạp chí KVANT số 7 năm 1986, bài M 995 – bản tiếng Nga) Giải Ta viết phương trình đã cho dưới dạng f(f(x)) – f(x) = x (1) Vế phải của phương trình là một hàm số tuyến tính vì vậy ta nên giả sử rằng hàm số cần tìm có dạng : f(x) = ax + b. Khi đó (1) trở thành: a( ax + b) + b – (ax + b) = x , ∀x ∈ hay (a2 –a )x + ab = x, ∀x ∈ đồng nhất hệ số ta được: ⎧ ⎧ ⎧a 2 − a = 1 ⎪a = 1 + 5 ⎪a = 1 − 5 ⇔⎨ ⎨ 2 ∨⎨ 2 ⎩ab = 0 ⎪b = 0 ⎪b = 0 ⎩ ⎩ Ta tìm được hai hàm số cần tìm là: 1± 5 f ( x) = x 2 Hiển nhiên thỏa mãn điều kiện bài toán. Ví dụ 3: Hàm số f : → thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: a ) f ( f (n)) = n, ∀n ∈ (1) b) f ( f (n + 2) + 2) = n, ∀n ∈ (2) c) f (0) = 1 (3) Tìm giá trị f(1995), f(-2007) (olympic Ucraina 1995) Giải: Cũng nhận xét và lý luận như các ví dụ trước, ta đưa đến f(n) phải có dạng: f(n) = an +b Khi đó điều kiện (1) trở thành: a 2 n + ab + b = n, ∀n ∈ Đồng nhất các hệ số, ta được: ⎧a 2 = 1 ⎧a = 1 ⎧a = −1 ⇔⎨ ∨⎨ ⎨ ⎩b = 0 ⎩b = 0 ⎩ab + b = 0 4 ⎧a = 1 Với ⎨ ta được f(n) = n ⎩b = 0 Trường hợp này loại vì không thỏa mãn (2) ⎧a = −1 Với ⎨ ta được f(n) = -n + b ⎩b = 0 Từ điều kiện (3) cho n = 0 ta được b = 1 Vậy f(n) = -n + 1 Hiển nhiên hàm số này thỏa mãn điều kiện bài toán. Ta phải chứng minh f(n) = -n +1 là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiện bài toán Thật vậy giả sử tồn tại hàm g(n) khác f(n) cũng thỏa mãn điều kiện bài toán. Từ (3) suy ra f(0) = g(0) = 1 Từ (3) suy ra f(1) = g(1) = 0 Sử dụng điều kiện (1) và (2) ta nhận được: g(g(n)) = g(g(n+2)+2) ∀n ∈ do đó g(g(g(n))) = g(g(g(n+2)+2)) ∀n ∈ Hay g(n) = g(n+2)+2 ∀n ∈ Giả sử n0 là số tự nhiên bé nhất làm cho f (n0 ) ≠ g (n0 ) Do f(n) cũng thỏa mãn (4) nên ta có: g (n0 − 2) = g (n0 ) + 2 = f (n0 ) + 2 = f (n0 − 2) ⇔ g (n0 − 2) = f (n0 − 2) Mâu thuẫn với điều kiện n0 là số tự nhiên bé nhất thỏa mãn (5) Vậy f(n) = g(n) , ∀n ∈ Chứng minh tương tự ta cũng được f(n) = g(n) với mọi n nguyên âm. Vậy f(n) = 1 – n là nghiệm duy nhất. Từ đó tính được f(1995), f(-2007). Các bài tập tương tự: Bài 1: Tìm tất cả các hàm số f : → thỏa mãn điều kiện: f ( x + y ) + f ( x − y ) − 2 f ( x) f (1 + y ) = 2 xy (3 y − x 2 ), ∀x, y ∈ Đáp số f(x) = x3 Bài 2: Hàm số f : → thỏa mãn điều kiện f(f(n)) + f(n) = 2n + 3, ∀n ∈ Tìm f(2005) Đáp số : 2006 Bài 3: Tìm tất cả các hàm f : → sao cho: f ( f (n)) + ( f (n)) 2 = n 2 + 3n + 3, ∀n ∈ Đáp số : f(n) = n + 1 Bài 4: Tìm các hàm f : → nếu : 8 2 ⎛ x −1 ⎞ ⎛ 1− x ⎞ ⎧ ⎫ 3f ⎜ , ∀x ∉ ⎨0, − ,1, 2 ⎬ ⎟−5 f ⎜ ⎟= 3 ⎝ 3x + 2 ⎠ ⎝ x − 2 ⎠ x −1 ⎩ ⎭ 28 x + 4 Đáp số : f ( x) = 5x Bài 5: Tìm tất cả các đa thức P(x) ∈ [ x ] sao cho: P(x + y) = P(x) + P(y) + 3xy(x + y), ∀x, y ∈ Đáp số : P(x) = x3 + cx Phương pháp xét giá trị Bài 1: Tìm f : → thỏa mãn: 1 1 1 f ( xy ) + f ( yz ) − f ( x ) f ( yz ) ≥ , ∀x, y, z ∈ 2 2 4 5 Giải: Cho x= y = z = 0: 1 1 1 f (0) + f (0) − f 2 (0) ≥ 2 2 4 1 2 ⇔ ( f (0) − ) ≤ 0 2 1 ⇔ f (0) = 2 Cho y = z = 0: 1 1 1 1 + − f ( x) ≥ , ∀x ∈ 4 4 2 4 1 ⇔ f ( x) ≤ , ∀x ∈ 2 Cho x= y = z = 1 1 1 1 f (0) + f (1) − f 2 (1) ≥ 2 2 4 1 2 ⇔ ( f (1) − ) ≤ 0 2 1 ⇔ f (1) = 2 Cho y = z = 1 1 1 1 1 f ( x) + f ( x) − f ( x ) ≥ 2 2 2 4 1 ⇔ f ( x) ≥ , ∀x ∈ 2 (1) (2) Từ ( 1) và (2) ta có f(x) = Bài 2: Tìm f : (0,1) → thỏa mãn: f(xyz) = xf(x) + yf(y) +zf(z) ∀x, y , z ∈ (0,1) Giải : Chọn x = y = z: f(x3) = 3xf(x) f(x6) = 3 x2 f(x2) Thay x, y, z bởi x2 Mặt khác f(x6) = f(x. x2 .x3) = xf(x) + x2 f(x2) + x3 f(x3) 2 2 Hay 3 x f(x ) = xf(x) + x2 f(x2) + 3x4 f(x) 2 x2 f(x2) = xf(x) + 3x4 f(x) 3x3 + 1 ⇒ f ( x2 ) = f ( x), ∀x ∈ 2 Thay x bởi x3 ta được : 3x9 + 1 6 f ( x 3 ), ∀x ∈ ⇒ f (x ) = 2 3x9 + 1 3 xf ( x), ∀x ∈ ⇒ 3x2 f ( x2 ) = 2 3x3 + 1 3x9 + 1 3 xf ( x), ∀x ∈ f ( x) = ⇒ 3x2 2 2 ⇒ f ( x) = 0, ∀x ≠ 0 Vậy f(x) = 0 với mọi x Phương pháp 2: Sử dụng tính chất nghiệm của một đa thức (Bài giảng của Tiến sỹ Nguyễn Vũ Lương – ĐHKHTN – ĐHQG Hà Nội) Ví dụ 1: Tìm P(x) với hệ số thực, thỏa mãn đẳng thức: ( x3 + 3x 2 + 3 x + 2) P( x − 1) = ( x3 − 3x 2 + 3x − 2) P( x), ∀x (1) 6 1 2 Giải: (1) ⇔ ( x + 2)( x + x + 1) P( x − 1) = ( x − 2)( x − x + 1) P( x), ∀x Chọn : x = −2 ⇒ P ( −2) = 0 x = −1 ⇒ P (−1) = 0 x = 0 ⇒ P (0) = 0 x = 1 ⇒ P (1) = 0 Vậy P(x) = x(x – 1)(x + 1)(x + 2)G(x) Thay P(x) vào (1) ta được: ( x + 2)( x 2 + x + 1)( x − 1)( x − 2) x ( x + 1)G ( x − 1) = ( x − 2)( x 2 − x + 1) x( x − 1)( x + 1)( x + 2)G ( x), ∀x 2 2 ⇒ ( x 2 + x + 1) G ( x − 1) = ( x 2 − x + 1)G ( x), ∀x G ( x − 1) G ( x) , ∀x = 2 2 x − x +1 x + x +1 G ( x − 1) G ( x) , ∀x ⇔ = 2 2 ( x − 1) + ( x − 1) + 1 x + x + 1 ⇔ G ( x) (x ≠ 0, ± 1, -2) x + x +1 ⇒ R ( x ) = R ( x − 1) (x ≠ 0, ± 1, -2) Đặt R( x) = 2 ⇒ R( x) = C Vậy P( x) = C ( x 2 + x + 1) x( x − 1)( x + 1)( x + 2) Thử lại thấy P(x) thỏa mãn điều kiện bài toán. Chú ý : Nếu ta xét P(x) = (x3 + 1)(x – 1) Thì P(x + 1) = (x3 + 3x2 + 3x + 2)x Do đó (x3 + 3x2 + 3x + 2)xP(x) = (x2 – 1)(x2 – x + 1)P(x + 1) Từ đó ta có bài toán sau Ví dụ 2: Tìm đa thức P(x) với hệ số thực, thỏa mãn đẳng thức: (x3 + 3x2 + 3x + 2)xP(x) = (x2 – 1)(x2 – x + 1)P(x + 1) với mọi x Giải quyết ví dụ này hoàn toàn không có gì khác so với ví dụ 1 Tương tự như trên nếu ta xét: P(x) = (x2 + 1)(x2 – 3x + 2) Ta sẽ có bài toán sau: Ví dụ 3: Tìm đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn đẳng thức: (4 x 2 + 4 x + 2)(4 x 2 − 2 x) P( x) = ( x 2 + 1)( x 2 − 3x + 2) P (2 x + 1), ∀x ∈ Các bạn có thể theo phương pháp này mà tự sáng tác ra các đề toán cho riêng mình. Phương pháp 3: Sử dụng phương pháp sai phân để giải phương trình hàm. 1. Trước hết ta nhắc lại khái niệm về dãy số. Dãy số là một hàm của đối số tự nhiên: x: → n x(n) Vì n ∈ {0,1, 2,3,...} ⇒ ( xn ) = { xo , x1 , x2 ,...} 2. Định nghĩa sai phân Xét hàm x(n) = xn Sai phân cấp 1 của hàm xn là Sai phân câp 2 của hàm xn là xn = xn +1 − xn 2 xn = xn +1 − xn = xn + 2 − 2 xn +1 + xn 7 Sai phân câp k của hàm xn là k k xn = ∑ (−1)i Cki xn + k −i i =0 3. Các tính chất của sai phân Sai phân các cấp đều được biểu thị qua các giá trị hàm số 9 9 Sai phân có tính tuyến tính: k k Δ (af + bg ) = aΔ f + bΔ k g 9 Nếu xn đa thức bậc m thì: Là đa thức bậc m – k nếu m> k Δ k xn Là hằng số nếu Là 0 nếu m= k m
0 Đặc trưng là f(xy) = f(x)f(y) Hàm mũ f ( x) = a x (a > 0, a ≠ 1) Đặc trưng hàm là f(x + y) = f(x)f(y), Hàm Logarit ∀x , y ∈ f ( x) = log a x (a>0,a ≠ 1) Đặc trưng hàm là f(xy) = f(x) + f(y). f(x) = cosx có đặc trưng hàm là f(x + y) + f(x – y) = 2f(x)f(y) Hoàn toàn tương tự ta có thể tìm được các đặc trưng hàm của các hàm số f(x) =sinx, f(x) = tanx và với các hàm Hypebolic: ¾ 2. ¾ sin hypebolic e x − e− x shx = 2 ¾ cos hypebolic chx = e x + e− x 2 ¾ tan hypebolic thx = shx e x − e− x = chx e x + e− x ¾ cot hypebolic cothx = chx e x + e − x = shx e x − e− x tập giá trị là shx có TXĐ là chx có TXĐ là tập giá trị là [1, +∞ ) tập giá trị là (-1,1) thx có TXĐ là cothx có TXĐ là \ {0} tập giá trị là ( −∞, −1) ∪ (1, +∞ ) Ngoài ra bạn đọc có thể xem thêm các công thức liên hệ giữa các hàm hypebolic, đồ thị của các hàm hypebolic Điểm bất động Trong số học, giải tích, các khái niệm về điểm bất động, điểm cố định rất quan trọng và nó được trình bày rất chặt chẽ thông qua một hệ thống lý thuyết. Ở đây, tôi chỉ nêu ứng dụng của nó qua một số bài toán về phương trình hàm. Ví dụ 1: Xác định các hàm f(x) sao cho: f(x+1) = f(x) + 2 ∀x ∈ Giải: Ta suy nghĩ như sau: Từ giả thiết ta suy ra c = c + 2 do đó c = ∞ 11 Vì vậy ta coi 2 như là f(1) ta được f(x + 1) = f(x) + f(1) (*) Như vậy ta đã chuyển phép cộng ra phép cộng. Dựa vào đặc trưng hàm, ta phải tìm a : f(x) = ax để khử số 2. Ta được (*) ⇔ a ( x + 1) = ax + 2 ⇔a=2 Vậy ta làm như sau: Đặt f(x) = 2x + g(x) Thay vào (*) ta được: 2(x + 1) + g(x + 1) = 2x + g(x) + 2, ∀x ∈ Điều này tương đương với g(x + 1) = g(x), ∀x ∈ Vậy g(x) là hàm tuần hoàn với chu kì 1. Đáp số f(x) = 2x + g(x) với g(x) là hàm tuần hoàn với chu kì 1. Qua ví dụ 1, ta có thể tổng quát ví dụ này, là tìm hàm f(x) thỏa mãn: f(x + a) = f(x) + b, ∀x ∈ , a, b tùy ý Ví dụ 2: Tìm hàm f(x) sao cho: f(x + 1) = - f(x) + 2, ∀x ∈ Giải: (1) ta cũng đưa đến c = -c + 2 do đó c = 1 vậy đặt f(x) = 1 + g(x), thay vào (1) ta được phương trình: g(x + 1) = - g(x), ∀x ∈ Do đó ta có: ⎧ g ( x + 1) = − g ( x ) ⎨ ⎩ g ( x + 2) = g ( x ) 1 ⎧ ⎪ g ( x ) = [ g ( x ) − g ( x + 1) ] ⇔ ⎨ ∀x ∈ 2 ⎪⎩ g ( x + 2) = g ( x ) Ta chứng minh mọi nghiệm của (3) có dạng : 1 g ( x) = [ h( x) − h( x + 1)] , ∀x ∈ 2 ở đó h(x) là hàm tuần hoàn với chu kì 2 (3) qua ví dụ này, ta có thể tổng quát thành: f(x + a) = - f(x) + b, ∀x ∈ , a, b tùy ý Ví dụ 3: Tìm hàm f(x) thỏa mãn : f(x + 1) = 3f(x) + 2, ∀x ∈ (1) Giải: Ta đi tìm c sao cho c = 3c + 2 dễ thấy c = -1 Đặt f(x) = -1 + g(x) Lúc đó (1) có dạng g(x + 1) = 3g(x) ∀x ∈ Coi 3 như g(1) ta được g(x + 1) = g(1).g(x) ∀x ∈ (2) Từ đặc trưng hàm, chuyển phép cộng về phép nhân, ta thấy phải sử dụng hàm mũ : a x +1 = 3a x ⇔ a = 3 Vậy ta đặt: g ( x) = 3x h( x) thay vào (2) ta được: h(x + 1) = h(x) ∀x ∈ Vậy h(x) là hàm tuần hoàn chu kì 1. f ( x) = −1 + 3x h( x) với h(x) là hàm tuần hoàn chu kì 1. Kết luận 12 Ở ví dụ 3 này, phương trình tổng quát của loại này là : f(x + a) = bf(x) + c, ∀x ∈ , a, b, c tùy ý, b > 0, b khác 1 Với loại này được chuyển về hàm tuần hoàn. Còn f(x + a) = bf(x) + c, ∀x ∈ , a, b, c tùy ý, b < 0, b khác 1 được chuyển về hàm phản tuần hoàn. Ví dụ 4: Tìm hàm f(x) thỏa mãn f(2x + 1) = 3f(x) – 2 ∀x ∈ (1) Giải: Ta có: c = 3c – 2 suy ra c = 1 Đặt f(x) = 1 + g(x) Khi đó (1) có dạng g(2x + 1) = 3g(x) ∀x ∈ (2) Khi biểu thức bên trong có nghiệm ≠ ∞ thì ta phải xử lý cách khác. Từ 2x + 1 = x suy ra x = 1 Vậy đặt x = -1 + t ta có 2x + 1 = -1 + 2t (2) có dạng: g(-1 + 2t) = 3g(-1 + t ) ∀t ∈ Đặt h(t) = g(-1 + 2t), ta được h(2t) = 3h(t) (3) 2t = t ⇔ t = 0 (2t ) m = 3.t m ⇔ m = log 2 3 Xét ba khả năng sau: Nếu t = 0 ta có h(0) = 0 Nếu t> 0 đặt h(t ) = t log 2 3ϕ (t ) thay vào (3) ta có ϕ (2t ) = ϕ (t ), ∀t > 0 Đến đây ta đưa về ví dụ hàm tuần hoàn nhân tính. Nếu t < 0 đặt h(t ) =| t |log 2 3 ϕ (t ) thay vào (3) ta được ϕ (2t ) = −ϕ (t ), ∀t < 0 ⎧ϕ (2t ) = −ϕ (t ), ∀t < 0 ⇔⎨ ⎩ϕ (4t ) = ϕ (t ), ∀t < 0 1 ⎧ ⎪ϕ (t ) = [ϕ (t ) − ϕ (2t ) ] , ∀t < 0 ⇔⎨ 2 ⎪⎩ϕ (4t ) = ϕ (t ), ∀t < 0 Bài toán tổng quát của dạng này như sau: f (α x + β ) = f ( ax ) + b α ≠ 0, ± 1 Khi đó từ phương trình α x + β = x ta chuyển điểm bất động về 0, thì ta được hàm tuần hoàn nhân tính. Nếu a = 0 bài toán bình thường Nếu a = 1 chẳng hạn xét bài toán sau: Tìm f(x) sao cho f(2x + 1) = f(x) – 2, ∀x ≠ -1 (1) Nghiệm 2x + 1 = x ⇔ x = −1 nên đặt x = -1 + t thay vào (1) ta được f(-1 + 2t) = f(-1 + t) + 2, ∀t ≠ 0 Đặt g(t) = f( - 1 + t) ta được g(2t) = g(t) + 2 ∀t ≠ 0 (2) Từ tích chuyển thành tổng nên là hàm loga Ta có log a (2t ) = log a t − 2 ⇔a= Vậy đặt 1 2 g (t ) = log 1 t + h(t ) 2 13 Thay vào (2) ta có h(2t ) = h(t ), ∀t ≠ 0 Đến đây bài toán trở nên đơn giản §Þnh lý Roll vμ ¸p dông vμo ph−¬ng tr×nh. TiÕn Sü : Bïi Duy H−ng Tr−êng THPT Chuyªn Th¸i B×nh I) §Þnh lý Roll : lμ tr−êng hîp riªng cña ®Þnh lý Lagr¨ng 1.Trong ch−¬ng tr×nh to¸n gi¶i tÝch líp 12 cã ®Þnh lý Lagr¨ng nh− sau : NÕu hμm sè y = f(x) liªn tôc trªn [a; b] vμ cã ®¹o hμm trªn (a; b) th× tån t¹i mét ®iÓm c ∈ (a; b) sao cho: f / (c) = f ( b ) − f (a ) b−a ý nghÜa h×nh häc cña ®Þnh lý nh− sau: XÐt cung AB cña ®å thÞ hμm sè y = f(x), víi to¹ ®é cña ®iÓm A(a; f(a)) , B(b; f(b)). HÖ sè gãc cña c¸t tuyÕn AB lμ: f ( b ) − f (a ) b−a f ( b ) − f (a ) f / (c) = b−a k = §¼ng thøc : nghÜa lμ hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm C(c; f(c)) cña cung AB b»ng hÖ sè gãc cña ®−êng th¼ng AB. VËy nÕu c¸c ®iÒu kiÖn cña ®Þnh lý Lagr¨ng ®−îc tho¶ m·n th× tån t¹i mét ®iÓm C cña cung AB, sao cho tiÕp tuyÕn t¹i ®ã song song víi c¸t tuyÕn AB. 2. NÕu cho hμm sè y = f(x) tho¶ m·n thªm ®iÒu kiÖn f(b) = f(a) th× cã f / (c) = 0. Ta cã ®Þnh lý sau ®©y cã tªn gäi lμ : §Þnh lý Roll. NÕu hμm sè y = f(x) liªn tôc trªn [a; b], cã ®¹o hμm f / (x) trªn (a; b) vμ cã f(a) = f(b) th× tån t¹i ®iÓm xo ∈ (a , b) sao cho f’ (xo) = 0.. Nh− vËy ®Þnh lý Roll lμ mét tr−êng hîp riªng cña ®Þnh lý Lagr¨ng. Tuy nhiªn cã thÓ chøng minh ®Þnh lý Roll trùc tiÕp nh− sau: Hμm sè f(x) liªn tôc trªn [a; b] nªn ®¹t c¸c gi¸ trÞ max, min trªn ®o¹n [a; b] gäi m = min f(x) , M = max f(x) 14 x ∈ [ a, b ] x ∈ [ a, b ] NÕu m = M th× f(x) = C lμ h»ng sè nªn ∀ xo ∈ (a , b) ®Òu cã f’(xo ) = 0 NÕu m < M th× Ýt nhÊt mét trong hai gi¸ trÞ max, min cña hμm sè f(x) ®¹t ®−îc t¹i ®iÓm nμo ®ã xo ∈ (a; b). VËy xo ph¶i lμ ®iÓm tíi h¹n cña f(x) trªn kho¶ng (a; b) ⇒ f’ (xo ) = 0. §Þnh lý ®−îc chøng minh . ý nghÜa h×nh häc cña ®Þnh lý Roll : Trªn cung AB cña ®å thÞ hμm sè y = f(x), víi A(a; f(a)) , B(b; f(b)) vμ f(a) = f(b), tån t¹i ®iÓm C ( c; f(c) ) mμ tiÕp tuyÕn t¹i C song song víi Ox. II ) ¸p dông cña ®Þnh lý Roll. Bμi to¸n 1. Cho n lμ sè nguyªn d−¬ng , cßn a, b, c lμ c¸c sè thùc tuú ý tho¶ m·n hÖ thøc : a c b + + = 0 (1) n + 2 n +1 n CMR ph−¬ng tr×nh : 2 a x + bx + c = 0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm trong ( 0; 1) . Gi¶i : XÐt hμm sè: ax n + 2 bx n +1 cx n f(x) = + + . n + 2 n +1 n Hμm sè f (x) liªn tôc vμ cã ®¹o hμm t¹i ∀ x ∈ R . Theo gi¶ thiÕt (1) cã f(0) = 0 , f(1) = a b c + + =0 n + 2 n +1 n Theo ®Þnh lý Roll tån t¹i xo ∈ (0; 1) sao cho f’(xo ) = 0 mμ: n +1 n n −2 f’(x) = a x + bx + cx n +1 n n −1 f’(x 0 ) = 0 ⇒ ax o + bx o + cx o = 0 ⇔ x on −1 (ax o2 + bx o +c) = 0 ( x o ≠ 0 ) ⇔ ax o2 + bx o + c = 0 2 VËy ph−¬ng tr×nh a x + bx + c = 0 cã nghiÖm x o ∈ (0;1) . (®pcm) . Bμi to¸n 2 : Gi¶i ph−¬ng tr×nh : 3 +6 = 4 +5 Gi¶i : Ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi : x x x x 6 x − 5 x = 4 x − 3x (2). Râ rμng x o = 0 lμ mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (2) . Ta gäi α lμ nghiÖm bÊt kú cña ph−¬ng tr×nh (2). XÐt hμm sè : α α f(x) = ( x + 1) − x , víi x > 0 Hμm sè f(x) x¸c ®Þnh vμ liªn tôc trªn ( 0; + ∞ ) vμ cã ®¹o hμm : α −1 α −1 f’ (x) = α( x + 1) - α x = α [ ( x + 1) − x ] Tõ (2) cã f(5) = f(3) . VËy tån t¹i c ∈ ( 3; 5) sao cho f’(c) = 0, hay lμ : α [ (c + 1) α −1 − c α −1 ] = o ⇔ α =o, α =1. Thö l¹i thÊy x 1 = 0 , x 2 = 1 ®Òu tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh (2). α −1 α −1 VËy ph−¬ng tr×nh ®· cho cã ®óng 2 nghiÖm lμ : x 1 = 0, x 2 = 1 Bμi to¸n 3 15 Chøng minh r»ng víi c¸c sè thùc bÊt kú a, b, c ph−¬ng tr×nh : acos3x + bcos2x + csinx = 0 (3) cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc kho¶ng ( 0 ; 2 π ) Gi¶i a sin 3x b sin 2x + + c sin x − cos x . 3 2 Hμm f(x) liªn tôc trªn [ 0; 2 π ] , cã ®¹o hμm trªn ( 0; 2 π ) vμ cã ®¹o hμm lμ: XÐt hμm sè f(x) = f’ (x) = acos3x + bcos2x +ccosx + sinx . mÆt kh¸c cã f(0) = - 1 , f ( 2 π ) = - 1 . Theo ®Þnh lý Roll tån t¹i x o ∈ (0;2π) ®Ó f’( x0 ) = 0 . VËy x o ∈ (0;2π) lμ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ( 3 ). ( ®pcm ). Bμi to¸n 4 3cos x − 2 cos x = cosx (4). Gi¶i ph−¬ng tr×nh : Gi¶i : Ph−¬ng tr×nh (4) cã Ýt nhÊt mét nghiÖm x 0 = 0 . Gäi α lμ nghiÖm bÊt kú cña (4) .Khi ®ã cã : 3cos α − 2 cos α = cos α ⇔ 3cos α − 3 cos α = 2 cos α − 2 cos α . cos α − t cos α , (víi t > 1 ). XÐt hμm sè f(x) = t (5) Hμm sè f(x) liªn tôc trªn kho¶ng (1; + ∞ ) vμ cã ®¹o hμm lμ: cos α −1 f’ (x) = cos α.t − cos α . Tõ ®¼ng thøc (5) cã : f(2) = f (3) . VËy tån t¹i gi¸ trÞ c ∈ ( 2; 3 ) sao cho: cos α −1 − cos α = 0 f’(c) = 0 . ⇔ cos α . c ⇔ cos α(c cos α −1 − 1) = 0 ⇔ cos α = 0 hoÆc cos α = 1 π ⇔ α = + kπ ; α = k 2π . Víi k ∈ Ζ 2 Thö l¹i thÊy tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh (4) . VËy (4) cã nghiÖm x = π + kπ , x = k2 π ( ∀k ∈ Ζ ) 2 NhËn xÐt : Tõ ®Þnh lý Roll cã thÓ rót ra mét sè hÖ qu¶ quan träng nh− sau : Cho hμm sè y = f (x) x¸c ®Þnh trªn [a; b] vμ cã ®¹o hμm t¹i ∀x ∈ (a; b) . HÖ qu¶ 1 : NÒu ph−¬ng tr×nh f(x) = 0 cã n nghiÖm ph©n biÖt th×: ph−¬ng tr×nh f’ (x) = 0 cã Ýt nhÊt n – 1 nghiÖm ph©n biÖt . (k ) ph−¬ng tr×nh f (x) = 0 cã Ýt nhÊt n – k nghiÖm ph©n biÖt, víi k = 2, 3, 4 … HÖ qu¶ 2 : NÕu ph−¬ng tr×nh f(x) = 0 cã n nghiÖm ph©n biÖt th× ph−¬ng tr×nh : f(x) + α f’ (x) = 0 cã Ýt nhÊt n-1 nghiÖm ph©n biÖt , víi ∀α ∈ R mμ α ≠ 0 . Chøng minh : x XÐt hμm F (x) = e α .f ( x ) . Hμm sè F (x) liªn tôc trªn [a; b] vμ cã n nghiÖm ph©n biÖt . Theo hÖ qu¶ 1 th× ph−¬ng tr×nh F’ (x) = o cã Ýt nhÊt n-1 nghiÖm ph©n biÖt . MÆt kh¸c cã: x α x α F’(x) = e .f ' ( x ) + e . 1 .f ( x ) α 16 x eα = . [ f(x) + α f’(x) ] α VËy ph−¬ng tr×nh : f(x) + α f’(x) = 0 cã Ýt nhÊt n-1 nghiÖm. Chó ý : Trong tr−êng hîp ph−¬ng tr×nh f’(x) = 0 cã n-1 nghiÖm ph©n biÖt th× ph−¬ng tr×nh f(x) = 0 ch−a ch¾c ®· cã n nghiÖm ph©n biÖt . XÐt vÝ dô sau ®©y : 3 2 Ph−¬ng tr×nh : x − 3x + 5 = 0 cã ®óng 1 nghiÖm 2 nh−ng ph−¬ng tr×nh : 3x − 6 x = 0 cã 2 nghiÖm. HÖ qu¶ 3 : NÕu f’’(x) > o hoÆc f’’ (x) < o ∀x ∈ (a; b) th× ph−¬ng tr×nh f(x) = 0 cã kh«ng qu¸ hai nghiÖm. HÖ qu¶ 4 : NÕu f’’’(x) > 0 hoÆc f’’’(x) < 0 ∀x ∈ (a; b) th× ph−¬ng tr×nh f(x) = 0 cã kh«ng qu¸ ba nghiÖm . Bμi to¸n 5 : x + 3x + 1 = x 2 + x + 1 Gi¶i ph−¬ng tr×nh : Gi¶i : (6) §iÒu kiÖn x ≥ 0 Ph−¬ng tr×nh (6) ⇔ XÐt hμm sè: x + 3x + 1 − x 2 − x − 1 = 0 x + 3x + 1 − x 2 − x − 1 . Víi x ∈ [0;+∞) 1 3 f’(x) = + − 2x − 1 2 x 2 3x + 1 1 9 f’’(x) = − − 2 < 0.∀x > 0 4 x 3 4 (3x + 1) 3 f(x) = Theo hÖ qu¶ 3 suy ra ph−¬ng tr×nh (6) cã kh«ng qu¸ 2 nghiÖm Thö trùc tiÕp x 1 = 0, x 2 = 1 tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh . VËy (6) cã ®óng 2 nghiÖm x = 0, x = 1 . Bμi to¸n 6: Gi¶i ph−¬ng tr×nh : 3 = 1 + x + log 3 (1 + 2 x ) 1 Gi¶i : §iÒu kiÖn: 1 + 2x > 0 ⇔ x > 2 Ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi : x 3 x + x = (1 + 2 x ) + log 3 (1 + 2 x ) ( 7 ) XÐt hμm f(t) = t + log 3 t , víi t ∈ (0;+∞) ta cã : 1 > 0, ∀t > 0 . VËy f (t) ®ång biÕn trªn ( 0; + ∞ ) f’(t) = 1 + t ln 3 x Ph−¬ng tr×nh ( 7 ) khi ®ã trë thμnh: f ( 3 ) = f ( 1 + 2x ) ⇔ 3x = 1 + 2x ⇔ 3x − 2 x − 1 = 0 (8) 17 1 2 XÐt hμm sè: g (x) = 3 − 2 x − 1 víi x ∈ ( − ;+∞ ) ta cã : x g’(x) = 3 . ln 3 − 2 x x 2 g’’(x) = 3 . ln 3 > 0. ∀x > − 1 2 VËy ph−¬ng tr×nh (8) cã kh«ng qu¸ 2 nghiÖm trong kho¶ng ( - 1 ;+∞) 2 x 1 = 0, x 2 = 1 lμ 2 nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (8) . VËy ph−¬ng tr×nh (8) cã 2 nghiÖm x 1 , x 2 . KÕt luËn : Ph−¬ng tr×nh ®· cho cã ®óng 2 nghiÖm x 1 = 0, x 2 = 1 MÆt kh¸c thö trùc tiÕp thÊy Bμi to¸n 7 : Gi¶i ph−¬ng tr×nh : ( 2 + 2)(4 − x ) = 12 (9) . Gi¶i : x XÐt hμm sè f (x) = ( 2 + 2)(4 − x ) − 12 . X¸c ®Þnh vμ liªn tôc trªn R . x f’(x) = 2 . ln 2.( 4 − x ) − ( 2 + 2) . x x f’’(x) = 2 . ln 2.( 4 − x ) − 2 . ln 2 − 2 . ln 2 . x 2 x x = 2 . ln 2.[ln 2.( 4 − x ) − 2] . f’’(x) = 0 ⇔ ( x − 4). ln 2 + 2 = 0 x ⇔ xo = 4 − 2 . ln 2 Ph−¬ng tr×nh f’’(x) = 0 cã nghiÖm duy nhÊt . Theo ®Þnh lý Roll th× ph−¬ng tr×nh ( 9 ) cã kh«ng qu¸ 3 nghiÖm , bëi v× nÕu (9) cã 4 nghiÖm ph©n biÖt th× f’’(x) = 0 cã Ýt nhÊt 2 nghiÖm ph©n biÖt . Thö trùc tiÕp thÊy (9) tho¶ m·n víi x = 0 , x = 1 , x = 2 . VËy (9) cã ®óng 3 nghiÖm x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2 . Bμi to¸n 8 : Chøng minh r»ng : Víi ∀m ∈ R ph−¬ng tr×nh : x 2005 + 2 x 3 + m( x 2 − 1) − 9 x + 5 = 0 (10). cã ®óng 3 nghiÖm . Gi¶i : XÐt hμm sè f(x) = x + 2 x + m( x − 1) − 9 x + 5 . H m sè f(x) liªn tôc vμ cã ®¹o hμm trªn R. 2004 + 6 x 2 + 2mx − 9 . f’(x) = 2005. x 2003 f’’(x) = 2005.2004. x + 12x + 2m . 2002 f’’’(x) = 2005.2004.2003. x + 12 > 0.∀x . VËy ph−¬ng tr×nh (10) cã kh«ng qu¸ 3 nghiÖm . MÆt kh¸c lim f(x) = - ∞ , lim f(x) = + ∞ , f(- 1) = 11 > 0, f(1) = - 1 < 0 x → −∞ x → +∞ Cho nªn : ∃x 1 ∈ (−∞;−1) mμ f ( x 1 ) = 0 2005 3 2 ∃x 2 ∈ (-1;1) mμ f( x 2 ) = 0 ∃x 3 ∈ (1;+∞) mμ f( x 3 ) = 0 NghÜa lμ ph−¬ng tr×nh (10 ) cã Ýt nhÊt 3 nghiÖm ph©n biÖt x 1 < x 2 < x 3 . 18 VËy ph−¬ng tr×nh ( 10 ) cã ®óng 3 nghiÖm ph©n biÖt .(§pcm) . Bμi to¸n 9 : 4 3 Cho biÕt ph−¬ng tr×nh : x + ax + bx + c = 0 (11) cã 4 nghiÖm ph©n biÖt . Chøng minh r»ng : ab < 0 Gi¶i : XÐt P (x) = x + ax + bx + c liªn tôc trªn R . 3 2 f(x) = P’ (x) = 4 x + 3ax + b . Ph−¬ng tr×nh (11) cã 4 nghiÖm ph©n biÖt , theo ®Þnh lý Roll suy ra: ph−¬ng tr×nh f(x) = 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt ⇔ f CD .f CT < 0. 4 3 MÆt kh¸c cã f’(x) = 12 x 2 + 6ax = 6x.( 2x + a ) a a 3 + 4b f CD .f CT = f (o).f (− ) = b.( ) . (®iÒu kiÖn a ≠ 0 ) 2 4 3 §iÒu kiÖn f CD .f CT < 0 ⇔ b(a + 4b) < 0 (12) Tõ (12) dÔ dμng suy ra ab < 0 . Bëi v× nÕu cã : a > 0 , b > 0 th× : vÕ tr¸i (12) > 0 a < 0 , b < 0 th× : VÕ tr¸i (12) > 0 b=0 th× : VÕ tr¸i (12) = 0. VËy ab < 0 . (§iÒu ph¶i chøng minh ). Bμi to¸n 10 : Cho sè n nguyªn d−¬ng tuú ý lín h¬n 1 , vμ c¸c sè thùc a 1 , a 2 , a 3 ,.......a n . tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : 2 n −1.a n a 1 2a 2 4a 3 an a1 a 2 + + + ...... + + + ....... + = 0= n +1 n +1 2 3 2 3 4 Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh : a 1 + 2a 2 x + 3a 3 x 2 + ...... + na n x n −1 = o cã nghiÖm . Gi¶i : a 3x 4 a n x n +1 a1x 2 a 2 x 3 XÐt F(x) = + + + ..... + . 2 3 4 n +1 §a thøc F(x) liªn tôc trªn R , cã ®¹o hμm cÊp tuú ý trªn R. 2 3 n F’(x) = a 1 x + a 2 x + a 3 x + ...... + a n x F’’(x) = a 1 + 2a 2 x + 3a 3 x + ..... + na n x 2 n −1 a1 a 2 a + + ...... + n 2 3 n +1 4 2 3 2 a 1 2 a 2 2 .a 3 2 n +1.a n + + + ....... + F(2) = 2 3 4 n +1 n −1 a 2a 2 4a 3 2 .a n =4( 1 + + + ........ + ) 2 3 4 n +1 F(0) = 0, F(1) = Theo gi¶ thiÕt (13) suy ra F(0) = F(1) = F(2) . Theo ®Þnh lý Roll suy ra ph−¬ng tr×nh F’(x) = 0 cã Ýt nhÊt 2 nghiÖm ph©n biÖt x 1 ∈ (0;1), x 2 ∈ (1;2) . Suy ra ph−¬ng tr×nh F’’(x) = 0 cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm x0 . VËy ph−¬ng tr×nh : a 1 + 2a 2 x + ......... + na n x ΙΙΙ ) C¸c bμi to¸n luyÖn tËp : Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh vμ hÖ ph−¬ng tr×nh sau. n −1 = 0 cã nghiÖm (§pcm) . 19 (13). 1) 2 = 1 + log 2 ( x + 1) x 2) x + 5 − x = x − 5x + 7 x 3) ( 4 + 2)( 2 − x ) = 6 2 4) log 2 ( x + 1) + log 3 (2x + 1) = 6 5) ⎧ x 2 = 1 + 3 log2 y ⎪ 2 ⎨ y = 1 + 3 log2 z ⎪ z 2 = 1 + log x 2 ⎩ ⎧4 x + 2 x = 4 y + 2 ⎪ 6) ⎨ 4 y + 2 y = 4 z + 2 z ⎪ z ⎩4 + 2 = 4x + 2 Tø GI¸C TOμN PHÇN NéI TIÕP, NGO¹I TIÕP Th¹c sü : Ph¹m C«ng SÝnh Tæ to¸n tr−êng t.h.p.t Chuyªn Th¸i B×nh lêi nãi ®Çu ******* 20
- Xem thêm -
Tài liệu liên quan
32 đề thi tiếng việt lớp 2 kì 2...
56
167174
190
Những điều cần biết luyện thi đại học kỹ thuật giải ...
222
75889
163
100 bài tập rút gọn và đáp án toán thcs...
22
71515
195
Tailieutonghop.com---ung dung phuong phap wavelet tr...
8
68464
153
Tailieutonghop.com---anfis va ung dung nhan dang vi ...
8
67501
130
60 đề luyện thi tốt nghiệp thpt môn toán...
60
67183
149
Skkn-một số giải pháp nâng cao hiệu quả công tác phụ...
21
62271
190
Hàm số ôn thi đại học...
109
60258
140
Thiết kế bài giảng đại số nâng cao lớp 10 - tập 2...
415
58778
124
54 đề toán luyện thi đại học và cao đẳng...
76
58251
181
100 đề ôn thi tốt nghiệp thpt...
58
57709
153
Tài liệu ôn thi thpt quốc gia môn toán năm 2018 (rất...
352
57582
298
19 Vấn đề hình học giải tích trong không gian Oxyz...
55
56688
146
Www.mathvn.com - hdc toan thpt...
5
54249
135
Lý thuyết và phương pháp giải đại số - giải tích 12...
296
51590
166
KHO TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA FULL MÔN...
31
48693
1308
Các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn toán hay...
62
46409
85
De tai khac phuc mot so sai lam cho hoc sinh lop 1...
14
43195
109
9pp-giai-pt-mu-logarit-ttanh-www.mathvn.com...
13
42186
118
Tailieutonghop.com---van de xap xi ngau nhien va ung...
8
41284
110
×
Tải tài liệu
Chi phí hỗ trợ lưu trữ và tải về cho tài liệu này là
đ
. Bạn có muốn hỗ trợ không?
Tài liệu vừa đăng
Giáo trình điều khiển hệ đa tác tử
186
1
111
Giáo trình toán cao cấp
159
1
138
Giáo trình giải tích đa trị
224
1
143
Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê toán
240
1
77
Bài giảng tích phân bội và giải tích vectơ
171
1
63
Giáo trình giải tích (trường đh vinh)
285
1
129
Bài giảng tôpô
89
1
145
Bài giảng giải tích hàm
116
1
106
Bài giảng hình học vi phân của đường và mặt
61
1
81
Bài giảng đại số tuyến tính
102
1
97
Tài liệu xem nhiều nhất
32 đề thi tiếng việt lớp 2 kì 2
56
167174
190
Những điều cần biết luyện thi đại học kỹ thuật giải nhanh hình phẳng oxy-p2
222
75889
163
100 bài tập rút gọn và đáp án toán thcs
22
71515
195
Tailieutonghop.com---ung dung phuong phap wavelet trong khu nhieu chuoi thoi gian
8
68464
153
Tailieutonghop.com---anfis va ung dung nhan dang vi tri con lac nguoc
8
67501
130
60 đề luyện thi tốt nghiệp thpt môn toán
60
67183
149
Skkn-một số giải pháp nâng cao hiệu quả công tác phụ đạo học sinh yếu, kém về môn toán lớp 4
21
62271
190
Hàm số ôn thi đại học
109
60258
140
Thiết kế bài giảng đại số nâng cao lớp 10 - tập 2
415
58778
124
54 đề toán luyện thi đại học và cao đẳng
76
58251
181